Fourier-sorok alkalmazása a mechanikában. hol van az alapfrekvencia
Amik már elég unalmasak. És úgy érzem, eljött a pillanat, amikor az elmélet stratégiai tartalékaiból új konzerveket kell kinyerni. Lehetséges más módon a függvényt sorozattá bővíteni? Például egy egyenes szakaszt szinuszokkal és koszinuszokkal fejez ki? Hihetetlennek tűnik, de ilyen távolinak tűnő funkciók lehetnek
"újraegyesítés". Az ismert elméleti és gyakorlati fokozatokon kívül más megközelítések is léteznek a függvény sorozattá bővítésére.
Ebben a leckében megismerkedünk a trigonometrikus Fourier-sorral, érintjük annak konvergenciájának és összegének kérdését, és természetesen számos példát elemezünk a Fourier-sor függvényeinek bővítésére. Őszintén szerettem volna a cikket „Fourier Series for Dummies”-nek nevezni, de ez nem lenne értelmes, mivel a problémák megoldásához a matematikai elemzés más ágainak ismeretére és némi gyakorlati tapasztalatra lenne szükség. Ezért a preambulum az űrhajós képzéshez fog hasonlítani =)
Először is kiváló formában kell megközelítenie az oldalanyagok tanulmányozását. Álmos, kipihent és józan. Erős érzelmek nélkül a törött hörcsög lábával kapcsolatban és megszállott gondolatok nélkül az akváriumi halak életének nehézségeiről. A Fourier-sort nem nehéz megérteni, de a gyakorlati feladatok egyszerűen fokozott figyelemkoncentrációt igényelnek - ideális esetben teljesen el kell válnia a külső ingerektől. A helyzetet súlyosbítja, hogy nincs egyszerű módja a megoldás és a válasz ellenőrzésének. Így, ha egészségi állapota átlag alatti, akkor jobb, ha valami egyszerűbbet csinál. Ez igaz.
Másodszor, az űrbe repülés előtt meg kell vizsgálni az űrhajó műszerfalát. Kezdjük azoknak a függvényeknek az értékeivel, amelyekre rá kell kattintani a gépen:
Bármilyen természeti értékhez:
1) . Valójában a szinusz minden egyes „pi”-n keresztül „összefűzi” az x-tengelyt:
. Az argumentum negatív értékei esetén az eredmény természetesen ugyanaz lesz: .
2) . De ezt nem mindenki tudta. A "pi" koszinusz a "villogó" megfelelője:
Egy negatív érv nem változtat a dolgon: 
.
Talán ennyi is elég.
És harmadszor, kedves űrhajós alakulat, képesnek kell lennie arra, hogy... egyesít.
Főleg magabiztosan a függvényt a differenciáljel alá, darabonként integrálniés békében lenni vele Newton-Leibniz képlet. Kezdjük a fontos repülés előtti gyakorlatokkal. Határozottan nem javaslom az átugrást, nehogy később a súlytalanságban csorbuljon:
1. példa
Határozott integrálok kiszámítása
ahol természeti értékeket vesz.
Megoldás: az integráció az „x” változón keresztül történik, és ebben a szakaszban az „en” diszkrét változót állandónak tekintjük. Minden integrálban tegye a függvényt a differenciáljel alá:
A megoldás rövid változata, amelyet célszerű lenne megcélozni, így néz ki:
Szokjunk hozzá:
A fennmaradó négy pont önmaga. Próbáljon lelkiismeretesen megközelíteni a feladatot, és röviden írja le az integrálokat. Az óra végén mintamegoldások.
A MINŐSÉG gyakorlatok elvégzése után szkafandert öltünk
és készülj a kezdésre!
Egy függvény kiterjesztése Fourier-sorrá az intervallumon
Nézzünk meg néhány funkciót eltökélt legalább egy ideig (és esetleg hosszabb ideig). Ha ez a függvény integrálható az intervallumra, akkor trigonometrikusra bővíthető Fourier sorozat:
, hol vannak az ún Fourier-együtthatók.
Ebben az esetben hívják a számot bomlási időszak, és a szám az a bomlás felezési ideje.
Nyilvánvaló, hogy általános esetben a Fourier-sor szinuszokból és koszinuszokból áll: 
Valóban, írjuk le részletesen:
A sorozat nulla tagját általában az alakban írjuk.
A Fourier-együtthatókat a következő képletekkel számítjuk ki: 
Tökéletesen megértem, hogy akik elkezdik tanulmányozni a témát, még mindig nem világosak az új kifejezések: bomlási időszak, félciklus, Fourier-együtthatók stb. Ne essen pánikba, ez nem hasonlítható össze a világűrbe lépés előtti izgalommal. Értsünk meg mindent a következő példában, amelynek végrehajtása előtt logikus, hogy sürgető gyakorlati kérdéseket teszünk fel:
Mit kell tennie a következő feladatokban?
Bontsa ki a függvényt Fourier-sorba. Ezenkívül gyakran kell ábrázolni egy függvény grafikonját, egy sorozat összegének grafikonját, egy részösszeget, és kifinomult professzori fantáziák esetén valami mást kell tenni.
Hogyan bővíthetünk ki egy függvényt Fourier sorozattá?
Lényegében meg kell találni Fourier-együtthatók, azaz állíts össze és számolj ki hármat határozott integrál.
Kérjük, másolja be a füzetébe a Fourier sorozat általános formáját és a három munkaképletet. Nagyon örülök, hogy néhány látogató a szemem láttára valósítja meg gyermekkori álmát, hogy űrhajós legyen =)
2. példa
Bontsa ki a függvényt egy Fourier-sorozattá az intervallumon. Készíts gráfot, a sorozat összegének és a részösszegnek gráfját.
Megoldás: A feladat első része a függvény kiterjesztése Fourier-sorba.
Az eleje szabványos, feltétlenül írja le, hogy:
Ebben a feladatban a tágulási periódus félperiódus.
Bővítsük ki a függvényt Fourier-sorozattá az intervallumon: 
A megfelelő képletek segítségével megtaláljuk Fourier-együtthatók. Most hármat kell összeállítanunk és kiszámítanunk határozott integrál. A kényelem kedvéért számozom a pontokat:
1) Az első integrál a legegyszerűbb, de ehhez szemgolyó is kell: 
2) Használja a második képletet:
Ez az integrál jól ismert és darabonként veszi: 
Megtaláláskor használt egy függvény differenciáljel alá vonásának módszere.
A vizsgált feladatban kényelmesebb azonnal használni egy meghatározott integrálban lévő részek szerinti integrálási képlet 
:
Egy-két technikai megjegyzés. Először is a képlet alkalmazása után a teljes kifejezést nagy zárójelek közé kell tenni, mivel az eredeti integrál előtt van egy konstans. Ne veszítsük el őt! A zárójelek bármelyik további lépésnél bővíthetők. Ezt utolsó lehetőségként tettem meg. Az első "darabban" 
A helyettesítésnél rendkívüli körültekintéssel járunk el, amint látható, a konstans nincs használatban, és az integráció határait behelyettesítjük a termékbe. Ez a művelet szögletes zárójelben van kiemelve. Nos, ismered a képlet második „darabjának” integrálját a képzési feladatból;-)
És ami a legfontosabb - extrém koncentráció!
3) Keressük a harmadik Fourier-együtthatót:
Az előző integrál rokonát kapjuk, ami szintén darabonként integrálódik:
Ez a példa egy kicsit bonyolultabb, lépésről lépésre kommentálom a további lépéseket: 
(1) A kifejezés teljesen nagy zárójelek közé van zárva. Nem akartam unalmasnak tűnni, túl gyakran veszítik el az állandót.
(2) Ebben az esetben azonnal kinyitottam ezeket a nagy zárójeleket. Speciális figyelem Az első „darab”-nak szenteljük magunkat: az állandó oldalakon füstölög, és nem vesz részt a termékbe való beépülés határainak (és ) helyettesítésében. A rekord zűrzavara miatt ezt az akciót ismét célszerű szögletes zárójelekkel kiemelni. A második "darabbal" 
minden egyszerűbb: itt a tört a nagy zárójelek megnyitása után jelent meg, a konstans pedig - az ismerős integrál integrálása eredményeként;-)
(3) Szögletes zárójelben transzformációt végzünk, a jobb integrálban pedig az integrációs határok helyettesítését.
(4) Távolítsuk el a „villogó fényt” a szögletes zárójelekből: , majd nyissuk ki a belső zárójeleket: .
(5) A zárójelben szereplő 1-et és –1-et töröljük, és végleg egyszerűsítjük.
Végül mindhárom Fourier-együttható megtalálható: 
Helyettesítsük be őket a képletbe 
:
Ugyanakkor ne felejtse el kettéosztani. Az utolsó lépésben a konstans („mínusz kettő”), amely nem függ az „en”-től, az összegen kívülre kerül.
Így megkaptuk a függvény Fourier-sorba való kiterjesztését az intervallumon: 
Tanulmányozzuk a Fourier-sorok konvergenciájának kérdését. Különösen az elméletet fogom elmagyarázni Dirichlet-tétel, szó szerint "az ujjakon", ezért ha szigorú megfogalmazásokra van szüksége, kérjük, olvassa el a matematikai elemzés tankönyvét (például Bohan 2. kötete; vagy Fichtenholtz 3. kötete, de ez nehezebb).
A feladat második részéhez meg kell rajzolni egy gráfot, egy sorozat összegének grafikonját és egy részösszeg grafikonját.
A függvény grafikonja a szokásos egyenes vonal egy síkon, amely fekete pontozott vonallal van megrajzolva: 
Számítsuk ki a sorozat összegét. Mint tudják, a függvénysorozatok függvényekhez konvergálnak. Esetünkben a felépített Fourier-sor 
"x" tetszőleges értékére konvergál a piros színnel jelölt függvényhez. Ez a funkció tolerálja 1. típusú szakadások pontokban, de azokon is meghatározott (piros pontok a rajzon)
És így: 
. Könnyen belátható, hogy érezhetően eltér az eredeti funkciótól, éppen ezért a bejegyzésben 
Az egyenlőségjel helyett tildát használnak.
Vizsgáljuk meg azt az algoritmust, amely alkalmas egy sorozat összegének összeállítására.
A központi intervallumon a Fourier-sor magához a függvényhez konvergál (a központi piros szegmens egybeesik a lineáris függvény fekete pontozott vonalával).
Most beszéljünk egy kicsit a vizsgált trigonometrikus bővítés természetéről. Fourier sorozat 
csak periodikus függvényeket tartalmaz (konstans, szinusz és koszinusz), tehát a sorozat összege 
szintén periodikus függvény.
Mit jelent ez konkrét példánkban? Ez pedig azt jelenti, hogy a sorozat összege 
–szükségszerűen időszakosés az intervallum piros szegmensét a végtelenségig ismételni kell a bal és a jobb oldalon.
Azt hiszem, most végre világossá vált a „bomlás időszaka” kifejezés jelentése. Egyszerűen fogalmazva, minden alkalommal, amikor a helyzet újra és újra megismétlődik.
A gyakorlatban általában elegendő három bomlási periódus ábrázolása, ahogy az a rajzon is történik. Nos, és a szomszédos időszakok „csonkjai” is - hogy egyértelmű legyen, hogy a grafikon folytatódik.
Különösen érdekesek 1. típusú folytonossági pontok. Ilyen pontokon a Fourier-sor izolált értékekhez konvergál, amelyek pontosan a megszakítás „ugrásának” közepén helyezkednek el (piros pontok a rajzon). Hogyan lehet megtudni ezeknek a pontoknak az ordinátáját? Először keressük meg a „felső emelet” ordinátáját: ehhez kiszámoljuk a függvény értékét a bővítés középső periódusának jobb szélső pontjában: . Az „alsó emelet” ordinátájának kiszámításához a legegyszerűbb módja annak, hogy ugyanazon periódus bal szélső értékét vegyük: 
. Az átlagérték ordinátája a „felső és alsó” összegének számtani közepe: . Kellemes tény, hogy rajz készítésekor azonnal látni fogja, hogy a középpontot jól vagy rosszul számolták-e ki.
Szerkesszük meg a sorozat részösszegét, és egyúttal ismételjük meg a „konvergencia” kifejezés jelentését. Az indíték is ismert a kb számsorozat összege. Mutassa be gazdagságunkat részletesen:
Részösszeg összeállításához nullát + további két tagot kell írni a sorozatból. vagyis
A rajzon a függvény grafikonja zölddel látható, és mint látható, elég szorosan „becsomagolja” a teljes összeget. Ha figyelembe vesszük a sorozat öt tagjának részösszegét, akkor ennek a függvénynek a grafikonja még pontosabban közelíti a piros vonalakat, ha száz tag van, akkor a „zöld kígyó” valójában teljesen összeolvad a vörös szegmensekkel, stb. Így a Fourier-sor konvergál az összegéhez.
Érdekes megjegyezni, hogy bármely részösszeg igen folyamatos funkció, azonban a sorozat teljes összege még mindig nem folyamatos.
A gyakorlatban nem olyan ritka a részösszeg gráf megalkotása. Hogyan kell csinálni? Esetünkben figyelembe kell venni a szegmens függvényét, kiszámítani az értékeit a szegmens végén és a közbenső pontokon (minél több pontot vesz figyelembe, annál pontosabb lesz a grafikon). Ezután jelölje meg ezeket a pontokat a rajzon, és óvatosan rajzoljon egy grafikont a periódusra, majd „másolja” azt szomszédos intervallumokra. Hogyan másképp? Végül is a közelítés is periodikus függvény... ...bizonyos szempontból a grafikonja egy orvosi eszköz kijelzőjén egyenletes szívritmusra emlékeztet.
Az építkezés elvégzése természetesen nem túl kényelmes, mivel rendkívül óvatosnak kell lennie, legalább fél milliméteres pontossággal. Mindazonáltal azoknak az olvasóknak örülök, akik nem érzik jól magukat a rajzolásban - egy „valódi” probléma esetén nem mindig szükséges a rajzot az esetek 50%-ában kibővíteni egy Fourier-sorba, és ennyi .
A rajz elkészítése után teljesítjük a feladatot:
Válasz: 
Sok feladatnál a funkció szenved 1. típusú szakadás közvetlenül a bomlási időszakban:
3. példa
Bontsa ki az intervallumon megadott függvényt Fourier-sorrá. Rajzolja fel a függvény és a sorozatok összegének grafikonját!
A javasolt funkció darabonként van megadva (és figyelem, csak a szegmensen)és kibírja 1. típusú szakadás pontban. Lehetséges-e a Fourier-együttható kiszámítása? Nincs mit. A függvény bal és jobb oldala is integrálható intervallumán, ezért a három képletben szereplő integrálokat két integrál összegeként kell ábrázolni. Nézzük meg például, hogyan történik ez nulla együttható esetén:
A második integrál nullának bizonyult, ami csökkentette a munkát, de ez nem mindig van így.
A másik két Fourier-együtthatót hasonlóan írjuk le.
Hogyan lehet megjeleníteni egy sorozat összegét? A bal oldali intervallumon egy egyenes szakaszt, az intervallumon pedig egy egyenes szakaszt rajzolunk (a tengely szakaszát félkövérrel és félkövérrel kiemeljük). Azaz a kiterjesztési intervallumon a sorozat összege három „rossz” pont kivételével mindenhol egybeesik a függvénnyel. A függvény diszkontinuitási pontján a Fourier-sor egy izolált értékhez fog konvergálni, amely pontosan a folytonossági szakasz „ugrásának” közepén helyezkedik el. Nem nehéz szóban átlátni: bal oldali határ: , jobb oldali határ: 
és nyilvánvalóan a felezőpont ordinátája 0,5.
Az összeg periodicitása miatt a képet egymás melletti periódusokra kell „szorozni”, különösen a és a intervallumokon kell ugyanazt ábrázolni. Ugyanakkor egyes pontokon a Fourier-sor a medián értékekhez fog konvergálni.
Valójában nincs itt semmi új.
Próbáljon meg egyedül megbirkózni ezzel a feladattal. Hozzávetőleges minta a végleges tervből és egy rajz a lecke végén.
Függvény kiterjesztése Fourier-sorba tetszőleges perióduson keresztül
Egy tetszőleges kiterjesztési periódus esetén, ahol az „el” bármely pozitív szám, a Fourier-sor és a Fourier-együttható képleteit a szinusz és a koszinusz valamivel bonyolultabb érve különbözteti meg:
Ha , akkor megkapjuk azokat az intervallumképleteket, amelyekkel indultunk.
A probléma megoldásának algoritmusa és elvei teljesen megmaradnak, de a számítások technikai összetettsége nő:
4. példa
Bontsa ki a függvényt Fourier-sorba, és ábrázolja az összeget. 
Megoldás: valójában a 3. példa analógja 1. típusú szakadás pontban. Ebben a feladatban a tágulási periódus félperiódus. A függvény csak a félintervallumon van definiálva, de ez nem változtat a dolgon - fontos, hogy a függvény mindkét része integrálható legyen.
Bővítsük ki a függvényt Fourier-sorba:
Mivel a függvény nem folytonos az origóban, minden Fourier-együtthatót nyilvánvalóan két integrál összegeként kell felírni:
1) Leírom az első integrált a lehető legrészletesebben:
2) Gondosan megnézzük a Hold felszínét:
Második integrál darabonként szedd:
Mire kell nagyon odafigyelnünk, miután a megoldás folytatását csillaggal nyitjuk?
Először is, nem veszítjük el az első integrált 
, ahol azonnal végrehajtjuk feliratkozás a különbözeti jelre. Másodszor, ne felejtsd el a balszerencsés állandót a nagy zárójelek előtt és ne zavarjon össze a jelek képlet használatakor 
. A nagy konzolokat még mindig kényelmesebb azonnal kinyitni a következő lépésben.
A többi már technika kérdése, csak az integrálok megoldásának elégtelen tapasztalata okozhatja.
Igen, nem hiába háborodtak fel a francia matematikus Fourier jeles kollégái – hogy merte trigonometrikus sorozatokba rendezni a függvényeket?! =) Egyébként valószínűleg mindenkit érdekel a szóban forgó feladat gyakorlati értelme. Fourier maga is dolgozott a hővezető képesség matematikai modelljén, majd a róla elnevezett sorozatot számos periodikus folyamat tanulmányozására kezdték használni, amelyek láthatók és láthatatlanok a környező világban. Most egyébként azon kaptam magam, hogy nem véletlenül hasonlítottam össze a második példa grafikonját a szív periodikus ritmusával. Az érdeklődők megismerkedhetnek a gyakorlati alkalmazással Fourier transzformáció harmadik fél forrásaiból. ...Bár jobb, ha nem – első szerelemként fogjuk emlékezni =)
3) Figyelembe véve a többször említett gyenge láncszemeket, nézzük a harmadik együtthatót:
Integráljuk részenként: 
Helyettesítsük be a képletbe a talált Fourier-együtthatókat 
, ne felejtsük el kettéosztani a nulla együtthatót:
Ábrázoljuk a sorozat összegét. Ismételjük meg röviden az eljárást: egy intervallumra egyenest, intervallumra egyenest építünk. Ha az „x” értéke nulla, akkor egy pontot teszünk a rés „ugrásának” közepére, és „megismételjük” a grafikont a szomszédos periódusokra: 
A periódusok „csomópontjain” az összeg a rés „ugrásának” felezőpontjával is egyenlő lesz.
Kész. Hadd emlékeztesselek arra, hogy maga a függvény csak félintervallumon van feltétellel definiálva, és nyilvánvalóan egybeesik az intervallumokon lévő sorozatok összegével
Válasz:
Néha egy darabonként adott függvény folyamatos a bővítési periódus alatt. A legegyszerűbb példa: 
. Megoldás (lásd Bohan 2. kötet) ugyanaz, mint az előző két példában: annak ellenére a funkció folytonossága pontban minden Fourier-együttható két integrál összegeként van kifejezve.
A dekompozíciós intervallumon 1. típusú folytonossági pontokés/vagy a gráfnak több „csomópontja” is lehet (kettő, három és általában bármelyik végső Mennyiség). Ha egy függvény mindegyik részen integrálható, akkor Fourier sorozatban is bővíthető. De gyakorlati tapasztalatból nem emlékszem ilyen kegyetlen dologra. Vannak azonban az imént tárgyaltaknál nehezebb feladatok is, és a cikk végén mindenki számára megnövekedett összetettségű Fourier-sorozatra mutató hivatkozások találhatók.
Addig is lazítsunk, dőljünk hátra a székeinkben, és szemléljük a csillagok végtelen kiterjedését:
5. példa
Bontsa ki a függvényt Fourier-sorrá az intervallumon, és ábrázolja a sorozat összegét.
Ebben a problémában a függvény folyamatos a bővítési félintervallumon, ami leegyszerűsíti a megoldást. Minden nagyon hasonlít a 2. példához. Az űrhajó elől nincs menekvés – neked kell döntened =) Hozzávetőleges tervezési minta az óra végén, ütemterv mellékelve.
Páros és páratlan függvények Fourier-soros kiterjesztése
Páros és páratlan függvényekkel a probléma megoldásának folyamata észrevehetően leegyszerűsödik. És ezért. Térjünk vissza egy „két pi” periódusú Fourier-sor függvényének kiterjesztéséhez. 
és tetszőleges időszak „két el” 
.
Tegyük fel, hogy a függvényünk páros. A sorozat általános kifejezése, mint látható, páros koszinuszokat és páratlan szinuszokat tartalmaz. És ha egy PÁROS függvényt bővítünk, akkor miért kellenek páratlan szinuszok?! Állítsuk vissza a szükségtelen együtthatót: .
És így, páros függvény egy Fourier-sorban csak koszinuszokban bővíthető:
Mert a páros függvények integráljai Egy nullához képest szimmetrikus integrációs szegmens mentén megduplázható, akkor a fennmaradó Fourier-együtthatókat leegyszerűsítjük.
A szakadékhoz: 
Tetszőleges intervallumhoz: 
A tankönyvpéldák, amelyek szinte minden matematikai elemzési tankönyvben megtalálhatók, tartalmazzák a páros függvények kiterjesztését 
. Emellett személyes praxisomban is többször találkoztam velük:
6. példa
A funkció adott. Kívánt:
1) bontsa ki a függvényt egy Fourier-sorba a ponttal, ahol egy tetszőleges pozitív szám;
2) írja fel az intervallum bővítését, alkosson függvényt és ábrázolja grafikonon a sorozatok teljes összegét.
Megoldás: az első bekezdésben a probléma általános megoldását javasoljuk, és ez nagyon kényelmes! Ha szükség van rá, csak cserélje ki értékét.
1) Ebben a feladatban a tágulási periódus félperiódus. A további akciók során, különösen az integráció során, az „el” állandónak számít
A függvény páros, ami azt jelenti, hogy csak koszinuszokban bővíthető Fourier sorozattá: 
.
Fourier-együtthatókat keresünk a képletekkel 
. Ügyeljen feltétlen előnyeikre. Először is, az integráció a bővítés pozitív szegmensén keresztül történik, ami azt jelenti, hogy biztonságosan megszabadulunk a modultól 
, figyelembe véve a két darab közül csak az „X”-et. Másodszor pedig az integráció észrevehetően leegyszerűsödik.
Kettő: 
Integráljuk részenként:
És így:
, míg a konstans, amely nem függ az „en”-től, az összegen kívülre kerül.
Válasz: 
2) Írjuk fel az intervallum bővítését, ehhez behelyettesítjük a szükséges félperiódusértéket az általános képletbe:
Bevezetés
A funkcionális sorozatok speciális esetei a trigonometrikus sorozatok. A trigonometrikus sorozatok tanulmányozása a hangzó húr jól ismert problémájához vezetett, amelyen olyan matematikusok dolgoztak, mint Euler, d'Alembert, Fourier és mások.
Jelenleg a trigonometrikus sorozatok a hatványsorokkal együtt fontos szerepet játszanak a tudományban és a technológiában.
1. Trigonometrikus függvényrendszer. Fourier sorozat.
Meghatározás. A függvények sorrendje
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, … , cosnx, sinnx, …
trigonometrikus függvényrendszernek nevezzük.
A trigonometrikus függvényrendszerre a következő egyenlőségek érvényesek:
π ∫ cos nxdx= | π ∫ sinnxdx= | π ∫ cosnx sinmxdx = 0, (n ≥ 1), | |
−π | −π | −π | |
π ∫ cosnx cosmxdx = π ∫ sinnx sinmxdx = 0, (n ≠ m ), | |||
−π | −π | ||
π ∫ cos2 nxdx = π ∫ sin2 nxdx = π , (n ≥ 1). | |||
−π | −π | ||
Ezek az egyenlőségek könnyen bebizonyíthatók jól ismert trigonometriai képletekkel:
cos nx sinmx = | (sin(n + m )x − sin(n − m )x), |
||||||
cos nx cosmx = | (cos(n + m )x + cos(n − m )x), |
||||||
sinnx sinmx = | (cos(n − m )x − cos(n + m )x ). |
||||||
Totalitás | egyenlőségek | hívott | ortogonalitás |
||||||||
trigonometrikus rendszer. | |||||||||||
Legyen f(x) a [-π ,π ] és intervallumon integrálható függvény |
|||||||||||
a n= | ∫ f (x) cosnxdx ,b n = | ∫ f (x) sinnxdx, (n = 0,1,2,...). | |||||||||
−π | −π | ||||||||||
Meghatározás. | Funkcionális tartomány | ||||||||||
+ ∑ (a n cosnx + b n sinx ), | |||||||||||
n=1 | |||||||||||
amelyben az a n, b n együtthatók a (2) képletekkel vannak definiálva, nevezzük
f(x) függvény trigonometrikus Fourier-sora és maguk az együtthatók –
Fourier-együtthatók.
Azt a tényt, hogy a (3) sorozat az f(x) függvény trigonometrikus Fourier-sora, a következőképpen írható fel:
f(x) | + ∑ (a n cosnx + b n sinx ) | |||
n=1 | ||||
A (4) sorozat minden tagját hívjuk harmonikus rezgés. Számos alkalmazott feladatban szükség van egy periodikus függvény ábrázolására sorozat (4) formájában, azaz harmonikus rezgések összege formájában.
2. Periodikus függvények Fourier-soros kiterjesztése 2π periódussal.
Meghatározás. Azt mondják, hogy az f(x) függvény darabonként folyamatos a szegmensen
Ha f(x) folytonos egy intervallumon, kivéve talán véges számú pontot, amelyek mindegyikénél az f(x) függvénynek van határértéke jobb és bal oldalon.
Fogalmazzunk meg egy olyan tételt, amely elegendő feltételt biztosít egy trigonometrikus sorozat konvergenciájához.
Dirichlet-tétel. Legyen egy 2π periódusú f(x) periodikus függvény teljesítse a feltételeket:
1) f (x) és f ′ (x) darabonként folytonosak a [-π ,π ] intervallumon;
2) ha x=c az f(x) függvény szakadási pontja, akkor
f (c )= 1 2 (f (c - 0)+ f (c + 0)).
Ekkor az f(x) függvény trigonometrikus Fourier-sora f(x)-hez konvergál, azaz teljesül az egyenlőség
f(x)= | + ∑ (a n cosnx + b n sinnx ), | |||
n=1 | ||||
ahol az a n, b n együtthatók a (2) képletekkel vannak meghatározva.
Bizonyíték. Tartson fenn a (4) egyenlőség, és engedje meg, hogy a (4) sorozatok tagonkénti integrációt kapjanak. Keressük az együtthatókat a (4) egyenlőségben. Ehhez szorozzuk meg a (4) egyenlőség mindkét oldalát cosnx-szel, és integráljuk a -π és π közötti tartományba; a trigonometrikus rendszer ortogonalitása miatt n-t kapunk. Hasonlóképpen sinnx-szel szorozva és integrálva b n-t kapunk.
3. Páros és páratlan függvények Fourier sorozata.
1. következmény (Fourier-sor az egyenletes függvényhez). Legyen az f(x) páros függvény
kielégíti a Dirichlet-tétel feltételeit.
f(x)= | + ∑ a n cosnx , | |||||||
n=1 | ||||||||
π ∫ cosnxdx , (n = 0,1,2,3,...). | ||||||||
2. következmény (Fourier-sor egy páratlan függvényhez). Az f(x) páratlan függvény teljesítse a Dirichlet-tétel feltételeit.
Ezután a következő Fourier-soros kiterjesztésre kerül sor:
f (x )= ∑ b n sinnx , | ||||||
n=1 | ||||||
π ∫ f(x) sin nxdx. | ||||||
Az 1. és 2. következmény bizonyítására a következő lemmát használjuk, ami geometriailag nyilvánvaló (az integrál egy terület).
Lemma. Adjunk meg két integrálható függvényt az [-a,a] intervallumon: egy páros g(x) és egy páratlan h(x) függvényt.
Akkor igazak az egyenlőségek
∫ a g(x) dx= 2 ∫ a g(x) dx, | ∫ a h(x) dx= 0. |
|
−a | −a |
|
1. példa Bontsa ki az f(x)=x, (x [-π ,π ] függvényt Fourier-sorba!
Mivel a függvény páratlan, akkor a (8) és (7) képlet szerint a következőket kapjuk:
2π | n+12 |
|||||||||||||
b n= | ∫0 | x sin nxdx= − | ∫0 | xd cos nx=− | cosπ n = (− 1) | |||||||||
(− 1) | n+1 | |||||||||||||
x = 2 ∑ | sin nx ,x ]− π ,π [. | |||||||||||||
n=1 | ||||||||||||||
Az x=±π pontokban ennek a sorozatnak az összege nulla.
Ha a (9) sorozatban x = π 2 értéket állítunk be, akkor feltételesen konvergens sorozatot kapunk
(− 1) | n+1 | |||||||||||||||
= ∑ | 1 − | + ... | ||||||||||||||
2n+1 | ||||||||||||||||
n=0 | ||||||||||||||||
Feladatok |
||||||||||||||||
1. Bontsa ki a 2π periódusú f (x) periodikus függvényt Fourier-sorrá |
||||||||||||||||
0 ≤ x ≤ π, |
||||||||||||||||
f(x)= | −π ≤x<0. |
|||||||||||||||
2. Bontsa ki a 2π periódusú f (x) függvényt Fourier-sorrá |
||||||||||||||||
−π ≤x ≤0, |
||||||||||||||||
0 < x < π , |
||||||||||||||||
f(x) = x | ||||||||||||||||
x = π. |
||||||||||||||||
f(x)= | ||||||||||||||||
−π ≤x<π , |
||||||||||||||||
f(x)= | ||||||||||||||||
x = π. |
||||||||||||||||
f(x)=x.
−π ≤x<0, |
|||
f(x)= | 0 ≤ x ≤ π . |
||
−1 |
|||
7. Bontsa ki a [0,π] intervallum függvényét trigonometrikus Fourier-sorokká koszinuszokban
0 ≤x ≤ | |||
f(x)= |
< x ≤ π .
8. Terítsen egy szegmensre
0 ≤x ≤ | ||||||
f(x)= | ||||||
< x ≤π . |
||||||
π−x | ||||||
f(x)=2x.
f(x) = pl.
Tesztkérdések az óra témájában:
1. Emlékezzünk vissza a Fourier-sor definíciójára.
2. Határozza meg egy Fourier-függvénysorozat konvergenciáját.
Következtetés.
Bevezetés.
A Fourier-sor a trigonometrikus sorozatok elméletének jelentős részét képezi. A Fourier-sorozat először J. Fourier (1807) munkáiban jelent meg, amelyek a hővezetési problémák tanulmányozásával foglalkoztak. Ezt követően a Fourier-sorok széles körben elterjedtek mind az elméleti, mind az alkalmazott matematikában. Így a „Matematikai fizika egyenletek” témakör tanulmányozása során Fourier-sorokat használnak a hőegyenlet, a különböző kezdeti és peremfeltételekkel rendelkező hullámegyenlet megoldására. Az integrál Fourier-transzformáció, amelyet a függvények széles osztályára alkalmaznak, szintén széles körben elterjedt.
A matematikai fizika számos problémájában, különösen a hengeres tartomány potenciálelméleti peremérték-problémáiban a változók szétválasztásakor az úgynevezett Bessel-egyenletek megoldásához jutnak el.
F. Bessel volt az első, aki szisztematikusan tanulmányozta az ilyen típusú egyenletek megoldását, de már korábban is találkoztak velük D. Bernoulli, L. Euler, J. Lagrange munkáiban.
1. Fourier függvénysorok tetszőleges 2L periódussal.
Bármely 2L periódusú függvények Fourier sorozattá bővíthetők. A következő tétel teljesül.
Tétel. A 2L periódusú f(x) periodikus függvény teljesítse a Dirichlet-tétel feltételeit a [-L,L] intervallumon.
Ekkor az [-L,L] intervallumon van egy Fourier-sor kiterjesztése
πnx | π nx ), | ||||||||||||||
f(x)= | ∑ (a n cos | ||||||||||||||
n=1 | |||||||||||||||
a n= | f(x)cos | π nx dx, | b n= | f(x)sin | π nx dx | ||||||||||
L − ∫ L | L − ∫ L | ||||||||||||||
(n = 0,1,2,...)
Bizonyíték. Fontolja meg a funkciót
g(y)=f( | −π ≤y ≤π , | ||||||||||||||||||
amelyre Dirichlet tétele vonatkozik. Ezért | |||||||||||||||||||
g(y)= | + ∑ (a n cosny + b n sinny), | ||||||||||||||||||
n=1 | |||||||||||||||||||
π ∫f ( | )cos nydy, | π∫ | )sin nydy. | ||||||||||||||||
−π | −π | ||||||||||||||||||
egyenlőségek (12) | helyettesítés x = | Szerezzük meg a szükségeset |
|||||||||||||||||
egyenlőség (10) és (11).
Megjegyzés. Ha az f(x) függvény páros a [-L,L] intervallumon, akkor annak
A Fourier-sor csak az a 2 0 szabad tagot és a koszinuszokat tartalmazza, ha
f(x) páratlan függvény, akkor a Fourier-sora csak szinuszokat fog tartalmazni. 2. példa. Bontsa ki az f(x) függvényt a 2. periódussal egy Fourier-sorra, amely
A [-1,1] szegmenst az f(x)=| képlet adja meg x| .
Mivel az f(x)=| függvény x| | Páros, akkor b n = 0, | 2 ∫ 1 | xdx = 1, |
||||||||||
0, n = 2m, |
|||||||||||||
an = 2 ∫ xcos π nxdx= | |||||||||||||
((− 1) | − 1)= | N = 2 m + 1. |
|||||||||||
Ennélfogva,
cosπ (2m + 1)x | |||||||||||||||||||
X R . | |||||||||||||||||||
(2 m + 1) | |||||||||||||||||||
m=1 | |||||||||||||||||||
Ha x=0, a (14) képlet a következőket adja: | |||||||||||||||||||
π 2 | +… | ||||||||||||||||||
2. Nem periodikus függvények Fourier-sorai.
Legyen az f(x) nem periodikus függvény a [-L,L] intervallumon definiálva. Annak érdekében, hogy trigonometrikus sorozattá bővítsük, ezen a szegmensen építünk
g(x)=f(x) -L-nél | |||||
nem periodikus funkció | f(x) szükséges | bemutatni | |||
Fourier a ]0,L[ intervallumon. Ehhez megszerkesztjük a 2L periódusú g(x) periodikus függvényt
f(x),0< x < L ,g (x ) = f 1((x ),− L < x < 0.
Mivel az f 1 (x) függvény számtalan számban választható
módokon (amíg g(x) teljesíti a Dirichlet-tétel feltételeit), akkor egy végtelen Fourier-sort kapunk
a g(x) függvényre.
Különösen a g(x) függvény választható párosra vagy páratlanra.
Legyen most az f(x) nem periodikus függvény definiálva valamilyen ]a,b[ intervallumon. Ennek a funkciónak a bemutatása érdekében
Fourier-sor, megszerkesztünk egy tetszőleges f 1 (x) periodikus függvényt
2L≥ b-a periódus, amely egybeesik az ]a,b[ intervallumon az f(x) függvénnyel, és kiterjesztjük Fourier-sorra.
3. A Fourier-sor összetett formája.
Alakítsuk át a (10) sorozatot és együtthatóit (11) Euler-képletekkel
(ω n = π L n )
cosω n x = | e iω n x+ e − iω n x | sinω n x = | e iω n x− e − iω n x | ||
Ennek eredményeként megkapjuk a sorozatot
f (x) = ∑ cn ei ω n x | |||||
n =−∞ | |||||
esélyekkel | |||||
c n= | ∫L | f (x )e − i ω n x dx ,n = 0,± 1,± 2,..., | |||
−L | |||||
amelyet úgy hívnak trigonometrikus Fourier-sor összetett formában
a 2L periódus f(x) függvényei.
A következő terminológia elfogadott, különösen az elektrotechnikában és a rádiótechnikában. Az e i ω n x kifejezéseket harmonikusoknak nevezzük,
ω n számokat nevezzük hullámszámok f(x) függvények. Hullám halmaza
hívják a számokat diszkrét spektrum. A (16) együtthatókat hívjuk komplex amplitúdó.
A spektrális elemzés az együtthatók tulajdonságainak vizsgálatával foglalkozik (16). 3. példa Keresse meg a trigonometrikus Fourier-sort komplex formában
függvények f(x)=e ax , (a≠ 0), ahol L=π.
A (15) és (16) képlet a következőket adja:
shaπ | |||||||||||||||||||||||
n ∑ =−∞ | (− 1)e | ||||||||||||||||||||||
a−in | |||||||||||||||||||||||
Áttérve a szokásos Fourier-sorozatra, a következőket kapjuk: | |||||||||||||||||||||||
shaπ | 2 shaπ | (− 1)n (a cosnx − n sinnx ) | |||||||||||||||||||||
n=1 | |||||||||||||||||||||||
Konkrétan x=0 esetén a következők lesznek: | |||||||||||||||||||||||
(− 1) | |||||||||||||||||||||||
2 ashaπ | |||||||||||||||||||||||
n=1 | a+n | ||||||||||||||||||||||
Feladatok |
|||||||||||||||||||||||
Bontsa ki a 2π periódusú f (x) periodikus függvényt Fourier-sorrá |
|||||||
0 ≤ x ≤ π, |
|||||||
x = π. |
|||||||
3. Bontsa ki Fourier-sorozattá a [ − 1,1] intervallumban megadott függvényt az egyenlettel. |
|||||||
4. Bontsa ki a függvényt Fourier-sorozattá | f(x)= | ||||||
−π ≤x<π , |
|||||||
f(x)= | |||||||
x = π. |
|||||||
5. Bontsa ki a függvényt szinuszokra a [0,1] intervallumban
f(x)=x.
6. Keresse meg egy függvény Fourier-együtthatóit f(x) trigonometrikus sorozat
−π ≤x<0, |
|||||
f(x)= | 0 ≤ x ≤ π . |
||||
−1 |
|||||
7. Bővítse ki a [0,π] intervallumot trigonometrikus Fourier-sorokká koszinuszokban |
|||||
0 ≤x ≤ | |||||
f(x)= | |||||
< x ≤ π .
8. Terítsen egy szegmensre[ 0,π ] a trigonometrikus Fourier-sorba koszinusz0-ban 2-ben
0 ≤x ≤ | ||||||
f(x)= | ||||||
< x ≤π . |
||||||
π−x | ||||||
9. A [0,1] intervallumban bontsa ki a függvényt trigonometrikus Fourier-sorrá
f(x)=2x.
10. A [ − 1,1] intervallumban bontsa ki a függvényt trigonometrikus Fourier-sorrá
f(x) = pl.
Következtetés.
Az előadás Fourier-féle periodikus függvényeket vizsgált különböző intervallumokon. Megfontoljuk a Fourier-transzformációt, és megoldást kapunk a Bessel-egyenletre, amely a matematikai fizika számos problémájában a változók szétválasztásakor keletkezik.
Bevezetés.
Az előadás a Fourier-sor limitáló esetét tárgyalja, ami a Fourier-integrálhoz vezet. A Fourier-integrál képleteit páros és páratlan függvényekre írjuk. Meg kell jegyezni, hogy a Fourier-integrál milyen szerepet játszik különböző alkalmazásokban. A Fourier-integrált komplex formában ábrázoljuk, ami hasonló a Fourier-sor komplex ábrázolásához.
A transzformáció és az inverz Fourier transzformáció, a koszinusz és a szinusz Fourier transzformáció képleteit megkapjuk. Tájékoztatást nyújtanak a Fourier-transzformáció matematikai fizika és elektrotechnika problémákra való alkalmazásáról.
1. Fourier-integrál, mint a Fourier-sor korlátozó esete
Legyen az f(x) függvény definiálva egy végtelen intervallumon
]-∞ ,∞ [ és abszolút integrálható rajta, vagyis van egy konvergens integrál
∞ ∫ f(x) dx.
f(x)= | + ∑ (a n cosω n x + b n sinω n x ), | ||||||||||||||
n=1 | |||||||||||||||
a n= | ∫ f (x) cosω n xdx ,b n = | ∫ f(x)sin ω n xdx, | |||||||||||||
−L | −L | ||||||||||||||
Ha a (2) együtthatókat behelyettesítjük az (1) sorozatba, a következőt kapjuk: | |||||||||||||||
f(x)= | ∫ f(t) dt+ | ∑ ((∫ f (t ) cosω n tdt ) cosω n x + (∫ f (t ) sinω n tdt ) sinω n x )) | |||||||||||||
−L | Ln=1 | −L | −L | ||||||||||||
Bizonyítás nélkül mutassuk meg, hogy L→ alakban a (3) képlet felveszi a formát |
|||||||||||||||
f(x)= | ∫(∫ | f (t) cosω tdt) cosω xd ω + | ∫ (∫ f (t ) sinω tdt ) sinω xd ω . | ||||||||||||
0 −∞ | |||||||||||||||
A (4) képletben a jobb oldali kifejezést nevezzük Fourier integrál f(x) függvényre. A (4) egyenlőség minden olyan pontra érvényes, ahol a függvény folytonos. A folytonossági pontoknál a (4) képlet bal oldalán lévő f(x)-et be kell cserélni
Fourier-sorok és alkalmazásuk a kommunikációs technológiában
| Paraméter neve | Jelentése |
| Cikk témája: | Fourier-sorok és alkalmazásuk a kommunikációs technológiában |
| Rubrika (tematikus kategória) | Oktatás |
Folytonos jel bontása ortogonális sorozatokra
Előadás 6. Folyamatos csatorna
A helyreállítás minőségi kritériumai.
A következő kritériumok léteznek:
1) A legnagyobb eltérés kritériuma
ahol: megengedett rekonstrukciós hiba, - max érték - aktuális közelítési hiba.
Ugyanakkor biztosak vagyunk abban, hogy az eredeti jel változásait, beleértve a rövid távú kibocsátásokat is, rögzítik.
2) SKZ-kritérium. ahol: - további CS közelítési hiba, - CS közelítési hiba.
3) Integrálkritérium
Meghatározzák a mintavételi időszak maximális átlagértékét.
4) Valószínűségi kritérium
A megengedett szint be van állítva, a P érték annak a valószínűsége, hogy az aktuális közelítési hiba nem függ valamilyen konkrét értéktől.
Az előadás célja: a folyamatos csatorna megismertetése
a) folytonos jel bontása ortogonális sorozatokra;
b) Fourier-sorok és alkalmazásuk a kommunikációs technológiában;
c) Kotelnyikov tétele (Shannon Fundamental Theorem);
d) folyamatos csatorna kapacitása;
e) NKS modell.
A kommunikációelméletben a függvények ortogonális sorozatokká történő kiterjesztésének két speciális esetét széles körben használják a jelek ábrázolására: a trigonometrikus függvények kiterjesztését és a forma függvényeinek kiterjesztését. sinx/x. Az első esetben a jel spektrális ábrázolását kapjuk egy közönséges Fourier-sor formájában, a második esetben pedig egy időbeli ábrázolást V.A. sorozat formájában. Kotelnyikov.
A jelkifejezés gyakorlati szempontból legegyszerűbb formája néhány elemi függvény lineáris kombinációja
Általánosságban elmondható, hogy a jel egy összetett rezgés, ami rendkívül fontossá teszi egy komplex függvény ábrázolását utca), a jel meghatározása egyszerű függvényekkel.
A lineáris rendszerek tanulmányozása során a jel ilyen ábrázolása nagyon kényelmes. Lehetővé teszi számos probléma megoldásának részekre bontását a szuperpozíció elve alapján. Például egy lineáris rendszer kimenetén lévő jel meghatározásához kiszámoljuk a rendszer válaszát minden egyes ψ k (t) elemi hatásra, majd a megfelelő a k együtthatókkal szorozva kapott eredmények könnyen kiszámíthatók, és nem függtek a számtól. az összeg feltételeiről. Ezeket a követelményeket a legteljesebben az ortogonális függvények készlete elégíti ki.
ψ 1 (t), ψ 2 (t), . . . . , ψ n (t) . (6.2)
Az adott intervallumot ortogonálisnak nevezzük,
én Kövér. (6.3)
A jelek spektrális elemzésének alapja az időfüggvények Fourier-sor vagy integrál formájában történő ábrázolása. Bármely s(t) periodikus jelet, amely kielégíti a Dirichlet-feltételt, sorozatként kell ábrázolni a trigonometrikus függvényekben
Az a 0 mennyiséget, amely a jel perióduson belüli átlagértékét fejezi ki, általában konstans komponensnek nevezik. A képlet alapján számítják ki
A Fourier-sorozat írásának összetett formája nagyon kényelmes
Nagyságrend A k egy komplex amplitúdó, a képlettel találjuk meg
A (6.8) és (6.9) relációk diszkrét Fourier transzformációk párját alkotják. Megjegyzendő, hogy a Fourier-sor nemcsak periodikus jelet, hanem bármilyen véges időtartamú jelet is reprezentálhat. Ez utóbbi esetben a jel Utca) feltételezzük, hogy periodikusan meghosszabbodik a teljes időtengely mentén. Ebben az esetben a (6.4) vagy a (6.8) egyenlőség csak az időtartamának intervallumában reprezentálja a jelet (- T/2, T/2). Véletlenszerű jel (vagy zaj), meghatározott intervallumon (- T/2, T/2), a Fourier-sornak is képviselnie kell
Ahol a kÉs b k valószínűségi változók (fluktuációs zaj esetén - független véletlenszerű normális eloszlású).
Fourier sorozatok és alkalmazásuk a kommunikációs technológiában - koncepció és típusok. A "Fourier sorozatok és alkalmazásuk a kommunikációs technológiában" kategória besorolása és jellemzői 2017, 2018.
A 10. fejezet ismerteti a Fourier-sor alkalmazását egy húr rugalmas rezgésének vizsgálatára. Ebben a fejezetben megvizsgáljuk a gerendák rugalmas hajlításának néhány kérdését.
A Fourier-sorok alkalmazása a rugalmas testek statikai problémáinak megoldására a következő séma szerint történik.
Mindenekelőtt fizikai megfontolások alapján olyan összefüggést vezetünk le, amely a deformált test geometriai állapotát leíró függvényt összekapcsolja a testre ható terhelésekkel. Ez a reláció általánosságban magában az állapotfüggvényen kívül annak származékait, valamint néhány integrál jellemzőt is tartalmaz.
Ezután a test geometriai körvonalai és a mozgását korlátozó kinematikai feltételek alapján kiválasztunk egy ortogonális függvényrendszert, amely szerint a megadott állapotfüggvényt Fourier-sorrá bővítjük.
Ha ezt a Fourier-sort behelyettesítjük a származtatott relációba, akkor a két Fourier-sor azonos egyenlőségéhez vezet, amelyből a 9. fejezet 14. szakaszának 2. tételét felhasználva továbbléphetünk az azonos függvények együtthatóinak egyenlőségéhez. Ezekből az utolsó egyenlőségekből ki lehet számítani a Fourier-együtthatók értékeit, és ezáltal leírni a deformált test állapotát.
A Fourier-sornak a hajlítást jellemző relációba való behelyettesítésének ezt a folyamatát elég körültekintően kell végrehajtani, mert ennek során többször kell tagonként megkülönböztetni a Fourier-sorokat, amelyek együtthatóit csak utólag számítjuk ki. Ellenőrizze ennek a differenciálásnak az érvényességét, azaz (lásd az 5. fejezet 10. §-át) az összeállított sorozatok egységes konvergenciáját
a differenciálható sorozatok származékaiból eleve elég nehéz. Ezért az egyes konkrét problémák megoldása során hozzávetőlegesen a következőképpen érvelünk.
Először is feltételezzük, hogy a még ismeretlen együtthatókkal írt Fourier-sorok (az 5. fejezet 10. §-ának tétele értelmében) tagonként a szükséges számú alkalommal differenciálhatók. A deriváltok kiírásával és a kapott egyenletek megoldásával megtaláljuk a minket érdeklő Fourier-együtthatókat. Ez azt jelenti, hogy ha a Fourier-sor tagonként (sőt, ahányszor) megkülönböztethető, akkor ez egy teljesen határozott sorozat, amit találtunk. Ha most a kapott együtthatók vizsgálatából kiderül, hogy ez a megszerkesztett, jól definiált sorozat valóban tagonként differenciálható, akkor ezen a sorozaton minden ténylegesen végrehajtott művelet legális volt, és a talált Fourier-együtthatók a keresettek. Ha kiderül, hogy az eredmény egy nem differenciálható sorozat, akkor ez azt jelenti, hogy a vele korábban végrehajtott műveletek matematikailag hibásak voltak, és az ezek alapján kapott eredmény megalapozatlan, bár talán helyes. A következőkben mindkét típusú eredményre nézünk példákat.
Sok esetben a jel spektrumának megszerzésének (számításának) feladata így néz ki. Létezik olyan ADC, amely Fd mintavételi frekvenciával a T idő alatt a bemenetére érkező folytonos jelet digitális mintává alakítja - N darab. Ezután a minták tömbjét betápláljuk egy bizonyos programba, amely N/2-t állít elő néhány számértékből (a programozó, aki ellopták az internetről programot írt, biztosítja, hogy végrehajtja a Fourier-transzformációt).Annak ellenőrzésére, hogy a program megfelelően működik-e, egy mintatömböt alkotunk két sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) szinusz összegéből, és becsúsztatjuk a programba. . A program a következőket rajzolta:
1. ábra A jelidő függvény grafikonja
2. ábra Jelspektrum grafikon
A spektrumgrafikonon két pálca (harmonikus) található, 0,5 V amplitúdójú 5 Hz és 1 V amplitúdójú 10 Hz, minden ugyanaz, mint az eredeti jel képletében. Minden rendben, ügyes programozó! A program megfelelően működik.
Ez azt jelenti, hogy ha két szinuszos keverékből valós jelet viszünk az ADC bemenetre, akkor hasonló, két harmonikusból álló spektrumot kapunk.
Összesen, a miénk igazi mért jel 5 másodpercig tart, amelyet az ADC digitalizált, azaz ábrázol diszkrét számít, van diszkrét nem periodikus hatótávolság.
Matematikai szempontból hány hiba van ebben a kifejezésben?
Most döntöttek az illetékesek, úgy döntöttünk, hogy az 5 másodperc túl hosszú, mérjük 0,5 másodperc alatt a jelet.
3. ábra: A sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) függvény grafikonja 0,5 másodperces mérési időszakra
4. ábra Funkcióspektrum
Valami nem stimmel! A 10 Hz-es felharmonikus rendesen megrajzolódik, de az 5 Hz-es pálca helyett több furcsa harmonikus is megjelenik. Az interneten nézzük, mi történik…
Nos, azt mondják, hogy nullákat kell hozzáadni a minta végéhez, és a spektrum a szokásos módon rajzolódik ki.
5. ábra Nullák hozzáadva 5 másodpercig
6. ábra Fogadott spektrum
Még mindig nem ugyanaz, mint 5 másodpercnél volt. Az elmélettel kell foglalkoznunk. Menjünk-hoz Wikipédia- tudásforrás.
2. Folyamatos függvény és Fourier-soros ábrázolása
Matematikailag a T másodperc időtartamú jelünk egy bizonyos f(x) függvény, amely a (0, T) intervallumon van megadva (X ebben az esetben az idő). Egy ilyen függvény mindig ábrázolható a következő alakú harmonikus függvények (szinusz vagy koszinusz) összegeként:
(1), ahol:
K - trigonometrikus függvényszám (harmonikus komponens száma, harmonikus szám)
T - szegmens, ahol a függvény definiálva van (jel időtartama)
Ak a k-adik harmonikus komponens amplitúdója,
θk- a k-adik harmonikus komponens kezdeti fázisa
Mit jelent „egy függvényt sorozat összegeként ábrázolni”? Ez azt jelenti, hogy a Fourier-sor harmonikus összetevőinek értékeit minden pontban összeadva megkapjuk a függvényünk értékét ebben a pontban.
(Szigorúbban fogalmazva, a sorozatnak az f(x) függvénytől való négyzetközép-eltérése nullára hajlik, de a négyzetgyök-konvergencia ellenére a függvény Fourier-sorai általában nem szükségesek ahhoz, hogy pont szerint konvergáljon hozzá. Lásd: https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)
Ezt a sorozatot így is írhatjuk:
(2),
ahol , k-edik komplex amplitúdó.
Az (1) és (3) együtthatók közötti kapcsolatot a következő képletekkel fejezzük ki:
Megjegyzendő, hogy a Fourier-sor mindhárom ábrázolása teljesen egyenértékű. Néha, amikor Fourier-sorokkal dolgozunk, kényelmesebb a képzeletbeli argumentum kitevőit használni a szinuszok és koszinuszok helyett, vagyis a Fourier-transzformációt komplex formában használni. De kényelmes az (1) képlet használata, ahol a Fourier-sort koszinuszok összegeként mutatjuk be a megfelelő amplitúdókkal és fázisokkal. Mindenesetre helytelen azt állítani, hogy egy valós jel Fourier-transzformációja összetett harmonikus amplitúdókat eredményez. Ahogy a Wiki helyesen mondja, „A Fourier-transzformáció (ℱ) egy olyan művelet, amely egy valós változó egyik függvényét társítja egy másik, szintén valós változóhoz.
Teljes:
A jelek spektrális elemzésének matematikai alapja a Fourier-transzformáció.
A Fourier-transzformáció lehetővé teszi egy f(x) (jel) folytonos függvény ábrázolását, amely a (0, T) szakaszon meghatározott trigonometrikus függvények (szinusz és/vagy koszinusz) végtelen számú (végtelen sorozatának) összegeként definiálható. amplitúdók és fázisok, a (0, T) szegmensen is figyelembe véve. Az ilyen sorozatot Fourier-sorozatnak nevezik.
Jegyezzünk meg még néhány pontot, amelyek megértése szükséges a Fourier-transzformáció helyes alkalmazásához a jelanalízishez. Ha figyelembe vesszük a Fourier-sort (a szinuszok összegét) a teljes X-tengelyen, akkor láthatjuk, hogy a (0, T) szakaszon kívül a Fourier-sor által reprezentált függvény periodikusan megismétli függvényünket.
Például a 7. ábra grafikonján az eredeti függvény a (-T\2, +T\2) szakaszon van definiálva, és a Fourier-sor a teljes x tengelyen meghatározott periodikus függvényt reprezentál.
Ez azért történik, mert a szinuszosok maguk is periodikus függvények, és ennek megfelelően az összegük periodikus függvény lesz.
7. ábra Egy nem periodikus eredeti függvény ábrázolása Fourier-sorral
És így:
Eredeti függvényünk folytonos, nem periodikus, egy bizonyos T hosszúságú szakaszon definiált.
Ennek a függvénynek a spektruma diszkrét, azaz harmonikus komponensek végtelen sorozata - a Fourier-sor - formájában jelenik meg.
Valójában a Fourier-sor meghatároz egy bizonyos periodikus függvényt, amely egybeesik a miénkkel a (0, T) szakaszon, de számunkra ez a periodicitás nem jelentős.
A harmonikus komponensek periódusai annak a szakasznak a (0, T) értékének a többszörösei, amelyen az eredeti f(x) függvény definiálva van. Más szavakkal, a harmonikus periódusok a jelmérés időtartamának többszörösei. Például a Fourier-sor első harmonikusának periódusa megegyezik azzal a T intervallummal, amelyen az f(x) függvény definiálva van. A Fourier-sor második harmonikusának periódusa megegyezik a T/2 intervallummal. És így tovább (lásd 8. ábra).
8. ábra A Fourier-sor harmonikus komponenseinek periódusai (frekvenciái) (itt T = 2π)
Ennek megfelelően a harmonikus komponensek frekvenciái 1/T többszörösei. Azaz az Fk harmonikus komponensek frekvenciája egyenlő Fk= k\T-vel, ahol k 0-tól ∞-ig terjed, például k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (nulla frekvencián - állandó komponens).
Legyen eredeti függvényünk egy T=1 sec alatt rögzített jel. Ekkor az első harmonikus periódusa egyenlő lesz a jelünk időtartamával T1=T=1 sec, a harmonikus frekvencia pedig 1 Hz lesz. A második harmonikus periódusa egyenlő lesz a jel időtartamának osztva 2-vel (T2=T/2=0,5 mp), a frekvencia pedig 2 Hz lesz. A harmadik harmonikusnál T3=T/3 sec és a frekvencia 3 Hz. Stb.
A harmonikusok közötti lépés ebben az esetben 1 Hz.
Így egy 1 másodperc időtartamú jel harmonikus komponensekre bontható (spektrumot nyerve) 1 Hz frekvenciafelbontással.
A felbontás kétszeresére 0,5 Hz-re történő növeléséhez a mérés időtartamát kétszeresére kell növelni - legfeljebb 2 másodpercig. A 10 másodpercig tartó jel harmonikus komponensekre bontható (spektrum előállításához), 0,1 Hz frekvenciafelbontással. Nincs más módszer a frekvenciafelbontás növelésére.
Van mód a jel időtartamának mesterséges növelésére úgy, hogy nullákat adunk a minták tömbjéhez. De nem növeli a tényleges frekvenciafelbontást.
3. Diszkrét jelek és diszkrét Fourier transzformáció
A digitális technika fejlődésével a mérési adatok (jelek) tárolásának módjai is megváltoztak. Ha korábban egy jelet magnóra lehetett rögzíteni és analóg formában szalagon tárolni, most a jeleket digitalizálják és a számítógép memóriájában tárolt fájlokban számok (minták) halmazaként tárolják.A jel mérésének és digitalizálásának szokásos sémája a következő.
9. ábra A mérőcsatorna diagramja
A mérőátalakító jele T időtartam alatt érkezik meg az ADC-hez. A T idő alatt kapott jelminták (mintavételezés) a számítógépre kerülnek és a memóriában tárolódnak.
10. ábra Digitalizált jel - T idő alatt N minta érkezett
Milyen követelmények vonatkoznak a jeldigitalizálási paraméterekre? A bemeneti analóg jelet diszkrét kóddá (digitális jellé) alakító eszközt analóg-digitális konverternek (ADC) (Wiki) nevezzük.
Az ADC egyik fő paramétere a maximális mintavételezési frekvencia (vagy mintavételezési frekvencia, angolul sample rate) - az időfolytonos jel mintavételezési gyakorisága a mintavételezéskor. Hertzben mérik. ((Wiki))
Kotelnyikov tétele szerint, ha egy folytonos jelnek az Fmax frekvencia által korlátozott spektruma van, akkor az időközönként vett diszkrét mintáiból teljesen és egyértelműen rekonstruálható. 
, azaz Fd ≥ 2*Fmax frekvenciával, ahol Fd a mintavételi frekvencia; Fmax - a jel spektrumának maximális frekvenciája. Más szóval, a jel digitalizálási frekvenciájának (ADC mintavételezési frekvenciának) legalább kétszerese kell legyen a mérni kívánt jel maximális frekvenciájának.
Mi történik, ha a Kotelnyikov-tétel által megköveteltnél alacsonyabb frekvenciával veszünk mintát?
Ebben az esetben jön létre az „aliasing” effektus (más néven stroboszkópos effektus, moaré effektus), amelyben a nagyfrekvenciás jel a digitalizálás után alacsony frekvenciájú jellé alakul, ami valójában nem létezik. ábrán. 11 piros nagyfrekvenciás szinuszhullám valós jel. Az alacsonyabb frekvenciájú kék szinusz egy fiktív jel, amely abból adódik, hogy a mintavételezési idő alatt a nagyfrekvenciás jel több mint felének van ideje áthaladni.
Rizs. 11. Hamis alacsony frekvenciájú jel megjelenése nem kellően magas mintavételezési gyakoriság mellett
Az aliasing hatás elkerülése érdekében az ADC elé egy speciális élsimító szűrőt helyeznek el - egy aluláteresztő szűrőt (LPF), amely az ADC mintavételi frekvenciájának fele alatti frekvenciákat engedi át, és levágja a magasabb frekvenciákat.
Egy jel spektrumának kiszámításához a diszkrét mintákból a diszkrét Fourier transzformációt (DFT) használjuk. Még egyszer jegyezzük meg, hogy a diszkrét jel spektrumát „definíció szerint” az Fmax frekvencia korlátozza, amely kevesebb, mint az Fd mintavételi frekvencia fele. Ezért egy diszkrét jel spektruma véges számú harmonikus összegével ábrázolható, ellentétben a folytonos jel Fourier-sorának végtelen összegével, amelynek spektruma korlátlan lehet. Kotelnyikov tétele szerint egy harmonikus maximális frekvenciájának olyannak kell lennie, hogy legalább két mintát jelentsen, ezért a harmonikusok száma egyenlő egy diszkrét jel mintáinak felével. Vagyis ha N minta van a mintában, akkor a spektrum harmonikusainak száma N/2 lesz.
Nézzük most a diszkrét Fourier transzformációt (DFT).
Összehasonlítás a Fourier sorozattal
Látjuk, hogy egybeesnek, kivéve, hogy a DFT-ben az idő diszkrét természetű, és a harmonikusok száma N/2-vel - a minták számának felével - korlátozott.
A DFT képleteket k, s dimenzió nélküli egész változókba írjuk, ahol k a jelminták száma, s a spektrális komponensek száma.
Az s érték a teljes harmonikus rezgések számát mutatja a T periódusban (a jel mérésének időtartama). A diszkrét Fourier-transzformációt a harmonikusok amplitúdóinak és fázisainak numerikus módszerrel történő megtalálására használjuk, pl. "a számítógépen"
Visszatérve az elején elért eredményekhez. Ahogy fentebb említettük, ha egy nem periódusos függvényt (a jelünket) Fourier-sorrá terjesztünk ki, az így kapott Fourier-sor valójában egy T periódusú periodikus függvénynek felel meg (12. ábra).
12. ábra F(x) periódusos függvény T0 periódussal, T>T0 mérési periódussal
Amint a 12. ábrán látható, az f(x) függvény T0 periódusú periodikus. Tekintettel azonban arra, hogy a T mérési minta időtartama nem esik egybe a T0 függvény periódusával, a Fourier-sorként kapott függvénynek megszakadása van a T pontban. Ennek eredményeként ennek a függvénynek a spektruma tartalmazni fog nagyszámú nagyfrekvenciás harmonikus. Ha a T mérési minta időtartama egybeesne a T0 függvény periódusával, akkor a Fourier-transzformáció után kapott spektrum csak az első harmonikust (a mintavételi időtartammal megegyező periódusú szinuszost) tartalmazná, mivel az f(x) függvény egy szinuszoid.
Más szóval, a DFT program „nem tudja”, hogy a jelünk „egy szinusz darabja”, hanem egy periodikus függvényt próbál ábrázolni sorozat formájában, amely az egyes darabok inkonzisztenciája miatt megszakad. egy szinuszoid.
Ennek eredményeként harmonikusok jelennek meg a spektrumban, amelyeknek összegezniük kell a függvény alakját, beleértve ezt a megszakadást is.
Tehát ahhoz, hogy egy jel „helyes” spektrumát kapjuk, amely több, különböző periódusú szinusz összege, szükséges, hogy minden szinuszból egész számú periódus illeszkedjen a jel mérési periódusába. A gyakorlatban ez a feltétel a jelmérés kellően hosszú időtartamára teljesíthető.
13. ábra Példa a sebességváltó kinematikai hibajelének működésére és spektrumára
Rövidebb időtartammal a kép „rosszabbul” fog kinézni:
14. ábra Példa a rotor rezgésjelének funkciójára és spektrumára
A gyakorlatban nehéz lehet megérteni, hol vannak a „valódi komponensek”, és hol vannak a „műtermékek”, amelyeket a komponensek nem többszörös periódusai, valamint a jelmintavételezés időtartama vagy a jel alakjában bekövetkező „ugrások és megszakítások” okoznak. . Természetesen a „valódi összetevők” és a „termékek” szavakat nem ok nélkül teszik idézőjelbe. A sok harmonikus jelenléte a spektrumgráfon nem jelenti azt, hogy a jelünk valójában ezekből „áll”. Ez ugyanaz, mint azt gondolni, hogy a 7-es szám a 3-as és a 4-es számokból áll. A 7-es szám ábrázolható a 3-as és a 4-es számok összegeként – ez így van.
Tehát a jelünk... vagy inkább nem is „a mi jelünk”, hanem a jelünk ismétlődéséből összeállított periodikus függvény (mintavételezés) bizonyos amplitúdójú és fázisú harmonikusok (szinuszhullámok) összegeként ábrázolható. De sok esetben, ami a gyakorlat szempontjából fontos (lásd a fenti ábrákat), valóban lehetséges a spektrumban kapott harmonikusokat olyan valós folyamatokhoz társítani, amelyek ciklikus jellegűek, és jelentősen hozzájárulnak a jel alakjához.
Néhány eredmény
1. Egy T másodperc időtartamú, ADC-vel digitalizált, azaz diszkrét minták halmazával (N darab) ábrázolt valós mért jel diszkrét nem periodikus spektrummal rendelkezik, amelyet felharmonikusok halmaza képvisel (N/ 2 darab).2. A jelet valós értékek halmaza, spektrumát pedig valós értékek halmaza képviseli. A harmonikus frekvenciák pozitívak. Az a tény, hogy a matematikusok számára kényelmesebb a spektrumot komplex formában negatív frekvenciák használatával ábrázolni, nem jelenti azt, hogy „ez helyes” és „mindig ezt kell tenni”.
3. A T időintervallumban mért jelet csak egy T időintervallumban határozzuk meg. Hogy mi történt a jel mérésének megkezdése előtt, és mi lesz ezután, az ismeretlen a tudomány számára. És a mi esetünkben ez nem érdekes. Az időkorlátos jel DFT-je megadja a „valódi” spektrumát, abban az értelemben, hogy bizonyos feltételek mellett lehetővé teszi összetevői amplitúdójának és frekvenciájának kiszámítását.
Felhasznált anyagok és egyéb hasznos anyagok.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete