Az ívelt trapéz területe d egyenlő. Hogyan találjuk meg az ívelt trapéz területét

Tekintsünk egy görbült trapézt, amelyet az Ox tengely határol, az y=f(x) görbét és két egyenest: x=a és x=b (85. ábra). Vegyünk egy tetszőleges x értéket (csak nem a és nem b). Adjunk neki h = dx növekményt, és tekintsünk egy AB és CD egyenesekkel határolt sávot, az Ox tengelyt és a vizsgált görbéhez tartozó BD ívet. Ezt a csíkot nevezzük elemi csíknak. Egy elemi szalag területe eltér az ACQB téglalap területétől a BQD görbe vonalú háromszöggel, és ez utóbbi területe kisebb, mint a BQDM téglalap területe, amelynek oldalai BQ = =h= dx) QD=Ay és terület egyenlő haAy = Ay dx. Ahogy a h oldal csökken, a Du oldal is csökken, és a h-val egyidejűleg nullára hajlik. Ezért a BQDM területe másodrendű végtelenül kicsi. Egy elemi szalag területe a terület növekménye, az ACQB téglalap területe pedig, egyenlő az AB-AC ==/(x) dx>-vel, a terület differenciálja. Következésképpen magát a területet a differenciáljának integrálásával találjuk meg. A vizsgált ábrán belül az l: független változó a-ról b-re változik, így a szükséges 5-ös terület 5= \f(x) dx lesz. (I) 1. példa Számítsuk ki az y - 1 -x* parabola, az X =--Fj-, x = 1 egyenesek és az O* tengely által határolt területet (86. ábra). ábrán 87. ábra. 86. 1 Itt f(x) = 1 - l?, az integrálás határai a = - és £ = 1, ezért J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* 2. példa Számítsuk ki az y = sinXy szinusz, az Ox tengely és az egyenes által határolt területet (87. ábra). Az (I) képlet alkalmazásával azt kapjuk, hogy A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf 3. példa Számítsa ki a mellékelt ^у = sin jc szinusz íve által határolt területet két szomszédos metszéspont között az Ox tengellyel (például az origó és az i abszcissza pont között). Vegye figyelembe, hogy geometriai megfontolások alapján egyértelmű, hogy ez a terület kétszer akkora lesz, mint az előző példa. Azonban végezzük el a számításokat: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Valóban, a feltevésünk helyesnek bizonyult. 4. példa Számítsa ki a szinusz és az Ox tengely által egy periódusban határolt területet (88. ábra). Az előzetes számítások azt sugallják, hogy a terület négyszer nagyobb lesz, mint a 2. példában. Számítások elvégzése után azonban azt kapjuk, hogy „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ez az eredmény pontosítást igényel. A dolog lényegének tisztázására kiszámoljuk az azonos szinuszos y = sin l: és az Ox tengely által határolt területet is az l és 2i tartományban. Az (I) képlet alkalmazásával 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 kapjuk. Így azt látjuk, hogy ez a terület negatívnak bizonyult. Összehasonlítva a 3. feladatban kiszámított területtel, azt találjuk, hogy abszolút értékük megegyezik, de az előjelek eltérőek. Ha az V tulajdonságot alkalmazzuk (lásd XI. fejezet, 4. §), akkor 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Ami ebben a példában történt, az nem véletlen. Mindig az Ox tengely alatti területet kapjuk, feltéve, hogy a független változó balról jobbra változik, ha integrálok segítségével számítjuk ki. Ezen a tanfolyamon mindig figyelembe vesszük a táblák nélküli területeket. Ezért az imént tárgyalt példában a válasz a következő lesz: a szükséges terület 2 + |-2| = 4. Példa 5. Számítsuk ki az ábrán látható BAB területét! 89. Ezt a területet az Ox tengely, az y = - xr parabola és az y - = -x+\ egyenes korlátozza. A görbe vonalú trapéz területe A szükséges OAB terület két részből áll: OAM és MAV. Mivel az A pont egy parabola és egy egyenes metszéspontja, a koordinátáit a 3 2 Y = mx egyenletrendszer megoldásával találjuk meg. (csak meg kell találnunk az A pont abszcisszáját). A rendszert megoldva azt találjuk, hogy l; = ~. Ezért a területet részekben, első négyzetben kell kiszámítani. OAM, majd pl. MÁV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x = [csere:

] =

Ez azt jelenti, hogy a nem megfelelő integrál konvergál, és értéke egyenlő .

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Kulcsszavak: integrál, görbe vonalú trapéz, liliomokkal határolt figurák területe

Felszerelés: jelzőtábla, számítógép, multimédiás projektor

Az óra típusa: óra-előadás

Az óra céljai:

• nevelési: a szellemi munka kultúrájának kialakítása, minden tanuló számára sikerhelyzet kialakítása, pozitív tanulási motiváció kialakítása; fejleszteni a beszédkészséget és mások meghallgatását.
• fejlesztés: a tanuló önálló gondolkodásának kialakítása az ismeretek különféle helyzetekben történő alkalmazásában, elemzési és következtetési képesség, a logika fejlesztése, a helyes kérdésfeltevés és az azokra való válaszkeresés képességének fejlesztése. A számítási készségek fejlesztése, a tanulók gondolkodásának fejlesztése a javasolt feladatok elvégzése során, algoritmikus kultúra kialakítása.
• nevelési: fogalmakat alkotni görbe vonalú trapézról, integrálról, elsajátítani a síkfigurák területszámítási készségeit

Oktatási módszer: magyarázó és szemléletes.

Az órák alatt

Az előző órákon megtanultuk kiszámítani azon ábrák területét, amelyek határai szaggatott vonalak. A matematikában vannak olyan módszerek, amelyek lehetővé teszik a görbék által határolt ábrák területeinek kiszámítását. Az ilyen alakzatokat görbe trapézoknak nevezzük, és területüket antideriválták segítségével számítják ki.

Görbe trapéz ( dia 1)

Az ívelt trapéz egy függvény grafikonja által határolt ábra, ( sh.m.), egyenes x = aÉs x = bés x-tengely

Különféle típusú ívelt trapézok ( dia 2)

Különböző típusú görbe trapézokat vizsgálunk, és észrevesszük: az egyik egyenes egy pontig degenerált, a korlátozó függvény szerepét az egyenes játssza.

Egy ívelt trapéz területe (3. dia)

Rögzítse az intervallum bal végét A,és a megfelelőt x változni fogunk, azaz elmozdítjuk a görbe vonalú trapéz jobb oldali falát és változó alakot kapunk. Egy változó görbe vonalú trapéz területe, amelyet a függvény grafikonja határol, egy antiderivált F funkcióhoz f

És a szegmensen [ a; b] egy görbe vonalú trapéz területe, amelyet a függvény alkot f, egyenlő e függvény antideriváltjának növekményével:

1. Feladat:

Keresse meg egy görbe vonalú trapéz területét, amelyet a függvény grafikonja határol: f(x) = x 2és egyenes y = 0, x = 1, x = 2.

Megoldás:( az algoritmus 3. dia szerint)

Rajzoljuk fel a függvény és a vonalak grafikonját

Keressük meg a függvény egyik antideriváltját f(x) = x 2 :

Önteszt a tárgylemezen

Integrál

Tekintsünk a függvény által meghatározott görbe vonalú trapézt f a szegmensen [ a; b]. Bontsuk ezt a szegmenst több részre. A teljes trapéz területe fel lesz osztva a kisebb ívelt trapézok területeinek összegére. ( 5. dia). Mindegyik ilyen trapéz megközelítőleg téglalapnak tekinthető. Ezen téglalapok területének összege hozzávetőleges képet ad az ívelt trapéz teljes területéről. Minél kisebbre osztjuk a szegmenst [ a; b], annál pontosabban számítjuk ki a területet.

Írjuk fel ezeket az argumentumokat képletek formájában.

ossza el a szegmenst [ a; b] n részre pontokkal x 0 = a, x1,…, xn = b. Hossz k- th által jelöljük xk = xk – xk-1. Csináljunk egy összeget

Geometriailag ez az összeg az ábrán árnyékolt alakzat területét jelenti ( sh.m.)

Az űrlap összegeit a függvény integrál összegeinek nevezzük f. (sh.m.)

Az integrál összegek a terület közelítő értékét adják meg. A pontos értéket a határértékhez való átlépéssel kapjuk meg. Képzeljük el, hogy finomítjuk a szegmens [ a; b], így az összes kis szakasz hossza nullára hajlik. Ekkor a megkomponált figura területe megközelíti az ívelt trapéz területét. Azt mondhatjuk, hogy egy ívelt trapéz területe egyenlő az integrálösszegek határával, Sc.t. (sh.m.) vagy integrál, azaz

Meghatározás:

Egy függvény integrálja f(x) tól től a előtt b integrálösszegek határának nevezzük

= (sh.m.)

Newton-Leibniz képlet.

Emlékezzünk arra, hogy az integrál összegek határa megegyezik egy görbe vonalú trapéz területével, ami azt jelenti, hogy felírhatjuk:

Sc.t. = (sh.m.)

Másrészt az ívelt trapéz területét a képlet számítja ki

S k.t. (sh.m.)

Ha ezeket a képleteket összehasonlítjuk, a következőt kapjuk:

Ezt az egyenlőséget Newton-Leibniz képletnek nevezik.

A számítás megkönnyítése érdekében a képlet a következőképpen írható:

Feladatok: (sh.m.)

1. Számítsa ki az integrált a Newton-Leibniz képlet segítségével: ( ellenőrizze az 5. dián)

2. Komponálja meg az integrálokat a rajz szerint ( ellenőrizze a 6. dián)

3. Határozza meg az ábra azon területét, amelyet a következő egyenesek határolnak: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( 7. dia)

A síkidomok területeinek megkeresése ( 8. dia)

Hogyan lehet megtalálni azoknak a figuráknak a területét, amelyek nem ívelt trapézok?

Legyen két függvény adott, amelyek grafikonjait a dián látod . (sh.m.) Keresse meg az árnyékolt ábra területét . (sh.m.). A kérdéses ábra egy ívelt trapéz? Hogyan találhatja meg a területét a terület additivitásának tulajdonságával? Vegyünk két ívelt trapézt, és vonjuk ki a másik területét az egyik területéből ( sh.m.)

Hozzunk létre egy algoritmust a terület megkereséséhez egy dián animáció segítségével:

1. Grafikonfüggvények
2. A grafikonok metszéspontjait vetítsük az x tengelyre
3. Árnyékolja a grafikonok metszésénél kapott ábrát
4. Keressen görbe vonalú trapézokat, amelyek metszéspontja vagy egyesülése az adott ábra.
5. Számítsa ki mindegyik területét
6. Keresse meg a területek különbségét vagy összegét

Szóbeli feladat: Hogyan szerezzük meg egy árnyékolt figura területét (animáció segítségével mondd el, 8. és 9. dia)

Házi feladat: Dolgozzuk át a jegyzeteket, No. 353 (a), No. 364 (a).

Bibliográfia

1. Az algebra és az elemzés kezdetei: tankönyv az esti (műszakos) iskola 9-11. osztályának / szerk. G.D. Glaser. - M: Felvilágosodás, 1983.
2. Bashmakov M.I. Az algebra és az elemzés kezdetei: tankönyv a középiskola 10-11 osztályának / Bashmakov M.I. - M: Felvilágosodás, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematika: tankönyv intézményi kezdéshez. és szerda prof. oktatás / M.I. Basmakov. - M: Akadémia, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra és az elemzés kezdetei: tankönyv 10-11. oktatási intézmények / A.N. Kolmogorov. - M: Oktatás, 2010.
5. Osztrovszkij S.L. Hogyan készítsünk előadást egy órán?/ S.L. Osztrovszkij. – M.: 2010. szeptember elseje.

Görbe trapéznek nevezzük azt az ábrát, amelyet egy folytonos, nem negatív $f(x)$ függvény grafikonja határol a $$ szakaszon, valamint a $y=0, \ x=a$ és $x=b$ egyeneseket.

A megfelelő görbe vonalú trapéz területét a következő képlettel számítjuk ki:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Feltételesen felosztjuk a problémákat, hogy megtaláljuk a görbe vonalú trapéz területét 4 dolláros típusokra. Nézzük meg részletesebben az egyes típusokat.

I. típus: egy íves trapéz kifejezetten meg van adva. Ezután azonnal alkalmazza a képletet (*).

Például keresse meg egy görbe vonalú trapéz területét, amelyet a $y=4-(x-2)^(2)$ függvény grafikonja és a $y=0, \ x=1$ és $x vonalak határolnak. = 3 $.

Rajzoljuk meg ezt az íves trapézt.

A (*) képlet segítségével megtaláljuk ennek a görbe vonalú trapéznek a területét.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\jobbra|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\jobb)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\bal((1)^(3)-(-1)^(3)\jobb) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (egységek$^(2)$).

II. típus: az ívelt trapéz implicit módon van megadva. Ebben az esetben az $x=a, \ x=b$ egyenesek általában nincsenek megadva, vagy csak részben vannak megadva. Ebben az esetben meg kell találni az $y=f(x)$ és $y=0$ függvények metszéspontjait. Ezek a pontok $a$ és $b$ pontok lesznek.

Például keresse meg egy ábra területét, amelyet a $y=1-x^(2)$ és $y=0$ függvények grafikonjai határolnak.

Keressük meg a metszéspontokat. Ehhez a függvények jobb oldalát egyenlővé tesszük.

Így $a=-1$ és $b=1$. Rajzoljuk meg ezt az íves trapézt.

Keressük meg ennek az ívelt trapéznak a területét.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\bal(1^(3)-(-1)^(3)\jobb)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (egységek$^(2)$).

III. típus: egy ábra területe, amelyet két folytonos, nem negatív függvény metszéspontja korlátoz. Ez az ábra nem ívelt trapéz, ami azt jelenti, hogy nem számíthatja ki a területét a (*) képlet segítségével. Hogyan legyen? Kiderült, hogy ennek az ábrának a területe megtalálható a felső függvény és a $y=0$ ($S_(uf)$), valamint az alsó függvény és a $y által határolt görbe vonalú trapézok területeinek különbségeként. =0$ ($S_(lf)$), ahol $x=a, \ x=b$ szerepét ezen függvények metszéspontjainak $x$ koordinátái játsszák, azaz.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Az ilyen területek kiszámításakor a legfontosabb, hogy ne „elhagyja” a felső és az alsó funkciók kiválasztását.

Például keresse meg a $y=x^(2)$ és $y=x+6$ függvényekkel határolt ábra területét.

Keressük meg ezeknek a grafikonoknak a metszéspontjait:

Vieta tétele szerint

$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$

Azaz $a=-2,\b=3$. Rajzoljunk egy ábrát:

Így a felső függvény $y=x+6$, az alsó függvény pedig $y=x^(2)$. Ezután megtaláljuk a $S_(uf)$ és $S_(lf)$ a (*) képlet segítségével.

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\bal.\frac(x^(2))(2)\jobb|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (egységek$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\jobb|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (egységek$^(2)$).

Helyettesítsük be a találtakat (**)-ra, és kapjuk:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (egységek$^(2)$).

IV. típus: az ábra azon területe, amelyet olyan függvény(ek) határolnak, amelyek nem teljesítik a nem-negativitás feltételét. Egy ilyen ábra területének meghatározásához szimmetrikusnak kell lennie a $Ox$ tengelyre ( más szavakkal, Tegyen „mínuszokat” a függvények elé) jelenítse meg a területet, és az I-III. típusokban vázolt módszerekkel keresse meg a megjelenített terület területét. Ez a terület lesz a szükséges terület. Először is meg kell találnia a függvénygrafikonok metszéspontjait.

Például keresse meg egy ábra azon területét, amelyet a $y=x^(2)-1$ és $y=0$ függvények grafikonjai határolnak.

Keressük meg a függvénygrafikonok metszéspontjait:

azok. $a=-1$ és $b=1$. Rajzoljuk meg a területet.

Jelentsük meg a területet szimmetrikusan:

$y=0 \ \Jobbra \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Jobbra \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Az eredmény egy görbe vonalú trapéz, amelyet az $y=1-x^(2)$ és $y=0$ függvény grafikonja határol. Ez egy probléma a második típusú íves trapéz megtalálása során. Már megoldottuk. A válasz a következő volt: $S= 1\frac(1)(3)$ (egységek $^(2)$). Ez azt jelenti, hogy a szükséges görbe vonalú trapéz területe egyenlő:

$S=1\frac(1)(3)$ (egységek$^(2)$).

Téma: Egy sík alakzat területének kiszámítása határozott integrál segítségével

Célok: megtanulják a definíciót és képleteket a görbe vonalú trapéz területének megtalálásához;

fontolja meg a görbe vonalú trapéz területének megtalálásának különféle eseteit;

Legyen képes kiszámítani egy ívelt trapéz területét.

Terv:

Görbe vonalú trapéz.

Képletek egy ívelt trapéz területének kiszámításához.

Görbe vonalú trapéz egy olyan ábra, amelyet egy folytonos, nem negatív f(x) függvény grafikonja határol az intervallumon, az x=a és x=b szakaszok, valamint az x tengely egy szakasza a és b pontok között. .

Képek ívelt trapézokról:

Most térjünk át az ábrák elrendezésének lehetséges lehetőségeire, amelyek területét a koordinátasíkon kell kiszámítani.

Első ott lesz a legegyszerűbb lehetőség (az első kép), a szokásos ívelt trapéz, mint a definícióban. Itt nem kell semmit kitalálni, csak vegyük az integrált a előtt b funkcióból f(x). Ha megtaláljuk az integrált, akkor ennek a trapéznek a területét is ismerjük.


Ban ben második opciót, ábránkat nem az x tengely fogja korlátozni, hanem egy másik függvény g(x). Ezért a terület megtalálásához CEFD, először meg kell találnunk a területet AEFB(az integrál használatával f(x)), majd keresse meg a területet ACDB(az integrál használatával g(x)). És az ábra szükséges területe CEFD, különbség lesz az ívelt trapéz első és második területe között. Mivel az integráció határai itt azonosak, mindez egy integrál alá írható (lásd az ábra alatti képleteket), minden a függvények összetettségétől függ, ilyenkor könnyebb lesz megtalálni az integrált.



Harmadik nagyon hasonló az elsőhöz, de csak a mi trapézunk van elhelyezve, nem felül x tengely, és alatta. Ezért itt ugyanazt az integrált kell venni, csak mínusz előjellel, mert az integrál értéke negatív, a terület értéke pedig pozitív. Ha függvény helyett f(x) funkciót vesz fel –f(x), akkor a grafikonja ugyanaz lesz, egyszerűen szimmetrikusan az x tengelyhez képest.


ÉS negyedik opció, amikor az ábránk egy része az x tengely felett, egy része pedig alatta van. Ezért először meg kell találnunk az ábra területét AEFB, mint az első lehetőségnél, majd az ábra területe ABCD, mint a harmadik lehetőségnél, majd hajtsa össze őket. Ennek eredményeként megkapjuk az ábra területét DEFC. Mivel az integráció határai itt azonosak, mindez egy integrál alá írható (lásd az ábra alatti képleteket), minden a függvények összetettségétől függ, ilyenkor könnyebb lesz megtalálni az integrált.

Önellenőrző kérdések:

Melyik alakzatot nevezzük ívelt trapéznek?

Hogyan találjuk meg az ívelt trapéz területét?