Mi a szinusz képlet? A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékeinek meghatározása

Mivel egy szög radiánmértékét az jellemzi, hogy a szög nagyságát az ív hosszán keresztül találjuk meg, lehetséges a radiánmérték és a fokmérték közötti kapcsolat grafikus ábrázolása. Ehhez a koordinátasíkra 1 sugarú kört rajzolunk úgy, hogy a középpontja az origóban legyen. A pozitív szögeket az óramutató járásával ellentétes, a negatív szögeket az óramutató járásával ellentétes irányban ábrázoljuk.

Egy szög fokmértékét szokás szerint, a radián mértékét pedig a körön fekvő ívekkel jelöljük. P 0 – a szög kezdete. A többi pont szög oldalainak metszéspontja egy körrel.

Meghatározás: Az origó középpontjában lévő 1 sugarú kört egységkörnek nevezzük.

A szögek kijelölésén kívül ennek a körnek van még egy sajátossága: bármely valós számot a kör egyetlen pontjaként ábrázolhat. Ez ugyanúgy megtehető, mint egy számegyenesen. Mintha a számegyenest úgy meghajlítanánk, hogy az egy körön feküdjön.

P 0 a 0 szám origója, pontja. A pozitív számokat pozitív irányban (az óramutató járásával ellentétes irányban), a negatívakat pedig a negatív irányban (óramutató járásával megegyezően) jelöljük. Az α-val egyenlő szakasz egy P 0 P α ív.

Bármely szám ábrázolható egy kör P α pontjával, és ez a pont minden számra egyedi, de észrevehető, hogy az α+2πn számhalmaz, ahol n egész szám, ugyanannak a P α pontnak felel meg.

Minden pontnak megvannak a saját koordinátái, amelyeknek speciális neveik vannak.

Meghatározás:Az α szám koszinusza az egységkör α számának megfelelő pont abszcisszájának nevezzük.

Meghatározás:Az α szám szinusza az egységkör α számának megfelelő pont ordinátája.

Pα (cosα, sinα).

Geometriából:

Téglalap szög koszinusza háromszög - az ellentétes szög és a hipotenusz aránya. Ebben az esetben a hipotenusz egyenlő 1-gyel, vagyis a szög koszinuszát az OA szakasz hosszával mérjük.

Szög szinusza derékszögű háromszögben– a szomszédos láb és a hypotenus aránya. Vagyis a szinust az OB szakasz hosszával mérjük.

Írjuk fel egy szám érintőjének és kotangensének definícióit.

Ahol cos α≠0

Ahol sin α≠0

Egy tetszőleges szám szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értékeinek megtalálása bizonyos képletek alkalmazásával a sinα, cosα, tanα és ctgα értékeinek megtalálására redukálódik, ahol 0≤α≤π/2.

A trigonometrikus függvények alapértékeinek táblázata

α		π/6	π/4	π/3	π/2	π	2π
0°	30°	45°	60°	90°	180°	360°
sin α
cos α				½		-1
tan α					-
ctg α	-					-	-

Találja meg a kifejezések jelentését.

Ez a cikk tartalmazza szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek táblázatai. Először megadjuk a trigonometrikus függvények alapértékeinek táblázatát, azaz a 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 fokos szögek szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek és kotangenseinek táblázatát ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radián). Ezt követően adunk egy táblázatot a szinuszokról és koszinuszokról, valamint V. M. Bradis érintők és kotangensek táblázatáról, és bemutatjuk, hogyan kell ezeket a táblázatokat használni a trigonometrikus függvények értékeinek megtalálásához.

Oldalnavigáció.

Szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek táblázata 0, 30, 45, 60, 90, ... fokos szögekhez

Bibliográfia.

