Az egyik gépnek van egy közös. A3 Ha két síknak van egy közös pontja, akkor van egy közös egyenesük, amelyen ezen síkok összes közös pontja található

I5 Bármilyen három pont is nem ugyanazon az egyenesen fekszik, legfeljebb egy sík halad át ezeken a pontokon.

I6 Ha egy egyenes két A és B pontja az a síkban van, akkor az a egyenes minden pontja az a síkban fekszik. (Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az a egyenes az a síkban fekszik, vagy az a sík átmegy az a vonalon.

I7 Ha két a és b síknak van közös A pontja, akkor van még legalább egy közös B pontjuk.

I8 Legalább négy olyan pont van, amely nem esik ugyanabban a síkban.

Már ebből a 8 axiómából levezethető az elemi geometriák több tétele, amelyek egyértelműen nyilvánvalóak, ezért egy iskolai geometriatanfolyamon nem bizonyítottak, sőt néha logikai okokból bekerülnek egyik vagy másik iskola axiómáiba. tanfolyam

Például:

1. Két egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van.

2. Ha két síknak van egy közös pontja, akkor van egy közös egyenesük, amelyen e két sík összes közös pontja van

Bizonyíték: (a bemutatkozáshoz):

I-vel 7 $ B, amely szintén a-hoz és b-hez tartozik, mert A,B "a, majd I 6 AB szerint "b. Ez azt jelenti, hogy az AB egyenes közös a két síkban.

3. Egy egyenesen és egy azon nem fekvő ponton, valamint két egymást metsző egyenesen keresztül egy és csak egy sík halad át.

4. Minden síkon van három olyan pont, amely nem ugyanazon az egyenesen fekszik.

MEGJEGYZÉS: Ezekkel az axiómákkal néhány tételt bebizonyíthat, és a legtöbb ilyen egyszerű. Ezekből az axiómákból különösen lehetetlen bizonyítani, hogy a geometriai elemek halmaza végtelen.

II. CSOPORT A rend axiómái.

Ha három pontot adunk meg egy egyenesen, akkor ezek közül az egyik a másik kettővel egy „fekszik között” összefüggésben hozható kapcsolatba, ami kielégíti a következő axiómákat:

II1 Ha B A és C között van, akkor A, B, C ugyanazon egyenes különböző pontjai, B pedig C és A között.

II2 Bármi legyen is a két A és B pont, legalább egy C pont van az AB egyenesen úgy, hogy B A és C között van.

II3 Egy egyenes bármely három pontja között legfeljebb egy pont lehet a másik kettő között

Hilbert szerint az AB(BA) szakaszon egy A és B pontpárt értünk. Az A és B pontokat a szakasz végeinek, az A és B pontok között elhelyezkedő bármely pontot pedig a szakasz belső pontjának nevezzük. AB(BA).

MEGJEGYZÉS: De a II 1-II 3-ból még nem az következik, hogy minden szakasznak vannak belső pontjai, hanem a II 2-ből, Þ, hogy a szakasznak vannak külső pontjai.

II4 (Pasch-axióma) Legyen A, B, C három olyan pont, amelyek nem esnek egy egyenesen, és egy olyan egyenes az ABC síkban, amely nem megy át egyik A, B, C ponton sem. Ekkor ha egy a egyenes átmegy egy ponton az AB szakaszon, akkor átmegy egy ponton az AC vagy BC szakaszon is.

Sl.1: Bármelyik is legyen az A és C pont, az AC egyenesen legalább egy D pont van A és C között.

Dokumentum: I 3 Þ$ azaz nem fekszem az AC vonalon

Most két állítást tudunk bizonyítani

DC3 A II 4 állítás akkor is érvényes, ha az A, B és C pont ugyanazon az egyenesen van.

És a legérdekesebb.

4. szint . Egy egyenes bármely két pontja között végtelen sok más pont (én) található.

Nem állapítható meg azonban, hogy egy egyenes ponthalmaza megszámlálhatatlan .

Az I. és II. csoport axiómái lehetővé teszik olyan fontos fogalmak bevezetését, mint pl félsík, sugár, féltér és szög. Először bebizonyítjuk a tételt.

Th1. Az a síkban fekvő a egyenes e sík azon pontjainak halmazát, amelyek nem esnek az a egyenesen, két nem üres részhalmazra osztja úgy, hogy ha az A és B pont ugyanahhoz a részhalmazhoz tartozik, akkor az AB szakasznak nincs közös pont az a egyenessel; ha ezek a pontok különböző részhalmazokhoz tartoznak, akkor az AB szakasznak közös pontja van az a egyenessel.

Ötlet: bevezetünk egy relációt, nevezetesen A és B Ï AΔ relációban vannak, ha az AB szakasznak nincs közös pontja az egyenessel A vagy ezek a pontok egybeesnek. Ezután figyelembe vettük a Δ relációra vonatkozó ekvivalenciaosztályok halmazait. Bebizonyosodott, hogy csak kettő van belőlük egyszerű érveléssel.

Odr1 Az előző tétel által meghatározott pontok mindegyik részhalmazát a határú félsíknak nevezzük.

Hasonlóan bevezethetjük a sugár és a féltér fogalmát.

Sugár- h, az egyenes pedig .

Odr2 A szög olyan h és k sugárpár, amely ugyanabból az O pontból származik, és nem ugyanazon az egyenesen fekszik. így O-t a szög csúcsának nevezzük, a h és k sugarakat pedig a szög oldalai. Jelöljük a szokásos módon: Ðhk.

Az M pontot a hk szög belső pontjának nevezzük, ha az M pont és a k sugár a határvonallal egy félsíkban, az M pont és a k sugár pedig a határvonallal egy félsíkban. Az összes belső pont halmazát egy szög belső tartományának nevezzük.

A sarok külső területe végtelen halmaz, mert egy szög különböző oldalain végződő szakasz minden pontja belső. A következő tulajdonság módszertani okokból gyakran szerepel az axiómákban.

Ingatlan: Ha egy sugár egy szög csúcsából származik, és ennek a szögnek legalább egy belső pontján áthalad, akkor bármely olyan szakaszt metsz, amelynek végei a szög különböző oldalain vannak. (Saját építés)

CSOPORT III. Kongruencia axiómái (egyenlőség)

A szegmensek és szögek halmazán egy kongruencia vagy egyenlőség relációt vezetnek be ("="-vel jelölve), amely kielégíti az axiómákat:

III 1 Ha adott egy AB szakasz és az A / pontból kiinduló sugár, akkor ehhez a sugárhoz tartozó $ t.B / úgy, hogy AB = A / B / .

III 2 Ha A / B / =AB és A // B // =AB, akkor A / B / =A // B // .

III 3 Legyen A-B-C, A / -B / -C / , AB=A / B / és BC=B / C / , majd AC=A / C /

Odr3 Ha O / egy pont, h / egy ebből a pontból kiinduló sugár, és l / egy félsík határvonallal, akkor az O / ,h / és l / objektumok hármasát zászlónak nevezzük (O / ,h / ,l /).

III 4 Legyen adott Ðhk és zászló (О / ,h / ,l /). Ekkor az l / félsíkban van egy egyedi k / sugár, amely az O / pontból ered, úgy, hogy Ðhk = Ðh / k / .

III 5 Legyen A, B és C három olyan pont, amelyek nem esnek ugyanazon az egyenesen. Ha ebben az esetben AB = A / B / , AC = A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC, akkor ÐABC = ÐA / B / C / .

1. A B/B III 1 pont az egyetlen ezen a gerendán (ön)

2. A szegmensek kongruencia relációja egy ekvivalencia reláció a szegmensek halmazán.

3. Egy egyenlő szárú háromszögben az alapokon lévő szögek egyenlőek. (III 5. szerint).

4. Háromszögek egyenlőségének jelei.

5. A szögkongruencia reláció egy ekvivalencia reláció a szögek halmazán. (Jelentés)

6. Egy háromszög külső szöge nagyobb, mint a háromszög minden olyan szöge, amely nem szomszédos vele.

7. Mindegyik háromszögben a nagyobb szög a nagyobb oldallal szemben helyezkedik el.

8. Minden szakasznak egy és csak egy felezőpontja van

9. Bármely szögnek egy és csak egy felezőpontja van

A következő fogalmak vezethetők be:

Odr4 A szomszédosával egyenlő szöget derékszögnek nevezzük.

Meghatározhat függőleges szögeket, merőleges és ferde, stb.

Bizonyítható a ^ egyedisége. Bevezetheti a > és a fogalmakat< для отрезков и углов:

Odr5 Ha adott az AB és A / B / és $ t.C szegmens, azaz A / -C-B / és A / C = AB, akkor A / B / >AB.

Odr6 Ha két Ðhk és Ðh / k / szög adott, és ha az Ðhk belső tartományon és annak csúcsán keresztül rajzolhatunk egy l sugarat úgy, hogy Ðh / k / = Ðhl, akkor Ðhk > Ðh / k / .

A legérdekesebb pedig az, hogy az I-III csoport axiómái segítségével bevezethető a mozgás (szuperpozíció) fogalma.

Valami ilyesmit csinált:

Legyen adott két p és p / ponthalmaz. A p halmaz minden M és N pontpárja egy MN szakaszt határoz meg. Legyenek M / és N / az MN pontoknak megfelelő p / halmaz pontjai. Egyezzünk meg abban, hogy az MN szegmensnek megfelelő M / N / szegmenst hívjuk.

Odr7 Ha p és p / közötti megfelelés olyan, hogy a megfelelő szegmensek mindig kölcsönösen egybevágóak, akkor készletek p-t és p /-t kongruensnek nevezzük . Sőt, azt is mondják, hogy a p és p / halmazok mindegyikét megkapjuk mozgalom egy másikból, vagy hogy ezen halmazok egyike ráhelyezhető a másikra. A p és p / halmaz megfelelő pontjait átfedésnek nevezzük.

Jóváhagyás1: Az egyenesen fekvő pontok mozgáskor szintén egy bizonyos egyenesen fekvő pontokká alakulnak át.

Utv2 A halmaz egy pontját a másik két pontjával összekötő két szakasz közötti szög egybevágó egy egybevágó halmaz megfelelő szakaszai közötti szöggel.

Bevezetheti a forgás, eltolás fogalmát, a mozgások kompozícióját stb.

CSOPORT IV. Axiómák folytonossága És.

IV 1 (Arkhimédész axiómája). Legyen AB és CD néhány szegmens. Ekkor az AB egyenesen van egy véges A 1, A 2, ..., A n ponthalmaz, amelyre a következő feltételek teljesülnek:

1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n

2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD

3. A-B-A n

IV2 (Cantor-axióma) Adjuk meg az A1B1, A2B2,... szegmensek végtelen sorozatát egy tetszőleges a egyenesen, amelyből minden következő az előzőben van, és ezen felül minden CD szakaszhoz van természetes szám n olyan, hogy AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.

A kántori axióma feltételeiből azonnal következik, hogy az ilyen m.M egyedi, mert ha ez nem így van, akkor a főnév. még egy t.N, majd MN szegmens

Bebizonyítható, hogy az I-III és IV 1, IV 2 axiómák ekvivalensek Dedekind következő tételével.

Dedekind tétele Adjuk meg az [AB] szakasz pontjainak felosztását két K 1 és K 2 osztályba, amelyek K 1 È K 2 = [AB], K 1 ÇK 2 =Æ, két feltételnek eleget tesznek:

a) Az АОК 1, ВОК 2 és a K 1 és K 2 osztályok az A és B pontoktól eltérő pontokat tartalmaznak.

b) A K 1 osztály bármely pontja, az A kivételével, az A pont és a K 2 osztály bármely pontja között helyezkedik el

Ekkor az [AB] szakasz $ t.M 0-ja úgy, hogy minden A és M 0 között elhelyezkedő pont a K 1 osztályba, M 0 és B közötti pont pedig a K 2 osztályba tartozik..

Az [AB] szakasz K 1, K 2 osztályokra való felosztását az a)-c) feltételeknek megfelelően ún. Dedekind szakasz . Bizonyítható, hogy a szakaszt generáló M 0 pont egyedi.

Az I-IV. csoport axiómái alapján lehetőség nyílik a szakaszok és szögek mérésére vonatkozó elmélet felépítésére. Még az is bebizonyítható, hogy a $ bijekció. pontok halmaza egy egyenesen R valós számok, a sorrend megmarad. De lehetetlen terület- és térfogatelméletet felépíteni, mert Szükségem volt a párhuzamosság axiómájára.

V. CSOPORT. A párhuzamosság axiómája .

V. Legyen a tetszőleges egyenes, A pedig egy olyan pont, amely nem ezen az egyenesen fekszik. Ekkor az A pont és az a egyenes által meghatározott síkban legfeljebb egy A-n áthaladó és a-t nem metsző egyenes van.

Az I-V alapján fel lehet építeni egy elméletet a párhuzamosságról, a hasonlóságról stb. igazolni a trigonometriát, bevezetni a koordinátákat, megmutatni, hogy egy egyenes egy síkon van (elsőfokú egyenlet meghatározása stb.)

MEGJEGYZÉS: V * Legyen a tetszőleges egyenes, A egy pont, amely nem ugyanazon az egyenesen fekszik Ekkor a t.A által meghatározott síkban és az a egyenesben legalább két olyan egyenes van, amely átmegy A-n és nem metszi a-t.

I-IVÈV csoport * - Lobacsevszkij geometria megszerkesztve.

Hogyan lehet az, hogy egyetlen axióma lecserélésével teljesen más geometriát kapunk? Itt a matematika alapjait és a matematikai elméletek felépítésének szabályait kell érintenünk.

A planimetriában a sík az egyik fő figura, ezért nagyon fontos, hogy tisztában legyen vele. Ez a cikk ennek a témának a lefedésére készült. Először a sík fogalmát, grafikus ábrázolását és a síkok jelöléseit mutatjuk be. Ezután a síkot egy ponttal, egyenessel vagy más síkkal együtt tekintjük, és a térbeli relatív helyzetből adódnak opciók. A cikk második és harmadik és negyedik bekezdésében két sík, egy egyenes és egy sík, valamint pontok és síkok egymáshoz viszonyított helyzetére vonatkozó összes lehetőséget elemezzük, megadjuk az alapvető axiómákat és a grafikus illusztrációkat. Összegzésként megadjuk a térbeli sík meghatározásának főbb módszereit.

Oldalnavigáció.

Plane - alapfogalmak, szimbólumok és képek.

A háromdimenziós térben a legegyszerűbb és legalapvetőbb geometriai alakzatok a pont, az egyenes és a sík. Már van elképzelésünk egy pontról és egy egyenesről a síkon. Ha olyan síkot helyezünk el, amelyen pontok és vonalak háromdimenziós térben vannak ábrázolva, akkor pontokat és vonalakat kapunk a térben. A térben lévő sík ötlete lehetővé teszi, hogy megkapjuk például egy asztal vagy fal felületét. Egy asztalnak vagy falnak azonban véges méretei vannak, és a sík a határain túl a végtelenségig terjed.

A térben lévő pontokat és vonalakat ugyanúgy jelöljük, mint a síkon - nagy és kis latin betűkkel. Például az A és Q pontok, az a és d egyenesek. Ha egy egyenesen két pont van megadva, akkor az egyenest két, ezeknek a pontoknak megfelelő betűvel jelölhetjük. Például az AB vagy BA egyenes áthalad az A és B pontokon. A síkokat általában kis görög betűkkel jelölik, például síkok, ill.

A feladatok megoldása során szükségessé válik a síkok ábrázolása rajzon. A síkot általában paralelogrammaként vagy tetszőleges egyszerű zárt tartományként ábrázolják.

A síkot általában pontokkal, egyenesekkel vagy más síkokkal együtt veszik figyelembe, és ezek egymáshoz viszonyított helyzetére különféle lehetőségek merülnek fel. Térjünk át a leírásukra.

A sík és a pont egymáshoz viszonyított helyzete.

Kezdjük az axiómával: minden síkban vannak pontok. Ebből következik az első lehetőség a sík és a pont egymáshoz viszonyított helyzetére - a pont a síkhoz tartozhat. Más szóval, egy sík áthaladhat egy ponton. Annak jelzésére, hogy egy pont egy síkhoz tartozik, a „” szimbólumot használjuk. Például, ha a sík áthalad az A ponton, akkor röviden beírhatja a .

Meg kell érteni, hogy egy adott térbeli síkon végtelen sok pont van.

A következő axióma megmutatja, hogy a térben hány pontot kell megjelölni ahhoz, hogy egy adott síkot definiáljanak: három ponton, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el, egy sík megy át, és csak egy. Ha egy síkban három pont ismert, akkor a síkot három, ezeknek a pontoknak megfelelő betűvel jelölhetjük. Például, ha egy sík áthalad az A, B és C pontokon, akkor ABC-nek nevezhető.

Fogalmazzunk meg egy másik axiómát, amely a sík és a pont egymáshoz viszonyított helyzetének második változatát adja: legalább négy olyan pont van, amely nem esik ugyanabban a síkban. Tehát előfordulhat, hogy egy pont a térben nem tartozik a síkhoz. Valójában az előző axióma értelmében egy sík a tér három pontján halad át, és a negyedik pont ezen a síkon lehet, vagy nem. Ha röviden ír, használja a „”” szimbólumot, amely egyenértékű a „nem tartozik” kifejezéssel.

Például, ha az A pont nem a síkban fekszik, akkor használja a rövid jelölést.

Egyenes vonal és sík a térben.

Először is, egy egyenes vonal feküdhet egy síkban. Ebben az esetben ennek az egyenesnek legalább két pontja a síkban van. Ezt az axióma határozza meg: ha egy egyenes két pontja egy síkban fekszik, akkor ennek az egyenesnek minden pontja a síkban fekszik. Egy adott vonal adott síkhoz való tartozásának rövid rögzítéséhez használja a „” szimbólumot. Például a jelölés azt jelenti, hogy az a egyenes a síkban fekszik.

Másodszor, egy egyenes metszhet egy síkot. Ebben az esetben az egyenesnek és a síknak egyetlen közös pontja van, amelyet az egyenes és a sík metszéspontjának nevezünk. Röviden írva a metszéspontot a „” szimbólummal jelölöm. Például a jelölés azt jelenti, hogy az a egyenes metszi a síkot az M pontban. Amikor egy sík egy bizonyos egyenest metsz, felmerül az egyenes és a sík közötti szög fogalma.

Külön érdemes egy olyan egyenesre fókuszálni, amely metszi a síkot, és merőleges az ebben a síkban fekvő bármely egyenesre. Az ilyen egyenest a síkra merőlegesnek nevezzük. A merőlegesség rövid rögzítéséhez használja a „” szimbólumot. Az anyag alaposabb tanulmányozása érdekében hivatkozhat az egyenes és a sík cikk merőlegességére.

A síkkal kapcsolatos problémák megoldásánál különösen fontos a sík ún. normálvektora. Egy sík normálvektora bármely nem nulla vektor, amely egy erre a síkra merőleges egyenesen fekszik.

Harmadszor, egy egyenes párhuzamos lehet a síkkal, vagyis nem lehetnek benne közös pontok. Ha röviden írja be a párhuzamosságot, használja a „” szimbólumot. Például, ha az a egyenes párhuzamos a síkkal, akkor írhatunk . Javasoljuk, hogy tanulmányozza ezt az esetet részletesebben az egyenes és a sík párhuzamossága cikkre hivatkozva.

Azt kell mondani, hogy egy síkban fekvő egyenes ezt a síkot két félsíkra osztja. Az egyenest ebben az esetben a félsíkok határának nevezzük. Ugyanazon félsík bármely két pontja az egyenes ugyanazon az oldalán, két különböző félsík pontja pedig a határvonal ellentétes oldalán található.

A síkok kölcsönös elrendezése.

A térben két sík egybeeshet. Ebben az esetben legalább három közös pontjuk van.

A térben két sík keresztezheti egymást. Két sík metszéspontja egy egyenes, amelyet az axióma állapít meg: ha két síknak van közös pontja, akkor van egy közös egyenesük, amelyen ezen síkok összes közös pontja fekszik.

Ebben az esetben felmerül a metsző síkok közötti szög fogalma. Különösen érdekes az az eset, amikor a síkok közötti szög kilencven fok. Az ilyen síkokat merőlegesnek nevezzük. Beszéltünk róluk a síkok merőlegessége című cikkben.

Végül a térben két sík lehet párhuzamos, vagyis nincs közös pontja. Javasoljuk, hogy olvassa el a síkok párhuzamossága című cikket, hogy teljes mértékben megértse a síkok relatív elrendezésének lehetőségét.

Sík meghatározásának módszerei.

Most felsoroljuk egy adott térbeli sík meghatározásának fő módjait.

Először is, egy síkot úgy határozhatunk meg, hogy három olyan pontot rögzítünk a térben, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Ez a módszer az axiómán alapul: bármely három ponton keresztül, amelyek nem esnek egy egyenesen, egyetlen sík van.

Ha egy síkot rögzítünk és háromdimenziós térben adunk meg három különböző pontjának koordinátáinak megadásával, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, akkor felírhatjuk a három adott ponton áthaladó sík egyenletét.

A sík meghatározásának következő két módszere az előző következménye. A három ponton áthaladó síkra vonatkozó axióma következményein alapulnak:

• sík átmegy egy egyenesen és egy azon nem fekvő ponton, és csak egy (lásd még az egyenesen és egy ponton átmenő sík cikkegyenletét);
• Csak egy sík halad át két metsző egyenesen (javasoljuk, hogy olvassa el a cikk anyagát: két metsző egyenesen átmenő sík egyenlete).

A térbeli sík meghatározásának negyedik módja a párhuzamos egyenesek meghatározásán alapul. Emlékezzünk vissza, hogy a térben lévő két egyenest párhuzamosnak nevezzük, ha ugyanabban a síkban fekszenek, és nem metszik egymást. Így a térben két párhuzamos egyenes megjelölésével meghatározzuk azt a síkot, amelyben ezek az egyenesek fekszenek.

Ha háromdimenziós térben egy téglalap alakú koordinátarendszerhez viszonyítva egy síkot adunk meg a jelzett módon, akkor egyenletet készíthetünk két párhuzamos egyenesen átmenő síkra.

A középiskolai geometria órákon a következő tétel bizonyítást nyer: a tér egy fix pontján keresztül egyetlen sík megy át, amely merőleges egy adott egyenesre. Tehát akkor tudunk síkot definiálni, ha megadjuk azt a pontot, amelyen áthalad, és egy rá merőleges egyenest.

Ha egy téglalap alakú koordinátarendszer háromdimenziós térben van rögzítve, és egy síkot a jelzett módon adunk meg, akkor egy adott egyenesre merőleges ponton átmenő síkra egyenletet lehet alkotni.

A síkra merőleges egyenes helyett megadhatjuk ennek a síknak az egyik normálvektorát. Ebben az esetben lehet írni

A sztereometria axiómái.

A1. Bármely három ponton, amelyek nem egy adott egyenesen, egy sík megy át, és csak egy;

Sl.1. Egy egyenesen és egy azon nem fekvő ponton át halad egy sík, és csak egy;

Sl.2. Egy sík két egymást metsző egyenesen halad át, és csak egy;

Sl.3. Egy sík két párhuzamos egyenesen halad át, és csak egy.

A2.Ha egy egyenes két pontja egy síkban fekszik, akkor az egyenes minden pontja ebben a síkban fekszik;

A3 Ha két síknak van egy közös pontja, akkor van egy közös egyenesük, amelyen ezen síkok összes közös pontja található.

A sztereometria alapfigurái– pontok (A, B, C...), egyenes (a, b, c...), repülőgép ( …) , poliéderek és forradalomtestek.

Alatt vágósík Egy háromdimenziós alakzaton síkot értünk, amelynek mindkét oldalán ennek az alaknak a pontjai vannak.

Mögött távolság mértéke pont, egyenes és sík között a közös merőleges hosszát vesszük.

2. A vonalak egymáshoz viszonyított helyzete a térben.

A térben két sor is lehet párhuzamosak, metszenek vagy kereszteződnek.

1A	Def. Párhuzamos A térbeli vonalak olyan egyenesek, amelyek ugyanabban a síkban fekszenek, és nem metszik egymást. A következő szerint 3. Egy sík két párhuzamos egyenesen halad át, és csak egy.
1B		T 1 (a tranzitivitásról). Két, egy harmadikkal párhuzamos egyenes párhuzamos egymással.
2A	A következő szerint 2. Kettő után metsző egy sík halad át egyenes vonalakon, és csak egy
3A	Def. Két egyenest nevezünk keresztezés, ha nem egy síkban fekszenek.
	T 2 (Keresztező vonalak jele). Ha két egyenes közül az egyik egy bizonyos síkban fekszik, és a másik egyenes egy olyan pontban metszi ezt a síkot, amely nem tartozik az első egyeneshez, akkor az ilyen egyenesek ferdeek.
3B		Def. Szög a metsző vonalak között metsző párhuzamos egyenesek közötti szögnek nevezzük.
3B		Def. Két ferde vonal közös merőlegese egy olyan szakasz, amelynek végei ezeken az egyeneseken vannak, és merőleges rájuk (a keresztező vonalak közötti távolság).

1. Az egyenesek és síkok egymáshoz viszonyított helyzete a térben.

A térben egyenes és sík lehet párhuzamos, metszik vagy egyenes teljesen egy síkban feküdhet.

1A	Def. Egyenes hívott párhuzamos a síkkal, ha párhuzamos bármely, ebben a síkban fekvő egyenessel.
1B		T 3 (A párhuzamosság jele egyenes és sík között). Egy nem síkban fekvő egyenes párhuzamos a síkkal, ha párhuzamos valamely ebben a síkban fekvő egyenessel.
2A	Def. Az egyenest ún merőleges a síkra, ha merőleges az ebben a síkban fekvő bármely metsző egyenesre.
2B		T 4 (egy egyenes és egy sík merőlegességének jele) Ha egy síkot metsző egyenes merőleges bármely két, ebben a síkban lévő metsző egyenesre, akkor az ebben a síkban fekvő minden harmadik egyenesre is merőleges.
2B		T 5 (kb. két párhuzamos egyenes a harmadikra ​​merőlegesen). Ha két párhuzamos egyenes közül az egyik merőleges egy síkra, akkor a másik egyenes is merőleges erre a síkra.
2G		Def. Az egyenes és a sík közötti szög az adott egyenes és a síkra való vetülete közötti szög.
2D	Def. Minden más, a merőlegestől eltérő és egy síkot metsző egyenest hívunk hajlamos ehhez a síkhoz (lásd az alábbi ábrát). Def. Ferde sík vetülete a merőleges és a ferde alapját összekötő szakaszt nevezzük. T 6 (a merőleges és a ferde hosszáról). 1) Az ehhez a síkhoz képest ferde síknál rövidebb síkra húzott merőleges; 2) Az egyenlő ferdék egyenlő vetületeknek felelnek meg; 3) A két ferde közül az a nagyobb, amelynek vetülete nagyobb.
2E		T 7 (kb. három merőleges). A vetületére merőleges ferde sík alapján átmenő síkon húzott egyenes merőleges magára a ferde síkra is. T 8 (fordított). Egy ferde sík alapján átmenő síkon húzott és arra merőleges egyenes egyúttal merőleges a ferde sík e síkra való vetületére is.
3A		A 2. axióma szerint. Ha egy egyenes két pontja egy síkban van, akkor az egyenes minden pontja ebben a síkban van

1. A síkok kölcsönös elrendezése a térben.

Az űrben a repülőgépek lehetnek párhuzamos vagy kereszt.

1A	Def. Kettő repülőgép hívják párhuzamos, ha nem metszik egymást.
		T 9 (párhuzamos síkok jele). Ha egy sík két metsző egyenese párhuzamos egy másik sík két egyenesével, akkor ezek a síkok párhuzamosak.
1B		T 10 Ha két párhuzamos síkot metsz egy harmadik sík, akkor a metszésvonalak párhuzamosak (1. párhuzamos síkok tulajdonsága).
1B		T 11 A párhuzamos síkok közé zárt párhuzamos egyenesek szakaszai egyenlőek (2. párhuzamos síkok tulajdonsága).
2A		A 3. axióma szerint. Ha két síknak van közös pontja, akkor van egy közös egyenesük, amelyen ezen síkok összes közös pontja fekszik ( síkok metszik egymást egyenes vonalban).
2B		T 12 (a síkok merőlegességének jele). Ha egy sík egy másik síkra merőleges egyenesen megy át, akkor ezek a síkok merőlegesek.
2B		Def. Kétszögű szög egy egyenesből kiinduló két félsík alkotta ábra. A kétszög élére merőleges sík két sugár mentén metszi annak lapjait. Az ezen sugarak által alkotott szöget ún a diéderszög lineáris szöge. Mögött kétéderes szögmérés a megfelelő lineáris szög mértékét veszik fel.

pontok, amelyek nem ugyanazon a vonalon fekszenek? a) Metszenek; b) semmit sem lehet mondani; c) nem metszik egymást; d) egybeesik; e) három közös pontja van.

2. Az alábbi állítások közül melyik igaz? a) Ha egy kör két pontja egy síkban fekszik, akkor az egész kör ebben a síkban fekszik; b) a háromszög síkjában fekvő egyenes metszi a két oldalát; c) bármely két síknak csak egy közös pontja van; d) egy sík két ponton halad át, és csak egy; e) egy egyenes egy adott háromszög síkjában fekszik, ha metszi a háromszög oldalait tartalmazó két egyenest.

3. Lehet-e két különböző síknak csak két közös pontja? egy soha; b) Megtehetem, de további feltételekkel; c) mindig van; d) a kérdésre nem lehet válaszolni; d) másik válasz.

4. A K, L, M pont ugyanazon az egyenesen fekszik, az N pont nem. Minden három ponton egy síkot húzunk át. Hány különböző repülőt eredményezett ez? a) 1; b) 2; 3-nál; d) 4; d) végtelenül sok.

5. Válassza ki a megfelelő állítást! a) Egy sík bármely három ponton áthalad, és csak egy; b) ha egy egyenes két pontja egy síkban fekszik, akkor az egyenes minden pontja ebben a síkban van; c) ha két síknak van közös pontja, akkor nem metszik egymást; d) egy sík, és csak egy, átmegy egy egyenesen és egy azon fekvő ponton; e) lehetetlen síkot megrajzolni két egymást metsző egyenesen keresztül.

6. Nevezze meg a PBM és MAB síkok közös egyenesét! a) PM; b) AB; c) PB; d) BM; e) nem határozható meg.

7. Az a és b egyenesek az M pontban metszik egymást. Az M ponton át nem haladó c egyenes metszi az a és b egyeneseket. Mit mondhatunk az a, b és c egyenesek egymáshoz viszonyított helyzetéről? a) Minden egyenes különböző síkban fekszik; b) az a és b egyenesek ugyanabban a síkban fekszenek; c) minden egyenes ugyanabban a síkban van; d) semmit sem lehet mondani; e) a c egyenes egybeesik az a vagy a b sorok egyikével.

8. Az a és b egyenesek az O pontban metszik egymást. A € a, B € b, Y € AB. Válassza ki a helyes állítást. a) Az O és Y pont nem egy síkban van; b) az OY és a egyenesek párhuzamosak; c) az a, b egyenesek és az Y pont ugyanabban a síkban fekszenek; d) az O és Y pont egybeesik; e) Y és A pont egybeesik.

1. Mit mondhatunk két olyan sík egymáshoz viszonyított helyzetéről, amelyeknek három közös pontja van, amelyek nem ugyanazon az egyenesen fekszenek?
a) Metszenek; b) semmit sem lehet mondani; c) nem metszik egymást; d) egybeesik; e) három közös pontja van.

2. Az alábbi állítások közül melyik igaz?
a) Ha egy kör két pontja egy síkban fekszik, akkor az egész kör ebben a síkban fekszik; b) a háromszög síkjában fekvő egyenes metszi a két oldalát; c) bármely két síknak csak egy közös pontja van; d) egy sík két ponton halad át, és csak egyen; e) egy egyenes egy adott háromszög síkjában fekszik, ha metszi a háromszög oldalait tartalmazó két egyenest.

3. Lehet-e két különböző síknak csak két közös pontja?
egy soha; b) Megtehetem, de további feltételekkel; c) mindig van; d) a kérdésre nem lehet válaszolni; d) másik válasz.

4. A K, L, M pontok ugyanazon az egyenesen vannak, az N pont nem. Minden három ponton át kell húzni egy síkot. Hány különböző repülőt eredményezett ez?
a) 1; b) 2; 3-nál; d) 4; d) végtelenül sok.

5. Válassza ki a megfelelő állítást!
a) Egy sík bármely három ponton áthalad, és csak egy; b) ha egy egyenes két pontja egy síkban fekszik, akkor az egyenes minden pontja ebben a síkban fekszik; c) ha két síknak van közös pontja, akkor nem metszik egymást; d) egy sík, és csak egy, átmegy egy egyenesen és egy azon fekvő ponton; e) lehetetlen síkot megrajzolni két egymást metsző egyenesen keresztül.

6. Nevezze meg a PBM és MAB síkok közös egyenesét!
a) PM; b) AB; c) PB; d) BM; e) nem határozható meg.

7. A felsorolt ​​síkok közül melyiket metszi az RM egyenes (1. ábra)?
a) DD1C; b) D1PM; c) B1PM; d) ABC; e) CDA.
B1 C1

8.Két sík metszi egymást egy egyenesben c. Az M pont csak az egyik síkban található. Mit mondhatunk az M pont és a c egyenes egymáshoz viszonyított helyzetéről?
a) Nem lehet következtetést levonni; b) a c egyenes átmegy az M ponton; c) M pont a c egyenesen van; d) a c egyenes nem megy át az M ponton; d) másik válasz.

9. Az a és b egyenesek az M pontban metszik egymást. Az M ponton át nem haladó c egyenes metszi az a és b egyeneseket. Mit mondhatunk az a, b és c egyenesek egymáshoz viszonyított helyzetéről?
a) Minden egyenes különböző síkban fekszik; b) az a és b egyenesek ugyanabban a síkban fekszenek; c) minden egyenes ugyanabban a síkban van; d) semmit sem lehet mondani; e) a c egyenes egybeesik az a vagy a b sorok egyikével.

10. Az a és b egyenesek az O pontban metszik egymást. A € a, B € b, Y € AB. Válassza ki a helyes állítást.
a) Az O és Y pont nem egy síkban van; b) az OY és a egyenesek párhuzamosak; c) az a, b egyenesek és az Y pont ugyanabban a síkban fekszenek; d) az O és Y pont egybeesik; e) Y és A pont egybeesik.

Az AB és AC sugarak merőlegesek az élére? 2. Igaz-e, hogy a BAC lineáris szög diéderszög, ha az AB és AC sugarak a diéderszög lapjain fekszenek? 3. Igaz-e, hogy a BAC szög egy kétszög lineáris szöge, ha az AB és AC sugarak merőlegesek az élére, és az E és C pontok a szög lapjain helyezkednek el? 4. Egy diéderszög lineáris szöge 80 fok. Van-e egyenes vonal a szög egyik lapján, amely merőleges a másik lapra? 5. Az ABC szög egy alfaélű diéderszög lineáris szöge. Az alfa egyenes merőleges az ABC síkra? Igaz-e, hogy egy adott síkra merőleges és egy adott egyenest metsző összes egyenes ugyanabban a síkban fekszik?