Jegyzet: lásd még a többi szög trigonometrikus függvényeinek értéktáblázatát.

Szinusz, koszinusz, 45 fokos szög tangense (sin 45, cos 45, tg 45)

A szinusz 45, koszinusz 45 és érintő 45 fok táblázati értékei jelezve . Az alábbiakban bemutatjuk a módszert és az értékek kiszámításának helyességét egy tetszőleges derékszögű háromszögre.

A 45 fok π/4 radián. A koszinusz, szinusz és tangens pi/4 radián értékeinek képletei az alábbiakban találhatók (bár ezek azonosak).
Azaz pl. tan π/4 = barna 45 fokon

A TRIGONOMETRIAI FUNKCIÓK ÉRTÉKEI α=45°-ON

Hogyan lehet önállóan kiszámítani a sin cos tg 45 fok értékeit?

Szerkesszünk meg és tekintsünk egy ABC derékszögű háromszöget, amelynek szöge ∠ B = 45°. Oldalainak aránya alapján kiszámítjuk a trigonometrikus függvények értékét egy derékszögű háromszögben, 45 fokos szögben. Mivel a háromszög derékszögű, a szinusz, a koszinusz és az érintő függvények értéke megegyezik a megfelelő oldalak arányával.

Mivel a szinusz, koszinusz és érintő függvények értéke kizárólag a szög mértékétől (vagy radiánban kifejezett értéktől) függ, az általunk talált arányok a 45 szinusz, 45 koszinusz függvény értékei lesznek. és érintője 45 fok.

A derékszögű háromszög tulajdonságai szerint a C szög derékszögű és egyenlő 90 fokkal. Kezdetben megszerkesztettük a B szöget 45 fokos fokszámmal. Határozzuk meg az A szög értékét. Mivel egy háromszög szögeinek összege 180 fok, akkor

∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°
A C szög derékszögű és egyenlő 90 fokkal, a B szöget eredetileg 45 fokként határoztuk meg, így:
∠ A = 180° - ∠ VEL - ∠ B = 180° - 90° - 45° = 45°

Mivel ennek a háromszögnek két egymással egyenlő szöge van, akkor az ABC háromszög az téglalap alakú és egyben egyenlő szárú, amelyben mindkét láb egyenlő egymással: AC = BC.

Tegyük fel, hogy az oldalak hossza egy bizonyos számmal AC = BC = a. A lábak hosszának ismeretében kiszámítjuk a hipotenusz hosszát.

A Pitagorasz-tétel szerint: AB 2 = AC 2 + BC 2
Az AC és BC hosszokat helyettesítjük az a változóval, ekkor kapjuk:

AB 2 = a 2 + a 2 = 2a 2,

akkor AB=a √ 2.

Ennek eredményeként minden oldal hosszát kifejeztük egy derékszögű háromszög, amelynek szöge az a változón keresztül 45 fok.

Derékszögű háromszögben a trigonometrikus függvények tulajdonságai szerint a háromszög megfelelő oldalainak aránya egyenlő lesz a megfelelő függvények értékével. Tehát α = 45 fokos szög esetén:

sin α = BC / AB(a derékszögű háromszög szinuszának definíciója szerint ez a szemközti láb és a hipotenusz aránya, BC - láb, AB - hipotenusz)

cos α = AC / AB(a koszinusz definíciója szerint ez a szomszédos láb és a hypotenus aránya, AC a láb, AB a hipotenusz)

tg α = BC / AC(hasonlóan, az α szög érintője egyenlő lesz az ellenkező oldal és a szomszédos oldal arányával)

Az oldalak kijelölése helyett a hosszuk értékét az a változóval helyettesítjük.

Ennek alapján (lásd az értéktáblázatot sin 45, cos 45, tg 45) kapjuk:

Táblázat értékek sin 45, cos 45, tg 45(vagyis az érték szinusz 45, koszinusz 45 és érintő 45 fokok egy adott háromszög megfelelő oldalainak arányaként számíthatók), behelyettesítjük a képletbe a fent kiszámított oldalhosszak értékeit, és az alábbi képen kapjuk meg az eredményt.

A táblázat értékei: szinusz 45, koszinusz 45 és érintő 45 fok

Így:

• 45 fokos érintője egyenlő eggyel
• A 45 fokos szinusz egyenlő a 45 fokos koszinuszával, és egyenlő a kettő gyökével a felében (ugyanaz, mint az egyik osztva kettő gyökével)

Amint az a fenti számításokból látható, a megfelelő trigonometrikus függvény értékeinek kiszámításához nem a háromszög oldalainak hossza a fontos, hanem azok aránya, amely ugyanazon szögeknél mindig azonos. , függetlenül egy adott háromszög méretétől.

Szinusz, koszinusz és tangens π/4 radián

A középiskolai és a külső oktatási teszt/egységes államvizsgán megoldásra javasolt feladatokban a szög fokszáma helyett gyakran találkozunk a radiánban mért nagyságrenddel. A radiánban kifejezett szögmérték a pi számon alapul, amely a kör kerületének az átmérőjétől való függését fejezi ki.

A könnyebb érthetőség kedvéért javaslom, hogy emlékezzen egyszerű elv a fokok radiánra konvertálásához. A kör átmérője 180 fokos ívet fed le. Így a pi radián 180 fokkal lesz egyenlő. Ahonnan könnyen át lehet számítani a szög bármely fokát radiánra és fordítva.

Ezt vegyük figyelembe 45 fokos szög radiánban kifejezve, egyenlő (180 / 45 = 4) π/4 (pi-négy). Ezért az általunk talált értékek ugyanazon szögmértékre helyesek, radiánban kifejezve:

• érintő π/4(pi négy felett) egyenlő eggyel
• szinusz π/4(pi szor négy) fok egyenlő koszinusz π/4 fok, és egyenlő a kettő gyökével a felében

Sarok: ° π rad =

Konvertálás: radián fok 0 - 360° 0 - 2π pozitív negatív Számítás

Amikor a vonalak metszik egymást, négy különböző terület van a metszésponthoz képest.
Ezeket az új területeket ún sarkok.

A képen 4 különböző szög látható, amelyet az AB és CD egyenesek metszéspontja alkot

A szögeket általában fokban mérik, amelyet °-val jelölünk. Amikor egy objektum egy teljes kört tesz meg, azaz a D pontból B-n, C-n, A-n át, majd vissza D-be mozog, akkor azt mondjuk, hogy 360 fokkal (360°-kal) elfordult. Tehát egy fok egy kör $\frac(1)(360)$.

360 foknál nagyobb szögek

Beszéltünk arról, hogy amikor egy objektum egy pont körül teljes kört tesz meg, akkor 360 fokot tesz meg, de ha egy objektum egynél több kört tesz meg, akkor 360 foknál nagyobb szöget zár be. Ez gyakori jelenség a mindennapi életben. A kerék az autó mozgása közben sok kört megkerül, vagyis több mint 360°-os szöget zár be.

Annak érdekében, hogy megtudjuk a ciklusok (teljesített körök) számát egy objektum elforgatásakor, megszámoljuk, hányszor kell önmagához hozzáadnunk a 360-at, hogy egy adott szöggel egyenlő vagy annál kisebb számot kapjunk. Ugyanígy találunk egy számot, amelyet megszorozunk 360-zal, hogy egy kisebb, de az adott szöghöz legközelebb eső számot kapjunk.

2. példa
1. Határozza meg a szöget alkotó objektum által leírt körök számát!
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Megoldás
a) 380 = (1 × 360) + 20
Az objektum egy kört és 20°-ot írt le
Mivel 20 $^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ kör
Az objektum $1\frac(1)(18)$ köröket írt le.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Az objektum két kört és 50°-ot írt le
50 USD^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ kör
Az objektum egy kör $2\frac(5)(36)$-ját írta le
c) 2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
280 $^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ körök
Az objektum $2\frac(7)(9)$ köröket írt le

Amikor egy tárgy az óramutató járásával megegyező irányban forog, negatív forgásszöget, az óramutató járásával ellentétes forgásszöget pedig pozitív szöget alkot. Eddig csak a pozitív szögeket vettük figyelembe.

Diagram formájában a negatív szög az alábbiak szerint ábrázolható.

Az alábbi ábra a szög előjelét mutatja, amelyet egy közös egyenesből, a 0 tengelyből (x-tengely - x-tengely) mérünk.

Ez azt jelenti, hogy ha van negatív szög, akkor ennek megfelelő pozitív szöget kaphatunk.
Például egy függőleges vonal alsó része 270°. Negatív irányban mérve -90°-ot kapunk. Egyszerűen kivonjuk a 270-et 360-ból. Adott egy negatív szög, hozzáadunk 360-at, hogy megkapjuk a megfelelő pozitív szöget.
Ha a szög -360°, az azt jelenti, hogy a tárgy az óramutató járásával megegyezően egynél több kört tett meg.

3. példa
1. Keresse meg a megfelelő pozitív szöget!
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) -670°

2. Keresse meg a megfelelő negatív szöget: 80°, 167°, 330° és 1300°!
Megoldás
1. Ahhoz, hogy megtaláljuk a megfelelő pozitív szöget, 360-at adunk a szög értékéhez.
a) -35° = 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60° = 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180° = 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670° = 360 + (-670) = -310
Ez egy kört jelent az óramutató járásával megegyező irányban (360)
360 + (-310) = 50°
A szög 360 + 50 = 410°

2. Ahhoz, hogy megkapjuk a megfelelő negatív szöget, a szögértékből levonunk 360-at.
80° = 80-360 = -280°
167° = 167-360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (egy kör teljesítve)
940-360 = 580 (a második kör befejezve)
580 - 360 = 220 (a harmadik kör befejezve)
220-360 = -140°
A szög -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Így 1300° = -1220°

Radian

A radián a kör középpontjától bezárt szög, amely egy olyan ívet zár be, amelynek hossza megegyezik a kör sugarával. Ez a szögnagyság mértékegysége. Ez a szög körülbelül 57,3°.
A legtöbb esetben ezt így jelölik boldog.
Így $1 rad \kb. 57,3^(\circ)$

Sugár = r = OA = OB = AB
A BOA szög egyenlő egy radiánnal

Mivel a kerületet a következőképpen adjuk meg: $2\pi r$, akkor a körben $2\pi$ sugarak vannak, így az egész körben $2\pi$ radiánok vannak.

A radiánokat általában $\pi$-ban fejezik ki, hogy elkerüljék a tizedesjegyeket a számításokban. A legtöbb könyvben a rövidítés boldog nem fordul elő, de az olvasónak tudnia kell, hogy ha szögről van szó, azt $\pi$-ban adják meg, és a mértékegységek automatikusan radiánokká válnak.

360 USD^(\circ) = 2\pi\rad$
180 $^(\circ) = \pi\rad$
90 $^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$

30 $^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$

45 USD^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$

60 $^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$

270 USD^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

4. példa
1. A $\pi$ használatával konvertálja át a 240°, 45°, 270°, 750° és 390°-ot radiánná.
Megoldás
Szorozzuk meg a szögeket $\frac(\pi)(180)$-val.

240 USD^(\circ) = 240 \times \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$

120 USD^(\circ) = 120 \times \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$

270 USD^(\circ) = 270 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$

750 USD^(\circ) = 750 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$

390 USD^(\circ) = 390 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. Alakítsa át a következő szögeket fokokká.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) 3,12 USD\pi$
c) 2,4 radián
Megoldás
180 USD^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) 3,12 USD\pi = 3,12 \x 180 = 561,6^(\circ)$
c) 1 rad = 57,3°
2,4 USD = \frac(2,4 \x 57,3) (1) = 137,52 USD

Negatív szögek és $2\pi$ radiánnál nagyobb szögek

A negatív szög pozitívvá alakításához hozzáadjuk a $2\pi$ értékhez.
A pozitív szög negatívvá alakításához kivonjuk belőle a $2\pi$-t.

5. példa
1. Alakítsa át a $-\frac(3)(4)\pi$ és $-\frac(5)(7)\pi$ pozitív szögekre radiánban.

Megoldás
Adjunk hozzá $2\pi$-t a szöghez
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$

$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$

Ha egy objektum $2\pi$;-nál nagyobb szöggel elfordul, akkor egynél több kört tesz meg.
Annak érdekében, hogy meghatározzuk a fordulatok (körök vagy ciklusok) számát egy ilyen szögben, találunk egy számot, megszorozva $2\pi$-val, az eredmény egyenlő vagy kisebb, de a lehető legközelebb ehhez a számhoz.

6. példa
1. Határozza meg a tárgy által adott szögekben bejárt körök számát!
a) -10 $\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$

Megoldás
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
A $-2\pi$ egy ciklust jelent az óramutató járásával megegyező irányban, ez azt jelenti
a tárgy az óramutató járásával megegyező 5 ciklust tett meg.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ félciklus
a tárgy négy és fél ciklust tett meg az óramutató járásával ellentétes irányba

c) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ egyenlő a ciklus $(\frac(1.5\pi)(2) háromnegyedével \pi)=\frac(3)(4))$
az objektum az óramutató járásával ellentétes irányban egy és háromnegyed cikluson ment keresztül

A SÍK SZÖGEI ÉS MÉRÉSE. Egy pontból kiinduló két sugár által alkotott síkon lévő ábra O, szögnek nevezzük . Sugarak O.A.És O.B. a szög oldalainak és a pontnak nevezzük O tetejére. Szög oldalakkal O.A.És O.B. jelöli P AOB.

A szögeket összehasonlítják, összeadják, mérik. Egyenlőek, ha mozgatással kombinálhatók. Két szöget szomszédosnak nevezünk (1. ábra), ha van közös csúcsuk és az egyik oldaluk, a másik kettő pedig egyenest alkot. Általában azokat a szögeket, amelyeknek közös csúcsa és egy közös oldala van, szomszédosnak nevezzük (2. ábra). A szögeket függőlegesnek nevezzük (3. ábra), ha az egyik oldala túlnyúlik a másik oldalának tetején. A függőleges szögek egyenlőek egymással. Azt a szöget, amelynek oldalai egyenest alkotnak, kihajtottnak nevezzük (4. ábra). A szomszédos szöget derékszögnek nevezzük. A derékszögnél kisebb szög a derékszögnél nagyobb, de az egyenesnél kisebb szög tompaszög.

Ha két, ugyanabban a síkban fekvő egyenes metszi egy harmadik egyenest, szögek alakulnak ki (5. ábra). 1 és 5, 2 és 6, 4 és 8, 3 és 7 megfelelőnek nevezzük; 2 és 5, 3 és 8 – belső egyoldalas; 1 és 6, 4 és 7 – külső egyoldalas; 3 és 5, 2 és 8 – belül keresztben fekve; 1 és 7, 4 és 6 – kívül keresztben fekve.

Ha a gerenda O.C. bemegy a sarokba AOB(6. ábra), akkor definíció szerint az a szög AOC, mint a szög KUKORICACSŐ, kisebb, mint a szög AOBés az a szög AOB egyenlő a szögek összegével AOCÉs KUKORICACSŐ. Bármely meghatározott szöget mértékegységnek véve bármely szög nagyságát meghatározzuk, azaz. keresse meg, hogy egy adott egységszög hányszor fér bele. Szögméréskor két tulajdonságából indulunk ki, amelyek hasonlóak egy szakasz hosszának tulajdonságaihoz: 1) egyenlő szögek nagysága egyenlő, 2) két szög összegének nagysága egyenlő a nagyságuk összege.

Ha figyelembe vesszük azokat a szögeket, amelyek csúcsa a kör középpontja, az oldalai pedig a sugarak, akkor megjegyezhetjük, hogy az egyenlő szögek egyenlő íveket vágnak ki a körből, és a szögek összege az összegnek felel meg. az általuk alávetett ívek közül. Ezért a szög nagysága arányos az általa bevágott ív hosszával, és a mértékegységek megadhatók úgy, hogy megadjuk, hogy a kör mely részét alkotja a megfelelő ív.

Általában két szögmérő rendszert használnak: fokozatÉs radián.

A mértékrendszerben a mértékegység a kör 1/360-át mérő ív (°-val). Egy fok 60 percre oszlik (jelölése "), egy perc 60 másodpercre (jelölése ""). A mérések szexagezimalitása Babilonra emlékeztet, de volt egy másik fokozat is a történelemben. A nagy francia forradalom idején (1793) Franciaországban a decimális (metrikus) mértékrendszerrel bevezették a szögmérési centezimális rendszert. Ebben a derékszöget 100 fokra, egy fokot 100 percre, egy percet 100 másodpercre osztanak. Ezt a rendszert leggyakrabban geodéziai méréseknél alkalmazzák.

A matematikusok szívesebben használják a radián mértékét - a mértékegység az a szög, amelyben a sugárral egyenlő íve látható a kör közepétől. Ennek a szögnek a nagysága radián . Nem függ a kör sugarától és a körív helyzetétől. Mert a középpontból 180°-os szögben félkör látható, hossza pedig az 241 sugarak, majd radiánok 241 szor kisebb, mint a 180°-os szög, azaz. egy radián egyenlő 180° / 241 :

1 radián » 57,2958° » 57° 17"45""

Mind a radián, mind a fokrendszerben a szöget a szög mértékegysége méri. Az, hogy a név egy esetben (fokozatnál) feltüntetésre kerül, máskor (radiánnál) utal, nem játszik szerepet.

A radián mértéke, amelyet a középponttól számított tetszőleges sugárral leírt és a szög oldalai közé zárt ív hosszának az ív sugarához viszonyított arányában fejeznek ki, nem függ a hosszegység megválasztásától. A fokozat mértéke sem függ, mert ez egyben két hossz aránya is, nevezetesen a szög csúcsából leírt és az oldalai közé zárt ív hosszának az ív hosszához, amely egyenlő az azonos sugarú kör 1/360-ával.

Tehát nincs alapvető különbség egy szög fokszáma és radiánmértéke között, azonban a radiánmérték bevezetése lehetővé teszi számos képlet egyszerűbb formáját.

A leggyakoribb szögek fok- és radiánmértékei közötti összefüggést a következő táblázat tartalmazza

Közvetlen a szög 90°-ot tartalmaz, ill 241 /2 radián Az akut 0 és 90° vagy 0 és 0 között van 241 /2 radián, hülye – 90-től 180°-ig vagy attól kezdve 241 /2 to 241 . A derékszöget bezáró egyeneseket egymásra merőlegesnek nevezzük.

Gyakran fontos jelezni, hogy a szög mérése melyik irányban történik. Ha a csúcs körüli elforgatást szögmértéknek tekintjük KÖRÜLBELÜL, fordító gerenda O.A. pozicionálni O.B. akkor a szög mértékét pozitívnak tekintjük, ha az elforgatás az óramutató járásával ellentétes irányban történik, ellenkező esetben a szöget negatívnak tekintjük m. Így egy szög bármilyen valós szám lehet. A trigonometriában ez a megfontolás lehetővé teszi a trigonometrikus függvények tanulmányozását az argumentum bármely értékéhez.

Két olyan görbe közötti szög, amely egy közös pontból indul ki, ahol mindegyik görbének van egy bizonyos érintője, az ezen érintők által alkotott szög. A szög fogalmát a térben lévő különféle objektumokra általánosítják (diéder-, test- és poliéderszögek).