Algebra: Tankönyv 9. osztály számára. átl. iskola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky - M.: Oktatás, 1990. - 272 pp.: ISBN 5-09-002727-7
Basmakov M. I. Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv. 10-11 évfolyamnak. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Nevelés, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.
Bradis V. M. Négyjegyű matematikai táblázatok: Általános oktatáshoz. tankönyv létesítmények. - 2. kiadás - M.: Túzok, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

|BD|
- egy körív hossza, amelynek középpontja az A pontban van.

α a radiánban kifejezett szög. Érintő ( tan α
) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szemközti szár hosszának arányával |BC| a szomszédos láb hosszára |AB| . Kotangens (

ctg α

) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a szemközti láb hosszára |BC| . Tangens

Ahol
.
;
;
.

n

- egész.

A nyugati irodalomban az érintőt a következőképpen jelölik:
.
Az érintőfüggvény grafikonja, y = tan x
;
;
.

Kotangens

A nyugati irodalomban a kotangenst a következőképpen jelölik:

A következő jelöléseket is elfogadjuk:

A kotangens függvény grafikonja, y = ctg x Az érintő és a kotangens tulajdonságai Periodikaság Függvények y = tg x

és y =

ctg x

periodikusak π periódussal.

Az érintő és a kotangens függvények definíciós tartományukban folytonosak (lásd a folytonosság bizonyítását). Az érintő és a kotangens főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza ( a szemközti láb hosszára |BC| .- egész).

	y = Az érintő és a kotangens tulajdonságai	y = Függvények y =
Hatály és folytonosság
Értékek tartománya	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Növekvő		-
Csökkenő	-
Extrémek	-	-
Nullák, y = 0
Metszéspontok az ordináta tengellyel, x = 0	y = 0	-

Képletek

Szinuszos és koszinuszos kifejezések

; ;
; ;
;

Az érintő és a kotangens képlete összegből és különbségből

A többi képlet például könnyen beszerezhető

Érintők szorzata

Az érintők összegének és különbségének képlete

Ez a táblázat az érv bizonyos értékeinek érintők és kotangensek értékeit mutatja be.

Komplex számokat használó kifejezések

Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül

;
;

Származékok

; .

.
Az n-edrendű származéka a függvény x változójára vonatkozóan:
.
Levezetési képletek a > > > tangenshez ; kotangensre >>>

Integrálok

Sorozatbővítések

Ahhoz, hogy megkapjuk az érintő kiterjesztését x hatványaiban, a függvények hatványsorában több tagot kell felvenni a kiterjesztésre. bűn xÉs cos xés osztjuk el ezeket a polinomokat egymással, .

Ez a következő képleteket állítja elő.

Nál nél .
nál nél . Ahol Bn
;
;
- Bernoulli számok. Meghatározásuk vagy az ismétlődési relációból történik:
Ahol .

Vagy Laplace képlete szerint:

Inverz függvények

Az érintő és a kotangens inverz függvénye az arctangens, illetve az arckotangens.

Arctangens, arctg a szemközti láb hosszára |BC| . Tangens

, Ahol

Arctangens, arctg a szemközti láb hosszára |BC| . Tangens

Arccotangens, arcctg
Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.

G. Korn, Matematika kézikönyve tudósoknak és mérnököknek, 2012.

Lásd még:

Hogyan lehet megtalálni a szinust?

A geometria tanulása segíti a gondolkodás fejlesztését. Ez a tantárgy feltétlenül szerepel az iskolai képzésben. A mindennapi életben e tárgy ismerete hasznos lehet – például lakástervezéskor.

A történelemből

A geometria tantárgy része a trigonometria is, amely trigonometrikus függvényeket tanulmányoz. A trigonometriában a szögek szinuszait, koszinuszait, érintőit és kotangenseit vizsgáljuk.

De most kezdjük a legegyszerűbb dologgal - a szinuszával. Nézzük meg közelebbről a legelső fogalmat – a szög szinuszát a geometriában. Mi az a szinusz és hogyan lehet megtalálni?

A „szinuszszög” és a szinuszosok fogalma

A grafikonon egy szög szinuszát egy saját jellemzőkkel rendelkező szinuszhullám jelöli. A szinuszhullám úgy néz ki, mint egy folytonos hullámvonal, amely a koordinátasíkon bizonyos határokon belül helyezkedik el. A függvény páratlan, ezért a koordinátasíkon 0 körül szimmetrikus (a koordináták origójából jön ki).

Ennek a függvénynek a definíciós tartománya a -1 és +1 közötti tartományban van a derékszögű koordinátarendszerben. A szinuszszögfüggvény periódusa 2 Pi. Ez azt jelenti, hogy minden 2 Pi-nél a minta megismétlődik, és a szinuszhullám egy teljes cikluson megy keresztül.

Szinuszhullám egyenlet

sin x = a/c
ahol a a háromszög szögével ellentétes láb
c - derékszögű háromszög hipotenusza

Egy szög szinuszának tulajdonságai

sin(x) = - sin(x). Ez a tulajdonság azt mutatja, hogy a függvény szimmetrikus, és ha az x és (-x) értékeket mindkét irányban a koordinátarendszeren ábrázoljuk, akkor ezeknek a pontoknak az ordinátái ellentétesek lesznek. Egyenlő távolságra lesznek egymástól.
A függvény másik jellemzője, hogy a függvény grafikonja növekszik a [- P/2 + 2 Pn] szakaszon; [P/2 + 2Pn], ahol n tetszőleges egész szám. A szög szinuszának grafikonjának csökkenése figyelhető meg a szakaszon: [P/2 + 2Pn]; [3P/2 + 2Pn].
sin(x) > 0, ha x a (2Пn, П + 2Пn) tartományban van
(x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

A szög szinuszainak értékeit speciális táblázatok segítségével határozzák meg. Az ilyen táblázatokat azért hozták létre, hogy megkönnyítsék az összetett képletek és egyenletek kiszámításának folyamatát. Könnyen használható, és nem csak a sin(x) függvény értékeit tartalmazza, hanem más függvények értékeit is.

Ezenkívül ezeknek a függvényeknek a standard értékeinek táblázata szerepel a kötelező memóriatanulmányban, mint egy szorzótábla. Ez különösen igaz a fizikai és matematikai torzítású osztályokra. A táblázatban láthatja a trigonometriában használt főbb szögek értékeit: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 és 360 fok.

Van egy táblázat is, amely meghatározza a nem szabványos szögek trigonometrikus függvényeinek értékeit. Különböző táblázatok segítségével könnyen kiszámíthatja egyes szögek szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét.

Az egyenletek trigonometrikus függvényekkel készülnek. Ezen egyenletek megoldása egyszerű, ha ismeri az egyszerű trigonometrikus azonosságokat és a függvények redukcióit, mint például a sin (P/2 + x) = cos (x) és mások. Az ilyen csökkentésekről külön táblázat is készült.

Hogyan találjuk meg a szög szinuszát

Ha a feladat egy szög szinuszának megtalálása, és a feltételnek megfelelően csak a szög koszinusza, érintője vagy kotangense van meg, akkor a trigonometrikus azonosságok segítségével könnyen kiszámíthatjuk, hogy mire van szükségünk.

sin 2 x + cos 2 x = 1

Ebből az egyenletből találhatunk szinust és koszinust is, attól függően, hogy melyik érték ismeretlen. Kapunk egy trigonometrikus egyenletet egy ismeretlennel:

sin 2 x = 1 - cos 2 x
sin x = ± √ 1 - cos 2 x
kiságy 2 x + 1 = 1 / bűn 2 x

Ebből az egyenletből megtalálhatja a szinusz értékét, ismerve a szög kotangensének értékét. Az egyszerűsítés kedvéért cserélje ki a sin 2 x = y-t, és egy egyszerű egyenletet kap. Például a kotangens értéke 1, akkor:

1 + 1 = 1/év
2 = 1/év
2u = 1
y = 1/2

Most végrehajtjuk a lejátszó fordított cseréjét:

sin 2 x = ½
sin x = 1 / √2

Mivel a standard szög kotangens értékét (45 0) vettük, a kapott értékek a táblázatban ellenőrizhetők.

Ha adott egy érintő értéket, és meg kell találnia a szinust, egy másik trigonometrikus azonosság segít:

tg x * ctg x = 1

Ebből következik, hogy:

kiságy x = 1 / tg x

Egy nem szabványos szög, például 240 0 szinuszának megtalálásához szögcsökkentési képleteket kell használnia. Tudjuk, hogy π 180 0-nak felel meg. Így az egyenlőségünket szabványos szögekkel fejezzük ki kiterjesztéssel.

240 0 = 180 0 + 60 0

Meg kell találnunk a következőket: sin (180 0 + 60 0). A trigonometriának vannak redukciós képletei, amelyek ebben az esetben hasznosak. Ez a képlet:

sin (π + x) = - sin (x)

Így a 240 fokos szög szinusza egyenlő:

sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2

Esetünkben x = 60, P pedig 180 fok. Az értéket (-√3/2) a standard szögek függvényeinek értéktáblázatából találtuk meg.

Ily módon a nem szabványos szögek bővíthetők, például: 210 = 180 + 30.

|BD|- olyan körív hossza, amelynek középpontja egy pontban van A.
α - radiánban kifejezett szög.

szinusz ( sin α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szemközti szár hosszának arányával |BC| a hypotenus hosszára |AC|.
koszinusz ( cos α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a hypotenus hosszára |AC|.

Elfogadott jelölések

;
;
.

A szinuszfüggvény grafikonja, y = sin x

A koszinusz függvény grafikonja, y = cos x

A szinusz és a koszinusz tulajdonságai

A következő jelöléseket is elfogadjuk:

A kotangens függvény grafikonja, y = ctg x bűn x Periodikaság cos x periodikus periódussal 2π.

és y =

A szinuszfüggvény páratlan. A koszinusz függvény páros.

Definíció és értékek tartománya, szélsőség, növekedés, csökkenés

A szinusz és a koszinusz függvények definíciós tartományukban folytonosak, azaz minden x esetén (lásd a folytonosság bizonyítását). Főbb tulajdonságaikat a táblázat mutatja be (n - egész).

	y = bűn x	y = cos x
Hatály és folytonosság	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Értékek tartománya	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Növekvő
Csökkenő
Maxima, y = 1
Minimum, y = - 1
Nullák, y = 0
Metszéspontok az ordináta tengellyel, x = 0	y = 0	y = 1

Alapképletek

A szinusz és a koszinusz négyzetösszege

Szinusz és koszinusz képlete összegből és különbségből

;
;

Képletek szinuszok és koszinuszok szorzatára

Összeg és különbség képletek

Szinusz kifejezése koszinuszon keresztül

;
;
;
.

Koszinusz kifejezése szinuszon keresztül

;
;
;
.

Kifejezés érintőn keresztül

; .

Mikor van nálunk:
; .

Nál nél :
; .

Szinuszok és koszinuszok, érintők és kotangensek táblázata

Ez a táblázat a szinuszok és koszinuszok értékeit mutatja az argumentum bizonyos értékeihez.

Kifejezések összetett változókon keresztül

;

Euler-képlet

Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül

;
;

Származékok

;

.
{ -∞ < x < +∞ }

Képletek származtatása >>>

Vagy Laplace képlete szerint:

N-edrendű származékai:

Szekáns, koszekáns

A szinusz és a koszinusz inverz függvénye arszinusz, illetve arkoszinusz.

Arccotangens, arcctg
Referenciák:

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos Lásd még: Előző cikk: Mekkora a fénysebesség