Határozza meg a kör sugarát. Egy egyenes és egy kör egymáshoz viszonyított helyzete

ÉS kör- geometriai formák összekapcsolódnak. van egy határvonal szaggatott vonal (görbe) kör,

Meghatározás. A kör egy zárt görbe, amelynek minden pontja egyenlő távolságra van a kör középpontjának nevezett ponttól.

A kör felépítéséhez egy tetszőleges O pontot választunk, amelyet a kör középpontjaként veszünk fel, és körzővel rajzolunk egy zárt vonalat.

Ha a kör középpontjának O pontja a kör tetszőleges pontjaihoz kapcsolódik, akkor az eredményül kapott szegmensek egyenlőek lesznek egymással, és az ilyen szakaszokat sugárnak nevezzük, rövidítve a latin kis vagy nagy „er” betűvel ( r vagy R). Egy körbe annyi sugarat rajzolhatsz, ahány pont van a kerületben.

A kör két pontját összekötő és a középpontján átmenő szakaszt átmérőnek nevezzük. Átmérő kettőből áll sugarak, ugyanazon az egyenes vonalon fekszik. Az átmérőt latin kis vagy nagy „de” betű jelzi ( d vagy D).

Szabály. Átmérő egy kör egyenlő annak kettőjével sugarak.

d = 2r
D=2R

A kör kerületét a képlet számítja ki, és a kör sugarától (átmérőjétől) függ. A képlet tartalmazza a ¶ számot, amely megmutatja, hogy a kerület hányszor nagyobb az átmérőjénél. A ¶ számnak végtelen számú tizedesjegye van. A számításokhoz ¶ = 3,14-et vettünk.

A kör kerületét a „tse” latin nagybetűvel jelöljük ( C). A kör kerülete arányos az átmérőjével. Képletek a kör kerületének a sugara és átmérője alapján történő kiszámításához:

C = ¶d
C = 2¶r

• Példák
• Adott: d = 100 cm.
• Kerület: C=3,14*100cm=314cm
• Adott: d = 25 mm.
• Kerület: C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm

Körmetsző és körív

Minden szekáns (egyenes) két pontban metszi a kört, és két ívre osztja. A körív mérete a középpont és a szekáns távolságától függ, és egy zárt görbe mentén mérik a szekáns és a kör első metszéspontjától a másodikig.

Arcs körök vannak osztva metsző dúrba és mollba, ha a szekáns nem esik egybe az átmérővel, és két egyenlő ívbe, ha a szekáns a kör átmérője mentén halad.

Ha egy szekáns áthalad egy kör középpontján, akkor a körrel való metszéspontok között elhelyezkedő szakasza a kör átmérője, vagy a kör legnagyobb húrja.

Minél távolabb helyezkedik el a szekáns a kör középpontjától, annál kisebb a kör kisebb ívének fokmérője és annál nagyobb a kör nagyobb íve, és a szekáns szakasza, ún. akkord, csökken, ahogy a szekáns távolodik a kör középpontjától.

Meghatározás. A kör egy sík része egy körön belül.

A kör középpontja, sugara és átmérője egyben a megfelelő kör középpontja, sugara és átmérője.

Mivel a kör egy sík része, egyik paramétere a terület.

Szabály. Egy kör területe ( S) egyenlő a sugár négyzetének szorzatával ( r 2) a ¶ számra.

• Példák
• Adott: r = 100 cm
• A kör területe:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Adott: d = 50 mm
• A kör területe:
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Ha egy körben két sugarat rajzolunk a kör különböző pontjaira, akkor a kör két része keletkezik, amelyeket ún. ágazatokban. Ha körbe rajzolunk egy húrt, akkor az ív és a húr közötti síkrészt hívjuk körszakasz.

Először is, értsük meg a különbséget a kör és a kör között. Ennek a különbségnek a megértéséhez elegendő figyelembe venni, hogy mi is a két szám. Ez végtelen számú pont a síkon, amelyek egy központi ponttól egyenlő távolságra helyezkednek el. De ha a kör belső térből is áll, akkor nem tartozik a körhöz. Kiderült, hogy a kör egyrészt egy kör, amely korlátozza azt (kör(r)), másrészt pedig számtalan olyan pont, amely a körön belül van.

A körön fekvő bármely L pontra érvényes az OL=R egyenlőség. (Az OL szakasz hossza megegyezik a kör sugarával).

A kör két pontját összekötő szakasz az akkord.

Közvetlenül a kör közepén áthaladó akkord az átmérő ez a kör (D). Az átmérő a következő képlettel számítható ki: D=2R

Kerület a következő képlettel számítjuk ki: C=2\pi R

Egy kör területe: S=\pi R^(2)

Egy kör íve Ennek azt a részét nevezzük, amely a két pontja között helyezkedik el. Ez a két pont egy kör két ívét határozza meg. Az akkord CD két ívet ölel fel: CMD és CLD. Azonos akkordok egyenlő íveket zárnak le.

Központi szög A két sugár közé eső szöget nevezzük.

Ív hossza képlet segítségével találhatjuk meg:

1. A fokmérő használata: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Radián mértékkel: CD = \alpha R

A húrra merőleges átmérő a húrt és az általa összehúzott íveket kettéosztja.

Ha egy kör AB és CD húrjai az N pontban metszik egymást, akkor az N ponttal elválasztott húrszakaszok szorzatai egyenlők egymással.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Egy kör érintője

Egy kör érintője Egy olyan egyenest szokás hívni, amelynek egy közös pontja van a körrel.

Ha egy egyenesnek két közös pontja van, akkor ún metsző.

Ha a sugarat az érintőpontra rajzolja, akkor az merőleges lesz a kör érintőjére.

Ebből a pontból húzzunk két érintőt a körünkhöz. Kiderül, hogy az érintőszegmensek egyenlőek lesznek egymással, és a kör középpontja a csúcsponttal bezárt szög felezőjén lesz ezen a ponton.

AC = CB

Most húzzunk egy érintőt és egy szekánst a körhöz a pontunkból. Azt kapjuk, hogy az érintőszakasz hosszának négyzete egyenlő lesz a teljes szekáns szakasz és külső részének szorzatával.

AC^(2) = CD \cdot BC

Megállapíthatjuk: az első szekáns egy teljes szegmensének és külső részének szorzata egyenlő a második szekáns egy teljes szegmensének és külső részének szorzatával.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Szögek egy körben

A középponti szög és az ív, amelyen nyugszik, mértéke egyenlő.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Beírt szög Olyan szög, amelynek csúcsa egy körön van, és oldalai húrokat tartalmaznak.

Kiszámolhatja az ív méretének ismeretében, mivel ez egyenlő ennek az ívnek a felével.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Átmérő, beírt szög, derékszög alapján.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Az azonos ívet bezáró beírt szögek azonosak.

Az egyik húron nyugvó beírt szögek azonosak, vagy összegük 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Ugyanazon a körön vannak az azonos szögű háromszögek csúcsai egy adott alappal.

Az a szög, amelynek csúcsa a körön belül és két húr között helyezkedik el, megegyezik az adott és a függőleges szögeken belüli körívek szögértékeinek felével.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \jobb)

Az a szög, amelynek csúcsa a körön kívül van, és két szekáns között helyezkedik el, megegyezik a szög belsejében lévő körívek szögértékei közötti különbség felével.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Beírt kör

Beírt kör egy kör, amely egy sokszög oldalait érinti.

Abban a pontban, ahol a sokszög sarkainak felezői metszik egymást, ott van a középpontja.

Egy kör nem írható be minden sokszögbe.

Egy kör alakú sokszög területét a következő képlet határozza meg:

S = pr,

p a sokszög fél kerülete,

r a beírt kör sugara.

Ebből következik, hogy a beírt kör sugara egyenlő:

r = \frac(S)(p)

A szemközti oldalak hosszának összege azonos lesz, ha a kört egy konvex négyszögbe írjuk. És fordítva: egy kör konvex négyszögbe illeszkedik, ha a szemközti oldalak hosszának összege azonos.

AB + DC = AD + BC

Bármelyik háromszögbe beírható egy kör. Csak egyetlenegy. A beírt kör középpontja azon a ponton lesz, ahol az ábra belső szögeinek felezőszögei metszik egymást.

A beírt kör sugarát a következő képlettel számítjuk ki:

r = \frac(S)(p) ,

ahol p = \frac(a + b + c)(2)

Circumcircle

Ha egy kör áthalad egy sokszög minden csúcsán, akkor egy ilyen kört általában hívnak sokszögről írták le.

Az ábra oldalainak merőleges felezőinek metszéspontjában lesz a körülírt kör középpontja.

A sugarat úgy kaphatjuk meg, hogy a sokszög bármely 3 csúcsával meghatározott háromszögre körülírt kör sugaraként számítjuk ki.

Ennek a feltétele a következő: egy kör csak akkor írható le egy négyszög körül, ha szemközti szögeinek összege 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

Bármely háromszög körül leírhat egy kört, és csak egyet. Egy ilyen kör középpontja azon a ponton lesz, ahol a háromszög oldalainak merőleges felezői metszik egymást.

A körülírt kör sugara a következő képletekkel számítható ki:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c a háromszög oldalainak hossza,

S a háromszög területe.

Ptolemaiosz tétele

Végül nézzük Ptolemaiosz tételét.

Ptolemaiosz tétele kimondja, hogy az átlók szorzata azonos egy ciklikus négyszög szemközti oldalainak szorzatával.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Kör- egy geometriai alakzat, amely a sík egy adott ponttól adott távolságra lévő összes pontjából áll.

Ezt a pontot (O) nevezzük a kör középpontja.
A kör sugara- ez egy szakasz, amely összeköti a középpontot a kör bármely pontjával. Minden sugár azonos hosszúságú (definíció szerint).
Akkord- a kör két pontját összekötő szakasz. A kör középpontján áthaladó akkordot nevezzük átmérő. A kör középpontja bármely átmérő felezőpontja.
A kör bármely két pontja két részre osztja. Ezen részek mindegyikét ún körív. Az ívet ún félkör, ha a végeit összekötő szegmens átmérőjű.
Az egységnyi félkör hosszát jelöli π .
Két közös végű körív fokszámainak összege egyenlő 360º.
A sík kör által határolt részét ún körös-körül.
Körkörös szektor- a körnek egy ív és két sugár által határolt része, amely összeköti az ív végeit a kör középpontjával. A szektort korlátozó ívet ún az ágazat íve.
Két olyan kört nevezünk, amelyeknek közös középpontja van körkörös.
Két derékszögben metsző kört nevezünk ortogonális.

Egy egyenes és egy kör egymáshoz viszonyított helyzete

1. Ha a kör középpontja és az egyenes távolsága kisebb, mint a kör sugara ( d), akkor az egyenesnek és a körnek két közös pontja van. Ebben az esetben a vonalat hívják metsző a körhöz képest.
2. Ha a kör középpontja és az egyenes távolsága egyenlő a kör sugarával, akkor az egyenesnek és a körnek csak egy közös pontja van. Ezt a vonalat hívják a kör érintője, és közös pontjuk az ún az egyenes és a kör közötti érintési pont.
3. Ha a kör középpontja és az egyenes távolsága nagyobb, mint a kör sugara, akkor az egyenes és a kör nincsenek közös pontjaik
.

Középső és beírt szögek

Központi szög olyan szög, amelynek csúcsa a kör középpontjában van.
Beírt szög- olyan szög, amelynek csúcsa egy körön fekszik, és oldalai metszik a kört.

Beírt szögtétel

A beírt szöget annak az ívnek a felével mérik, amelyre benyúlik.

• Következmény 1.
  Az azonos ívet bezáró beírt szögek egyenlőek.


• Következmény 2.
  A félkörrel bezárt beírt szög derékszög.

Tétel metsző akkordok szakaszainak szorzatáról.

Ha egy kör két húrja metszi egymást, akkor az egyik akkord szakaszainak szorzata egyenlő a másik akkord szakaszainak szorzatával.

Alapképletek

• Kerület:

• Körív hossza:

• Átmérő:

• Körív hossza:

• A kör területe:

• A körkörös szektor területe:

A kör egyenlete

• Téglalap alakú koordinátarendszerben a sugarú kör egyenlete a r egy pontban középre állítva C(x o;y o) alakja:

• Az origó középpontjával rendelkező r sugarú kör egyenlete a következő:

A kör egy görbe zárt egyenes egy síkon, amelynek minden pontja azonos távolságra van egy ponttól; ezt a pontot a kör középpontjának nevezzük.

A sík kör által határolt részét körnek nevezzük.

A kör egy pontját a középpontjával összekötő egyenes szakaszt sugárnak nevezzük(84. ábra).

Mivel a kör minden pontja azonos távolságra van a középponttól, akkor ugyanannak a körnek minden sugara egyenlő egymással. A sugarat általában betűvel jelöljük R vagy r.

A kör belsejében vett pont a kör középpontjától a sugárnál kisebb távolságra helyezkedik el. Ez könnyen ellenőrizhető, ha ezen a ponton áthúzunk egy sugarat (85. ábra).

A körön kívülre vett pont a középpontjától a sugárnál nagyobb távolságra helyezkedik el. Ez könnyen ellenőrizhető, ha ezt a pontot a kör középpontjához kötjük (85. ábra).

A kör két pontját összekötő egyenes szakaszt húrnak nevezzük.

A középponton áthaladó húrt átmérőnek nevezzük(84. ábra). Az átmérőt általában D betűvel jelölik. Az átmérő két sugárral egyenlő:

Mivel ugyanannak a körnek minden sugara egyenlő egymással, akkor egy adott kör összes átmérője egyenlő egymással.

Tétel. Az a húr, amely nem megy át a kör közepén, kisebb, mint az ugyanabban a körben megrajzolt átmérő.

Valójában, ha megrajzolunk valamilyen húrt, például AB-t, és összekötjük a végeit az O középponttal (86. ábra), látni fogjuk, hogy az AB húr kisebb, mint az AO ​​+OB szaggatott vonal, azaz AB r, és 2 óta r= D, majd AB

Ha a kört az átmérő mentén meghajlítják (87. ábra), akkor a kör és a kör mindkét része egybeesik. Az átmérő két egyenlő részre osztja a kört és a kerületet.

Két kört (két kört) egyenlőnek nevezünk, ha egymásra rakhatók úgy, hogy egybeesjenek.

Ezért két egyenlő sugarú kör (két kör) egyenlő.

2. Körív.

A kör egy részét ívnek nevezzük.

Az "ív" szót néha a \(\breve( )\) jel helyettesíti. Az ívet két vagy három betű jelöli, amelyek közül kettő az ív végén, a harmadik pedig az ív valamely pontján található. A 88. rajzon két ív látható: \(\breve(ACB)\) és \(\breve(ADB)\).

Ha egy ív kisebb, mint egy félkör, általában két betűvel jelölik. Így az ív ADB jelölése \(\breve(AB)\) (88. ábra). Az ív végeit összekötő húrról azt mondják, hogy aláfogja az ívet.

Ha az AC ívet (89. ábra, a) úgy mozgatjuk, hogy az az adott körön csússzon, és ha egyben egybeesik az MN ívvel, akkor \(\breve(AC)\) = \(\breve (NM)\).

A 89, b rajzon az AC és az AB ívek nem egyenlőek egymással. Mindkét ív az A pontban kezdődik, de az egyik ív \(\breve(AB)\) csak egy része a másik ívnek \(\breve(AC)\).

Ezért \(\breve(AC)\) > \(\breve(AB)\); \(\breve(AB)\)

Kör építése három pont felhasználásával

Feladat. Rajzolj kört három olyan ponton keresztül, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el.

Adjunk meg három olyan A, B és C pontot, amelyek nem ugyanazon az egyenesen fekszenek (311. ábra).

Kössük össze ezeket a pontokat az AB és BC szakaszokkal. Az A és B ponttól egyenlő távolságra lévő pontok kereséséhez osszuk ketté az AB szakaszt, és húzzunk egy, az AB-ra merőleges egyenest a közepén keresztül (M pont). Ennek a merőlegesnek minden pontja egyenlő távolságra van az A és B ponttól.

A B és C pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok megtalálásához a BC szakaszt kettéosztjuk, és a közepén (N pont) keresztül húzunk egy BC-re merőleges egyenest. Ennek a merőlegesnek minden pontja egyenlő távolságra van a B és C pontoktól.

E merőlegesek metszéspontjának O pontja azonos távolságra lesz ezektől az A, B és C pontoktól (AO = BO = CO). Ha az O pontot az AO-val egyenlő sugarú kör középpontjának vesszük, kört rajzolunk, akkor az áthalad az összes megadott A, B és C ponton.

Az O pont az egyetlen pont, amely a három A, B és C ponton átmenő kör középpontjaként szolgálhat, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, mivel az AB és BC szakaszokra két merőleges csak egy pontban metszi egymást. Ez azt jelenti, hogy a problémának egyedi megoldása van.

Jegyzet. Ha három A, B és C pont egy egyenesen fekszik, akkor a feladatnak nem lesz megoldása, mivel az AB és BC szakaszok merőlegesei párhuzamosak lesznek, és nem lesz olyan pont, amely egyenlő távolságra van az A, B, C pontoktól. , azaz egy pont, amely a kívánt kör középpontjaként szolgálhat.

Ha az A és C pontot összekötjük egy szakasszal, és ennek a szakasznak a közepét (K pontot) összekötjük az O kör középpontjával, akkor az OK merőleges lesz AC-re (311. ábra), mivel az AOC egyenlő szárú háromszögben az OK a medián, ezért OK⊥AC.

Következmény. A felezőpontjukon áthúzott háromszög oldalaira három merőleges metszi egymást egy pontban.

Kör egy olyan ábra, amely a síkon egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő összes pontból áll. Ezt a pontot a kör középpontjának nevezzük.

A nulla sugarú kör (elfajult kör) néha ki van zárva a definícióból.

Enciklopédiai YouTube

1 / 5

Kör és tulajdonságai (bezbotvy)

Beírt és körülírt kör - bezbotvytól

Matematika: felkészítés az OGE-re és az egységes államvizsgára. Planimetria. Körök és tulajdonságaik

Matematika 26. Iránytűk. Kör és kör - Shishkina iskola

KÖR EGYENLET. 18. FELADAT (C5). ARTHUR SHARIFOV

Feliratok

Kijelölés

Ha egy kör áthalad például az A, B, C pontokon, akkor azt a következő pontok zárójelben való feltüntetésével jelöljük: (A, B, C). Ekkor az A, B, C pontokon áthaladó körívet ABC ívnek (vagy AC ívnek), valamint υ ABC (vagy υ AC) ívnek jelöljük.

Egyéb meghatározások

• Átmérőjű kör AB A, B AB derékszögben látható (Definíció a szögön keresztül a kör átmérője alapján).

• Kör akkorddal AB pontokból álló figura A, Bés a sík összes pontja, ahonnan a szakasz AB az egyik oldalon állandó szögben látható, egyenlő az AB ív beírt szöge, és egy másik állandó szögben a másik oldalon, ami egyenlő 180 fokkal mínusz az AB ív beírt szöge, fent jelzett (Definíció beírt szögön keresztül).
• Olyan pontokból álló ábra X , (\displaystyle X,) hogy a szakaszok hosszának aránya FEJSZEÉs BXállandóan: A X B X = c ≠ 1 , (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,) egy kör (Definíció Apollonius körén keresztül).
• Az összes olyan pontból álló alakzat, amelyeknél a két adott pont távolságának négyzetösszege egyenlő egy adott értékkel, amely nagyobb, mint az adott pontok közötti távolság négyzetének a fele, szintén kör (definíció: a Pitagorasz-tétel egy tetszőleges derékszögű háromszögre, amely egy körbe írt hipotenuzszal, amely a kör átmérője).
• M húzz bele minden akkordot AB, CD, E.F. stb., akkor az egyenlőségek érvényesek: A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\pontok). Az egyenlőségek mindig teljesülnek, függetlenül a választott ponttól Més a rajta keresztül húzott akkordok irányai (Definíció metsző akkordokon keresztül).
• A kör egy zárt, önmagát nem metsző alak, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik. Ha egy tetszőleges ponton keresztül M rajta kívül húzzon két érintőt a körrel való érintkezési pontjaihoz, például AÉs B, akkor hosszuk mindig egyenlő lesz: M A = M B (\displaystyle MA=MB). Az egyenlőség mindig érvényben marad, függetlenül a pontválasztástól M(Definíció egyenlő érintőkkel).
• A kör egy zárt, önmagát nem metsző alak, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik. Bármely akkord hosszának és bármely akkordjának szinuszának aránya beírt szög, ezen a húron alapul, egy állandó érték, amely megegyezik ennek a körnek az átmérőjével (Definíció a szinuszok tételén keresztül).
• A kör az ellipszis speciális esete, amelyben a fókuszpontok távolsága nulla (Degenerált ellipszis definíciója).

Egy körhöz kapcsolódó definíciók

• A síkban lévő pontok geometriai lokuszát, amelytől egy adott pont távolsága nem nagyobb, mint egy adott nem nulla távolság, az ún. körös-körül .
• Sugár- nemcsak a távolság, hanem a kör középpontját annak egyik pontjával összekötő szakasz is. A sugár mindig fele átmérő körökben.
• A sugár mindig merőleges a körhöz a körrel közös pontjában húzott érintő egyenesre. Vagyis a sugár egyben a kör normálértéke is.
• A kört úgy hívják egyetlen , ha a sugara egyenlő eggyel. Egységkör a trigonometria egyik fő tárgya.
• A kör két pontját összekötő szakaszt annak nevezzük akkord. A kör középpontján áthaladó akkordot nevezzük átmérő.
• A kör bármely két nem egybeeső pontja két részre osztja. Ezen részek mindegyikét ún körív. Az ívet ún félkör, ha a végeit összekötő szegmens átmérőjű.
• Az egységnyi félkör hosszát jelöli.

• Olyan egyenest nevezünk, amelynek pontosan egy közös pontja van a körrel tangens körhöz, közös pontjukat pedig az egyenes és a kör érintési pontjának nevezzük.
• Tangens egy körre mindig merőleges az érintkezési pontban húzott sugarára (és átmérőjére), ami az normál, amelyet egy adott ponton hajtanak végre.
• A kör két különböző pontján átmenő egyenest nevezzük metsző.

Háromszögek meghatározása egy körhöz

• Az ABC háromszöget hívják körbe írva(A,B,C), ha mindhárom csúcsa A, B és C ezen a körön fekszik. Ebben az esetben a kört hívják körülírt kör ABC háromszög (lásd Circumcircle).
• Tangens a beleírt háromszög tetszőleges csúcsán át húzott körhöz ellentétes a háromszög adott csúcsával ellentétes oldalával.
• Az ABC háromszöget hívják egy kör körül körülírva(A,B,C"), ha mindhárom oldala AB, BC és CA érinti ezt a kört néhány C", A" és B" pontban. Ebben az esetben a kört hívják beírt kör ABC háromszög (lásd: Beírt kör).

Egy kör szögeinek meghatározásai

• A sugárral egyenlő hosszúságú körív által alkotott szöget 1-nek vesszük radián.

• Központi szög - szög, amelynek csúcsa a kör közepén van. A középső szög egyenlő annak az ívnek a radián/fok mértékével, amelyen nyugszik (lásd az ábrát).
• Felírva  szög - olyan szög, amelynek csúcsa egy körön fekszik, és oldalai metszik ezt a kört. Beírt szög egyenlő az ív fokszámának felével, amelyen nyugszik (lásd az ábrát).
• Külső sarok Mert Felírva  szög - az egyik oldal által alkotott szög és a másik oldal folytatása felírva szög (lásd szög. ábra θ barna). Külső sarok mert a kör másik oldalára írt szög azonos értékű θ .
• A kör és az egyenes közötti szög- az egyenes és a kör érintője közötti szög az egyenes és a kör metszéspontjában. A metsző kör és az egyenes közötti mindkét szög egyenlő.
• A kör átmérőjével bezárt szög- ebbe a körbe írt szög, amelynek oldalai az átmérő végeit tartalmazzák. Mindig közvetlen.

Kapcsolódó definíciók két körhöz

• Két olyan kört nevezünk, amelyeknek közös középpontja van körkörös.
• Két olyan kört nevezünk, amelyeknek csak egy közös pontja van vonatkozó kívülről, ha a köreiknek nincs más közös pontjuk, belül pedig, ha köreik egymáson belül helyezkednek el.
• Két olyan kört nevezünk, amelyeknek két közös pontja van metsző. Az általuk határolt köreik egy kettős körszakasznak nevezett területen metszik egymást.
• Szög két egymást metsző (vagy érintő) kör között a közös metszéspontban (vagy érintőlegesen) húzott érintőik közötti szög.
• Is szög két egymást metsző (vagy érintő) kör között a közös metszéspontban (vagy érintőlegesen) húzott sugaruk (átmérőjük) közötti szöget tekinthetjük.
• Mivel bármely kör esetében a sugara (vagy átmérője) és a kör bármely pontján áthúzott érintője egymásra merőleges, a sugár (vagy átmérő) tekinthető normál egy adott pontban megszerkesztett körhöz. Következésképpen az előző két bekezdésben meghatározott két szögtípus mindig egyenlő lesz egymással, mint a kölcsönösen merőleges oldalakkal rendelkező szögek.
• derékszöget nevezzük ortogonális. A köröket meg lehet számolni ortogonális, ha derékszöget zárnak be egymással.
• Két kör gyöktengelye- azon pontok geometriai helye, amelyek foka két adott körhöz képest egyenlő. Más szóval, két adott körre bármely pontból húzott négy érintő hossza egyenlő M adott pontok geometriai elhelyezkedése.

Szögdefiníciók két körhöz

• Szög két egymást metsző kör között- a körök metszéspontjában lévő körök érintőinek szöge. Két egymást metsző kör mindkét szöge egyenlő.
• Szög két diszjunkt kör között- két kör két közös érintője közötti szög, amely e két érintő metszéspontjában alakul ki. E két érintő metszéspontjának a két kör között kell lennie, és nem az egyik oldalán (ezt a szöget nem veszi figyelembe). Két egymástól független kör közötti mindkét függőleges szög egyenlő.

Ortogonalitás

• Két derékszögben metsző kört nevezünk ortogonális. A köröket meg lehet számolni ortogonális, ha derékszöget zárnak be egymással.
• Két olyan kört nevezünk, amelyek az A és B pontokban metszik egymást O és O" középponttal ortogonális, ha az OAO" és OBO" szögek derékszögek. Ez a feltétel garantálja derékszög körök között. Ebben az esetben a metszéspontjukig húzott két kör sugara (normálértéke) merőleges. Ebből következően a metszéspontjukhoz húzott két kör érintői is merőlegesek. A kör érintője merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra (normál). A görbék közötti szög jellemzően a metszéspontjukban megrajzolt érintőik közötti szög.
• Egy másik további feltétel is lehetséges. Legyen két A és B pontban metsző kör a C és D pontokban metsző ívek felezőpontja, azaz az AC ív egyenlő a CB ívvel, az AD ív egyenlő a DB ívvel. Aztán ezeket a köröket hívják ortogonális, ha a CAD és CBD szögek derékszögek.

Három körhöz kapcsolódó definíciók

• Három kört egymást érintőnek (metszőnek) nevezünk, ha bármelyik kettő érinti (metszi) egymást.
• A geometriában radikális központ három kör a körpárok három gyöktengelyének metszéspontja. Ha a gyökközép mindhárom körön kívül van, akkor ez egyetlen kör középpontja ( radikális kör), amely három adott kört metsz ortogonális.

Arkhimédész Lemmája

Bizonyíték

Hadd G (\displaystyle G)- egy homotégia, amely egy kis kört nagy körré alakít át. Akkor ez egyértelmű A 1 (\displaystyle A_(1)) ennek a homotétiának a központja. Aztán egyenesen B C (\displaystyle BC) valamiféle egyenesbe fog menni a (\displaystyle a) a nagykör érintője, és A 2 (\displaystyle A_(2)) egy ponthoz fog menni ezen az egyenesen, amely egy nagy körhöz tartozik. Emlékeztetve arra, hogy a homotitás vonalakat velük párhuzamos egyenesekké alakít, megértjük a ∥ B C (\displaystyle a\parallel BC). Hadd G (A 2) = A 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3))És D (\displaystyle D)- pont egy egyenesen a (\displaystyle a), olyan, hogy éles, és E (\displaystyle E)- egy ilyen pont egy egyenesen a (\displaystyle a), Mi ∠ B A 3 E (\displaystyle \angle BA_(3)E)- fűszeres. Aztán, azóta a (\displaystyle a)- a nagy kör érintője ∠ C A 3 D (\displaystyle \angle CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ C B A 3 (\displaystyle \angle CBA_(3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\displaystyle =\angle BA_(3)E=\angle BCA_(3)). Ezért △ B C A 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3))- egyenlő szárú, ami azt jelenti ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\megjelenítési stílus \angle BA_(1)A_(3)=\angle CA_(1)A_(3)), vagyis A 1 A 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- szögfelező ∠ B A 1 C (\megjelenítési stílus \angle BA_(1)C).

Descartes tétele négy páronkénti érintőkör sugaraira

Descartes tétele" kimondja, hogy bármely négy kölcsönösen érintő kör sugara kielégít egy bizonyos másodfokú egyenletet. Néha Soddy köröknek is nevezik őket.

Tulajdonságok

(\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2).) Pontokon áthaladó kör egyenlete(x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\jobbra),\balra(x_(3),y_(3)\jobbra),)

x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 |

(x = x 0 + R cos ⁡ φ y = y 0 + R sin ⁡ φ , 0 ⩽ φ

y = y 0 ± R 2 − (x − x 0) 2 .

(\displaystyle y=y_(0)\pm (\sqrt (R^(2)-(x-x_(0))^(2))).) Ha a kör középpontja egybeesik az origóval, a függvények a következő alakúak: egy pontban középre állítva y = ± R 2 − x 2..