Egy trapéz területe négy oldalon. A trapéz területe

A trapéz területe. Üdvözlet! Ebben a kiadványban ezt a képletet fogjuk megvizsgálni. Miért pont ilyen, és hogyan kell őt megérteni. Ha van megértés, akkor nem kell tanítani. Ha csak sürgősen meg szeretné nézni ezt a képletet, akkor azonnal görgessen lefelé az oldalon))

Most részletesen és sorrendben.

A trapéz négyszög, ennek a négyszögnek két oldala párhuzamos, a másik kettő nem. A nem párhuzamosak a trapéz alapjai. A másik kettőt oldalnak nevezzük.

Ha az oldalak egyenlőek, akkor a trapézt egyenlő szárúnak nevezzük. Ha az egyik oldal merőleges az alapokra, akkor egy ilyen trapézt téglalap alakúnak nevezünk.

Klasszikus formájában a trapéz a következőképpen van ábrázolva - a nagyobb alap alul, a kisebb pedig felül. De senki sem tiltja, hogy ábrázolja őt, és fordítva. Íme a vázlatok:

Következő fontos fogalom.
A trapéz középvonala egy szakasz, amely összeköti az oldalak felezőpontjait. A középső vonal párhuzamos a trapéz alapjaival, és egyenlő azok felével.

Most ássunk mélyebbre. Miért van ez így?

Tekintsünk egy trapézt alapokkal a és bés a középső vonallal l, és hajtsunk végre néhány további konstrukciót: húzzunk egyenes vonalakat az alapokon, és merőlegeseket a középvonal végein, amíg nem metszik egymást az alapokkal:

*A csúcsok és egyéb pontok betűjeleit szándékosan nem tartalmazza a szükségtelen megjelölések elkerülése érdekében.

Nézd, az 1-es és a 2-es háromszög egyenlő a háromszögek második egyenlőségének jele szerint, a 3-as és a 4-es háromszög azonos. A háromszögek egyenlőségéből következik az elemek egyenlősége, nevezetesen a lábak (kék, illetve piros színnel vannak jelölve).

Most figyelem! Ha gondolatban „levágjuk” a kék és piros szegmenseket az alsó alapról, akkor marad egy szegmens (ez a téglalap oldala), amely megegyezik a középvonallal. Ezután, ha a kivágott kék és piros szegmenseket a trapéz felső bázisára „ragasztjuk”, akkor szintén a trapéz középvonalával megegyező szegmenst (ez egyben a téglalap oldala is) kapunk.

Megvan? Kiderül, hogy az alapok összege egyenlő lesz a trapéz két középső vonalával:

Tekintse meg a másik magyarázatot

Tegyük a következőket - készítsünk egy egyenest, amely áthalad a trapéz alsó alapján, és egy egyenest, amely áthalad az A és B pontokon:

Az 1-es és a 2-es háromszöget kapjuk, az oldal- és a szomszédos szögek mentén egyenlőek (a háromszögek egyenlőségének második jele). Ez azt jelenti, hogy a kapott szegmens (a vázlaton kékkel van jelölve) egyenlő a trapéz felső alapjával.

Most nézzük a háromszöget:

*E trapéz középvonala és a háromszög középvonala egybeesik.

Ismeretes, hogy egy háromszög egyenlő a vele párhuzamos alap felével, azaz:

Oké, kitaláltuk. Most a trapéz területéről.

Trapéz terület képlete:

Azt mondják: a trapéz területe megegyezik alapjai és magassága összegének felével.

Vagyis kiderül, hogy egyenlő a középvonal és a magasság szorzatával:

Valószínűleg már észrevetted, hogy ez nyilvánvaló. Geometriailag ez így fejezhető ki: ha gondolatban levágjuk a 2-es és 4-es háromszöget a trapézból, és az 1-es, illetve 3-as háromszögre helyezzük:

Ezután kapunk egy téglalapot, amelynek területe megegyezik a trapézunk területével. Ennek a téglalapnak a területe egyenlő lesz a középvonal és a magasság szorzatával, vagyis felírhatjuk:

De a lényeg itt természetesen nem az írásban van, hanem a megértésben.

Cikkanyag letöltése (megtekintése) *pdf formátumban

Ez minden. Sok szerencsét!

Üdvözlettel, Alexander.

A matematikában többféle négyszög ismert: négyzet, téglalap, rombusz, paralelogramma. Köztük van egy trapéz - egy domború négyszög, amelyben két oldal párhuzamos, a másik kettő pedig nem. A párhuzamos szemközti oldalakat alapoknak, a másik kettőt pedig a trapéz oldalsó oldalainak nevezzük. Az oldalak felezőpontjait összekötő szakaszt középvonalnak nevezzük. Többféle trapéz létezik: egyenlő szárú, téglalap alakú, íves. Minden trapéztípushoz létezik képlet a terület megtalálásához.

A trapéz területe

A trapéz területének megtalálásához ismernie kell alapjainak hosszát és magasságát. A trapéz magassága az alapokra merőleges szakasz. Legyen a felső alap a, az alsó alap b, a magasság pedig h. Ezután kiszámíthatja az S területet a képlet segítségével:

S = ½ * (a+b) * h

azok. vegyük az alapok összegének felét szorozva a magassággal.

A trapéz területe is kiszámítható, ha a magasság és a középvonal ismert. Jelöljük a középső vonalat - m. Akkor

Oldjunk meg egy bonyolultabb feladatot: ismert a trapéz négy oldalának hossza - a, b, c, d. Ezután a területet a képlet segítségével találjuk meg:

Ha ismert az átlók hossza és a köztük lévő szög, akkor a területet a következőképpen keressük:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

ahol d 1 és 2 indexekkel átlói. Ebben a képletben a szög szinuszát adjuk meg a számításban.

Ha figyelembe vesszük az a és b alap ismert hosszát, valamint az alsó alapnál két szöget, a területet a következőképpen számítjuk ki:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Egy egyenlő szárú trapéz területe

Az egyenlőszárú trapéz a trapéz speciális esete. A különbség az, hogy egy ilyen trapéz egy konvex négyszög, amelynek szimmetriatengelye átmegy két szemközti oldal felezőpontján. Oldalai egyenlők.

Számos módja van az egyenlő szárú trapéz területének meghatározására.

Három oldal hosszában keresztül. Ebben az esetben az oldalak hossza egybeesik, ezért egy értékkel vannak jelölve - c, valamint a és b - az alapok hossza:

Ha ismert a felső alap hossza, oldala és az alsó alapnál bezárt szög, akkor a terület kiszámítása a következőképpen történik:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

ahol a a felső alap, c az oldal.

Ha a felső alap helyett az alsó hossza ismert - b, akkor a területet a következő képlettel számítják ki:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

Ha két alap és az alsó alap szöge ismert, akkor a területet a szög érintőjén keresztül számítjuk ki:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

A terület kiszámítása az átlók és a köztük lévő szög alapján is történik. Ebben az esetben az átlók egyenlő hosszúságúak, ezért mindegyiket d betűvel jelöljük alsó indexek nélkül:

S = ½ * d2 * sin α

Számítsuk ki a trapéz területét, ismerve az oldal hosszát, a középvonalat és a szöget az alsó alapnál.

Legyen az oldaloldal c, a középvonal m, a szög pedig a, akkor:

S = m * c * sin α

Néha beírhat egy kört egy egyenlő oldalú trapézba, amelynek sugara r lesz.

Ismeretes, hogy egy kör bármely trapézba írható, ha az alapok hosszának összege egyenlő az oldalai hosszának összegével. Ekkor a terület a beírt kör sugarán és az alsó alapnál bezárt szögön keresztül található:

S = 4r2 / sin α

Ugyanezt a számítást végezzük a beírt kör D átmérőjével (mellesleg, ez egybeesik a trapéz magasságával):

Az alap és a szög ismeretében az egyenlő szárú trapéz területét a következőképpen számítjuk ki:

S = a * b / sin α

(ez és az azt követő képlet csak a beírt körrel rendelkező trapézokra érvényes).

A kör alapjainak és sugarának felhasználásával a terület a következőképpen található:

Ha csak az alapokat ismerjük, akkor a területet a következő képlettel számítjuk ki:

Az alapokon és az oldalvonalon keresztül a trapéz területe a beírt körrel, valamint az alapokon és a középvonalon keresztül - m a következőképpen kerül kiszámításra:

Egy téglalap alakú trapéz területe

A trapézt téglalap alakúnak nevezzük, ha az egyik oldala merőleges az alapra. Ebben az esetben az oldal hossza egybeesik a trapéz magasságával.

A téglalap alakú trapéz négyzetből és háromszögből áll. Miután megtalálta az egyes figurák területét, adja össze az eredményeket, és kapja meg az ábra teljes területét.

Ezenkívül a trapéz területének kiszámítására szolgáló általános képletek alkalmasak a téglalap alakú trapéz területének kiszámítására.

Ha ismert az alapok hossza és a magasság (vagy a merőleges oldaloldal), akkor a területet a következő képlettel számítjuk ki:

S = (a + b) * h / 2

A c oldaloldal h (magasság)ként működhet. Akkor a képlet így néz ki:

S = (a + b) * c / 2

A terület kiszámításának másik módja a középvonal hosszának megszorzása a magassággal:

vagy az oldalsó merőleges oldal hosszával:

A következő számítási mód az átlók szorzatának felével és a köztük lévő szög szinuszával:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Ha az átlók merőlegesek, akkor a képlet leegyszerűsödik:

S = ½ * d1 * d2

A számítás másik módja a fél kerület (két szemközti oldal hosszának összege) és a beírt kör sugara.

Ez a képlet bázisokra érvényes. Ha vesszük az oldalak hosszát, akkor az egyik a sugár kétszeresével lesz egyenlő. A képlet így fog kinézni:

S = (2r + c) * r

Ha egy kört trapézba írunk, akkor a területet ugyanúgy számítjuk ki:

ahol m a középvonal hossza.

Egy ívelt trapéz területe

A görbe trapéz egy lapos alakzat, amelyet egy y = f(x) nemnegatív folytonos függvény grafikonja határol, a szakaszon, az abszcissza tengelyen és az x = a, x = b egyeneseken definiálva. Lényegében két oldala párhuzamos egymással (az alapokkal), a harmadik oldala merőleges az alapokra, a negyedik pedig a függvény grafikonjának megfelelő görbe.

A görbe vonalú trapéz területét az integrálon keresztül keressük a Newton-Leibniz képlet segítségével:

Így számítják ki a különböző típusú trapézok területeit. De az oldalak tulajdonságain kívül a trapézoknak ugyanazok a szögtulajdonságai vannak. Mint minden létező négyszög, a trapéz belső szögeinek összege 360 fok. Az oldallal szomszédos szögek összege pedig 180 fok.

A tavalyi egységes államvizsga és államvizsga gyakorlata azt mutatja, hogy a geometriai problémák sok iskolásnak okoznak nehézséget. Könnyen megbirkózik velük, ha megjegyzi az összes szükséges képletet, és gyakorolja a problémák megoldását.

Ebben a cikkben képleteket talál a trapéz területének megtalálásához, valamint példákat talál a megoldásokkal kapcsolatos problémákra. Ugyanezekkel találkozhat a KIM-ekben a minősítő vizsgák során vagy az olimpiákon. Ezért óvatosan bánjon velük.

Mit kell tudni a trapézról?

Először is emlékezzünk rá trapéz alakú négyszögnek nevezzük, amelyben két szemközti oldal, más néven bázis párhuzamos, a másik kettő pedig nem.

Trapézban a magasság (alapra merőlegesen) is csökkenthető. A középső vonal húzódik - ez egy egyenes vonal, amely párhuzamos az alapokkal, és egyenlő az összegük felével. Csakúgy, mint az átlók, amelyek keresztezhetik egymást, hegyes és tompaszögeket képezve. Vagy bizonyos esetekben derékszögben. Ezen kívül, ha a trapéz egyenlő szárú, akkor kör írható bele. És írjon le egy kört körülötte.

Trapézfelület képletek

Először nézzük meg a hagyományos képleteket a trapéz területének meghatározásához. Az alábbiakban megvizsgáljuk az egyenlő szárú és a görbe vonalú trapézok területének kiszámításának módjait.

Tehát képzeljük el, hogy van egy trapézünk a és b alappal, amelyben a h magasság le van engedve a nagyobb alapra. A figura területének kiszámítása ebben az esetben olyan egyszerű, mint a körte héja. Csak el kell osztania az alapok hosszának összegét kettővel, és meg kell szoroznia az eredményt a magassággal: S = 1/2(a + b)*h.

Vegyünk egy másik esetet: tegyük fel, hogy a trapézben a magasságon kívül van egy m középvonal. Ismerjük a képletet a középvonal hosszának megállapítására: m = 1/2(a + b). Ezért jogosan egyszerűsíthetjük a trapéz területének képletét a következő formára: S = m*ó. Más szóval, a trapéz területének megtalálásához meg kell szoroznia a középvonalat a magassággal.

Vegyünk egy másik lehetőséget: a trapéz d 1 és d 2 átlókat tartalmaz, amelyek nem metszik egymást α derékszögben. Egy ilyen trapéz területének kiszámításához el kell osztani az átlók szorzatát kettővel, és meg kell szorozni az eredményt a köztük lévő szög bűnével: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Most nézzük meg a trapéz területének meghatározásának képletét, ha nem tudunk róla semmit, kivéve az összes oldal hosszát: a, b, c és d. Ez egy nehézkes és összetett képlet, de hasznos lesz, ha arra az esetre emlékszik: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Mellesleg, a fenti példák arra az esetre is igazak, amikor egy téglalap alakú trapéz területének képletére van szükség. Ez egy trapéz, amelynek oldala derékszögben csatlakozik az alapokhoz.

Egyenlőszárú trapéz

Azt a trapézt, amelynek oldalai egyenlők, egyenlő szárúnak nevezzük. Több lehetőséget is megvizsgálunk az egyenlő szárú trapéz területének képletére.

Első lehetőség: arra az esetre, ha egy egyenlő szárú trapézba r sugarú kör van beírva, és az oldal és a nagyobb alap α hegyesszöget alkot. Trapézba kör írható, feltéve, hogy alapjai hosszának összege megegyezik az oldalak hosszának összegével.

Az egyenlő szárú trapéz területét a következőképpen számítjuk ki: szorozzuk meg a beírt kör sugarának négyzetét néggyel, és osszuk el sinα-val: S = 4r 2/sinα. Egy másik területképlet egy speciális eset arra az opcióra, amikor a nagy alap és az oldal közötti szög 30 0: S = 8r2.

Második lehetőség: ezúttal egy egyenlő szárú trapézt veszünk, amelybe ezen kívül a d 1 és d 2 átló, valamint a h magasság is megrajzolódik. Ha egy trapéz átlói egymásra merőlegesek, akkor a magasság az alapok összegének fele: h = 1/2(a + b). Ennek ismeretében könnyű átalakítani a már ismert trapéz terület képletét ebbe a formába: S = h 2.

Az ívelt trapéz területének képlete

Kezdjük azzal, hogy kitaláljuk, mi az ívelt trapéz. Képzeljünk el egy koordinátatengelyt és egy olyan f folytonos és nemnegatív függvény grafikonját, amely nem változtat előjelet az x tengely adott szakaszán belül. A görbe vonalú trapézt az y = f(x) függvény grafikonja alkotja - felül, az x tengely alul (szegmens), oldalakon pedig az a és b pontok közé húzott egyenesek és a grafikonja. a funkció.

A fenti módszerekkel lehetetlen kiszámítani egy ilyen nem szabványos szám területét. Itt matematikai elemzést kell alkalmazni, és az integrált kell használni. Nevezetesen: a Newton-Leibniz képlet - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Ebben a képletben F a függvényünk antideriváltja a kiválasztott szegmensen. És egy görbe vonalú trapéz területe megfelel az antiderivált növekedésének egy adott szegmensen.

Minta problémák

Annak érdekében, hogy ezeket a képleteket könnyebben megértse a fejében, íme néhány példa a trapéz területének megtalálásának problémáira. Az lesz a legjobb, ha először saját maga próbálja megoldani a problémákat, és csak ezután hasonlítja össze a kapott választ a kész megoldással.

1. feladat: Adott egy trapéz. Nagyobb talpa 11 cm, a kisebbé 4 cm. A trapéz átlói, az egyik 12 cm hosszú, a második 9 cm.

Megoldás: Készítsen trapéz AMRS-t. Húzzunk egy РХ egyenest a P csúcson keresztül úgy, hogy párhuzamos legyen az MC átlóval, és az X pontban metszi az AC egyenest. Kapunk egy APХ háromszöget.

A manipulációk eredményeként kapott két ábrát fogjuk figyelembe venni: az APX háromszöget és a CMRX paralelogrammát.

A paralelogrammának köszönhetően megtudjuk, hogy PX = MC = 12 cm és CX = MR = 4 cm. Ahonnan kiszámolhatjuk az ARX háromszög AX oldalát: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Azt is bebizonyíthatjuk, hogy az APX háromszög derékszögű (ehhez alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt - AX 2 = AP 2 + PX 2). És számítsa ki a területét: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Ezután be kell bizonyítania, hogy az AMP és a PCX háromszögek területe egyenlő. Az alap az MR és a CX felek egyenlősége lesz (a fent már bizonyított). És azok a magasságok is, amelyeket ezeken az oldalakon csökkentesz – ezek megegyeznek az AMRS trapéz magasságával.

Mindez lehetővé teszi, hogy azt mondjuk, hogy S AMPC = S APX = 54 cm 2.

2. feladat: A trapéz KRMS adott. Oldaloldalain O és E pontok, míg OE és KS párhuzamosak. Az is ismert, hogy az ORME és az OKSE trapéz területei 1:5 arányban vannak. RM = a és KS = b. Meg kell találni az OE-t.

Megoldás: Rajzoljunk egy egyenest az RK-vel párhuzamosan az M ponton keresztül, és jelöljük ki az OE-vel való metszéspontját T-nek. A az RK-vel párhuzamos E ponton húzott egyenes és a KS alap metszéspontja.

Vezessünk be még egy jelölést - OE = x. Valamint a TME háromszög h 1 magassága és az AEC háromszög h 2 magassága (függetlenül bizonyíthatja ezeknek a háromszögeknek a hasonlóságát).

Feltételezzük, hogy b > a. Az ORME és OKSE trapézok területei 1:5 arányban vannak, ami jogot ad a következő egyenlet létrehozására: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Alakítsuk át, és kapjuk: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Mivel a TME és az AEC háromszögek hasonlóak, h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Kombináljuk a két bejegyzést, és kapjuk: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Így OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Következtetés

A geometria nem a legegyszerűbb tudomány, de a vizsgakérdésekkel biztosan megbirkózik. Elég egy kis kitartást mutatni a felkészülés során. És természetesen emlékezzen az összes szükséges képletre.

Megpróbáltuk egy helyen összegyűjteni a trapéz területének kiszámításához szükséges összes képletet, hogy felhasználhassa őket a vizsgákra való felkészülés és az anyag átdolgozása során.

Feltétlenül mondja el osztálytársainak és barátainak a közösségi hálózatokon ezt a cikket. Legyen több jó jegy az egységes államvizsgára és az államvizsgákra!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.