Képlet a trapéz közepére. Tekintse meg a másik magyarázatot

Koncepció középvonal trapéz alakúak

Először is emlékezzünk arra, hogy milyen alakot nevezünk trapéznek.

1. definíció

A trapéz olyan négyszög, amelynek két oldala párhuzamos, a másik kettő pedig nem párhuzamos.

Egy időben párhuzamos oldalak a trapéz alapjainak, a nem párhuzamosakat pedig a trapéz oldalainak nevezzük.

2. definíció

A trapéz középvonala egy szakasz, amely összeköti a trapéz oldalsó oldalainak felezőpontjait.

Trapéz középvonal tétel

Most bevezetjük a trapéz középvonalára vonatkozó tételt, és igazoljuk vektoros módszerrel.

1. tétel

A trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ trapézt, melynek alapjai $AD\ és\ BC$. És legyen $MN$ ennek a trapéznek a középvonala (1. ábra).

1. ábra Trapéz középvonala

Bizonyítsuk be, hogy $MN||AD\ és\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Tekintsük a $\overrightarrow(MN)$ vektort. Ezután a sokszögszabályt használjuk vektorok hozzáadásához. Egyrészt ezt kapjuk

A másik oldalon

Adjuk össze az utolsó két egyenlőséget, és kapjuk

Mivel $M$ és $N$ a trapéz oldaloldalainak felezőpontja, így lesz

Kapunk:

Ezért

Ugyanebből az egyenlőségből (mivel a $\overrightarrow(BC)$ és a $\overrightarrow(AD)$ egyirányúak, és ezért kollineárisak) azt kapjuk, hogy $MN||AD$.

A tétel bizonyítást nyert.

Példák a trapéz középvonalának fogalmára vonatkozó problémákra

1. példa

A trapéz oldalsó oldalai rendre $15\ cm$ és $17\ cm$. A trapéz kerülete $52\cm$. Határozza meg a trapéz középvonalának hosszát!

Megoldás.

Jelöljük a trapéz középvonalát $n$-al.

Az oldalak összege egyenlő

Ezért, mivel a kerülete $52\ cm$, az alapok összege egyenlő

Tehát az 1. Tételből kapjuk

Válasz:$10\cm$.

2. példa

A kör átmérőjének végei $9$ cm és $5$ cm távolságra vannak az érintőjétől. Határozzuk meg ennek a körnek az átmérőjét.

Megoldás.

Adjunk meg egy kört, amelynek középpontja $O$ és átmérője $AB$. Rajzoljunk egy $l$ érintőt, és állítsuk össze a $AD=9\ cm$ és $BC=5\ cm$ távolságokat. Rajzoljuk meg a $OH$ sugarat (2. ábra).

2. ábra.

Mivel $AD$ és $BC$ az érintő távolsága, akkor $AD\bot l$ és $BC\bot l$ és mivel $OH$ a sugár, akkor $OH\bot l$, ezért $OH |\left|AD\right||BC$. Mindebből azt kapjuk, hogy az $ABCD$ egy trapéz, a $OH$ pedig a középvonala. Az 1. tétel alapján azt kapjuk

A trapéz középvonalának fogalma

Először is emlékezzünk arra, hogy milyen alakot nevezünk trapéznek.

1. definíció

A trapéz olyan négyszög, amelynek két oldala párhuzamos, a másik kettő pedig nem párhuzamos.

Ebben az esetben a párhuzamos oldalakat a trapéz alapjainak, a nem párhuzamos oldalakat pedig a trapéz oldaloldalainak nevezzük.

2. definíció

A trapéz középvonala egy szakasz, amely összeköti a trapéz oldalsó oldalainak felezőpontjait.

Trapéz középvonal tétel

Most bevezetjük a trapéz középvonalára vonatkozó tételt, és igazoljuk vektoros módszerrel.

1. tétel

A trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ trapézt, melynek alapjai $AD\ és\ BC$. És legyen $MN$ ennek a trapéznek a középvonala (1. ábra).

1. ábra Trapéz középvonala

Bizonyítsuk be, hogy $MN||AD\ és\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Tekintsük a $\overrightarrow(MN)$ vektort. Ezután a sokszögszabályt használjuk vektorok hozzáadásához. Egyrészt ezt kapjuk

A másik oldalon

Adjuk össze az utolsó két egyenlőséget, és kapjuk

Mivel $M$ és $N$ a trapéz oldaloldalainak felezőpontja, így lesz

Kapunk:

Ezért

Ugyanebből az egyenlőségből (mivel a $\overrightarrow(BC)$ és a $\overrightarrow(AD)$ egyirányúak, és ezért kollineárisak) azt kapjuk, hogy $MN||AD$.

A tétel bizonyítást nyert.

Példák a trapéz középvonalának fogalmára vonatkozó problémákra

1. példa

A trapéz oldalsó oldalai rendre $15\ cm$ és $17\ cm$. A trapéz kerülete $52\cm$. Határozza meg a trapéz középvonalának hosszát!

Megoldás.

Jelöljük a trapéz középvonalát $n$-al.

Az oldalak összege egyenlő

Ezért, mivel a kerülete $52\ cm$, az alapok összege egyenlő

Tehát az 1. Tételből kapjuk

Válasz:$10\cm$.

2. példa

A kör átmérőjének végei $9$ cm és $5$ cm távolságra vannak az érintőjétől. Határozzuk meg ennek a körnek az átmérőjét.

Megoldás.

Adjunk meg egy kört, amelynek középpontja $O$ és átmérője $AB$. Rajzoljunk egy $l$ érintőt, és állítsuk össze a $AD=9\ cm$ és $BC=5\ cm$ távolságokat. Rajzoljuk meg a $OH$ sugarat (2. ábra).

2. ábra.

Mivel $AD$ és $BC$ az érintő távolsága, akkor $AD\bot l$ és $BC\bot l$ és mivel $OH$ a sugár, akkor $OH\bot l$, ezért $OH |\left|AD\right||BC$. Mindebből azt kapjuk, hogy az $ABCD$ egy trapéz, a $OH$ pedig a középvonala. Az 1. tétel alapján azt kapjuk

Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok az azonosításra használható adatokra vonatkoznak bizonyos személy vagy a vele való kapcsolat.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Mi gyűjtöttük össze személyes adatok lehetővé teszi számunkra, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel és tájékoztassuk Önt arról egyedi ajánlatok, akciók és egyéb események és közelgő eseményeket.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresések vagy a kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A trapéz oldalsó oldalainak felezőpontjait összekötő egyenes szakaszt a trapéz felezővonalának nevezzük. Az alábbiakban elmondjuk, hogyan találhatja meg a trapéz középvonalát, és hogyan kapcsolódik az ábra többi eleméhez.

Középvonal tétel

Rajzoljunk egy trapézt, amelyben AD a nagyobb bázis, BC a kisebb bázis, EF a középvonal. Hosszabbítsuk meg az AD bázist a D ponton túlra. Rajzoljunk egy BF egyenest, és folytassuk addig, amíg az O pontban nem metszi az AD bázis folytatását. Tekintsük a ∆BCF és ∆DFO háromszögeket. Szögek ∟BCF = ∟DFO mint függőleges. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, mert VS // JSC. Ezért a ∆BCF = ∆DFO háromszögek. Ezért az oldalak BF = FO.

Most vegyük figyelembe ∆ABO és ∆EBF. ∟ABO közös mindkét háromszögben. BE/AB = ½ feltétel szerint, BF/BO = ½, mivel ∆BCF = ∆DFO. Ezért az ABO és az EFB háromszögek hasonlóak. Ebből adódik a pártok aránya EF/AO = ½, valamint a többi párt aránya.

Azt találjuk, hogy EF = ½ AO. A rajzon látható, hogy AO = AD + DO. DO = BC oldalként egyenlő háromszögek, ami azt jelenti, hogy AO = AD + BC. Ezért EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Azok. a trapéz középvonalának hossza egyenlő az alapok összegének felével.

A trapéz középvonala mindig egyenlő az alapok összegének felével?

Tegyük fel, hogy van ilyen speciális eset, ha EF ≠ ½ (AD + BC). Ekkor BC ≠ DO, tehát ∆BCF ≠ ∆DCF. De ez lehetetlen, mivel két egyenlő szög és oldal van köztük. Ezért a tétel minden körülmények között igaz.

Középvonali probléma

Tegyük fel, hogy az ABCD AD //BC trapézunkban ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 cm, az AC átló merőleges az oldalra. Keresse meg az EF trapéz középvonalát.

Ha ∟A = 90°, akkor ∟B = 90°, ami azt jelenti, hogy az ∆ABC négyszögletes.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° megegyezés szerint, ezért ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

Ha be derékszögű háromszög∆ABC egy szög 45°, ami azt jelenti, hogy a benne lévő lábak egyenlőek: AB = BC = 2 cm.

AC hipoténusz = √(AB² + BC²) = √8 cm.

Tekintsük az ∆ACD-t. ∟ACD = 90° az állapottól függően. ∟CAD = ∟BCA = 45°, mint a keresztirányú szögek párhuzamos alapok trapézok. Ezért lábak AC = CD = √8.

Hipoténusz AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.

Az EF trapéz középvonala = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 cm.

Olyan négyszöget nevezünk, amelynek csak két oldala párhuzamos trapéz alakú.

A trapéz párhuzamos oldalait annak nevezzük okokból, és azokat az oldalakat nevezzük, amelyek nem párhuzamosak oldalain. Ha az oldalak egyenlőek, akkor egy ilyen trapéz egyenlő szárú. Az alapok közötti távolságot a trapéz magasságának nevezzük.

Középső vonal trapéz

A középvonal a trapéz oldalainak felezőpontjait összekötő szakasz. A trapéz középvonala párhuzamos az alapjaival.

Tétel:

Ha az egyik oldal közepét metsző egyenes párhuzamos a trapéz alapjaival, akkor felezi a másodikat oldal trapézok.

Tétel:

A középvonal hossza egyenlő az alapjai hosszának számtani átlagával

MN középvonal, AB és CD - alapok, AD és BC - oldalsó oldalak

MN = (AB + DC)/2

Tétel:

A trapéz középvonalának hossza megegyezik az alapjai hosszának számtani átlagával.

Fő feladat: Bizonyítsuk be, hogy a trapéz középvonala kettévág egy szakaszt, amelynek végei a trapéz alapjainak közepén vannak.

A háromszög középső vonala

A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük. Párhuzamos a harmadik oldallal, hossza pedig egyenlő a harmadik oldal hosszának felével.
Tétel: Ha a háromszög egyik oldalának felezőpontját metsző egyenes párhuzamos a másik oldallal adott háromszög, akkor a harmadik oldalt kettéosztja.

AM = MC és BN = NC =>

Háromszög és trapéz középvonali tulajdonságainak alkalmazása

Egy szegmens elosztása egy bizonyos összeggel egyenlő részek.
Feladat: Osszuk az AB szakaszt 5 egyenlő részre.
Megoldás:
Legyen p véletlenszerű sugár, amelynek origója az A pont, és amely nem az AB egyenesen fekszik. Egymás után félretettünk 5 egyenlő szegmenst a p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5 oldalon.
Összekapcsoljuk A 5-öt B-vel, és olyan vonalakat húzunk A 4, A 3, A 2 és A 1 pontokon, amelyek párhuzamosak A 5 B-vel. Ezek metszik az AB-t rendre a B 4, B 3, B 2 és B 1 pontokban. Ezek a pontok az AB szakaszt 5 egyenlő részre osztják. A BB 3 A 3 A 5 trapézből valóban azt látjuk, hogy BB 4 = B 4 B 3. Ugyanígy a B 4 B 2 A 2 A 4 trapézből a következőt kapjuk: B 4 B 3 = B 3 B 2

Míg a trapézből B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Ekkor B 2 AA 2-ből az következik, hogy B 2 B 1 = B 1 A. Összegezve azt kapjuk, hogy:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Nyilvánvaló, hogy az AB szakasz további sok egyenlő részre osztásához ugyanannyi egyenlő szakaszt kell a p sugárra vetítenünk. Ezután folytassa a fent leírt módon.