1 függvénnyel egy függvény definíciója egy képlettel. Egy függvény definiálásának kifejezett módja

A funkciók többféleképpen definiálhatók. A függvények meghatározásának azonban a következő három módja a legelterjedtebb: analitikus, táblázatos és grafikus.

A függvény meghatározásának analitikus módja. Az analitikus beállítási módszerrel a függvény definiálása analitikus kifejezéssel történik, vagyis egy olyan képlet segítségével, amely jelzi, hogy milyen műveleteket kell végrehajtani az argumentum értékén, hogy megkapjuk a függvény megfelelő értékét.

A 2. és 3. részben már találkoztunk képletek segítségével, azaz analitikusan meghatározott függvényekkel. Ugyanakkor a 2. bekezdésben a függvénynél geometriai megfontolások alapján a ) definíciós tartományt, a függvénynél pedig a feltételben a hozzárendelési tartományt jelöltük meg. A 3. részben a függvényhez a definíciós tartományt is feltétellel határoztuk meg. Azonban nagyon gyakran egy függvényt csak egy analitikus kifejezés (képlet) segítségével adunk meg, minden további feltétel nélkül. Ilyen esetekben a függvény tartománya alatt az argumentum azon értékeinek halmazát értjük, amelyeknél ez a kifejezés értelmet nyer, és a függvény tényleges értékéhez vezet.

Példa 1. Keresse meg egy függvény hatókörét

Megoldás. A függvényt csak egy képlet határozza meg, hatóköre nincs megadva, és nincsenek további feltételek. Ezért ennek a függvénynek a tartományában meg kell értenünk az argumentum azon értékeinek összességét, amelyekre a kifejezésnek valódi értékei vannak. Ehhez léteznie kell. Ezt az egyenlőtlenséget megoldva arra a következtetésre jutunk, hogy ennek a függvénynek a tartománya a [-1.1] szegmens.

2. példa: Keresse meg egy függvény hatókörét.

Megoldás. A definíciós tartomány nyilvánvalóan két végtelen intervallumból áll, mivel a kifejezésnek nincs értelme, és van értelme, ha a minden más értékre definiálva van.

Az olvasó most könnyen belátja, hogy egy függvény definíciós tartománya a teljes numerikus tengely, egy függvénynél pedig egy végtelen intervallum.

Meg kell jegyezni, hogy lehetetlen olyan függvényt és képletet azonosítani, amellyel ez a függvény megadható. Ugyanazon képlet segítségével különböző függvényeket definiálhat. Valójában a 2. részben egy definíciós tartományú függvényt vettünk figyelembe, a 3. részben pedig egy definíciós tartományú függvényhez állítottunk össze egy gráfot. És végül egy olyan függvényt vettünk figyelembe, amelyet csak egy képlet határoz meg minden további feltétel nélkül. Ennek a függvénynek a hatóköre a teljes számtengely. Ez a három funkció azért különbözik egymástól, mert eltérő a hatókörük. De ugyanazzal a képlettel vannak beállítva.

Fordított eset is lehetséges, amikor egy függvényt definíciós tartományának különböző részein különböző képletekkel adunk meg. Például vegyünk egy y függvényt, amely minden nem negatív értékhez a következőképpen definiált: for at i.e.

Ezt a függvényt két analitikus kifejezés határozza meg, amelyek definíciós tartományának különböző részein hatnak. Ennek a függvénynek a grafikonja az ábrán látható. tizennyolc.

A függvény meghatározásának táblázatos módja. Amikor egy függvényt adunk meg egy táblázatban, egy táblázat jön létre, amelyben számos argumentumérték és a megfelelő függvényértékek szerepelnek. A logaritmikus táblázatok, a trigonometrikus függvények értéktáblázatai és még sokan mások széles körben ismertek. Elég gyakran szükséges közvetlenül a tapasztalatból nyert függvényérték-táblázatok használata. Az alábbi táblázat a réz tapasztalatokból nyert ellenállását mutatja (cm - centiméterben) különböző t hőmérsékleteken (fokban):

Grafikus módszer egy függvény meghatározására. Grafikus feladat megadásakor a függvény grafikonja van megadva, és az argumentum bizonyos értékeinek megfelelő értékei közvetlenül megtalálhatók ebből a grafikonból. Sok esetben az ilyen grafikonok önrögzítő eszközökkel készülnek.

A függvény beállítása azt jelenti, hogy felállítunk egy szabályt (törvényt), amelynek segítségével a független változó megadott értékei szerint megtaláljuk a függvény megfelelő értékeit. Nézzük meg a függvény meghatározásának különböző módjait.

Ez a bejegyzés a T hőmérsékletet a t idő függvényében határozza meg: T=f(t). A függvény megadásának táblázatos módjának az az előnye, hogy lehetővé teszi a függvény bizonyos konkrét értékeinek azonnali meghatározását, további változtatások és számítások nélkül. Hátrányok: a függvényt nem teljesen, hanem csak az argumentum egyes értékeire határozza meg; nem ad vizuális ábrázolást a függvény változásának természetéről az argumentum megváltoztatásával.

2. Grafikus mód.menetrend az y=f(x) függvény a sík azon pontjainak halmaza, amelyek koordinátái kielégítik az adott egyenletet. Ez lehet valamilyen görbe, különösen egyenes vonal, pontok halmaza egy síkon.

Előnye a láthatóság, hátránya, hogy nem lehet pontosan meghatározni az érvelés értékeit. A mérnöki és a fizika területén gyakran ez az egyetlen elérhető módja egy funkció beállításának, például olyan felvevők használatakor, amelyek automatikusan rögzítik az egyik érték változását a másikhoz képest (barográf, termográf stb.).

3. Analitikai módszer. E módszer szerint a függvényt analitikusan, egy képlet segítségével adjuk meg. Ez a módszer lehetővé teszi, hogy az x argumentum minden egyes számértéke pontosan vagy bizonyos pontossággal megtalálja az y függvény megfelelő számértékét.

Az analitikus módszerrel a függvény többféle képlettel is megadható. Például a függvény

a definíciós területen [- , 15] három képlet segítségével.

Ha x és y kapcsolatát egy képlettel adjuk meg, amelyet y-hoz képest oldunk meg, azaz. y \u003d f (x) alakja van, akkor azt mondják, hogy x függvénye például kifejezetten adott. Ha az x és y értékeket valamilyen F(x, y) = 0 alakú egyenlet kapcsolja össze, azaz. formula nem megengedett y vonatkozásában, akkor a függvényt implicit módon definiáltnak mondjuk. Például,. Vegye figyelembe, hogy nem minden implicit függvény ábrázolható y \u003d f (x) alakban, éppen ellenkezőleg, minden explicit függvény mindig implicitként ábrázolható:
. A függvény egy másik analitikai specifikációja a parametrikus, amikor az x argumentum és az y függvény a harmadik mennyiség - a t paraméter - függvényei:
, ahol
, T valamilyen intervallum. Ezt a módszert széles körben alkalmazzák a mechanikában, a geometriában.

Az analitikus módszer a függvény meghatározásának legáltalánosabb módja. A fő előnye a tömörség, a matematikai analízis berendezésének adott függvényre történő alkalmazásának képessége, a függvény értékeinek kiszámításának képessége az érv bármely értékéhez.

4. Verbális mód. Ez a módszer abból áll, hogy a funkcionális függőséget szavakban fejezzük ki. Például az E (x) függvény az x szám egész része, a Dirichlet-függvény, a Riemann-függvény, n!, r (n) az n természetes szám osztóinak száma.

5. Félgrafikus módszer. Itt a függvényértékek szegmensekként, az argumentumértékek pedig számokként jelennek meg a szegmensek végén, amelyek a függvény értékeit jelzik. Tehát például egy hőmérőben van egy egyenlő osztású skála, amely számokkal rendelkezik. Ezek a számok az argumentum (hőmérséklet) értékei. Azon a helyen állnak, amely meghatározza a higanyoszlop grafikus meghosszabbodását (függvényértékeket) a hőmérséklet-változások hatására bekövetkező térfogat-tágulása miatt.

A függvények megadásának fő módjai a következők: explicit analitikai; intervallum; parametrikus; beleértett; függvény meghatározása sorozat segítségével; táblázatos; grafikus. Példák ezen módszerek alkalmazására

Az y = f függvényt a következőképpen határozhatjuk meg (x):

1. Explicit analitikai módszer, amely y = f képletet használ (x).
2. Intervallum.
3. Paraméter: x = x (t) , y = y(t).
4. Implicit, az F egyenlet megoldásaként (x, y) = 0.
5. Ismert függvényekből összeállított sorozat formájában.
6. Táblázatos.
7. Grafikus.

Egy függvény definiálásának kifejezett módja

Nál nél kifejezett módon, a függvény értékét a képlet határozza meg, amely az y = f egyenlet (x). Az egyenlet bal oldalán található az y függő változó, a jobb oldalon pedig egy kifejezés, amely az x független változóból, állandó, ismert függvényekből, valamint összeadás, kivonás, szorzás és osztás műveleteiből áll. Ismert függvények az elemi függvények és a speciális függvények, amelyek értéke számítástechnikával kiszámítható.

Íme néhány példa egy függvény explicit meghatározására független x változóval és y függő változóval:
;
;
.

A függvény meghatározásának intervallum módja

Nál nél egy függvény beállításának intervallum módszere, a definíciós tartomány több intervallumra van felosztva, és a függvény minden intervallumhoz külön van megadva.

Íme néhány példa a függvény meghatározásának intervallum módjára:

A függvény meghatározásának paraméteres módja

Nál nél parametrikus módszer, egy új változó kerül bevezetésre, amelyet paraméternek nevezünk. Ezután az x és y értékeket a paraméter függvényeiként állítjuk be, a beállítás explicit módon:
(1)

Példák a függvények paraméteres meghatározására a t paraméter használatával:

A parametrikus módszer előnye, hogy ugyanaz a függvény végtelen sokféleképpen definiálható. Egy függvény például így definiálható:

És ez így lehetséges:

Ez a választási szabadság bizonyos esetekben lehetővé teszi, hogy ezt a módszert alkalmazza egyenletek megoldására (lásd "A változók egyikét sem tartalmazó differenciálegyenletek"). Az alkalmazás lényege, hogy két függvényt és az x és y változók helyett behelyettesítünk az egyenletbe. Ezután az egyiket saját belátásunk szerint állítjuk be, hogy a kapott egyenletből a másik meghatározható legyen.

Ezt a módszert a számítások egyszerűsítésére is használják. Például egy a és b féltengelyű ellipszis pontjainak koordinátáinak függése a következőképpen ábrázolható:
.
Paraméteres formában ez a függőség egyszerűbb formában is megadható:
.

Az (1) egyenletek nem az egyetlen módja egy függvény parametrikus meghatározásának. Nem egy, hanem több paramétert is megadhat, ha azokat további egyenletekkel kapcsolja össze. Például megadhat két paramétert és a . Ekkor a függvény definíciója így fog kinézni:

Itt jön egy további egyenlet a paraméterekkel kapcsolatban. Ha a paraméterek száma n, akkor n-nek kell lennie - 1 további egyenletek.

Több paraméter használatára a Jacobi-differenciálegyenlet oldalon található példa. Ott a megoldást a következő formában keresik:
(2) .
Az eredmény egy egyenletrendszer. Ennek megoldására egy negyedik t paramétert vezetünk be. A rendszer megoldása után három egyenletet kapunk, amelyek négy paraméterre vonatkoznak és.

Függvény definiálásának implicit módja

Nál nél implicit módon, a függvény értékét az egyenlet megoldásából határozzuk meg.

Például az ellipszis egyenlete a következő:
(3) .
Ez egy egyszerű egyenlet. Ha csak az ellipszis felső részét vesszük figyelembe, akkor az y változót explicit módon kifejezhetjük x függvényében:
(4) .
De még ha lehetséges is (3) a függvény (4) explicit meghatározására, az utolsó képlet nem mindig kényelmes használni. Például a derivált megtalálásához célszerű a (3) egyenletet megkülönböztetni a (4) helyett:
;
.

Funkció beállítása a közelben

Egy függvény meghatározásának rendkívül fontos módja az soros ábrázolás ismert függvényekből áll össze. Ez a módszer lehetővé teszi a függvény matematikai módszerekkel történő feltárását és értékeinek kiszámítását az alkalmazott problémákhoz.

A leggyakoribb ábrázolás egy függvény definiálása hatványsor segítségével. Ebben az esetben számos teljesítményfunkciót használnak:
.
Egy negatív kitevővel rendelkező sorozat is használatos:
.
Például a szinuszfüggvény a következő kiterjesztéssel rendelkezik:
(5) .
Az ilyen kiterjesztéseket széles körben használják a számítástechnikában a függvények értékeinek kiszámítására, mivel lehetővé teszik a számítások számtani műveletekre való redukálását.

Szemléltetésképpen számítsuk ki a 30°-os szinusz értékét az (5) kiterjesztéssel.
Fokok átváltása radiánra:
.
Csere az (5) pontban:



.

A matematikában a hatványsorokkal együtt széles körben alkalmazzák a trigonometrikus sorozatokba való kiterjesztést a és a függvényekben, valamint más speciális függvényekben. Sorozatok segítségével közelítő számításokat végezhetünk integrálokról, egyenletekről (differenciál, integrál, parciális deriváltban), és vizsgálhatjuk megoldásaikat.

A függvény meghatározásának táblázatos módja

Nál nél függvény beállításának táblázatos módja van egy táblázatunk, amely tartalmazza az x független változó értékeit és az y függő változó megfelelő értékeit. A független és a függő változók különböző jelölésűek lehetnek, de itt x és y értékeket használunk. Egy függvény értékének meghatározásához adott x értékhez a táblázat segítségével keressük meg az értékünkhöz legközelebb álló x értékét. Ezt követően meghatározzuk az y függő változó megfelelő értékét.

A függvény értékének pontosabb meghatározásához úgy tekintjük, hogy az x két szomszédos értéke közötti függvény lineáris, azaz a következő alakja van:
.
Itt vannak a táblázatból talált függvényértékek az argumentumok megfelelő értékeivel együtt.
Vegyünk egy példát. Meg kell találnunk a függvény értékét itt. A táblázatból ezt találjuk:
.
Akkor

.
Pontos érték:
.
Ebből a példából látható, hogy a lineáris közelítés alkalmazása a függvény értékének meghatározásánál a pontosság növekedéséhez vezetett.

A táblázatos módszert az alkalmazott tudományokban használják. A számítástechnika fejlődése előtt széles körben használták mérnöki és egyéb számításokban. Ma a táblázatos módszert használják a statisztikában és a kísérleti tudományokban a kísérleti adatok összegyűjtésére és elemzésére.

Grafikus módszer egy függvény meghatározására

Nál nél grafikus módon, a függvény értékét a grafikon határozza meg, amelynek abszcissza tengelye mentén a független változó értékei vannak ábrázolva, az ordináta tengelye mentén pedig a függő változó.

A grafikus módszer vizuálisan ábrázolja a függvény viselkedését. Egy függvény vizsgálatának eredményeit gyakran a grafikonja illusztrálja. A grafikonból meghatározhatja a függvény közelítő értékét. Ez lehetővé teszi a grafikus módszer alkalmazását az alkalmazott és mérnöki tudományokban.

A függvény beállításának különféle módjai Analitikus, grafikus, táblázatos - a függvény beállításának legegyszerűbb, ezért a legnépszerűbb módjai, igényeinknek ezek a módszerek bőven elegendőek. Analitikus grafikus táblázat Valójában a matematikában nagyon sokféle mód létezik egy függvény megadására, és ezek egyike a verbális, amelyet nagyon sajátos helyzetekben használnak.

A függvény megadásának verbális módja Egy függvény megadható verbálisan is, azaz leíró jelleggel. Például az úgynevezett Dirichlet-függvényt a következőképpen definiáljuk: az y függvény az x argumentum összes racionális értékére 0, és 1 az összes irracionális értékére. Egy ilyen függvény nem definiálható táblázattal, mivel a teljes számtengelyen van definiálva, és argumentuma értékkészlete végtelen. Grafikailag ez a függvény sem definiálható. Ennek ellenére találtak egy analitikus kifejezést erre a függvényre, de az annyira bonyolult, hogy nincs gyakorlati értéke. A verbális módszer rövid és világos definíciót ad rá.

1. példa Az y = f (x) függvényt az összes nem negatív szám halmazán definiáljuk a következő szabály segítségével: minden x 0 számhoz az x szám tizedesjegyének első tizedesjegye van hozzárendelve. Ha mondjuk x \u003d 2,534, akkor f (x) \u003d 5 (az első tizedesjegy az 5); ha x = 13,002, akkor f(x) = 0; ha x \u003d 2/3, akkor a 2/3-ot végtelen tizedes törtként 0,6666 ... írva f (x) \u003d 6. És mi az f (15) értéke? Ez egyenlő 0-val, mivel 15 = 15.000…, és azt látjuk, hogy a tizedespont utáni első tizedesjegy 0 (valójában a 15 = 14.999… egyenlőség igaz, de a matematikusok megegyeztek abban, hogy nem veszik figyelembe a végtelen periodikus tizedes törteket 9-i időszak).

Bármilyen nem negatív x szám felírható tizedes törtként (véges vagy végtelen), és ezért minden x értékhez találhat bizonyos számú értéket az első tizedesjegyből, így beszélhetünk egy funkció, bár kissé szokatlan. D (f) = . = 2 [" title="(!LANG: függvény, amelyet a feltételek határoznak meg: f (x) egy egész szám; f (x) x; x; f + 1 > x,x, a szám egész része a szám egész részének nevezzük D (f) = (-;+), E (f) = Z (egész számok halmaza) Az x szám egész részéhez használjuk a [ x ] jelölést.= 2 [" class="link_thumb"> 7 !} Egy függvény, amelyet a feltételek határoznak meg: f (x) egy egész szám; f(x)x;x; f + 1 > x,x, a szám egész részét a szám egész részének nevezzük. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (egész számok halmaza) Az x szám egész részéhez az [ x ] jelölést használjuk. = 2 = 47 [-0,23] = - 1 x,x, a szám egész részét a szám egész részének nevezzük. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (egész számok halmaza) Az x szám egész részéhez az [ x ] jelölést használjuk. \u003d 2 ["\u003e x, x, a szám egész részét a szám egész részének nevezzük. D (f) \u003d (-; +), E (f) \u003d Z (egész számok halmaza) Az x szám egész részéhez az [x] jelölést használjuk. \u003d 2 \u003d 47 [ - 0,23] \u003d - 1 "\u003e x, x, a szám egész részét a szám egész részének nevezzük. a szám. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (egész számok halmaza) Az x szám egész részéhez az [ x ] jelölést használjuk. = 2 [" title="(!LANG: függvény, amelyet a feltételek határoznak meg: f (x) egy egész szám; f (x) x; x; f + 1 > x,x, a szám egész része a szám egész részének nevezzük D (f) = (-;+), E (f) = Z (egész számok halmaza) Az x szám egész részéhez használjuk a [ x ] jelölést.= 2 ["> title="Egy függvény, amelyet a feltételek határoznak meg: f (x) egy egész szám; f(x)x;x; f + 1 > x,x, a szám egész részét a szám egész részének nevezzük. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (egész számok halmaza) Az x szám egész részéhez az [ x ] jelölést használjuk. = 2["> !}

A fenti függvénymeghatározási módszerek közül az analitikus módszer nyújt a legnagyobb lehetőségeket a matematikai analízis apparátusának használatára, a grafikus módszer pedig a legtisztább. Éppen ezért a matematikai elemzés az analitikai és geometriai módszerek mély szintézisén alapul. Az analitikusan adott függvények tanulmányozása sokkal könnyebb és világossá válik, ha párhuzamosan vesszük a függvények grafikonjait.

X y=x

Nagy matematikus - Dirichlet A berlini professzor, 1855-től a Göttingeni Egyetemen. A főbb számelméleti és matematikai elemzési munkák. Dirichlet a matematikai elemzés területén először fogalmazta meg és vizsgálta meg pontosan egy sorozat feltételes konvergenciájának fogalmát, állított fel egy sorozat konvergenciájának kritériumát (az ún. Dirichlet-kritérium, 1862), adott (1829) egy szigorú bizonyítéka annak lehetőségének, hogy egy függvényt véges számú maximummal és minimummal rendelkező Fourier-sorba lehet bővíteni. Dirichlet jelentős műveit szentelte a mechanikának és a matematikai fizikának (Dirichlet-elv a harmonikus függvény elméletében). Dirichlet Peter Gustav Lejeune () német matematikus, külföldi levelező tag. A Pétervári Tudományos Akadémia (c), a Londoni Királyi Társaság (1855), a Párizsi Tudományos Akadémia (1854), a Berlini Tudományos Akadémia tagja. Dirichlet bebizonyította azt a tételt, hogy végtelenül sok prím létezik egész számok tetszőleges számtani sorozatában, amelynek első tagja és különbsége a koprímszámok, és tanulmányozta (1837) a prímszámok számtani sorozatokban való eloszlásának törvényét. amely egy speciális formájú funkcionális sorozatot vezetett be (ún. Dirichlet sorozat).

A függvény egy olyan törvény, amely szerint egy adott X halmazból származó x számhoz csak egy y szám tartozik, azt írják, míg x-et a függvény argumentumának, y-t a függvény értékének nevezzük.
A függvények meghatározásának különböző módjai vannak.

1. Analitikai módszer.
Analitikai módszer a függvény meghatározásának legáltalánosabb módja.
Abból áll, hogy a függvényt egy képlet adja meg, amely meghatározza, hogy milyen műveleteket kell végrehajtani x-en, hogy megtaláljuk y-t. Például .
Tekintsük az első példát - . Itt az x = 1 értéknek felel meg, az x = 3 értéknek stb.
Egy függvény az X halmaz különböző részein különböző függvényekkel definiálható.
Például:

Az analitikus beállítási mód minden korábban megadott példájában a funkciót kifejezetten beállítottuk. Vagyis az y változó a jobb oldalon volt, az x változó képlete pedig a jobb oldalon. Az analitikus beállítási móddal azonban a függvény implicit módon beállítható.
Például . Itt, ha x-nek adunk egy értéket, akkor y értékének (a függvény értékének) megtalálásához meg kell oldanunk az egyenletet. Például az x = 3-nál megadott első függvényre a következő egyenletet fogjuk megoldani:
. Azaz a függvény értéke x = 3-nál -4/3.
Az analitikus beállítási módszerrel a függvény paraméteresen állítható be - ekkor x és y valamilyen t paraméteren keresztül fejeződik ki. Például,

Itt t = 2-nél x = 2, y = 4. Vagyis a függvény értéke x = 2-nél 4.
2. Grafikus mód.
A grafikus módszerrel egy téglalap alakú koordinátarendszert vezetünk be, és ebben a koordinátarendszerben jelenítjük meg az (x, y) koordinátákkal rendelkező pontok halmazát. Ahol . Példa:
3. Verbális mód.
A funkciót verbális megfogalmazással adjuk meg. Klasszikus példa erre a Dirichlet függvény.
„A függvény 1, ha x racionális szám; a függvény 0, ha x irracionális szám.
4. Táblázatos módszer.
A táblázatos módszer akkor a legkényelmesebb, ha az X halmaz véges. Ezzel a módszerrel egy táblázatot állítunk össze, amelyben az X halmaz minden eleméhez Y számot rendelünk.
Példa.