EGY EGYENES METSZÉSE EGY SÍKKAL ÉS KÉT SÍK METSZÉSE

Egyenes metszéspontjának megalkotása vetületi síkkal egy pont második vetületének diagramon való megszerkesztéséhez vezet, mivel egy pont egyik vetülete mindig a vetületi sík nyomvonalán fekszik, mert minden, ami a vetületi síkban van, rávetül a sík valamelyik nyomvonalára. ábrán. A 224,a az EF egyenes metszéspontját mutatja az ABC háromszög elülső síkjával (a V síkra merőlegesen). az egyenes és a k" pont is ezen az egyenesen fog feküdni, és abban a pontban található, ahol e "f" metszéspontja egy "c". A vízszintes vetítés a vetületi összekötő vonal segítségével készül. Az egyenes láthatósága az ABC háromszög síkjához viszonyítva az ABC háromszög és az EF egyenes vetületeinek egymáshoz viszonyított helyzete az V síkon. A 224. ábrán látható irányt a nyíl jelzi Az egyenes vetülete a háromszög vetülete felett van.

ábrán. 224, b Az EF egyenes metszi a P vízszintes síkot. A K pont k" frontális vetülete - az EF egyenes és a P sík metszéspontja - az e"f" vetület metszéspontjában lesz a Pv sík nyomával, mivel a vízszintes sík egy elülső vetületi sík A K pont k vízszintes vetülete a vetületi összekötő egyenes segítségével található.

Két sík metszésvonalának megalkotása két közös pontot kell találni e két síkon. Egy metszésvonal megszerkesztéséhez ez is elég, hiszen a metszésvonal egy egyenes, az egyenest pedig két pont határozza meg. Amikor egy vetületi sík metszik egy általános síkot, a metszésvonal egyik vetülete egybeesik annak a síknak a nyomával, amely abban a vetítési síkban található, amelyre a vetületi sík merőleges. ábrán. A 225. ábrán látható, és az MN metszésvonal m"n" frontális vetülete egybeesik a frontálisan kinyúló P sík Pv nyomával, és az 1. ábrán. 225, b, a kl vízszintes vetület egybeesik a vízszintesen vetülő R sík nyomvonalával. A metszésvonal egyéb vetületei vetületi csatlakozóvonalak segítségével készülnek.

Egyenes és sík metszéspontjának megalkotásaáltalános helyzet (226. ábra, a) egy R segédvetítési sík segítségével történik, amelyet ezen az EF egyenesen keresztül húzunk. Megszerkesztjük az R segédsík 12 metszésvonalát az ABC háromszög adott síkjával, két egyenest kapunk az R síkban: EF - az adott egyenes és 12 - a megszerkesztett metszésvonal, amelyek a K pontban metszik egymást.

A K pont vetületeinek megtalálása az ábrán látható. 226, szül. Az építkezés a következő sorrendben történik.

Az EF egyenesen egy vízszintesen vetítő segédsíkot húzunk, amelynek R H nyoma egybeesik az EF egyenes ef vízszintes vetületével.

Az R sík 12 metszésvonalának az ABC háromszög adott síkjával 1"2" frontális vetülete vetületi összekötő vonalak segítségével készül, mivel a metszésvonal vízszintes vetülete ismert. Egybeesik az R sík R H vízszintes nyomával.

Meghatározzuk a kívánt K pont k" frontális vetületét, amely ezen egyenes frontális vetületének és a metszésvonal 1"2" vetületének metszéspontjában található. A pont vízszintes vetülete egy vetület segítségével készül. csatlakozási vonal.

Egy egyenes láthatóságát az ABC háromszög síkjához viszonyítva a versengő pontok módszere határozza meg. Egy egyenes láthatóságának meghatározásához a vetületek frontális síkján (226. ábra, b) összehasonlítjuk a 3. és 4. pont Y koordinátáit, amelyek frontális vetületei egybeesnek. A BC egyenesen fekvő 3. pont Y koordinátája kisebb, mint az EF egyenesen fekvő 4. pont Y koordinátája. Következésképpen a 4. pont közelebb van a megfigyelőhöz (a nézet irányát a nyíl jelzi), és az egyenes vetülete a látható V síkon van ábrázolva. Az egyenes a háromszög előtt halad el. A K" ponttól balra az egyenest az ABC háromszög síkja zárja le.

A vízszintes vetítési síkon látható láthatóságot az 1. és 5. pont Z koordinátáinak összehasonlításával mutatjuk be. Mivel Z 1 > Z 5, az 1. pont látható. Következésképpen az 1. ponttól jobbra (a K pontig) az EF egyenes láthatatlan.

Két sík metszésvonalának általános helyzetben történő megalkotásához segédvágósíkokat használnak. Ez az ábrán látható. 227, a. Az egyik síkot az ABC háromszög, a másikat az EF és MN párhuzamos egyenesek határozzák meg. Az adott síkokat (227. ábra, a) a harmadik segédsík metszi. Az építés megkönnyítése érdekében a vízszintes vagy elülső síkokat segédsíknak kell venni. Ebben az esetben az R segédsík a vízszintes sík. Az adott síkokat 12 és 34 egyenesek mentén metszi, amelyek metszéspontjában mindhárom síkhoz, tehát két adott síkhoz tartozó K pontot adnak, vagyis az adott síkok metszésvonalán fekszik. A második pontot a második Q segédsíkkal találjuk meg. A talált két K és L pont határozza meg a két sík metszésvonalát.

ábrán. 227,b az R segédsíkot a frontális nyom határozza meg. Az R sík 1"2" és 3"4 metszésvonalainak frontális vetületei adott síkokkal egybeesnek az R sík Rv frontális nyomvonalával, mivel az R sík merőleges a V síkra, és minden, ami benne van (beleértve a metszésvonalakat) az Rv elülső nyomvonalára vetítik. Ezen vonalak vízszintes vetületei az 1", 2", 3", 4" pontok elülső vetületeiből a vízszintes vetületekkel való metszéspontig húzott vetületi összekötő vonalak segítségével készülnek. a megfelelő egyenesek 1, 2, 3, 4 pontjaiban. A megszerkesztett metszésvonalak vízszintes vetületeit addig nyújtjuk, amíg a k pontban nem metszik egymást, ami a metszésvonalhoz tartozó K pont vízszintes vetülete. a két sík ennek a pontnak a frontális vetülete az Rv nyomvonalon.

A metszésvonalhoz tartozó második pont megszerkesztéséhez rajzoljunk egy második Q segédsíkot. A szerkesztés kényelme érdekében a Q síkot a C ponton keresztül az R síkkal párhuzamosan húzzuk át. Ezután a metszésvonalak vízszintes vetületeit készítsük el. a Q sík ABC háromszög síkjával és a párhuzamos egyenesekkel meghatározott síkkal elegendő keresni két pontot: c és 5, és rajtuk keresztül egyeneseket húzni a 12 és 34 metszésvonalak korábban megszerkesztett vetületeivel párhuzamosan. , mivel a Q ║ R sík. Ezeket az egyeneseket addig folytatva, amíg nem metszik egymást, az adott síkok metszésvonalához tartozó L pont l vízszintes vetületét kapjuk. Az L pont l" frontális vetülete a Q v nyomvonalon fekszik, és a vetületi összekötő egyenes segítségével van megszerkesztve. A K és L pont azonos nevű vetületeinek összekapcsolásával megkapjuk a kívánt metszésvonal vetületeit.

Ha az egyik metsző síkban egyenest veszünk, és ennek az egyenesnek egy másik síkkal a metszéspontját megszerkesztjük, akkor ez a pont ezen síkok metszésvonalához fog tartozni, mivel mindkét adott síkhoz tartozik. Szerkesszük meg ugyanígy a második pontot is, két sík metszésvonalát is megtaláljuk, hiszen két pont elég egy egyenes megszerkesztéséhez. ábrán. A 228. ábra két háromszögekkel meghatározott sík metszésvonalának ilyen felépítését mutatja.

Ehhez a konstrukcióhoz vegyük a háromszög egyik oldalát, és készítsük el ennek az oldalnak a metszéspontját a másik háromszög síkjával. Ha ez nem sikerül, vegye be ugyanannak a háromszögnek a másik oldalát, majd a harmadikat. Ha ez nem vezet a kívánt pont megtalálásához, állítsa össze a második háromszög oldalainak metszéspontjait az elsővel.

ábrán. 228 megszerkesztjük az EF egyenes metszéspontját az ABC háromszög síkjával. Ehhez az EF egyenesen keresztül egy vízszintesen vetítő S segédsíkot húzunk, és ennek a síknak az ABC háromszög síkjával való metszésvonalából készítünk egy 1"-től 2"-ig terjedő frontális vetületet. A metszésvonal 1"2" frontális vetülete, amely metszi az EF egyenes e"f" frontális vetületét, az M metszéspont m" frontális vetületét adja. az adott háromszögek síkjainak metszésvonalához tartozó második pont, - N pont - a BC egyenes metszéspontja a DEF háromszög síkjával a BC egyenesen keresztül, a H síkon pedig a BC egyenes és a 34 metszésvonal vízszintes vetületének metszéspontja adja meg az n pontot - a kívánt pont vízszintes vetületét a vetület segítségével kapcsolódási vonal Az adott háromszögek látható szakaszait vetítési síkonként külön-külön kell meghatározni ezeknek a pontoknak a vetületei koordinátáik összehasonlításával.

Például az 5. és 6. pont a bc és de vízszintes vetületek metszéspontja. A vetületek frontális síkján ezeknek a pontoknak a vetületei nem esnek egybe. Z koordinátáikat összehasonlítva rájönnek, hogy az 5. pont fedi a 6. pontot, mivel a Z 5 koordináta nagyobb, mint a Z 6 koordináta. Ezért az 5. ponttól balra a DE oldal nem látható.

A vetületek frontális síkján a láthatóságot a DE és BC szakaszokhoz tartozó versengő 4. és 7. pontok felhasználásával határozom meg, Y 4 és Y 7 koordinátáikat összehasonlítva. Mivel Y 4 >Y 7, a V síkon a DE oldal látható.

Megjegyzendő, hogy az egyenes és a háromszög síkjának metszéspontjának megalkotásakor a metszéspont a háromszög síkján kívül is lehet. Ebben az esetben a metszésvonalhoz tartozó kapott pontok összekapcsolásával annak csak az a szakasza rajzolódik ki, amely mindkét háromszöghez tartozik.

ISMÉTLŐ KÉRDÉSEK

1. Milyen koordináták határozzák meg egy pont helyzetét a V síkban?

2. Mit határoz meg egy pont Y koordinátája és Z koordinátája?

3. Hogyan helyezkednek el a diagramon a H vetítési síkra merőleges szakasz vetületei? Merőleges a V vetítési síkra?

4. Hogyan helyezkednek el az ábrán a vízszintes és a frontális vetületek?

5. Fogalmazza meg az alaptézist arról, hogy egy pont egy egyeneshez tartozik-e!

6. Hogyan lehet megkülönböztetni a metsző vonalakat a keresztező vonalaktól egy diagramon?

7. Mely pontokat nevezzük versengőnek?

8. Hogyan határozható meg, hogy két pont közül melyik látható, ha a vetületek homloksíkjára vetületei egybeesnek?

9. Fogalmazza meg az egyenes és a sík párhuzamosságáról szóló alaptételt!

10. Mi az eljárás az egyenes és az általános sík metszéspontjának megszerkesztésére?

11. Mi az eljárás két általános sík metszésvonalának megszerkesztésére?

111*. Rajzoljunk merőlegest az A pontból a következőkkel meghatározott síkra: a) BCD háromszög (109. ábra, a); b) nyomok (109.6. ábra); c) BCD háromszög (109. ábra, c). A merőleges alapját minden esetben az adott síkon készítsük el.

Megoldás, a) A B ponton keresztül (109. ábra, d) megrajzoljuk az adott sík frontális B-1-ét, a D ponton pedig a vízszintes D-2-t. elülső. a kívánt merőleges vetülete a" b"1"-re merőlegesen halad át, a vízszintes vetület pedig egy merőlegesen megy át a d-2-re. A merőleges alapja (109. ábra, e) ennek a metszéspontja. a síkra merőlegesen bezárjuk a vízszintesen vetülő R síkba (beállítjuk a következő R h-t), és megkeressük a metszésvonalat.

Ennek a síknak a szöge a háromszög síkjával NM egyenes. Kapjuk a k" pontot - a merőleges alapjának frontális vetületét -, és k"-ből k-t kapunk.

b) Az ábrán. 109, e elöl. a merőleges vetületet a P ϑ nyomra merőlegesen, a vízszintes vetületet pedig a P h-ra merőlegesen húzzuk. A merőleges alapjának megszerkesztéséhez bezárjuk (109. ábra, g) a frontálisan kinyúló R síkba, és megszerkesztjük az R és P síkok metszésvonalát - MN egyenest. Kapunk k pontot - horizont. a merőleges alapjának vetülete; ezt használva azt találjuk, hogy k".

c) A B-1 vízszintes egyenes megrajzolása után (109. ábra, a) látjuk, hogy ez az egyenes párhuzamos az x tengellyel. Ebből azt a következtetést vonjuk le, hogy a háromszög síkja profilvetítő. Ezért a rá merőleges egyenes profil.

Megszerkesztjük a háromszög és az A pont profilvetületeit. A"-ból merőlegest húzunk c"d-re. A k" pont a merőleges alapjának profilvetülete. A k" segítségével megtaláljuk a k"-t és a k-t a kívánt azonos nevű merőleges vetületein.

112. Keresse meg az A pontból húzott merőlegesek alapját:

a) a BC és DE párhuzamos egyenesek által meghatározott síkra (110. ábra, a);

b) az SBCD piramis SCD felületének síkjához (110. ábra, b);

c) az SBCD piramis SBD lapjának síkjához (110. ábra, c).

113*. Szerkesszük meg a CD és EF párhuzamos egyenesek által meghatározott síkon az AB egyenes pontjaiból erre a síkra húzott merőlegesek alapjainak geometriai helyét (111. ábra, a)

Megoldás. A pontok szükséges geometriai elhelyezkedése (111. ábra, b) K 1 K 2 síkok metszésvonala, 1) adott és 2) rá merőleges, az AB egyenesen keresztül húzva.

Az adott síkban megrajzoljuk (111. ábra, c) a vízszintes C-1-et és a frontális C-2-t. elülső. a merőlegesek vetületei merőlegesek c"2"-re, a vízszintes vetületek pedig merőlegesek c-1-re.

A pontok kívánt geometriai helyének megalkotásához keressük meg (rio. 111, d) a megrajzolt merőlegesek adott síkkal való metszéspontját K 1 és K 2. A K 1 K 2 egyenes a kívánt geometriai hely.

114. Szerkessze meg a CDE háromszög által meghatározott síkon az AB egyenes pontjaiból erre a síkra húzott merőlegesek alapjainak helyét (112. ábra).

115*. Az A csúcsból rajzoljunk merőlegest az ABC háromszög síkjára (113. ábra, a), és fektessünk rá egy l hosszúságú szakaszt.

Megoldás. A merőleges megszerkesztéséhez megrajzoljuk (113. ábra, 6) a háromszög síkjának vízszintes A-1-ét és vízszintes A-2-jét; elülső. a merőleges vetület merőleges a"2"-re, a vízszintes vetület pedig merőleges az a-1-re.

A további konstrukció (113. ábra, c) hasonló a 20. feladatban végrehajtotthoz. Az a"d" és az ad vonalak a kívánt szakasz vetületei.

Ennek a problémának két megoldása van. A második esetben a merőlegest a másik oldalra kell kiterjeszteni az adott síkból.

116. A D pontból rajzoljunk merőlegest az AB és CD párhuzamos egyenesekkel meghatározott síkra, és fektessünk rá egy l hosszúságú szakaszt (114. ábra).

117*. Szerkesszünk olyan pontok lokuszát, amelyek egy bizonyos síktól l távolságra vannak. Adjon megoldást azokra az esetekre, amikor a síkot ABC háromszög (115. ábra, a) vagy nyomvonal (115. ábra, b) határozza meg!

Megoldás. A pontok szükséges helye két, az adott síkkal párhuzamos sík, amely annak mindkét oldalán l távolságra helyezkedik el.

ábrán. A 115. ábrán az egyik ilyen sík látható. Ennek a síknak a megszerkesztéséhez (115. ábra, d) ennek a síknak bármely pontjából merőlegest húzunk (például C)

a síkra (figyeljük meg, hogy egy adott háromszögben az AC oldal vízszintes, a BC oldal pedig frontális), és fektessünk rá egy l hosszúságú KS szakaszt. Ezután a K ponton keresztül (115. ábra, e) KN és KM egyeneseket húzunk, amelyek párhuzamosak legalább az ABC háromszög BC és AC oldalaival.

Ha a síkot nyomvonalak határozzák meg (115. ábra, b), akkor célszerű pontot venni az egyik nyomon. ábrán. 115, a P ϑ nyom N pontját veszik. Merőleges rajzolása ebből a pontból a négyzetre. P és lerakva rá egy l-lel egyenlő szegmenst, a K ponton (1\5g ábra) húzzuk meg a kívánt sík vízszintes CD-jét és AB frontális részét.

118. Szerkessze meg a négyzettől távoli pontok lokuszát. P (116. ábra) l távolságra. Adj két megoldást.

119*. Rajzoljunk merőlegest a BC egyenesre az A pontjából, amíg az EF egyenessel nem metszi (117. ábra, a).

Megoldás. Az A pontból húzott BC egyenesre merőlegesek geometriai helye négyzet. P, áthaladva a BC egyenesre merőleges A ponton (117. ábra, b). Ennek a síknak az EF egyenessel való metszéspontja K pontja a kívánt merőleges és az EF egyenes metszéspontja.

ábrán. A 117. ábrán a BC-re merőleges síkot, az elülső AM-t és a vízszintes AN-t határozzuk meg. Határozzuk meg az EF egyenes ezzel a síkkal metszéspontjának K pontját (117. ábra, d), bezárva az EF-t a frontálisan kinyúló R síkba (R ϑ nyomként definiáljuk); k"a" és ka a kívánt merőleges vetületei.

120. Az A pontból húzzunk merőlegest a BC egyenesre, amíg az nem metszi az EF egyenest (118. ábra).

121*. Az A ponton keresztül húzzunk egy egyenest, amely metszi a BC és ED vonalakat (119. ábra, a).

Megoldás. Az A ponton átmenő és az ED egyenest metsző egyenesek geometriai helye az ezen elemek által meghatározott sík (119. ábra, b). Ha megszerkesztünk egy ilyen síkot, és megtaláljuk a második egyenessel (BC) való metszéspontjának K pontját, akkor a kívánt egyenes átmegy az A és K pontokon. 119, c és 119, d, ahol először az A pont és az ED egyenes által meghatározott síkot fejezzük ki az AED háromszöggel, majd megtaláljuk a második egyenes (BC) metszéspontjának K pontját ennek a háromszögnek a síkjával. .

A kívánt egyenes áthalad az A és K pontokon, és az M pontban metszi az ED egyenest (119.6. Természetesen pontos konstrukció esetén az m és m" vetületeknek az x tengelyre merőlegesen az m"m csatlakozóvonalon kell végződniük.

Ezt a problémát más módon is meg lehet oldani: vegyünk két síkot – az egyiket az A pont és az ED egyenes határozza meg (ahogyan a 119. ábrán, c), a másikat pedig az A pont és a BC egyenes határozza meg. E két n sík metszésvonala lesz a kívánt egyenes, amely átmegy az A ponton és metszi a BC-t ED-ben,

122. Az A ponton keresztül húzz egy egyenest, amely metszi:

a) az SBCD piramis alapjának SD éle és BC oldala (120. ábra, a),

b) a prizma felső talpának BG éle és EF oldala (120.6. ábra).

123*. Szerkessze meg az A és B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok lokuszát (121. ábra, a).

Megoldás. A szükséges lokusz az a sík, amely az AB szakasz közepén átmegy rá merőlegesen.

Az AB szakasz vetületeit kettéosztjuk (121. ábra, b). A közepén (C pont) átrajzoljuk a kívánt sík vízszintes CD ⊥ AB és frontális CE ⊥ AB részét (121. ábra, c). Ahhoz, hogy ezt a síkot nyomvonalakkal fejezzük ki, meg kell adni a vetületek tengelyét és meg kell alkotni legalább egy frontot. vízszintes nyomvonalat (N pont, 121. ábra,a), és rajzoljuk át rajta a megfelelő négyzetes nyomvonalat. p. A P ϑ ⊥ a"b" és a P h ⊥ ab (vagy || nс) nyom.

124. Szerkessze meg az A és B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok lokuszát (122. ábra, a és b). Az első esetben nyom nélkül adja meg a választ, a másodikban pedig nyomokban.

125*. Szerkessze meg az A és B pontoktól egyenlő távolságra lévő K pont hiányzó vetületét (123. ábra, a).

Megoldás. Mivel a térben az A és B pontoktól egyenlő távolságra lévő összes pont geometriai helye egy sík, amely az AB szakasz közepén megy át merőlegesen rá, akkor a K pontnak ehhez a síkhoz kell tartoznia.

ábrán. 123, b egy ilyen síkot a frontális CE és a vízszintes CD határozza meg, amely áthalad az AB szakasz közepén.

Megrajzoljuk (123. ábra, c) k"-n keresztül a frontális vetületet a vízszintes sík "1"-re, és megszerkesztjük annak vízszintes vetületét, amelyen megjelöljük a k pontot - a K pont kívánt vetületét.

126. Szerkessze meg a CD szakasz hiányzó vetületét, amelynek minden pontja egyenlő távolságra van az A és B ponttól (124. ábra).

127*. Szerkesszük meg a síkon két adott A és B ponttól egyenlő távolságra lévő pontok geometriai lokuszát: a) a síkot párhuzamos egyenesek határozzák meg (125. ábra, a); b) a síkot nyomvonalak határozzák meg (125. ábra, b).

Megoldás. Mivel az A és B ponttól egyenlő távolságra lévő pontok lokusza az AB szakasz közepén átmenő sík, amely merőleges a rá merőlegesen (125. ábra, c), akkor a kívánt hely lesz ennek a síknak az adott metszésvonala. egy (egyenes MN).

ábrán. 125, d, a közepén lévő AB szakaszra merőleges síkot a frontális KS és a vízszintes TS fejezi ki.

Most meg kell találnunk két sík metszésvonalát, ami úgy történik, hogy megkeressük a DE és FG egyenesek metszéspontját (125. ábra, e), meghatározva egy adott síkot a vízszintes TC és a vízszintes sík által kifejezett síkkal. a frontális KS (lásd a 86. problémát).

ábrán. A 125. ábrán a közepén lévő AB szakaszra merőleges Q síkot nyomok fejezik ki. Keressük meg az azonos nevű P és Q síkok metszéspontjának M és N pontját, és húzzuk át rajtuk a kívánt MN egyenest (125. ábra, g).

128. Szerkessze meg az A és B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok lokuszát:

a) a CDE háromszög által meghatározott síkon (126. ábra, a);

b) a téren R (126. ábra, b).

129* Adott a CDE háromszög síkja és az AB egyenes (127. ábra, a). Rajzoljunk egy egyenest ebben a síkban, amely az AB-t derékszögben metszi.

Megoldás. A kívánt egyenes lesz (127. ábra, b) a háromszög (P) sík és a négyzet metszésvonalaként. Q, merőleges az AB-re és áthalad az AB adott síkkal való metszéspontján (K).

Ezért megtaláljuk (127. ábra, c) az AB egyenes és a CDE háromszög síkjának metszéspontjának K pontját. Segédsíkként az AB egyenesen keresztül húzott R frojatális vetületi síkot vettük. A k és k" vetületek megtalálása után megrajzoljuk rajtuk az AB-re merőleges vízszintes és homloksíkok vetületeit (127. ábra, d). A síkok kívánt metszésvonalának megszerkesztéséhez azt találjuk (127. ábra, e) az ED oldalháromszög és a K ponton áthúzott sík metszéspontja (m"; m). Az MK egyenes (m"k"; mk) a kívánt egyenes

130. Adott egy AB egyenes és egy CD és EF párhuzamos egyenesekkel meghatározott sík. Rajzoljunk ebben a síkban egy egyenest, amely az AB egyenest derékszögben metszi (128. ábra).

131. Adott egy AB egyenes és négyzet. R. Rajzoljon ebben a síkban egy egyenest, amely az AB egyenest derékszögben metszi (129. ábra).

132*. Adott az LMN háromszög síkja, valamint az AE és FG egyenesek. Szerkesszünk olyan paralelogrammát, amelyben az AD oldal az AE egyenesen, az AB oldal párhuzamos a háromszög síkjával, a B csúcs az FG egyeneshez tartozik, a BD átló merőleges az AD oldalra (130. ábra, a).

Megoldás. Vázoljunk megoldási tervet (130. ábra, b és c).

1. Az A ponton keresztül rajzoljunk egy síkot (P) párhuzamosan az LMN háromszög síkjával.

2. Keresse meg az FG egyenes és a négyzet metszéspontját (B). R.

3. A B ponton keresztül rajzoljon egy síkot (Q), amely merőleges az AE egyenesre.

4. Keresse meg az AE egyenes és a négyzet metszéspontját (D). K.

5. Rajzoljunk egy AB szakaszt és egy vele párhuzamos egyenest a D ponton, B-n pedig egy AD-vel párhuzamos egyenest.

ábrán. 130, c és d a tér beépítését mutatja be. P, párhuzamos az LMN háromszög síkjával. Pl. Az A ponton át húzott P-t két egymást metsző A-1 és A-2 egyenes adja, amelyek közül A-1 párhuzamos LM-vel, A-2 pedig párhuzamos LN-nel.

Ugyanezek az ábrák mutatják az FG egyenes és a négyzet metszéspontjának B pontjának helyét. P, amelyre az S ϑ nyomvonal által meghatározott FG-n keresztül egy frontálisan vetülő S síkot húzunk. horizont. a P és S sík metszésvonalának 1-2 vetülete metszi a horizontot. fg vetület a b pontban. A b pont segítségével megtaláljuk b" f"g-re való vetületét.

ábrán. 130, d a tér beépítését mutatja. Q, merőleges az AE-re. Ezt a síkot át kell húzni a B ponton, és az AE-re merőleges B-4 vízszintes vonal és B-3 homlokvonal fejezi ki. Ugyanez a rajz mutatja a D pont felépítését, ahol az AE egyenes metszi a négyzetet. Q, amelyet vízszintes B-4 és frontális B-3 fejez ki.

Az AE-n keresztül egy vízszintesen vetülő T síkot rajzolunk, amelyet a T h nyoma fejez ki, megszerkesztjük a 3-4 és 3-4" vetületeket, a T és Q síkok metszésvonalát, valamint a d" és d vetületeket.

ábrán. A 130. ábra e mutatja a kívánt paralelogramma felépítését, amelyre a paralelogramma két oldalának a"b" és ab, a"d" és ad vetületei vannak megrajzolva, majd b"c"|| hirdetés"; bc || hirdetés; d"c" || a"b és dc || ab. A c" és c pontnak az x tengelyre merőleges СС összekötő egyenesen kell lennie.

133. Adott egy LMN háromszög, valamint AE és FG egyenesek. Szerkesszünk olyan paralelogrammát, amelyben az AD oldal az AE egyenesen, az AB oldal párhuzamos a háromszög síkjával, a B csúcs az FG egyeneshez tartozik, a BD átló merőleges az AD oldalra (131. ábra).

134*. Az A ponton keresztül húzz a négyzettel párhuzamos egyenest. P és a CDE háromszög síkja (132. ábra, a).

Megoldás. Ha a kívánt egyenesnek egyidejűleg párhuzamosnak kell lennie két síkkal, akkor párhuzamosnak kell lennie e síkok metszésvonalával

(132. ábra, b). Két T és S segédsíkot bevezetve megtaláljuk az MN síkok metszésvonalát (132. ábra, c). A kívánt b"f" és bf egyenes vetületei az azonos nevű MN egyenes vetületeivel a"-n és a párhuzamoson haladnak át velük (132. ábra, d).

I3S. Az A ponton keresztül húzz a négyzettel párhuzamos egyenest. P és a DE és DF metsző egyenesek által meghatározott sík (133. ábra).

136. Az A ponton keresztül rajzoljunk a négyzettel párhuzamos egyenest. P és a DE és FG párhuzamos egyenesekkel meghatározott sík (134. ábra).

137*. Rajzolj egyenes vonalakat, amelyek mindegyike a négyzettől távol van. P l 1 távolságban, valamint a BC egyenes és az A pont által meghatározott síktól l 2 távolságban (135. ábra, a).

Megoldás. A megoldás az adott síktól bizonyos távolságra, azaz az adott síkkal párhuzamos síktól bizonyos távolságra elhelyezkedő egyenesek geometriai elhelyezkedésének ötletén alapul.

A szükséges egyenesek két Q sík négyzettel párhuzamos metszéspontjának MN egyenesei. P és annak mindkét oldalán l 1 távolságra, kettővel

az adott síkok közül a másodikkal párhuzamos és attól l 2 távolságra lévő S síkok. Összesen négy ilyen sor lehet. ábrán. A 135. b ábrán az egyik látható.

ábrán. 135, a következőket mutatja: 1) merőleges rajz a négyzetre. P a benne felvett M 1 pontból és a K 1 pont felépítése erre a merőlegesre M 1 K 1 = l 1 távolságban; 2) merőleges rajzolása az A pont és az A pontból induló BC egyenes által adott síkra (vízszintes A-2 és frontális A-3 felhasználásával), és erre a merőlegesre AK 2 = l 2 távolságban a K 2 pont megszerkesztése

ábrán. 135, d a K 1 pl.Q ponton keresztüli rajzot mutat párhuzamosan pl. P és a K 2 sík egy pontján keresztül, amelyet a vízszintes K 2 5 és a K 2 6 elöl fejez ki, rendre párhuzamosan a vízszintes A-2-vel és az A-3 elülsővel, amely az A pont által meghatározott síkhoz tartozik és egyenes vonal Kr. e.

ábrán. 135, d a pl. Q és az S sík, amelyet a vízszintes K 2 5 és a front K 2 6 fejez ki. A kapott MN egyenes párhuzamos mindkét adott síkkal.

138. Rajzolja meg az egyik egyenest a négyzettől bizonyos távolságra. P l 1 távolságra és az ABC háromszög síkjától l 2 távolságra (136. ábra).

139*. Rajzolj egy egyenest, amely az adott AB és CD egyeneseket metszi, és párhuzamos az EF egyenessel (137. ábra, a).

Megoldás. Vázoljunk egy tervet a probléma megoldására (rns. 137, b).

1. Rajzoljon egy síkot (Q) az EF egyenessel párhuzamos CD egyenesen keresztül.

2. Keresse meg azt a pontot (K), ahol az AB egyenes metszi a négyzetet. K.

3. A K ponton keresztül húzz egy egyenest (KM) az adott EF egyenessel párhuzamosan.

ábrán. 137. sz., a tér beépítését mutatja be. Q áthalad a CD egyenesen és párhuzamos az EF Pl egyenessel. A Q-t a CD egyenes és az azt metsző DG egyenes fejezi ki, amely az EF-vel párhuzamos D ponton keresztül húzódik.

ábrán. 137, c a K pont felépítését mutatja, ahol az AB egyenes metszi a négyzetet. Q. Az AB egyenest az R frontális projektív sík tartalmazza, az R ϑ nyomával kifejezve. Pl. R metszi pl. Q egy egyenesben 1-2. 1-2 és ab metszéspontjában megkapjuk a k vetületet; A k pont segítségével megtaláljuk a frontot. k vetület".

Végül az ábrán. 137, d a kívánt egyenes km és k"m" vetületeit mutatja: k"m" || e"f" és km || ef. Természetesen az m" és m vetületeket az m"m összekötő egyenesen, az x tengelyre merőlegesen kell megkapni.

140. Rajzoljon egy egyenest, amely metszi az adott AB és CD egyeneseket és párhuzamos az EF egyenessel (138. ábra).

141. Rajzolj egy egyenest, amely az adott AB és CD egyeneseket metszi, párhuzamosan az EF egyenessel (139. ábra).

142*. Az EF, MN, KL és HI egyenesek adottak. Szerkesszünk meg egy ABCD téglalapot, melynek AB oldala párhuzamos az EF egyenessel, A csúcsa a KL egyenesen, B csúcsa az MN egyenesen, C csúcsa pedig a HI egyenesen található (140. ábra, a).

Megoldás. Az AB oldalnak metszenie kell KL-t és MN-t, és párhuzamosnak kell lennie az EF-vel (lásd a 139. feladatot).

Ha (140.6. ábra) a KL-n fekvő G ponton keresztül legalább EF-vel párhuzamos egyenest húzunk, akkor négyzetet kapunk. Q párhuzamos EF-vel. Ezután meg kell találnia a sík és az MN egyenes metszéspontjának B pontját, és a B ponton keresztül a négyzethez kell húznia. Q. EF-vel párhuzamos egyenes. Ez az AB egyenes metszi az MN és KL egyeneseket, és párhuzamos EF-vel.

A konstrukció az ábrán látható. 140, v. Mivel a BC és AB oldalnak egymásra merőlegesnek kell lennie, a B ponton keresztül húzzuk (140. ábra, útmutató) pl. P, merőleges az AB oldalra, és megszerkesztjük a HI egyenessel való metszéspontjának C pontját.

Az A és C pontokon keresztül egyeneseket húzunk (140. ábra, d és f), párhuzamosan a BC és AB egyenesekkel, amíg a D pontban nem metszik egymást.

143.. Adott egy SEFG piramis és egy MN egyenes (141. ábra). Szerkesszünk meg egy ABCD téglalapot, melynek AB oldala párhuzamos az MN egyenessel, A csúcs az SF élen, az AB csúcs az EG alap oldalán, a D csúcs az SE élen fekszik.

144. Adott egy SEFG piramis és egy MN egyenes (142. ábra). Szerkesszünk meg egy ABCD téglalapot, melynek AB oldala párhuzamos az MN egyenessel, az A csúcs az SG élen, a B csúcs az EF alapoldalon, a D csúcs az SF élen található.

145*. Az A ponton keresztül húzzon egy egyenest az ED és FG párhuzamos egyenesek által meghatározott síkkal párhuzamosan, és metszi a BC egyenest (143. ábra, a).

Megoldás. A probléma megoldására a következő tervet készítheti (143. ábra, b):

1) az A ponton keresztül rajzoljunk az adott síkkal párhuzamos (P) síkot;

2) keresse meg a BC és a négyzet metszéspontját (K). R;

3) rajzolja meg a kívánt közvetlen váltakozó áramot.

ábrán. 143, pl. Az A ponton keresztül húzott P-t az AM || egyenes fejezi ki ED (a"m" || e"d", am || ed) és az AN vízszintes vonal a horizont megrajzolásához. amelyek előrejelzései

az E-1 vízszintes egyenest az ED és FG egyenesek által meghatározott síkban veszik fel (an || ef). ábrán. A 143, d a K pont felépítését mutatja, ahol az adott BC egyenes metszi a négyzetet. P: a BC-n keresztül egy frontálisan vetülő síkot húzunk (kifejezve

ezt követi az R ϑ), a P és R síkok egyenes metszéspontjának 2"3" és 2-3 vetületei készültek, a k pontot a 2-3 és bc egyenes metszéspontjában kaptuk. A k vetület alapján megtaláljuk a k vetületet." A kívánt egyenes vetületei a"k" és ak.

146. Az A ponton keresztül (144. ábra) húzz a négyzettel párhuzamos egyenest. P és a BC egyenest metszi.

147. Az A ponton keresztül (145. ábra) rajzoljunk egy egyenest, amely párhuzamos a DE és DF metszésvonalak által meghatározott síkkal, és metszi a BC egyenest.

148*. Szerkessze meg az adott A, B és C pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok lokuszát (146. ábra, a),

Megoldás. A szükséges geometriai hely a P és Q síkok MN metszésvonala (146. ábra, b), amelyek merőlegesek az AB és BC szakaszokra, és átmennek a K 1 és K 2 pontokon ezeknek a szakaszoknak a közepén. ábrán. 146, ezek

a síkokat nyomaikkal fejezik ki. Az azonos nevű síknyomok metszéspontjait (146. ábra, d) felhasználva megszerkesztjük azok MN metszéspontjának egyenesét.

149. Szerkessze meg az adott A, B és C pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok lokuszát (147. ábra).

150*. Adott egy ABC háromszög (148. ábra, a). Szerkesszünk meg egy SABC piramist, amelynek S csúcsa egyenlő távolságra van az A, B és C pontoktól. Az S pont távolsága pl. V 1,7-szerese a négyzettől való távolságának. N.

Megoldás. Az A, B és C pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok geometriai helye (lásd a 148* feladatot) a Q és P síkok MN metszésvonala, amelyet a rájuk merőleges AB és BC szakaszok felezőpontjain (K 1 és K 2) húzunk (ábra 148, b és c). Az S csúcsnak ezen az egyenesen kell feküdnie. Azon pontok geometriai helye, amelyeknél az ordináta 1,7-szer nagyobb, mint az applikáció, a T tengelyirányú sík; a T ω profilvonala átmegy (148. ábra, c) az O ponton és azon a ponton, amelynek távolsága

az y tengely 10 egység, a z tengely 17 egység. Az S pont ehhez a síkhoz tartozik. A gúla tetejének s" profilvetülete m"n" metszéspontjában van a T ω nyommal (az ábrán a rajz egyszerűsítése érdekében az MN egyenesen fekvő D pont profilvetülete van megszerkesztve) s"-ből s"-t és s-t találunk A 148. ábrán a kívánt piramis d vetületei láthatók.

151. Adott egy ABC háromszög (149. ábra). Szerkesszük meg a SABC piramis vetületeit, amelynek S csúcsa egyenlő távolságra van az ABC alap csúcsaitól és négyzetben fekszik. V.

152*. Az A, L, M és N pontok adottak (150. ábra, a). Szerkesszünk meg egy ABCD paralelogrammát, amelynek B csúcsa a négyzeten fekszik. H, CD oldal az L, M és N pontoktól egyenlő távolságra lévő egyenesen, a D csúcs egyenlő távolságra van az V és H síkoktól.

Megoldás. Mivel a kívánt paralelogramma CD oldalának három ponttól egyenlő távolságra lévő egyenesen kell feküdnie, kezdjük ennek az egyenesnek a megszerkesztésével. Hasonló konstrukcióval már találkoztunk: az EF egyenest két P és Q sík (150., 6. és c. ábra) metszésvonalaként kapjuk, amelyeket az LM és MN szakaszokra merőlegesen húzunk a felezőpontjukon keresztül. Ezen az egyenesen megtaláljuk a D pontot abból a feltételből, hogy

egyenlő távolságra van a tértől. V és pl. N (150. ábra, d): egy f"5 segédvonalat húzunk az f ponton keresztül az x tengellyel azonos szögben, mint az f"e egyenes, megkapjuk a d pontot az ef vetületen, és ennek mentén d", és d"6 = d-6.

Tehát megkaptuk a kívánt paralelogramma egyik csúcsát (D pont) és az ezen a ponton áthaladó oldal irányát (EF egyenes). Miután áthaladt egy adott

Az A pont egy EF-vel párhuzamos egyenes, megkapjuk az AB oldalt, tudva, hogy a feltétel szerint a B pontnak a négyzetben kell lennie. N.

Marad hátra a paralelogramma vetületek felépítése a"b" és ab (150.6. ábra), b"c" megrajzolásával || a"d" és bc || hirdetés. A c" és c pontoknak a c"c összekötő egyenesen kell lenniük, merőlegesek az x tengelyre.

153. Az A, L, M és N pontok adottak (151. rio.). Szerkesszünk meg egy ABCD paralelogrammát, amelynek B csúcsa a négyzeten fekszik. H, a CD oldal az L, M és N pontoktól egyenlő távolságra lévő egyenesen fekszik, a D csúcs egyenlő távolságra van pl. V és pl.H

154. Adott egy ABC háromszög (152. ábra). Szerkessze meg a SABC piramis vetületeit, amelynek S csúcsa egyenlő távolságra van az A, B és C pontoktól, és egyenlő távolságra van a négyzettől. V és pl. H.

Párhuzamos egyenesek meghatározása. Párhuzamos két egyenes, amelyek ugyanabban a síkban helyezkednek el, és nem metszik egymást teljes hosszukban.

Az AB és CD egyenesek (57. ábra) párhuzamosak lesznek. A párhuzamosság tényét néha írásban is kifejezik: AB || CD.

34. tétel. Két, ugyanarra a harmadikra ​​merőleges egyenes párhuzamos.

Adott AB-re merőleges CD és EF egyenesek (58. ábra)

CD ⊥ AB és EF ⊥ AB.

Be kell bizonyítanunk, hogy a CD || E.F.

Bizonyíték. Ha a CD és EF egyenesek nem lennének párhuzamosak, akkor valamelyik M pontban metszik egymást. Ebben az esetben az M pontból két merőlegest ejtenénk az AB egyenesre, ami lehetetlen (11. tétel), ezért a CD || EF (ChTD).

35. tétel. Két egyenes, amelyek közül az egyik merőleges, a másik ferde a harmadikra, mindig metszi egymást.

Két EF és CG egyenes van megadva, amelyek közül EF ⊥ AB, CG pedig AB felé hajlik (59. ábra).

Bizonyítani kell, hogy a CG találkozik az EF egyenessel, vagy hogy a CG nem párhuzamos az EF-vel.

Bizonyíték. A C pontból merőleges CD-t építünk az AB egyenesre, majd a C pontban DCG szög alakul ki, amit annyiszor megismételünk, hogy a CK egyenes az AB egyenes alá kerüljön. Tegyük fel, hogy erre a célra a DCG szöget n-szer megismételjük, pl

Ugyanígy n-szer ábrázoljuk a CE egyenest az AB egyenesen is, így CN = nCE.

A C, E, L, M, N pontokból megszerkesztjük az LL", MM", NN" merőlegeseket. A két párhuzamos CD, NN" szakasz és a CN szakasz közötti tér n-szer nagyobb lesz, mint a köztük lévő tér. két merőleges CD, EF és CE szakasz, tehát DCNN" = nDCEF.

A DCK szögben lévő tér tartalmazza a DCNN teret", ezért

DCK > CDNN" vagy
nDCG > nDCEF, honnan
DCG > DCEF.

Az utolsó egyenlőtlenség csak akkor fordulhat elő, ha a CG egyenes a folytatása során elhagyja a DCEF teret, vagyis amikor a CG egyenes találkozik az EF egyenessel, ezért a CG egyenes nem párhuzamos a CF-vel (CHT).

36. tétel. Az egyik párhuzamosra merőleges egyenes a másikra is merőleges.

Adott két párhuzamos AB és CD egyenes, valamint egy CD-re merőleges EF egyenes (60. ábra).

AB || CD, EF ⊥ CD

Be kell bizonyítanunk, hogy EF ⊥ AB.

Bizonyíték. Ha az AB egyenes az EF-re hajlik, akkor két CD és AB egyenes metszi egymást, mert CD ⊥ EF és AB hajlik az EF-re (35. tétel), és az AB és CD egyenesek nem lennének párhuzamosak, ami ennek a feltételnek ellentmondana, ezért Az EF egyenes merőleges a CD-re (CHT).

Szögek, amelyeket két egyenes és egy harmadik egyenes metszéspontja alkot. Ha két AB és CD egyenes metszi egymást egy harmadik EF egyenessel (61. rajz), nyolc α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ szög alakul ki. Ezek a szögek különleges neveket kapnak.

A négy α, β, ν és ρ szöget nevezzük külső.

A négy γ, δ, λ, μ szöget nevezzük belső.

A négy β, γ, μ, ν szöget és a négy α, δ, λ, ρ szöget ún. egyoldalú, mert az EF egyenes egyik oldalán fekszenek.

Ezenkívül a szögek párosítva a következő neveket kapják:

A β és μ szögeket nevezzük megfelelő . Ezen a páron kívül ugyanazok a megfelelő szögek szögpárok lesznek:γ és ν, α és λ, δ és ρ.

A δ és μ, valamint a γ és λ szögpárokat nevezzük belső keresztezés .

A β és ρ, valamint az α és ν szögpárokat nevezzük külső keresztezés .

A γ és μ, valamint a δ és λ szögpárokat nevezzük belső egyoldalú .

A β és ν, valamint az α és ρ szögpárokat nevezzük külső egyoldalú .

Két egyenes párhuzamosságának feltételei

37. tétel. Két egyenes akkor párhuzamos, ha egy harmadikat metszve egyenlő: 1) megfelelő szögekkel, 2) belső keresztfekvéssel, 3) külső keresztfekvéssel, és végül, ha 4) belső egyoldalúak összege. egyenlő két derékszöggel, 5) a külső egyoldalúak összege egyenlő két egyenessel.

Bizonyítsuk be a tétel ezen részét külön-külön.

1. eset. A megfelelő szögek egyenlőek(62. ábra).

Adott. A β és μ szögek egyenlőek.

Bizonyíték. Ha az AB és CD egyenesek a Q pontban metszik egymást, akkor a GQH háromszöget kapjuk, amelyben a β külső szög egyenlő a μ belső szöggel, ami ellentmond a 22. tételnek, ezért az AB és CD egyenesek nem metszik egymást. vagy AB || CD (CHD).

2. eset. A belső keresztirányú szögek egyenlőek, azaz δ = μ.

Bizonyíték. δ = β mint függőleges, δ = μ feltétel szerint, ezért β = μ. Vagyis a megfelelő szögek egyenlőek, és ebben az esetben az egyenesek párhuzamosak (1. eset).

3. eset. A külső keresztirányú szögek egyenlőek, azaz β = ρ.

Bizonyíték. β = ρ feltétel szerint, μ = ρ mint függőleges, ezért β = μ, mivel a megfelelő szögek egyenlőek. Ebből következik, hogy AB || CD (1. eset).

4. eset. A belső egyoldalúak összege egyenlő két közvetlennel vagy γ + μ = 2d.

Bizonyíték. β + γ = 2d a szomszédosak összegeként, γ + μ = 2d feltétel szerint. Ezért β + γ = γ + μ, innen β = μ. A megfelelő szögek egyenlőek, ezért AB || CD.

5. eset. A külső egyoldalúak összege egyenlő két közvetlennel, azaz β + ν = 2d.

Bizonyíték. μ + ν = 2d a szomszédosak összegeként, β + ν = 2d feltétel szerint. Ezért μ + ν = β + ν, innen μ = β. A megfelelő szögek egyenlőek, ezért AB || CD.

Így minden esetben AB || CD (CHD).

38. tétel(37. hátoldal). Ha két egyenes párhuzamos, akkor egy harmadik egyenest metszve a következők egyenlők: 1) belső keresztirányú szögek, 2) külső keresztirányú szögek, 3) megfelelő szögek és egyenlők két derékszöggel, 4) a belső egyoldali szögek összege és 5) a külső egyoldalú szögek összege.

Adott két párhuzamos AB és CD egyenes, azaz AB || CD (63. ábra).

Bizonyítani kell, hogy a fenti feltételek mindegyike teljesül.

1. eset. Metszünk két párhuzamos AB és CD egyenest egy harmadik EF ferde egyenessel. Jelöljük G-vel és H-val az EF egyenes AB és CD metszéspontjait. A GH egyenes felezőpontjának O pontjából leeresztünk egy merőlegest a CD egyenesre, és addig folytatjuk, amíg a P pontban nem metszi az AB egyenest. A CD-re merőleges OQ egyenes szintén merőleges az AB-re (36. tétel). Az OPG és az OHQ derékszögű háromszögek egyenlőek, mert OG = OH szerkezetileg, ∠ HOQ= ∠ POG mint függőleges szögek, ezért OP = OQ.

Ebből következik, hogy δ = μ, azaz. a belső keresztirányú szögek egyenlőek.

2. eset. Ha AB || CD, akkor δ = μ, és mivel δ = β, és μ = ρ, akkor β = ρ, azaz. külső keresztfekvési szögek egyenlőek.

3. eset. Ha AB || CD, akkor δ = μ, és mivel δ = β, akkor β = μ, ezért a megfelelő szögek egyenlőek.

4. eset. Ha AB || CD, akkor δ = μ, és mivel δ + γ = 2d, akkor μ + γ = 2d, azaz. a belső egyoldalúak összege egyenlő két közvetlen.

5. eset. Ha AB || CD, akkor δ = μ.

Mivel μ + ν = 2d, μ = δ = β, ezért ν + β = 2d, azaz. a külső egyoldalúak összege egyenlő két közvetlen.

Ezekből a tételekből az következik következmény. Egy ponton keresztül csak egy egyenest húzhat párhuzamosan egy másik egyenessel.

39. tétel. Két, egy harmadikkal párhuzamos egyenes párhuzamos egymással.

Adott három sor (64. ábra) AB, CD és EF, ebből AB || EF, CD || E.F.

Be kell bizonyítanunk, hogy AB || CD.

Bizonyíték. Metszük ezeket az egyeneseket a negyedik GH egyenessel.

Ha AB || Akkor EF ∠ α = ∠ γ megfelelő módon. Ha CD || Akkor EF ∠ β = ∠ γ valamint megfelelő. Ennélfogva, ∠ α = ∠ β .

Ha a megfelelő szögek egyenlőek, akkor az egyenesek párhuzamosak, ezért AB || CD (CHD).

40. tétel. Az azonos nevű, párhuzamos oldalú szögek egyenlőek.

Az azonos nevű ABC és DEF szögek (mindkettő hegyes vagy tompaszögű) az oldaluk párhuzamos, azaz AB || DE, BC || EF (65. ábra).

Ezt bizonyítani kell ∠ B= ∠ E.

Bizonyíték. Folytassuk a DE oldalt, amíg a BC egyenest a G pontban nem metszi, majd

∠ E = ∠ G mint a harmadik, DG egyenes BC-vel és EF-vel párhuzamos oldalak metszéspontjának felel meg.

∠ B = ∠ G mint megfelel a BC egyenes AB és DG párhuzamos oldalainak metszéspontjának, ezért

∠ E = ∠ B (CHD).

41. tétel. A párhuzamos oldalakkal ellentétes szögek kiegészítik egymást két derékszöggel.

Adott két ellentétes szög ABC és DEF (66. ábra), amelyek párhuzamos oldalai, ezért AB || DE és BC || E.F.

Be kell bizonyítanunk, hogy ABC + DEF = 2d.

Bizonyíték. Folytassuk a DE egyenest addig, amíg a G pontban nem metszi a BC egyenest.

∠B+ ∠ DGB = 2d a BC harmadik egyenes AB és DG párhuzamos metszéspontja által alkotott belső egyoldali szögek összege.

∠ DGB = ∠ DEF mint megfelelő, ezért

∠B+ ∠ DEF = 2d (CHD).

42. tétel. Az azonos nevű, merőleges oldalú szögek egyenlőek, és az ellentétes szögek két egyenesig kiegészítik egymást.

Tekintsünk két esetet: amikor A) a szögek azonosak, és amikor B) ellentétesek.

1. eset. Két azonos nevű DEF és ABC szög oldalai (67. ábra) merőlegesek, azaz DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.

Be kell bizonyítanunk, hogy ∠ DEF = ∠ ABC.

Bizonyíték. A B pontból a DE és EF egyenesekkel párhuzamosan húzzuk a BM és BN egyeneseket úgy, hogy

BM || DE, BN || E.F.

Ezek az egyenesek is merőlegesek egy adott ABC szög oldalaira, azaz.

BM ⊥ AB és BN ⊥ BC.

Mert ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, akkor

∠ NBC = ∠ MBA (a)

Ha az (a) egyenlőség mindkét oldalából kivonjuk az NBA szögét, azt kapjuk

∠ MBN = ∠ ABC

Mivel az MBN és a DEF szögek azonosak és párhuzamos oldalaik vannak, egyenlőek (40. tétel).

∠ MBN = ∠ DEF (b)

Az (a) és (b) egyenlőség az egyenlőséget jelenti

∠ ABC = ∠ DEF.

2. eset. A merőleges oldalú GED és ABC szögek ellentétesek.

Be kell bizonyítani, hogy ∠ GED + ∠ ABC = 2d (67. ábra).

Bizonyíték. A GED és DEF szögek összege két derékszöggel egyenlő.

GED + DEF = 2d
DEF = ABC tehát
GED + ABC = 2d (CTD).

43. tétel. A párhuzamos egyenesek részei más párhuzamos egyenesek között egyenlőek.

Adott négy egyenes AB, BD, CD, AC (68. ábra), ebből AB || CD és BD || AC.

Be kell bizonyítanunk, hogy AB = CD és BD = AC.

Bizonyíték. A C pontot a B ponttal összekötve a BC szakasszal két egyenlő ABC és BCD háromszöget kapunk, mert

BC - közös oldal,

∠ α = ∠ β (mint belső keresztben fekvőek a BC harmadik egyenes AB és CD párhuzamos egyeneseinek metszéspontjából),

∠ γ = ∠ δ (mint a BC egyenes BD és AC párhuzamos egyeneseinek metszéspontjából származó belső keresztirányúak).

Így a háromszögeknek egy egyenlő oldala és két egyenlő szöge van.

Az α és β egymással szemben lévő egyenlő szögek AC és BD egyenlők, a γ és δ egymással szemben lévő egyenlő szögek pedig AB és CD egyenlők, ezért

AC = BD, AB = CD (CHD).

44. tétel. A párhuzamos egyenesek teljes hosszukban egyenlő távolságra vannak egymástól.

Egy pont távolságát az egyenestől a pontból az egyenesre húzott merőleges hossza határozza meg. Bármely két A és B pont távolságának meghatározásához, amely párhuzamos AB-vel a CD-től, AC és BD merőlegeseket ejtünk az A és B pontból.

Adott egy CD-vel párhuzamos AB egyenes, az AC és BD szakaszok merőlegesek a CD egyenesre, azaz AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (69. ábra).

Be kell bizonyítanunk, hogy AC = BD.

Bizonyíték. Az AC és BD egyenesek, amelyek mindketten merőlegesek a CD-re, párhuzamosak, ezért az AC és BD, mint a párhuzamosok részei egyenlőek, azaz AC = BD (CHD).

45. tétel(43. hátoldal). Ha négy egymást metsző egyenes szemközti része egyenlő, akkor ezek a részek párhuzamosak.

Adott négy egymást metsző egyenes, amelyek ellentétes részei egyenlők: AB = CD és BD = AC (68. ábra).

Be kell bizonyítanunk, hogy AB || CD és BD || AC.

Bizonyíték. Kössük össze a B és C pontot a BC egyenessel. Az ABC és a BDC háromszögek egybevágóak, mert

BC - közös oldal,
AB = CD és BD = AC feltétel szerint.

Innen

∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ

Ennélfogva,

AC || BD, AB || CD (CHD).

46. ​​tétel. Egy háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenlő.

Adott egy ABC háromszög (70. ábra).

Be kell bizonyítanunk, hogy A + B + C = 2d.

Bizonyíték. Rajzoljunk egy CF egyenest a C pontból párhuzamosan az AB oldallal. A C pontban három BCA, α és β szög alakul ki. Összegük egyenlő két egyenessel:

BCA+ α + β = 2d

α = B (mint belső keresztirányú szögek a BC egyenes AB és CF párhuzamos egyeneseinek metszéspontjában);

β = A (mint a megfelelő szögek az AD egyenes AB és CF metszéspontjában).

α és β szögek cseréje értékeiket kapjuk:

BCA + A + B = 2d (CHD).

Ebből a tételből a következő következmények következnek:

Következmény 1. A háromszög külső szöge egyenlő a vele nem szomszédos belső szögek összegével.

Bizonyíték. Valóban, a 70. rajzból

∠BCD = ∠ α + ∠ β

Mivel ∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A, akkor

∠BCD = ∠A + ∠B.

Következmény 2. Egy derékszögű háromszögben a hegyesszögek összege egyenlő a derékszöggel.

Valóban, derékszögű háromszögben (40. ábra)

A + B + C = 2d, A = d, tehát
B + C = d.

Következmény 3. Egy háromszögnek nem lehet több derékszöge vagy egy tompaszöge.

Következmény 4. Egy egyenlő oldalú háromszögben minden szög 2/3 d .

Valóban, egyenlő oldalú háromszögben

A + B + C = 2d.

Mivel A = B = C, akkor

3A = 2d, A = 2/3 d.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete