Nagyon régen volt, tizedik osztályos voltam. A regionális könyvtár meglehetősen csekély tudományos gyűjteménye között találkoztam egy könyvvel - Ugarov V.A. „Speciális relativitáselmélet”. Ez a téma akkoriban érdekelt, de az iskolai tankönyvekben és segédkönyvekben található információ nyilvánvalóan nem volt elegendő.

Ezt a könyvet azonban nem tudtam elolvasni, mert a legtöbb egyenlet tenzorreláció formájában került bemutatásra. Később az egyetemen a szakterületem képzési programjában nem szerepelt a tenzorszámítás tanulmányozása, bár a „tenzor” homályos kifejezés elég gyakran előkerült egyes speciális képzéseken. Például rettenetesen érthetetlen volt, hogy egy merev test tehetetlenségi nyomatékait tartalmazó mátrixot miért nevezik büszkén tehetetlenségi tenzornak.

A szakirodalomban való elmélyülés nem hozott megvilágosodást. Egy technikusnak meglehetősen nehéz megemészteni a tiszta matematika szigorú absztrakt nyelvezetét. Ennek ellenére időről időre visszatértem ehhez a kérdéshez, és most, csaknem tizenhat évvel később eljött a megvilágosodás, amiről az alábbiakban lesz szó. Lehet, hogy az érvelésem primitívnek és leegyszerűsítettnek tűnik, de minden összetett dolog megértése általában az egyszerű fogalmakkal való operációból fejlődik ki, úgyhogy kezdjük.

1. Vektor egy síkon. Kontravariáns, kovariáns koordináták és a köztük lévő kapcsolat

Tekintsünk egy vektort, és gondolkodásunk általánosságának elvesztése nélkül tekintsünk egy síkon meghatározott vektort. Ahogy az iskolai geometria kurzusokból tudjuk, bármely vektor definiálható egy síkon két nem kollineáris vektor segítségével

Itt vannak a bővítési együtthatók (a felső index alatt az összetevő számát kell érteni, és nem a hatványozást), ún. kontravariáns vektor koordináták. Geometriailag ez az alábbi ábrán látható módon ábrázolható. A vektorokat bázisnak nevezzük, a köztük lévő szög, feltéve, tetszőleges lehet, és a bázisvektorok nullától eltérő hossza is tetszőleges. A megadott bázis egy ferde koordináta-rendszert ad meg a síkon, tengelyekkel.

A rajz alapján a és a szakaszok hossza egyenlő

Azonban nem ez az egyetlen módja annak, hogy egy adott koordinátarendszerben vektort definiáljunk. A tengelyre merőleges vetületekkel is megadható. Könnyen belátható, hogy ezek az előrejelzések egyenlőek

Másrészt ezen vetületek hosszát a bázisvektorok hosszával fejezzük ki így

hol és - kovariáns vektor koordináták.

Hasonlítsa össze (3), (5) és (4), (6)

Szorozd meg (7) értékkel, és (8)
be és konvertálja őket
Bemutatjuk a mátrixot
akkor (9) és (10) a következő összefüggéssel fejezhető ki
A (12) kifejezés összefüggést ad egy vektor kovariáns kontravariáns koordinátái között, amelyet csak a mátrix típusa határoz meg, az alapvektorok relatív pozícióinak hosszától függően. A kapott eredményt egyelőre semmilyen módon nem értelmezzük, hanem egyszerűen megjegyezzük.

A kontravariáns és kovariáns komponensek halmaza lényegében ugyanazt a vektort határozza meg a kiválasztott bázisban. Ha kontravariáns koordinátákat használunk, ezt a vektort egy oszlopmátrix adja meg

és kovariáns formában - sormátrixszal

2. Vektorok pontszorzata

Lépjünk egy magasabb dimenziós térbe, és vegyünk két vektort
ahol a bázisvektorok, mint fent, nem nullák
nem egysíkú vektorok. Szorozzuk meg a vektorokat skalárisan.
Az utolsó kifejezésben óvatosan nyissa ki a zárójeleket
és ismét bevezetjük a mátrixot
és akkor a skalárszorzat nagyon kompakt módon összecsukható
Az első dolog, amit észrevehet, hogy a tér dimenzióinak csökkenésével a (14)-ről a (11)-re lépünk, és a kifejezés
(15) működni fog, és megadja a vektorok skaláris szorzatát, de a síkon. Vagyis a skaláris szorzás műveletének egy bizonyos általánosító formáját kaptuk, amely nem függ sem a tér dimenziójától, sem a vizsgált alaptól, amelynek minden tulajdonságát a mátrix tartalmazza. Ha alaposan megnézzük a (15) -t, még egy dolgot megértünk
ami nem más, mint a vektor kovariáns koordinátái. Vagyis a (15) átírható
De ez nem az egyszerűsítés határa

3. Einstein szabálya

A ravasz és éleslátó Albert Einstein egy összegzési szabállyal állt elő, olyan kifejezésekben, mint a (17), amely megmenti a matematikust a bosszantó és felesleges dologtól. A (16) és (17) kifejezésekben elhagyhatja az összegjelet, ami egy ismétlődő indexen való összegzést jelent, amit „némának” neveznek. Azaz (16) a következőképpen írjuk át
Itt j- index, amellyel az összegzés megtörténik. A szabály szerint ennek az indexnek fel kell váltania a pozícióját - ha az első tényezőnél van alul, akkor a másodiknak felül kell lennie, és fordítva. A (17) kifejezés így fog kinézni
Nos, a (15) jut eszembe
Most meglátjuk, miért volt szükség egy ilyen kert bekerítésére.

4. Elemzés egyszerű példák segítségével

Tegyük fel, hogy az alapunk derékszögű, azaz ortonormális. Ekkor a mátrix identitássá válik
Adjuk meg a vektort ilyen bázisban. Egy vektor hosszának négyzete, mint ismeretes, önmagában ennek a vektornak a skaláris szorzata, azaz
És megkaptuk... egy téglalap alakú koordinátarendszerben megadott vektor hosszának négyzetét!

Egy másik példa, hogy ne zsúfoljuk össze, két dimenzióban fogunk dolgozni. Legyen a koordinátarendszer hasonló az 1. bekezdésből származó ábrán láthatóhoz, és legyen benne egy vektor a kontravariáns r-koordinátáival. Akkor

ahol az alapvektorok közötti szög. Számítsuk ki a vektor hosszát
Pontosan ugyanezt az eredményt kapjuk, ha a koszinusztételt használva megkeressük a paralelogramma átlójának hosszának négyzetét.

Mi történik? Különböző koordinátarendszerekben dolgozva egyetlen képletet (20) használtunk a skaláris szorzat kiszámításához. A megjelenése pedig egyáltalán nem függ sem a tér alapjától, sem a méretek számától, amelyben dolgozunk. Az alap csak a mátrix komponenseinek meghatározott értékeit határozza meg.

Tehát a (20) egyenlet két vektor skaláris szorzatát fejezi ki tenzorforma, azaz független a választott alaptól.

A mátrix meghatározza az ún metrikus tenzor. A megjelenése
meghatározza, hogy a kiválasztott koordinátákban hogyan számítják ki a két pont közötti távolságot.

De miért nevezzük ezt a mátrixot tenzornak? Meg kell érteni, hogy egy matematikai forma, jelen esetben egy komponenskészletet tartalmazó négyzetmátrix, még nem tenzor. A tenzor fogalma valamivel tágabb, és mielőtt megmondanánk, mi a tenzor, még egy kérdést megvizsgálunk.

5. A metrikus tenzor transzformációja a bázis megváltoztatásakor

Írjuk át a (20) relációt mátrix alakban, így könnyebb lesz vele operálni
Ahol c- vektorok skaláris szorzata. A felső index annak a koordinátarendszernek a jelentését hordozza, amelyben a vektorok és a metrikus tenzor definiálva van. Tegyük fel, hogy ez a CK0 koordinátarendszer. Vektor átalakítása más rendszerré
A CK1 koordinátákat a transzformációs mátrix írja le, azaz
Helyettesítsük (22)-t (21)-re

Az utolsó kifejezésben

metrikus tenzor, amelynek összetevőit egy új bázis határozza meg. Vagyis az új alapon a műveletnek hasonló formája van
Így megmutattuk a tenzor másik tulajdonságát - összetevői szinkronban változnak azon tér vektorainak összetevőivel, amelyben a tenzor definiált. Vagyis most ezt mondhatjuk a tenzor egy matematikai objektum, amelyet komponensek halmaza és a bázis megváltoztatásakor történő transzformációjuk szabálya képvisel..

Most Einstein szabályát használva átírjuk (22) és (23) tenzor alakban

hol vannak a mátrix elemei. Illusztráljuk (25) egy háromdimenziós példával. Legyen a koordináta transzformációs mátrix alakja
Leírjuk a metrikus tenzor egy komponensének transzformációját, dum indexeken végzett összegzést végezve kÉs l(25)
amiből jól látható, hogy a (25)-ben az átmeneti mátrixot transzponáljuk, az eredményt megszorozzuk a metrikus tenzorral és
a kapott mátrixot megszorozzuk az átmeneti mátrixszal.

Most nézzünk meg egy konkrét példát egy síkon, hogy ne írjunk feleslegesen nehézkes számításokat

Adjuk meg a vektort két normalizált bázisban: négyszögletes
és ferde. A ferde koordinátarendszerből téglalap alakú koordinátarendszerbe való átalakulást a mátrix fejezi ki

inverz konverzió
Legyen téglalap alakú koordinátákban is a vektorunknak komponensei
és egyáltalán nem nehéz belátni, hogy a hossza . A metrikus tenzort ortonormális bázisban az identitásmátrix képviseli
Eszközök
Állítsuk be a tengelyek dőlésszögét és számítsuk ki a vektor kontravariáns komponenseit a ferde tengelyekben

Azaz

és pontszorzat és vektorhossz állandó, vagyis a koordináták átalakításakor változatlanok, és ennek így kell lennie. Ugyanakkor lényegében ugyanazt a relációt (20) használtuk a különböző bázisokban történő munkavégzéshez, miután előzőleg transzformáltuk a metrikus tenzort a vektorok transzformációs szabályának megfelelően a szóban forgó terekben.
(25).

Következtetés és következtetések

Mit láttunk az előző bekezdésben? Ha ismerjük annak a térnek a tulajdonságait, amelyben a vektorok adottak, akkor nem nehéz szigorúan formálisan műveleteket végrehajtani a vektorokon, olyan relációk segítségével, amelyek alakja független a tér alakjától. Ezenkívül a (20), (24) és (25) relációk egy számítási algoritmust és egy módszert adnak az algoritmus által használt kifejezések komponenseinek transzformációjára. Ez a tenzoros megközelítés ereje és erőssége.

Sok fizikai elmélet, például az általános relativitáselmélet, görbült téridővel működik, és ott egy másfajta megközelítés egyszerűen elfogadhatatlan. Egy görbült téridőben a metrikus tenzort lokálisan, minden pontján adjuk meg, és ha megpróbáljuk tenzorok nélkül tenni, semmi sem sikerül - nehézkes és ügyetlen egyenleteket kapunk, ha egyáltalán megkapjuk.

Az alkalmazott tudományterületeken a kifejezések tenzoros jelölése alkalmazható ott, ahol az alkalmazott koordinátarendszertől független egyenleteket kell előállítani.

De ez még nem minden. Nem beszéltünk a metrikus tenzor tulajdonságairól, és nem vettük figyelembe a vektorszorzatot és a Levi-Cevita tenzort sem. Nem beszéltünk a tenzorok rangjáról és a velük végzett műveletekről, nem értettük teljesen a tenzorkomponensek indexelésének szabályait és még sok minden mást. Erről kicsit később írunk, de egyelőre - köszönöm minden olvasómnak a figyelmet.

Címkék hozzáadása Végre a kezembe került ez a hatalmas és régóta várt téma. analitikus geometria . Először is egy kicsit a felsőbb matematikának erről a részéről... Bizonyára emlékszel most egy iskolai geometria tanfolyamra, számos tétellel, azok bizonyításával, rajzával stb. Mit kell titkolni, a hallgatók jelentős részének nem szeretett és gyakran homályos tárgy. Furcsa módon az analitikus geometria érdekesebbnek és elérhetőbbnek tűnhet. Mit jelent az „analitikus” jelző? Két sablonos matematikai kifejezés jut azonnal eszembe: „grafikus megoldási módszer” és „analitikus megoldási módszer”. Grafikus módszer , természetesen grafikonok és rajzok készítéséhez kapcsolódik. Elemző azonos módszer problémák megoldásával jár főként

algebrai műveletekkel. Ebben a tekintetben az analitikus geometria szinte minden problémájának megoldására szolgáló algoritmus egyszerű és átlátható, gyakran elegendő a szükséges képletek gondos alkalmazása - és a válasz kész! Nem, természetesen ezt egyáltalán nem fogjuk tudni megtenni rajzok nélkül, ráadásul az anyag jobb megértése érdekében a szükségen túl igyekszem azokat idézni.

Az újonnan megnyílt geometria tantárgy elméletileg nem teljes, hanem a gyakorlati feladatok megoldására koncentrál. Előadásaimban csak azt veszem fel, ami az én szemszögemből gyakorlati szempontból fontos. Ha teljesebb segítségre van szüksége valamelyik alfejezethez, ajánlom a következő, könnyen hozzáférhető irodalmat: 1) Egy dolog, amit nem vicc, több generáció ismer: Iskolai tankönyv a geometriáról , szerzők - L.S. Atanasyan and Company

2) . Ez az iskolai öltözői fogas már 20 (!) utánnyomáson esett át, ami persze nem a határ. Geometria 2 kötetben . Szerzői L.S. Atanasyan, Bazylev V.T. . Ez középiskolai irodalom, szüksége lesz rá első kötet

. A ritkán előforduló feladatok kieshetnek a szemem elől, és az oktatóanyag felbecsülhetetlen segítséget nyújt. Mindkét könyv ingyenesen letölthető online. Ezen kívül kész megoldásokkal használhatod az archívumomat, mely az oldalon található .

Az eszközök között ismét saját fejlesztést javaslok - Szoftver csomag analitikus geometriában, ami nagyban leegyszerűsíti az életet és sok időt takarít meg.

Feltételezhető, hogy az olvasó ismeri az alapvető geometriai fogalmakat és ábrákat: pont, egyenes, sík, háromszög, paralelogramma, paralelepipedon, kocka stb. Célszerű megjegyezni néhány tételt, legalább a Pitagorasz-tételt, üdv az ismétlőknek)

És most szekvenciálisan megvizsgáljuk: a vektor fogalmát, a vektorokkal végzett műveleteket, a vektorkoordinátákat. Javaslom a további olvasást a legfontosabb cikk Vektorok pontszorzata , és még Vektor és vektorok vegyes szorzata . Egy helyi feladat nem lesz felesleges - Szegmens felosztása ebben a relációban. A fenti információk alapján elsajátíthatja síkban lévő egyenes egyenlete Val vel a megoldások legegyszerűbb példái , ami lehetővé teszi megtanulják megoldani a geometriai feladatokat . A következő cikkek is hasznosak: Egy sík egyenlete a térben , Egy egyenes egyenletei a térben , Alapfeladatok egyeneseken és síkon, az analitikus geometria egyéb ágai. Természetesen a szokásos feladatokat is figyelembe veszik az út során.

Vektor koncepció. Ingyenes vektor

Először is ismételjük meg a vektor iskolai definícióját. Vektor hívott irányította egy szegmens, amelynek eleje és vége fel van tüntetve:

Ebben az esetben a szakasz eleje a pont, a szakasz vége a pont. Magát a vektort jelöli. Irány elengedhetetlen, ha a nyilat a szegmens másik végére mozgatjuk, akkor kapunk egy vektort, és ez már meg is van teljesen más vektor. Kényelmes a vektor fogalmát a fizikai test mozgásával azonosítani: egyet kell érteni, egy intézet ajtaján belépni vagy egy intézet ajtaján elhagyni teljesen más dolog.

Célszerű egy sík vagy tér egyes pontjait ún nulla vektor. Egy ilyen vektornál a vége és a kezdet egybeesik.

!!! Jegyzet: Itt és a továbbiakban is feltételezhetjük, hogy a vektorok egy síkban helyezkednek el, vagy feltételezhetjük, hogy térben helyezkednek el - a bemutatott anyag lényege síkra és térre egyaránt érvényes.

Megnevezések: Sokan azonnal észrevették a botot, amelynél nincs nyíl a jelölésben, és azt mondták: van egy nyíl is a tetején! Igaz, nyíllal is írhatod: , de az is lehetséges a bejegyzés, amelyet a jövőben használni fogok. Miért? Nyilvánvalóan gyakorlati okokból alakult ki ez a szokásom az iskolában és az egyetemen túlságosan eltérő méretűnek és bozontosnak bizonyultak. Az ismeretterjesztő irodalomban néha egyáltalán nem foglalkoznak az ékírással, hanem félkövér betűkkel emelik ki: , ezzel is utalva arra, hogy ez egy vektor.

Ez a stilisztika volt, most pedig a vektorok írásának módjairól:

1) A vektorok két nagy latin betűvel írhatók:
stb. Ebben az esetben az első betű Szükségszerűen a vektor kezdőpontját, a második betű pedig a vektor végpontját jelöli.

2) A vektorokat kis latin betűkkel is írják:
Konkrétan vektorunkat a rövidség kedvéért egy kis latin betűvel át lehet jelölni.

Hossz vagy modul a nullától eltérő vektort a szakasz hosszának nevezzük. A nulla vektor hossza nulla. Logikus.

A vektor hosszát a modulusjel jelzi: ,

Kicsit később megtanuljuk, hogyan találjuk meg egy vektor hosszát (vagy megismételjük, attól függően, hogy ki).

Ez alapvető információ volt a vektorokról, amelyeket minden iskolás ismer. Az analitikus geometriában az ún ingyenes vektor.

Egyszerűen szólva - a vektor bármely pontból ábrázolható:

Megszoktuk, hogy az ilyen vektorokat egyenlőnek nevezzük (az egyenlő vektorok definícióját az alábbiakban közöljük), de pusztán matematikai szempontból UGYANAZ A VEKTOR ill. ingyenes vektor. Miért ingyenes? Mert a feladatmegoldás során a sík vagy tér BÁRMELYIK pontjához „rákapcsolhatja” ezt vagy azt a vektort. Ez egy nagyon klassz funkció! Képzeljünk el egy tetszőleges hosszúságú és irányú vektort - végtelen számú alkalommal és a tér bármely pontján „klónozható”, valójában MINDENHOL létezik. Van egy ilyen hallgatói mondás: Minden oktató aggodalommal tölti el a vektort. Végtére is, ez nem csak egy szellemes rím, matematikailag minden helyes - a vektort is oda lehet csatolni. De ne rohanjon örülni, gyakran maguk a diákok szenvednek =)

Így, ingyenes vektor- Ezt Egy csomó azonos irányított szegmensek. A vektor iskolai definíciója, amelyet a bekezdés elején adunk meg: „Az irányított szakaszt vektornak nevezzük...” különleges egy adott halmazból vett irányított szakasz, amely a sík vagy tér egy meghatározott pontjához van kötve.

Megjegyzendő, hogy a fizika szempontjából a szabad vektor fogalma általában téves, és a vektor alkalmazási pontja számít. Valójában egy ugyanolyan erejű közvetlen ütés az orron vagy a homlokon, ami elég ahhoz, hogy továbbfejlessze a hülye példámat, más következményekkel jár. Azonban, szabadon vektorok találkozikés tisztában vagy a vyshmattal (ne menj oda :)).

Műveletek vektorokkal. A vektorok kollinearitása

Az iskolai geometria tanfolyam számos vektoros műveletet és szabályt tartalmaz: összeadás a háromszög szabály szerint, összeadás a paralelogramma szabály szerint, vektorkülönbség szabály, vektor szorzása számmal, vektorok skaláris szorzata stb. Kiindulásként ismételjünk meg két olyan szabályt, amelyek különösen fontosak az analitikus geometria problémáinak megoldására.

A vektorok hozzáadásának szabálya a háromszögszabály segítségével

Tekintsünk két tetszőleges nem nulla vektort és:

Meg kell találni ezeknek a vektoroknak az összegét. Tekintettel arra, hogy minden vektort szabadnak tekintünk, a vektort félretesszük vége vektor:

A vektorok összege a vektor. A szabály jobb megértése érdekében célszerű fizikai jelentést adni bele: hadd mozogjon valamilyen test a vektoron, majd a vektoron. Ekkor a vektorok összege a kapott útvonal vektora, melynek kezdete a kiindulási pontban van, a vége pedig az érkezési pontban van. Hasonló szabályt fogalmaznak meg tetszőleges számú vektor összegére. Ahogy mondani szokták, a test nagyon dőlve is haladhat cikkcakk mentén, vagy esetleg robotpilóta segítségével - a kapott összegvektor mentén.

Egyébként, ha a vektort elhalasztják elindult vektor, akkor megkapjuk az ekvivalenst paralelogramma szabály vektorok összeadása.

Először is a vektorok kollinearitásáról. A két vektort ún kollineáris, ha ugyanazon vagy párhuzamos vonalakon fekszenek. Nagyjából véve párhuzamos vektorokról beszélünk. De velük kapcsolatban mindig a „kollineáris” jelzőt használják.

Képzeljünk el két kollineáris vektort. Ha ezeknek a vektoroknak a nyilai ugyanabba az irányba mutatnak, akkor az ilyen vektorokat hívjuk társrendező. Ha a nyilak különböző irányokba mutatnak, akkor a vektorok lesznek ellentétes irányokba.

Megnevezések: A vektorok kollinearitása a szokásos párhuzamossági jellel írható: , míg a részletezés lehetséges: (a vektorok együtt irányítottak) vagy (a vektorok ellentétes irányúak).

A munka egy nem nulla vektor egy számon olyan vektor, amelynek hossza egyenlő , és a és a vektorok együtt irányulnak és ellentétes irányúak.

A vektor számmal való szorzásának szabálya könnyebben érthető kép segítségével:

Nézzük meg részletesebben:

1 irány. Ha a szorzó negatív, akkor a vektor irányt változtat az ellenkezőjére.

2) Hossz. Ha a szorzót vagy belül tartalmazza, akkor a vektor hossza csökken. Tehát a vektor hossza fele a vektor hosszának. Ha a szorzó modulusa nagyobb egynél, akkor a vektor hossza növeli időben.

3) Kérjük, vegye figyelembe minden vektor kollineáris, míg az egyik vektor egy másikon keresztül fejeződik ki, például . Ennek a fordítottja is igaz: ha egy vektor kifejezhető egy másikon keresztül, akkor az ilyen vektorok szükségszerűen kollineárisak. És így: ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor kollineárist kapunk(az eredetihez képest) vektor.

4) A vektorok közös irányításúak. Vektorok és szintén társrendezők. Az első csoport bármely vektora ellentétes irányú a második csoport bármely vektorához képest.

Mely vektorok egyenlők?

Két vektor egyenlő, ha azonos irányúak és azonos hosszúságúak. Megjegyzendő, hogy az együttirányúság a vektorok kollinearitását jelenti. A meghatározás pontatlan (redundáns) lenne, ha azt mondanánk: „Két vektor egyenlő, ha kollineárisak, egyirányúak és azonos hosszúságúak.”

A szabad vektor fogalma szempontjából az egyenlő vektorok ugyanazok a vektorok, amint azt az előző bekezdésben tárgyaltuk.

Vektor koordináták a síkon és a térben

Az első pont az, hogy vegyük figyelembe a vektorokat a síkon. Ábrázoljunk egy derékszögű derékszögű koordináta-rendszert, és ábrázoljuk a koordináták origójából egyetlen vektorok és:

Vektorok és ortogonális. Ortogonális = merőleges. Azt javaslom, hogy lassan szokja meg a kifejezéseket: a párhuzamosság és a merőlegesség helyett használjuk a szavakat, ill. kollinearitásÉs ortogonalitás.

Kijelölés: A vektorok ortogonalitását a szokásos merőlegességi szimbólummal írjuk, például: .

A vizsgált vektorokat ún koordináta vektorok vagy orts. Ezek a vektorok kialakulnak alapján a felszínen. Hogy mi az alap, az sokak számára intuitív módon világos, a cikkben részletesebb információk találhatók A vektorok lineáris (nem) függése. A vektorok alapja Egyszerű szavakkal, a koordináták alapja és eredete meghatározza az egész rendszert - ez egyfajta alap, amelyen a teljes és gazdag geometriai élet forr.

Néha a konstruált alapot ún ortonormális a sík alapja: „orto” - mivel a koordinátavektorok merőlegesek, a „normalizált” jelző egységet jelent, pl. a bázisvektorok hossza eggyel egyenlő.

Kijelölés: zárójelbe szokták írni az alapot, amelyen belül szigorú sorrendben bázisvektorok vannak felsorolva, például: . Koordinátavektorok ez tiltottátrendezni.

Bármi sík vektor az egyetlen módja kifejezve:
, Ahol - számok amelyeket úgy hívnak vektor koordináták ezen az alapon. És maga a kifejezés hívott vektorbontásalapján .

Felszolgált vacsora:

Kezdjük az ábécé első betűjével: . A rajzon jól látható, hogy egy vektor bázisra bontásakor az imént tárgyaltak kerülnek felhasználásra:
1) a vektor számmal való szorzásának szabálya: és ;
2) vektorok összeadása a háromszögszabály szerint: .

Most mentálisan ábrázolja a vektort a sík bármely más pontjáról. Teljesen nyilvánvaló, hogy hanyatlása „kérlelhetetlenül követni fogja őt”. Itt van, a vektor szabadsága - a vektor „mindent magával visz”. Ez a tulajdonság természetesen minden vektorra igaz. Vicces, hogy magukat az alapvektorokat (szabad) nem kell az origóból kirajzolni, pl. az egyiket a bal alsóba, a másikat a jobb felsőbe lehet rajzolni, és semmi sem fog változni! Igaz, ezt nem kell megtennie, mivel a tanár eredetiséget is mutat, és egy váratlan helyen „kreditet” von le.

A vektorok pontosan szemléltetik a vektor számmal való szorzásának szabályát, a vektor az alapvektorral együtt, a vektor az alapvektorral ellentétes irányban irányul. Ezeknél a vektoroknál az egyik koordináta egyenlő nullával, pontosan így írhatja le:

A bázisvektorok pedig egyébként ilyenek: (sőt, önmagukon keresztül fejeződnek ki).

És végül: , . Egyébként mi a vektoros kivonás, és miért nem beszéltem a kivonás szabályáról? Valahol a lineáris algebrában, nem emlékszem, hol, megjegyeztem, hogy a kivonás az összeadás speciális esete. Így a „de” és „e” vektorok kiterjesztése egyszerűen összegként írható fel: , . Rendezd át a kifejezéseket, és nézd meg a rajzon, hogy a vektorok jó öreg összeadása a háromszögszabály szerint mennyire működik ezekben a helyzetekben.

A forma figyelembe vett dekompozíciója néha vektorbontásnak nevezik az ort rendszerben(azaz egységvektorok rendszerében). De nem ez az egyetlen módja a vektor írásának, a következő lehetőség gyakori:

Vagy egyenlőségjellel:

Magukat a bázisvektorokat a következőképpen írjuk fel: és

Azaz a vektor koordinátái zárójelben vannak feltüntetve. Gyakorlati feladatokban mindhárom jelölési lehetőséget alkalmazzuk.

Kételkedtem, hogy szóljak-e, de mégis elmondom: a vektorkoordináták nem rendezhetők át. Szigorúan az első helyen felírjuk az egységvektornak megfelelő koordinátát, szigorúan a második helyen felírjuk az egységvektornak megfelelő koordinátát. Valóban, és két különböző vektor.

Kitaláltuk a koordinátákat a gépen. Most nézzük a vektorokat a háromdimenziós térben, itt szinte minden a régi! Csak még egy koordinátát ad hozzá. Nehéz háromdimenziós rajzokat készíteni, ezért egy vektorra korlátozom magam, amelyet az egyszerűség kedvéért félreteszek az origótól:

Bármi 3D tér vektor az egyetlen módja bontsa ki ortonormális alapon:
, hol vannak a vektor (szám) koordinátái ebben a bázisban.

Példa a képről: . Nézzük meg, hogyan működnek itt a vektorszabályok. Először szorozza meg a vektort a számmal: (piros nyíl), (zöld nyíl) és (málna nyíl). Másodszor, itt van egy példa több, jelen esetben három vektor összeadására: . Az összegvektor a kezdeti kiindulási pontnál (a vektor kezdetén) kezdődik és a végső érkezési pontnál (a vektor végén) ér véget.

A háromdimenziós tér minden vektora természetesen szintén szabad, próbálja meg mentálisan félretenni a vektort bármely más pontból, és megérti, hogy a felbomlása „vele marad”.

Hasonló a lapos tokhoz, írás mellett széles körben használatosak a zárójeles változatok: akár .

Ha egy (vagy két) koordinátavektor hiányzik a bővítésből, akkor a helyükre nullákat teszünk. Példák:
vektor (alaposan ) - írjunk ;
vektor (alaposan ) - írjunk ;
vektor (alaposan ) - írjunk .

A bázisvektorokat a következőképpen írjuk fel:

Talán ez az összes minimális elméleti tudás, amely az analitikus geometria problémáinak megoldásához szükséges. Sok kifejezés és meghatározás lehet, ezért azt javaslom, hogy a teáskannák olvassák el újra és értsék meg ezt az információt. És minden olvasó számára hasznos lesz, ha időnként az alapleckére hivatkozik, hogy jobban elsajátítsa az anyagot. Kollinearitás, ortogonalitás, ortonormális alap, vektorbontás – ezeket és más fogalmakat a jövőben gyakran használni fogják. Szeretném megjegyezni, hogy a helyszíni anyagok nem elegendőek egy elméleti teszt vagy geometriai kollokvium sikeres letételéhez, mivel minden tételt gondosan titkosítok (és bizonyítások nélkül) - a tudományos előadásmód rovására, de plusz az Ön számára. a téma megértése. Ha részletes elméleti információkat szeretne kapni, kérjük, hajoljon meg Atanasyan professzor előtt.

És áttérünk a gyakorlati részre:

Az analitikus geometria legegyszerűbb feladatai.
Műveletek koordinátákban lévő vektorokkal

Nagyon tanácsos megtanulni a teljesen automatikusan figyelembe veendő feladatok megoldását és a képleteket memorizálni, nem is kell szándékosan emlékezni rá, ők maguk is emlékezni fognak rá =) Ez nagyon fontos, mivel az analitikus geometria egyéb problémái a legegyszerűbb elemi példákon alapulnak, és bosszantó lesz további időt tölteni a gyalogevéssel. . Nem kell rögzíteni a felső gombokat az ingen, sok minden ismerős az iskolából.

Az anyag bemutatása párhuzamos menetet fog követni - mind a sík, mind a tér szempontjából. Azért, mert az összes képletet... majd meglátod.

Hogyan keressünk vektort két pontból?

Ha a és a sík két pontja adott, akkor a vektornak a következő koordinátái vannak:

Ha a térben két pont és és adott, akkor a vektornak a következő koordinátái vannak:

vagyis a vektor végének koordinátáiból ki kell vonni a megfelelő koordinátákat a vektor eleje.

Gyakorlat: Ugyanezekre a pontokra írjuk fel a vektor koordinátáinak megkeresésére szolgáló képleteket. Képletek az óra végén.

1. példa

Adott a sík két pontja és . Keresse meg a vektor koordinátáit

Megoldás: a megfelelő képlet szerint:

Alternatív megoldásként a következő bejegyzés használható:

Az esztéták ezt fogják eldönteni:

Én személy szerint a felvétel első verzióját szoktam meg.

Válasz:

A feltétel szerint nem kellett rajzot készíteni (ami jellemző az analitikus geometriai problémákra), de azért, hogy néhány pontot tisztázzunk a próbabábukra, nem leszek lusta:

Mindenképpen meg kell értened pontkoordináták és vektorkoordináták közötti különbség:

Pont koordinátái– ezek közönséges koordináták egy téglalap alakú koordinátarendszerben. A pontok koordinátasíkon való ábrázolását szerintem mindenki 5-6. osztálytól tudja. Minden pontnak szigorú helye van a síkon, és nem mozgathatók sehova.

A vektor koordinátái– ez a bázis szerinti bővítése, jelen esetben. Bármely vektor szabad, így ha szükséges, könnyen el tudjuk távolítani a sík másik pontjától. Érdekes, hogy a vektorokhoz egyáltalán nem kell tengelyeket vagy téglalap alakú koordinátarendszert építeni, csak egy bázisra, jelen esetben a sík ortonormális bázisára van szükség.

A pontok koordinátái és a vektorok koordinátái hasonlónak tűnnek: , és koordináták jelentése teljesen különböző, és tisztában kell lennie ezzel a különbséggel. Ez a különbség természetesen a térre is vonatkozik.

Hölgyeim és uraim, tegyük meg a kezünket:

2. példa

a) Pontokat és kapnak. Keresse meg a vektorokat és .
b) Pontokat adunk És . Keresse meg a vektorokat és .
c) Pontokat és kapnak. Keresse meg a vektorokat és .
d) Pontokat adnak. Keressen vektorokat .

Talán ennyi is elég. Ezek a példák, hogy döntsd el magad, próbáld meg nem hanyagolni, kifizetődik ;-). Nincs szükség rajzok készítésére. Megoldások és válaszok az óra végén.

Mi a fontos analitikus geometriai feladatok megoldásánál? Fontos, hogy RENDKÍVÜL ÓVATOSAN legyünk, hogy elkerüljük a mesteri „kettő plusz kettő egyenlő nulla” hibát. Azonnal elnézést kérek, ha valahol hibáztam =)

Hogyan lehet megtudni egy szakasz hosszát?

A hosszt, mint már említettük, a modulusjel jelzi.

Ha a sík két pontja és , akkor a szakasz hosszát a képlet segítségével számíthatjuk ki

Ha a térben két pont és és adott, akkor a szakasz hossza a képlet segítségével számítható ki

Jegyzet: A képletek helyesek maradnak, ha a megfelelő koordinátákat felcseréljük: és , de az első lehetőség szabványosabb

3. példa

Megoldás: a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Az egyértelműség kedvéért készítek egy rajzot

Vonalszakasz - ez nem vektor, és természetesen nem mozgathatja sehova. Ezen kívül, ha méretarányosan rajzol: 1 egység. = 1 cm (két jegyzetfüzet cella), akkor a kapott válasz szabályos vonalzóval ellenőrizhető a szakasz hosszának közvetlen megmérésével.

Igen, a megoldás rövid, de van benne még egy-két fontos pont, amit szeretnék tisztázni:

Először is, a válaszban a dimenziót helyezzük el: „egységek”. A feltétel nem mondja meg, MI az, milliméter, centiméter, méter vagy kilométer. Ezért a matematikailag helyes megoldás az általános megfogalmazás: „egységek” – rövidítve „egységek”.

Másodszor, ismételjük meg az iskolai anyagot, amely nemcsak a vizsgált feladathoz hasznos:

figyelni fontos technika – a szorzó eltávolítása a gyökér alól. A számítások eredményeként eredményt kapunk, és a jó matematikai stílus magában foglalja a faktor eltávolítását a gyökér alól (ha lehetséges). Részletesebben a folyamat így néz ki: . Természetesen nem lenne hiba, ha a választ úgy hagynánk, de ez mindenképpen hiányosság és nyomós érv lenne a tanári civakodás mellett.

Íme más gyakori esetek:

A gyökér gyakran meglehetősen nagy számot produkál, például . Mi a teendő ilyen esetekben? A számológép segítségével ellenőrizzük, hogy a szám osztható-e 4-gyel: . Igen, teljesen felosztották, így: . Vagy esetleg a szám ismét osztható 4-gyel? . És így: . A szám utolsó számjegye páratlan, így a harmadszori 4-gyel való osztás nyilvánvalóan nem működik. Próbáljunk meg osztani kilenccel: . Ennek eredményeként:
Kész.

Következtetés: ha a gyökér alatt olyan számot kapunk, amely egészében nem kinyerhető, akkor megpróbáljuk eltávolítani a faktort a gyökér alól - számológéppel ellenőrizzük, hogy a szám osztható-e: 4, 9, 16, 25, 36, 49 stb.

A különböző problémák megoldása során a gyökerek mindig a gyökér alól igyekeznek kiszedni a tényezőket, hogy elkerüljék az alacsonyabb osztályzatot és a szükségtelen problémákat a tanári megjegyzések alapján történő véglegesítés során.

Ismételjük meg a négyzetgyököket és más hatványokat is:

A hatványokkal való operáció szabályai általános formában megtalálhatók egy iskolai algebrai tankönyvben, de azt hiszem, a felhozott példákból már minden vagy majdnem minden világos.

Feladat független megoldáshoz térbeli szegmenssel:

4. példa

Pontokat és kapnak. Keresse meg a szakasz hosszát.

A megoldás és a válasz a lecke végén található.

Hogyan találjuk meg a vektor hosszát?

Ha adott egy síkvektor, akkor a hosszát a képlettel számítjuk ki.

Ha adott egy térvektor, akkor a hosszát a képlet alapján számítjuk ki .

Minden könyv ingyenesen és regisztráció nélkül letölthető.

ÚJ. PC. Rasevszkij. Riemann geometria és tenzoranalízis. 3. kiadás 1967 664 oldal djvu. 5,7 MB.
Ebben a monográfiában a szerző részletes bemutatásban és a téma átfogó lefedésével olyan anyagot mutat be, amely a legalapvetőbb és legfontosabbakat tartalmazza a tenzoranalízis és a Riemann-geometria területén.
A könyv jellegzetessége, hogy a tiszta tenzoranalízis és a Riemann-geometria területéről kilép a mechanikába és a fizikába (e tekintetben különös figyelmet fordítanak a relativitáselméletre). Pszeudo-euklideszi és pszeudo-riemann tereket és affin kapcsolódási tereket veszünk figyelembe. Számos példán keresztül bemutatjuk a geometriai objektumok elméletének alapgondolatait, beleértve a spinorok elméletét a négydimenziós térben. Az előadást számos alapvető fontosságú kérdés is kiegészíti (a görbék és hiperfelületek elmélete a Riemann-térben stb.).
A könyv a tenzoranalízis és a Riemann-geometria szakembereknek, mérnököknek szól, valamint tankönyvként is szolgálhat egyetemisták számára.
Ez a könyv természeténél fogva sokkal közelebb áll a tankönyvhöz, mint a szakembereknek szánt monográfiához. Az anyag teljesen hozzáférhető egy harmadéves egyetemi hallgató számára.

Letöltés

ÚJ. AZ ÉS. Filippenko. A TERELMÉLET ELEMEI. 2009-es év. 27 oldal PDF. 333 KB.
A kézikönyv kitér a térelméleti alapfogalmakra: gradiens, divergencia, rotor, keringés. Megadjuk a Gauss–Ostrogradsky és Stokes-tétel alkalmazásait. Fel vannak tüntetve a vektormezők potenciáljának és szolenoidságának feltételei. Részletes megoldásokat adunk egy vektormező numerikus jellemzőinek kiszámítására szolgáló tipikus példákra. Elegendő számú példát választottak ki a tanulók önálló megoldásához.
A kézikönyv a YURGUES részmunkaidős hallgatói számára készült.
Az elektromosság és a mágnesesség tanulmányozása során az általános fizika olvasását javaslom.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Letöltés

Akivis M. A., Goldberg V. V. Tenzorszámítás: Tankönyv. juttatás. 3. kiadás, átdolgozva. 2003 304 oldal djvu. 2,0 MB.
Felvázoljuk a tenzorszámítás alapjait és néhány geometriai, mechanikai és fizikai alkalmazását. Alkalmazásként megalkotják a másodrendű felületek általános elméletét, tanulmányozzák a tehetetlenségi, feszültség- és alakváltozási tenzorokat, valamint megvizsgálják a kristályfizika néhány kérdését. Az utolsó fejezet a tenzoranalízis elemeit mutatja be.
Műszaki felsőoktatási intézmények hallgatóinak.

Letöltés

Yu.A. Aminov. Egy vektormező geometriája. 1990 215 oldal djvu. 5,1 MB.
Bemutatjuk a háromdimenziós euklideszi tér vektormezőinek geometriájára vonatkozó eredményeket, kezdve Voss, Sintsov, Lilienthal és mások munkáival az r-dimenziós térben, a Pfaff-egyenletrendszerekkel és a külső formákkal. Röviden bemutatunk néhány topológiai fogalmat, és megfogalmazzuk de Rham tételét. Bemutatjuk a lombozat Godbillon-Vey invariánsát és bizonyítjuk a Whitehead formulát. .
Egyetemistáknak, végzős hallgatóknak és geometriára és topológiára szakosodott kutatóknak. A).

. . . . Letöltés

Anchikov A. M. A vektor- és tenzoranalízis alapjai. 1988 140 oldal djv. 1,5 MB.
Egyetemi és főiskolai fizika és sugárfizika szakos hallgatók számára, akik önállóan szeretnék tanulni a kurzust.