A.V. Szmirnov

Logikai Intézet, [e-mail védett]

A bölcsek és a sapkák problémája.

A három bölcs problémája széles körben ismert. Gyerekkoromban ismertem meg és lenyűgözött a megoldás eleganciája, de onnantól kezdve még mindig van bennem egy ügyes trükk érzése, amikor megérted, hogy a nyúl nem jelenhetett meg magában a kalapban, de nincs időd hogy kövesse a bűvész kezét. Nemrég úgy döntöttem, hogy megpróbálom leírni a megoldást formális logikai levezetés formájában, komoly nehézségekbe ütköztem, és kénytelen voltam újragondolni. Hadd emlékeztesselek a probléma állapotára.

Feladat. Három bölcs vitatkozott, hogy melyikük a legokosabb, és a negyedikhez fordultak, hogy ítélje meg őket. A bíró azt mondta a bölcseknek, hogy három fehér és két fekete sapkája van, ezután mindegyik fejére egy sapkát tett, hogy mindenki csak a másik két bölcs sapkáját lássa. A bölcseknek saját fejükön kellett kitalálniuk a sapka színét. Egy idő után az egyik bölcs arról számolt be, hogy fehér sapka van a fején, és megnyerte a versenyt. Hogyan is sejthetné?

Klasszikus megoldás. Ha a bölcs azt látja, hogy ellenfelei fekete sapkájúak (1. szituáció), akkor nyugodtan mondhatja, hogy fehér sapkája van, hiszen mindkét fekete már foglalt.

Ha egy bölcs fekete-fehér sapkát lát az ellenfelei fején (2. szituáció), akkor a következőképpen okoskodik: „Ha fekete sapkám van a fejemen, akkor a fehér sapkás bölcs két fekete sapkát lát elöl. (az 1. helyzetben van), és rá kell jönnie, hogy fehér sapkát visel. De hallgat, ami azt jelenti, hogy fehér sapkát viselek.

Végül mindkét riválist fehér sapkában látva maga előtt (3. szituáció), a bölcs így okoskodhatott: „ha fekete sapkám van, akkor bármelyik riválisom fekete-fehér sapkát lát maga előtt (2. szituáció), és meg kell értenie, mit visel fehér sapkában. De hallgat, ami azt jelenti, hogy fehér sapkát viselek.

Ez a megoldás lebilincselő a rekurzív elmélyülésben, ahol minden lépésnél az ellenfelek érveléséről szóló információk kerülnek be, és ezt a felkavaró hipnotikus elmélyülést a kecses érzés és a megoldás tiszta integritása oldja fel. De térjünk el a megoldás költészetétől, és próbáljuk meg elemezni az abban használt matematikai modellt és annak a problémakörhöz való megfelelőségét. Mindenekelőtt teszteljük a peremfeltételek alapján, például meghatározzuk, milyen esetekben kell egy bölcsnek arra következtetnie, hogy fekete sapkát visel.

Pontosan három eset lehet:

Az ellenfelek fekete sapkát viselnek;

Az egyik ellenfél fekete sapkát visel, a másik fehér;

Mindkét versenyző fehér sapkát visel.

Ezek csak a fent leírt 1., 2. és 3. szituációk. A fenti megoldással összhangban ezekben a helyzetekben a bölcsnek arra a következtetésre kell jutnia, hogy fehér sapka van a fején.

Harmonikus szerkezetünk összeomlik, amint ráébredünk, hogy a fent felsorolt ​​1., 2. és 3. szituáció a lehetséges opciók kimerítő listája, vagyis a fent leírt módszer szerint eljárva a bölcs. Különben is arra a következtetésre kell jutnia, hogy a sapka fehér. Ez azt jelenti, hogy a bölcsnek a teszt megkezdése után meg kell néznie riválisait, és függetlenül attól, hogy mit lát, egy idő után be kell jelentenie, hogy fehér sapkát visel. Igaz, teljesen homályos, hogy a nyilatkozatot pontosan milyen időszak után kell megtenni.

A klasszikus megoldásban nagyon erős feltételezéseket használnak implicit módon, amelyek nem következnek a probléma feltételeiből:

1. Mindhárom bölcsnek ugyanazt az érvelési módszerét kell alkalmaznia. Ez a feltevés annál is inkább megalapozatlan, mivel a bölcseket gondolkodásuk eredetisége különbözteti meg. Például egyikük megpróbálhatja meghatározni a sapka színét a csillagok elrendezése alapján.

2. Feltételezzük, hogy a bölcsek megközelítőleg azonos, vagy legalábbis kiszámítható sebességgel gondolkodnak. Ilyen feltevés nélkül lehetetlen megállapítani a megfelelő érvelési lánchoz szükséges időt. Úgy gondolják, hogy ha egy bölcs érvelésében bizonyos következtetésre jutott, akkor a többiek is ezt tették. Ez a feltevés nagyon erős, de valahogy meg lehet békülni vele, hiszen ez a három nem tudta eldönteni, melyikük az okosabb.

3. Feltételezzük, hogy a bölcsek csak azután kezdik el megoldani a problémát, hogy feltették rájuk a kupakokat, és nem próbálnak a teszt megkezdése előtt végiggondolni a lehetséges megoldásokat. Ez nagyon furcsa, hiszen egy tesztben csak a fent leírt három lehetőség lehetséges, és természetesnek tűnik a válaszlehetőségek előre átgondolása. De egy ilyen lehetőség gyökeresen ellentmond a probléma szerzőjének szándékának, hiszen amint a bölcsek előre gondolkodnak, elvetik a rájuk erőltetett érvelési módszert.

4. Feltételezik, hogy a bölcs, miután kitalálta, milyen sapka van a fején, azonnal rohan, hogy jelentse. Ha a bölcs hallgat, akkor úgy gondolják, hogy nem találta ki a sapkája színét. De az ő feladata nem a sapka színének meghatározása, hanem szellemi fölényének bizonyítása. Óriási érdem, ha mindkét riválist fekete sapkában látod magad előtt, és sejted, hogy fehér sapka van a fejeden? Ez a bölcs egyszerűen jobb körülmények között volt, mint mások, és a gyors válasz nem bizonyítja a felsőbbrendűséget. Ha most ilyen helyzetben hallgat, akkor az egyik ellenfele a probléma szerzője által javasolt módszert alkalmazva tévesen úgy dönt, hogy a 3. helyzetben van, rossz választ ad, és bebizonyítja ostobaságát.

A fenti megjegyzésekből az következik a klasszikus megoldás önkényes feltevéseken alapul és nem tekinthető meggyőző magyarázatnak a győztes érvelésére.

Merek több magyarázattal is szolgálni.

1. megoldás. A nyertesnek szerencséje volt (b szituáció). Ez azonban kétségbe vonja a bíró tisztességét (mindenkit egyenlő helyzetbe kellett volna hoznia), másodszor pedig nem jelzi a bölcsesség jelenlétét a győztesben – elvégre szerencséje volt, ezért 1. megoldás nem tekinthető kielégítőnek.

2. megoldás . Az 1-3d helyzeteket előre átgondolva a győztes észrevehette, hogy mindenesetre röviddel a verseny kezdete után nyilatkoznia kell arról, hogy fehér sapkát visel. És akkor fontos volt elmondani mások előtt, különben még mindig veszít. Ezért a legjobb megoldás az volt, ha a verseny kezdete után azonnal bejelentette, hogy fehér sapkát visel, hogy ezt mások előtt megtehesse.

Vegyük észre, hogy ez a döntés feltételezi a bölcsek „hasonló gondolkodását” (de a győztes nagyobb előrelátását).

Ezenkívül egy ilyen győztes képes ésszerű kockázatot vállalni, ami csak megerősíti bölcsességét.

3. megoldás. Ahogy az a bölcsekre jellemző, a győztes kívülről nézhette a helyzetet. A bírónak – ha bölcs és tisztességes – egyenlő feltételeket kellett teremtenie a versenyzők között, és ez csak akkor lehetséges, ha mindannyian egyforma fehér sapkát viselnek.

Ez a döntés tűnik számomra a legbölcsebbnek és a legigazságosabbnak.

4. megoldás. A nyertes a csillagok elhelyezkedése alapján határozta meg a sapka színét.

Egy ilyen képesség kétségtelenül bizonyítja bölcsességét, de számomra érthetetlen marad.

pszichológiai gyakorlatok edzéshez

A rejtvény az agysapkákról

Három szerzetes bölcs ül. Egy járókelő odalép hozzájuk, és azt mondja:

- Olyan okos vagy, kitalálod a rejtvényt?

– Bármelyik – válaszolja az egyik bölcs.

- Akkor figyelj. Itt van három fehér sapkám és két fekete. Megkérlek benneteket, hogy csukjátok be a szemüket, és tegyetek mindegyikőtökre egy-egy sapkát. Aztán kinyitod a szemed, látni fogod mások sapkáját, de a tiédet nem. Ki kell találnia, milyen színű sapkát visel? Csukd be a szemed.

A fekete sapkákat elrejtette, a fehéreket pedig a bölcsekre tette, hogy lássák, mi van a többieken, de ne lássák, mi van magukon.

– És most – mondja a járókelő –, találd ki, ki milyen sapkát visel?

A bölcsek körülbelül 10 percig teljes csendben ültek. Hirtelen azt mondja az ember: „Fehér ruhát viselek!”

Hogy találta ki? Felhívjuk figyelmét, hogy nem kacsintottak, és nem adtak más jeleket egymásnak. A sapkák nem tükröződnek a szemekben. A nap nem süt.

Válasz a rejtvényre:

Az első bölcs a következőt gondolja: Ha én feketét viselek, akkor a második fehéret és feketét lát, és a következőket gondolja: Ha feketét viselek, akkor a harmadik azt mondja: fehéret viselek. Mert csak két fekete van. De ezt nem mondja. Szóval fehéret hordok. De a második sem azt mondja, hogy fehér ruhát visel. Ez azt jelenti – gondolja tovább az első –, hogy „nem feketét hordok, vagyis fehéret”.

rik

Ruslan

Flo

öt kalap. Három fekete és kettő fehér.

A válasz és a megoldás paradoxona:
Válasz:

Paradoxon: