Hogyan jelöljük a parabola csúcsát? A csúcskoordináta számértéke az x tengelyen

A parabola jelen van a matematika, a fizika és más tudományok világában. A parabola pályája mentén mesterséges műholdak mozognak, amelyek hajlamosak elhagyni a Naprendszert röplabdázás közben, szintén leírják a röppályáját. Képesnek kell lennie egy parabola megalkotására. És ahhoz, hogy ez könnyű legyen, tudnod kell, hogyan találd meg a parabola csúcsát.

Az y = ax 2 + bx + c függvény grafikonját, ahol a az első együttható, b a második együttható, c a szabad tag, parabolának nevezzük. De ügyeljen arra, hogy a ≠0.

A parabola minden pontja rendelkezik szimmetrikus vele, kivéve egy pontot, és ezt a pontot csúcsnak nevezzük. Ahhoz, hogy egy csúcsot találjunk, el kell döntenünk, hogy melyik pont a grafikonon. Egy pont a grafikonon egy meghatározott koordináta az abszcissza és az ordináta tengelye mentén. Jelölése: (x; y). Találjuk ki, hogyan találjuk meg a kincses számokat.

Első út

Ha szeretné tudni, hogyan kell helyesen kiszámítani egy csúcs koordinátáit, akkor csak az x0 = -b/2a képletet kell megtanulnia. A kapott számot behelyettesítve a függvénybe, y0-t kapunk.

Például y =x 2 –8 x +15;

keresse meg az első, második együtthatót és a szabad tagot;

a = 1, b = -8, c = 15;

helyettesítse be a és b értékét a képletbe;

x0=8/2=4;

y értékek kiszámítása;

y0 = 16–32+15 = -1;

Ez azt jelenti, hogy a csúcs a (4;-1) pontban van.

A parabola ágai szimmetrikusak a szimmetriatengelyre, amely átmegy a parabola csúcsán. Az egyenlet gyökereinek ismeretében könnyen kiszámítható a parabola csúcsának abszcisszája. Tegyük fel, hogy k és n egy másodfokú egyenlet gyöke. Ekkor az x0 pont egyenlő távolságra van k és n ponttól, és a következő képlettel számítható ki: x0 = (k + n)/2.

Nézzük az y =x 2 –6x+5 példát

1) egyenlő nullával:

x 2 –6x+5=0.

2) Keresse meg a diszkriminánst a következő képlettel: D = b 2 –4 ac:

D =36–20=16.

3) Keresse meg az egyenlet gyökereit a (-b±√ D)/2a képlettel:

1 - első gyökér;
5 a második gyök.

4) Számolja ki:

x0 =(5+1)/2=3

Második út

A teljes négyzetre való kiegészítés nagyszerű módja annak, hogy megtudja, hol található a csúcs. Ezzel a módszerrel egyszerre számíthatja ki az x és y pontokat anélkül, hogy x-et kellene behelyettesítenie a kezdeti példába. Tekintsük ezt a módszert a függvénypélda segítségével: y=x 2 +8 x +10.

1. Először egyenlővé kell tenni a változót tartalmazó kifejezést 0-val. Ezután vigyük a c-t jobbra az ellenkező előjellel, azaz az x 2 + 8x = -10 kifejezést kapjuk.

2. Most a bal oldalon egy teljes négyzetet kell készítenie. Ehhez számítsuk ki (b/2) 2-t, és növeljük az egyenlet eredményének mindkét oldalát. Ebben az esetben a b helyett 8-at kell behelyettesítenie.

16-ot kapunk. Adjuk hozzá ezt a számot az egyenlet mindkét oldalához:

x 2 + 8x +16 = 6.

3. Látható, hogy a kapott kifejezés tökéletes négyzet. A következő formában ábrázolható: (x + 4) 2 = 6.

4. Ezzel a kifejezéssel keressük meg egy parabola csúcsának koordinátáit. Az x kiszámításához egyenlővé kell tenni 0-val. Azt kapjuk, hogy x = -4. Az y koordináta egyenlő azzal, ami a jobb oldalon van, azaz y =6. Ennek az egyenletnek a parabolájának csúcsa (-4, 6).

Harmadik út

Ha tudja, mi az a származék, akkor van egy másik képlet az Ön számára. Függetlenül attól, hogy a parabola „szarvai” hol pont, a csúcsa a szélsőpont. Ehhez a módszerhez a következő algoritmust kell alkalmazni:

1. Az első derivált megkeresése az f"(x) = (ax² + bx + c)' = 2ax + b képlettel.

2. A derivált 0-val való egyenlővé tétele. Ennek eredményeként 0 = 2ax + b, innen megtalálhatja azt, ami minket érdekel.

Tekintsük ezt a módszert részletesebben.

Adott az y = 4x²+16x-17 függvény;

A deriváltot felírjuk és nullával egyenlővé tesszük.

f"(x) = (4x²+16x-17)' = 8x+16 =0

A legnehezebb a konstrukció során a függvény pontjainak helyes megtalálása. A részletes konstrukcióhoz 5-7 pontot kell kiszámítani (ez elég egy iskolai tanfolyamhoz). Ehhez válasszon ki egy x értéket, és cserélje be ebbe a függvénybe. A számítások eredménye a pontok száma lesz az ordináta tengely mentén. Ezek után a kapott pontokat a koordinátasíkra helyezzük. Ennek eredményeként egy parabolát kapunk.

Nézzük meg közelebbről a jelölendő pontok megtalálásának kérdését. Vegyük például az y =-x 2 +11 x -24 függvényt, amelynek csúcsa az (5.5;-6.25) pontban van.

1) Építs egy asztalt

Keresse meg helyesen az esélyeket.

Közbenső számításokat írjon papírra. Ez nem csak a csúcs megtalálását könnyíti meg, hanem segít megtalálni a hibáit is.

Mindent lépésről lépésre. Kövesse az algoritmust.

Felhívjuk figyelmét, hogy:

Meg kell vizsgálnia, hogy a döntése helyes-e.
Meg kell nyugodnod. Bármilyen matematikai feladat megoldása tapasztalatot igényel. Csak dolgoznia kell ezen a témán, és akkor biztosan sikerül.

Videó

Ez a videó segít megtanulni, hogyan találja meg a parabola csúcsát

Nem kapott választ a kérdésére? Javasolj témát a szerzőknek.

A görbék segítségével számos műszaki, gazdasági és társadalmi probléma jósolható meg. A leggyakrabban használt típus közülük a parabola, pontosabban annak a fele. Bármely parabolikus görbe fontos összetevője a csúcsa, amelynek pontos koordinátáinak meghatározása olykor nemcsak magának a folyamatnak a megjelenítésében, hanem a későbbi következtetéseknél is kulcsszerepet játszik. A pontos koordináták megtalálásáról ebben a cikkben lesz szó.

Indítsa el a keresést

Mielőtt rátérnénk a parabola csúcsának koordinátáira, ismerkedjünk meg magával a definícióval és annak tulajdonságaival. Klasszikus értelemben a parabola pontok olyan elrendezése, amely egy adott ponttól azonos távolságra távolítják el(fókusz, F pont), valamint egy egyenesből, amely nem megy át az F ponton. Nézzük meg ezt a definíciót részletesebben az 1. ábrán.

1. ábra Egy parabola klasszikus képe

A képen a klasszikus forma látható. A fókusz az F pont. A direktrix ebben az esetben az Y tengely (pirossal kiemelve) egyenesének tekintendő. A definícióból meggyőződhet arról, hogy a görbe abszolút bármely pontja, a fókuszt nem számítva, a másik oldalon is rendelkezik hasonlóval, amely ugyanolyan távolságra van a szimmetriatengelytől, mint ő maga. Sőt, a parabola bármely pontjától való távolság egyenlő a rendező távolságával. Ha előre tekintünk, tegyük fel, hogy a függvény középpontjának nem kell az origóban lennie, és az ágak különböző irányokba irányíthatók.

A parabolának, mint minden más függvénynek, saját bejegyzése van egy képlet formájában:

A jelzett képletben az „s” betű a parabola paraméterét jelöli, amely egyenlő a fókusz és az irányító távolságával. Létezik egy másik rögzítési forma is, amelyet a GMT jelöl, és amelynek a következő formája van:

Ezt a képletet a matematikai elemzés területén lévő problémák megoldására használják, és gyakrabban használják, mint a hagyományos (a kényelem miatt). A jövőben a második bejegyzésre összpontosítunk.

Ez érdekes!: bizonyíték

A parabola együtthatóinak és fő pontjainak számítása

A fő paraméterek általában a csúcs elhelyezkedését az abszcissza tengelyen, a csúcs koordinátáit az ordináta tengelyen és a direktrix paramétert tartalmazzák.

A csúcskoordináta számértéke az x tengelyen

Ha egy parabola egyenletét klasszikus formában (1) adjuk meg, akkor az abszcissza értéke a kívánt pontban egyenlő lesz az s paraméter értékének felével(a direktix és a fókusz közötti távolság fele). Ha a függvényt a (2) formában jelenítjük meg, akkor x nullát a következő képlettel számítjuk ki:

Vagyis ezt a képletet nézve azt mondhatjuk, hogy a csúcs az y tengelyhez képest a jobb felében lesz, ha az a vagy b paraméterek egyike kisebb, mint nulla.

A direktrix egyenletet a következő egyenlet határozza meg:

Csúcsérték az ordináta tengelyen

A (2) képlet csúcsának ordinátatengelyen elfoglalt helyének számértéke a következő képlettel kereshető meg:

Ebből arra következtethetünk, hogy ha a<0, то a görbe csúcsa a felső félsíkban lesz, egyébként – alul. Ebben az esetben a parabola pontjai ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint korábban említettük.

Ha a klasszikus jelölési formát adjuk meg, akkor ésszerűbb lesz kiszámítani a csúcs abszcissza tengelyen való elhelyezkedésének értékét, és ezen keresztül az ordináta későbbi értékét. Figyeljük meg, hogy a (2) jelölésforma esetén a parabola szimmetriatengelye a klasszikus ábrázolásban egybeesik az ordináta tengellyel.

Fontos! A parabola-egyenlet segítségével történő feladatok megoldása során mindenekelőtt emelje ki a már ismert főbb értékeket. Ezenkívül hasznos lesz, ha meghatározzák a hiányzó paramétereket. Ez a megközelítés több „mozgásteret” biztosít előre és racionálisabb megoldást. A gyakorlatban próbálja meg a (2) jelölést használni. Könnyebben érthető (nem kell „megfordítani Descartes koordinátáit”), és a feladatok túlnyomó többsége kifejezetten ehhez a jelölési formához igazodik.

Parabola görbe felépítése

Egy általános jelölési formával a parabola megalkotása előtt meg kell találni a csúcsát. Egyszerűen fogalmazva, a következő algoritmust kell végrehajtania:

Keresse meg a csúcs koordinátáját az X tengelyen.
Keresse meg a csúcs helyének koordinátáját az Y tengelyen.
Az X függő változó különböző értékeit behelyettesítve keresse meg Y megfelelő értékeit, és készítsen egy görbét.

Azok. Az algoritmus nem bonyolult, a fő hangsúly azon van, hogyan találjuk meg a parabola csúcsát. A további építési folyamat mechanikusnak tekinthető.

Feltéve, hogy három pontot adunk meg, amelyek koordinátái ismertek, először magának a parabolának kell egy egyenletet készítenie, majd meg kell ismételnie a korábban leírt eljárást. Mert a (2) egyenletben 3 együttható van, majd a pontok koordinátái segítségével mindegyiket kiszámítjuk:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

Az (5.1), (5.2), (5.3) képletekben az ismert pontokat rendre használjuk (például A (, B (, C ().). Így 3 pont felhasználásával találjuk meg a parabola egyenletét). Gyakorlati oldalról ez a megközelítés nem a legkellemesebb, de egyértelmű eredményt ad, ami alapján utólag megszerkesztik magát a görbét.

Parabola felépítésénél mindig szimmetriatengelynek kell lennie. A (2) írandó szimmetriatengely képlete így fog kinézni:

Azok. Nem nehéz megtalálni azt a szimmetriatengelyt, amelyre a görbe minden pontja szimmetrikus. Pontosabban egyenlő a csúcs első koordinátájával.

Szemléltető példák

1. példa Tegyük fel, hogy megvan a parabola egyenlete:

Meg kell találni a parabola csúcsának koordinátáit, és azt is ellenőrizni kell, hogy a D (10; 5) pont az adott görbéhez tartozik-e.

Megoldás: Először is ellenőrizzük, hogy az említett pont magához a görbéhez tartozik-e

Amiből arra következtetünk, hogy a megadott pont nem tartozik az adott görbéhez. Keressük meg a parabola csúcsának koordinátáit. A (4) és (5) képletből a következő sorozatot kapjuk:

Kiderült, hogy a tetején, az O pontban a koordináták a következők (-1,25; -7,625). Ez arra utal, hogy a mi a parabola a Descartes-rendszer 3. negyedéből származik koordináták

2. példa Határozzuk meg egy parabola csúcsát a hozzá tartozó három pont ismeretében: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Az (5.1), (5.2), (5.3) képletek segítségével megtaláljuk a parabola egyenlet együtthatóit. A következőket kapjuk:

A kapott értékek felhasználásával a következő egyenletet kapjuk:

Az ábrán a megadott függvény így fog kinézni (2. ábra):

2. ábra: 3 ponton áthaladó parabola grafikonja

Azok. A három adott ponton áthaladó parabola grafikonjának csúcsa az 1. negyedben lesz. Ennek a görbének az ágai azonban lefelé irányulnak, azaz. a parabola eltolódása van az origótól. Ezt a konstrukciót az a, b, c együtthatók figyelembevételével meg lehetett volna jósolni.

Különösen, ha a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 görbe megnyúlik, és ha kevesebb, mint 1, akkor összenyomódik.

A c konstans felelős a görbe ordináta tengely mentén történő „mozgásáért”. Ha c>0, akkor a parabola felfelé „kúszik”., egyébként – le. A b együttható tekintetében a befolyás mértéke csak az egyenlet felírási formájának megváltoztatásával határozható meg, a következő formára hozva:

Ha az együttható b>0, akkor a parabola csúcsának koordinátái b egységgel jobbra tolódnak el, ha kevesebb, akkor b egységgel balra.

Fontos! A parabola koordinátasíkon való elmozdulásának meghatározására szolgáló technikák alkalmazása időnként időt takarít meg a feladatok megoldása során, vagy a felépítés előtt tájékozódhat a parabola egy másik görbével való lehetséges metszéspontjáról. Általában csak az a együtthatót nézik, mivel ez ad egyértelmű választ a feltett kérdésre.

Hasznos videó: hogyan lehet megtalálni a parabola csúcsát

Hasznos videó: hogyan lehet egyszerűen parabola-egyenletet létrehozni grafikonból

Következtetés

Egy algebrai folyamat, például a parabola csúcsainak meghatározása nem bonyolult, de meglehetősen munkaigényes. A gyakorlatban a jelölés második formáját próbálják alkalmazni, hogy megkönnyítsék a grafikus megoldás és a megoldás egészének megértését. Ezért erősen javasoljuk, hogy pontosan ezt a megközelítést használja, és ha nem emlékszik a csúcskoordináta képletére, akkor legalább legyen egy csalólapja.

Utasítás

Egy általános formájú másodfokú függvényt a következő egyenlettel írunk fel: y = ax² + bx + c. Ennek az egyenletnek a grafikonja, melynek ágai felfelé (a > 0 esetén) vagy lefelé (egy< 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.

Azok számára, akik ismerik a derivált fogalmát, könnyű megtalálni a parabola csúcsát. A parabola ágainak helyzetétől függetlenül a csúcsa egy pont (minimum, ha az ágak felfelé, vagy ha az ágak lefelé irányulnak). Bármely feltétel feltételezett szélsőpontjának meghatározásához ki kell számítania az első deriváltját, és egyenlővé kell tennie nullával. Általában a derivált egyenlő f"(x) = (ax² + bx + c)" = 2ax + b. Ha nullával egyenlő, akkor 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.

A parabola szimmetrikus egyenes. A tengely áthalad a parabola csúcsán. Az X koordinátatengelyű parabola pontjainak ismeretében könnyen megtalálhatja az x0 csúcs abszcisszáját. Legyen x1 és x2 a parabola gyöke (a parabola ún. metszéspontjai az x tengellyel, mivel ezek az értékek eltüntetik az ax² + bx + c másodfokú egyenletet). Ezenkívül legyen |x2| > |x1|, akkor a parabola csúcsa félúton van közöttük, és a következő kifejezésből kereshető: x0 = ½(|x2| - |x1|).

Videó a témáról

Források:

Kvadratikus függvény
képlet a parabola csúcsának megtalálásához

A parabola általában egy másodfokú függvény grafikonja, a parabola egyenlete y=ax^2+bx+c, ahol a≠0. Ez egy univerzális másodrendű görbe, amely az élet számos jelenségét írja le, például egy feldobott, majd leeső test mozgását, a szivárvány alakját, tehát a megtalálás képességét. parabola nagyon hasznos lehet az életben.

Szükséged lesz

- másodfokú egyenlet képlete;
- egy papírlap koordináta ráccsal;
- ceruza, radír;
- számítógép és Excel program.

Utasítás

Először is keresse meg a parabola csúcsát. Ennek a pontnak a abszcissza meghatározásához vegyük x együtthatóját, osszuk el x^2 együtthatójának kétszeresével, és szorozzuk meg -1-gyel (x=-b/2a). Keresse meg az ordinátát úgy, hogy a kapott értéket behelyettesíti az egyenletbe, vagy használja az y=(b^2-4ac)/4a képletet. Megkapta a parabola csúcspontjának koordinátáit.

A parabola csúcsa más módon is megtalálható. Mivel ez a függvény szélsőértéke, kiszámításához számítsa ki az első deriváltot, és egyenlővé tegye nullával. Általában az f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b képletet kapjuk. És ha nullával egyenlővé teszed, ugyanarra a képletre jutsz - x=-b/2a.

Nézze meg, hogy a parabola ágai felfelé vagy lefelé mutatnak. Ehhez nézzük meg az x^2 előtti együtthatót, azaz a. Ha a>0, akkor az ágak felfelé irányulnak, ha a

Koordináták csúcsok parabolákat találtak. Írja le őket egyetlen pont koordinátáiként (x0,y0).

Videó a témáról

A függvényeknél (pontosabban grafikonjainál) a legnagyobb érték fogalmát alkalmazzuk, beleértve a lokális maximumot is. A „csúcs” fogalma inkább a geometriai alakzatokhoz kapcsolódik. A deriválttal rendelkező sima függvények maximális pontjai könnyen meghatározhatók az első derivált nulláival.

Utasítás

Azokon a pontokon, ahol a függvény nem differenciálható, hanem folytonos, az intervallum legnagyobb értéke csúcs alakban lehet (y=-|x|). Ilyen pontokon funkciókat Annyi érintőt rajzolhatsz, amennyit csak akarsz, az érintők egyszerűen nem léteznek. Sami funkciókat Ezt a típust általában a szegmenseken adják meg. Pontok, ahol a derivált funkciókat nullával egyenlő vagy nem létezik kritikusnak nevezzük.

Rheaning. y=x+3 x≤-1 esetén és y=((x^2)^(1/3)) –x x>-1 esetén. A függvényt szándékosan adjuk meg a szegmenseken, mivel ebben az esetben az a cél, hogy mindent egy példában jelenítsen meg. Könnyű, hogy x=-1 esetén a függvény folytonos marad.y'=1 x≤-1 esetén és y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3( x^ (1/3)/(x^(1/3)) x>-1 esetén y'=0 x=8/27 esetén y' nem létezik x=-1 és x=0 esetén. Ebben az esetben y '>0, ha x

Videó a témáról

A parabola az egyik másodrendű görbe, amelynek pontjai egy másodfokú egyenletnek megfelelően vannak megszerkesztve. Ennek a görbének a felépítésénél a legfontosabb, hogy megtaláljuk tetejére parabolák. Ezt többféleképpen is meg lehet tenni.

Utasítás

Egy csúcs koordinátáinak megtalálása parabolák, használja a következő képletet: x=-b/2a, ahol a az x előtti együttható, b pedig az x előtti együttható. Adja meg az értékeit, és számolja ki. Ezután helyettesítse be a kapott x értéket az egyenletbe, és számítsa ki a csúcs ordinátáját. Például, ha megadja az y=2x^2-4x+5 egyenletet, akkor keresse meg az abszcisszát a következőképpen: x=-(-4)/2*2=1. Az egyenletbe behelyettesítve x=1-et, számítsuk ki a csúcs y-értékét parabolák: y=2*1^2-4*1+5=3. Tehát a csúcs parabolák koordinátái vannak (1;3).

Az ordináta értéke parabolák az abszcissza előzetes kiszámítása nélkül is megtalálható. Ehhez használja az y=-b^2/4ac+c képletet.

Ha ismeri a derivált fogalmát, keresse meg tetejére parabolák deriváltakat használva, bármelyik következő tulajdonságának felhasználásával: egy függvény első deriváltja, amely nullával egyenlő, arra mutat. A csúcs óta parabolák, függetlenül attól, hogy ágai felfelé vagy lefelé irányulnak, pont , számítsa ki a függvény deriváltját. Általában így fog kinézni: f(x)=2ax+b. Egyenlítse nullával, és kapja meg a csúcs koordinátáit parabolák, a funkciójának megfelelően.

Próbáld megtalálni tetejére parabolák, kihasználva olyan tulajdonságát, mint a szimmetria. Ehhez keresse meg a metszéspontokat parabolák x tengellyel, a függvényt nullával egyenlővé téve (y = 0 helyett). A másodfokú egyenlet megoldásával x1-et és x2-t találunk. Mivel a parabola szimmetrikus az áthaladó direktrixhez képest tetejére, ezek a pontok egyenlő távolságra lesznek a csúcs abszcisszájától. Hogy megtaláljuk, osztunk

Utasítás

Egy csúcs koordinátáinak megtalálása parabolák, használja a következő képletet: x=-b/2a, ahol a az x együtthatója négyzetben, és b az x együtthatója. Csatlakoztassa értékeit, és számítsa ki az értékét. Ezután helyettesítse be a kapott x értéket az egyenletbe, és számítsa ki a csúcs ordinátáját. Például, ha megadja az y=2x^2-4x+5 egyenletet, akkor keresse meg az abszcisszát a következőképpen: x=-(-4)/2*2=1. Az egyenletbe behelyettesítve x=1-et, számítsuk ki a csúcs y-értékét parabolák: y=2*1^2-4*1+5=3. Tehát a csúcs parabolák koordinátái vannak (1-3).

Az ordináta értéke parabolák az abszcissza előzetes kiszámítása nélkül is megtalálható. Ehhez használja az y=-b^2/4ac+c képletet.

Ha ismeri a derivált fogalmát, keresse meg tetejére parabolák deriváltakat használva, kihasználva bármely függvény következő tulajdonságát: a függvény nullával egyenlő első deriváltja szélsőpontokat jelöl. A csúcs óta parabolák, függetlenül attól, hogy ágai felfelé vagy lefelé irányulnak, szélsőséges pont, számítsa ki a függvény deriváltját. Általában így fog kinézni: f(x)=2ax+b. Egyenlítse nullával, és kapja meg a csúcs koordinátáit parabolák, a funkciójának megfelelően.

Ha bármelyik együttható nulla (a kivételével), számítsa ki a csúcs koordinátáit parabolák egyszerűsített képletek segítségével. Például, ha b=0, azaz az egyenlet alakja y=ax^2+c, akkor a csúcs az oy tengelyen fog feküdni, és koordinátái (0-c) lesznek. Ha nem csak az együttható b=0, hanem c=0 is, akkor a csúcs parabolák az origóban, a (0-0) pontban található.

Valószínűleg mindenki tudja, mi az a parabola. De megvizsgáljuk, hogyan kell helyesen és hozzáértően használni a különféle gyakorlati problémák megoldása során.

Először vázoljuk fel azokat az alapfogalmakat, amelyeket az algebra és a geometria ad ehhez a kifejezéshez. Tekintsük ennek a grafikonnak az összes lehetséges típusát.

Nézzük meg ennek a funkciónak az összes főbb jellemzőjét. Ismerjük meg a görbeépítés (geometria) alapjait. Tanuljuk meg, hogyan találjuk meg egy ilyen típusú grafikon felső és egyéb alapértékeit.

Nézzük meg, hogyan kell helyesen megszerkeszteni a kívánt görbét az egyenlet segítségével, mire kell figyelni. Nézzük meg ennek az egyedülálló értéknek a fő gyakorlati alkalmazását az emberi életben.

Mi az a parabola és hogyan néz ki?

Algebra: Ez a kifejezés egy másodfokú függvény grafikonjára utal.

Geometria: ez egy másodrendű görbe, amely számos sajátos tulajdonsággal rendelkezik:

Kanonikus parabola egyenlet

Az ábrán egy téglalap alakú koordináta-rendszer (XOY), egy szélsőség látható, a függvény ágainak iránya az abszcissza tengely mentén rajzolva.

A kanonikus egyenlet a következő:

y 2 = 2 * p * x,

ahol p együttható a parabola (AF) fókuszparamétere.

Az algebrában másképp lesz írva:

y = a x 2 + b x + c (felismerhető minta: y = x 2).

Másodfokú függvény tulajdonságai és grafikonja

A függvénynek van egy szimmetriatengelye és egy középpontja (extrémum). A meghatározás tartománya az abszcissza tengely összes értéke.

A – (-∞, M) vagy (M, +∞) függvény értéktartománya a görbe ágainak irányától függ. Az M paraméter itt a sor tetején lévő függvény értékét jelenti.

Hogyan határozzuk meg, hová irányulnak a parabola ágai

Egy ilyen típusú görbe irányának meghatározásához egy kifejezésből meg kell határozni az algebrai kifejezés első paramétere előtti előjelet. Ha a ˃ 0, akkor felfelé irányulnak. Ha fordítva, akkor le.

Hogyan találjuk meg a parabola csúcsát a képlet segítségével

A szélsőség megtalálása a fő lépés számos gyakorlati probléma megoldásában. Természetesen megnyithat speciális online számológépeket, de jobb, ha saját maga is meg tudja csinálni.

Hogyan határozható meg? Van egy speciális képlet. Ha b nem egyenlő 0-val, meg kell keresnünk ennek a pontnak a koordinátáit.

Képletek a csúcs megtalálásához:

x 0 = -b/(2*a);
y 0 = y (x 0).

Példa.

Van egy y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 függvény. Keressük meg ennek a függvénynek a csúcsait.

Egy ilyen sorhoz:

x = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Megkapjuk a csúcs koordinátáit (-2, -41).

Parabola elmozdulás

A klasszikus eset az, amikor egy y = a x 2 + b x + c másodfokú függvényben a második és a harmadik paraméter 0, és = 1 - a csúcs a (0; 0) pontban van.

Az abszcissza vagy ordináta tengelyek mentén történő mozgás a b, illetve c paraméterek változásának köszönhető. A síkon lévő vonal pontosan a paraméter értékével megegyező számú egységgel tolódik el.

Példa.

Van: b = 2, c = 3.

Ez azt jelenti, hogy a görbe klasszikus formája az abszcissza tengely mentén 2 egységnyi szegmenssel, az ordináta tengelye mentén 3 egységnyi szegmenssel tolódik el.

Hogyan készítsünk parabolát másodfokú egyenlet segítségével

Fontos, hogy az iskolások megtanulják, hogyan kell helyesen rajzolni egy parabolát adott paraméterek segítségével.

A kifejezések és egyenletek elemzésével a következőket láthatja:

A kívánt egyenes és az ordinátavektor metszéspontja c-vel egyenlő lesz.
A grafikon minden pontja (az x tengely mentén) szimmetrikus lesz a függvény fő szélsőértékéhez képest.

Ezenkívül az OX metszéspontjait egy ilyen függvény diszkriminánsának (D) ismeretében találhatjuk meg:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Ehhez a kifejezést nullával kell egyenlővé tenni.

A parabola gyökereinek jelenléte az eredménytől függ:

D ˃ 0, akkor x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D = 0, akkor x 1, 2 = -b/(2*a);
D ˂ 0, akkor nincs metszéspont az OX vektorral.

Megkapjuk a parabola felépítésének algoritmusát:

határozza meg az ágak irányát;
keresse meg a csúcs koordinátáit;
keresse meg a metszéspontot az ordináta tengellyel;
keresse meg az x tengellyel való metszéspontot.

1. példa

Adott az y = x 2 - 5 * x + 4 függvény. Parabolát kell alkotni. Az algoritmust követjük:

a = 1, ezért az ágak felfelé irányulnak;
szélső koordináták: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2-5 * (5/2) + 4 = -15/4;
metszi az ordináta tengelyt az y = 4 értéknél;
keressük meg a diszkriminánst: D = 25 - 16 = 9;
gyökereket keresek:

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X2 = (5-3)/2 = 1; (1, 0).

2. példa

Az y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 függvényhez parabolát kell alkotnia. A megadott algoritmus szerint járunk el:

a = 3, ezért az ágak felfelé irányulnak;
szélső koordináták: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
metszi az y tengellyel y = -1 értékben;
keressük meg a diszkriminánst: D = 4 + 12 = 16. Tehát a gyökök:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X2 = (2-4)/6 = -1/3; (-1/3; 0).

A kapott pontok felhasználásával parabolát szerkeszthet.

Irány, excentricitás, parabola fókusza

A kanonikus egyenlet alapján F fókuszának koordinátái vannak (p/2, 0).

Az AB egyenes egy irányvonal (egy bizonyos hosszúságú parabola egyfajta húrja). Egyenlete x = -p/2.

Excentricitás (állandó) = 1.

Következtetés

Megnéztünk egy olyan témát, amelyet a diákok a középiskolában tanulnak. Most már tudja, ha egy parabola másodfokú függvényét nézi, hogyan találja meg a csúcsát, milyen irányba fognak az ágak irányítani, van-e elmozdulás a tengelyek mentén, és szerkesztési algoritmussal megrajzolhatja a grafikonját.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete