Képlet a számtani átlag meghatározásához. Természetes és tizedes törtek
Ez elveszik az átlag számításánál.
Átlagos jelentése számkészlet egyenlő az S számok összegével osztva e számok számával. Azaz kiderül, hogy átlagos jelentése egyenlő: 19/4 = 4,75.
jegyzet
Ha csak két szám geometriai középértékét kell megkeresnie, akkor nincs szükség mérnöki számológépre: bármely szám második gyökét (négyzetgyökét) kivonhatja a legáltalánosabb számológép segítségével.
Hasznos tanács
A számtani átlagtól eltérően a geometriai átlagot nem befolyásolják olyan erősen a vizsgált mutatók készletének egyes értékei közötti nagy eltérések és ingadozások.
Források:
- Online számológép, amely kiszámítja a geometriai átlagot
- geometriai középképlet
Átlagosérték egy számhalmaz egyik jellemzője. Olyan számot jelöl, amely nem eshet kívülre az adott számkészlet legnagyobb és legkisebb értéke által meghatározott tartományon. Átlagos A számtani érték a leggyakrabban használt átlagtípus.
Utasítás
Adja össze a halmazban lévő összes számot, és ossza el a tagok számával, hogy megkapja a számtani átlagot. A konkrét számítási feltételektől függően néha könnyebb elosztani az egyes számokat a készletben lévő értékek számával, és összeadni az eredményt.
Használja például a Windows operációs rendszerben található elemet, ha nem lehetséges fejben kiszámítani a számtani átlagot. A programindító párbeszédpanel segítségével nyithatja meg. Ehhez nyomja meg a WIN + R gyorsbillentyűket, vagy kattintson a Start gombra, és válassza a Futtatás lehetőséget a főmenüből. Ezután írja be a beviteli mezőbe a calc szót, és nyomja meg az Enter billentyűt, vagy kattintson az OK gombra. Ugyanezt megteheti a főmenüben is - nyissa meg, lépjen az „Összes program” szakaszba, majd a „Normál” részben válassza ki a „Számológép” sort.
Írja be egymás után a készletben lévő összes számot úgy, hogy mindegyik után nyomja meg a Plusz billentyűt (az utolsó kivételével), vagy kattintson a megfelelő gombra a számológép felületén. A számokat a billentyűzetről vagy a megfelelő kezelőfelület gombjaira kattintva is beírhatja.
Nyomja meg a perjel billentyűt, vagy kattintson erre a számológép felületén az utolsó beállított érték megadása után, és írja be a számok számát a sorozatba. Ezután nyomja meg az egyenlőségjelet, és a számológép kiszámítja és megjeleníti a számtani átlagot.
Ugyanerre a célra használhatja a Microsoft Excel táblázatszerkesztőt. Ebben az esetben indítsa el a szerkesztőt, és írja be a számsor összes értékét a szomszédos cellákba. Ha az egyes számok beírása után megnyomja az Entert vagy a le vagy jobb nyílbillentyűt, maga a szerkesztő mozgatja a beviteli fókuszt a szomszédos cellára.
Kattintson az utoljára beírt szám melletti cellára, ha nem csak az átlagot szeretné látni. Bontsa ki a Görög szigma (Σ) legördülő menüt a Kezdőlap lap Szerkesztés parancsaihoz. Válassza ki a sort" Átlagos", és a szerkesztő beszúrja a kívánt képletet a számtani átlag kiszámításához a kiválasztott cellába. Nyomja meg az Enter billentyűt, és az érték kiszámításra kerül.
A számtani átlag a központi tendencia egyik mérőszáma, amelyet széles körben alkalmaznak a matematikában és a statisztikai számításokban. Számos érték számtani átlagának megtalálása nagyon egyszerű, de minden feladatnak megvannak a maga árnyalatai, amelyeket egyszerűen ismerni kell a helyes számítások elvégzéséhez.
Mi az a számtani közép
A számtani átlag határozza meg a teljes eredeti számtömb átlagos értékét. Más szóval, egy bizonyos számkészletből kiválasztunk egy minden elemre közös értéket, amelynek matematikai összehasonlítása az összes elemmel megközelítőleg egyenlő. A számtani átlagot elsősorban pénzügyi és statisztikai jelentések készítésekor, illetve hasonló kísérletek eredményeinek kiszámításához használják.Hogyan találjuk meg a számtani átlagot
Egy számtömb számtani középértékének megtalálását ezen értékek algebrai összegének meghatározásával kell kezdeni. Például, ha a tömb tartalmazza a 23, 43, 10, 74 és 34 számokat, akkor ezek algebrai összege 184 lesz. Íráskor a számtani átlagot μ (mu) vagy x (x) betűvel jelöljük. rúd). Ezután az algebrai összeget el kell osztani a tömbben lévő számok számával. A vizsgált példában öt szám szerepel, így a számtani átlag 184/5 lesz, és 36,8 lesz.A negatív számokkal való munka jellemzői
Ha a tömb negatív számokat tartalmaz, akkor a számtani átlagot hasonló algoritmussal találjuk meg. A különbség csak akkor áll fenn, ha a programozási környezetben számolunk, vagy ha a problémának további feltételei vannak. Ezekben az esetekben a különböző előjelű számok számtani átlagának megtalálása három lépésből áll:1. Az általános számtani átlag meghatározása standard módszerrel;
2. Negatív számok számtani középértékének meghatározása.
3. Pozitív számok számtani középértékének kiszámítása.
Az egyes műveletekre adott válaszok vesszővel vannak elválasztva.
Természetes és tizedes törtek
Ha egy számtömböt tizedes törtekkel ábrázolunk, akkor a megoldást az egész számok számtani középértékének számítási módszerével hajtjuk végre, de az eredményt a feladatnak a válasz pontosságára vonatkozó követelményei szerint csökkentjük.Ha természetes törtekkel dolgozunk, azokat közös nevezőre kell csökkenteni, amelyet meg kell szorozni a tömbben lévő számok számával. A válasz számlálója az eredeti törtelemek megadott számlálóinak összege lesz.
Mérnöki számológép.
Utasítás
Ne feledje, hogy általában a számok geometriai átlagát úgy kapjuk meg, hogy ezeket a számokat megszorozzuk, és kivesszük belőlük a számok számának megfelelő hatvány gyökerét. Például, ha meg kell találnia öt szám geometriai átlagát, akkor ki kell vonnia a hatvány gyökerét a szorzatból.
Két szám geometriai átlagának meghatározásához használja az alapszabályt. Keresse meg a szorzatukat, majd vegye ki a négyzetgyökét, mivel a szám kettő, ami a gyök hatványának felel meg. Például a 16 és 4 számok geometriai középértékének megtalálásához keresse meg a 16 4=64 szorzatát. A kapott számból vegye ki a négyzetgyököt √64=8. Ez lesz a kívánt érték. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ennek a két számnak a számtani átlaga nagyobb, mint 10, és egyenlő azzal. Ha a teljes gyökér nincs kivonva, kerekítse az eredményt a kívánt sorrendre.
Kettőnél több szám geometriai átlagának meghatározásához használja az alapszabályt is. Ehhez keresse meg az összes szám szorzatát, amelyhez meg kell találnia a geometriai átlagot. A kapott szorzatból vonjuk ki a számok számával megegyező hatvány gyökét. Például a 2, 4 és 64 számok geometriai átlagának megtalálásához keresse meg a szorzatukat. 2 4 64=512. Mivel meg kell találnia három szám geometriai átlagának eredményét, vegye ki a szorzatból a harmadik gyökeret. Nehéz ezt szóban megtenni, ezért használjon mérnöki számológépet. Erre a célra van egy "x^y" gomb. Tárcsázza az 512-es számot, nyomja meg az "x^y" gombot, majd tárcsázza a 3-as számot, és nyomja meg az "1/x" gombot. Az 1/3 értékének meghatározásához nyomja meg az "="" gombot. Azt az eredményt kapjuk, hogy az 512-t az 1/3 hatványra emeljük, ami a harmadik gyökérnek felel meg. Legyen 512^1/3=8. Ez a 2,4 és 64 számok geometriai átlaga.
Mérnöki számológép segítségével más módon is megtalálhatja a geometriai átlagot. Keresse meg a napló gombot a billentyűzeten. Ezután vegye ki az egyes számok logaritmusát, keresse meg az összegüket, és osszuk el a számok számával. Vegye ki az antilogaritmust a kapott számból. Ez lesz a számok geometriai átlaga. Például ugyanazon számok (2, 4 és 64) geometriai átlagának megtalálásához hajtson végre egy műveletsort a számológépen. Tárcsázza a 2-es számot, majd nyomja meg a napló gombot, nyomja meg a „+” gombot, tárcsázza a 4-es számot, és ismét nyomja meg a log és a „+” gombot, tárcsázza a 64-et, nyomja meg a log és a „=” gombot. Az eredmény egy olyan szám lesz, amely megegyezik a 2, 4 és 64 számok tizedes logaritmusának összegével. A kapott számot osszuk el 3-mal, mivel ez a számok számának mértani középértéke. Az eredményből vegye ki az antilogaritmust a kis- és nagybetűs gomb megnyomásával, és használja ugyanazt a naplóbillentyűt. Az eredmény a 8-as szám lesz, ez a kívánt geometriai átlag.
A leggyakoribb átlagtípus a számtani átlag.
Egyszerű számtani átlag
Az egyszerű számtani átlag az az átlagtag, amelynek meghatározásakor egy adott attribútum teljes mennyisége az adatokban egyenlően oszlik el az adott sokaságban szereplő összes egység között. Így az egy alkalmazottra jutó éves átlagos kibocsátás az a kibocsátás mennyisége, amelyet az egyes alkalmazottak termelnének, ha a teljes kibocsátás mennyiségét egyenlően osztanák el a szervezet összes alkalmazottja között. A számtani átlag egyszerű értéket a következő képlet segítségével számítjuk ki:
1. példa . Egy 6 fős csapat havonta 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 ezer rubelt kap.Egyszerű számtani átlag— Egyenlő egy jellemző egyedi értékeinek összegének az aggregált jellemzők számához viszonyított arányával
Találja meg az átlagos fizetést
Megoldás: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 ezer rubel.
Súlyozott számtani átlag
Ha az adathalmaz térfogata nagy és eloszlási sorozatot képvisel, akkor a súlyozott számtani átlagot számítjuk ki. Így határozzák meg a termelési egységenkénti súlyozott átlagárat: a teljes termelési költséget (a mennyiségének termékeinek összege a termelési egység árával) elosztjuk a termelés összmennyiségével.
Képzeljük el ezt a következő képlet formájában:
2. példa . Keresse meg a műhelymunkások havi átlagbérétSúlyozott számtani átlag— egyenlő (egy jellemző értékének szorzata a jellemző ismétlődési gyakoriságával) és (az összes jellemző gyakoriságának összege) arányával. Akkor használjuk, ha a vizsgált populáció változatai fordulnak elő egyenlőtlen számú alkalommal.
Az átlagbért úgy kaphatjuk meg, hogy a teljes bért elosztjuk a dolgozók teljes számával:
Válasz: 3,35 ezer rubel.
Intervallumsorozatok számtani átlaga
Egy intervallum-változat-sorozat számtani középértékének kiszámításakor először határozza meg az egyes intervallumok átlagát a felső és alsó határok fele összegeként, majd a teljes sorozat átlagát. Nyitott intervallumok esetén az alsó vagy felső intervallum értékét a mellettük lévő intervallumok nagysága határozza meg.
Az intervallumsorokból számított átlagok hozzávetőlegesek.
3. példa. Határozza meg az esti tanulók átlagéletkorát!
Az intervallumsorokból számított átlagok hozzávetőlegesek. Közelítésük mértéke attól függ, hogy a populációs egységek tényleges eloszlása az intervallumon belül milyen mértékben közelíti meg az egyenletes eloszlást.
Az átlagok kiszámításakor nem csak abszolút, hanem relatív értékek (gyakoriság) is használhatók súlyként:
A számtani átlagnak számos olyan tulajdonsága van, amelyek teljesebben felfedik a lényegét és leegyszerűsítik a számításokat:
1. Az átlag szorzata a gyakoriságok összegével mindig egyenlő a változat gyakorisági szorzatainak összegével, azaz.
2. Változó mennyiségek összegének számtani középértéke egyenlő ezen mennyiségek számtani középértékeinek összegével:
3. Egy jellemző egyedi értékeinek átlagtól való eltéréseinek algebrai összege nulla:
4. Az opciók átlagtól való négyzetes eltéréseinek összege kisebb, mint bármely más tetszőleges értéktől való eltérés négyzetes összege, azaz.
A számtani átlag és a mértani átlag témakör a 6-7. osztályos matematika programban szerepel. Mivel a bekezdés meglehetősen könnyen érthető, gyorsan átmegy rajta, és a tanév végére a tanulók elfelejtették. Az egységes államvizsga, valamint a nemzetközi SAT vizsgák letételéhez azonban alapvető statisztikai ismeretekre van szükség. A mindennapi életben pedig soha nem árt a fejlett analitikus gondolkodás.
Hogyan kell kiszámítani a számok számtani és geometriai átlagát
Tegyük fel, hogy van egy számsor: 11, 4 és 3. A számtani átlag az összes szám összege osztva a megadott számok számával. Vagyis a 11, 4, 3 számok esetén a válasz 6 lesz. Hogyan kapunk 6-ot?
Megoldás: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
A nevezőnek olyan számot kell tartalmaznia, amely megegyezik azon számok számával, amelyek átlagát meg kell találni. Az összeg osztható 3-mal, mivel három tag van.
Most meg kell találnunk a geometriai átlagot. Tegyük fel, hogy van egy számsor: 4, 2 és 8.
A számok geometriai átlaga az összes adott szám szorzata, amely a gyök alatt helyezkedik el, az adott számok számával egyenlő hatványon, vagyis a 4-es, 2-es és 8-as számok esetén a válasz 4 lesz. kiderült:
Megoldás: ∛(4 × 2 × 8) = 4
Mindkét lehetőségnél egész válaszokat kaptunk, mivel a példában speciális számokat vettünk. Ez nem mindig történik meg. A legtöbb esetben a választ kerekíteni kell, vagy a gyökérben kell hagyni. Például a 11, 7 és 20 számok számtani átlaga ≈ 12,67, a geometriai átlag pedig ∛1540. A 6-os és 5-ös számokra pedig 5,5 és √30 lesz a válasz.
Megtörténhet, hogy a számtani közép egyenlő lesz a geometriai átlaggal?
Természetesen lehet. De csak két esetben. Ha van olyan számsor, amely csak egyesekből vagy nullákból áll. Figyelemre méltó az is, hogy a válasz nem a számuktól függ.
Bizonyítás mértékegységekkel: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (számtani átlag).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometriai átlag).
Bizonyítás nullákkal: (0 + 0) / 2=0 (számtani átlag).
√(0 × 0) = 0 (geometriai átlag).
Más lehetőség nincs és nem is lehet.
Válasz: mindenki kapott egyet 4 körte.2. példa: Hétfőn 15 fő, kedden 12, csütörtökön 11, pénteken 7, szombaton 14, vasárnap 8 fő jött el az angol nyelvtanfolyamra.
Megoldás: Keressük a számtani átlagot:
| 15 + 10 + 12 + 11 + 7 + 14 + 8 | = | 77 | = 11 |
| 7 | 7 |
3. példa: Egy versenyző két órát lovagolt 120 km/h-val és egy órát 90 km/h-val. Keresse meg az autó átlagsebességét a verseny alatt.
Megoldás: Nézzük meg az autók sebességének számtani átlagát az egyes utazási órákra:
| 120 + 120 + 90 | = | 330 | = 110 |
| 3 | 3 |
4. példa: 3 szám számtani közepe 6, és 7 másik szám számtani közepe 3. Mi ennek a tíz számnak a számtani közepe?
Megoldás: Mivel 3 szám számtani átlaga 6, így összegük 6 3 = 18, hasonlóképpen a maradék 7 szám összege 7 3 = 21.
Ez azt jelenti, hogy mind a 10 szám összege 18 + 21 = 39 lesz, és a számtani átlag egyenlő
| 39 | = 3.9 |
| 10 |
Három gyerek ment be az erdőbe bogyót szedni. A legidősebb lány 18 bogyót talált, a középső 15, az öccse pedig 3 bogyót (lásd 1. ábra). Elvitték a bogyókat anyának, aki úgy döntött, hogy egyenlően osztja el a bogyókat. Hány bogyót kapott minden gyerek?
Rizs. 1. A probléma illusztrációja
Megoldás
(Yag.) - a gyerekek mindent összegyűjtöttek
2) Ossza el a bogyók teljes számát a gyermekek számával:
(Yag.) minden gyerekhez járt
Válasz: Minden gyerek 12 bogyót kap.
Az 1. feladatban a válaszban kapott szám a számtani átlag.
Számtani átlaga több szám az a hányadosa, amikor ezeknek a számoknak az összegét elosztjuk a számukkal.
1. példa
Két számunk van: 10 és 12. Határozzuk meg a számtani átlagukat.
Megoldás
1) Határozzuk meg ezeknek a számoknak az összegét: .
2) Ezeknek a számoknak a száma 2, ezért ezeknek a számoknak a számtani átlaga: .
Válasz: A 10 és 12 számok számtani átlaga a 11.
2. példa
Öt számunk van: 1, 2, 3, 4 és 5. Határozzuk meg a számtani átlagukat.
Megoldás
1) Ezeknek a számoknak az összege egyenlő: .
2) Definíció szerint a számtani átlag a számok összegének a számukkal való osztásának hányadosa. Öt számunk van, tehát a számtani átlag:
Válasz: a számfeltételben szereplő adatok számtani átlaga 3.
Amellett, hogy a tanórákon folyamatosan kérik, hogy megtalálják, a számtani átlag megtalálása nagyon hasznos a mindennapi életben. Tegyük fel például, hogy Görögországba szeretnénk nyaralni. A megfelelő ruházat kiválasztásához megnézzük, milyen hőmérséklet van jelenleg ebben az országban. Az időjárási összképet azonban nem fogjuk tudni. Ezért meg kell találni a levegő hőmérsékletét például Görögországban egy hétre, és meg kell találni ezeknek a hőmérsékleteknek a számtani átlagát.
3. példa
Hőmérséklet Görögországban a héten: hétfő - ; kedd - ; Szerda - ; Csütörtök - ; Péntek - ; Szombat - ; Vasárnap -. Számítsa ki a heti átlaghőmérsékletet.
Megoldás
1) Számítsuk ki a hőmérsékletek összegét: .
2) A kapott összeget osszuk el a napok számával: .
Válasz: A heti átlaghőmérséklet kb.
A számtani átlag megtalálásának képessége a futballcsapat játékosainak átlagéletkorának meghatározásához is szükséges lehet, vagyis annak megállapításához, hogy a csapat tapasztalt-e vagy sem. Össze kell adni az összes játékos életkorát, és el kell osztani a számukkal.
2. probléma
A kereskedő almát árult. Eleinte 85 rubel / 1 kg áron adta el őket. Így 12 kg-ot adott el. Aztán 65 rubelre csökkentette az árat, és eladta a maradék 4 kg almát. Mennyi volt az alma átlagára?
Megoldás
1) Számítsuk ki, hogy a kereskedő összesen mennyi pénzt keresett. 12 kilogrammot adott el 85 rubel/1 kg áron: 
(dörzsölés.).
4 kilogrammot adott el 65 rubel/1 kg áron: (rubel).
Ezért a teljes megkeresett pénzösszeg egyenlő: (dörzsölje.).
2) Az eladott alma össztömege egyenlő: .
3) Ossza el a kapott pénzt az eladott alma össztömegével, és kapja meg 1 kg alma átlagárát: (rubel).
Válasz: 1 kg eladott alma átlagos ára 80 rubel.
A számtani átlag segít az adatok egészének értékelésében, anélkül, hogy az egyes értékeket külön-külön vennénk.
A számtani átlag fogalmát azonban nem mindig lehet használni.
4. példa
A lövő két lövést adott le a céltáblára (lásd 2. ábra): az első alkalommal egy méterrel a cél fölött, a második alkalommal pedig egy méterrel lejjebb talált el. A számtani átlag azt mutatja, hogy pontosan találta el a centert, bár mindkétszer kihagyta.
Rizs. 2. Illusztráció például
Ebben a leckében megismerkedtünk a számtani átlag fogalmával. Megtanultuk ennek a fogalomnak a definícióját, megtanultuk, hogyan számítsuk ki több szám számtani középértékét. Megtanultuk ennek a fogalomnak a gyakorlati alkalmazását is.
- N.Ya. Vilenkin. Matematika: tankönyv. 5. osztály számára. Általános oktatás uchr. - Szerk. 17. - M.: Mnemosyne, 2005. )
- Igornak 45 rubel volt, Andrejnak 28, Denisnek pedig 17.
- Minden pénzükből 3 mozijegyet vettek. Mennyibe került egy jegy?
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete