Trigonometriai képletek származtatása. VII csoport

Az érintő (tg x) és kotangens (ctg x) referenciaadatai. Geometriai definíció, tulajdonságok, grafikonok, képletek. Érintő- és kotangensek, deriváltak, integrálok, sorozatbővítések táblázata. Kifejezések összetett változókon keresztül. Kapcsolat hiperbolikus függvényekkel.

Geometriai meghatározás

|BD| - egy körív hossza, amelynek középpontja az A pontban van.
α a radiánban kifejezett szög.

Érintő ( tan α) egy trigonometrikus függvény, amely a derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szemközti szár hosszának arányával |BC| a szomszédos láb |AB| hosszához .

Kotangens ( ctg α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a szemközti láb hosszára |BC| .

Tangens

Ahol n- egész.

A nyugati irodalomban az érintőt a következőképpen jelölik:
.
;
;
.

Az érintőfüggvény grafikonja, y = tan x

Kotangens

Ahol n- egész.

A nyugati irodalomban a kotangenst a következőképpen jelölik:
.
A következő jelöléseket is elfogadjuk:
;
;
.

A kotangens függvény grafikonja, y = ctg x

Az érintő és a kotangens tulajdonságai

Periodikaság

Függvények y = tg xés y = ctg xπ periódusúak.

Paritás

Az érintő és a kotangens függvények páratlanok.

Meghatározási és értékterületek, növekvő, csökkenő

Az érintő és a kotangens függvények definíciós tartományukban folytonosak (lásd a folytonosság bizonyítását). Az érintő és a kotangens főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza ( n- egész).

Képletek

Szinuszos és koszinuszos kifejezések

; ;
; ;
;

Az érintő és a kotangens képlete összegből és különbségből

A többi képlet például könnyen beszerezhető

Érintők szorzata

Az érintők összegének és különbségének képlete

Ez a táblázat az érv bizonyos értékeinek érintők és kotangensek értékeit mutatja be.

Komplex számokat használó kifejezések

Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül

;
;

Származékok

; .

.
Az n-edrendű származéka a függvény x változójára vonatkozóan:
.
Levezetési képletek a > > > tangenshez ; kotangensre >>>

Integrálok

Sorozatbővítések

Ahhoz, hogy megkapjuk az érintő kiterjesztését x hatványaiban, a függvények hatványsorában több tagot kell felvenni a kiterjesztésre. bűn xÉs cos xés osztjuk el ezeket a polinomokat egymással, . Ez a következő képleteket állítja elő.

Nál nél .

nál nél .
Ahol Bn- Bernoulli számok. Meghatározásuk vagy az ismétlődési relációból történik:
;
;
Ahol .
Vagy Laplace képlete szerint:

Inverz függvények

Az érintő és a kotangens inverz függvénye az arctangens, illetve az arckotangens.

Arctangens, arctg

, Ahol n- egész.

Arccotangens, arcctg

, Ahol n- egész.

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.
G. Korn, Matematika kézikönyve tudósoknak és mérnököknek, 2012.

A „Get A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a matematika egységes államvizsga sikeres letételéhez szükséges 60-65 ponttal. Teljesen a Profil egységes államvizsga matematika 1-13. Matematika egységes államvizsga alapvizsga letételére is alkalmas. Ha 90-100 ponttal szeretnél letenni az egységes államvizsgát, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Egységes államvizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. évfolyam, valamint pedagógusok számára. Minden, ami az egységes államvizsga 1. részének matematikából (az első 12 feladat) és a 13. feladat (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az egységes államvizsgán, és ezek nélkül sem egy 100 pontos, sem egy bölcsész nem megy.

Minden szükséges elmélet. Az egységes államvizsga gyors megoldásai, buktatói és titkai. A FIPI Feladatbank 1. részének minden aktuális feladatát elemezték. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az Egységes Államvizsga 2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz egységes államvizsga-feladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető algoritmusok a problémák megoldására. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, az egységes államvizsga-feladatok minden típusának elemzése. Sztereometria. Trükkös megoldások, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből a feladatig 13. Megértés a zsúfoltság helyett. Komplex fogalmak világos magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Az egységes államvizsga 2. részében szereplő összetett problémák megoldásának alapja.

Ebben a cikkben átfogó pillantást vetünk rá. Az alapvető trigonometrikus azonosságok olyan egyenlőségek, amelyek kapcsolatot létesítenek egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között, és lehetővé teszik, hogy a trigonometrikus függvények bármelyikét megtaláljuk egy ismert másik szögön keresztül.

Azonnal soroljuk fel a fő trigonometrikus azonosságokat, amelyeket ebben a cikkben elemezünk. Jegyezzük fel őket egy táblázatba, és az alábbiakban megadjuk ezeknek a képleteknek a kimenetét és a szükséges magyarázatokat.

Oldalnavigáció.

Egy szög szinusza és koszinusza közötti kapcsolat

Néha nem a fenti táblázatban felsorolt ​​fő trigonometrikus identitásokról beszélnek, hanem egyetlenegyről alapvető trigonometrikus azonosság kedves . Ennek a ténynek a magyarázata meglehetősen egyszerű: az egyenlőségeket a fő trigonometrikus azonosságból kapjuk, miután mindkét részét elosztjuk a, illetve az egyenlőségekkel. És a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból következik. Erről részletesebben a következő bekezdésekben fogunk beszélni.

Vagyis különösen érdekes az egyenlőség, amely a fő trigonometrikus azonosság elnevezést kapta.

A fő trigonometrikus azonosság bizonyítása előtt megadjuk annak megfogalmazását: egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege azonos eggyel. Most pedig bizonyítsuk be.

Az alapvető trigonometrikus azonosságot nagyon gyakran használják, amikor trigonometrikus kifejezések konvertálása. Lehetővé teszi, hogy egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszegét eggyel helyettesítsük. Nem ritkábban az alapvető trigonometrikus azonosságot fordított sorrendben használjuk: az egységet bármely szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszegével helyettesítjük.

Érintő és kotangens szinuszon és koszinuszon keresztül

Az érintőt és a kotangenst egy látószög szinuszával és koszinuszával összekötő azonosságok és azonnal következik a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból. Valójában definíció szerint a szinusz az y ordinátája, a koszinusz az x abszcisszája, az érintő pedig az ordináta és az abszcissza aránya, azaz , a kotangens pedig az abszcissza és az ordináta aránya, azaz .

A személyazonosságok ilyen egyértelműségének köszönhetően és Az érintőt és a kotangenst gyakran nem az abszcissza és az ordináta arányán, hanem a szinusz és a koszinusz arányán keresztül határozzák meg. Tehát egy szög érintője ennek a szögnek a szinuszának a koszinuszhoz viszonyított aránya, a kotangens pedig a koszinusz és a szinusz aránya.

Ennek a pontnak a végén meg kell jegyezni, hogy az azonosságok és minden olyan szögre érvényesül, amelynél a bennük szereplő trigonometrikus függvényeknek van értelme. Tehát a képlet bármely -re érvényes, kivéve (különben a nevező nulla lesz, és nem definiáltuk a nullával való osztást), és a képlet - mindenre , különbözik attól , ahol z tetszőleges .

Az érintő és a kotangens kapcsolata

Az előző kettőnél még nyilvánvalóbb trigonometrikus azonosság az alak egy szögének érintőjét és kotangensét összekötő azonosság. . Nyilvánvaló, hogy ez minden más szögre érvényes, mint , különben sem az érintő, sem a kotangens nincs meghatározva.

A képlet bizonyítéka Nagyon egyszerű. Definíció szerint és honnan . A bizonyítást egy kicsit másképp is meg lehetett volna csinálni. Mivel , Azt .

Tehát ugyanannak a szögnek az érintője és kotangense, amelynél értelme van, .

Ez az utolsó és legfontosabb lecke, amely a B11-es problémák megoldásához szükséges. Már tudjuk, hogyan alakítsuk át a szögeket radiánról fokra (lásd a leckét " A szög radián és fokmértéke"), és azt is tudjuk, hogyan határozzuk meg a trigonometrikus függvény előjelét, a koordinátanegyedekre összpontosítva (lásd a " A trigonometrikus függvények jelei »).

Már csak magának a függvénynek az értékét kell kiszámolni – a válaszban szereplő számot. Itt jön a segítség az alapvető trigonometrikus azonosság.

Alapvető trigonometrikus azonosság. Bármely α szögre igaz a következő állítás:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Ez a képlet egy szög szinuszát és koszinuszát viszonyítja. Most már a szinusz ismeretében könnyen megtalálhatjuk a koszinust – és fordítva. Elég a négyzetgyököt venni:

Vegye figyelembe a "±" jelet a gyökerek előtt. A helyzet az, hogy az alapvető trigonometrikus azonosságból nem derül ki, hogy mi volt az eredeti szinusz és koszinusz: pozitív vagy negatív. Hiszen a négyzetesítés egy páros függvény, amely az összes mínuszt (ha volt) „elégeti”.

Éppen ezért minden B11 feladatban, amely a matematika egységes államvizsgájában található, szükségszerűen vannak további feltételek, amelyek segítenek megszabadulni a bizonytalanságtól az előjelekkel. Általában ez a koordinátanegyed jelzése, amely alapján az előjel meghatározható.

Egy figyelmes olvasó valószínűleg megkérdezi: „Mi a helyzet az érintővel és a kotangenssel?” Ezeket a függvényeket nem lehet közvetlenül kiszámítani a fenti képletekből. Az alapvető trigonometrikus azonosságnak azonban vannak fontos következményei, amelyek már érintőket és kotangenseket is tartalmaznak. Ugyanis:

Egy fontos következmény: bármely α szög esetén az alapvető trigonometrikus azonosság a következőképpen írható át:

Ezek az egyenletek könnyen származtathatók a fő azonosságból - elegendő mindkét oldalt cos 2 α-val (az érintő meghatározásához) vagy sin 2 α-val (a kotangenshez) osztani.

Nézzük mindezt konkrét példákkal. Az alábbiakban bemutatjuk a valódi B11-es feladatokat, amelyek az Egységes Matematika Államvizsga 2012 próbaverzióiból származnak.

Ismerjük a koszinuszát, de a szinuszát nem. A fő trigonometrikus identitás (a maga „tiszta” formájában) éppen ezeket a függvényeket kapcsolja össze, így ezzel fogunk dolgozni. Nekünk van:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

A probléma megoldásához meg kell találni a szinusz jelét. Mivel az α ∈ szög (π /2; π ), ezért fokmértékben a következőképpen írjuk: α ∈ (90°; 180°).

Következésképpen az α szög a II. koordinátanegyedben van – ott minden szinusz pozitív. Ezért sin α = 0,1.

Tehát ismerjük a szinuszát, de meg kell találnunk a koszinuszát. Mindkét függvény az alapvető trigonometrikus azonosságban található. Cseréljük:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Marad a tört előtti jel kezelése. Mit válasszunk: plusz vagy mínusz? Feltétel szerint az α szög a (π 3π /2) intervallumhoz tartozik. Váltsuk át a szögeket radiánmértékekből fokokra - kapjuk: α ∈ (180°; 270°).

Nyilvánvalóan ez a III. koordinátanegyed, ahol minden koszinusz negatív. Ezért cos α = −0,5.

Feladat. Keresse meg a tan α értéket, ha a következők ismertek:

Az érintő és a koszinusz az alapvető trigonometrikus azonosságból következő egyenlettel van kapcsolatban:

Kapjuk: tan α = ±3. Az érintő előjelét az α szög határozza meg. Ismeretes, hogy α ∈ (3π /2; 2π ). Váltsuk át a szögeket radiánmértékekből fokokra - α ∈ (270°; 360°) kapjuk.

Nyilvánvalóan ez a IV koordinátanegyed, ahol minden érintő negatív. Ezért tan α = −3.

Feladat. Keresse meg a cos α értéket, ha a következők ismertek:

A szinusz ismét ismert, a koszinusz pedig ismeretlen. Írjuk fel a fő trigonometrikus azonosságot:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Az előjelet a szög határozza meg. Van: α ∈ (3π /2; 2π ). Váltsuk át a szögeket fokról radiánra: α ∈ (270°; 360°) a IV koordinátanegyed, az ottani koszinuszok pozitívak. Ezért cos α = 0,6.

Feladat. Keresse meg a sin α-t, ha a következők ismertek:

Írjunk fel egy olyan képletet, amely az alapvető trigonometrikus azonosságból következik, és közvetlenül összekapcsolja a szinust és a kotangenst:

Innen azt kapjuk, hogy sin 2 α = 1/25, azaz. sin α = ±1/5 = ±0,2. Ismeretes, hogy α ∈ (0; π /2) szög. Fokmértékben ezt a következőképpen írjuk: α ∈ (0°; 90°) - I koordinátanegyed.

Tehát a szög az I koordináta kvadránsban van - ott minden trigonometrikus függvény pozitív, tehát sin α = 0,2.