Ma egy geometriai alakzatot fogunk figyelembe venni - egy négyszöget. Ennek az alaknak a nevéből már világossá válik, hogy ennek az alaknak négy sarka van. De az alábbiakban figyelembe vesszük ennek az ábrának a fennmaradó jellemzőit és tulajdonságait.

Mi az a négyszög

A négyszög olyan sokszög, amely négy pontból (csúcsból) és négy szakaszból (oldalból) áll, amelyek ezeket a pontokat páronként összekötik. A négyszög területe egyenlő az átlók és a köztük lévő szög szorzatának felével.

A négyszög olyan sokszög, amelynek négy csúcsa van, amelyek közül három nem egy egyenesen fekszik.

A négyszögek fajtái

• Azt a négyszöget, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak, paralelogrammának nevezzük.
• Trapéznek nevezzük azt a négyszöget, amelyben két szemközti oldal párhuzamos, a másik kettő pedig nem.
• A derékszögű négyszög téglalap.
• Az a négyszög, amelynek minden oldala egyenlő, rombusz.
• Négyzetnek nevezzük azt a négyszöget, amelynek minden oldala egyenlő, és minden szöge derékszögű.

A négyszög lehet:

Önmetsző

Nem domború

Konvex

Önmetsző négyszög olyan négyszög, amelynek bármelyik oldalán van metszéspont (az ábrán kékkel).

Nem konvex négyszög olyan négyszög, amelyben az egyik belső szög nagyobb, mint 180 f (az ábrán narancssárga színnel jelölve).

Szögek összege minden olyan négyszög, amely nem metszi önmagát, mindig egyenlő 360 fokkal.

A négyszögek speciális típusai

A négyszögek további tulajdonságokkal rendelkezhetnek, speciális geometriai alakzatokat képezve:

• Paralelogramma
• Téglalap
• Négyzet
• Trapéz alakú
• Deltoid
• Ellenparallelogramma

Négyszög és kör

Kör köré körülírt négyszög (négyszögbe írt kör).

A leírt négyszög fő tulajdonsága:

Négyszög akkor és csak akkor írható körbe, ha a szemközti oldalak hosszának összege egyenlő.

Körbe írt négyszög (négyszög köré körülírt kör)

A beírt négyszög fő tulajdonsága:

Négyszög akkor és csak akkor írható be a körbe, ha a szemközti szögek összege 180 fokkal egyenlő.

Négyszög oldalhosszának tulajdonságai

A négyszög bármely két oldala közötti különbség modulusa nem haladja meg másik két oldalának összegét.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Fontos. Az egyenlőtlenség igaz a négyszög oldalainak bármely kombinációjára. A rajz kizárólag az észlelés megkönnyítésére szolgál.

Bármelyik négyszögben három oldala hosszának összege nem kisebb, mint a negyedik oldal hossza.

Fontos. Az iskolai tananyagon belüli problémák megoldása során szigorú egyenlőtlenséget használhat (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

A Javascript le van tiltva a böngészőjében.
A számítások elvégzéséhez engedélyezni kell az ActiveX-vezérlőket!

1 . Egy konvex négyszög átlóinak összege nagyobb, mint két szemközti oldalának összege.

2 . Ha a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakaszok négyszög

a) egyenlők, akkor a négyszög átlói merőlegesek;

b) merőlegesek, akkor a négyszög átlói egyenlők.

3 . A trapéz oldalsó oldalán lévő szögfelezők a középvonalában metszik egymást.

4 . A paralelogramma oldalai egyenlőek és . Ekkor a paralelogramma szögfelezőinek metszéspontjai által alkotott négyszög egy olyan téglalap, amelynek átlói egyenlőek.

5 . Ha a trapéz egyik alapjában a szögek összege 90°, akkor a trapéz alapjainak felezőpontjait összekötő szakasz egyenlő a különbségük felével.

6 . Az oldalakon ABÉs HIRDETÉS paralelogramma ABCD elvett pontok MÉs N olyan egyenes MSÉs NC oszd három egyenlő részre a paralelogrammát. Lelet MN, Ha BD=d.

7 . A trapéz alapjaival párhuzamos, a trapéz belsejébe zárt egyenes szakaszt átlóival három részre osztjuk. Ekkor az oldalakkal szomszédos szegmensek egyenlőek egymással.

8 . A trapéz átlóinak az alapokkal való metszéspontján keresztül az alapokkal párhuzamos egyenes vonalat húzunk. Ennek az egyenesnek a trapéz oldalsó oldalai közé zárt szakasza egyenlő.

9 . A trapézt az alapjaival párhuzamos egyenes osztja fel és egyenlő , két egyenlő trapézre. Ekkor ennek az egyenesnek az oldalai közé zárt szakasza egyenlő .

10 . Ha az alábbi feltételek egyike teljesül, akkor a négy pont A, B, CÉs D feküdj ugyanazon a körön.

A) CAD=CBD= 90°.

b) pontok AÉs IN feküdjön egy egyenes vonal egyik oldalán CDés szög CAD szöggel egyenlő CBD.

c) egyenes ACÉs BD pontban metszik egymást KÖRÜLBELÜLÉs O A OS=OV OD.

11 . Pontot összekötő egyenes R négyszög átlóinak metszéspontja ABCD -val pont K vonal kereszteződései ABÉs CD, osztja az oldalt HIRDETÉS félbe. Aztán ketté és oldalra osztja Nap.

12 . A konvex négyszög minden oldala három egyenlő részre van osztva. Az ellentétes oldalak megfelelő osztási pontjait szegmensek kötik össze. Ezután ezek a szegmensek három egyenlő részre osztják egymást.

13 . Két egyenes egy konvex négyszög két szemközti oldalát három egyenlő részre osztja. Ezután ezek között a vonalak között a négyszög területének egyharmada található.

14 . Ha egy kör beírható egy négyszögbe, akkor az átlók metszéspontján halad át az a szakasz, amely összeköti azokat a pontokat, amelyekben a beírt kör a négyszög szemközti oldalait érinti.

15 . Ha egy négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor egy ilyen négyszögbe kör írható.

16. Egy egymásra merőleges átlójú beírt négyszög tulajdonságai. Négyszög ABCD sugarú körbe írva R. Az átlói ACÉs BD egymásra merőlegesek és egy pontban metszik egymást R. Majd

a) háromszög mediánja ARV oldalra merőlegesen CD;

b) szaggatott vonal AOC négyszöget oszt ABCD két egyforma méretű figurára;

V) AB 2 + CD 2=4R 2 ;

G) AR 2 +BP 2 +CP 2 +DP 2 = 4R 2 és AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 =8R 2;

e) a kör középpontja és a négyszög oldala közötti távolság a szemközti oldal fele.

e) ha a merőlegesek oldalra estek HIRDETÉS a csúcsokról INÉs VEL, keresztezi az átlókat ACÉs BD pontokon EÉs F, Hogy BCFE- rombusz;

g) olyan négyszög, amelynek csúcsai egy pont vetületei R a négyszög oldalain ABCD,- beírva és leírva is;

h) a négyszög körülírt körének érintőiből képzett négyszög ABCD, csúcsaiban megrajzolt, körbe írható.

17 . Ha a, b, c, d- egy négyszög egymást követő oldalai, S a területe, akkor , és az egyenlőség csak egy olyan beírt négyszögre érvényes, amelynek átlói egymásra merőlegesek.

18 . Brahmagupta képlete. Ha egy ciklikus négyszög oldalai egyenlőek a, b, cÉs d, majd a területét S képlettel lehet kiszámítani,

Ahol - négyszög fél kerülete.

19 . Ha egy négyszög oldalakkal A, b, c, d felírható és kör leírható köré, akkor területe egyenlő .

20 . A P pont a téren belül található ABCD,és a szög PAB szöggel egyenlő RVAés egyenlő 15°. Aztán a háromszög DPC- egyenlő oldalú.

21 . Ha ciklikus négyszögre ABCD az egyenlőség teljesül CD=AD+BC, majd szögeinek felezőit AÉs IN oldalán metszik egymást CD.

22 . Ellentétes oldalak folytatásai ABÉs CD ciklikus négyszög ABCD pontban metszik egymást M,és a felek HIRDETÉSÉs Nap- a ponton N. Majd

a) szögfelezők AMDÉs D.N.C. egymásra merőleges;

b) egyenes MQÉs NQ metszi a négyszög oldalait a rombusz csúcsaiban;

c) metszéspont K ezek közül a felezők a négyszög átlóinak felezőpontjait összekötő szakaszon találhatók ABCD.

23 . Ptolemaiosz tétele. Egy ciklikus négyszög két szemközti oldalpárjának szorzatának összege egyenlő az átlóinak szorzatával.

24 . Newton tétele. Bármely körülírt négyszögben az átlók felezőpontja és a beírt kör középpontja ugyanazon az egyenesen található.

25 . Monge tétele. Egy beírt négyszög oldalainak felezőpontjain keresztül húzott vonalak, amelyek merőlegesek a szemközti oldalakra, egy pontban metszik egymást.

27 . Négy kör, amelyek egy konvex négyszög oldalaira építettek átmérőként, lefedik a teljes négyszöget.

29 . A konvex négyszög két szemközti szöge tompaszögű. Ekkor ezen szögek csúcsait összekötő átló kisebb, mint a másik átlóé.

30. A paralelogramma azon kívüli oldalaira épített négyzetek középpontjai maguk is négyzetet alkotnak.

Meghatározás. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Ingatlan. A paralelogrammában a szemközti oldalak egyenlőek és a szemközti szögek egyenlőek.

Ingatlan. A paralelogramma átlóit kettéosztjuk a metszésponttal.

1 paralelogramma jele. Ha egy négyszög két oldala egyenlő és párhuzamos, akkor a négyszög paralelogramma.

2 paralelogramma jele. Ha egy négyszögben a szemközti oldalak páronként egyenlőek, akkor ez a négyszög paralelogramma.

paralelogramma 3 jele. Ha egy négyszög átlói metszik egymást, és a metszéspont felezi őket, akkor a négyszög paralelogramma.

Meghatározás. A trapéz olyan négyszög, amelynek két oldala párhuzamos, a másik két oldala pedig nem párhuzamos. Párhuzamos oldalak ún okokból.

A trapéz ún egyenlő szárú (egyenlő oldalú), ha az oldalai egyenlők. Egy egyenlő szárú trapézban az alapoknál egyenlő szögek egyenlőek.

négyszögletes.

trapéz középvonala. A középső vonal párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével.

Téglalap

Meghatározás.

Ingatlan. Egy téglalap átlói egyenlőek.

Téglalap jel. Ha egy paralelogramma átlói egyenlőek, akkor ez a paralelogramma téglalap.

Meghatározás.

Ingatlan. A rombusz átlói egymásra merőlegesek, és felezik a szögeit.

Meghatározás.

A négyzet a téglalap egy speciális típusa, valamint a rombusz egy speciális típusa. Ezért minden tulajdonsága megvan.

Tulajdonságok:
1. A négyzet minden szöge derékszögű

Négyszögek az összes szabályt

Kulcsszavak:
négyszög, konvex, szögek összege, négyszög területe

Négyszög egy olyan ábra, amely négy pontból és négy egymást követő, ezeket összekötő szakaszból áll. Ebben az esetben ezek közül a pontok közül három nem lehet ugyanazon az egyenesen, és az őket összekötő szakaszok nem metszhetik egymást.

• A négyszög csúcsait ún szomszédos , ha azok az egyik oldalának a végei.
• Nem szomszédos csúcsok , hívják szemben .
• A négyszög ellentétes csúcsait összekötő szakaszokat nevezzük átlók .
• Egy négyszög ugyanazon csúcsból induló oldalait nevezzük szomszédos felek.
• Azokat a feleket, amelyeknek nincs közös célja, ún szemben felek.
• A négyszöget ún konvex , ha bármely oldalát tartalmazó egyeneshez képest egy félsíkban helyezkedik el.

A négyszögek fajtái

1. Paralelogramma - olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak
   • Téglalap - minden derékszögű paralelogramma
   • Rombusz - egy paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő
   • Négyzet - egy téglalap, amelynek minden oldala egyenlő
2. Trapéz alakú - olyan négyszög, amelyben két oldal párhuzamos, a másik két oldal pedig nem párhuzamos
3. Deltoid - olyan négyszög, amelyben két szomszédos oldalpár egyenlő

Négyszögek

Négyszög egy olyan ábra, amely négy pontból és négy egymást követő, ezeket összekötő szakaszból áll. Ráadásul ezek közül a pontok közül három nem esik ugyanazon az egyenesen, és az őket összekötő szakaszok nem metszik egymást.

szemben. szemben.

A négyszögek fajtái

Paralelogramma

Paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

A paralelogramma tulajdonságai

• az ellentétes oldalak egyenlőek;
• ellentétes szögek egyenlőek;
• az átlók négyzeteinek összege egyenlő az összes oldal négyzeteinek összegével:

A paralelogramma jelei

Trapéz olyan négyszög, amelyben két szemközti oldal párhuzamos, a másik kettő pedig nem párhuzamos.

A trapéz párhuzamos oldalait annak nevezzük okokbólés nem párhuzamos oldalak - oldalain. Az oldalak felezőpontjait összekötő szakaszt ún középső vonal.

A trapéz ún egyenlő szárú(vagy egyenlő szárú), ha az oldalai egyenlők.

Olyan trapéznek nevezzük, amelynek egyik szöge egyenes négyszögletes.

A trapéz tulajdonságai

A trapéz jelei

Téglalap

Téglalap paralelogrammának nevezzük, amelyben minden szög derékszögű.

Téglalap tulajdonságai

Téglalap jelek

A paralelogramma téglalap, ha:

1. Egyik szöge egyenes.
2. Átlói egyenlők.

Gyémánt paralelogrammának nevezzük, amelynek minden oldala egyenlő.

A rombusz tulajdonságai

• a paralelogramma összes tulajdonsága;
• az átlók merőlegesek;

A gyémánt jelei

Négyzet téglalapnak nevezzük, amelynek minden oldala egyenlő.

A négyzet tulajdonságai

• a négyzet minden sarka helyes;
• A négyzet átlói egyenlőek, egymásra merőlegesek, a metszéspont felezi és felezi a négyzet sarkait.

A négyzet jelei

Alapképletek

S=d 1 d 2 bűn

Paralelogramma
aÉs b- szomszédos oldalak; - a köztük lévő szög; h a - oldalra húzott magasság a.

S = ab sin

S=d 1 d 2 bűn

Trapéz alakú
aÉs b- indok; h- a köztük lévő távolság; l - középvonal .

Téglalap

S=d 1 d 2 bűn

S = a 2 bűn

S=d 1 d 2

Négyzet
d- átlós.

www.univer.omsk.su

A négyszögek tulajdonságai. A négyszögek fajtái. Tetszőleges négyszögek tulajdonságai. A paralelogramma tulajdonságai. A rombusz tulajdonságai. A téglalap tulajdonságai. A négyzet tulajdonságai. A trapéz tulajdonságai. Körülbelül 7-9 évfolyam (13-15 éves)

A négyszögek tulajdonságai. A négyszögek fajtái. Tetszőleges négyszögek tulajdonságai.
A paralelogramma tulajdonságai. A rombusz tulajdonságai. A téglalap tulajdonságai. A négyzet tulajdonságai. A trapéz tulajdonságai.

A négyszögek típusai:

• Paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak

• Rombusz olyan paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő.

• Téglalap olyan paralelogramma, amelyben minden szög derékszögű.

• Négyzet egy téglalap, amelynek minden oldala egyenlő.

Tetszőleges négyszögek tulajdonságai:

A paralelogramma tulajdonságai:

A rombusz tulajdonságai:

A téglalap tulajdonságai:

A négyzet tulajdonságai:

A trapéz tulajdonságai:

Tanácsadás és műszaki
oldal támogatása: Zavarka Team

Négyszögek az összes szabályt

Nem euklideszi geometria, a geometriához hasonló geometria Eukleidész annyiban, hogy meghatározza az alakok mozgását, de abban különbözik az euklideszi geometriától, hogy öt posztulátuma közül egyet (a másodikat vagy ötödiket) a tagadása helyettesíti. Az egyik euklideszi posztulátum (1825) tagadása jelentős gondolattörténeti esemény volt, mert ez volt az első lépés afelé. relativitáselmélet.

Eukleidész második posztulátuma azt állítja bármely egyenes szakasz korlátlanul meghosszabbítható. Eukleidész láthatóan úgy gondolta, hogy ez a posztulátum azt az állítást is tartalmazza, hogy az egyenesnek végtelen hosszúsága van. Viszont az „elliptikus” geometriában minden egyenes véges, és a körhöz hasonlóan zárt.

Az ötödik posztulátum kimondja, hogy ha egy egyenes úgy metszi két adott egyenest, hogy az egyik oldalán lévő két belső szög összege kevesebb, mint két derékszög, akkor ez a két egyenes, ha korlátlanul meghosszabbodik, azon az oldalon metszi egymást, ahol ezeknek a szögeknek az összege kisebb, mint két egyenes összege. De a „hiperbolikus” geometriában lehet egy CB egyenes (lásd az ábrát), amely a C pontban merőleges egy adott r egyenesre, és egy másik s egyenest hegyesszögben metsz a B pontban, de ennek ellenére az r és s végtelen egyenesek soha nem metszik egymást.

Ezekből az átdolgozott posztulátumokból az következett, hogy egy háromszög szögeinek összege, amely euklideszi geometriában 180°, elliptikus geometriában nagyobb, mint 180°, hiperbolikus geometriában pedig 180°-nál kisebb.

Négyszög

Négyszög egy sokszög, amely négy csúcsot és négy oldalt tartalmaz.

Négyszög, a geometriai alakzat négy sarkú sokszög, valamint bármely ilyen alakú tárgy vagy eszköz.

A négyszög két nem szomszédos oldalát nevezzük szemben. Két nem szomszédos csúcsot is hívnak szemben.

A négyszögek lehetnek konvexek (mint az ABCD) ill
nem domború (A 1 B 1 C 1 D 1).

A négyszögek fajtái

• Paralelogramma- olyan négyszög, amelyben minden szemközti oldal párhuzamos;
• Téglalap- minden derékszögű négyszög;
• Rombusz- négyszög, amelynek minden oldala egyenlő;
• Négyzet- olyan négyszög, amelyben minden szög derékszögű és minden oldal egyenlő;
• Trapéz alakú- olyan négyszög, amelynek két szemközti oldala párhuzamos;
• Deltoid- olyan négyszög, amelyben két szomszédos oldalpár egyenlő.

Paralelogramma

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Parallelogram (a görög parallelos - párhuzamos és gramm - egyenes szóból), azaz párhuzamos egyeneseken fekszenek. A paralelogramma speciális esetei a téglalap, a négyzet és a rombusz.

• az ellentétes oldalak egyenlőek;
• ellentétes szögek egyenlőek;
• az átlókat kettéosztjuk a metszésponttal;
• az egyik oldallal szomszédos szögek összege 180°;
• az átlók négyzeteinek összege egyenlő az összes oldal négyzeteinek összegével.

A négyszög paralelogramma, ha:

1. Két szemközti oldala egyenlő és párhuzamos.
2. A szemközti oldalak páronként egyenlőek.
3. Az ellentétes szögek páronként egyenlőek.
4. Az átlókat a metszéspont kettéosztja.

Téglalap

A téglalap olyan paralelogramma, amelynek szögei rendben vannak.

• az ellentétes oldalak egyenlőek;
• ellentétes szögek egyenlőek;
• az átlókat kettéosztjuk a metszésponttal;
• az egyik oldallal szomszédos szögek összege 180°;
• átlói egyenlők.

A paralelogramma téglalap, ha:

1. Egyik szöge egyenes.
2. Átlói egyenlők.

A rombusz olyan paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő.

• az ellentétes oldalak egyenlőek;
• ellentétes szögek egyenlőek;
• az átlókat kettéosztjuk a metszésponttal;
• az egyik oldallal szomszédos szögek összege 180°;
• az átlók négyzeteinek összege egyenlő az összes oldal négyzeteinek összegével;
• az átlók merőlegesek;
• az átlók a szögfelezők.

A paralelogramma rombusz, ha:

1. Két szomszédos oldala egyenlő.
2. Átlói merőlegesek.
3. Az egyik átló a szögfelezője.

A négyzet olyan téglalap, amelynek minden oldala egyenlő.

• a négyzet minden sarka helyes;
• A négyzet átlói egyenlőek, egymásra merőlegesek, a metszéspont felezi és felezi a négyzet sarkait.

1. A téglalap négyzet, ha rendelkezik rombuszjellemzőkkel.

A trapéz olyan négyszög, amelyben két szemközti oldal párhuzamos, a másik kettő pedig nem párhuzamos.

A trapéz párhuzamos oldalait alapjainak, a nem párhuzamos oldalait pedig oldalainak nevezzük. Az oldalak felezőpontjait összekötő szakaszt középvonalnak nevezzük.

Egy trapézt egyenlő szárúnak (vagy egyenlőszárúnak) nevezünk, ha az oldalai egyenlőek.

A trapézt, amelynek egyik sarka jobb, téglalap alakúnak nevezzük.

• középvonala párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével;
• ha a trapéz egyenlő szárú, akkor az átlói egyenlőek és az alapnál lévő szögek egyenlőek;
• ha a trapéz egyenlő szárú, akkor kör írható le körülötte;
• Ha az alapok összege egyenlő az oldalak összegével, akkor kör írható bele.

1. Egy négyszög trapéz, ha párhuzamos oldalai nem egyenlőek

Deltoid- négyszög két egyenlő hosszúságú oldalpárral. A paralelogrammától eltérően nem a szemközti oldalak egyenlők, hanem két pár szomszédos oldal. A deltoid alakja a sárkányéhoz hasonló.

• Az egyenlőtlen hosszúságú oldalak közötti szögek egyenlőek.
• A deltoid átlói (vagy nyúlványaik) derékszögben metszik egymást.
• Bármelyik domború deltoidba beírható egy kör, továbbá ha a deltoid nem rombusz, akkor van még egy kör, amely mind a négy oldal kiterjesztését érinti. Egy nem konvex deltoid esetében megszerkeszthetünk egy kört, amely két nagyobb oldalt érint és két kisebb oldal kiterjesztését, valamint egy kört, amely két kisebb oldalt és két nagyobb oldal kiterjesztését érinti.

• Ha a deltoid egyenlőtlen oldalai közötti szög megfelelő, akkor kör (körírt deltoid) írható bele.
• Ha a deltoid két szemközti oldala egyenlő, akkor az ilyen deltoid egy rombusz.
• Ha a deltoid két szemközti oldala és mindkét átlója egyenlő, akkor a deltoid négyzet. Az egyenlő átlójú, feliratos deltoid is négyzet.

A geometria megjelenése az ókorba nyúlik vissza, és az emberi tevékenység gyakorlati szükségletei határozták meg (a földterületek mérése, a különböző testek térfogatának mérése stb.).

A legegyszerűbb geometriai információkat és fogalmakat már az ókori Egyiptomban ismerték. Ebben az időszakban a geometriai állításokat bizonyítás nélkül megadott szabályok formájában fogalmazták meg.

A Kr.e. 7. századtól. e. i.sz. 1. századig e. a geometria mint tudomány gyorsan fejlődött az ókori Görögországban. Ebben az időszakban nemcsak a különböző geometriai információk felhalmozódása zajlott, hanem a geometriai állítások bizonyításának módszertana is kialakult, és megtörténtek az első kísérletek a geometria főbb elsődleges rendelkezéseinek (axiómáinak) megfogalmazására, amelyekből számos különböző geometriai állítás született. tisztán logikai érvelésből származnak. A geometria fejlettségi szintje az ókori Görögországban tükröződik Eukleidész „Elemek” című munkájában.

Ebben a könyvben először tettek kísérletet arra, hogy meghatározhatatlan geometriai alapfogalmak és axiómák (posztulátumok) alapján szisztematikus konstrukciót adjanak a planimetriának.

Eukleidész ötödik posztulátuma (a párhuzamos egyenesek axiómája) különleges helyet foglal el a matematika történetében. A matematikusok sokáig sikertelenül próbálták levezetni az ötödik posztulátumot Eukleidész fennmaradt posztulátumaiból, és csak a 19. század közepén vált világossá N. I. Lobacsevszkij, B. Riemann és J. Bolyai kutatásainak köszönhetően, hogy az ötödik posztulátum nem vezethető le a többiből, és nem az Eukleidész által javasolt axiómarendszer az egyetlen lehetséges.

Euklidész elemei nagy hatással voltak a matematika fejlődésére. Ez a könyv több mint kétezer éven át nemcsak a geometria tankönyve volt, hanem számos matematikai tanulmány kiindulópontjaként szolgált, amelyek eredményeként a matematika új, önálló ágai keletkeztek.

A geometria szisztematikus felépítése általában a következő terv szerint történik:

ÉN. Felsoroljuk a geometriai alapfogalmakat, melyeket definíciók nélkül vezetünk be.

II. Adott a geometria axiómáinak megfogalmazása.

III. Axiómák és geometriai alapfogalmak alapján más geometriai fogalmak és tételek fogalmazódnak meg.

1. A nemeuklideszi geometria név eredete?
2. Milyen alakzatokat nevezünk négyszögeknek?
3. A paralelogramma tulajdonságai?
4. A négyszögek típusai?

A felhasznált források listája

1. A.G. Tsypkin. Matematika kézikönyve
2. „Egységes államvizsga 2006. Matematika. Oktatási és képzési anyagok a diákok felkészítéséhez / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. „A M. I. Skanavi által szerkesztett gyűjtemény matematikai versenyfeladatainak megoldása”

Dolgoztunk a leckén

Felvethet egy kérdést a modern oktatással kapcsolatban, megfogalmazhat ötletet vagy megoldhat egy sürgető problémát a címen Oktatási fórum, ahol a friss gondolatok és cselekvések oktatási tanácsa találkozik nemzetközi szinten. Miután létrehozta blog, Nemcsak hozzáértő tanári státuszát javítja, hanem jelentős mértékben hozzájárul a jövő iskolájának fejlődéséhez is. Nevelési Vezetők Céhe ajtót nyit a legmagasabb rangú szakemberek előtt, és felkéri őket, hogy működjenek együtt a világ legjobb iskoláinak létrehozásában.

Népszerű:

• 282. cikk. Gyűlölet vagy ellenségeskedés, valamint az emberi méltóság megaláztatása (a 2003. december 8-i N 162-FZ szövetségi törvénnyel módosított) 1. rész. Gyűlölet vagy ellenségeskedés szítását célzó cselekmények, valamint […]
• Társasági vagyonadó kalkulátor A társasági vagyonadó kiszámítása Változott az előlegszámítási forma. A 2017. első félévi jelentésekkel kezdődően a szervezetek ingatlanadójának kiszámítása […]
• Az ökológia törvényei A populációk és közösségek több mint 100 éves átfogó tanulmányozása során hatalmas mennyiségű tény halmozódott fel. Ezek között nagy számban vannak véletlenszerű vagy szabálytalan jelenségek és folyamatok. De nem […]
• Nyugdíjbiztosítási lehetőségek a kötelező nyugdíjbiztosítási rendszerben 2015 végéig az 1967-ben született és fiatalabb állampolgárok választhattak: folytatják a nyugdíj-megtakarítást, vagy elhagyják a tőkefedezeti […]
• A Földművelésügyi Minisztérium 549. számú végzése Az Orosz Föderáció Igazságügyi Minisztériumában 2009. március 5-én bejegyezve N 13476 AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ MEZŐGAZDASÁGI MINISZTÉRIUMA, 2008. december 16-án N 532 AZ OSZTÁLYOZÁSI OSZTÁLYOSÍTÁSI ENGEDÉLYEZÉSÉNEK JÓVÁHAGYÁSÁRÓL […]
• A fogyatékkal élő gyermekek nyugdíjának emelése 2018. január 1-től Az állampolgárok nyugdíjellátása az állam feladata. Ezt az ország törvénykönyve – az Alkotmány – tartalmazza. A fogyatékkal élők körében, akiknek szükségük van [...]
• A JSC Russian Railways belső szabályzata OJSC "RUSSAN RAILWAYS" 2012. július 26-i N 87 SZÁMÚ RENDELÉS A REGIONÁLIS SZOLGÁLTATÁSOK ÉS AZ SZÁLLÍTÁSOK FEJLESZTÉSÉRE VONATKOZÓ BELSŐ MUNKAVÉGZÉSI SZABÁLYZAT JÓVÁHAGYÁSÁRÓL.
• A comte pozitivizmus, mint filozófiai mozgalom 3 szakaszának törvénye azon az elgondoláson alapul, hogy a világról, az emberről és a társadalomról szóló tudás zömét speciális tudományok szerzik, a „pozitív” tudománynak fel kell hagynia a kísérletekkel […]

A geometria egyik legérdekesebb témája az iskolai kurzusból a „Négyszögek” (8. osztály). Milyen típusú ilyen figurák léteznek, milyen különleges tulajdonságokkal rendelkeznek? Mi az egyedi a kilencven fokos szögű négyszögekben? Találjuk ki az egészet.

Melyik geometriai alakzatot nevezzük négyszögnek?

A négy oldalból és ennek megfelelően négy csúcsból (szögből) álló sokszögeket az euklideszi geometriában négyszögeknek nevezik.

Érdekes az ilyen típusú alak nevének története. Az orosz nyelvben a „négyszög” főnév a „négy sarok” kifejezésből származik (mint a „háromszög” - három sarok, az „ötszög” - öt sarok stb.).

A latin nyelvben azonban (amelyen keresztül sok geometriai kifejezés a világ legtöbb nyelvére érkezett) négyszögnek nevezik. Ez a szó a quadri (négy) számnévből és a latus (oldal) főnévből keletkezik. Megállapíthatjuk tehát, hogy a régiek ezt a sokszöget nem nevezték másnak, mint „négyszögnek”.

Egyébként ezt a nevet (az ilyen típusú ábrákon a sarkok helyett a négy oldal jelenlétét hangsúlyozva) néhány modern nyelv megőrizte. Például angolul - quadrilateral és franciául - quadrilatère.

Ráadásul a legtöbb szláv nyelvben a szóban forgó figura típusát még mindig a szögek, nem pedig az oldalak száma alapján azonosítják. Például szlovákul (štvoruholník), bolgárul ("chetirigalnik"), fehéroroszul ("chatyrokhkutnik"), ukránul ("chotirikutnik"), csehül (čtyřúhelník), de lengyelül a négyszöget a számmal hívják. oldalak - czworoboczny.

Milyen típusú négyszögeket tanulmányoznak az iskolai tantervben?

A modern geometriában 4 féle sokszög létezik, amelyeknek négy oldala van.

Egyesek túlságosan összetett tulajdonságai miatt azonban a geometria órákon csak két típussal ismerkednek meg az iskolások.

• Paralelogramma. Egy ilyen négyszög szemközti oldalai páronként párhuzamosak egymással, és ennek megfelelően párban is egyenlők.
• Trapéz (trapéz vagy trapéz). Ez a négyszög két egymással párhuzamos oldalból áll. A másik oldalpár azonban nem rendelkezik ezzel a funkcióval.

Az iskolai geometria tantárgyban nem vizsgált négyszögtípusok

A fentieken kívül van még két olyan négyszögtípus, amelyekkel az iskolások különös bonyolultságuk miatt nem ismerkednek meg geometria órákon.

• Deltoid (sárkány)- olyan ábra, amelyben a két szomszédos oldalpár mindegyike egyenlő hosszúságú. Ez a négyszög azért kapta a nevét, mert megjelenésében nagyon hasonlít a görög ábécé betűjére - „delta”.
• Antiparallelogramma- ez a figura olyan összetett, mint a neve. Ebben két szemközti oldal egyenlő, ugyanakkor nem párhuzamosak egymással. Ezen túlmenően ennek a négyszögnek a hosszú ellentétes oldalai metszik egymást, akárcsak a másik két, rövidebb oldal kiterjesztései.

A paralelogramma fajtái

Miután foglalkoztunk a négyszögek fő típusaival, érdemes odafigyelni azok altípusaira. Tehát minden paralelogramma négy csoportra van osztva.

• Klasszikus paralelogramma.
• Rombusz- négyszög alakú, egyenlő oldalú figura. Átlói derékszögben metszik egymást, és a rombuszt négy egyenlő derékszögű háromszögre osztják.
• Téglalap. A név magáért beszél. Mivel ez egy derékszögű négyszög (mindegyik kilencven fokkal egyenlő). Ellentétes oldalai nemcsak párhuzamosak egymással, hanem egyenlőek is.
• Négyzet. A téglalaphoz hasonlóan derékszögű négyszög, de minden oldala egyenlő. Ily módon ez a szám közel áll egy rombuszhoz. Tehát azt mondhatjuk, hogy a négyzet egy rombusz és egy téglalap keresztezése.

A téglalap speciális tulajdonságai

Ha olyan ábrákat veszünk figyelembe, amelyekben az oldalak közötti szögek mindegyike kilencven fokkal egyenlő, érdemes közelebbről megvizsgálni a téglalapot. Tehát milyen sajátosságai vannak, amelyek megkülönböztetik a többi paralelogrammától?

Ahhoz, hogy azt állítsuk, hogy a kérdéses paralelogramma téglalap, átlóinak egyenlőnek kell lenniük egymással, és minden szögnek derékszögűnek kell lennie. Ezenkívül az átlói négyzetének meg kell felelnie az ábra két szomszédos oldalának négyzetösszegének. Más szóval, egy klasszikus téglalap két derékszögű háromszögből áll, és ezekben, mint ismeretes, a kérdéses négyszög átlója a befogó szerepét tölti be.

Ennek a figurának a felsorolt ​​jellemzői közül az utolsó is a különleges tulajdonsága. Ezen kívül vannak még mások. Például az, hogy a vizsgált négyszög minden oldala derékszöggel egyben a magassága is.

Ezenkívül, ha egy kört rajzolunk bármely téglalap köré, annak átmérője megegyezik a beírt ábra átlójával.

A négyszög egyéb tulajdonságai között szerepel, hogy lapos, és nem létezik a nem euklideszi geometriában. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy egy ilyen rendszerben nincsenek négyszögletes alakok, amelyek szögeinek összege háromszázhatvan fokkal egyenlő.

A tér és jellemzői

A téglalap jeleinek és tulajdonságainak megértése után érdemes odafigyelni a tudomány által ismert második derékszögű négyszögre (ez egy négyzet).

Mivel valójában ugyanaz a téglalap, de egyenlő oldalakkal, ennek az alaknak minden tulajdonsága megvan. De ellentétben vele, a négyzet jelen van a nem euklideszi geometriában.

Ezen túlmenően ez a figura más sajátos jellemzőkkel is rendelkezik. Például azt, hogy egy négyzet átlói nemcsak egyenlőek egymással, hanem derékszögben metszik egymást. Így, mint egy rombusz, egy négyzet négy derékszögű háromszögből áll, amelyekre átlók osztják.

Ráadásul ez az ábra a legszimmetrikusabb az összes négyszög között.

Mennyi egy négyszög szögeinek összege?

Az euklideszi geometria négyszögeinek jellemzőinek figyelembe vételekor érdemes odafigyelni a szögeikre.

Tehát a fenti ábrák mindegyikében, függetlenül attól, hogy van-e derékszöge vagy sem, a teljes összegük mindig ugyanaz - háromszázhatvan fok. Ez az ilyen típusú figurák egyedi megkülönböztető jellemzője.

Négyszögek kerülete

Miután kitalálta, hogy mekkora egy négyszög szögeinek összege, és az ilyen típusú alakzatok egyéb speciális tulajdonságait, érdemes kideríteni, hogy milyen képleteket a legjobb használni a kerületük és a területük kiszámításához.

Bármely négyszög kerületének meghatározásához csak össze kell adni az összes oldalának hosszát.

Például a KLMN ábrán a kerülete a következő képlettel számítható ki: P = KL + LM + MN + KN. Ha itt helyettesíti a számokat, akkor a következőt kapja: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Abban az esetben, ha a kérdéses ábra rombusz vagy négyzet, a kerület meghatározásához leegyszerűsítheti a képletet úgy, hogy az egyik oldal hosszát egyszerűen megszorozzuk néggyel: P = KL x 4. Például: 6 x 4 = 24 (cm).

Területnégyszög képletek

Miután rájöttünk, hogyan lehet megtalálni a négy sarkú és oldalsó alak kerületét, érdemes megfontolni a terület megtalálásának legnépszerűbb és legegyszerűbb módjait.

A négyszögek egyéb tulajdonságai: be- és körülírt körök

Figyelembe véve a négyszög jellemzőit és tulajdonságait, mint az euklideszi geometria alakját, érdemes figyelmet fordítani a körök leírására vagy a benne lévő körök beírására:

• Ha egy ábra szemközti szögeinek összege száznyolcvan fok és páronként egyenlő, akkor egy ilyen négyszög körül szabadon leírható egy kör.
• Ptolemaiosz tétele szerint, ha egy kört egy sokszögön kívül négy oldallal körülírunk, akkor átlóinak szorzata egyenlő az adott ábra szemközti oldalainak szorzatainak összegével. Így a képlet így fog kinézni: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Ha olyan négyszöget építesz, amelyben a szemközti oldalak összegei egyenlők egymással, akkor kört írhatsz bele.

Miután rájöttünk, mi az a négyszög, milyen típusai léteznek, melyiknek van csak derékszöge az oldalak között, és milyen tulajdonságokkal rendelkezik, érdemes megjegyezni ezt az egész anyagot. Különösen a figyelembe vett sokszögek kerületének és területének meghatározására szolgáló képletek. Hiszen az ilyen alakú figurák a legelterjedtebbek közé tartoznak, és ez a tudás hasznos lehet a való életben történő számításokhoz.

Az iskolai tananyagban a geometria órákon különféle típusú négyszögekkel kell foglalkozni: rombuszokkal, paralelogrammákkal, téglalapokkal, trapézokkal, négyzetekkel. A legelső formák, amelyeket tanulmányozni kell, a téglalap és a négyzet.

Tehát mi az a téglalap? A középiskola 2. osztályának meghatározása így fog kinézni: ez egy négyszög, amelynek mind a négy szöge derékszögű. Könnyű elképzelni, hogy néz ki egy téglalap: ez egy 4 derékszögű figura, amelynek oldalai páronként párhuzamosak egymással.

Hogyan érthetjük meg egy másik geometriai feladat megoldása során, hogy melyik négyszöggel van dolgunk? Három fő jel van, amellyel félreérthetetlenül megállapítható, hogy téglalapról beszélünk. Nevezzük őket:

• az ábra egy négyszög, amelynek három szöge egyenlő 90°-kal;
• az ábrázolt négyszög egyenlő átlójú paralelogramma;
• paralelogramma, amelynek legalább egy derékszöge van.

Érdekes tudni: mi a konvex, jellemzői és tünetei.

Mivel a téglalap paralelogramma (azaz egy négyszög, amelynek párja párhuzamos ellentétes oldalakkal rendelkezik), így minden tulajdonsága és jellemzője teljesül.

Képletek az oldalhosszak kiszámításához

Egy téglalapban a szemközti oldalak egyenlőek és egymással párhuzamosak. A hosszabb oldalt általában hossznak (a-val jelölve), a rövidebb oldalt szélességnek (b-vel) nevezzük. A képen látható téglalapban a hosszúságok az AB és a CD oldalak, a szélességek pedig az AC és a B. D. Ezek szintén merőlegesek az alapokra (azaz ezek a magasságok).

Az oldalak megtalálásához használhatja az alábbi képleteket. A következő konvenciókat használják: a - a téglalap hossza, b - a szélessége, d - az átló (egy szegmens, amely két egymással szemben fekvő szög csúcsait köti össze), S - az ábra területe, P - a kerület, α - az átló és a hossz közötti szög, β mindkét átló által alkotott hegyesszög. Az oldalhosszak meghatározásának módjai:

• Átlót és ismert oldalt használva: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
• Az ábra területe és az egyik oldala alapján: a = S / b, b = S / a.
• A kerület és az ismert oldal felhasználásával: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Az átlón és a hosszon keresztül: a = d sinα, b = d cosα.
• Az átlón és a β szögön keresztül: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Kerület és terület

A négyszög kerületét ún az összes oldala hosszának összege. A kerület kiszámításához a következő képletek használhatók:

• Mindkét oldalon keresztül: P = 2 (a + b).
• A területen és az egyik oldalon keresztül: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

A terület a kerülettel körülvett tér. A terület kiszámításának három fő módja:

• Mindkét oldal hosszán keresztül: S = a*b.
• A kerület és bármely ismert oldal használatával: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• Átlósan és β szög: S = 0,5 d² sinβ.

Az iskolai matematika kurzusának problémái gyakran jó ismereteket igényelnek egy téglalap átlóinak tulajdonságai. Felsoroljuk a főbbeket:

1. Az átlók egyenlőek egymással, és metszéspontjuknál két egyenlő szegmensre vannak osztva.
2. Az átlót a két oldal összegének négyzetének gyökeként határozzuk meg (a Pitagorasz-tételből következik).
3. Az átló a téglalapot két derékszögű háromszögre osztja.
4. A metszéspont egybeesik a körülírt kör középpontjával, és maguk az átlók egybeesnek az átmérőjével.

Az átló hosszának kiszámításához a következő képleteket használjuk:

• Az ábra hosszának és szélességének felhasználásával: d = √(a² + b²).
• A négyszög köré körülírt kör sugarát használva: d = 2 R.

A négyzet definíciója és tulajdonságai

A négyzet egy rombusz, paralelogramma vagy téglalap speciális esete. Különbsége ezektől az ábráktól az, hogy minden szöge derékszögű, és mind a négy oldala egyenlő. A négyzet szabályos négyszög.

A négyszöget négyzetnek nevezzük a következő esetekben:

1. Ha olyan téglalapról van szó, amelynek a hossza és b szélessége egyenlő.
2. Ha ez egy rombusz egyenlő hosszúságú átlókkal és négy derékszöggel.

A négyzet tulajdonságai közé tartozik a téglalaphoz kapcsolódó összes korábban tárgyalt tulajdonság, valamint a következők:

1. Az átlók merőlegesek egymásra (rombusz tulajdonság).
2. A metszéspont egybeesik a beírt kör középpontjával.
3. Mindkét átló a négyszöget négy egyenlő derékszögű és egyenlő szárú háromszögre osztja.

Itt vannak a gyakran használt képletek kerület-, terület- és négyzetelemek számítása:

• d átló = a √2.
• kerület P = 4 a.
• S terület = a².
• A körülírt kör sugara az átló fele: R = 0,5 a √2.
• A beírt kör sugara az oldal hosszának fele: r = a / 2.

Példák kérdésekre és feladatokra

Nézzünk meg néhány kérdést, amelyek az iskolai matematika kurzus tanulása során felmerülhetnek, és oldjunk meg néhány egyszerű feladatot.

1. probléma. Hogyan fog megváltozni egy téglalap területe, ha az oldalak hosszát megháromszorozzuk?

Megoldás : Jelöljük az eredeti ábra területét S0-val, egy olyan négyszög területét, amelynek oldalai háromszorosak, S1-nek. A korábban tárgyalt képlet segítségével megkapjuk: S0 = ab. Most növeljük meg a hosszt és a szélességet háromszorosára, és írjuk fel: S1= 3 a 3 b = 9 ab. S0 és S1 összehasonlítása során nyilvánvalóvá válik, hogy a második terület 9-szer nagyobb, mint az első.

1. kérdés: A derékszögű négyszög négyzet?

Megoldás : A definícióból az következik, hogy egy derékszögű alak csak akkor négyzet, ha minden oldalának hossza egyenlő. Más esetekben az ábra egy téglalap.

2. probléma. Egy téglalap átlói 60 fokos szöget zárnak be. A téglalap szélessége 8. Számítsa ki, mekkora az átlója!

Megoldás: Emlékezzünk vissza, hogy az átlókat a metszéspont kettéosztja. Így egy egyenlő szárú háromszöggel van dolgunk, amelynek csúcsszöge 60°. Mivel a háromszög egyenlő szárú, az alapnál lévő szögek is azonosak lesznek. Egyszerű számításokkal azt találjuk, hogy mindegyik egyenlő 60°-kal. Ebből következik, hogy a háromszög egyenlő oldalú. Az általunk ismert szélesség a háromszög alapja, ezért az átló fele is 8, a teljes átló hossza pedig kétszer akkora és egyenlő 16-tal.

2. kérdés: Egy téglalap minden oldala egyenlő vagy nem?

Megoldás : Elég megjegyezni, hogy a négyzet minden oldalának egyenlőnek kell lennie, ami a téglalap speciális esete. Minden más esetben elegendő feltétel legalább 3 derékszög megléte. A felek egyenlősége nem kötelező.

3. probléma. A négyzet területe ismert és egyenlő 289. Határozza meg a beírt és körülírt kör sugarait.

Megoldás : A négyzetre vonatkozó képletek segítségével a következő számításokat végezzük:

• Határozzuk meg, hogy a négyzet alapelemei mivel egyenlők: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Számítsuk ki a négyszög köré körülírt kör sugarát: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Határozzuk meg a beírt kör sugarát: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete