Belépő szint

Aritmetikai progresszió. Részletes elmélet példákkal (2019)

Számsorozat

Szóval, üljünk le, és kezdjünk el néhány számot írni. Például:
Bármilyen számot írhatsz, és annyi lehet, amennyit akarsz (esetünkben ilyenek vannak). Akárhány számot írunk, mindig meg tudjuk mondani, hogy melyik az első, melyik a második, és így tovább az utolsóig, vagyis meg tudjuk őket számozni. Ez egy példa egy számsorozatra:

Számsorozat
Például a sorozatunkhoz:

A hozzárendelt szám csak egy számra vonatkozik a sorozatban. Más szóval, nincs három másodperces szám a sorozatban. A második szám (mint a th szám) mindig ugyanaz.
A számmal rendelkező számot a sorozat th tagjának nevezzük.

Általában a teljes sorozatot valamilyen betűvel hívjuk (például,), és ennek a sorozatnak minden tagja ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .

A mi esetünkben:

Tegyük fel, hogy van egy számsorozatunk, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő.
Például:

stb.
Ezt a számsorozatot aritmetikai sorozatnak nevezzük.
A „progresszió” kifejezést Boethius római szerző vezette be még a 6. században, és tágabb értelemben végtelen számsorozatként értelmezték. Az "aritmetika" elnevezést a folytonos arányok elméletéből vették át, amelyet az ókori görögök tanulmányoztak.

Ez egy számsorozat, amelynek minden tagja megegyezik az előzővel, amely ugyanahhoz a számhoz van hozzáadva. Ezt a számot aritmetikai progresszió különbségének nevezzük, és jelöljük.

Próbáld meg meghatározni, hogy mely számsorozatok aritmetikai sorozatok, és melyek nem:

a)
b)
c)
d)

Megvan? Hasonlítsuk össze a válaszainkat:
Is számtani progresszió - b, c.
Nem számtani progresszió - a, d.

Térjünk vissza az adott progresszióhoz () és próbáljuk meg megtalálni a th tag értékét. Létezik két megtalálásának módja.

1. Módszer

Addig adhatjuk a progressziószámot az előző értékhez, amíg el nem érjük a progresszió edik tagját. Még jó, hogy nincs sok összefoglalni valónk – csak három érték:

Tehát a leírt aritmetikai progresszió edik tagja egyenlő.

2. Módszer

Mi van, ha meg kell találnunk a progresszió th tagjának értékét? Az összegzés több mint egy órát venne igénybe, és nem tény, hogy nem hibáznánk a számok összeadásakor.
Természetesen a matematikusok kitalálták azt a módot, hogy nem szükséges egy számtani sorozat különbségét hozzáadni az előző értékhez. Nézze meg közelebbről a megrajzolt képet... Bizonyára Ön is észrevett már egy bizonyos mintát, mégpedig:

Például nézzük meg, miből áll ennek az aritmetikai sorozatnak az értéke:


Más szóval:

Próbáld meg magad is így megtalálni egy adott számtani sorozat tagjának értékét.

Kiszámoltad? Hasonlítsa össze a jegyzeteit a válasszal:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy pontosan ugyanazt a számot kapta, mint az előző módszernél, amikor az aritmetikai progresszió tagjait szekvenciálisan hozzáadtuk az előző értékhez.
Próbáljuk meg „személyteleníteni” ezt a képletet – fogalmazzuk meg általános formában, és kapjuk meg:

Az aritmetikai progressziók növekedhetnek vagy csökkenhetnek.

Növekvő- olyan progressziók, amelyekben a kifejezések minden következő értéke nagyobb, mint az előző.
Például:

Csökkenő- olyan progressziók, amelyekben a kifejezések minden további értéke kisebb, mint az előző.
Például:

A származtatott képletet egy aritmetikai sorozat növekvő és csökkenő tagjának számításakor használják.
Vizsgáljuk meg ezt a gyakorlatban.
Adunk egy aritmetikai sorozatot, amely a következő számokból áll: Nézzük meg, mi lesz ennek az aritmetikai sorozatnak a száma, ha a képletünket használjuk a kiszámításához:

Azóta:

Így meg vagyunk győződve arról, hogy a képlet csökkenő és növekvő aritmetikai progresszióban is működik.
Próbálja meg saját maga megtalálni ennek az aritmetikai sorozatnak a th és th tagját.

Hasonlítsuk össze az eredményeket:

Aritmetikai progresszió tulajdonsága

Bonyolítsuk a problémát – levezetjük az aritmetikai progresszió tulajdonságát.
Tegyük fel, hogy a következő feltételt kapjuk:
- aritmetikai progresszió, keresse meg az értéket.
Könnyű, mondja, és elkezd számolni a már ismert képlet szerint:

Na akkor hadd:

Teljesen igaz. Kiderült, hogy először megtaláljuk, majd hozzáadjuk az első számhoz, és megkapjuk, amit keresünk. Ha a progressziót kis értékek képviselik, akkor nincs benne semmi bonyolult, de mi van, ha a feltételben számokat adunk? Egyetértek, előfordulhat, hogy tévednek a számításokban.
Most gondoljon arra, hogy meg lehet-e oldani ezt a problémát egy lépésben bármilyen képlet segítségével? Természetesen igen, és ezt igyekszünk most kihozni.

Jelöljük az aritmetikai progresszió szükséges tagját úgy, hogy a megtalálásának képlete ismert – ez ugyanaz a képlet, amelyet az elején levezettünk:
, Akkor:

• a progresszió előző tagja:
• a progresszió következő tagja:

Foglaljuk össze a progresszió előző és későbbi feltételeit:

Kiderül, hogy a progresszió előző és következő tagjának összege a közöttük elhelyezkedő progressziótag dupla értéke. Más szavakkal, egy ismert előző és egymást követő értékekkel rendelkező progressziós tag értékének meghatározásához össze kell adni őket, és el kell osztani velük.

Így van, ugyanaz a számunk. Biztosítsuk az anyagot. Számolja ki maga a továbblépés értékét, ez egyáltalán nem nehéz.

Gratulálok! Szinte mindent tudsz a fejlődésről! Már csak egy képletet kell kideríteni, amelyet a legenda szerint minden idők egyik legnagyobb matematikusa, a „matematikusok királya” - Karl Gauss - könnyen levezetett magának...

Amikor Carl Gauss 9 éves volt, egy tanár, aki azzal volt elfoglalva, hogy ellenőrizze a diákok munkáját más osztályokban, a következő feladatot tette fel az órán: „Számítsa ki az összes természetes szám összegét től-ig (más források szerint) inkluzívan.” Képzeljük el a tanár meglepetését, amikor az egyik tanítványa (ez Karl Gauss volt) egy perccel később helyes választ adta a feladatra, miközben a vakmerő osztálytársa hosszas számolás után rossz eredményt kapott...

A fiatal Carl Gauss észrevett egy bizonyos mintát, amelyet Ön is könnyen észrevehet.
Tegyük fel, hogy van egy aritmetikai sorozatunk, amely -edik tagokból áll: Meg kell találnunk a számtani folyamat ezen tagjainak összegét. Természetesen manuálisan is összegezhetjük az összes értéket, de mi van akkor, ha a feladathoz meg kell találni a tagok összegét, ahogyan azt Gauss kereste?

Ábrázoljuk a nekünk adott fejlődést. Nézze meg alaposan a kiemelt számokat, és próbáljon meg különféle matematikai műveleteket végrehajtani velük.


Próbáltad már? mit vettél észre? Jobbra! Összegük egyenlő

Most mondd meg, hány ilyen pár van összesen a nekünk adott progresszióban? Természetesen az összes számnak pontosan a fele.
Abból a tényből kiindulva, hogy egy aritmetikai sorozat két tagjának összege egyenlő, és a hasonló párok egyenlőek, azt kapjuk, hogy a teljes összeg egyenlő:
.
Így bármely aritmetikai progresszió első tagjának összegének képlete a következő lesz:

Egyes feladatokban nem ismerjük a th tagot, de ismerjük a progresszió különbségét. Próbálja meg behelyettesíteni a th tag képletét az összegképletbe.
mit kaptál?

Gratulálok! Most térjünk vissza a Carl Gaussnak feltett feladathoz: számolja ki magának, hogy a th-től kezdődő számok összege hányados, és mennyivel egyenlő a th-től kezdődő számok összege!

mennyit kaptál?
Gauss megállapította, hogy a tagok összege egyenlő, és a tagok összege egyenlő. Így döntöttél?

Valójában az ókori görög tudós, Diophantus bizonyította be az aritmetikai haladás összegének képletét a 3. században, és ez idő alatt a szellemes emberek teljes mértékben kihasználták a számtani progresszió tulajdonságait.
Képzeljük el például az ókori Egyiptomot és az akkori legnagyobb építkezést - egy piramis építését... A képen az egyik oldala látható.

Hol van itt a fejlődés, azt mondod? Nézd meg alaposan, és keress mintát a homoktömbök számában a piramisfal minden sorában.


Miért nem egy aritmetikai sorozat? Számítsa ki, hány tömbre van szükség egy fal építéséhez, ha téglákat helyeznek el az alján. Remélem, nem fog számolni, miközben az ujját a monitoron mozgatja, emlékszik az utolsó képletre és mindarra, amit az aritmetikai progresszióról mondtunk?

Ebben az esetben a progresszió így néz ki: .
Aritmetikai progresszió különbség.
Egy aritmetikai sorozat tagjainak száma.
Helyettesítsük be adatainkat az utolsó képletekbe (2 módon számítsuk ki a blokkok számát).

1. módszer.

2. módszer.

És most már számolhat a monitoron: hasonlítsa össze a kapott értékeket a piramisunkban lévő blokkok számával. Megvan? Jól tetted, elsajátítottad egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának összegét.
Természetesen nem lehet piramist építeni az alján lévő kockákból, de? Próbálja kiszámolni, hány homoktégla szükséges egy ilyen feltétellel rendelkező fal építéséhez.
Sikerült?
A helyes válasz a blokkok:

Edzés

Feladatok:

1. Masha formába lendül a nyárra. Minden nap növeli a guggolások számát. Hányszor fog Mása guggolni egy héten, ha az első edzésen guggolt?
2. Mennyi a benne lévő páratlan számok összege.
3. A naplók tárolása során a naplózók úgy rakják egymásra azokat, hogy minden felső réteg eggyel kevesebbet tartalmazzon, mint az előző. Hány rönk van egy falazatban, ha a falazat alapja rönk?

Válaszok:

1. Határozzuk meg az aritmetikai progresszió paramétereit. Ebben az esetben
   (hetek = napok).

   Válasz: Két hét múlva Masha naponta egyszer guggolást kell végeznie.

2. Első páratlan szám, utolsó szám.
   Aritmetikai progresszió különbség.
   A páratlan számok száma a fele, de ellenőrizzük ezt a tényt a számtani sorozat tizedik tagjának meghatározására szolgáló képlettel:

   A számok páratlan számokat tartalmaznak.
   Helyettesítsük be a rendelkezésre álló adatokat a képletbe:

   Válasz: A benne foglalt páratlan számok összege egyenlő.

3. Emlékezzünk a piramisokkal kapcsolatos problémára. A mi esetünkben a , mivel minden felső réteg egy rönkvel lecsökken, akkor összesen egy csomó réteg van, azaz.
   Helyettesítsük be az adatokat a képletbe:

   Válasz: A falazatban rönkök vannak.

Foglaljuk össze

1. - olyan számsorozat, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő. Lehet növekvő vagy csökkenő.
2. Képlet keresése Egy aritmetikai sorozat edik tagját a - képlettel írjuk fel, ahol a számok száma a sorozatban.
3. Egy aritmetikai sorozat tagjainak tulajdonsága- - hol a folyamatban lévő számok száma.
4. Egy aritmetikai sorozat tagjainak összege kétféleképpen lehet megtalálni:
   
   , ahol az értékek száma.

ARITMETIKAI PROGRESSZIÓ. KÖZÉPSZINT

Számsorozat

Üljünk le és kezdjünk el néhány számot írni. Például:

Bármilyen számot írhat, és annyi lehet, amennyit csak akar. De mindig meg tudjuk mondani, hogy melyik az első, melyik a második, és így tovább, vagyis meg tudjuk számozni őket. Ez egy példa egy számsorozatra.

Számsorozat számok halmaza, amelyek mindegyikéhez egyedi szám rendelhető.

Más szóval, minden szám társítható egy bizonyos természetes számhoz, és egy egyedihez. És ezt a számot nem fogjuk hozzárendelni egyetlen másik számhoz sem ebből a készletből.

A számot tartalmazó számot a sorozat th tagjának nevezzük.

Általában a teljes sorozatot valamilyen betűvel hívjuk (például,), és ennek a sorozatnak minden tagja ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .

Nagyon kényelmes, ha a sorozat edik tagja valamilyen képlettel megadható. Például a képlet

beállítja a sorrendet:

A képlet pedig a következő sorrend:

Például egy aritmetikai sorozat egy sorozat (az első tag egyenlő, a különbség pedig egyenlő). Vagy (, különbség).

Formula n-edik tag

Ismétlődő képletnek nevezünk, amelyben a th tag megismeréséhez ismerni kell az előzőt vagy több korábbit:

Ahhoz, hogy ezzel a képlettel megtaláljuk például a progresszió edik tagját, ki kell számítanunk az előző kilencet. Például hagyd. Majd:

Nos, most már világos, hogy mi a képlet?

Minden sorban hozzáadjuk, megszorozzuk valamilyen számmal. Melyik? Nagyon egyszerű: ez az aktuális tag száma mínusz:

Most sokkal kényelmesebb, igaz? Ellenőrizzük:

Döntsd el magad:

A számtani sorozatban keresse meg az n-edik tag képletét és keresse meg a századik tagot.

Megoldás:

Az első tag egyenlő. mi a különbség? Íme:

(Ezért nevezik különbségnek, mert egyenlő a progresszió egymást követő tagjainak különbségével).

Tehát a képlet:

Ekkor a századik tag egyenlő:

Mennyi az összes természetes szám összege től ig?

A legenda szerint a nagy matematikus, Carl Gauss, 9 éves fiúként néhány perc alatt kiszámolta ezt az összeget. Észrevette, hogy az első és az utolsó szám összege egyenlő, a második és az utolsó előtti szám összege megegyezik, a harmadik és a 3. szám összege a végétől azonos, és így tovább. Hány ilyen pár van összesen? Ez így van, pontosan fele az összes szám számának, vagyis. Így,

Az általános képlet bármely aritmetikai progresszió első tagjának összegére a következő lesz:

Példa:
Keresse meg az összes kétjegyű többszörös összegét!

Megoldás:

Az első ilyen szám ez. Minden további számot az előző számhoz hozzáadva kapunk. Így az általunk érdekelt számok egy aritmetikai sorozatot alkotnak az első taggal és a különbséggel.

Ennek a haladásnak a képlete:

Hány tag van a folyamatban, ha mindegyiknek kétjegyűnek kell lennie?

Nagyon egyszerű: .

A progresszió utolsó tagja egyenlő lesz. Akkor az összeg:

Válasz: .

Most döntsd el magad:

1. A sportoló minden nap több métert fut, mint előző nap. Összesen hány kilométert fut le egy hét alatt, ha km m-t futott az első napon?
2. Egy kerékpáros minden nap több kilométert tesz meg, mint előző nap. Az első napon km-t utazott. Hány napot kell utaznia egy kilométer megtételéhez? Hány kilométert fog megtenni utazása utolsó napján?
3. A hűtőszekrény ára a boltban minden évben ugyanennyivel csökken. Határozza meg, mennyivel csökkent évente egy hűtőszekrény ára, ha rubelért kínálták fel, hat évvel később pedig rubelért adták el.

Válaszok:

1. Itt a legfontosabb az aritmetikai progresszió felismerése és paramétereinek meghatározása. Ebben az esetben (hetek = napok). Meg kell határoznia ennek a haladásnak az első tagjainak összegét:
   .
   Válasz:
2. Itt van megadva: , meg kell találni.
   Nyilvánvalóan ugyanazt az összegképletet kell használnia, mint az előző feladatban:
   .
   Cserélje be az értékeket:

   A gyökér nyilván nem illik, szóval a válasz.
   Számítsuk ki az elmúlt nap során megtett utat a th tag képletével:
   (km).
   Válasz:

3. Adott: . Keresés: .
   Nem is lehetne egyszerűbb:
   (dörzsölje).
   Válasz:

SZÁMÍTÁSI PROGRESSZIÓ. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Ez egy olyan számsorozat, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő.

Az aritmetikai progresszió lehet növekvő () és csökkenő ().

Például:

Képlet egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának megtalálására

a képlet írja le, ahol a folyamatban lévő számok száma.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak tulajdonsága

Lehetővé teszi, hogy könnyen megtalálja egy progresszió tagját, ha ismertek a szomszédos tagok - hol van a progresszióban lévő számok száma.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak összege

Kétféleképpen találhatja meg az összeget:

Hol van az értékek száma.

Hol van az értékek száma.

Sokan hallottak már az aritmetikai progresszióról, de nem mindenkinek van jó elképzelése arról, hogy mi az. Ebben a cikkben megadjuk a megfelelő definíciót, és megvizsgáljuk azt a kérdést is, hogyan lehet megtalálni az aritmetikai progresszió különbségét, és számos példát adunk.

Matematikai meghatározás

Tehát, ha aritmetikai vagy algebrai progresszióról beszélünk (ezek a fogalmak ugyanazt definiálják), akkor ez azt jelenti, hogy van egy bizonyos számsor, amely eleget tesz a következő törvénynek: a sorozatban minden két szomszédos szám azonos értékkel tér el. Matematikailag így van leírva:

Itt n az a n elem számát jelenti a sorozatban, a d pedig a progresszió különbségét (a neve a bemutatott képletből következik).

Mit jelent a d különbség ismerete? Arról, hogy a szomszédos számok milyen „távol” vannak egymástól. A d ismerete azonban szükséges, de nem elégséges feltétele a teljes progresszió meghatározásának (helyreállításának). Tudnia kell még egy számot, amely a vizsgált sorozat bármely eleme lehet, például egy 4, a10, de általában az első számot, azaz 1-et használják.

A progressziós elemek meghatározására szolgáló képletek

Általánosságban elmondható, hogy a fenti információk már elegendőek a konkrét problémák megoldásához. Mindazonáltal, mielőtt megadnánk a számtani progressziót, és meg kellene találni a különbségét, bemutatunk néhány hasznos képletet, megkönnyítve ezzel a későbbi feladatmegoldási folyamatot.

Könnyen kimutatható, hogy az n számú sorozat bármely eleme megtalálható a következőképpen:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Valójában ezt a képletet bárki ellenőrizheti egyszerű kereséssel: ha n = 1-et helyettesítünk, akkor az első elemet kapjuk, ha n = 2-t, akkor a kifejezés megadja az első szám és a különbség összegét, és így tovább.

Sok feladat feltétele úgy van összeállítva, hogy adott számpár adott, amelynek számai is adottak a sorozatban, a teljes számsort rekonstruálni kell (meg kell keresni a különbséget és az első elemet). Most általános formában megoldjuk ezt a problémát.

Tehát legyen adott két n és m számú elem. A fent kapott képlet segítségével két egyenletrendszert hozhat létre:

a n = a 1 + (n-1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Az ismeretlen mennyiségek megtalálásához egy jól ismert egyszerű technikát használunk egy ilyen rendszer megoldására: páronként vonjuk ki a bal és a jobb oldalt, az egyenlőség érvényben marad. Nálunk:

a n = a 1 + (n-1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Így kizártunk egy ismeretlent (a 1). Most felírhatjuk a végső kifejezést d meghatározásához:

d = (a n - a m) / (n - m), ahol n > m

Nagyon egyszerű képletet kaptunk: ahhoz, hogy a d különbséget a feladat feltételeinek megfelelően számítsuk ki, csak maguknak az elemeknek és azok sorszámának különbségeinek arányát kell felvenni. Egy fontos pontra érdemes figyelni: a különbségeket a „senior” és „junior” tagok között vesszük, azaz n > m („senior” azt jelenti, hogy távolabb áll a sorozat elejétől, abszolút értéke lehet kisebb-nagyobb "junior" elem).

A d különbség progressziójának kifejezését be kell cserélni bármelyik egyenletbe a probléma megoldásának elején, hogy megkapjuk az első tag értékét.

A számítástechnika fejlődésének korszakában sok iskolás az interneten próbál megoldást találni a feladataira, ezért gyakran felmerülnek az ilyen típusú kérdések: találja meg az aritmetikai sorozat különbségét az interneten. Egy ilyen kérésre a kereső számos weboldalt ad vissza, amelyekre belépve meg kell adnia a feltételből ismert adatokat (ez lehet a progresszió két tagja vagy ezek egy bizonyos számának összege ), és azonnal megkapja a választ. Mindazonáltal a probléma megoldásának ez a megközelítése terméketlen a tanuló fejlődése és a rábízott feladat lényegének megértése szempontjából.

Megoldás képletek használata nélkül

Oldjuk meg az első feladatot a megadott képletek használata nélkül. Legyenek adottak a sorozat elemei: a6 = 3, a9 = 18. Határozzuk meg a számtani progresszió különbségét!

Az ismert elemek sorban egymás mellett állnak. Hányszor kell hozzáadni a d különbséget a legkisebbhez, hogy a legnagyobb legyen? Háromszor (első alkalommal d hozzáadásával a 7. elemet kapjuk, a második alkalommal a nyolcadik, végül a harmadik alkalommal a kilencedik elemet). Milyen számot kell háromszor hozzáadni háromhoz, hogy 18 legyen? Ez az ötös szám. Igazán:

Így az ismeretlen különbség d = 5.

Természetesen a megoldást a megfelelő képlettel is meg lehetett volna valósítani, de ez nem szándékosan történt. A probléma megoldásának részletes magyarázata világos és világos példája kell legyen annak, hogy mi is az aritmetikai progresszió.

Az előzőhöz hasonló feladat

Most oldjunk meg egy hasonló problémát, de változtassuk meg a bemeneti adatokat. Tehát meg kell találnia, ha a3 = 2, a9 = 19.

Természetesen ismét folyamodhat a „fejes” megoldási módszerhez. De mivel a sorozat elemei adottak, amelyek viszonylag távol vannak egymástól, ez a módszer nem lesz teljesen kényelmes. De a kapott képlet használata gyorsan elvezet minket a válaszhoz:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Itt kerekítettük a végső számot. Az eredmény ellenőrzésével megítélhető, hogy ez a kerekítés mennyiben vezetett hibához:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Ez az eredmény mindössze 0,1%-kal tér el a feltételben megadott értéktől. Ezért a százasra alkalmazott kerekítés sikeres választásnak tekinthető.

Problémák az an kifejezés képletének alkalmazásával

Tekintsünk egy klasszikus példát az ismeretlen d meghatározására szolgáló feladatra: keressük meg egy aritmetikai sorozat különbségét, ha a1 = 12, a5 = 40.

Ha egy ismeretlen algebrai sorozat két számot adunk meg, és az egyik az a 1 elem, akkor nem kell sokáig gondolkodni, hanem azonnal alkalmazni kell az a n tag képletét. Ebben az esetben a következőkkel rendelkezünk:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Pontos számot kaptunk osztáskor, így nincs értelme a kiszámított eredmény pontosságát ellenőrizni, ahogy az előző bekezdésben történt.

Oldjunk meg egy másik hasonló feladatot: meg kell találnunk egy aritmetikai sorozat különbségét, ha a1 = 16, a8 = 37.

Az előzőhöz hasonló megközelítést alkalmazunk, és megkapjuk:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Mit kell még tudni az aritmetikai progresszióról?

Az ismeretlen különbség vagy egyes elemek megtalálásának problémái mellett gyakran meg kell oldani a sorozat első tagjainak összegével kapcsolatos problémákat is. Ezeknek a problémáknak a vizsgálata túlmutat a cikk keretein, azonban az információk teljessége érdekében bemutatunk egy általános képletet egy sorozat n számának összegére:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Az algebra középiskolai tanulmányozása során (9. osztály) az egyik fontos téma a numerikus sorozatok tanulmányozása, amelyek magukban foglalják a progressziót - geometriát és aritmetikát. Ebben a cikkben egy aritmetikai progressziót és megoldási példákat tekintünk meg.

Mi az aritmetikai progresszió?

Ennek megértéséhez meg kell határozni a szóban forgó progressziót, valamint meg kell adni azokat az alapképleteket, amelyeket a későbbiekben a problémák megoldása során használni fogunk.

Az aritmetika vagy olyan rendezett racionális számok halmaza, amelyek minden tagja valamilyen állandó értékkel különbözik az előzőtől. Ezt az értéket különbségnek nevezzük. Vagyis egy rendezett számsor bármely tagjának és a különbségnek a ismeretében visszaállíthatja a teljes aritmetikai sorozatot.

Mondjunk egy példát. A következő számsorozat egy aritmetikai sorozat lesz: 4, 8, 12, 16, ..., mivel a különbség ebben az esetben 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). De a 3, 5, 8, 12, 17 számok halmaza már nem tulajdonítható a vizsgált progresszió típusának, mivel a különbség nem állandó érték (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Fontos képletek

Most mutassuk be azokat az alapvető képleteket, amelyekre szükség lesz a feladatok számtani progresszióval történő megoldásához. Jelöljük a n szimbólummal a sorozat n-edik tagját, ahol n egész szám. A különbséget a latin d betűvel jelöljük. Ekkor a következő kifejezések érvényesek:

1. Az n-edik tag értékének meghatározására a következő képlet alkalmas: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Az első n tag összegének meghatározásához: S n = (a n +a 1)*n/2.

Ahhoz, hogy megértsük a 9. osztályban a megoldásokkal végzett aritmetikai haladás példáit, elég megjegyezni ezt a két képletet, mivel a szóban forgó típusú problémák ezek használatán alapulnak. Ne feledje azt is, hogy a progresszió különbségét a következő képlet határozza meg: d = a n - a n-1.

1. példa: ismeretlen tag keresése

Adjunk egy egyszerű példát egy aritmetikai sorozatra és a megoldáshoz szükséges képletekre.

Legyen adott a 10, 8, 6, 4, ... sorozat, öt tagot kell találni benne.

A feladat feltételeiből már az is következik, hogy az első 4 tag ismert. Az ötödik kétféleképpen határozható meg:

1. Először számoljuk ki a különbséget. Van: d = 8 - 10 = -2. Hasonlóképpen, elvihet bármely két másik tagot egymás mellett. Például d = 4 - 6 = -2. Mivel ismert, hogy d = a n - a n-1, akkor d = a 5 - a 4, amiből kapjuk: a 5 = a 4 + d. Az ismert értékeket behelyettesítjük: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. A második módszer a kérdéses progresszió különbségének ismeretét is megköveteli, ezért először meg kell határozni a fentiek szerint (d = -2). Tudva, hogy az első tag a 1 = 10, a sorozat n számának képletét használjuk. Van: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Az utolsó kifejezésbe n = 5-öt behelyettesítve a következőt kapjuk: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Mint látható, mindkét megoldás ugyanarra az eredményre vezetett. Vegye figyelembe, hogy ebben a példában a d progressziókülönbség negatív érték. Az ilyen sorozatokat csökkenőnek nevezzük, mivel minden következő tag kisebb, mint az előző.

2. példa: progresszió különbség

Most bonyolítsuk egy kicsit a problémát, mondjunk példát arra, hogyan találjuk meg egy aritmetikai sorozat különbségét.

Ismeretes, hogy bizonyos algebrai progresszióban az 1. tag egyenlő 6-tal, a 7. tag pedig 18-cal. Meg kell találni a különbséget, és vissza kell állítani ezt a sorozatot a 7. tagra.

Használjuk a képletet az ismeretlen tag meghatározásához: a n = (n - 1) * d + a 1 . Helyettesítsük be a feltételből ismert adatokat, vagyis az a 1 és a 7 számokat, így kapjuk: 18 = 6 + 6 * d. Ebből a kifejezésből könnyen kiszámítható a különbség: d = (18 - 6) /6 = 2. Így a feladat első részét megválaszoltuk.

A sorozat 7. tagjára való visszaállításához az algebrai progresszió definícióját kell használni, azaz a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d és így tovább. Ennek eredményeként a teljes sorozatot visszaállítjuk: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

3. példa: progresszió készítése

Bonyolítsuk még jobban a problémát. Most azt a kérdést kell megválaszolnunk, hogyan találhatunk számtani sorozatot. A következő példa megadható: két szám van megadva, például - 4 és 5. Létre kell hozni egy algebrai progressziót úgy, hogy ezek közé még három tag kerüljön.

Mielőtt elkezdené megoldani ezt a problémát, meg kell értenie, hogy az adott számok milyen helyet foglalnak el a jövőbeni fejlődésben. Mivel még három tag lesz közöttük, akkor a 1 = -4 és egy 5 = 5. Ennek megállapítása után áttérünk az előzőhöz hasonló feladatra. Az n-edik tagra ismét a képletet használjuk, így kapjuk: a 5 = a 1 + 4 * d. Innen: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Amit itt kaptunk, az nem a különbség egész értéke, hanem egy racionális szám, így az algebrai haladás képlete változatlan marad.

Most adjuk hozzá a talált különbséget 1-hez, és állítsuk vissza a progresszió hiányzó tagjait. A következőt kapjuk: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, amelyek egybeesnek a probléma körülményeivel.

4. példa: a progresszió első tagja

Adjunk továbbra is példákat a megoldásokkal való aritmetikai progresszióra. Minden korábbi feladatban ismert volt az algebrai progresszió első száma. Most nézzünk meg egy más típusú problémát: legyen két szám, ahol egy 15 = 50 és egy 43 = 37. Meg kell találni, hogy melyik számmal kezdődik ez a sorozat.

Az eddig használt képletek egy 1 és d ismeretét feltételezik. A problémafelvetésben ezekről a számokról nem tudunk semmit. Mindazonáltal minden olyan kifejezéshez felírunk kifejezéseket, amelyekről információ áll rendelkezésre: a 15 = a 1 + 14 * d és a 43 = a 1 + 42 * d. Két egyenletet kaptunk, amelyben 2 ismeretlen mennyiség van (a 1 és d). Ez azt jelenti, hogy a feladat egy lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik.

A rendszer legegyszerűbb megoldása, ha minden egyenletben 1-et fejezünk ki, majd az eredményül kapott kifejezéseket összehasonlítjuk. Első egyenlet: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; második egyenlet: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ezeket a kifejezéseket egyenlővé téve a következőt kapjuk: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, innen a különbség d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (csak 3 tizedesjegy van megadva).

A d ismeretében a fenti 2 kifejezés bármelyikét használhatja 1-hez. Például először: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ha kétségei vannak a kapott eredménnyel kapcsolatban, ellenőrizheti, például meghatározhatja a progresszió 43. tagját, amely a feltételben van megadva. A következőt kapjuk: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Az apró hiba abból adódik, hogy a számításoknál ezredrészekre kerekítést alkalmaztak.

5. számú példa: összeg

Most nézzünk meg néhány példát egy aritmetikai sorozat összegének megoldásával.

Legyen a következő alakú numerikus progresszió: 1, 2, 3, 4, ...,. Hogyan lehet kiszámítani ezeknek a számoknak a 100 összegét?

A számítástechnika fejlődésének köszönhetően meg lehet oldani ezt a problémát, vagyis az összes számot egymás után hozzáadni, amit a számítógép azonnal megtesz, amint valaki megnyomja az Enter billentyűt. A probléma azonban mentálisan megoldható, ha odafigyelünk arra, hogy a bemutatott számsor egy algebrai progresszió, és a különbsége egyenlő 1-gyel. Az összeg képletét alkalmazva a következőt kapjuk: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Érdekes megjegyezni, hogy ezt a problémát „gaussi”-nak nevezik, mert a 18. század elején a még csak 10 éves híres német fejében néhány másodperc alatt meg tudta oldani. A fiú nem ismerte az algebrai haladás összegének képletét, de észrevette, hogy ha páronként összeadja a sorozat végén lévő számokat, mindig ugyanazt az eredményt kapja, azaz 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., és mivel ezek az összegek pontosan 50 (100 / 2) lesznek, akkor a helyes válaszhoz elegendő 50-et megszorozni 101-gyel.

6. példa: tagok összege n-től m-ig

A számtani progresszió összegének egy másik tipikus példája a következő: adott egy számsor: 3, 7, 11, 15, ..., meg kell találni, hogy mekkora lesz a 8-tól 14-ig terjedő tagok összege .

A probléma kétféleképpen oldható meg. Az első közülük 8-tól 14-ig ismeretlen kifejezéseket keres, majd egymás után összegzi őket. Mivel kevés a kifejezés, ez a módszer nem elég munkaigényes. Ennek ellenére azt javasolják, hogy ezt a problémát egy második módszerrel oldják meg, amely univerzálisabb.

Az ötlet az, hogy egy képletet kapjunk az m és n tagok közötti algebrai haladás összegére, ahol n > m egész számok. Mindkét esetben két kifejezést írunk az összegre:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Mivel n > m, nyilvánvaló, hogy a 2. összeg tartalmazza az elsőt. Az utolsó következtetés azt jelenti, hogy ha felvesszük ezen összegek különbségét, és hozzáadjuk az a m tagot (különbözet ​​felvétele esetén levonjuk az S n összegből), akkor megkapjuk a feladatra a szükséges választ. Van: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Ebbe a kifejezésbe n és m képleteket kell behelyettesíteni. Ekkor a következőt kapjuk: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

A kapott képlet kissé körülményes, azonban az S mn összeg csak n, m, a 1 és d függvénye. Esetünkben a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ezeket a számokat behelyettesítve a következőt kapjuk: S mn = 301.

Amint a fenti megoldásokból látható, minden probléma az n-edik tag kifejezésének és az első tagok összegének képletének ismeretén alapul. Mielőtt elkezdené megoldani ezeket a problémákat, javasoljuk, hogy figyelmesen olvassa el a feltételt, értse meg egyértelműen, mit kell találnia, és csak ezután folytassa a megoldást.

Egy másik tipp, hogy törekedjünk az egyszerűségre, vagyis ha bonyolult matematikai számítások használata nélkül tud válaszolni egy kérdésre, akkor ezt meg kell tennie, hiszen ebben az esetben kisebb a tévedés valószínűsége. Például a 6-os megoldású aritmetikai sorozat példájában megállhatunk az S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m képletnél, és ossza fel az átfogó problémát külön részfeladatokra (ebben az esetben először keresse meg az a n és a m kifejezéseket).

Ha kétségei vannak a kapott eredménnyel kapcsolatban, javasoljuk, hogy ellenőrizze azt, ahogyan az egyes példákban is megtörtént. Megtudtuk, hogyan találhatunk számtani sorozatot. Ha rájössz, nem is olyan nehéz.

Utasítás

Az aritmetikai sorozat az a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d formájú sorozat. d számú lépés progresszió.Nyilvánvaló, hogy az aritmetika tetszőleges n-edik tagjának általános progresszió alakja: An = A1+(n-1)d. Aztán ismerve az egyik tagot progresszió, tag progresszióés lépj progresszió, lehet, vagyis a haladó tag száma. Nyilvánvalóan az n = (An-A1+d)/d képlet határozza meg.

Legyen most ismert az m-edik tag progresszióés egy másik tagja progresszió- n-edik, de n , mint az előző esetben, de ismert, hogy n és m nem esik egybe progresszió képlet segítségével számítható ki: d = (An-Am)/(n-m). Ekkor n = (An-Am+md)/d.

Ha egy számtani egyenlet több elemének összege ismert progresszió, valamint annak első és utolsó, akkor ezeknek az elemeknek a száma is meghatározható Az aritmetika összege progresszió egyenlő lesz: S = ((A1+An)/2)n. Ekkor n = 2S/(A1+An) - chdenov progresszió. Felhasználva azt a tényt, hogy An = A1+(n-1)d, ez a képlet átírható így: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Ebből másodfokú egyenlet megoldásával fejezhetjük ki n-t.

A számtani sorozat olyan rendezett számhalmaz, amelynek minden tagja az első kivételével ugyanannyival különbözik az előzőtől. Ezt az állandó értéket a progresszió vagy lépése különbségének nevezzük, és a számtani progresszió ismert tagjaiból számítható ki.

Utasítás

Ha az első és a második vagy bármely más szomszédos tag pár értéke ismert a feladat feltételeiből, a különbség kiszámításához (d) egyszerűen vonja ki az előzőt a következő tagból. A kapott érték lehet pozitív vagy negatív szám – ez attól függ, hogy a progresszió növekszik-e. Általános formában írja fel a folyamat egy tetszőleges párjának (aᵢ és aᵢ₊₁) megoldását a következőképpen: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Egy ilyen progressziójú tagpárhoz, amelyek közül az egyik az első (a1), a másik pedig bármely más tetszőlegesen választott, szintén létrehozható egy képlet a (d) különbség megállapítására. Ebben az esetben azonban ismerni kell a sorozat egy tetszőlegesen kiválasztott tagjának sorszámát (i). A különbség kiszámításához adjuk össze mindkét számot, és a kapott eredményt osszuk el egy tetszőleges tag eggyel csökkentett sorszámával. Általában a következőképpen írjuk ezt a képletet: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ha az i sorszámú aritmetikai sorozat tetszőleges tagja mellett egy másik u sorszámú tag is ismert, akkor ennek megfelelően változtassa meg az előző lépés képletét. Ebben az esetben a progresszió különbsége (d) ennek a két tagnak az összege lesz osztva a sorszámuk különbségével: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

A (d) különbség kiszámításának képlete némileg bonyolultabbá válik, ha a feladatfeltételek megadják annak első tagjának (a₁) értékét és az aritmetikai sorozat első tagjainak adott számának (i) összegét (Sᵢ). A kívánt érték eléréséhez osszuk el az összeget az azt alkotó tagok számával, vonjuk ki a sorozat első számának értékét, és duplázzuk meg az eredményt. A kapott értéket osszuk el az összeget alkotó tagok számával, eggyel csökkentve. Általában a következőképpen írjuk fel a diszkrimináns kiszámításának képletét: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Vannak, akik óvatosan kezelik a „progresszió” szót, mint egy nagyon összetett kifejezést a magasabb matematika ágaiból. Eközben a legegyszerűbb számtani progresszió a taxióra munkája (ahol még léteznek). És egy számtani sorozat lényegének megértése (és a matematikában nincs fontosabb, mint a „lényeg megszerzése”) nem is olyan nehéz, néhány elemi fogalom elemzése után.

Matematikai számsor

A numerikus sorozatot általában számsorozatnak nevezik, amelyek mindegyikének saját száma van.

a 1 a sorozat első tagja;

és 2 a sorozat második tagja;

a 7 a sorozat hetedik tagja;

és n a sorozat n-edik tagja;

Azonban nem bármilyen tetszőleges szám- és számhalmaz érdekel bennünket. Figyelmünket egy olyan numerikus sorozatra összpontosítjuk, amelyben az n-edik tag értéke matematikailag egyértelműen megfogalmazható összefüggéssel kapcsolódik a sorszámához. Más szóval: az n-edik szám számértéke n valamilyen függvénye.

a egy numerikus sorozat egy tagjának értéke;

n a sorozatszáma;

f(n) egy függvény, ahol az n numerikus sorozat sorszáma az argumentum.

Meghatározás

Az aritmetikai progressziót általában olyan numerikus sorozatnak nevezik, amelyben minden következő tag azonos számmal nagyobb (kisebb), mint az előző. Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete a következő:

a n - az aritmetikai sorozat aktuális tagjának értéke;

a n+1 - a következő szám képlete;

d - különbség (bizonyos szám).

Könnyen megállapítható, hogy ha a különbség pozitív (d>0), akkor a vizsgált sorozat minden következő tagja nagyobb lesz, mint az előző, és ez a számtani progresszió növekszik.

Az alábbi grafikonon jól látható, hogy miért nevezik a számsort „növekvőnek”.

Azokban az esetekben, amikor a különbség negatív (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Megadott tagérték

Néha meg kell határozni egy aritmetikai sorozat tetszőleges a n tagjának értékét. Ezt úgy lehet megtenni, hogy az aritmetikai progresszió összes tagjának értékét szekvenciálisan kiszámítjuk, az elsőtől a kívántig. Ez az út azonban nem mindig elfogadható, ha például meg kell találni az ötezredik vagy nyolcmilliomodik tag értékét. A hagyományos számítások sok időt vesznek igénybe. Egy adott aritmetikai progresszió azonban tanulmányozható bizonyos képletekkel. Van egy képlet az n-edik tagra is: egy aritmetikai sorozat bármely tagjának értéke meghatározható a progresszió első tagjának összegeként a progresszió különbségével, szorozva a kívánt tag számával, csökkentve egy.

A képlet univerzális a progresszió növelésére és csökkentésére.

Példa egy adott kifejezés értékének kiszámítására

Oldjuk meg a következő feladatot egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának értékének meghatározására.

Feltétel: van egy aritmetikai progresszió a következő paraméterekkel:

A sorozat első tagja 3;

A számsor különbsége 1,2.

Feladat: meg kell találni 214 kifejezés értékét

Megoldás: egy adott tag értékének meghatározásához a következő képletet használjuk:

a(n) = a1 + d(n-1)

A problémafelvetés adatait a kifejezésbe behelyettesítve a következőt kapjuk:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Válasz: A sorozat 214. tagja egyenlő 258,6-tal.

Ennek a számítási módszernek az előnyei nyilvánvalóak - a teljes megoldás legfeljebb 2 sort vesz igénybe.

Adott számú kifejezés összege

Nagyon gyakran egy adott számtani sorozatban meg kell határozni egyes szegmenseinek értékeinek összegét. Ehhez nincs szükség az egyes kifejezések értékeinek kiszámítására, majd összeadására. Ez a módszer akkor alkalmazható, ha kevés azon kifejezések száma, amelyek összegét meg kell találni. Más esetekben kényelmesebb a következő képlet használata.

Az 1-től n-ig terjedő aritmetikai sorozat tagjainak összege egyenlő az első és az n-edik tag összegével, megszorozva az n tag számával és elosztva kettővel. Ha a képletben az n-edik tag értékét a cikk előző bekezdésében szereplő kifejezéssel helyettesítjük, a következőt kapjuk:

Számítási példa

Például oldjunk meg egy problémát a következő feltételekkel:

A sorozat első tagja nulla;

A különbség 0,5.

A probléma megoldásához meg kell határozni az 56-tól 101-ig terjedő sorozat tagjainak összegét.

Megoldás. Használjuk a képletet a progresszió mértékének meghatározásához:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Először meghatározzuk a progresszió 101 tagjának értékeinek összegét úgy, hogy a feladatunk adott feltételeit behelyettesítjük a képletbe:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Nyilvánvalóan ahhoz, hogy megtudjuk az 56-tól a 101-ig terjedő haladás tagjainak összegét, ki kell vonni S 55-öt S 101-ből.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Így ennek a példának az aritmetikai progressziójának összege:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Példa az aritmetikai progresszió gyakorlati alkalmazására

A cikk végén térjünk vissza az első bekezdésben megadott számtani sorozat példájához - egy taxióra (taxi mérő). Tekintsük ezt a példát.

A taxiba való beszállás (amely 3 km-es utazást tartalmaz) 50 rubelbe kerül. Minden további kilométert 22 rubel/km áron kell fizetni. Az utazási távolság 30 km. Számolja ki az utazás költségét.

1. Dobjuk el az első 3 km-t, aminek az árát a leszállás költsége tartalmazza.

30 - 3 = 27 km.

2. A további számítás nem más, mint egy számtani számsor elemzése.

Tagszám - a megtett kilométerek száma (mínusz az első három).

A tag értéke az összeg.

Ebben a feladatban az első tag 1 = 50 rubel lesz.

Progressziós különbség d = 22 r.

a minket érdeklő szám a számtani progresszió (27+1) tagjának értéke - a mérőállás a 27. kilométer végén 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

A tetszőlegesen hosszú időszakra vonatkozó naptári adatok számításai bizonyos numerikus sorozatokat leíró képleteken alapulnak. A csillagászatban a pálya hossza geometriailag függ az égitest távolságától a csillagtól. Emellett a különböző számsorokat sikeresen alkalmazzák a statisztikában és a matematika egyéb alkalmazott területein.

A számsorok másik típusa a geometriai

A geometriai progressziót nagyobb változási sebesség jellemzi, mint az aritmetikai progresszió. Nem véletlen, hogy a politikában, a szociológiában, az orvostudományban egy adott jelenség, például egy járvány idején előforduló betegség nagy sebességű terjedésének kimutatására azt mondják, hogy a folyamat geometriai progresszióban fejlődik ki.

A geometriai számsor N-edik tagja abban különbözik az előzőtől, hogy megszorozzák valamilyen állandó számmal - a nevező például az első tag 1, a nevező ennek megfelelően egyenlő 2-vel, majd:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - a geometriai progresszió aktuális tagjának értéke;

b n+1 - a geometriai progresszió következő tagjának képlete;

q a geometriai progresszió nevezője (konstans szám).

Ha egy aritmetikai sorozat grafikonja egy egyenes, akkor a geometriai haladás kissé eltérő képet fest:

Akárcsak az aritmetika esetében, a geometriai progressziónak is van egy képlete egy tetszőleges tag értékére. Egy geometriai progresszió bármely n-edik tagja egyenlő az első tag és az n eggyel csökkentett hatványának nevezőjének szorzatával:

Példa. Van egy geometriai progressziónk, amelynek első tagja 3, a progresszió nevezője pedig 1,5. Keressük meg a progresszió 5. tagját

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Adott számú tag összegét is egy speciális képlet segítségével számítjuk ki. Egy geometriai sorozat első n tagjának összege egyenlő a haladás n-edik tagjának és nevezőjének szorzata, valamint a haladás első tagja közötti különbséggel, osztva az eggyel csökkentett nevezővel:

Ha b n-t a fentebb tárgyalt képlettel helyettesítjük, akkor a szóban forgó számsor első n tagjának összege a következőképpen alakul:

Példa. A geometriai haladás az 1-gyel egyenlő első taggal kezdődik. A nevezőt 3-ra állítjuk. Határozzuk meg az első nyolc tag összegét.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280