Hogyan találjuk meg a prizma térfogatát. A háromszögprizma térfogata: általános típusú képlet és egy szabályos prizma képlete

A matematika vizsgára készülő iskolásoknak feltétlenül meg kell tanulniuk az egyenes és szabályos prizma területének megtalálásához szükséges feladatok megoldását. Sok éves gyakorlat megerősíti azt a tényt, hogy sok diák meglehetősen nehéznek tartja az ilyen geometriai feladatokat.

Ugyanakkor a középiskolásoknak bármilyen képzettséggel meg kell tudniuk találni egy szabályos és közvetlen prizma területét és térfogatát. Csak ebben az esetben számíthatnak versenypontok megszerzésére a sikeres vizsga eredménye alapján.

A legfontosabb pontok, amelyeket emlékezni kell

• Ha a prizma oldalsó élei merőlegesek az alapra, akkor egyenesnek nevezzük. Ennek az ábrának minden oldallapja téglalap. Az egyenes prizma magassága egybeesik az élével.
• Szabályos prizma az, amelynek oldalélei merőlegesek a szabályos sokszöget tartalmazó alapra. Ennek az ábrának az oldallapjai egyenlő téglalapok. A helyes prizma mindig egyenes.

Az egységes államvizsgára való felkészülés Shkolkovóval közösen a siker kulcsa!

Ahhoz, hogy az órákat a lehető legegyszerűbbé és hatékonyabbá tegye, válassza matematikai portálunkat. Itt minden szükséges anyagot megtalál, amely segít a tanúsítási tesztre való felkészülésben.

A "Shkolkovo" oktatási projekt szakemberei felajánlják, hogy az egyszerűtől a bonyolultig haladjanak: először megadjuk az elméletet, az alapvető képleteket, a tételeket és az elemi problémákat a megoldásokkal, majd fokozatosan áttérünk a szakértői szintű feladatokra.

Az „Elméleti hivatkozás” részben rendszerezett és világosan bemutatott alapvető információk találhatók. Ha már sikerült megismételnie a szükséges anyagot, javasoljuk, hogy gyakorolja a feladatok megoldását az egyenes prizma területének és térfogatának megtalálásában. A katalógus rész különböző nehézségi fokú gyakorlatok széles választékát mutatja be.

Próbálja kiszámolni egy egyenes és szabályos prizma területét vagy éppen most. Szereljen szét bármilyen feladatot. Ha nem okozott nehézséget, nyugodtan áttérhet a szakértői szintű gyakorlatokra. És ha bizonyos nehézségek továbbra is felmerülnek, javasoljuk, hogy rendszeresen készüljön fel a vizsgára online a Shkolkovo matematikai portálon keresztül, és a „Közvetlen és szabályos prizma” témájú feladatok könnyűek lesznek az Ön számára.

A prizma térfogata. Problémamegoldás

A geometria a leghatékonyabb eszköz mentális képességeink finomítására, és lehetővé teszi számunkra, hogy helyesen gondolkodjunk és érveljünk.

G. Galileo

Az óra célja:

• a prizmák térfogatszámítására vonatkozó feladatok megoldásának megtanítása, a tanulók számára a prizmáról és elemeiről szerzett információk általánosítása és rendszerezése, a megnövekedett összetettségű problémák megoldási képességének kialakítása;
• fejlessze a logikus gondolkodást, az önálló munkavégzés képességét, a kölcsönös kontroll és önuralom készségét, a beszéd- és hallgatás képességét;
• alakítsa ki az állandó munkavégzés szokását, valamilyen hasznos cselekedetet, válaszkészségre, szorgalomra, pontosságra nevelést.

Az óra típusa: az ismeretek, készségek és képességek alkalmazásának órája.

Felszerelés: ellenőrző kártyák, médiaprojektor, prezentáció „Lecke. Prizmatérfogat”, számítógépek.

Az órák alatt

• A prizma oldalbordái (2. ábra).
• A prizma oldalfelülete (2. ábra, 5. ábra).
• A prizma magassága (3. ábra, 4. ábra).
• Közvetlen prizma (2,3,4 ábra).
• Ferde prizma (5. ábra).
• Helyes prizma (2. ábra, 3. ábra).
• Prizma átlós metszete (2. ábra).
• Prizmaátló (2. ábra).
• A prizma merőleges metszete (pi3, 4. ábra).
• A prizma oldalfelületének területe.
• A prizma teljes felülete.
• A prizma térfogata.

1. HÁZI FELADAT ELLENŐRZÉSE (8 perc)

Cserélje ki a jegyzetfüzeteket, ellenőrizze a megoldást a diákon és jelölje be (10-es, ha a feladat összeállt)

Rajzolj egy problémát és oldd meg. A tanuló a táblánál megvédi az általa összeállított feladatot. 6. és 7. ábra.





2. fejezet, 3. §
Feladat.2. Egy szabályos háromszög hasáb minden élének hossza egyenlő egymással. Számítsa ki a prizma térfogatát, ha felülete cm 2 (8. ábra)



2. fejezet, 3. §
5. feladat Az ABCA 1B 1C1 egyenes prizma alapja egy ABC derékszögű háromszög (ABC szög=90°), AB=4cm. Számítsa ki a prizma térfogatát, ha az ABC körülírt háromszög sugara 2,5 cm és a prizma magassága 10 cm! (9. ábra).



2. fejezet, 3. §
29. feladat Egy szabályos négyszög hasáb alaplapjának oldalhossza 3 cm. A prizma átlója 30°-os szöget zár be az oldallap síkjával. Számítsa ki a prizma térfogatát (10. ábra).



2. A tanár közös munkája az osztállyal (2-3 perc).

Cél: az elméleti bemelegítés eredményeinek összegzése (a tanulók egymásnak jegyzik), a témával kapcsolatos problémák megoldásának elsajátítása.

3. FIZIKAI PERC (3 perc)
4. PROBLÉMAMEGOLDÁS (10 perc)

Ebben a szakaszban a tanár frontális munkát szervez a planimetriai feladatok megoldási módszereinek, a planimetriai képletek megismétlésére. Az osztály két csoportra oszlik, vannak, akik feladatokat oldanak meg, mások számítógépen dolgoznak. Aztán változnak. A hallgatókat felkérjük, hogy oldják meg mind a 8. sz. (szóban), No. 9. (szóban). Miután csoportokra osztják őket, és áthágják őket, hogy megoldják a 14., 30., 32. számú feladatokat.

2. fejezet, 3. §, 66-67. oldal

8. feladat Egy szabályos háromszög hasáb minden éle egyenlő egymással. Határozza meg a prizma térfogatát, ha az alsó alap szélén és a felső alap oldalának közepén átmenő sík keresztmetszete cm (11. ábra).



2. fejezet, 3. §, 66-67. oldal
9. feladat Egy egyenes prizma alapja négyzet, oldalélei kétszerese az alap oldalának. Számítsa ki a prizma térfogatát, ha a prizma szakaszához közel egy, az alap oldalán átmenő síkkal és a szemközti oldalél közepén átmenő síkkal körülírt kör sugara cm (12. ábra)



2. fejezet, 3. §, 66-67. oldal
14. feladat.Egy egyenes prizma alapja egy rombusz, melynek egyik átlója egyenlő az oldalával. Számítsa ki a szelvény kerületét az alsó alap nagy átlóján átmenő síkkal, ha a prizma térfogata egyenlő és minden oldallapja négyzet (13. ábra).



2. fejezet, 3. §, 66-67. oldal
30. probléma.ABCA 1 B 1 C 1 szabályos háromszög hasáb, amelynek minden éle egyenlő egymással, a pont a BB 1 él közepe körül van. Számítsa ki az AOS sík által a prizma metszetébe írt kör sugarát, ha a prizma térfogata egyenlő (14. ábra).



2. fejezet, 3. §, 66-67. oldal
32. probléma.Egy szabályos négyszögű prizmában az alapok területeinek összege megegyezik az oldalfelület területével. Számítsa ki a prizma térfogatát, ha az alsó alap két csúcsán és a felső alap átellenes csúcsán átmenő síkkal a prizma szakasza közelében körülírt kör átmérője 6 cm (15. ábra).



A feladatok megoldása során a tanulók összevetik a válaszaikat a tanár által mutatott válaszokkal. Ez egy példa egy probléma megoldására részletes megjegyzésekkel ... Egy tanár egyéni munkája „erős” tanulókkal (10 perc).

5. A tanulók önálló munkája a teszten a számítógépen

1. Egy szabályos háromszög hasáb alapjának oldala , magassága 5. Keresse meg a prizma térfogatát.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Válassza ki a megfelelő állítást.

1) Egy derékszögű prizma térfogata, amelynek alapja derékszögű háromszög, egyenlő az alapterület és a magasság szorzatával.

2) A szabályos háromszög alakú prizma térfogatát a következő képlettel számítjuk ki: V \u003d 0,25a 2 h - ahol a az alap oldala, h a prizma magassága.

3) Az egyenes prizma térfogata egyenlő az alapterület és a magasság szorzatának felével.

4) A szabályos négyszög alakú prizma térfogatát a V = a 2 h képlettel számítjuk ki, ahol a az alap oldala, h a prizma magassága.

5) A szabályos hatszögletű prizma térfogatát a V \u003d 1,5a 2 h képlettel számítjuk ki, ahol a az alap oldala, h a prizma magassága.

3. Egy szabályos háromszög hasáb alapjának oldala egyenlő. Az alsó alaplap oldalán és a felső talp ellentétes tetején egy síkot húzunk át, amely 45°-os szöget zár be az alappal. Keresse meg a prizma térfogatát.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Az egyenes prizma alapja egy rombusz, melynek oldala 13, az egyik átlója pedig 24. Határozza meg a prizma térfogatát, ha az oldallap átlója 14.

KÖZVETLEN PRIZMA. EGY KÖZVETLEN PRIZMA FELÜLETE ÉS TÉRFOGATA.

68. § KÖZVETLEN PRIZMA KÖTETE.

1. Egyenes háromszög hasáb térfogata.

Meg kell találni egy derékszögű háromszög prizma térfogatát, amelynek alapterülete S, magassága pedig h= AA" = = BB" = SS" (306. ábra).

Rajzoljuk meg külön a prizma alapját, vagyis az ABC háromszöget (307. ábra, a), és egészítsük ki egy téglalappá, amelyre a B csúcson át KM egyenest húzunk || AC és az A és C pontokból AF és CE merőlegeseket dobunk erre az egyenesre. Megkapjuk az ACEF téglalapot. Az ABC háromszög BD magasságának megrajzolása után látni fogjuk, hogy az ACEF téglalap 4 derékszögű háromszögre oszlik. És /\ MINDEN = /\ BCD és /\ BAF = /\ ROSSZ. Ez azt jelenti, hogy az ACEF téglalap területe kétszerese az ABC háromszög területének, azaz egyenlő 2S-vel.

Ehhez az ABC alappal rendelkező prizmához ALL és BAF talppal és magasságú prizmákat adunk h(307. rajz, b). Egy téglalap alakú paralelepipedont kapunk alappal
ACEF.

Ha ezt a paralelepipedont a BD és BB" egyeneseken átmenő síkkal elvágjuk, akkor látni fogjuk, hogy a téglalap alakú paralelepipedon 4 alappal rendelkező prizmából áll.
BCD, ALL, BAD és BAF.

A BCD és ALL bázisú prizmák kombinálhatók, mivel az alapjaik egyenlőek ( /\ BCD = /\ BCE) és az oldalsó éleik is egyenlők, amelyek merőlegesek egy síkra. Ezért ezeknek a prizmáknak a térfogata egyenlő. A BAD és BAF talpú prizmák térfogata is egyenlő.

Így kiderül, hogy egy adott háromszög alakú prizma térfogata alappal
Az ABC egy ACEF alappal rendelkező téglalap alakú paralelepipedon térfogatának fele.

Tudjuk, hogy egy téglalap alakú paralelepipedon térfogata egyenlő az alapja területének és a magasságának szorzatával, azaz ebben az esetben egyenlő 2S h. Ezért ennek a derékszögű háromszög prizmának a térfogata egyenlő S-vel h.

A derékszögű háromszög alakú prizma térfogata megegyezik az alapterületének és a magasságának szorzatával.

2. Egyenes sokszögű prizma térfogata.

Egy egyenes sokszögű, például ötszögű prizma térfogatának meghatározása S alapterülettel és magassággal h, bontsuk háromszög prizmákra (308. ábra).

Ha jelöljük a háromszög prizmák alapterületét S 1, S 2 és S 3-on keresztül, és ennek a sokszögű prizmának a térfogatát V-n keresztül, a következőt kapjuk:

V = S 1 h+S2 h+ S 3 h, vagy
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

És végül: V = S h.

Ugyanígy származtatható az alapjában tetszőleges sokszögű egyenes prizma térfogatának képlete.

Eszközök, Bármely egyenes prizma térfogata megegyezik az alapterületének és a magasságának szorzatával.

Feladatok.

1. Számítsa ki a paralelogrammával rendelkező egyenes prizma térfogatát a következő adatok felhasználásával!

2. Számítsa ki a háromszöget tartalmazó egyenes prizma térfogatát a következő adatok felhasználásával!

3. Számítsa ki egy 12 cm (32 cm, 40 cm) oldalhosszú, egyenlő oldalú háromszögű egyenes prizma térfogatát az alapnál! A prizma magassága 60 cm.

4. Számítsa ki egy 12 cm és 8 cm (16 cm és 7 cm; 9 m és 6 m) lábakkal rendelkező derékszögű háromszögű egyenes prizma térfogatát! A prizma magassága 0,3 m.

5. Számítsa ki a 18 cm és 14 cm párhuzamos oldalaival és 7,5 cm magasságú, trapéz alakú egyenes prizma térfogatát, a prizma magassága 40 cm!

6. Számítsa ki osztályterme (tornaterem, szobája) térfogatát!

7. A kocka teljes felülete 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Számítsa ki ennek a kockának a térfogatát!

8. Építőtégla hossza 25,0 cm, szélessége 12,0 cm, vastagsága 6,5 ​​cm a) Számítsa ki a térfogatát, b) Határozza meg a tömegét, ha egy tégla 1 köbcentimétere 1,6 g.

9. Hány darab építőtéglára lesz szükség egy 12 m hosszú, 0,6 m széles és 10 m magas téglalap alakú paralelepipedon alakú tömör téglafal építéséhez? (Tégla méretei a 8. gyakorlatból.)

10. Egy tisztára vágott tábla hossza 4,5 m, szélessége 35 cm, vastagsága 6 cm a) Számítsa ki a térfogatot b) Határozza meg a tömegét, ha a tábla köbdecimétere 0,6 kg!

11. Hány tonna széna tehető egy nyeregtetővel fedett szénapadlásba (309. ábra), ha a kasza hossza 12 m, szélessége 8 m, magassága 3,5 m, magassága 3,5 m. tetőgerinc 1,5 m? (A széna fajsúlyát 0,2-nek vesszük.)

12. 0,8 km hosszú árkot kell ásni; szelvényen az árok trapéz alakú legyen, 0,9 m és 0,4 m alappal, az árok mélysége pedig 0,5 m (310. ábra). Hány köbméter földet kell kiszedni?

Meg kell találni egy derékszögű háromszög prizma térfogatát, amelynek alapterülete S, magassága pedig h= AA' = BB' = CC' (306. ábra).

Külön megrajzoljuk a prizma alapját, azaz az ABC háromszöget (307. ábra, a), és téglalappá egészítjük ki, amelyhez a B csúcson át KM egyenest húzunk || AC és az A és C pontokból AF és CE merőlegeseket dobunk erre az egyenesre. Megkapjuk az ACEF téglalapot. Az ABC háromszög BD magasságának megrajzolása után látni fogjuk, hogy az ACEF téglalap 4 derékszögű háromszögre oszlik. Ezenkívül \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD és \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Ez azt jelenti, hogy az ACEF téglalap területe kétszerese az ABC háromszög területének, azaz egyenlő 2S-vel.

Ehhez az ABC alappal rendelkező prizmához ALL és BAF talppal és magasságú prizmákat adunk h(307. ábra, b). Egy téglalap alakú paralelepipedont kapunk ACEF alappal.

Ha ezt a paralelepipedont a BD és BB' egyeneseken átmenő síkkal elvágjuk, látni fogjuk, hogy a téglalap alakú paralelepipedon 4 BCD, ALL, BAD és BAF bázisú prizmából áll.

A BCD és ALL bázisú prizmák kombinálhatók, mivel alapjaik egyenlőek (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) és az egyik síkra merőleges oldaléleik is egyenlők. Ezért ezeknek a prizmáknak a térfogata egyenlő. A BAD és BAF talpú prizmák térfogata is egyenlő.

Így kiderül, hogy egy adott ABC alappal rendelkező háromszög prizma térfogata fele akkora, mint egy ACEF alappal rendelkező téglalap alakú paralelepipedon térfogata.

Tudjuk, hogy egy téglalap alakú paralelepipedon térfogata egyenlő az alapja területének és a magasságának szorzatával, azaz ebben az esetben egyenlő 2S h. Ezért ennek a derékszögű háromszög prizmának a térfogata egyenlő S-vel h.

A derékszögű háromszög alakú prizma térfogata megegyezik az alapterületének és a magasságának szorzatával.

2. Egyenes sokszögű prizma térfogata.

Egy egyenes sokszögű, például ötszögű prizma térfogatának meghatározása S alapterülettel és magassággal h, bontsuk háromszög prizmákra (308. ábra).

Ha jelöljük a háromszög prizmák alapterületét S 1, S 2 és S 3-on keresztül, és ennek a sokszögű prizmának a térfogatát V-n keresztül, a következőt kapjuk:

V = S 1 h+S2 h+ S 3 h, vagy

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

És végül: V = S h.

Ugyanígy származtatható az alapjában tetszőleges sokszögű egyenes prizma térfogatának képlete.

Eszközök, Bármely egyenes prizma térfogata megegyezik az alapterületének és a magasságának szorzatával.

Prizma kötet

Tétel. A prizma térfogata egyenlő az alap területével és a magassággal.

Ezt a tételt először háromszög prizmára bizonyítjuk, majd sokszögű prizmára.

1) Rajzoljon át (95. ábra) az ABCA 1 B 1 C 1 háromszögprizma AA 1 élén a BB 1 C 1 C felülettel párhuzamos síkot, és a CC 1 élen keresztül - az AA 1 felülettel párhuzamos síkot B 1 B; majd a prizma mindkét alapjának síkjait addig folytatjuk, amíg nem metszik egymást a rajzolt síkokkal.

Ekkor egy BD 1 paralelepipedont kapunk, amelyet az AA 1 C 1 C átlósík két háromszög hasábra oszt (az egyik adott). Bizonyítsuk be, hogy ezek a prizmák egyenlőek. Ehhez merőleges metszetet rajzolunk abcd. A metszetben egy paralelogrammát kapunk, ami egy átló ász két egyenlő háromszögre oszlik. Ez a prizma egyenlő egy olyan egyenes prizmával, amelynek alapja \(\Delta\) ABC, a magasság pedig az él AA 1 . Egy másik háromszög alakú prizma területe egyenlő egy olyan egyenessel, amelynek alapja \(\Delta\) adc, a magasság pedig az él AA 1 . De két egyenlő alappal és egyenlő magasságú prizma egyenlő (mert beágyazva kombinálódnak), ami azt jelenti, hogy az ABCA 1 B 1 C 1 és az ADCA 1 D 1 C 1 prizma egyenlő. Ebből az következik, hogy ennek a prizmának a térfogata fele a BD 1 paralelepipedon térfogatának; ezért a prizma H-n keresztüli magasságát jelölve kapjuk:

$$ V_(\Delta ex) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Húzzuk át a sokszögű prizma AA 1 élén (96. ábra) az AA 1 C 1 C és AA 1 D 1 D átlós síkokat!

Ezután ezt a prizmát több háromszög alakú prizmára vágják. E prizmák térfogatának összege a kívánt térfogat. Ha bázisaik területeit azzal jelöljük b 1 , b 2 , b 3 , és a teljes magasságot H-n keresztül kapjuk:

sokszögű prizma térfogata = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (ABCDE terület) H.

Következmény. Ha V, B és H olyan számok, amelyek a prizma térfogatát, alapterületét és magasságát fejezik ki a megfelelő egységekben, akkor a bizonyítottnak megfelelően felírhatjuk:

Más anyagok

A fizikában gyakran használnak háromszög alakú, üvegből készült prizmát a fehér fény spektrumának tanulmányozására, mivel az képes azt az egyes alkotórészekre bontani. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a térfogati képletet

Mi az a háromszög prizma?

Mielőtt megadná a térfogatképletet, vegye figyelembe ennek az ábrának a tulajdonságait.

Ennek eléréséhez fel kell venni egy tetszőleges alakú háromszöget, és egy bizonyos távolságra önmagával párhuzamosan kell mozgatnia. A háromszög csúcsait a kezdeti és a véghelyzetben egyenes szakaszokkal kell összekötni. A kapott háromdimenziós alakzatot háromszög prizmának nevezzük. Öt oldala van. Ezek közül kettőt bázisnak neveznek: párhuzamosak és egyenlőek egymással. A vizsgált prizma alapjai háromszögek. A maradék három oldal paralelogramma.

A vizsgált prizmát az oldalakon kívül hat csúcs (minden alaphoz három) és kilenc él jellemzi (6 él az alapok síkjaiban fekszik, és 3 él az oldalak metszéspontjából jön létre). Ha az oldalélek merőlegesek az alapokra, akkor egy ilyen prizmát téglalap alakúnak nevezünk.

A háromszög alakú prizma és ennek az osztálynak az összes többi alakja között az a különbség, hogy mindig konvex (négy, öt, ..., n-szögű prizma is lehet konkáv).

Ez egy téglalap alakú ábra, amelynek alapjában egy egyenlő oldalú háromszög található.

Általános típusú háromszög prizma térfogata

Hogyan találjuk meg a háromszög alakú prizma térfogatát? A képlet általánosságban hasonló a bármilyen típusú prizmához. A következő matematikai jelöléssel rendelkezik:

Itt h az ábra magassága, vagyis az alapjai közötti távolság, S o a háromszög területe.

Az S o értéke akkor található meg, ha egy háromszög néhány paramétere ismert, például egy oldal és két szög, vagy két oldal és egy szög. A háromszög területe egyenlő a magassága és annak az oldalnak a hosszának a felével, amelyre ez a magasság le van engedve.

Ami az ábra h magasságát illeti, a legegyszerűbb téglalap alakú prizmánál megtalálni. Ez utóbbi esetben h egybeesik az oldalél hosszával.

Szabályos háromszög alakú prizma térfogata

A háromszög prizma térfogatának általános képlete, amelyet a cikk előző részében adtunk meg, felhasználható a szabályos háromszög prizma megfelelő értékének kiszámításához. Mivel az alapja egyenlő oldalú háromszög, területe:

Mindenki megkaphatja ezt a képletet, ha emlékszik arra, hogy egy egyenlő oldalú háromszögben minden szög egyenlő egymással, és 60 o-ot tesz ki. Itt az a szimbólum a háromszög oldalának hossza.

A h magasság az él hossza. Ennek semmi köze egy szabályos prizma alapjához, és tetszőleges értékeket vehet fel. Ennek eredményeként a megfelelő formájú háromszög prizma térfogatának képlete így néz ki:

A gyökér kiszámítása után a képletet a következőképpen írhatjuk át:

Így a háromszög alappal rendelkező szabályos prizma térfogatának meghatározásához az alap oldalát négyzetre kell emelni, ezt az értéket meg kell szorozni a magassággal, és a kapott értéket meg kell szorozni 0,433-mal.

Előző cikk: Tengerészeti angol vitorláshajósoknak Tengerészeti kifejezések angolul Következő cikk: A Kaszpi-tengerbe ömlő folyók: lista, leírás, jellemzők Ki határolja a Kaszpi-tengert