• Harmonikus linearizálás módszere nemlineáris automata vezérlőrendszerek tervezésében.[Djv-10.7M] Szerkesztette: Yu.I. Topcseeva. Szerzők csapata.
  (Moszkva: Mashinostroenie Publishing House, 1970. – „Nemlineáris automatikus vezérlőrendszerek” sorozat)
  Szkennelés: AAW, feldolgozás, Djv formátum: Ilya Sytnikov, 2014
• RÖVID TARTALOM:
  Előszó (5).
  I. fejezet A harmonikus linearizációs módszer elméleti alapjai (E.P. Popov) (13).
  fejezet II. A harmonikus linearizálás új formája nemlineáris hiszterézis jellemzőkkel rendelkező vezérlőrendszerekhez (E.I. Khlypalo) (58).
  fejezet III. Harmonikus linearizációs módszer, amely egy periodikus megoldás magasabb harmonikusokra és kis paraméterekre való érzékenységének felmérésén alapul (A.A. Vavilov) (88).
  fejezet IV. Nemlineáris rendszerek amplitúdó- és fázisfrekvenciás jellemzőinek meghatározása (Yu.I. Topcheev) (117).
  V. fejezet: Hozzávetőleges frekvenciamódszerek a nemlineáris vezérlőrendszerek minőségének elemzéséhez (Yu.I. Topcheev) (171).
  fejezet VI. A harmonikus linearizációs módszer pontosságának javítása (V.V. Pavlov) (186).
  fejezet VII. A harmonikus linearizációs módszer alkalmazása diszkrét nemlineáris szabályozási rendszerekre (S.M. Fedorov) (219).
  fejezet VIII. Az N.M. aszimptotikus módszerének alkalmazása. Krylov és N.N. Bogolyubov a nemlineáris vezérlőrendszerek elemzésében (A.D. Maksimov) (236).
  fejezet IX. Harmonikus linearizálás alkalmazása nemlineáris önhangoló vezérlőrendszerekre (Yu.M. Kozlov, S.I. Markov) (276).
  X. Fejezet A harmonikus linearizációs módszer alkalmazása nemlineáris automata rendszerekre véges állapotú gépekkel (M.V. Starikova) (306).
  fejezet XI. Hozzávetőleges módszer az oszcillációs folyamatok és csúszómódok vizsgálatára változó szerkezetű automata rendszerekben (M.V. Starikova) (390).
  fejezet XII. Egy impulzusrelé vezérlőrendszer hozzávetőleges vizsgálata (M.V. Starikova) (419).
  fejezet XIII. Oszcillációs folyamatok meghatározása összetett nemlineáris rendszerekben, különböző kezdeti eltérésekkel (M.V. Starikova) (419).
  fejezet XIV. A harmonikus linearizációs módszer alkalmazása periodikus nemlinearitású rendszerekre (L.I. Semenko) (444).
  fejezet XV. A harmonikus linearizációs módszer alkalmazása két nemlinearitású rendszerekre (V.M. Hljamov) (467).
  fejezet XVI. Az egyenáramú és váltóáramú motorokkal működő relé mechanizmusok amplitúdó-fázis jellemzői, a harmonikus linearizációs módszerrel (V.V. Tsvetkov) (485).
  Pályázatok (518).
  Irodalom (550).
  Alfabetikus index (565).

Kiadói absztrakt: Ez a könyv a nemlineáris automatikus vezérlőrendszerekkel foglalkozó monográfiák sorozatának része.
Szisztematikusan, meglehetősen átfogóan rögzíti a nemlineáris automatikus vezérlőrendszerek elméletét, a harmonikus linearizálás módszerén alapulva. A fő figyelem a harmonikus linearizációs módszer elméleti alapjaira és gyakorlati alkalmazásaira irányul a folytonos, diszkrét, önhangoló, valamint a véges állapotú gépekkel és hangolható szerkezetű rendszerekben. A felharmonikus linearizálási módszer pontosságának javításának módjait a magasabb harmonikusok hatásának figyelembevételével vizsgáljuk. A javasolt módszereket számos példa illusztrálja.
A könyvet az automatikus vezérlés kérdéseivel foglalkozó tudósoknak, mérnököknek, tanároknak és felsőoktatási intézmények végzős hallgatóinak szánjuk.

Az 1.5 b ábrán látható karakterisztika egy háromállású relé, amelyben az érzéketlenség miatt egy további helyzet áll rendelkezésre. Egy ilyen jellemző egyenlete

Az 1.5c ábrán látható karakterisztika egy kétállású relé hiszterézissel. „Relének memóriával” is nevezik. „Emlékszik” az előző állapotára és az x bemeneten belül< a сохраняет это своё значение. Уравне-

egy ilyen jellemző meghatározása

Az 1.5 d ábrán látható karakterisztika egy háromállású, hiszterézises relé, amelyben a holtzóna miatt további helyzet áll rendelkezésre. Egy ilyen jellemző egyenlete

A fenti egyenletekből jól látható, hogy hiszterézis hurok hiányában a relé kimeneti működése csak az xin vagy xout = f (xin) értékétől függ.

Hiszterézis hurok jelenlétében az x out értéke az x be vagy x out = f (x in ,x & in) deriváltjától is függ, ahol x & in a „memória” jelenlétét jellemzi a relé.

1.4 Nemlineáris rendszerek vizsgálati módszereinek elemzése

Egy nemlineáris rendszer elemzési és szintézis problémáinak megoldásához először meg kell alkotni annak matematikai modelljét, amely a rendszer kimeneti jelei és a rendszerre ható hatásokat tükröző jelek közötti kapcsolatot jellemzi. Ennek eredményeként egy magas rendű nemlineáris differenciálegyenletet kapunk, néha számos logikai összefüggéssel. A modern számítástechnika lehetővé teszi bármilyen nemlineáris egyenlet megoldását, és hihetetlenül sok ilyen nemlineáris differenciálegyenletet kell majd megoldani. Ezután válassza ki a legjobbat. Ugyanakkor nem lehet biztos abban, hogy a választott megoldás valóban optimális-e, és nem tudni, hogyan lehetne a választott megoldást javítani. Ezért az irányításelmélet egyik problémája a következő.

Vezérlőrendszer tervezési módszerek kidolgozása, amelyek lehetővé teszik a rendszerparaméterek legjobb szerkezetének és optimális arányainak meghatározását.

A feladat elvégzéséhez a következőkre van szükség számítási módszerek, amelyek

Egy nemlineáris rendszer paraméterei és a vezérlési folyamat dinamikus mutatói közötti matematikai összefüggések viszonylag egyszerű formában történő meghatározását teszik lehetővé.

leniya. És anélkül, hogy megoldást találnánk egy nemlineáris differenciálegyenletre. A probléma megoldására a rendszer valós elemeinek nemlineáris karakterisztikáját néhány idealizált közelítő karakterisztika helyettesíti. A nemlineáris rendszerek ilyen jellemzőkkel történő számítása hozzávetőleges eredményeket ad, de a lényeg az, hogy a kapott függőségek lehetővé tegyék a rendszer szerkezetének és paramétereinek a dinamikus tulajdonságaival való kapcsolatát.

A legegyszerűbb esetekben és főleg egy másodrendű nemlineáris rendszerhez használják fázisút módszer, amely lehetővé teszi egy nemlineáris rendszer mozgásának dinamikájának világos bemutatását különböző típusú nemlineáris kapcsolatokhoz, figyelembe véve a kezdeti feltételeket. Ezzel a módszerrel azonban nehéz figyelembe venni a különféle külső hatásokat.

Magas rendű rendszerhez használják harmonikus linearizációs módszer. Hagyományos linearizálás esetén a nemlineáris karakterisztikát lineárisnak tekintjük, és elveszíti néhány tulajdonságát. A harmonikus linearizálással a nemlineáris kapcsolat specifikus tulajdonságai megmaradnak. De ez a módszer hozzávetőleges. Akkor használatos, ha számos feltétel teljesül, amelyek akkor jelennek meg, amikor nemlineáris rendszert számítanak ki ezzel a módszerrel. Ennek a módszernek fontos tulajdonsága, hogy közvetlenül összekapcsolja a rendszer paramétereit a szabályozási folyamat dinamikus mutatóival.

A véletlen hatások melletti szabályozás statisztikai hibájának meghatározásához használja statisztikai linearizálási módszer. Ennek a módszernek az a lényege, hogy a nemlineáris elemet egy ekvivalens lineáris elemre cseréljük, amely a nemlineáris elemhez hasonlóan átalakítja egy véletlenfüggvény első két statisztikai momentumát: a matematikai várakozást (átlagértéket) és a diszperziót ( vagy szórás). Vannak más módszerek is a nemlineáris rendszerek elemzésére. Például, kisparaméteres módszer B.V. formájában. Bulgakov. Aszimptotikus módszer N.M. Krylov és N.N. Bogolyubova hogy időben elemezzen egy folyamatot egy periodikus megoldás közelében. Grafo-analitikai A módszer lehetővé teszi egy nemlineáris probléma lineárisra való redukálását. Harmonikus egyensúly módszer, amelyet L.S. Goldfarb nemlineáris rendszerek stabilitásának elemzésére a Nyquist-kritérium segítségével. Grafikus-analitikai módszerek, amelyek közül a legszélesebb körben alkalmazott módszer a D.A. Bashkirova. A különféle kutatási módszerek közül ez a tankönyv a következőket vizsgálja: a fázispályák módszere, a ponttranszformációk módszere, a harmonikus linearizálás módszere E.P. Popov, grafikus-analitikai módszer L.S. Goldfarb, az abszolút stabilitás kritériuma, V.M. Popov, a statisztikai linearizálás módszere.

Szigorúan véve lineáris rendszerek nem léteznek a természetben, minden valós rendszer nemlineáris. Különféle érzékelők, detektorok, diszkriminátorok, erősítők, analóg-digitális és digitális-analóg átalakítók, vezérlőeszközök és aktuátorok nemlineáris jellemzőkkel rendelkeznek.

A nemlineáris rendszerek elemzésére nincs általános elmélet. A tudósok különféle módszereket fejlesztettek ki a nemlineáris rendszerek elemzésére, amelyek bizonyos feltételek és korlátozások mellett lehetővé teszik az elemzési problémák megoldását.

Jellemezzük a nemlineáris rendszerek elemzésének leggyakoribb módszereit.

Fázissík módszer. Ezt a módszert fázisportrék vagy fázisterek módszerének is nevezik. Ez a módszer lehetővé teszi, hogy grafikus konstrukciók segítségével vizuálisan elemezze a nemlineáris rendszerek viselkedését, amelyeket legfeljebb másodrendű (harmadrendű) nemlineáris differenciálegyenletek írnak le.

Darabonkénti lineáris közelítési módszer. Ez a módszer egy nemlineáris elem jellemzőinek darabonkénti lineáris közelítését alkalmazza, a rendszert lineárisként elemzi különböző jelértékek esetén, majd összefűzi az elemzési eredményeket. A módszert az elemzés nagy munkaintenzitása és az eredmények alacsony pontossága jellemzi, különösen a „keresztkötési” pontokon.

Harmonikus linearizációs módszer. Ezt a módszert olyan esetekben alkalmazzuk, amikor a nemlineáris elem után lineáris aluláteresztő szűrő van csatlakoztatva, és a bemeneti hatás harmonikus.

Statisztikai linearizálási módszer. Ezt a módszert olyan esetekben alkalmazzák, amikor egy stacionárius véletlenszerű folyamat bemeneti jelként működik. Ebben a módszerben a valós nemlineáris elemet egy olyan lineáris elemmel helyettesítjük, amelynek kimeneti matematikai elvárása és a folyamat szórása megegyezik a valódi nemlineáris elem kimenetével. Egy ekvivalens lineáris elem paramétereinek meghatározására szolgáló módszerek eltérőek lehetnek.

Markov eljárás módszere. Ezt a módszert nem stacionárius véletlen bemeneti jelekre alkalmazzák, de analitikus megoldást csak a másodrendűnél nem magasabb rendszerekre lehet találni.

Számítógépes szimulációs módszer. Ez a módszer univerzálisnak vallja magát, nincs alapvető megkötése a nemlinearitás természetére és a rendszer rendjére. Jelenleg ez a legelterjedtebb módszer a nemlineáris rendszerek elemzésére.

Fejezet7

Nemlineáris rendszerek elemzése

A vezérlőrendszer egyedi funkcionális elemekből áll, amelyek matematikai leírására szabványos elemi hivatkozásokat használnak (lásd 1.4. fejezet). A tipikus elemi láncszemek között van egy tehetetlenségmentes (megerősítő) láncszem. A bemenetet összekötő ilyen kapcsolat statikus jellemzője xés szabadnap y mennyiségek, lineáris: y=Kx. A vezérlőrendszer valódi funkcionális elemei nemlineáris statikus karakterisztikával rendelkeznek y=f(x). A nemlineáris függés típusa f(∙) variálható:

Változó meredekségű függvények ("telítettségi" effektusú függvények, trigonometrikus függvények stb.);

Darabonkénti lineáris függvények;

Relé funkciók.

Leggyakrabban figyelembe kell venni a vezérlőrendszer érzékeny elemének statikus jellemzőinek nemlinearitását, pl. a megkülönböztető jellemző nemlinearitása. Általában arra törekszenek, hogy a diszkriminációs jellemző lineáris szakaszában biztosítsák a vezérlőrendszer működését (ha a funkció típusa ezt lehetővé teszi f(∙)) és használja a lineáris modellt y=Kx. Ez néha nem érhető el a vezérlőrendszer hiba dinamikus és fluktuációs összetevőinek nagy értékei, vagy a függvény ún. jelentős nemlinearitása miatt. f(∙), amely például a relé funkciókban rejlik. Ezután el kell végezni a vezérlőrendszer elemzését, figyelembe véve azokat a kapcsolatokat, amelyek nemlineáris statikus jellemzőkkel rendelkeznek, pl. nemlineáris rendszer elemzése.

7.1. A nemlineáris rendszerek jellemzői

A nemlineáris rendszerek folyamatai sokkal változatosabbak, mint a lineáris rendszerekben. Vegyük észre a nemlineáris rendszerek és a bennük lévő folyamatok néhány jellemzőjét.

1. A szuperpozíció elve nem állja meg a helyét: egy nemlineáris rendszer reakciója nem egyenlő az egyéni hatásokra adott reakciók összegével. Például a követési hiba dinamikus és fluktuációs összetevőinek független kiszámítása lineáris rendszerek esetén (lásd a 3. fejezetet) nemlineáris rendszerek esetén lehetetlen.

2. A kommutativitás tulajdonsága nem alkalmazható egy nemlineáris rendszer szerkezeti diagramjára (a lineáris és nemlineáris kapcsolatok nem cserélhetők fel).

3. A nemlineáris rendszerekben a stabilitás feltételei és maga a stabilitás fogalma is megváltozik. A nemlineáris rendszerek viselkedése stabilitásuk szempontjából a hatástól és a kezdeti feltételektől függ. Ezenkívül egy nemlineáris rendszerben egy új típusú állandósult folyamat lehetséges - állandó amplitúdójú és frekvenciájú önrezgések. Az ilyen önrezgések amplitúdójuktól és frekvenciájuktól függően nem zavarhatják a nemlineáris vezérlőrendszer teljesítményét. Ezért a nemlineáris rendszereket már nem osztják két osztályra (stabil és instabil), mint a lineáris rendszerek, hanem több osztályra osztják őket.

A nemlineáris rendszerek esetében az orosz matematikus A.M. Ljapunov 1892-ben vezette be a „kicsiben” és a „nagyban” stabilitás fogalmát: egy rendszer „kicsiben” akkor stabil, ha a stabil egyensúlyi ponttól némi (kellően kicsi) eltéréssel egy adott helyzetben marad. (korlátozott) ε régió, és a rendszer stabil „nagy”, ha a stabil egyensúlyi ponttól való bármilyen eltérés esetén az ε tartományban marad. Vegyük észre, hogy az ε tartomány tetszőlegesen kicsire állítható a stabil egyensúlyi pont közelében, ezért a Szekt. A 2. ábrán a lineáris rendszerek stabilitásának definíciója érvényben marad, és egyenértékű az aszimptotikus stabilitás Ljapunov definíciójával. Ugyanakkor a lineáris rendszerekre korábban a valódi nemlineáris rendszerekre vonatkozó stabilitási kritériumokat „kicsiben” stabilitási kritériumként kell felfogni.

4. A nemlineáris rendszerekben a tranziens folyamatok minőségileg változnak. Például a függvény esetében f(∙) változó meredekségű 1. rendű nemlineáris rendszerben a tranziens folyamatot változó paraméterű exponenciális írja le T.

5. A nemlineáris rendszer diszkriminatív karakterisztikájának korlátozott apertúrája a követési hiba oka (a rendszer „kicsiben” stabil). Ebben az esetben jelet kell keresni, és a rendszert nyomkövető üzemmódba kell kapcsolni (a kereső- és nyomkövető mérő fogalmát az 1.1. pont tartalmazza). A periodikus diszkriminációs karakterisztikával rendelkező szinkronizációs rendszerekben a kimeneti érték ugrása lehetséges.

A nemlineáris rendszerek figyelembe vett jellemzőinek jelenléte azt eredményezi, hogy speciális módszereket kell alkalmazni az ilyen rendszerek elemzésére. A következőket veszik figyelembe:

Nemlineáris differenciálegyenlet megoldásán alapuló módszer, amely lehetővé teszi különösen a hiba állandósult állapotban történő meghatározását, valamint a nemlineáris PLL rendszer rögzítési és tartási sávjait;

Harmonikus és statisztikai linearizálási módszerek, amelyek alkalmasak jelentősen nemlineáris elemű rendszerek elemzésére;

Nemlineáris rendszerek elemzési és optimalizálási módszerei a Markov-folyamatok elméletének eredményei alapján.

7.2. Szabályos folyamatok elemzése nemlineáris PLL rendszerben

A nemlineáris rendszerek stabilitásának tanulmányozására általános módszer a direkt Ljapunov-módszer. Ljapunov nemlineáris rendszerek stabilitására vonatkozó tételén alapul. Kutatási apparátusként az ún. Ljapunov-függvényt használjuk, amely a rendszer koordinátáinak előjel-határozott függvénye, amelynek időbeli előjel-határozott deriváltja is van. Ennek a módszernek az alkalmazását a bonyolultsága korlátozza.

A nemlineáris rendszerek stabilitásának kiszámítására egyszerűbb módszer a V. M. Popov román tudós által kidolgozott módszer. Néhány speciális esetre azonban alkalmas.

A nemlineáris rendszer folyamatai darabonkénti lineáris közelítés alapján vizsgálhatók. Ebben az esetben az egyes kapcsolatok nemlineáris jellemzői több lineáris szakaszra vannak osztva, amelyeken belül a probléma lineárisnak bizonyul, és meglehetősen egyszerűen megoldható. A szakaszok határain a folyamat egyes darabjait egyetlen folyamatba kell „fűzni”. A módszer akkor használható, ha kicsi azon szakaszok száma, amelyekre a nemlineáris karakterisztikát felosztjuk. Ez a helyzet például a relé karakterisztika esetében (lásd 5.1. ábra). Nagy számú szakasz esetén a módszer túl nehézkesnek bizonyul. A számítógép használata azonban lehetővé teszi ennek a nehézségnek a leküzdését és a folyamatok sikeres kiszámítását nemlineáris rendszerekben bármilyen nemlineáris jellemzőre, és általában tetszőleges típusú nemlineáris függőségek jelenlétében.

A fázistér módszer elvileg lehetővé teszi olyan rendszerek tanulmányozását, amelyek tetszőleges típusú nemlinearitással, valamint több nemlinearitással rendelkeznek. Ebben az esetben a fázistérben egy ún. fázisportré készül a (nemlineáris rendszerben) lezajló folyamatokról A fázisportré megjelenésével meg lehet ítélni a stabilitást, az önmaga bekövetkezésének lehetőségét. oszcilláció, és a pontosság állandósult állapotban A fázistér dimenziója megegyezik a nemlineáris rendszer differenciálegyenletének nagyságával másodrendű differenciálegyenlet esetén a fázistér egy fázissík, és ez a módszer sikeresen alkalmazható.

A véletlenszerű folyamatok nemlineáris automatikus rendszerekben történő elemzéséhez használhatja a Markov véletlenszerű folyamatok elméletének matematikai apparátusát. Azonban a módszer összetettsége és a lehetőség

az elemzésben szükséges Fokker-Planck egyenlet megoldása csak első-, esetenként másodrendű egyenleteknél korlátozza a használatát.

A felsorolt ​​módszerek mindegyike pontos. Bonyolultságuk és korlátozott alkalmazásuk közelítő, de egyszerűbb módszerek kidolgozásához vezetett a nemlineáris rendszerek vizsgálatára. A közelítő módszerek sok esetben lehetővé teszik a nemlineáris rendszerek elemzésének átlátható és jól látható eredményeinek elérését.)

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete