Hogyan határozzuk meg a skálanégyszög területét. Derékszögű háromszögek területe

I. Előszó

Ez balszerencse: miután két hétig beteg voltál, bejössz az iskolába, és rájössz, hogy sok mindenről lemaradtál fontos téma, amelynek problémái a 9. osztályos vizsgákon lesznek – „Háromszögek, négyszögek és területük”. Itt rohannék a geometriatanárhoz kérdésekkel: "Hogyan találjuk meg a négyszög területét?" De a diákok fele fél a tanárokhoz fordulni, nehogy lemaradjanak, a másik fele pedig a „Nézd a tankönyvben, ott minden meg van írva”-hoz hasonló „segítséget” kap a tanároktól! vagy „Nem kellett volna kihagynod az órát!” De a tankönyvben egyáltalán nincs információ a háromszögek és négyszögek területének megtalálásának szabályairól. A leckék pedig elmaradtak jó ok, van egy orvosi igazolás. De sok tanár egyszerűen feladja ezeket az érveket. Persze meg lehet őket érteni: nem fizetnek plusz vezetési tananyagot a semmit nem értő diákok fejébe. Sok diák feladja ezt a haszontalan feladatot, és egy évvel később megbukik a vizsgán, és tíz pontot hiányolnak a háromszögek és négyszögek területének megkeresésére. És csak kevesen keresik fel a könyvtárat és a barátokat azzal a kérdéssel: „Hogyan találjuk meg a négyszög területét?” A különböző emberekés a könyvek különböző válaszokat adnak, és nagy a szabályzavar. Az alábbiakban megnevezem a háromszögek és négyszögek területének megtalálásának főbb módjait.

II. Négyszögek

Kezdjük a négyszögekkel. Az iskolákban és a vizsgákon csak a konvex négyszögeket veszik figyelembe, ezért beszéljünk róluk. A középfokú oktatásban a paralelogrammák és a trapézok területeit tanulják. Többféle paralelogramma létezik: téglalap, négyzet, rombusz és tetszőleges paralelogramma, amelyben csak az alapvető jellemzőit figyeljük meg: az oldalak páronként párhuzamosak és egyenlőek, a szomszédos szögek összege 180 fok. De ezeknek a számoknak a területeinek megtalálásának módszerei eltérőek. Nézzük mindegyiket külön-külön.

1. Téglalap

Egy téglalap S-jét a következő képlettel találjuk meg: S = a * b, aholA- vízszintes oldal, b- függőleges oldal.*

2. A négyzetek területe

Az S négyzetet a következő képlettel találjuk meg: S = a * a, ahola- egy négyzet oldala.

3. Rombuszok területe

A rombusz S-jét a következő képlettel találjuk meg: S = 0,5 * (d 1 * d 2), ahold 1- nagy átló,** d 2- kisebb átló.

4. Egy tetszőleges paralelogramma területe

Egy tetszőleges paralelogramma S-jét a következő képlettel találjuk meg: S = a * h a, a- a paralelogramma oldala, h a

Nem mind?

Elkészültünk a paralelogrammákkal. – Csak ezt kell megtanulnom? - kérdezed megkönnyebbülten. Azt válaszolom: paralelogrammákból - igen, csak azt. De maradtak még trapézok és háromszögek. Tehát folytassuk.

III. Csapda tsés én

A trapéz területe

A trapéz S egy képlettel kereshető, legyen az közönséges vagy egyenlő szárú: S = ((a + b) : 2) * h, ahola, b- ee okok, h- ee magasság. Ennyi a trapézhoz. Most a kérdéshez: "Hogyan találjuk meg a négyszög területét?" - nem csak magadnak válaszolhatsz, hanem másokat is felvilágosíthatsz. Most térjünk át a háromszögekre.

IV. Háromszög

A geometriában három képletet azonosítottak a területük meghatározására: téglalap alakú, egyenlő oldalú és tetszőleges háromszögekre.

1. Egy háromszög területe

S tetszőleges háromszög képlettel számolva: S = 0,5a * h a, a- a háromszög oldala, h a- erre az oldalra húzott magasság.

2. Az egyenlő oldalú háromszögek területe

S egyenlő oldalú háromszög képlet segítségével találhatjuk meg: S = 0,5a * h, ahola- a háromszög alapja, h- ennek a háromszögnek a magassága.

3. Terület derékszögű háromszögek

A derékszögű háromszögek területét a következő képlet határozza meg: S = (a * b) : 2, aholA- 1. láb, b- 2. láb.

Következtetés

Nos, véleményem szerint ennyi. A háromszögekről is tanulnod kell egy kicsit, nem? Most nézz meg mindent, amit ide írtam. – Egy hónapba fog telni, amíg ezt megtanulod! - kiáltod valószínűleg. És ki mondta, hogy mindent gyorsan megtanulsz? De ha mindezt megtanulja, nem fog megijedni a „Hogyan találjuk meg a négyszög területét” vagy „Egy tetszőleges háromszög területe” témájú kérdésektől a 9. osztályos értékelésen. Szóval, ha egyáltalán el akarsz menni, taníts, tanulj és legyél tudós!

___________________________________

jegyzet

* - aÉs b nem kell az általam beállított helyeken lenni. Feladatok megoldásánál a függőleges oldalt hívhatjuk aés vízszintes - b;

** - az átlók felcserélhetők és a nevük megváltoztatható ugyanúgy, mint a jegyzetben. *

Négyszög négy csúcsból, amelyek közül három nem egy egyenesen fekszik, és az ezeket összekötő szakaszokból álló ábra.

Sok négyszög létezik. Ide tartoznak a paralelogrammák, négyzetek, rombuszok és trapézok. A lelet az oldalak mentén található, átlókkal könnyen kiszámítható. Egy tetszőleges négyszögben az összes elemet felhasználhatja a négyszög területének képletének származtatásához. Először nézzük meg a négyszög területének képletét az átlója szempontjából. Használatához szüksége lesz az átlók hosszára és a köztük lévő hegyesszög méretére. A szükséges adatok ismeretében példát hajthat végre egy négyszög területének kiszámítására a következő képlet segítségével:

Az átlók és a köztük lévő hegyesszög szinuszának szorzatának fele a négyszög területe. Tekintsünk egy példát egy négyszög területének kiszámítására az átló segítségével.

Legyen adott egy négyszög, amelynek két átlója d1 =5 cm;d2 =4cm. A köztük lévő hegyesszög α = 30°. A négyszög területének képlete az átlói alapján könnyen alkalmazható ismert körülmények között. Cseréljük ki az adatokat:

A négyszög területének átlókkal történő kiszámításának példájával megértjük, hogy a képlet nagyon hasonlít a számításhoz.

Egy négyszög területe az oldalak mentén

Ha egy ábra oldalainak hossza ismert, alkalmazhatja a képletet egy négyszög területére az oldalak mentén. E számítások alkalmazásához meg kell találnia az ábra fél kerületét. Emlékezzünk arra, hogy a kerület az összes oldal hosszának összege. A félperiméter fél kerület. Az a, b, c, d oldalú téglalapunkban a fél kerületi képlet így fog kinézni:
Az oldalak ismeretében levezetjük a képletet. A négyszög területe a fél kerülete és az egyes oldalak hossza közötti különbség szorzatának gyöke:

Nézzünk egy példát egy négyszög területének kiszámítására az oldalai alapján. Adott egy tetszőleges négyszög, amelynek oldalai a = 5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, d = 6 cm Először keressük meg a fél kerületet:

használja a talált értéket a terület kiszámításához:

Egy négyszög területe koordinátákkal megadva

A koordinátarendszerben elhelyezkedő ábrák területének kiszámításához a négyszög koordináták szerinti területének képletét használják. Ebben az esetben először ki kell számítania a szükséges oldalak hosszát. A négyszög típusától függően maga a képlet változhat. Nézzünk egy példát egy négyszög területének kiszámítására egy négyzet segítségével, amely az XY koordinátarendszerben található.

Adott egy XY koordinátarendszerben elhelyezkedő ABCD négyzet. Határozza meg az ábra területét, ha a csúcsok koordinátái A (2;10); B(10;8); C(8;0); D(0;2).

Tudjuk, hogy az ábra minden oldala egyenlő, és a négyzet területének képletét a következő képlet találja meg:
Keressük meg az egyik oldalt, például az AB-t:
Helyettesítsük be az értékeket a képletbe:
Tudjuk, hogy minden oldal egyforma. Az értéket behelyettesítjük a terület számítási képletébe:

Ha több szegmenst rajzolsz egymás után egy síkon úgy, hogy minden következő azon a helyen kezdődik, ahol az előző véget ért, akkor szaggatott vonal. Ezeket a szegmenseket linkeknek, metszéspontjaikat pedig csúcsoknak nevezzük. Amikor az utolsó szakasz vége metszi a kiindulópont először egy zárt szaggatott vonalat kap, amely a síkot két részre osztja. Az egyik véges, a második pedig végtelen.

Egyszerű zárt sor a benne foglalt síkrésszel (a végessel) együtt sokszögnek nevezzük. A szegmensek oldalak, az általuk alkotott szögek pedig csúcsok. Bármely sokszög oldalainak száma megegyezik a csúcsainak számával. A három oldalú alakzatot háromszögnek, a négyet négyszögnek nevezzük. A sokszöget numerikusan egy érték, például a terület jellemzi, amely az ábra méretét mutatja. Hogyan találjuk meg a négyszög területét? Ezt tanítja a matematika ága - a geometria.

A négyszög területének megtalálásához tudnia kell, hogy milyen típusú - konvex vagy nem konvex? az egész viszonylag egyenesen fekszik (és szükségszerűen tartalmazza néhány oldalát) az egyik oldalon. Ezenkívül léteznek olyan típusú négyszögek, mint a páronként egyenlő és párhuzamos paralelogramma ellentétes oldalak(változatai: derékszögű téglalap, rombusz egyenlő oldalak, egy négyzet, amelynek minden derékszöge és négy egyenlő oldala van), egy trapéz, amelynek két párhuzamos oldala van, és egy deltoid két párral szomszédos oldalak, amelyek egyenlőek.

Bármely sokszög területe a segítségével található általános módszer, amely abból áll, hogy mindegyikhez háromszögekre osztjuk, kiszámítjuk egy tetszőleges háromszög területét és összeadjuk az eredményeket. Bármely konvex négyszöget két háromszögre osztjuk, egy nem konvex négyszöget kettőre vagy háromra, ebben az esetben az eredmények összegéből és különbségéből áll. Bármely háromszög területét az alap (a) és az alaphoz húzott magasság (ħ) szorzatának feleként számítjuk ki. A számításhoz ebben az esetben használt képlet a következőképpen írható: S = ½. a. ħ.

Hogyan lehet megtalálni egy négyszög, például egy paralelogramma területét? Ismernie kell az alap hosszát (a), az oldal hosszát (ƀ), és meg kell találnia az alap és az oldal által alkotott α szög szinuszát (sinα), a számítási képlet így fog kinézni: S = a. ƀ. sinα. Mivel az α szög szinusza a paralelogramma alapjának és magasságának (ħ = ƀ) szorzata, az egyenes merőleges az alapra, akkor területét úgy számítjuk ki, hogy alapját megszorozzuk a magassággal: S = a. ħ. Ez a képlet egy rombusz és egy téglalap területének kiszámítására is alkalmas. A téglalap óta oldalƀ egybeesik a ħ magassággal, akkor területét az S = a képlet alapján számítjuk ki. ƀ. mert a = ƀ, egyenlő lesz az oldalának négyzetével: S = a. a = a². oldalai összegének fele szorozva a magassággal (a trapéz alapjára merőlegesen rajzoljuk): S = ½. (a + ƀ) . ħ.

Hogyan találjuk meg egy négyszög területét, ha az oldalainak hossza ismeretlen, de átlói (e) és (f), valamint az α szög szinusza ismertek? Ebben az esetben a területet az átlói (a sokszög csúcsait összekötő egyenesek) szorzatának feleként számítjuk ki, megszorozzuk az α szög szinuszával. A képlet a következőképpen írható fel: S = ½. (e. f) . sinα. Különösen ebben az esetben egyenlő lesz az átlók szorzatának felével (a rombusz ellentétes sarkait összekötő vonalak): S = ½. (e. f).

Hogyan lehet megtalálni egy olyan négyszög területét, amely nem paralelogramma vagy trapéz, azt általában tetszőleges négyszögnek nevezik. Egy ilyen alakzat területét a fél kerületén (P a két közös csúcsú oldal összege), az a, ƀ, c, d oldalakon és kettő összegén keresztül fejezzük ki. ellentétes sarkok(α + β): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - c) . (Ρ - d) - a. ƀ. c. d. cos² ½ (α + β)].

Ha a φ = 180°, akkor a területének kiszámításához Brahmagupta (indiai csillagász és matematikus, aki az i.sz. 6-7. században élt) képletét használjuk: S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - c) . (Ρ - d)]. Ha egy négyszöget körrel írunk le, akkor (a + c = ƀ + d), és a területét kiszámítjuk: S = √[ a. ƀ. c. d] . sin ½ (α + β). Ha egy négyszöget egyidejűleg egy körrel körülírunk, és egy másik körbe írunk be, akkor a terület kiszámításához a következő képletet használjuk: S = √.

Négyzet geometriai alakzat - egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely az ábra méretét mutatja (a felület egy része, amelyet az ábra zárt körvonala korlátoz). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Háromszög terület képletek

A háromszög területének képlete oldal és magasság szerint
Egy háromszög területe egyenlő egy háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a felével
A háromszög területének képlete három oldal és a körülírt kör sugara alapján
A háromszög területének képlete a három oldal és a beírt kör sugara alapján
Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.

Négyzetterület képletek

A négyzet területének képlete oldalhosszonként
Négyzet alakú terület egyenlő az oldala hosszának négyzetével.
Képlet egy négyzet területének az átlós hossz mentén
Négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
S= 1 2
2

Téglalap terület képlete

Egy téglalap területe

Párhuzamos terület képletek

A paralelogramma területének képlete az oldalhossz és a magasság alapján
Egy paralelogramma területe
A paralelogramma területének képlete két oldal és a köztük lévő szög alapján
Egy paralelogramma területe egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a közöttük lévő szög szinuszával.
a b sin α

A rombusz területének képletei

A rombusz területének képlete az oldalhossz és a magasság alapján
Egy rombusz területe egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának a szorzatával.
A rombusz területének képlete az oldalhossz és a szög alapján
Egy rombusz területe egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
A rombusz területének képlete az átlók hossza alapján
Egy rombusz területeátlói hosszának a felével egyenlő.

Trapézfelület képletek

Heron képlete a trapézhoz
ahol S a trapéz területe,
- a trapéz alapjainak hossza,
- a trapéz oldalainak hossza,

Iskolában matematikai feladatok Gyakran meg kell határoznia egy négyszög területét. Minden nagyon egyszerű, ha megadják különleges eset formák - négyzet, rombusz, téglalap, trapéz, paralelogramma, rombusz. Tetszőleges négyszög esetén minden valamivel bonyolultabb, de egy átlagos diák számára is elérhető. Az alábbiakban megvizsgáljuk különféle módszerek tetszőleges négyszögek területének kiszámítása, képletek írása és különféle segédpéldák megfontolása.

Az alábbi táblázat tartalmazza a használt meghatározásokat és konvenciókat később megbeszéléseink során.

Négyszög területének meghatározása különféle módszerekkel és technikákkal

Nézzük meg, hogyan találjuk meg a négyszög területét, amikor átlói és a metszésükkel alkotott átlói adottak éles sarok . Ezután a négyszög területét a következő képlettel számítjuk ki: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Nézzünk egy példát. Legyen d1 = 15 centiméter, d2 = 12 centiméter, és a köztük lévő szög 30 fok. Határozzuk meg az S-t. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 négyzetcentiméter.

Most engedjük adott egy négyszög oldalai és szemközti szögei.

Legyen a, b, c, d ismert felek poligon; p a fél kerülete. Megegyezünk, hogy a kifejezés négyzetgyökét radként jelöljük (a latin gyökből). A négyszög területének képletét a következő képlet adja meg: S = rad((p − a) (p − b) (p − c) (p − d) − a b c d ⋅ c o s^2((a) ,b) + (c,d) )/2), ahol p = 1/2*(a + b + c + d).

Első pillantásra a képlet nagyon összetettnek és igényesnek tűnik. Itt azonban nincs semmi bonyolult, amit egy példán keresztül be is bizonyítunk. Állapotunk adatai legyenek a következők: a = 18 milliméter, b = 23 milliméter, c = 22 milliméter, d = 17 milliméter. Az ellentétes szögek (a,b) = 0,5 fok és (c, d) = 1,5 fok. Először is megtaláljuk a fél kerületet: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 milliméter.

Most keressük meg a koszinusz négyzetét fél összegek ellentétes szögek: c o s^2((a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1 /2) = 0,9996.

Helyettesítsük be a kapott adatokat a képletünkbe, így kapjuk: S = rad((40 - 18)*(40 - 23)*(40 - 22)*(40 - 17) - 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 - 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 - 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 négyzetmilliméter.

Találjuk ki hogyan lehet területet keresni beírt és körülírt körök segítségével. Ebben a témában a problémák megoldása során érdemes egy segédrajzot kísérni, bár ez a követelmény nem kötelező.

Ha van egy beírt kör, és meg kell találnia a négyszög területét, a képlet így néz ki:

S = ((a + b+ c + d)/2)*r

Vegyünk ismét egy példát: a = 16 méter, b = 30 méter, c = 28 méter, d = 14 méter, r = 6 méter. Ha behelyettesítjük az értékeket a képletbe, a következőket kapjuk:

S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 négyzetméter.

Most vessünk egy pillantást arra az opcióra, ahol egy kör egy négyszög köré van körülírva. Itt a következő képletet használhatjuk:

S = rad((p − a)*(p − b)*(p − c)*(p − d), ahol p egyenlő a kerület hosszának felével. Legyen esetünkben az oldalak értéke a következő a = 26 deciméter, b = 35 deciméter, c = 39 deciméter, d = 30 deciméter.

Először is határozzuk meg a fél kerületet, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 deciméter. Helyettesítsük be a talált értéket a képletünkbe. Kapunk:

S = rad((65-26)*(65-35)*(65-39)*(65-30)) = rad(39*30*26*35) = 1032 (lekerekített) négyzetdeciméter.

Következtetés

A fentiek gondos tanulmányozása után arra a következtetésre juthatunk - egy tetszőleges négyszög területének meghatározása különböző oldalak nehezebb, mint az övék speciális típusok- négyzet, téglalap, rombusz, trapéz, paralelogramma. Gondosan tanulmányozva azonban A fenti módszerek mindegyike könnyen megoldhatja az iskolások számára szükséges problémákat. Foglaljuk össze az összes képletünket egy táblázatban:

S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2);
S = rad((p − a)*(p − b)*(p − c)*(p − d) − a*b*c*d*c o s^2((a,b) + (c,d) ))/2), ahol p = 1/2*(a + b + c + d);
S = ((a + b+ c + d)/2)*r

S = rad((p − a)*(p − b)*(p − c)*(p − d), ahol p egyenlő a kerület felével.

És így, csak a 2-es képlet igazán összetett, de ez is eléggé hozzáférhető, feltéve, hogy jól ismeri a cikkben szereplő definíciókat és konvenciókat.

Videó

Ez a videó segít megérteni ezt a témát.

Nem kapott választ a kérdésére? Javasolj témát a szerzőknek.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: A szénelemek jellemzői és kémiai tulajdonságai