Az ab szegmens végei az arcokon fekszenek. Előadás a "Diéderszögek meghatározása" témában

5. Kör kép:

Az O1 pontban lévő középpontú kör képe egy O pontban lévő ellipszis, amely az α vetítési síkhoz tartozik.

Két egymást metsző egyenes közös merőlegeseszakasznak nevezzük, amelynek végei ezeken az egyeneseken merőlegesek.

A keresztező vonalak közötti távolságközös merőlegesük hosszának nevezzük. Ez egyenlő az ezeken a vonalakon áthaladó párhuzamos síkok távolságával.

Szög a metsző vonalak közöttAz adott metsző egyenesekkel párhuzamos metsző egyenesek közötti szöget ún.

Általánosított három merőleges tétel

Bármely egyenes olyan síkon, amely merőleges egy ferde sík vetületére, szintén merőleges a ferde síkra.

És fordítva: ha egy síkban egy egyenes merőleges egy ferde vonalra, akkor merőleges a ferde vetületére is.

Az egyenes és a sík közötti szög az egyenes és a síkra való vetülete közötti szöget (φ szög) nevezzük.

Két egymást metsző sík közötti szöge síkok metszésvonala közötti szögnek nevezzük

egy sík, amely merőleges e síkok metszésvonalára (φ’ szög).

Egy sokszög síkra merőleges vetületének területeegyenlő a területének és a sokszög síkja és a vetületi terület közötti szög koszinuszának szorzatával.

1. feladat. Az ABCD négyzet átlóinak metszéspontján keresztül egy 15 cm hosszú merőleges MO-t húzunk a síkjára. Határozzuk meg az M pont és a négyzet oldalai közötti távolságot, ha az oldala 16 cm.

Válasz: 17 cm.

2. feladat. Egy 12 cm-es AS szakasz merőleges az ABC háromszög síkjára, amelyben AB=AC=20 cm, BC=24 cm. Határozzuk meg az S pont és a BC egyenes távolságát.

Válasz: 20 cm.

3. feladat Egy 180 cm2 területű ABCD téglalap síkjára merőleges SD = 12 cm, BC = 20 cm Határozzuk meg az S pont és a téglalap oldalai közötti távolságot.

Válasz: 12 cm, 12 cm, 15 cm, 4 34 cm.

4. feladat Egy derékszögű háromszög AC szára egyenlő a-val, B szöge φ. A derékszög csúcsán keresztül ennek a háromszögnek a síkjára egy a hosszúságú MC merőlegest húzunk. Határozza meg a távolságot a merőleges végeitől a hipotenuszra.

Válasz: a cosϕ; a 1+ cos2 ϕ .

5. feladat Az ABC háromszög oldalai AB = 13 cm, BC = 14 cm, AC = 15 cm Az A csúcsból egy 5 cm hosszú AD merőlegest húzunk a D ponttól a BC oldalig.

Válasz: 13 cm.

6. feladat. Az ABCD rombusz síkjára húzunk egy 7 cm hosszú MC merőlegest, amelyben Ð A = 45°, AB = 8 cm. Határozzuk meg az M pont és a rombusz oldalai közötti távolságot.

Válasz: 7 cm, 7 cm, 9 cm, 9 cm.

7. feladat Szerkesszen közös merőlegeseket az AB és CD egyenesekre a kocka képén!

8. feladat. Az ABC egyenlő oldalú háromszög AC oldalán keresztül α síkot rajzolunk. A háromszög BD magassága és ez a sík közötti szög egyenlő φ-vel. Határozzuk meg az AB egyenes és az α sík szögét!

9. feladat Egy szabályos háromszög O középpontján keresztül húzzuk az ABC síkjába

merőleges MO-ra. AB=a 3. Az MA egyenes és a háromszög síkja közötti szög 45°. Határozza meg a síkok közötti szöget: 1) AMO és VMO; 2) IUD és ABC.

Válasz: 1) 60°; 2) arctg 2.

10. feladat Az ABC és ABD egyenlő oldalú háromszögek síkjai merőlegesek. Keresse meg a szöget:

1) DC egyenes és ABC sík között; ADC és BDC síkok között.

Válasz: 1) 45°; 2) arccos 1 5 .

11. feladat Bizonyítsuk be a sokszög vetületi területére vonatkozó tételt arra az esetre, amikor a sokszög olyan háromszög, amelynek egyik oldala sem párhuzamos a vetítési síkkal.

12. feladat A kocka éle egyenlő a-val. Határozza meg a kocka keresztmetszeti területét egy olyan síkban, amely az alap tetején halad át, és ezzel az alappal 30°-os szöget zár be, és metszi az összes oldalélt.

Válasz: 2 3 a 2.

13. feladat A téglalap oldalai 20 és 25 cm-esek. A síkra vetítése hasonló ahhoz. Keresse meg a vetület kerületét.

Válasz: 72 cm vagy 90 cm.

14. feladat Egy 16 cm magas egyenlőszárú háromszöget az MN középvonal mentén, az AC alappal párhuzamosan meghajlítunk úgy, hogy a B csúcs 4 cm-re legyen az ACNM négyszög síkjától.

a) Határozza meg az AMC és MBN síkok közötti szöget!

b) Szerkessze meg a BMNC diéderszög lineáris szögét, és határozza meg a szög mértékét, ha a B csúcsnak az AMNC négyszög síkjára merőleges vetülete kívül esik a határain;

c) Hasonlítsa össze a BMNC diéderszög és a BMA szög szögmértékeit! d) Határozza meg a B pont és az AC egyenes távolságát;

e) Határozza meg az MN egyenes és az ABC sík távolságát!

f) Szerkessze meg az AMB és BNC síkok metszésvonalát!

3. Önkontroll feladatok

1. Egy kocka éle 10 cm. Határozza meg az a és b egyenesek távolságát!

2. Az ABC háromszög A csúcsán keresztül a háromszög síkjára merőleges a egyenest húzunk. Határozza meg az a és BC egyenesek távolságát, ha AB = 13 cm, BC = 14 cm, AC = 15 cm.

Válasz: 12 cm.

3. Az ABCD négyzet síkjára merőleges KD-t húzunk. A négyzet oldala 5 cm. Határozza meg az egyenesek közötti távolságot: 1) AB és KD; 2) KD és AC.

Válasz: 1) 5 cm; 2) 5 2 2 cm.

4. Az α és β síkok közötti szög 30°. Az α síkban fekvő A pont 12 cm-re van a síkok metszésvonalától. Határozzuk meg az A pont és a β sík távolságát.

Válasz: 6 cm.

5. Az ABCD négyzet O középpontján keresztül a síkjára merőleges SO húzódik. Az SC egyenes és a négyzet síkja közötti szög 60°, AB = 18 cm. Határozzuk meg az ABC és BSC síkok közötti szöget.

Válasz: arctg 6.

6. Egy 4 2 cm oldalú négyzetet meghajlítunk egy egyenes mentén, amely átmegy a DC és BC M és N oldal felezőpontjain úgy, hogy a C csúcsot eltávolítjuk a síkból.

AMN 1 cm-nél.

a) keresse meg az ADM és CMN síkok közötti szöget;

b) megszerkeszti a BMNC diéderszög lineáris szögét, és meghatározza a szögmértékét, ha a C csúcs merőleges vetülete az ABNMD ötszög síkjára túl van a határain;

c) hasonlítsa össze a BMNC diéderszög és a CNB szög szögmértékeit; d) határozza meg a C pont és a BD egyenes távolságát;

e) határozza meg az MN egyenes és a BDC sík távolságát;

f) megszerkeszteni a BNC és a DMC sík metszésvonalát.

Válasz: a) 30°; d) 2 × 2 + 3 cm; d) 2-3 cm.

7. Az ABCD paralelogramma A és D csúcsai az α síkban vannak, a másik kettő pedig ezen a síkon kívül van, AB = 15 cm, BC = 19 cm. A paralelogramma átlóinak vetületei az α síkra 20 cm és 22 cm. Határozza meg a BC oldal és az α közötti távolságot.

Útmutatás: Használja a tételt egy paralelogramma átlóinak négyzetösszegére.

Válasz: 12 cm.

8. Egy egyenlő szárú trapéz mindkét oldaláról eltávolítjuk az M pontot 12 cm távolságra. A trapéz alapjai 18 cm és 32 cm.

Válasz: M pont a trapéz síkjában fekszik.

9. Az ABCD téglalap A csúcsán keresztül a téglalap síkjához egy ferde AM-et húzunk, amely 50°-os szöget zár be az AD és AB oldallal. Határozza meg a szöget a ferde sík és a téglalap síkja között.

Válasz: 32°57’.

10. Az AB=25 cm szakasz végei egy 60°-os kétszög lapjain fekszenek. Az A és B pontokból az AC és BD merőlegeseket a diéderszög élére ejtjük, AC = 5 cm, BD = 8 cm Keresse meg a CD-t.

Válasz: 24 cm.

7. lecke

Óra témája: „Descartes koordinátarendszer a térben”

- megszilárdítani a tanulók iskolai ismereteit a tér téglalap alakú koordinátarendszeréről;

- rendszerezi a térbeli ábrák egyenleteivel kapcsolatos ismereteket;

- megszilárdítani a térbeli geometriai képek egyenleteinek felvázolásával kapcsolatos problémák megoldási készségeit.

1. Az elméleti anyag rövid összefoglalása

t.O – koordináták origója; Ökör – abszcissza tengely; Оу – ordinátatengely; Óz – alkalmazási tengely. xy , xz u yz – koordinátasíkok

Két pont közötti távolság

A szakasz felezőpontjának koordinátái

Az F ábrát ez az egyenlet adja meg téglalap koordinátákkal, ha egy pont az F ábrához tartozik, akkor és csak akkor, ha ennek a pontnak a koordinátái kielégítik az adott egyenletet. Ez azt jelenti, hogy 2 feltétel teljesül:

1) ha a pont az F ábrához tartozik, akkor a koordinátái kielégítik az egyenletet;

2) ha az x, y, z számok kielégítik ezt az egyenletet, akkor az ilyen koordinátákkal rendelkező pont az F ábrához tartozik.

Egy gömb egyenlete A gömb a tér azon pontjainak halmaza, amelyek távolsága egy adott ponttól

meghatározott pozitív távolság. Ebben az esetben ezt a pontot a gömb középpontjának nevezzük, és ez a távolság a sugara.

Egy R sugarú gömböt, amelynek középpontja az A (a;b;c) pontban van, a (definíció szerint) egyenlet adja meg

(x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 = R 2.

Ha a gömb középpontja egybeesik a koordináták origójával, akkor a=b=c=0 és a gömb egyenlete a következő: x 2 + y 2 + z 2 = R 2.

Sík egyenlet

Tétel. Egy térbeli síkot az x, y, z derékszögű koordináták rendszerében adunk meg egy Ax+By+Cz+D=0 alakú egyenlettel, feltéve, hogy A2 +B2 +C2 >0.

A fordított állítás is igaz: az Ax+By+Cz+D=0 egyenlet, feltéve, hogy A2 +B2 +C2 >0 egy térbeli síkot határoz meg a téglalap koordinátarendszerben.

Egy egyenes egyenlete

A térbeli egyenes két sík metszésvonala.

Ð A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0; í î A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Ha az A (x1 ;y1 ;z1 ) és B (x2 ;y2 ;z2 ) pontokon átmenő AB egyenes nem párhuzamos egyetlen koordinátasíkkal sem, akkor az egyenlete a következő:

2. A tantermi képzés feladatrendszere

1. feladat. Egy kocka oldala 10. Határozza meg csúcsainak koordinátáit!

2. feladat Határozza meg az ABC háromszög kerületét, ha A(7;1;-5), B(4;-3;-4), C(1;3;-2).

Válasz: 14 + 26.

3. feladat. Legyen három A, B, C pont ugyanazon az egyenesen, ha A(3;2;2), B(1;1;1),

Válasz: Igen.

4. feladat. Melyik pont – A(2;1;5) vagy B(-2;1;6) – van közelebb az origóhoz? Válasz: A pont.

5. feladat Adott K(0;2;1), P(2;0;3) és T(-1;y;0) pont. Keressen y olyan értékét, amelyre a feltétel teljesül: CT = RT.

Válasz: -3.

6. feladat Határozza meg az ABC háromszög oldalai felezőpontjainak koordinátáit, ha A(2;0;2),

B(2;2;0), C(2;2;2).

Válasz: A1 (2;2;1), B1 (2;1;2), C1 (2;1;1).

7. feladat. Határozza meg az ABC háromszög AM mediánjának hosszát, ha A(2;1;3), B(2;1;5),

Válasz: AM=1.

8. feladat. Az alábbi egyenletek közül melyik egy gömb egyenlete:

9. feladat Írja fel az egyenleteit annak a síknak, amely áthalad: a) az Ox tengelyen és az A(1;1;1) ponton;

b) O(0;0;0) pontok; A(1;2;-3) és B(2;-2;5).

10. feladat. A síkot és a gömböt a 4x+3y–4=0 és az x2 +y2 +z2 –2x+8y+8=0 egyenlet adja. A gömb középpontja ehhez a síkhoz tartozik?

11. feladat Írjon fel egyenletet az A(1;3;2) pontokon átmenő egyenesre, ill.

Keresse meg a metszéspontjaikat.

13. feladat. Határozza meg az ABCD tetraéder D csúcsától az ABC lapja közötti távolságot,

ha AC=CB=10, AB=12, DA=7, DB=145, DC=29.

Válasz: 3.

14. feladat. Határozza meg az ABCD tetraéder AD élének hosszát, ha AB=AC=BC=10,

DB=2 29, DC= 46 és a D csúcstól az ABC lap síkjától mért távolság egyenlő

Válasz: 214 vagy 206.

3. Önkontroll feladatok

1. Adott pontok K(0;1;1); P(2;-1;3) és T(-1;y;0). Keressen y olyan értékét, amelyre a feltétel teljesül: CT = RT.

2. Adott A (1;2;3) és B (3;-6;7) pont. Keresse meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit.

3. Keresse meg egy olyan pont koordinátáit, amely az Oy tengelyen fekszik, és egyenlő távolságra van az A (4;-1;3) és a B (1;3;0) pontoktól.

4. Keresse meg az A(0;0;1), B(0;1;0), C(1;0;0) pontoktól egyenlő távolságra és az yz síktól 2 távolságra lévő pontokat!

8. Írjon fel egyenletet az xy síkkal párhuzamos és A(2;3;4) ponton átmenő síkra!

9. Pontok O(0;0;0); A(3;0;0); B(0;4;0) és O 1 (0;0;5) – téglalap alakú paralelepipedon csúcsai. Írjon fel egyenleteket az összes lapjának síkjára!

10. Írja fel az A(1;1;2) pontokon átmenő egyenes egyenleteit és B(-3;2;7).

tizenegy . Milyen távolságra helyezkedik el a kocka alapjától egy b hosszúságú szakasz az alappal párhuzamosan, ha a szakasz egyik vége a kocka átlóján, a másik az azt metsző oldallap átlóján fekszik? A kocka élének hossza a.

Válasz: (2a ± 5b 2 − a 2) ÷ 5.

12. ABCDA1 B1 C1 D1 – négyszögletes paralelepipedon, AB=BC=a, AA1=2a. Határozza meg az MK szakasz hosszát az ABB1 A1 lappal párhuzamosan, ha M AD1, K DB1, AM:AD1 = 2:3.

Válasz: a 35.

8. lecke

Az óra témája: „Vektorok a térben és a vektoros módszer sztereometrikus problémák megoldására”

- általánosítsa és elmélyítse a tanulók iskolai ismereteit a vektorokról és a rájuk gyakorolt ​​cselekvésekről;

- folytassa a vektoros módszer tanulmányozását planimetriai és sztereometriai problémák megoldására; a az " a, b.

2. tulajdonság: (xa) × b = x(a × b) „a, b, x” esetén. 3. tulajdonság: (a + b) × c = a × c + b × c „a, b, c esetén.

Két speciális eset:

1) a = b; a × a = a2 = a 2 .

2) a × b = 0 akkor és csak akkor, ha az a és b vektorok merőlegesek. Ha a vagy b nulla vektor, akkor definíció szerint merőleges bármely vektorra.

Ha a =(a1;a2;a3); b =(b1 ;b2 ;b3 ), akkor a × b = a 1 × b 1 + a 2 × b 2 + a 3 × b 3 .

A körök egyenlőek. Keresse meg a paralelogramma területét. Rész. Átlós. Négyszög. Paralelogramma. Szögek. Körök középpontjai. Kör. Bizonyíték. Háromszögek. Két kör. A paralelogramma tulajdonsága. A paralelogramma magassága. Geometria. Négyzet. Egy paralelogramma területe. A paralelogramma tulajdonságai. Szegmensek egyenlősége. Pontok. Feladatok. Egy kör érintője. Éles sarok. Középső vonal. A paralelogramma jelei.

„Diéderszög, síkok merőlegessége” - Mind a hat lap téglalap. Az egymást metsző vonalak távolsága. Két sík merőlegességének jele. Keresse meg a távolságot. Lineáris diéderszög. Keresse meg a szöget. Egy egyenesre merőleges sík. Planimetria. Kétszögű szögek. Az a egyenes merőleges a síkra. Egy kocka széle. Paralelepipedon. Szakasz. Az ABC1 és A1B1D síkok merőlegesek. Keresse meg a szög érintőjét. Átlós.

„Következmények a sztereometria axiómáiból” - A geometria szakasza. Egy egyenes és egy sík metszéspontja. Lapos és egyenes. Repülőgépek. Készítsen egy kocka képet. Hány arc megy át egy, kettő, három, négy ponton. Új anyag magyarázata. Rajzolj egy egyenest. Bizonyíték. Megoldás. Szóbeli munka. Nyilatkozatok. A sztereometria axiómái és néhány következményük. Mi az a sztereometria? A planimetria axiómái. Keresse meg a síkok metszésvonalát!

„A piramis fogalma” - A piramis arcai. Ellenőrző kérdések. A piramis oldalsó bordái. Giza csodái. Poliéder. Egyenlő szögek. Piramis a közgazdaságtanban. Utazási útvonal. A piramis alján a mastaba található. Oldalsó él. egyiptomi piramisok. Piramisok a kémiában. A piramis alapja. Lépcsős piramisok. Egy modern ipari vállalkozás modellje. Virtuális utazás a piramisok világába. Oldalsó borda. A metán molekula szerkezete. Szomszédos oldallapok.

„Példák a központi szimmetriára” - Minták a szőnyegeken. Vonalszakasz. Adott fokmérővel rendelkező szög. Repülőgép. Adott hosszúságú szakasz. Központi szimmetria egy hatágú csillagban. Központi szimmetria. Központi szimmetria négyzetekben. Hotel "Pribaltiyskaya". Kamilla. Példák a növények szimmetriájára. Egyenes. Központi szimmetria téglalap alakú koordinátarendszerben. Központi szimmetria a közlekedésben. A sztereometria axiómái. Központi szimmetria az állattanban.

„A sztereometria axiómái, 10. osztály” – A sztereometria axiómái. A, B, C? egy egyenes A, B, C? ? ? - az egyetlen repülőgép. Egy sík két egymást metsző egyenesen halad át, és csak egy. Feladat Adott egy tetraéder MABC, amelynek minden éle 6 cm-es Nevezze meg az egyenest, amely mentén a síkok metszik: A) (MAB) és (MFC) B) (MCF) és (ABC). Következmények a sztereometria axiómáiból. 4. Számítsa ki az AK és AB1 szakaszok hosszát, ha AD=a! 2. Határozza meg a CF szakasz hosszát és az ABC háromszög területét.

2. dia

Nyílt óra: „Diéderszögek” 10-11. évfolyamos tanulók számára, akik geometriát tanulnak L.S. tankönyve alapján. Atanasyan

3. dia

Útmutató a prezentációval való munkavégzéshez:

A diák az egér segítségével jeleníthető meg. Bármelyik diáról elkezdheti a munkát. Kiválaszthatja a diák egy részét. Másolhatja a szükséges anyagot.

4. dia

Kétszögű szögek. 10. évfolyam 2008

5. dia

Az óra céljai: 1. Bővítse a fogalmat: „Szög” 2. Vezesse le a kétszögek definícióját 3. Tanuld meg mérni a diéderszögeket4. Tanuld meg alkalmazni a kétszögek tulajdonságait a feladatok megoldása során.

6. dia

Ismétlés.1. Lineáris szög meghatározása.2.Három merőleges tétel.3.Lejtők és vetület.4.Trigonometrikus függvények meghatározása.4. Derékszögű háromszög tulajdonságai.

7. dia

A szögeket fokozatosan, az egér parancsára jelenítjük meg, így megismételjük a definíciót és a tulajdonságokat Lineáris szög (akut, jobb, tompa) Függőleges szögek Szomszédos szögek Központi szög Beírt szög.

8. dia

9. dia

Merőleges, ferde és vetület. Három merőleges tétele. A ferde és vetületek tulajdonságai. Ismételje meg ezeket a kérdéseket a feladatokban.

10. dia

B S A K N A merőleges, a ferde és a vetület összefügg a Pitagorasz-tétellel a KS egyenesre. Az ABC KS sík Az egyenlő dőlésszögűek …….. Nagy ferde………

11. dia

A B C D V H P N A B C D E F M H S O P R Keresse meg a HD egyenes (AO) és az alap síkja és az oldallap közötti szöget

12. dia

A D C B F Rajzoljunk egy merőlegest DC-re és AD-re az F ABCD pontból – négyzet, rombusz. Hogyan kapcsolódik egymáshoz a merőleges, a ferde és a ferde vetület?

13. dia

A B C D F Hol látható a három merőleges tétel?

14. dia

Feladat.

Az ABCD négyzet B csúcsán át merőleges BM húzódik. Ismeretes, hogy MA=4cm MD=5cm, Keresse meg az M távolságot a síktól; MV és DC közötti távolság. A B C D M

15. dia

A lecke fő része.

Gyakorlati feladatok: Mindenki vett egy iratlapot, két egyenlőtlen részre hajlította, és arra a következtetésre jutott, hogy két egymást metsző, közös egyenessel rendelkező félsíkot diéderszögnek nevezünk. Hogyan kell mérni? Rajzoljunk közös egyenest, emlékezzünk a síkok axiómájára, Jelöljünk egy pontot az élen. Minden lapon egy adott pontból merőlegeseket rajzoljunk az élre. Ismét meghajolunk a szélén, és arra a következtetésre jutunk, hogy a szögek eltérőek, ami azt jelenti, hogy meg kell különböztetni őket, hogyan? Ollót veszünk, és a merőlegesek mentén vágunk, behelyezzük a lapot a repedésbe, és megnézzük a lineáris szöget. Átnézzük a beérkezett javaslatokra választ adó diákat. Határozzuk meg a diéderszögek mérését. Dupla szögeket mutatunk piramisok, prizmák és asztalok modelljein.

16. dia

Diéderszögek Ismeretes, hogy a diéderszög mértéke annak lineáris szögének mértéke. Ha minden lapon megjelölünk egy pontot egy kétszög peremén, és ebből a pontból az élre merőleges sugarakat rajzolunk, akkor lineáris szöget kapunk. M

17. dia

A szélen lévő pont tetszőleges lehet...