Mit jelent zárójelből kivenni a közös tényezőt? Hogyan találjuk meg a legkisebb közös nevezőt - fogalmat

Az a / b aritmetikai tört nevezője a b szám, amely egy egység törteinek nagyságát mutatja, amelyekből a tört áll. Az A / B algebrai tört nevezője a B algebrai kifejezés. A törtekkel való aritmetikai műveletek végrehajtásához a legkisebb közös nevezőre kell redukálni őket.

Szükséged lesz

• Az algebrai törtekkel való munkavégzéshez és a legkisebb közös nevező megtalálásához tudnia kell a polinomok faktorálását.

Utasítás

Tekintsük két n/m és s/t aritmetikai tört csökkentését a legkisebb közös nevezőre, ahol n, m, s, t egész számok. Nyilvánvaló, hogy ez a két tört bármely m-vel és t-vel osztható nevezőre redukálható. De igyekeznek a legalacsonyabb közös nevezőhöz vezetni. Ez egyenlő az adott törtek m és t nevezőinek legkisebb közös többszörösével. Egy szám legkisebb többszöröse (LMK) a legkisebb osztható az összes adott számmal egyszerre. Azok. esetünkben meg kell találnunk az m és t számok legkisebb közös többszörösét. Jelölve: LCM (m, t). Ezután a törteket megszorozzuk a megfelelőkkel: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Keressük meg három tört legkisebb közös nevezőjét: 4/5, 7/8, 11/14. Először bontsa ki az 5, 8, 14 nevezőket: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Ezután számítsa ki az LCM-et (5, 8, 14) szorzással a bővítmények legalább egyikében szereplő összes szám. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Vegye figyelembe, hogy ha egy tényező több szám bővítésében fordul elő (2. tényező a 8-as és 14-es nevezők bővítésében), akkor ezt a tényezőt vesszük nagyobb mértékben (esetünkben 2^3).

Tehát az általános fogadott. Ez egyenlő: 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Itt megkapjuk azokat a számokat, amelyekkel meg kell szoroznunk a törteket a megfelelő nevezőkkel, hogy a legkisebb közös nevezőre hozzuk őket. Azt kapjuk, hogy 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Az algebrai törtek csökkentése a legkisebb közös nevezőre az aritmetikai törtekkel analóg módon történik. Az érthetőség kedvéért nézzük meg a problémát egy példa segítségével. Legyen két tört (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) és (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Tényezőzzük mindkét nevezőt. Figyeljük meg, hogy az első tört nevezője tökéletes négyzet: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Mert

Ennek a módszernek akkor van értelme, ha a polinom foka nem kisebb kettőnél. Ebben az esetben a közös tényező nemcsak elsőfokú, hanem magasabb fokozatú binomiális is lehet.

Találni egy közös tényező A polinom kifejezéseihez számos transzformációt kell végrehajtani. A zárójelekből kivehető legegyszerűbb binomiális vagy monomiális lesz a polinom egyik gyökere. Nyilvánvaló, hogy abban az esetben, ha a polinomnak nincs szabad tagja, akkor az első fokon egy ismeretlen lesz - a polinom, amely egyenlő 0-val.

Nehezebb közös tényezőt találni, ha a szabad tag nem egyenlő nullával. Ekkor az egyszerű kiválasztási vagy csoportosítási módszerek alkalmazhatók. Például legyen egy polinom minden gyöke racionális, és a polinom összes együtthatója egész szám: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.

Írja fel a szabad tag összes osztóját! Ha egy polinomnak vannak racionális gyökei, akkor azok közé tartoznak. A kiválasztás eredményeként 2-es és -3-as gyököket kapunk. Ez azt jelenti, hogy ennek a polinomnak a közös tényezői az (y - 2) és (y + 3) binomiálisok lesznek.

A közös faktoring módszer a faktorizáció egyik összetevője. A fent leírt módszer akkor alkalmazható, ha a legmagasabb fokú együttható 1. Ha ez nem így van, akkor először egy sor transzformációt kell végrehajtani. Például: 2 év³ + 19 év² + 41 év + 15.

Helyettesítsd be a t = 2³·y³ alakot. Ehhez szorozzuk meg a polinom összes együtthatóját 4-gyel: 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Csere után: t³ + 19·t² + 82·t + 60. megtaláljuk a közös tényezőt, akkor a fenti módszert alkalmazzuk.

Ezen túlmenően a közös tényező megtalálásának hatékony módszere a polinom elemei. Különösen akkor hasznos, ha az első módszer nem, pl. A polinomnak nincs racionális gyöke. A csoportosítások azonban nem mindig egyértelműek. Például: Az y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 polinomnak nincs egész gyöke.

Használja a csoportosítást: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1) A polinom elemeinek közös tényezője (y² - 2).

A szorzás és osztás, akárcsak az összeadás és a kivonás, alapvető aritmetikai műveletek. Anélkül, hogy megtanulná a szorzási és osztási példák megoldását, az ember nem csak a matematika bonyolultabb ágainak tanulmányozása során fog sok nehézségbe ütközni, hanem még a leghétköznapibb ügyekben is. A szorzás és az osztás szorosan összefügg, és az egyik művelettel kapcsolatos példák és problémák ismeretlen összetevőit a másik művelettel számítjuk ki. Ugyanakkor világosan meg kell értenünk, hogy a példák megoldása során teljesen mindegy, hogy melyik objektumokat osztjuk vagy szorozzuk.

Szükséged lesz

• - szorzótábla;
• - számológép vagy papírlap és ceruza.

Utasítás

Írja le a szükséges példát. Címkézze fel az ismeretlent tényező mint egy X. Egy példa így nézhet ki: a*x=b. A példában szereplő a tényező és b szorzat helyett tetszőleges vagy számok lehetnek. Ne feledje a szorzás alapelvét: a tényezők helyének megváltoztatása nem változtatja meg a szorzatot. Annyira ismeretlen tényező x abszolút bárhol elhelyezhető.

Megtalálni az ismeretlent tényező egy példában, ahol csak két tényező van, csak el kell osztani a terméket az ismerttel tényező. Vagyis ez a következőképpen történik: x=b/a. Ha nehéznek találja az absztrakt mennyiségekkel való operációt, próbálja meg elképzelni ezt a problémát konkrét tárgyak formájában. Neked csak almád van, és mennyit fogsz megenni belőle, de nem tudod, hány almát kap mindenki. Például 5 családtagja van, és 15 alma van. Adja meg az egyes almák számát x-ként. Ekkor az egyenlet így fog kinézni: 5(alma)*x=15(alma). Ismeretlen tényező ugyanúgy megtalálható, mint a betűs egyenletben, vagyis osszon el 15 almát öt családtag között, végül kiderül, hogy mindegyik 3 almát evett.

Ugyanígy megtalálják az ismeretlent tényező a tényezők számával. Például a példa így néz ki: a*b*c*x*=d. Elméletileg keresse meg tényező ugyanúgy lehetséges, mint a későbbi példában: x=d/a*b*c. De az egyenletet egyszerűbb formába hozhatja, ha az ismert tényezők szorzatát egy másik betűvel jelöli - például m. Az a,b és c számok szorzásával keressük meg, hogy m egyenlő: m=a*b*c. Ekkor az egész példa m*x=d-ként ábrázolható, és az ismeretlen mennyiség egyenlő lesz x=d/m-vel.

Ha ismert tényezőés a szorzat tört, a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint a -val. De ebben az esetben emlékeznie kell a cselekvésekre. A törtek szorzásakor azok számlálói és nevezői megszorozódnak. Törtek osztásakor az osztalék számlálóját megszorozzuk az osztó nevezőjével, az osztalék nevezőjét pedig az osztó számlálójával. Vagyis ebben az esetben a példa így fog kinézni: a/b*x=c/d. Az ismeretlen mennyiség megtalálásához el kell osztani a terméket az ismert mennyiséggel tényező. Vagyis x=a/b:c/d =a*d/b*c.

Videó a témáról

jegyzet

Példák törtekkel történő megoldása során egy ismert tényező törtrésze egyszerűen megfordítható, és a művelet a törtek szorzataként hajtható végre.

A polinom a monomiumok összege. A monom több tényező szorzata, amelyek egy szám vagy egy betű. Fokozat Az ismeretlen az, hogy hányszor szorozzák meg önmagával.

Utasítás

Kérjük, adja meg, ha még nem tette meg. A hasonló monomiumok az azonos típusú monomiumok, azaz az azonos fokú, azonos ismeretlenekkel rendelkező monomiumok.

Vegyük például a 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² polinomot. Ennek a polinomnak két ismeretlenje van - x és y.

Csatlakoztasson hasonló monomokat. Az y második hatványával és x harmadik hatványával rendelkező monomiálisok y²*x³ formájúak lesznek, az y negyedik hatványával rendelkező monomiumok pedig érvényteleníteni fognak. Kiderült, hogy y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.

Vegyük az y-t fő ismeretlen betűnek. Keresse meg az ismeretlen y maximális fokát. Ez egy y²*x³ monom, és ennek megfelelően a 2. fokozat.

Vonja le a következtetést. Fokozat polinom 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² x-ben egyenlő hárommal, y-ben pedig kettővel.

Keresse meg a diplomát polinom√x+5*y y-val. Ez egyenlő y maximális fokával, azaz eggyel.

Keresse meg a diplomát polinom√x+5*y x-ben. Az ismeretlen x található, ami azt jelenti, hogy foka tört lesz. Mivel a gyök négyzetgyök, ezért x hatványa 1/2.

Vonja le a következtetést. Mert polinom√x+5*y az x hatvány 1/2 és az y hatvány 1.

Videó a témáról

Az algebrai kifejezések egyszerűsítése a matematika számos területén szükséges, beleértve a magasabb rendű egyenletek megoldását, a differenciálást és az integrációt. Számos módszert alkalmaznak, beleértve a faktorizációt is. Ennek a módszernek az alkalmazásához meg kell találnia és el kell készítenie egy általánost tényező mögött zárójelben.

A törtekkel kapcsolatos példák megoldásához meg kell tudni találni a legkisebb közös nevezőt. Az alábbiakban részletes utasításokat talál.

Hogyan találjuk meg a legkisebb közös nevezőt - fogalmat

A legkisebb közös nevező (LCD), egyszerű szavakkal, az a minimális szám, amely egy adott példában az összes tört nevezőjével osztható. Más szavakkal, a legkisebb közös többszörösnek (LCM) hívják. A NOS csak akkor használatos, ha a törtek nevezője eltérő.

Hogyan találjuk meg a legkisebb közös nevezőt - példák

Nézzünk példákat a NOC-ok megtalálására.

Számítsd ki: 3/5 + 2/15.

Megoldás (műveletek sorrendje):

• Megnézzük a törtek nevezőit, ügyeljünk arra, hogy eltérjenek, és a kifejezések minél rövidebbek legyenek.
• Megtaláljuk a legkisebb számot, amely osztható 5-tel és 15-tel is. Ez a szám 15 lesz. Így 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Kitaláltuk a nevezőt. Mi lesz a számlálóban? Egy további szorzó segít nekünk ennek kiderítésében. Egy további tényező az a szám, amelyet úgy kapunk, hogy az NZ-t elosztjuk egy adott tört nevezőjével. 3/5 esetén a járulékos tényező 3, mivel 15/5 = 3. A második törtnél a kiegészítő tényező 1, mivel 15/15 = 1.
• Miután megtaláltuk a járulékos tényezőt, megszorozzuk a törtek számlálóival, és összeadjuk a kapott értékeket. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Válasz: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Ha a példában nem 2, hanem 3 vagy több törtet adunk össze vagy vonunk ki, akkor az NCD-ben annyi törtre kell keresni, amennyi adott.

Számítsd ki: 1/2 – 5/12 + 3/6

Megoldás (műveletek sorrendje):

• A legkisebb közös nevező megtalálása. A 2-vel, 12-vel és 6-tal osztható legkisebb szám 12.
• A következőt kapjuk: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
• További szorzókat keresünk. 1/2 – 6; 5/12-re – 1; 3/6-2-ért.
• Megszorozzuk a számlálókkal, és hozzárendeljük a megfelelő jeleket: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Válasz: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

Továbbra is megértjük az algebra alapjait. Ma együtt fogunk dolgozni, nevezetesen olyan akciót fogunk fontolóra venni, mint pl a közös tényezőt zárójelbe téve.

Az óra tartalma

Az alapelv

A szorzás eloszlási törvénye lehetővé teszi, hogy egy számot összeggel szorozzon (vagy egy összeget egy számmal). Például a 3 × (4 + 5) kifejezés értékének meghatározásához megszorozhatja a 3-at a zárójelben lévő minden egyes taggal, és összeadhatja az eredményeket:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

A 3-as szám és a zárójelben lévő kifejezés felcserélhető (ez a szorzás kommutatív törvényéből következik). Ezután minden zárójelben lévő tagot megszorozunk 3-mal

(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15

Egyelőre nem számítjuk ki a 3 × 4 + 3 × 5 konstrukciót, és a kapott 12 és 15 eredményeket összeadjuk. Hagyjuk a kifejezést a formában 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. Az alábbiakban pontosan ebben a formában lesz szükségünk rá, hogy megértsük a közös tényező zárójelből való kiemelésének lényegét.

A szorzás eloszlási törvényét néha úgy is nevezik, hogy egy tényezőt zárójelbe teszünk. A 3 × (4 + 5) kifejezésben a 3-as tényező kimaradt a zárójelekből. A zárójelben lévő egyes tagokkal megszorozva lényegében a zárójelbe hoztuk. Az érthetőség kedvéért írhatod így is, bár nem szokás így írni:

3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)

Mivel a kifejezésben 3 × (4 + 5) a 3-as számot megszorozzuk minden egyes zárójelben lévő taggal, ez a szám a 4-es és az 5-ös tagok közös tényezője

Ahogy korábban említettük, ha ezt a közös tényezőt megszorozzuk a zárójelben lévő egyes tagokkal, akkor a zárójelbe helyezzük. De lehetséges a fordított folyamat is - a közös tényezőt vissza lehet venni a zárójelből. BAN BEN ebben az esetben kifejezésben 3×4 + 3×5 az általános szorzó jól látható - ez egy 3-as szorzó. Ki kell venni az egyenletből. Ehhez először írja fel magát a 3-as tényezőt

és mellette zárójelben a kifejezést írják 3×4 + 3×5 de a 3-as közös tényező nélkül, mivel ez a zárójelekből van kivéve

3 (4 + 5)

Ha a közös tényezőt zárójelből kivesszük, megkapjuk a kifejezést 3 (4 + 5) . Ez a kifejezés megegyezik az előző kifejezéssel 3×4 + 3×5

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Ha a kapott egyenlőség mindkét oldalát kiszámítjuk, akkor az azonosságot kapjuk:

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

27 = 27

Hogyan kerül ki a közös tényező a zárójelből?

A közös tényező zárójelen kívülre helyezése lényegében a közös tényező zárójelbe helyezésének fordított művelete.

Ha egy közös tényező zárójelben történő bevezetésekor ezt a tényezőt megszorozzuk a zárójelben lévő egyes tagokkal, akkor a zárójelen kívülre helyezve minden zárójelben lévő tagot el kell osztanunk ezzel a tényezővel.

Kifejezésben 3×4 + 3×5, amiről fentebb volt szó, ez történt. Minden tagot elosztottunk egy közös 3-as tényezővel. A 3 × 4 és 3 × 5 szorzatok tagok, mert ha ezeket kiszámoljuk, akkor a 12 + 15 összeget kapjuk.

Most részletesen láthatjuk, hogyan kerül ki az általános tényező a zárójelekből:

Látható, hogy először a 3-as közös tényezőt vesszük ki a zárójelből, majd zárójelben minden tagot elosztunk ezzel a közös tényezővel.

Az egyes tagok közös tényezővel való osztását nemcsak a számlálónak a nevezővel való osztásával lehet elvégezni, amint az fent látható, hanem e törtek csökkentésével is. Mindkét esetben ugyanazt az eredményt kapja:

Megnéztük a legegyszerűbb példát egy közös tényező zárójelből való kiemelésére, hogy megértsük az alapelvet.

De nem minden olyan egyszerű, mint amilyennek első pillantásra tűnik. Miután a számot megszoroztuk a zárójelben lévő egyes tagokkal, az eredményeket összeadjuk, és a közös tényező eltűnik a szemből.

Térjünk vissza a 3. példánkhoz (4 + 5). Alkalmazzuk a szorzás eloszlási törvényét, azaz szorozzuk meg a 3-at minden egyes zárójelben lévő taggal, és adjuk össze az eredményeket:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

A 3 × 4 + 3 × 5 konstrukció kiszámítása után az új 12 + 15 kifejezést kapjuk. Látjuk, hogy a 3-as közös tényező eltűnt a látókörből. Most a kapott 12 + 15 kifejezésben próbáljuk meg visszavenni a közös tényezőt a zárójelekből, de ahhoz, hogy ezt a közös tényezőt ki tudjuk venni, először meg kell találnunk.

Általában a feladatok megoldása során pont olyan kifejezésekkel találkozunk, amelyekben először meg kell találni a közös tényezőt, mielőtt kivehető.

Ahhoz, hogy a 12 + 15 kifejezésben a zárójelekből kivegye a közös tényezőt, meg kell találnia a 12 és 15 kifejezések legnagyobb közös tényezőjét (GCD). A talált GCD lesz a közös tényező.

Tehát keressük meg a 12-es és 15-ös számok GCD-jét. Emlékezzünk vissza, hogy a GCD megtalálásához az eredeti számokat prímtényezőkre kell bontani, majd ki kell írni az első bontást, és eltávolítani belőle azokat a tényezőket, amelyek nem szerepelnek a felbontásban. a második számról. A fennmaradó tényezőket meg kell szorozni a kívánt gcd eléréséhez. Ha ezen a ponton nehézségei vannak, feltétlenül ismételje meg.

A 12 és 15 GCD a 3. Ez a szám a 12 és 15 kifejezések közös tényezője. A zárójelből ki kell venni. Ehhez először magát a 3-as tényezőt írjuk fel és mellé zárójelben írunk egy új kifejezést, amelyben a 12 + 15 kifejezés minden tagja el van osztva egy közös 3-mal.

Nos, a további számítás nem nehéz. A zárójelben lévő kifejezés könnyen kiszámítható - tizenkettő osztva hárommal az négy, A tizenöt osztva hárommal az öt:

Így, ha a 12 + 15 kifejezésben a közös tényezőt zárójelből kivesszük, a 3(4 + 5) kifejezést kapjuk. A részletes megoldás a következő:

A rövid megoldás kihagyja a jelölést, amely megmutatja, hogy az egyes kifejezések hogyan vannak osztva egy közös tényezővel:

2. példa 15 + 20

Keressük meg a 15. és 20. kifejezés gcd-jét

A 15 és 20 GCD az 5. Ez a szám a 15 és 20 kifejezések közös tényezője. Vegyük ki a zárójelekből:

Az 5(3 + 4) kifejezést kaptuk. Az eredményül kapott kifejezés ellenőrizhető. Ehhez csak szorozza meg az ötöt a zárójelben lévő egyes kifejezésekkel. Ha mindent jól csináltunk, akkor a 15 + 20 kifejezést kell kapnunk

3. példa Vegye ki a közös tényezőt a zárójelekből a 18+24+36 kifejezésből

Keressük meg a gcd-t a 18., 24. és 36. kifejezésekhez. A megtalálásához ezeket a számokat prímtényezőkbe kell beszámítani, majd meg kell keresni a közös tényezők szorzatát:

A 18, 24 és 36 GCD-je a 6. Ez a szám a 18, 24 és 36 kifejezések közös tényezője. Vegyük ki a zárójelből:

Ellenőrizzük az eredményül kapott kifejezést. Ehhez szorozza meg a 6-os számot minden egyes zárójelben lévő taggal. Ha mindent jól csináltunk, akkor a 18+24+36 kifejezést kapjuk

4. példa Vegye ki a közös tényezőt a zárójelekből a 13 + 5 kifejezésben

A 13 és 5 tagok prímszámok. Csak egyre és önmagukra bomlanak:

Ez azt jelenti, hogy a 13. és 5. kifejezésnek nincs más közös tényezője, mint egy. Ennek megfelelően nincs értelme ezt az egységet kihagyni a zárójelből, mivel nem ad semmit. Mutassuk meg ezt:

5. példa. Vegye ki a közös tényezőt a zárójelekből a 195+156+260 kifejezésből

Keressük meg a gcd-t a 195, 156 és 260 kifejezésekhez

A 195, 156 és 260 GCD-je a 13. Ez a szám a 195, 156 és 260 kifejezések közös tényezője. Vegyük ki a zárójelből:

Ellenőrizzük az eredményül kapott kifejezést. Ehhez szorozzuk meg a 13-at a zárójelben lévő egyes kifejezésekkel. Ha mindent jól csináltunk, akkor a 195+156+260 kifejezést kapjuk

Az a kifejezés, amelyben a közös tényezőt ki kell venni a zárójelekből, nemcsak számok összege lehet, hanem különbség is. Például vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből a 16 − 12 − 4 kifejezésben. A 16, 12 és 4 számok legnagyobb közös tényezője a 4. Vegyük ki ezt a számot a zárójelekből:

Ellenőrizzük az eredményül kapott kifejezést. Ehhez szorozzon négyet minden egyes zárójelben lévő számmal. Ha mindent jól csináltunk, akkor a 16 − 12 − 4 kifejezést kell kapnunk

6. példa. Vegye ki a közös tényezőt a zárójelekből a 72+96−120 kifejezésből

Keressük meg a GCD-t a 72, 96 és 120 számokhoz

A 72, 96 és 120 GCD-je a 24. Ez a szám a 195, 156 és 260 kifejezések közös tényezője. Vegyük ki a zárójelből:

Ellenőrizzük az eredményül kapott kifejezést. Ehhez szorozza meg a 24-et a zárójelben lévő számokkal. Ha mindent jól csináltunk, akkor a 72+96−120 kifejezést kapjuk

A zárójelből kivett általános tényező negatív is lehet. Például vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből a −6−3 kifejezésben. Ebben a kifejezésben kétféleképpen lehet kivenni a közös tényezőt a zárójelekből. Nézzük meg mindegyiket.

1. módszer.

Helyettesítsük a kivonást összeadásra:

−6 + (−3)

Most megtaláljuk a közös tényezőt. Ennek a kifejezésnek a közös tényezője a −6 és −3 tagok legnagyobb közös osztója lesz.

Az első tag modulusa 6. A második tag modulusa pedig 3. GCD(6 és 3) egyenlő 3-mal. Ez a szám a 6 és 3 tagok közös tényezője. Vegyük ki a zárójelből:

Az így kapott kifejezés nem volt túl pontos. A sok zárójel és negatív szám nem teszi egyszerűvé a kifejezést. Ezért használhatja a második módszert, amelynek lényege, hogy a zárójelek közül nem 3-at, hanem −3-at teszünk ki.

2. módszer.

Csakúgy, mint legutóbb, a kivonást összeadásra cseréljük.

−6 + (−3)

Ezúttal nem 3-at, hanem −3-at teszünk ki a zárójelbe

Az ezúttal kapott kifejezés sokkal egyszerűbbnek tűnik. Írjuk le rövidebben a megoldást, hogy még egyszerűbb legyen:

A negatív tényező zárójelből való kiemelésének az az oka, hogy a −6 és (−3) számok kiterjesztése kétféleképpen írható: először a szorzót negatívvá, a szorzót pedig pozitívvá tenni:

−2 × 3 = −6

−1 × 3 = −3

a második esetben a szorzó pozitív, a szorzó pedig negatív:

2 × (-3) = -6

1 × (-3) = -3

Ez azt jelenti, hogy szabadon kitesszük a zárójelbe a kívánt tényezőt.

8. példa. Vegye ki a közös tényezőt a zárójelből a −20−16−2 kifejezésben

Helyettesítsük a kivonást összeadásra

−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)

A −20, −16 és −2 kifejezések legnagyobb közös tényezője a 2. Ez a szám ezeknek a kifejezéseknek a közös tényezője. Lássuk, hogyan néz ki:

−10 × 2 = −20

−8 × 2 = −16

−1 × 2 = −2

De az adott bővítések helyettesíthetők azonos kiterjesztésekkel. A különbség az lesz, hogy a közös tényező nem 2, hanem −2 lesz

10 × (-2) = -20

8 × (-2) = -16

1 × (-2) = -2

Ezért a kényelem kedvéért a zárójelek közül nem 2-t, hanem −2-t tehetünk ki

Röviden írjuk le a fenti megoldást:

És ha 2-t kivennénk a zárójelből, akkor egy nem teljesen pontos kifejezést kapnánk:

9. példa. Vegye ki a közös tényezőt a zárójelből a −30−36−42 kifejezésben

Helyettesítsük a kivonást összeadásra:

−30 + (−36) + (−42)

A −30, −36 és −42 tagok legnagyobb közös osztója a 6. Ez a szám ezeknek a tagoknak a közös tényezője. De nem 6-ot, hanem −6-ot veszünk ki, mivel a −30, −36 és −42 számok a következőképpen ábrázolhatók:

5 × (-6) = -30

6 × (-6) = -36

7 × (-6) = -42

A mínusz zárójelből kivéve

Problémamegoldáskor néha hasznos lehet a mínusz jelet zárójelbe tenni. Ez lehetővé teszi a kifejezés egyszerűsítését és sorrendbe állítását.

Tekintsük a következő példát. Vegyük ki a mínuszt a zárójelből a −15+(−5)+(−3) kifejezésben

Az érthetőség kedvéért tegyük ezt a kifejezést zárójelbe, mert a mínusz kivonásáról beszélünk ezekből a zárójelekből

(−15 + (−5) + (−3))

Tehát a mínusz zárójelből való kiemeléséhez a mínuszt a zárójelek elé kell írni, és az összes kifejezést zárójelbe kell írni, de ellentétes előjelekkel

A −15+(−5)+(−3) kifejezés zárójeléből kivettük a mínuszt, és −(15+5+3) lettünk. Mindkét kifejezés azonos értékkel –23

−15 + (−5) + (−3) = −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

Ezért a −15+(−5)+(−3) és −(15+5+3) kifejezések közé egyenlőségjelet tehetünk, mert ugyanazt a jelentést hordozzák:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

Valójában, ha a mínuszt kivesszük a zárójelekből, a szorzás eloszlási törvénye ismét működik:

a(b+c) = ab + ac

Ha felcseréljük ennek az azonosságnak a bal és jobb oldalát, akkor kiderül, hogy a faktor a zárójelben

ab + ac = a(b+c)

Ugyanez történik, ha kivesszük a közös tényezőt más kifejezésekből, és amikor a mínusz zárójelből.

Nyilvánvalóan a mínusz zárójelből való kihúzásakor nem a mínusz kerül ki, hanem a mínusz. Már mondtuk, hogy az 1-es együtthatót nem szokás rögzíteni.

Ezért a zárójelek előtt mínusz keletkezik, és a zárójelben lévő kifejezések előjele az ellenkezőjére változtatja, mivel minden tag mínusz eggyel van osztva.

Térjünk vissza az előző példához, és nézzük meg részletesen, hogy a mínusz valójában hogyan került ki a zárójelekből

2. példa Tegye a mínusz zárójelbe a −3 + 5 + 11 kifejezésbe

Tegyünk egy mínuszt, és mellé zárójelbe írjuk a −3 + 5 + 11 kifejezést ellentétes előjellel minden taghoz:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

Az előző példához hasonlóan itt is nem a mínusz kerül ki a zárójelből, hanem a mínusz egy. A részletes megoldás a következő:

Először a −1(3 + (−5) + (−11) kifejezést kaptuk, de kinyitottuk benne a belső zárójeleket, és a −(3 − 5 − 11) kifejezést kaptuk. A zárójelek bővítése a következő lecke témája, így ha ez a példa nehéz számodra, akkor most kihagyhatod.

A közös tényezőt a zárójelből kivenni a szó szerinti kifejezésben

Sokkal érdekesebb, ha szó szerint kivesszük a közös tényezőt a zárójelekből.

Először is nézzünk egy egyszerű példát. Legyen egy kifejezés 3 a + 2 a. Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből.

Ebben az esetben a teljes szorzó szabad szemmel látható - ez a szorzó a. Vegyük ki a zárójelekből. Ehhez felírjuk magát a szorzót aés mellé zárójelbe írjuk a kifejezést 3a + 2a, de szorzó nélkül a mivel ki van véve a zárójelből:

Mint egy numerikus kifejezésnél, itt is minden tagot elosztunk a kivett közös tényezővel. Ez így néz ki:

Változók mindkét törtben aáltal csökkentették a. a tetszőleges szám lehet. Ez a változó a számlálóban és a nevezőben is szerepelt. És ha a számláló és a nevező azonos számokkal rendelkezik, akkor a legnagyobb közös osztójuk maga ez a szám lesz.

Például ha változó helyett a cserélje ki a számot 4 , akkor a konstrukció a következő formában lesz: . Ezután mindkét tört négyesét 4-gyel csökkenthetjük:

Ugyanaz derül ki, mint korábban, amikor a négyek helyett egy változó volt a .

Ezért nem szabad megijedni a változók csökkenésétől. A változó teljes értékű szorzó, még akkor is, ha betűvel fejezzük ki. Egy ilyen szorzót ki lehet venni a zárójelekből, csökkenteni lehet, és más, a közönséges számoknál megengedett műveleteket is ki lehet venni.

A szó szerinti kifejezés nem csak számokat, hanem betűket (változókat) is tartalmaz. Ezért a zárójelből kivett közös tényező gyakran egy betűtényező, amely egy számból és egy betűből áll (együttható és változó). Például a következő kifejezések szó szerinti tényezők:

3a, 6b, 7ab, a, b, c

Mielőtt egy ilyen tényezőt zárójelbe tesz, el kell döntenie, hogy melyik szám kerüljön a közös tényező numerikus részébe, és melyik változó a közös tényező betűrészébe. Más szóval, meg kell találnia, hogy a közös tényezőnek milyen együtthatója lesz, és milyen változó lesz benne.

Tekintsük a 10-es kifejezést a+ 15a. Próbáljuk meg kivenni a közös tényezőt a zárójelekből. Először is döntsük el, hogy miből áll majd a közös tényező, vagyis megtudjuk az együtthatóját és azt, hogy milyen változó kerül bele.

A közös szorzó együtthatója a 10 literális kifejezés együtthatóinak legnagyobb közös osztója kell, hogy legyen a+ 15a.

10 és 15, legnagyobb közös osztójuk pedig az 5. Ez azt jelenti, hogy az 5-ös szám a zárójelből kivett közös tényező együtthatója lesz. a+ 15a Most döntsük el, hogy melyik változó szerepeljen a közös tényezőben. Ehhez meg kell nézni a 10-es kifejezést aés keresse meg az összes kifejezésben szereplő betűtényezőt. Ebben az esetben ez egy tényező a+ 15a. Ez a tényező a 10-es kifejezés minden tagjában szerepel a. Tehát a változó

szerepelni fog a közös tényező szó szerinti részében, amelyet a zárójelekből kivettünk: Most már csak a közös tényező kiszámítása van hátra 5a zárójelből. Ehhez felosztjuk a kifejezés minden tagját 10a + 15a Most már csak a közös tényező kiszámítása van hátra tovább

. Az egyértelműség kedvéért az együtthatókat és a számokat szorzójellel választjuk el (×) Most már csak a közös tényező kiszámítása van hátra Ellenőrizzük az eredményül kapott kifejezést. Ehhez szorozzuk meg zárójelből. Ehhez felosztjuk a kifejezés minden tagját

A betűtényezőt nem mindig lehet kivenni a zárójelből. Néha a közös tényező csak egy számból áll, mivel a kifejezésben semmi sem alkalmas a betűrészre.

Például vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből a kifejezésben 2a-2b. Itt a közös tényező csak a szám lesz 2 , és a betűtényezők között nincs közös faktor a kifejezésben. Ezért ebben az esetben csak a szorzót veszik ki 2

2. példa Húzza ki a közös tényezőt a kifejezésből 3x + 9 év + 12

Ennek a kifejezésnek az együtthatói számok 3, 9 És 12, a gcd-jük egyenlő 3 3 . A betűtényezők (változók) között pedig nincs közös tényező. Ezért a végső közös tényező az 3

3. példa Tegye a közös tényezőt zárójelek közé a kifejezésben 8x + 6y + 4z + 10 + 2

Ennek a kifejezésnek az együtthatói számok 8, 6, 4, 10 És 2, a gcd-jük egyenlő 2 . Ez azt jelenti, hogy a zárójelből kivett közös tényező együtthatója lesz a szám 2 . A betűtényezők között pedig nincs közös tényező. Ezért a végső közös tényező az 2

4. példa Vegye ki a közös tényezőt 6ab + 18ab + 3abc

Ennek a kifejezésnek az együtthatói számok 6, 18 és 3, a gcd-jük egyenlő 3 . Ez azt jelenti, hogy a zárójelből kivett közös tényező együtthatója lesz a szám 3 . A közös tényező szó szerinti része változókat fog tartalmazni aÉs b, mivel a kifejezésben 6ab + 18ab + 3abc ez a két változó mindegyik kifejezésben szerepel. Ezért a végső közös tényező az 3ab

Részletes megoldással a kifejezés nehézkessé, sőt érthetetlenné válik. Ebben a példában ez több mint észrevehető. Ez annak köszönhető, hogy a számlálóban és a nevezőben töröljük a tényezőket. A legjobb, ha ezt fejben csinálod, és azonnal leírod a felosztási eredményeket. Ezután a kifejezés rövid és tiszta lesz:

Ahogy a numerikus kifejezéseknél, úgy a literális kifejezéseknél is lehet a közös tényező negatív.

Például vegyük ki az általánost a zárójelekből a kifejezésben −3a − 2a.

A kényelem kedvéért a kivonást összeadásra cseréljük

−3a − 2a = −3a + (−2a )

Ebben a kifejezésben a közös tényező a faktor a. De nem csak azt vehetjük figyelembe a, de szintén −a. Vegyük ki a zárójelből:

Ügyes kifejezésnek bizonyult −a (3+2). Nem szabad elfelejteni, hogy a szorzó −a valójában úgy nézett ki −1aés a változók mindkét törtrészének csökkentése után a, mínusz egy marad a nevezőkben. Ezért a végén pozitív válaszokat kapunk zárójelben

6. példa. Tegye a közös tényezőt zárójelek közé a kifejezésben −6x − 6 év

Helyettesítsük a kivonást összeadásra

−6x−6y = −6x+(−6y)

Tegyük zárójelbe −6

Röviden írjuk le a megoldást:

−6x − 6y = −6(x + y)

7. példa. Tegye a közös tényezőt zárójelek közé a kifejezésben −2a − 4b − 6c

Helyettesítsük a kivonást összeadásra

−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)

Tegyük zárójelbe −2

Tetszett a lecke?
Csatlakozzon új VKontakte csoportunkhoz, és kapjon értesítéseket az új leckékről

Ebben a cikkben arra fogunk összpontosítani zárójelből kivéve a közös tényezőt. Először is nézzük meg, miből áll ez a kifejezéstranszformáció. Ezután bemutatjuk a közös tényező zárójelből való kihelyezésének szabályát, és részletesen megvizsgáljuk az alkalmazási példákat.

Oldalnavigáció.

Például a 6 x + 4 y kifejezésben szereplő kifejezések közös 2-es tényezővel rendelkeznek, amely nincs kifejezetten leírva. Ez csak akkor látható, ha a 6-ot 2,3 szorzataként, a 4-et pedig 2,2 szorzataként ábrázoljuk. Így, 6 x+4 év=2 3 x+2 2 év=2 (3 x+2 év). Egy másik példa: az x 3 +x 2 +3 x kifejezésben a kifejezéseknek van egy közös x tényezője, amely jól láthatóvá válik, ha x 3-at x x 2-vel (ebben az esetben használtunk), x 2-t x x-re cserélünk. A zárójelekből való kiemelés után x·(x 2 +x+3) -t kapunk.

Mondjuk külön a mínusz zárójelekbe való kitételéről. Valójában a mínusz zárójelekbe helyezése azt jelenti, hogy a mínusz egyet zárójelbe teszem. Például vegyük ki a mínuszt a −5−12·x+4·x·y kifejezésből. Az eredeti kifejezés átírható így (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, ahonnan jól látható a −1 közös tényező, amit kivesszük a zárójelekből. Ennek eredményeként a (−1)·(5+12·x−4·x·y) kifejezéshez jutunk, amelyben a −1 együtthatót egyszerűen mínuszra cseréljük a zárójelek előtt, aminek eredményeként −( 5+12·x−4·x· y) . Innen jól látható, hogy a mínusz zárójelből való kiemelésekor az eredeti összeg zárójelben marad, amelyben minden tagjának előjele az ellenkezőjére módosult.

A cikk végén megjegyezzük, hogy a közös tényező zárójelbe állítása nagyon széles körben használatos. Használható például a numerikus kifejezések értékeinek hatékonyabb kiszámítására. Egy közös tényező zárójelekből való kitétele lehetővé teszi a kifejezések szorzat formájában történő megjelenítését, a polinomok faktorálásának egyik módszere a zárójelezésen alapul.

Bibliográfia.

• Matematika. 6. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [N. Ya. Vilenkin és mások]. - 22. kiadás, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete