Vegyük a gyökerek általános mutatóját. Négyzetgyök

A cikk anyagát az irracionális kifejezések tématranszformációjának részének kell tekinteni. Itt példákon keresztül elemezzük az összes finomságot és árnyalatot (amelyek közül sok van), amelyek a gyökerek tulajdonságain alapuló átalakítások során merülnek fel.

Oldalnavigáció.

Emlékezzünk vissza a gyökerek tulajdonságaira

Mivel a kifejezések átalakításával fogunk foglalkozni a gyökök tulajdonságait felhasználva, nem árt megjegyezni a főbbeket, vagy még jobb, ha felírjuk őket papírra és tegyük magunk elé.

Először a négyzetgyököket és azok következő tulajdonságait vizsgáljuk (a, b, a 1, a 2, ..., a k valós számok):

Később pedig kibővítjük a gyökér gondolatát, bevezetjük az n-edik fokú gyök definícióját, és figyelembe veszik az ilyen tulajdonságokat (a, b, a 1, a 2, ..., a k valós számok, m, n, n 1, n 2, ... , n k - természetes számok):

Kifejezések konvertálása gyökérjelek alatti számokkal

Szokás szerint először numerikus kifejezésekkel tanulnak meg dolgozni, és csak ezután térnek át a változós kifejezésekre. Mi is így járunk el, és először a csak numerikus kifejezéseket tartalmazó irracionális kifejezések transzformációjával foglalkozunk a gyökjelek alatt, majd a következő bekezdésben már a gyökjelek alatti változókat vezetjük be.

Hogyan használható ez kifejezések átalakítására? Nagyon egyszerű: például egy irracionális kifejezést helyettesíthetünk kifejezéssel, vagy fordítva. Vagyis ha a konvertált kifejezés olyan kifejezést tartalmaz, amely megfelel a gyökök felsorolt ​​tulajdonságainak bármelyikének bal (jobb) részéből származó kifejezésnek, akkor az helyettesíthető a megfelelő kifejezéssel a jobb (bal) részből. Ez a kifejezések átalakítása a gyökök tulajdonságainak felhasználásával.

Vegyünk még néhány példát.

Egyszerűsítsük a kifejezést . A 3 , 5 és 7 számok pozitívak, így nyugodtan alkalmazhatjuk a gyökerek tulajdonságait. Itt másképp cselekedhet. Például egy tulajdonság alapú gyökér ábrázolható mint , és egy tulajdonság alapú gyökér k=3-mal mint , ezzel a megközelítéssel a megoldás így fog kinézni:

Lehetett másként is, lecserélve -ra, majd -ra, ebben az esetben a megoldás így nézne ki:

Más megoldások is lehetségesek, például:

Nézzünk egy másik példát. Alakítsuk át a kifejezést. A gyökök tulajdonságainak listáját tekintve kiválasztjuk belőle a példa megoldásához szükséges tulajdonságokat, jól látható, hogy ezek közül kettő és itt hasznos, amelyek bármely a -ra érvényesek. Nekünk van:

Alternatív megoldásként először a gyökérjelek alatti kifejezéseket átalakíthatjuk a használatával

majd alkalmazzuk a gyökerek tulajdonságait

Eddig a pontig olyan kifejezéseket alakítottunk át, amelyek csak négyzetgyököket tartalmaznak. Ideje olyan gyökerekkel dolgozni, amelyek más mutatókkal rendelkeznek.

Példa.

Irracionális kifejezés átalakítása .

Megoldás.

Tulajdon szerint egy adott szorzat első tényezője helyettesíthető a -2 számmal:

Lépj tovább. A tulajdonság alapján a második tényezőt így is ábrázolhatjuk, és nem árt a 81-et a három négyes hatványával helyettesíteni, hiszen a 3-as szám a többi faktorban a gyökjegyek alatt jelenik meg:

A tört gyökerét célszerű a forma gyökeinek arányával helyettesíteni, amely tovább alakítható: . Nekünk van

Az eredményül kapott kifejezés a kettős műveletek végrehajtása után a következőt veszi fel, és hátra van a gyökök szorzatának átalakítása.

A gyökerek termékeinek átalakításához általában egy indikátorra redukálják őket, amelyhez célszerű az összes gyökér mutatóit figyelembe venni. Esetünkben LCM(12, 6, 12)=12 , és erre a mutatóra csak a gyökeret kell redukálni, mivel a másik két gyökben már van ilyen mutató. Ennek a feladatnak a megbirkózása lehetővé teszi az egyenlőséget, amelyet jobbról balra alkalmaznak. Így . Figyelembe véve ezt az eredményt, megvan

Most a gyökerek szorzata helyettesíthető a termék gyökérével, és végrehajtható a fennmaradó, már nyilvánvaló átalakítások:

Készítsük el a megoldás rövid változatát:

Válasz:

.

Külön hangsúlyozzuk, hogy a gyökerek tulajdonságainak alkalmazásához figyelembe kell venni a gyökérjelek alatti számokra vonatkozó korlátozásokat (a≥0 stb.). Ezek figyelmen kívül hagyása helytelen eredményekhez vezethet. Például tudjuk, hogy a tulajdonság érvényes a nem negatív a-ra. Ez alapján nyugodtan mehetünk például tól ig, hiszen a 8 pozitív szám. De ha veszünk egy értelmes gyökét egy negatív számnak, például , és a fenti tulajdonság alapján lecseréljük -ra, akkor a −2-t tulajdonképpen 2-re cseréljük. Valóban, a . Vagyis negatív a esetén az egyenlőség lehet hamis, ahogy a gyökök egyéb tulajdonságai is hamisak lehetnek a rájuk meghatározott feltételek figyelembevétele nélkül.

De az előző bekezdésben elmondottak egyáltalán nem jelentik azt, hogy a gyökjelek alatti negatív számokat tartalmazó kifejezések nem transzformálhatók a gyökök tulajdonságaival. Csak előzetesen „elő kell készíteni” őket a számokkal végzett műveletek szabályainak alkalmazásával, vagy a páratlan fokú gyök meghatározásával negatív számból, ami megfelel az egyenlőségnek, ahol −a negatív szám (míg a pozitív). . Például nem lehet azonnal helyettesíteni a -vel, mivel a −2 és -3 negatív számok, de lehetővé teszi, hogy a gyökérből átlépjünk a -be, majd alkalmazzuk a gyökér tulajdonságát a szorzatból: . És az előző példák egyikében a gyökértől a tizennyolcadik fok gyökeréhez kellett lépni , és aztán .

Tehát ahhoz, hogy a kifejezéseket a gyökér tulajdonságaival átalakítsa, meg kell tennie

• válassza ki a megfelelő tulajdonságot a listából,
• győződjön meg arról, hogy a gyökér alatti számok megfelelnek a kiválasztott tulajdonság feltételeinek (ellenkező esetben előzetes átalakításokat kell végrehajtania),
• és hajtsa végre a tervezett átalakítást.

Kifejezések konvertálása gyökérjelek alatti változókkal

A nem csak számokat, hanem a gyökjel alatt változókat is tartalmazó irracionális kifejezések átalakításához óvatosan kell alkalmazni a gyökök e cikk első bekezdésében felsorolt ​​tulajdonságait. Ez többnyire azoknak a feltételeknek köszönhető, amelyeket a képletekben szereplő számoknak teljesíteniük kell. Például a képlet alapján a kifejezés csak azon x értékekre cserélhető kifejezésre, amelyek megfelelnek az x≥0 és x+1≥0 feltételeknek, mivel a megadott képlet a≥0 és b≥ értékre van beállítva. 0 .

Mi a veszélye e feltételek figyelmen kívül hagyásának? A kérdésre adott választ világosan szemlélteti a következő példa. Tegyük fel, hogy ki kell számítanunk egy kifejezés értékét, ha x=−2 . Ha az x változó helyett azonnal behelyettesítjük a −2 számot, akkor megkapjuk a szükséges értéket . És most képzeljük el, hogy bizonyos megfontolások alapján a megadott kifejezést a formára konvertáltuk, és csak ezután döntöttünk az érték kiszámításáról. Az x helyett a −2 számot helyettesítjük, és megkapjuk a kifejezést , aminek nincs értelme.

Nézzük meg, mi történik az x változó érvényes értékeinek tartományával (ODV), amikor kifejezésről kifejezésre haladunk. Az ODZ-t nem véletlenül említettük, mivel ez egy komoly eszköz az elvégzett transzformációk elfogadhatóságának ellenőrzésére, és az ODZ megváltoztatása a kifejezés transzformációja után legalább figyelmeztetnie kell. Nem nehéz megtalálni az ODZ-t ezekhez a kifejezésekhez. A kifejezéshez az ODZ-t az x (x+1)≥0 egyenlőtlenségből határozzuk meg, megoldása adja a (−∞, −1]∪∪∪ numerikus halmazt

A jobb vagy bal oldali számokra nincs további korlátozás: ha a szorzógyökök léteznek, akkor a szorzat is létezik.

Példák. Nézzünk egyszerre négy példát számokkal:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(igazítás)\]

Amint láthatja, ennek a szabálynak a fő jelentése az irracionális kifejezések egyszerűsítése. És ha az első példában új szabályok nélkül kinyertük volna a 25-ből és 4-ből a gyököket, akkor kezdődik a tin: $\sqrt(32)$ és $\sqrt(2)$ nem számít önmagában, hanem szorzatuk pontos négyzetnek bizonyul, így ennek gyöke egyenlő egy racionális számmal.

Külön szeretném megjegyezni az utolsó sort. Ott mindkét gyök kifejezés tört. A terméknek köszönhetően sok tényező hatástalan, és az egész kifejezés megfelelő számmá alakul.

Persze nem lesz mindig minden olyan szép. Néha teljes baromság lesz a gyökerek alatt - nem világos, hogy mit kezdjünk vele, és hogyan kell átalakítani a szorzás után. Kicsit később, amikor elkezdi tanulmányozni az irracionális egyenleteket és egyenlőtlenségeket, általában mindenféle változó és függvény lesz. És nagyon gyakran a problémák összeállítói csak azzal számolnak, hogy talál néhány szerződési feltételt vagy tényezőt, amelyek után a feladat jelentősen leegyszerűsödik.

Ezenkívül nem szükséges pontosan két gyökeret szaporítani. Egyszerre szorozhat hármat, négyet - igen, akár tízet is! Ez nem változtat a szabályon. Nézd meg:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(igazítás)\]

És ismét egy kis megjegyzés a második példához. Amint látja, a harmadik szorzóban a gyökér alatt egy tizedes tört található - a számítások során lecseréljük egy normálra, ami után minden könnyen csökkenthető. Tehát: Erősen javaslom, hogy minden irracionális (vagyis legalább egy gyök ikont tartalmazó) kifejezésben hagyd el a tizedes törteket. Ezzel sok időt és ideget takarít meg a jövőben.

De ez lírai kitérő volt. Most nézzünk meg egy általánosabb esetet – amikor a gyökérkitevő egy tetszőleges $n$ számot tartalmaz, és nem csak a „klasszikus” kettőt.

Egy tetszőleges indikátor esete

Tehát kitaláltuk a négyzetgyököket. És mit kezdjünk a kockákkal? Vagy általában tetszőleges $n$ fokú gyökökkel? Igen, minden ugyanaz. A szabály ugyanaz marad:

Két $n$ fokú gyök szorzásához elég megszorozni a gyökkifejezéseiket, ami után az eredményt egy gyök alá írjuk.

Általában semmi bonyolult. Hacsak a számítások mennyisége nem lehet több. Nézzünk pár példát:

Példák. Termékek számítása:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(igazítás)\]

És ismét figyelem a második kifejezésre. Megszorozzuk a kockagyököket, megszabadulunk a tizedes törttől, és ennek eredményeként a nevezőben a 625 és 25 számok szorzatát kapjuk, ez elég nagy szám - személy szerint nem fogom azonnal kiszámolni, hogy mi egyenlő nak nek.

Ezért egyszerűen kiválasztottuk a pontos kockát a számlálóban és a nevezőben, majd az $n$-edik fok gyökének egyik kulcstulajdonságát (vagy ha úgy tetszik, a definícióját) használtuk:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\jobbra|. \\ \end(igazítás)\]

Az ilyen "csalásokkal" sok időt takaríthat meg egy vizsgán vagy teszten, ezért ne feledje:

Ne rohanjon megszorozni a számokat a radikális kifejezésben. Először ellenőrizze: mi van akkor, ha bármely kifejezés pontos mértéke „titkosított” ott?

Ennek a megjegyzésnek a nyilvánvalósága mellett el kell ismernem, hogy a legtöbb felkészületlen diák nem látja a pontos fokozatokat. Ehelyett mindent megszoroznak előre, aztán csodálkoznak: miért kaptak ilyen brutális számokat? :)

Mindez azonban gyerekjáték ahhoz képest, amit most tanulni fogunk.

Gyökök szorzása különböző kitevőkkel

Nos, most megszorozhatjuk a gyököket ugyanazokkal a kitevőkkel. Mi van, ha a pontszámok eltérőek? Mondd, hogyan lehet megszorozni egy közönséges $\sqrt(2)$-t valami olyan baromsággal, mint a $\sqrt(23)$? Egyáltalán lehetséges ez?

Igen, természetesen lehet. Minden a következő képlet szerint történik:

Gyökérszorzási szabály. A $\sqrt[n](a)$ $\sqrt[p](b)$-ral való megszorzásához hajtsa végre a következő átalakítást:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ez a képlet azonban csak akkor működik, ha a radikális kifejezések nem negatívak. Ez egy nagyon fontos megjegyzés, amelyre kicsit később visszatérünk.

Most nézzünk néhány példát:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(igazítás)\]

Mint látható, semmi bonyolult. Most nézzük meg, honnan jött a negativitás követelménye, és mi történik, ha megszegjük. :)

Miért kell a radikális kifejezéseknek nem negatívnak lenniük?

Természetesen olyanná válhatsz, mint az iskolai tanárok, és okos megjelenéssel idézhetsz egy tankönyvet:

A nem-negativitás követelménye a páros és páratlan fokú gyökök különböző definícióihoz kapcsolódik (illetve definíciós tartományuk is eltérő).

Nos, világosabb lett? Személy szerint, amikor 8. osztályban olvastam ezt a hülyeséget, magamtól valami ilyesmit értettem meg: „A negativitás követelménye a *#&^@(*#@^#)~%-hoz kapcsolódik” – röviden, én akkoriban nem értettem semmit. :)

Tehát most mindent normális módon fogok elmagyarázni.

Először is nézzük meg, honnan származik a fenti szorzási képlet. Ehhez hadd emlékeztesselek a gyökér egy fontos tulajdonságára:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Más szóval, a gyökérkifejezést nyugodtan felemelhetjük bármilyen természetes hatványra $k$ - ebben az esetben a gyökérindexet meg kell szorozni ugyanazzal a hatványsal. Ezért bármilyen gyökeret könnyen redukálhatunk egy közös indikátorra, ami után szorozunk. Innen származik a szorzási képlet:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

De van egy probléma, amely súlyosan korlátozza mindezen képletek alkalmazását. Vegye figyelembe ezt a számot:

Az imént megadott képlet szerint tetszőleges fokozatot adhatunk hozzá. Próbáljuk meg hozzáadni a $k=2$ értéket:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Pontosan azért távolítottuk el a mínuszt, mert a négyzet a mínuszt égeti (mint minden más páros fokozat). És most végezzük el a fordított transzformációt: „redukáljuk” a kettőt a kitevőben és a fokban. Végül is minden egyenlőség olvasható balról jobbra és jobbról balra:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Jobbra \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Jobbra \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(igazítás)\]

Ekkor azonban valami őrült dolog történik:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Ez nem lehet azért, mert $\sqrt(-5) \lt 0$ és $\sqrt(5) \gt 0$. Ez azt jelenti, hogy páros hatványok és negatív számok esetén képletünk már nem működik. Ezt követően két lehetőségünk van:

1. A fal ellen küzdeni kijelenteni, hogy a matematika hülye tudomány, ahol „van néhány szabály, de ez pontatlan”;
2. További korlátozások bevezetése, amelyek mellett a képlet 100%-ban működik.

Az első lehetőségben folyamatosan „nem működő” eseteket kell fognunk - ez nehéz, hosszú és általában fu. Ezért a matematikusok a második lehetőséget választották. :)

De ne aggódj! A gyakorlatban ez a korlátozás semmilyen módon nem befolyásolja a számításokat, mert az összes leírt probléma csak páratlan fok gyökereire vonatkozik, és mínuszokat lehet kivonni belőlük.

Ezért megfogalmazunk egy másik szabályt, amely általánosságban vonatkozik minden gyökérrel rendelkező tevékenységre:

A gyökök szorzása előtt győződjön meg arról, hogy a gyök kifejezések nem negatívak.

Példa. A $\sqrt(-5)$ számban a gyökér jele alól kiveheti a mínuszt - akkor minden rendben lesz:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Jobbra \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Érezd a különbséget? Ha hagysz egy mínuszt a gyökér alatt, akkor a gyök kifejezés négyzetbe kerülésekor eltűnik, és elkezdődik a szar. És ha először kivesz egy mínuszt, akkor akár emelhet / távolíthat el egy négyzetet, amíg kék nem lesz - a szám negatív marad. :)

Így a gyökerek szaporításának leghelyesebb és legmegbízhatóbb módja a következő:

1. Távolítson el minden mínuszt a gyökök alól. A mínuszok csak a páratlan sokaság gyökereiben vannak - a gyökér elé helyezhetők, és szükség esetén csökkenthetők (például ha kettő van ebből a mínuszból).
2. Hajtsa végre a szorzást a mai leckében fentebb tárgyalt szabályok szerint. Ha a gyökök indexei megegyeznek, egyszerűen szorozzuk meg a gyökkifejezéseket. És ha különböznek, akkor a gonosz képletet használjuk: \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Örülünk az eredménynek és a jó osztályzatoknak. :)

Jól? Gyakoroljunk?

Példa 1. Egyszerűsítse a kifejezést:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(igazítás)\]

Ez a legegyszerűbb lehetőség: a gyökerek mutatói azonosak és páratlanok, a probléma csak a második szorzó mínuszában van. Ezt a mínusz nafigot kibírjuk, ami után minden könnyen mérlegelhető.

2. példa: Egyszerűsítse a kifejezést:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \jobbra))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \jobbra))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( igazítsa)\]

Itt sokakat megzavarna az a tény, hogy a kimenet irracionális számnak bizonyult. Igen, előfordul: nem tudtunk teljesen megszabadulni a gyökértől, de legalább jelentősen leegyszerűsítettük a kifejezést.

3. példa: Egyszerűsítse a kifejezést:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \jobbra))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Erre szeretném felhívni a figyelmet. Itt két pont van:

1. A gyökér alatt nem egy konkrét szám vagy fok található, hanem a $a$ változó. Első pillantásra ez kissé szokatlan, de a valóságban a matematikai feladatok megoldása során legtöbbször változókkal kell számolni.
2. Végül sikerült „csökkenteni” a gyökkitevőt és fokszámot a radikális kifejezésben. Ez elég gyakran megtörténik. És ez azt jelenti, hogy jelentősen egyszerűsíteni lehetett a számításokat, ha nem használja a fő képletet.

Például megteheti ezt:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \jobbra))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(igazítás)\]

Valójában minden transzformációt csak a második gyökkel hajtottak végre. És ha nem festi le részletesen az összes közbenső lépést, akkor a végén a számítások mennyisége jelentősen csökken.

Valójában fentebb már találkoztunk hasonló feladattal a $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ példa megoldása során. Most sokkal könnyebben leírható:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(igazítás)\]

Nos, kitaláltuk a gyökerek szorzását. Most nézzük meg az inverz műveletet: mi a teendő, ha a gyökér alatt van egy munka?