Logaritmusképletek egyenletek online megoldásához. Logaritmikus egyenletek megoldása - Utolsó lecke

Tudniillik a kifejezések hatványokkal való szorzásakor a kitevőik mindig összeadódnak (a b *a c = a b+c). Ezt a matematikai törvényt Arkhimédész vezette le, majd később, a 8. században Virasen matematikus készített egy táblázatot az egész kitevőkből. Ők voltak azok, akik a logaritmusok további felfedezését szolgálták. Szinte mindenhol találunk példákat ennek a függvénynek a használatára, ahol egyszerű összeadással kell leegyszerűsíteni a nehézkes szorzást. Ha 10 percet tölt ennek a cikknek a elolvasásával, elmagyarázzuk Önnek, mik azok a logaritmusok, és hogyan kell velük dolgozni. Egyszerű és érthető nyelven.

Definíció a matematikában

A logaritmus a következő formájú kifejezés: log a b=c, azaz bármely nem negatív szám (vagyis bármely pozitív) „b” logaritmusa az „a” bázisához a „c” hatvány. ”, amelyre az „a” alapot fel kell emelni, hogy végül megkapjuk a „b” értéket. Elemezzük a logaritmust példákon keresztül, mondjuk van egy log 2 kifejezés 8. Hogyan találjuk meg a választ? Nagyon egyszerű, olyan hatványt kell találnod, hogy 2-től a szükséges teljesítményig 8-at kapj. Néhány fejben végzett számítás után megkapjuk a 3-as számot! És ez igaz, mert a 2 a 3 hatványára 8-nak adja a választ.

A logaritmusok fajtái

Sok diák és diák számára ez a téma bonyolultnak és érthetetlennek tűnik, de valójában a logaritmusok nem olyan ijesztőek, a lényeg az, hogy megértsük általános jelentésüket, és emlékezzünk tulajdonságaikra és néhány szabályra. A logaritmikus kifejezéseknek három különböző típusa van:

1. Természetes logaritmus ln a, ahol az alap az Euler-szám (e = 2,7).
2. Tizedes a, ahol az alap 10.
3. Bármely b szám logaritmusa a>1 bázishoz.

Mindegyiket szabványos módon oldják meg, beleértve az egyszerűsítést, a redukciót és az azt követő redukciót egyetlen logaritmusra logaritmikus tételek segítségével. A logaritmusok helyes értékeinek megszerzéséhez emlékeznie kell tulajdonságaikra és a műveletek sorrendjére a megoldásuk során.

Szabályok és néhány korlátozás

A matematikában több olyan szabály-megkötés létezik, amelyeket axiómaként fogadnak el, vagyis nem vita tárgya, és ez az igazság. Például lehetetlen a számokat nullával osztani, és a negatív számok páros gyökét sem lehet kivonni. A logaritmusoknak is megvannak a saját szabályai, amelyek betartásával könnyedén megtanulhatod, hogyan kell dolgozni még hosszú és terjedelmes logaritmikus kifejezésekkel is:

• Az „a” alapnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál, és nem egyenlő 1-gyel, különben a kifejezés értelmét veszti, mert az „1” és a „0” bármilyen mértékben mindig megegyezik az értékükkel;
• ha a > 0, akkor a b >0, akkor kiderül, hogy „c”-nek is nagyobbnak kell lennie nullánál.

Hogyan lehet logaritmusokat megoldani?

Például az a feladat, hogy megtaláljuk a választ a 10 x = 100 egyenletre. Ez nagyon egyszerű, ki kell választani egy hatványt a tízes szám emelésével, amelyre 100-at kapunk. Ez természetesen 10 2 = 100.

Most ábrázoljuk ezt a kifejezést logaritmikus formában. Log 10 100 = 2-t kapunk. A logaritmusok megoldása során gyakorlatilag minden művelet konvergál, hogy megtalálja azt a hatványt, amelyre a logaritmus alapját kell megadni egy adott szám megszerzéséhez.

Az ismeretlen fok értékének pontos meghatározásához meg kell tanulnia, hogyan kell dolgozni egy foktáblázattal. Ez így néz ki:

Amint látja, néhány kitevő intuitív módon kitalálható, ha rendelkezik technikai elmével és ismeri a szorzótáblát. Nagyobb értékekhez azonban szüksége lesz egy tápasztalra. Azok is használhatják, akik egyáltalán nem tudnak az összetett matematikai témákról. A bal oldali oszlop számokat tartalmaz (a bázis), a felső számsor annak a c hatványnak az értéke, amelyre az a számot emeljük. A metszéspontban a cellák azokat a számértékeket tartalmazzák, amelyek a választ jelentik (a c =b). Vegyük például a legelső 10-es számú cellát, és négyzetre emeljük, megkapjuk a 100-as értéket, amit a két cellánk metszéspontjában jelez. Minden olyan egyszerű és könnyű, hogy még a legigazabb humanista is megérti!

Egyenletek és egyenlőtlenségek

Kiderül, hogy bizonyos feltételek mellett a kitevő a logaritmus. Ezért bármilyen matematikai numerikus kifejezés felírható logaritmikus egyenlőségként. Például a 3 4 =81 felírható 81 4-es 3-as bázis logaritmusaként (log 3 81 = 4). Negatív hatványokra ugyanazok a szabályok: 2 -5 = 1/32 logaritmusként írjuk, log 2 (1/32) = -5-öt kapunk. A matematika egyik legérdekesebb része a „logaritmusok” témája. Az alábbiakban példákat és megoldásokat tekintünk meg az egyenletekre, közvetlenül tulajdonságaik tanulmányozása után. Most nézzük meg, hogyan néznek ki az egyenlőtlenségek, és hogyan lehet megkülönböztetni őket az egyenletektől.

A következő kifejezést adjuk meg: log 2 (x-1) > 3 - ez logaritmikus egyenlőtlenség, mivel az ismeretlen „x” érték a logaritmikus előjel alatt van. És a kifejezésben is két mennyiséget hasonlítanak össze: a kívánt szám logaritmusa a kettőhöz nagyobb, mint a három.

A legfontosabb különbség a logaritmikus egyenletek és az egyenlőtlenségek között az, hogy a logaritmusos egyenletek (például a logaritmus 2 x = √9) egy vagy több konkrét számértéket tartalmaznak a válaszban, míg egy egyenlőtlenség megoldása során mindkét elfogadható tartományt. értékek és a pontok meghatározása ennek a függvénynek a megszakításával történik. Következésképpen a válasz nem egyedi számok egyszerű halmaza, mint az egyenletre adott válaszban, hanem folyamatos számsor vagy számhalmaz.

Alaptételek a logaritmusokról

A logaritmus értékeinek megtalálásával kapcsolatos primitív feladatok megoldása során előfordulhat, hogy tulajdonságai nem ismertek. Amikor azonban logaritmikus egyenletekről vagy egyenlőtlenségekről van szó, mindenekelőtt tisztán kell érteni és a gyakorlatban alkalmazni kell a logaritmus összes alapvető tulajdonságát. Az egyenletekre a későbbiekben példákat tekintünk meg, először nézzük meg részletesebben az egyes tulajdonságokat.

1. A fő azonosság így néz ki: a logaB =B. Csak akkor érvényes, ha a nagyobb, mint 0, nem egyenlő eggyel, és B nagyobb, mint nulla.
2. A szorzat logaritmusa a következő képlettel ábrázolható: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Ebben az esetben a kötelező feltétel: d, s 1 és s 2 > 0; a≠1. Ezt a logaritmikus képletet példákkal és megoldással bizonyíthatja. Legyen log a s 1 = f 1 és log a s 2 = f 2, akkor a f1 = s 1, a f2 = s 2. Azt kapjuk, hogy s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (tulajdonságai fok ), majd definíció szerint: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, amit bizonyítani kellett.
3. A hányados logaritmusa így néz ki: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. A képlet formájú tétel a következő alakot ölti: log a q b n = n/q log a b.

Ezt a képletet „a logaritmus fokának tulajdonságának” nevezik. Hasonlít a közönséges fokok tulajdonságaira, és ez nem meglepő, mert minden matematika természetes posztulátumokon alapul. Nézzük a bizonyítékot.

Legyen log a b = t, kiderül, hogy a t =b. Ha mindkét részt m hatványra emeljük: a tn = b n ;

de mivel a tn = (a q) nt/q = b n, ezért log a q b n = (n*t)/t, majd log a q b n = n/q log a b. A tétel bizonyítást nyert.

Példák problémákra és egyenlőtlenségekre

A logaritmusokkal kapcsolatos leggyakoribb problémák az egyenletek és egyenlőtlenségek példái. Szinte minden feladatfüzetben megtalálhatóak, és a matematika vizsgák kötelező részét is képezik. Az egyetemre való belépéshez vagy a matematikai felvételi vizsgák letételéhez tudnia kell, hogyan kell helyesen megoldani az ilyen feladatokat.

Sajnos nincs egyetlen terv vagy séma a logaritmus ismeretlen értékének megoldására és meghatározására, de bizonyos szabályokat minden matematikai egyenlőtlenségre vagy logaritmikus egyenletre alkalmazni lehet. Először is meg kell találnia, hogy a kifejezés leegyszerűsíthető-e vagy általános formára redukálható-e. Leegyszerűsítheti a hosszú logaritmikus kifejezéseket, ha helyesen használja a tulajdonságaikat. Ismerkedjünk meg velük gyorsan.

A logaritmikus egyenletek megoldásánál meg kell határoznunk, hogy milyen típusú logaritmusunk van: egy példakifejezés tartalmazhat természetes logaritmust vagy decimális logaritmust.

Itt vannak példák az ln100, ln1026. Megoldásuk abban rejlik, hogy meg kell határozniuk azt a teljesítményt, amelyre a 10-es alap 100, illetve 1026 lesz. A természetes logaritmusok megoldásához logaritmikus azonosságokat vagy azok tulajdonságait kell alkalmazni. Nézzünk példákat különféle típusú logaritmikus problémák megoldására.

A logaritmusképletek használata: példákkal és megoldásokkal

Tehát nézzünk példákat a logaritmusokkal kapcsolatos alaptételek használatára.

1. A szorzat logaritmusának tulajdonsága olyan feladatokban használható, ahol a b szám nagy értékét egyszerűbb tényezőkre kell bontani. Például log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. A válasz 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - mint látható, a logaritmus hatványának negyedik tulajdonságát felhasználva sikerült megoldanunk egy bonyolultnak tűnő és megoldhatatlan kifejezést. Csak az alapot kell figyelembe vennie, majd ki kell vennie a kitevő értékeket a logaritmus előjeléből.

Feladatok az egységes államvizsgáról

A felvételi vizsgákon gyakran megtalálhatók a logaritmusok, különösen sok logaritmikus feladat az egységes államvizsgánál (államvizsga minden érettségizett számára). Ezek a feladatok jellemzően nemcsak az A részben (a vizsga legkönnyebb tesztrésze), hanem a C részben is (a legösszetettebb és legterjedelmesebb feladatok) is jelen vannak. A vizsga megköveteli a „Természetes logaritmusok” témakör pontos és tökéletes ismeretét.

A példák és a problémák megoldásai az Egységes Államvizsga hivatalos verzióiból származnak. Lássuk, hogyan oldják meg az ilyen feladatokat.

Adott log 2 (2x-1) = 4. Megoldás:
írjuk át a kifejezést, kicsit leegyszerűsítve log 2 (2x-1) = 2 2, a logaritmus definíciójával azt kapjuk, hogy 2x-1 = 2 4, tehát 2x = 17; x = 8,5.

• A legjobb az összes logaritmust ugyanarra az alapra redukálni, hogy a megoldás ne legyen nehézkes és zavaró.
• Minden logaritmus előjel alatti kifejezés pozitívnak van jelölve, ezért ha egy olyan kifejezés kitevőjét, amely a logaritmus előjele alatt van és annak bázisaként kivesszük szorzóként, a logaritmus alatt maradó kifejezésnek pozitívnak kell lennie.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Algebra 11. évfolyam

Téma: „Logaritmikus egyenletek megoldási módszerei”

Az óra céljai:

nevelési: ismeretek fejlesztése a logaritmikus egyenletek megoldásának különböző módjairól, azok alkalmazásának képessége az egyes helyzetekben, és bármilyen megoldási mód kiválasztása;

fejlesztés: képességek fejlesztése az ismeretek megfigyelésére, összehasonlítására, új helyzetben történő alkalmazására, minták azonosítására, általánosításra; a kölcsönös kontroll és önkontroll készségeinek fejlesztése;

nevelési: az oktató-nevelő munkához való felelősségteljes hozzáállás, a tanórai anyag figyelmes felfogása, gondos jegyzetelés elősegítése.

Az óra típusa : lecke az új anyag bevezetéséről.

"A logaritmusok feltalálása, miközben csökkentette a csillagász munkáját, meghosszabbította életét."
francia matematikus és csillagász P.S. Laplace

Az órák alatt

I. Az óra céljának kitűzése

A vizsgált logaritmus definíció, a logaritmusok tulajdonságai és a logaritmikus függvény lehetővé teszi logaritmikus egyenletek megoldását. Minden logaritmikus egyenletet, bármilyen bonyolult is, egységes algoritmusok segítségével oldanak meg. A mai leckében ezeket az algoritmusokat nézzük meg. Nem sok van belőlük. Ha elsajátítja őket, akkor bármelyik logaritmusos egyenlet megvalósítható lesz mindannyiótok számára.

Írd le a lecke témáját a füzetedbe: „Logaritmikus egyenletek megoldási módszerei”. Mindenkit együttműködésre hívok.

II. Referencia ismeretek frissítése

Készüljünk fel az óra témájának tanulmányozására. Minden feladatot megoldasz, és leírod a választ; nem kell leírnod ​​a feltételt. Párokban dolgozni.

1) Milyen x értékei esetén van értelme a függvénynek:

A)

b)

V)

d)

(A válaszokat minden diánál ellenőrizzük, a hibákat pedig kiszűrjük)

2) Egybeesnek-e a függvények grafikonjai?

a) y = x és

b)És

3) Írja át az egyenlőségeket logaritmikus egyenlőségekké:

4) Írja fel a számokat logaritmusként 2-es bázissal:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Számítsa ki :

6) Próbálja meg helyreállítani vagy kiegészíteni a hiányzó elemeket ezekben az egyenlőségekben.

III. Bevezetés az új anyagba

A következő állítás jelenik meg a képernyőn:

"Az egyenlet az arany kulcs, amely minden matematikai szezámot megnyit."
S. Kowal modern lengyel matematikus

Próbáld meg megfogalmazni a logaritmikus egyenlet definícióját. (Ismeretlent tartalmazó egyenlet a logaritmusjel alatt ).

Mérlegeljüka legegyszerűbb logaritmikus egyenlet: log A x = b (ahol a>0, a ≠ 1). Mivel a logaritmikus függvény növekszik (vagy csökken) a pozitív számok halmazán, és felveszi az összes valós értéket, akkor a gyöktételből az következik, hogy bármely b esetén ennek az egyenletnek van, és csak egy, megoldása és pozitív.

Emlékezzen a logaritmus definíciójára. (Az x szám logaritmusa az a bázishoz annak a hatványnak a mutatója, amelyre az a bázist fel kell emelni, hogy megkapjuk az x számot ). A logaritmus definíciójából rögtön az következikA V ilyen megoldás.

Írd le a címet:Logaritmikus egyenletek megoldási módszerei

1. A logaritmus definíciója szerint .

Így oldódnak meg az alak legegyszerűbb egyenletei.

MérlegeljükNo. 514(a) ): Oldja meg az egyenletet

Hogyan javasolja a megoldást? (A logaritmus definíciója szerint )

Megoldás . , így 2x – 4 = 4; x = 4.

Válasz: 4.

Ebben a feladatban 2x – 4 > 0, hiszen> 0, így nem jelenhetnek meg idegen gyökök, ésnem kell ellenőrizni . Ebben a feladatban nem kell kiírni a 2x – 4 > 0 feltételt.

2. Potencizálás (átmenet egy adott kifejezés logaritmusáról magára a kifejezésre).

Mérlegeljük519(g): log 5 ( x 2 +8)- log 5 ( x+1)=3 log 5 2

Milyen tulajdonságot vettél észre?(Az alapok azonosak és a két kifejezés logaritmusa egyenlő) . Mit lehet tenni?(Potencizálni).

Figyelembe kell venni, hogy minden olyan megoldás benne van az összes x között, amelyre a logaritmikus kifejezések pozitívak.

Megoldás: ODZ:

x 2 +8>0 szükségtelen egyenlőtlenség

log 5 ( x 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( x+1)

log 5 ( x 2 +8)= log 5 (8 x+8)

Potencírozzuk az eredeti egyenletet

x 2 +8= 8 x+8

megkapjuk az egyenletetx 2 +8= 8 x+8

Oldjuk meg:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Válasz: 0; 8

Általábanegyenértékű rendszerre való átállás :

Az egyenlet

(A rendszer redundáns feltételt tartalmaz – az egyik egyenlőtlenséget nem kell figyelembe venni).

Kérdés az osztályhoz : A három megoldás közül melyik tetszett a legjobban? (Módszerek megbeszélése).

Jogod van dönteni bármilyen módon.

3. Új változó bevezetése .

MérlegeljükNo. 520(g) . .

mit vettél észre? (Ez egy másodfokú egyenlet a log3x-hez képest) Az Ön javaslatai? (Új változó bevezetése)

Megoldás . ODZ: x > 0.

Hadd, akkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:. Diszkriminans D > 0. Gyökerek Vieta tétele szerint:.

Térjünk vissza a cseréhez:vagy.

A legegyszerűbb logaritmikus egyenletek megoldása után a következőt kapjuk:

; .

Válasz : 27;

4. Az egyenlet mindkét oldalának logaritmusa!

Oldja meg az egyenletet:.

Megoldás : ODZ: x>0, vegyük a 10. bázis egyenletének mindkét oldalának logaritmusát:

. Alkalmazzuk egy hatvány logaritmusának tulajdonságát:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Legyen logx = y, akkor (y + 3)y = 4

, (D > 0) gyökök Vieta tétele szerint: y1 = -4 és y2 = 1.

Térjünk vissza a cseréhez, ezt kapjuk: lgx = -4,; logx = 1,. . Ez a következő: ha az egyik funkció y = f(x) növekszik, és a másik y = g(x) csökken az X intervallumon, majd az egyenlet f(x)= g(x) legfeljebb egy gyöke van az X intervallumon .

Ha van gyökér, akkor kitalálható. .

Válasz : 2

„A módszerek helyes alkalmazását úgy lehet megtanulni
csak úgy, hogy különféle példákra alkalmazzuk őket.”
G. G. Zeiten dán matematikatörténész

én V. Házi feladat

39. o. fontolja meg a 3. példát, oldja meg: 514(b), 529(b), 520(b), 523(b)

V. A lecke összegzése

Milyen logaritmikus egyenletek megoldási módszereit néztük meg az órán?

A következő leckékben bonyolultabb egyenletekkel fogunk foglalkozni. Megoldásukra a vizsgált módszerek hasznosak lesznek.

Utoljára bemutatott dia:

„Mi több mindennél a világon?
Hely.
Mi a legbölcsebb dolog?
Idő.
Mi a legjobb rész?
Érd el, amit akarsz."
Thales

Mindenkinek azt kívánom, hogy érje el, amit akar. Köszönjük együttműködését és megértését.

Logaritmikus egyenletek megoldása. 1. rész.

Logaritmikus egyenlet egy egyenlet, amelyben az ismeretlen a logaritmus előjele alatt van (különösen a logaritmus alapjában).

A legegyszerűbb logaritmikus egyenlet a következő formában van:

Bármilyen logaritmikus egyenlet megoldásaátmenetet jelent a logaritmusról a logaritmus jele alatti kifejezésekre. Ez a művelet azonban kiterjeszti az egyenlet megengedett értékeinek tartományát, és idegen gyökerek megjelenéséhez vezethet. Az idegen gyökerek megjelenésének elkerülése érdekében, háromféleképpen teheti meg:

1. Végezzen egyenértékű átmenetet az eredeti egyenletből egy olyan rendszerbe, amely magában foglalja

attól függően, hogy melyik egyenlőtlenség vagy egyszerűbb.

Ha az egyenlet a logaritmus alapjában ismeretlent tartalmaz:

akkor megyünk a rendszerhez:

2. Keresse meg külön az egyenlet elfogadható értékeinek tartományát, majd oldja meg az egyenletet, és ellenőrizze, hogy a talált megoldások kielégítik-e az egyenletet.

3. Oldja meg az egyenletet, majd jelölje be: Helyettesítse be a talált megoldásokat az eredeti egyenletbe, és ellenőrizze, hogy a helyes egyenlőséget kaptuk-e.

Bármely bonyolultságú logaritmikus egyenlet végül mindig a legegyszerűbb logaritmikus egyenletre redukálódik.

Minden logaritmikus egyenlet négy típusra osztható:

1 . Olyan egyenletek, amelyek csak az első hatványig tartalmaznak logaritmust. Átalakítások és felhasználás segítségével formába hozzák

Példa. Oldjuk meg az egyenletet:

Tegyük egyenlővé a logaritmusjel alatti kifejezéseket:

Ellenőrizzük, hogy az egyenlet gyökere kielégíti-e:

Igen, kielégít.

Válasz: x=5

2 . Olyan egyenletek, amelyek 1-től eltérő hatványok logaritmusát tartalmazzák (különösen a tört nevezőjében). Az ilyen egyenletek a segítségével oldhatók meg változó változásának bevezetése.

Példa. Oldjuk meg az egyenletet:

Keressük az ODZ egyenletet:

Az egyenlet logaritmusokat négyzetesen tartalmaz, így változó változtatásával megoldható.

Fontos! A csere bevezetése előtt az egyenlet részét képező logaritmusokat a logaritmus tulajdonságainak segítségével „téglákra” kell „szétszedni”.

A logaritmusok „széthúzásakor” fontos, hogy a logaritmus tulajdonságait nagyon körültekintően használjuk:

Ezen kívül van itt még egy finom pont, és a gyakori hiba elkerülése érdekében egy köztes egyenlőséget használunk: a logaritmus mértékét ebben a formában írjuk fel:

Hasonlóképpen,

Helyettesítsük be a kapott kifejezéseket az eredeti egyenletbe. Kapunk:

Most látjuk, hogy az ismeretlent az egyenlet részeként tartalmazza. Mutassuk be a helyettesítést: . Mivel bármilyen valós értéket vehet fel, nem szabunk semmilyen korlátozást a változóra.

Logaritmikus egyenlet egy olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen (x) és a vele járó kifejezések a logaritmikus függvény előjele alatt állnak. A logaritmikus egyenletek megoldása feltételezi, hogy már ismeri a és .
Hogyan lehet logaritmikus egyenleteket megoldani?

A legegyszerűbb egyenlet az log a x = b, ahol a és b néhány szám, x egy ismeretlen.
Logaritmikus egyenlet megoldása x = a b, feltéve, hogy: a > 0, a 1.

Megjegyzendő, hogy ha x valahol a logaritmuson kívül van, például log 2 x = x-2, akkor egy ilyen egyenletet már vegyesnek neveznek, és speciális megközelítésre van szükség a megoldásához.

Az ideális eset, ha olyan egyenlettel találkozunk, amelyben csak számok vannak a logaritmus előjele alatt, például x+2 = log 2 2. Itt elég a logaritmusok tulajdonságait ismerni a megoldáshoz. De ilyen szerencse nem gyakran fordul elő, ezért készülj fel nehezebb dolgokra.

De először kezdjük egyszerű egyenletekkel. Megoldásukhoz ajánlatos a logaritmus nagyon általános ismerete.

Egyszerű logaritmikus egyenletek megoldása

Ide tartoznak a log 2 x = log 2 16 típusú egyenletek. Szabad szemmel láthatjuk, hogy a logaritmus előjelének kihagyásával x = 16-ot kapunk.

Egy bonyolultabb logaritmikus egyenlet megoldásához általában egy közönséges algebrai egyenlet megoldására vagy egy egyszerű logaritmikus egyenlet megoldására redukálunk log a x = b. A legegyszerűbb egyenletekben ez egy mozdulattal történik, ezért nevezzük őket a legegyszerűbbnek.

A logaritmusok eldobásának fenti módszere a logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásának egyik fő módja. A matematikában ezt a műveletet potenciálásnak nevezik. Az ilyen típusú műveletekre bizonyos szabályok vagy korlátozások vonatkoznak:

• A logaritmusoknak ugyanaz a numerikus alapja
• Az egyenlet mindkét oldalán a logaritmusok szabadok, azaz. együtthatók vagy más különféle kifejezések nélkül.

Tegyük fel, hogy a log 2 x = 2log 2 (1 - x) egyenletben a potenciálás nem alkalmazható - a jobb oldali 2 együttható nem engedi meg. A következő példában a log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) szintén nem felel meg az egyik megszorításnak – a bal oldalon két logaritmus található. Ha csak egy lenne, az egészen más lenne!

Általában csak akkor távolíthatja el a logaritmusokat, ha az egyenletnek a következő alakja van:

log a (...) = log a (...)

Abszolút bármilyen kifejezés zárójelbe tehető, ennek nincs hatása a potenciálási műveletre. A logaritmusok kiiktatása után pedig marad egy egyszerűbb egyenlet - lineáris, másodfokú, exponenciális stb., amit remélem, már tudod, hogyan kell megoldani.

Vegyünk egy másik példát:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Potenciót alkalmazunk, így kapjuk:

log 3 (2x-1) = 2

A logaritmus definíciója alapján, nevezetesen, hogy a logaritmus az a szám, amelyre az alapot fel kell emelni, hogy olyan kifejezést kapjunk, amely a logaritmus előjele alatt van, azaz. (4x-1), kapjuk:

Ismét gyönyörű választ kaptunk. Itt a logaritmusok kiiktatása nélkül tettük, de itt is alkalmazható a potencírozás, mert tetszőleges számból készíthető logaritmus, pontosan abból, amilyenre szükségünk van. Ez a módszer nagyon hasznos a logaritmikus egyenletek és különösen az egyenlőtlenségek megoldásában.

Oldjuk meg a log 3 (2x-1) = 2 logaritmikus egyenletünket potenciálással:

Képzeljük el a 2-es számot logaritmusként, például ezt a log 3 9-et, mert 3 2 =9.

Ezután log 3 (2x-1) = log 3 9 és ismét ugyanazt az egyenletet kapjuk: 2x-1 = 9. Remélem, minden világos.

Tehát megvizsgáltuk, hogyan lehet megoldani a legegyszerűbb logaritmikus egyenleteket, amelyek valójában nagyon fontosak, mert logaritmikus egyenletek megoldása, még a legszörnyűbbek és legkicsavartabbak is, a végén mindig a legegyszerűbb egyenletek megoldásán múlik.

Mindenben, amit fent tettünk, szem elől tévesztettünk egy nagyon fontos pontot, amely a jövőben meghatározó szerepet fog játszani. A helyzet az, hogy bármely logaritmikus egyenlet megoldása, még a legelemibb is, két egyenlő részből áll. Az első maga az egyenlet megoldása, a második a megengedett értékek tartományával (APV) dolgozik. Pontosan ez az első rész, amit elsajátítottunk. A fenti példákban az ODZ semmilyen módon nem befolyásolja a választ, ezért nem vettük figyelembe.

Vegyünk egy másik példát:

log 3 (x 2-3) = log 3 (2x)

Külsőleg ez az egyenlet nem különbözik egy elemitől, amely nagyon sikeresen megoldható. De ez nem így van. Nem, persze megoldjuk, de nagy valószínűséggel hibásan, mert van benne egy kis les, amibe mind a C osztályosok, mind a kitűnő tanulók azonnal beleesnek. Nézzük meg közelebbről.

Tegyük fel, hogy meg kell találni az egyenlet gyökerét vagy a gyökök összegét, ha több van belőlük:

log 3 (x 2-3) = log 3 (2x)

Potenciót használunk, ez itt elfogadható. Ennek eredményeként egy közönséges másodfokú egyenletet kapunk.

Az egyenlet gyökereinek megkeresése:

Kiderült, két gyökér.

Válasz: 3 és -1

Első pillantásra minden korrekt. De nézzük meg az eredményt, és cseréljük be az eredeti egyenletbe.

Kezdjük azzal, hogy x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Az ellenőrzés sikeres volt, most a sor x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Oké, állj! Kívülről minden tökéletes. Egy dolog - negatív számokból nincs logaritmus! Ez azt jelenti, hogy az x = -1 gyök nem alkalmas egyenletünk megoldására. És ezért a helyes válasz 3 lesz, nem 2, ahogy írtuk.

Az ODZ itt játszotta végzetes szerepét, amiről már megfeledkeztünk.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy az elfogadható értékek tartománya tartalmazza az x azon értékeit, amelyek megengedettek vagy értelmesek az eredeti példában.

ODZ nélkül bármely egyenlet bármely megoldása, még a teljesen helyes megoldása is lottóvá válik - 50/50.

Hogyan kaphatnánk el egy eleminek tűnő példa megoldásán? De pontosan a potencírozás pillanatában. A logaritmusok eltűntek, és velük együtt minden korlátozás.

Mi a teendő ebben az esetben? Megtagadja a logaritmusok kiiktatását? És teljesen megtagadja ennek az egyenletnek a megoldását?

Nem, mi csak, mint egy híres dal igazi hősei, egy kitérőt fogunk tenni!

Mielőtt elkezdenénk a logaritmikus egyenlet megoldását, felírjuk az ODZ-t. De ezek után bármit megtehetsz az egyenletünkkel, amit szíved akar. Miután megkaptuk a választ, egyszerűen kidobjuk azokat a gyökereket, amelyek nem szerepelnek az ODZ-ben, és leírjuk a végleges verziót.

Most döntsük el, hogyan rögzítsük az ODZ-t. Ehhez alaposan megvizsgáljuk az eredeti egyenletet, és megkeressük benne a gyanús helyeket, mint pl. x-szel való osztás, páros gyök stb. Amíg meg nem oldjuk az egyenletet, nem tudjuk, hogy x mivel egyenlő, de azt biztosan tudjuk, hogy azok az x-ek, amelyek behelyettesítésükkor 0-val osztanak, vagy negatív szám négyzetgyökét veszik, nyilvánvalóan nem alkalmasak a válasz. Ezért az ilyen x elfogadhatatlan, míg a többi ODZ-t alkot.

Használjuk újra ugyanazt az egyenletet:

log 3 (x 2-3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2-3) = log 3 (2x)

Mint látható, nincs 0-val való osztás, nincsenek négyzetgyökök sem, de vannak x-szel jelzett kifejezések a logaritmus törzsében. Rögtön emlékezzünk arra, hogy a logaritmuson belüli kifejezésnek mindig >0-nak kell lennie. Ezt a feltételt ODZ formában írjuk:

Azok. Még nem oldottunk meg semmit, de már felírtunk egy kötelező feltételt a teljes szublogaritmikus kifejezésre. A göndör zárójel azt jelenti, hogy ezeknek a feltételeknek egyszerre kell igazodniuk.

Az ODZ le van írva, de meg kell oldani a keletkező egyenlőtlenségrendszert is, amit meg is fogunk tenni. Megkapjuk a választ x > v3. Most már biztosan tudjuk, melyik x nem felel meg nekünk. És akkor elkezdjük magát a logaritmikus egyenletet megoldani, amit fent tettünk.

Miután megkaptuk az x 1 = 3 és x 2 = -1 válaszokat, könnyen belátható, hogy csak az x1 = 3 felel meg nekünk, és ezt írjuk le végső válaszként.

A jövőre nézve nagyon fontos megjegyezni a következőket: bármilyen logaritmikus egyenletet 2 lépésben oldunk meg. Az első az egyenlet megoldása, a második az ODZ feltétel megoldása. Mindkét szakaszt egymástól függetlenül hajtják végre, és csak a válasz megírásakor hasonlítják össze, pl. dobj el mindent, ami felesleges, és írd le a helyes választ.

Az anyag megerősítéséhez erősen javasoljuk a videó megtekintését:

A videó további példákat mutat be a napló megoldására. egyenletek és az intervallummódszer kidolgozása a gyakorlatban.

Erre a kérdésre, hogyan kell logaritmikus egyenleteket megoldani Ez minden most. Ha valamit eldönt a napló. Az egyenletek tisztázatlanok vagy érthetetlenek maradnak, írja meg kérdéseit a megjegyzésekben.

Megjegyzés: Az Academy of Social Education (ASE) készen áll új hallgatók fogadására.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete