Kezdje a tudományban. Hiperbolikus elemi geometria

Mindig ugyanabban a síkban feküdj. Ezért a síkbeli hiperbolikus háromszögek olyan háromszögeket is leírnak, amelyek bármilyen nagy dimenziós hiperbolikus térben lehetségesek.

Meghatározás

A hiperbolikus háromszög három nem kollineáris pontból és a köztük lévő három szakaszból áll.

Tulajdonságok

A hiperbolikus háromszögek tulajdonságai hasonlóak az euklideszi geometriában lévő háromszögekéhez:

A hiperbolikus háromszögek tulajdonságai hasonlóak a gömb- vagy elliptikus geometriájú háromszögekéhez:

• Két azonos szögösszegű háromszög területe egyenlő.
• A háromszögek területén felső határ van.
• A beírt kör sugarának van egy felső korlátja.
• Két háromszög akkor és csak akkor egybevágó, ha egy egyeneshez képest véges számú visszaverődés eredményeként alakul át egymásba.
• Két azonos szögű háromszög egybevágó (azaz minden hasonló háromszög egybevágó).

A hiperbolikus háromszögek tulajdonságai ellentétesek a gömb- vagy elliptikus geometriájú háromszögekéivel:

• Egy háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180°.
• A háromszög területe arányos a szögösszegének hiányával (180°-ig).

A hiperbolikus háromszögeknek is vannak olyan tulajdonságai, amelyek más geometriákban nem találhatók meg:

• Néhány hiperbolikus háromszögnek nincs körülírt köre, ami akkor van, ha legalább az egyik csúcs ideális pont, vagy ha az összes csúcs egy horocikluson vagy egyoldalú hipercikluson fekszik.
• A hiperbolikus háromszögek vékonyak, az egyik oldalon lévő ponttól a másik két oldalig maximális távolság δ. Ez az elv δ-hiperbolikus terek kialakulásához vezet.

Háromszögek tökéletes csúcsokkal

A háromszög definíciója általánosítható úgy, hogy a csúcsok a hipersík ideális határán helyezkednek el úgy, hogy az oldalak a síkon belül fekszenek. Ha egy oldalpár az aszimptotikusan párhuzamos(vagyis a köztük lévő távolság nullára hajlik, ahogy közelednek az ideális ponthoz, de nem metszik egymást), majd tökéletes csúcs, bemutatott omega pont.

Egy ilyen oldalpárról azt mondják, hogy nulla szöget alkot.

A nulla szögű háromszög az euklideszi geometriában lehetetlen különböző egyeneseken fekvő egyenes oldalakon. Ilyen nullaszögek azonban lehetségesek megható körök.

Egy ideális csúcsú háromszöget nevezünk omega háromszög.

Speciális háromszögtípusok ideális csúcsokkal:

Párhuzamos háromszög

Olyan háromszög, amelyben egy csúcs ideális pont, egy szög derékszög - a harmadik szög a derékszög és a harmadik szög közötti oldal párhuzamossági szöge.

Schweikert háromszög

Olyan háromszög, amelyben két csúcs ideális pont, a fennmaradó szög pedig derékszög. Ez az egyik első hiperbolikus háromszög (1818), amelyet Ferdinand Karl Schweikert írt le.

Tökéletes háromszög

Olyan háromszög, amelyben minden csúcs ideális pont. Egy ilyen háromszög a lehető legnagyobb háromszög a Lobacsevszkij-geometriában, mivel szögösszege nulla.

Szabványos Gauss-görbület

A szögek és oldalak közötti kapcsolatok hasonlóak az azonos objektumok közötti kapcsolatokhoz a gömbi trigonometriában. A gömb- és Lobacsevszkij-geometria hosszskálája például egy fix szögű egyenlő oldalú háromszög oldalhosszaként definiálható.

A hosszskála akkor a leghasznosabb, ha a hosszokat abszolút hosszúságban mérik (egy speciális hosszegység, amely analóg a gömbgeometriában a távolságok viszonyával). A hosszskála kiválasztása egyszerűbbé teszi a képleteket.

• Sinus szög A egyenlő hiperbolikus szinusz sarokkal szemközti oldal A, osztva hiperbolikus szinuszátfogó c.

• Koszinusz szög A egyenlő hiperbolikus érintő szomszédos láb b, osztva hiperbolikus érintőátfogó c.

• Tangens szög A egyenlő hiperbolikus érintő ellenkező oldal a, osztva hiperbolikus szinusz szomszédos láb b.

• Hiperbolikus koszinusz szomszédos láb b Az A szög egyenlő koszinusz B szög osztva sinus A szög.

• Hiperbolikus koszinuszátfogó c egyenlő a termékkel hiperbolikus koszinuszokat lábak aÉs b.

Szögök közötti kapcsolatok

Négyzet

Egy derékszögű háromszög területe:

Négyzet = π 2 − ∠ A − ∠ B (\displaystyle =(\frac (\pi )(2))-\angle A-\angle B) Terület = 2 arctan ⁡ (t h (a 2) t h (b 2)) (\displaystyle (\textrm (Terület))=2\arctan(\mathrm (th) \,((\frac (a)(2)) )\mathrm (th) \,((\frac (b)(2))))) .

Párhuzamos szög

A derékszögű omega-háromszög példány konfigurációt biztosít a háromszög párhuzamossági szögének ellenőrzéséhez.

Abban az esetben, ha a szög B= 0, a = c = ∞ (\displaystyle \infty )És th (∞) = 1 (\displaystyle (\textrm (th))(\infty)=1), kapunk cos⁡ A = th(b) . (\displaystyle \cos A=(\textrm (th(b))).) (b= szomszédos láb)

Egyenlő oldalú háromszög

A derékszögű háromszögek trigonometrikus képletei megadják az oldalak közötti kapcsolatokat is sés sarkok A egyenlő oldalú háromszög (olyan háromszög, amelynek minden oldala azonos hosszúságú és minden szöge egyenlő):

Cos ⁡ A = th 1 2 s th (s) (\displaystyle \cos A=(\frac ((\textrm (th))(\frac (1)(2))s)((\textrm (th)) (s))))

C h 1 2 s = cos ⁡ (1 2 A) sin ⁡ (A) = 1 2 sin ⁡ (1 2 A) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\frac (1) (2))s= (\frac (\cos((\frac (1)(2))A))(\sin(A)))=(\frac (1)(2\sin((\frac (1)(2)) A))))

A hiperbolikus síkon. Három szegmensből áll, ún a felek vagy borda, és három pontot hívtak sarkok vagy csúcsok.

A hiperbolikus háromszögek tulajdonságai hasonlóak az euklideszi geometriában lévő háromszögekéhez:

A hiperbolikus háromszögek tulajdonságai hasonlóak a gömb- vagy elliptikus geometriájú háromszögekéhez:

A hiperbolikus háromszögek tulajdonságai ellentétesek a gömb- vagy elliptikus geometriájú háromszögekéivel:

A hiperbolikus háromszögeknek is vannak olyan tulajdonságai, amelyek más geometriákban nem találhatók meg:

A háromszög definíciója általánosítható úgy, hogy a csúcsok a hipersík ideális határán helyezkednek el úgy, hogy az oldalak a síkon belül fekszenek. Ha egy oldalpár az aszimptotikusan párhuzamos(vagyis a köztük lévő távolság nullára hajlik, ahogy közelednek az ideális ponthoz, de nem metszik egymást), majd tökéletes csúcs, bemutatott omega pont.

A nulla szögű háromszög az euklideszi geometriában lehetetlen különböző egyeneseken fekvő egyenes oldalakon. Ilyen nullaszögek azonban lehetségesek.

Egy ideális csúcsú háromszöget nevezünk omega háromszög.

Olyan háromszög, amelyben egy csúcs ideális pont, egy szög derékszög - a harmadik szög a derékszög és a harmadik szög közötti oldal párhuzamossági szöge.

Olyan háromszög, amelyben két csúcs ideális pont, a fennmaradó szög pedig derékszög. Ez az egyik első hiperbolikus háromszög (1818), amelyet Ferdinand Karl Schweikert írt le.

Olyan háromszög, amelyben minden csúcs ideális pont. Egy ilyen háromszög a lehető legnagyobb háromszög a Lobacsevszkij-geometriában, mivel szögösszege nulla.

A szögek és oldalak közötti kapcsolatok hasonlóak az azonos objektumok közötti kapcsolatokhoz a gömbi trigonometriában. A gömb- és Lobacsevszkij-geometria hosszskálája például egy fix szögű egyenlő oldalú háromszög oldalhosszaként definiálható.

A hosszskála akkor a leghasznosabb, ha a hosszokat abszolút hosszúságban mérik (egy speciális hosszmértékegység, amely analóg a gömbgeometriában a távolságok viszonyával). A hosszskála kiválasztása egyszerűbbé teszi a képleteket.

Egy hiperbolikus sík (konstans negatív) Gauss-görbületét tekintve az abszolút hosszúság mértékegysége a hossznak felel meg.

Egy hiperbolikus háromszögben a szögek összege az A, B, C(amely az azonos betűkkel ellentétes oldalaknak felel meg) szigorúan kisebb, mint egy egyenes szög. Az egyenes szög mértéke és a háromszög szögeinek összege közötti különbséget háromszöghibának nevezzük. Egy hiperbolikus háromszög területe egyenlő a hibájával, szorozva R négyzetével:

A hiperbolikus háromszögek trigonometrikus képletei az sh, ch és th hiperbolikus függvényektől függenek.

A derékszögű omega-háromszög példány konfigurációt biztosít a háromszög párhuzamossági szögének ellenőrzéséhez.

A derékszögű háromszögek trigonometrikus képletei megadják az oldalak közötti kapcsolatokat is sés sarkok A egyenlő oldalú háromszög (olyan háromszög, amelynek minden oldala azonos hosszúságú és minden szöge egyenlő):

Függetlenül attól, hogy az C derékszög vagy sem, a következő összefüggések érvényesek: .

Maximális területű hiperbolikus háromszögek két adott oldallal E. I. Alekseeva Absztrakt. A Lobacsevszkij-síkon az euklideszi geometria egy nagyon egyszerű feladatának analógját tekintjük: mi lesz a maximális területű háromszög két adott oldallal, és mekkora lesz ez a terület. 1. Bevezetés Mekkora egy háromszög maximális területe, amelynek két oldala van, és mekkora ez a terület? Nyilvánvaló, hogy az euklideszi geometriában a kívánt háromszög derékszögű lesz. A cikk választ ad arra a kérdésre, hogy mi lesz a megfelelő háromszög (amit a továbbiakban maximális területű háromszögnek nevezünk) a Lobacsevszkij-geometriában. Kiderült, hogy a maximális területű háromszög nem téglalap alakú, hanem sok olyan tulajdonsággal rendelkezik, amelyek hasonlóak az euklideszi derékszögű háromszög tulajdonságaihoz (lásd 1. táblázat). Lobacsevszkij geometria Euklideszi geometria A A B B C C 1) α = β + γ = π2 ; 1) α = β + γ< π2 ; 2) центр описанной окружности лежит в середине стороны BC; 2) центр описанной окружности лежит в середине стороны BC; 3) S 2 = b 2 3) sin S2 = th 2b · th 2c ; · 2c ; 4) cos α = 0 = const; 4) cos α = th 2b · th 2c = const; 5) a2 = b2 + c2 . 5) sh2 a 2 = sh2 2b + sh2 2c . Таблица 1. Как видно из табл. 1, в каком-то смысле аналогом евклидова прямоугольного треугольника в геометрии Лобачевского можно считать и треугольник максимальной площади. Благодарность. Автор благодарит П. В. Бибикова за постановку задачи и внимание к работе. 1 2. Модель Пуанкаре в круге Существует несколько моделей геометрии Лобачевского, но нам будет удобнее рассматривать модель Пуанкаре в круге (см. ). В этой модели плоскостью Лобачевского является внутренность единичного круга. Граница этого круга называется абсолютом. Точками являются обычные евклидовы точки, принадлежащие плоскости Лобачевского, а прямыми - дуги евклидовых окружностей, ортогональных абсолюту, и диаметры абсолюта (рис. 1). Углы измеряются как обычные евклидовы углы между кривыми. B A B O P A C Рис. 2. Рис. 1. Треугольник в модели Пуанкаре в круге состоит из дуг окружностей, и сумма его углов меньше π (рис. 2). Поэтому естественно ввести величину δ, называемую дефектом и равную π−α−β −γ, где α, β и γ - углы треугольника. Легко видеть, что дефект треугольника обладает следующими свойствами: 1) δ > 0; 2) 1 = 2 ⇒ δ1 = δ2 ; 3) = 1 ∪ 2 ⇒ δ = δ1 + δ2. Látható, hogy a háromszög hiba a terület összes tulajdonságát kielégíti. Kiderült (lásd), hogy a Lobacsevszkij-geometriában S() = δ = π a szögek összege. Ez az egyik jelentős különbség Lobacsevszkij geometriája és az euklideszi geometria között: az euklideszi geometriában lehetetlen egy háromszög területét a szögeivel kifejezni. 3. Kulcstétel A Lobacsevszkij-geometria különböző, a háromszög területére vonatkozó problémáinak megoldásakor a következő tétel hasznosnak bizonyul (lásd még). 1. tétel (kulcstétel). Legyen az ABC nem euklideszi háromszög A csúcsa egybeesve a Poincaré-modell középpontjával, és B pont legyen szimmetrikus B-re az abszolút1-hez képest. Ekkor S(ABC) = 2τ, ahol τ = ∠AB C. 1 Azaz B pont a B pont képe az abszolúthoz képest inverzió alatt. 2 C B A B" 3. ábra. Bizonyítás. Tekintsük az ω euklideszi kört, amely az ABC háromszög BC nem euklideszi oldalát tartalmazza (3. ábra). Mivel az ω kör merőleges az abszolútra, a körhöz képest inverziókor önmagává alakul át. abszolút, és ezért átmegy a B ponton (lásd . ) A BC húr és az ω kör közötti szög egyenlő a húr és az érintő közötti szöggel. Ezért az euklideszi szögek összege Az ABC háromszög egyenlő α + β + γ + 2τ = π, ahonnan S(ABC) = π − (α + β + γ) = 2τ 1. gyakorlat. A kulcstétel segítségével oldja meg a következő feladatokat (lásd 1) Szerkesszen meg egy AX szakasz egy nem euklideszi háromszögben, amely felezi az ABC területet 2) Szerkesszünk meg egy AX szakaszt egy nem euklideszi háromszögben úgy, hogy az ABT, BCT és CAT háromszögek területei egyenlőek? a T pont a mediánok metszéspontja. Tekintsük az AB szakaszt és a c egyenest a c egyenesen úgy, hogy az ABC háromszög területe minimális. 3. feladat Mutassuk be a kulcstétel analógját a gömbön: az adott AB szakaszú állandó területű háromszögeket alkotó pontok halmaza az A és B pontokon átmenő kör, amely szimmetrikus az A és B pontokra a gömb középpontjához képest. a gömb. 4. Maximális területű háromszögek és tulajdonságaik Most készen állunk a fő probléma megoldására: keressünk egy nem euklideszi ABC háromszöget, amelynek maximális területe két fix oldala AB és AC. Az érvelés általánosságának elvesztése nélkül feltételezzük, hogy az A csúcs egybeesik a Poincaré-modell középpontjával. Javítsuk meg az AB oldalt. Ekkor a C csúcs egy ψ nemeuklideszi körön fekszik, amelynek középpontja az A pontban van, és sugara rögzített. Mivel a ψ kör középpontja egybeesik a Poincaré-modell középpontjával, ez a kör egybeesik az euklideszi körrel (de más sugarú). A kulcstétel szerint az ABC háromszög területe 2∠AB C, ahol a B pont az abszolútra nézve szimmetrikus a B pontra. Az ABC háromszög területe akkor lesz maximális, ha az ∠AB C szög maximális, azaz. amikor a B C szakasz érinti a ψ kört (4. ábra). Tehát egy maximális területű ABC háromszög megszerkesztéséhez elegendő a ψ kör B C érintőjét megszerkeszteni. 3 A C A B B" B O C 5. ábra. 4. ábra Egy maximális területű háromszög számos ekvivalens tulajdonsággal jellemezhető, amelyek hasonlóak egy euklideszi derékszögű háromszög tulajdonságaihoz (lásd 1. táblázat). 2. Tétel. Legyen ABC a nem euklideszi háromszög rögzített oldalakkal AC = b és AB = c Ekkor a következő feltételek egyenértékűek: (0) Az ABC maximális területe (1) α = β + γ.< π2 ; (2) центр описанной окружности совпадает с серединой стороны BC; (3) sin S2 = th 2b · th 2c ; (4) cos α = th 2b · th 2c = const; (5) sh2 a2 = sh2 2b + sh2 2c . Доказательство. Для доказательства рассмотрим описанную выше конструкцию. По ключевой теореме τ = ∠AB C = S2 , где S - площадь треугольника ABC. (0) ⇔ (1) Если треугольник ABC имеет максимальную площадь, то ∠ACB = π2 , то есть имеет место равенство τ + α = π2 ⇔ (π − α − β − γ) + 2α = π. Отсюда следует, что α = β + γ. Обратно, если выполнено равенство α = β + γ, то ∠ACB = τ + α = π2 и площадь треугольника ABC максимальна. (1) ⇔ (2) См. рис. 5. (0) ⇔ (3) Применим евклидову теорему синусов к евклидовому треугольнику AB C. Имеем ABE E = AC , где через ABE и ACE обозначены евклидовы длины евклидовых отрезков AB sin ∠ACB sin τ и AC соответственно. Известно (см. ), что евклидова длина l и неевклидова длина ρ отрезка, один из концов которого совпадает с центром модели Пуанкаре, связаны формулой l = th ρ2 , поэтому ACE = th 2b и ABE = AB1 E = th1 c . Подставляя эти значения в предыдущее равенство, получаем sin ∠ACB = sin th b 2 S 2 th 2 c 2 . Поэтому треугольник ABC имеет максимальную площадь тогда и только тогда, когда sin S2 = th 2b th 2c . (0) ⇔ (4) Рассмотрим евклидов треугольник AB C. Если гиперболический треугольник ABC ACE = th 2b th 2c . Обратно, если выполнено равенство имеет максимальную площадь, то cos α = AB E cos α = th 2b th 2c , то евклидов угол ∠ACB прямой и площадь неевклидова треугольника ABC максимальна. (4) ⇔ (5) Для доказательства воспользуемся неевклидовой теоремой косинусов: ch a = ch b ch c − sh b sh c cos α. Подставляя значение cos α из (4), после упрощений получаем (5). Аналогично доказывается и обратная импликация. 4 Упражнение 4. Используя аналог ключевой теоремы для сферы (см. упражнение 3), постройте сферический треугольник максимальной площади (см. также ). Попробуйте также найти аналоги свойств (1)–(5) для этого треугольника. Упражнение 5. Рассмотрим евклидов остроугольный треугольник AP Q и проведем в нем высоты P B и QC. Докажите, что неевклидов треугольник ABC имеет максимальную площадь а) в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости относительно прямой P Q (рис. 6); б) в модели Пуанкаре внутри окружности с центром в точке A, ортогональной описанной окружности четырехугольника P CBQ (рис. 7). A A B B C C P Q Q P Рис. 6. Рис. 7. Замечания. 1. Когда b, c → 0, свойства (1)–(5) из теоремы 2 переходят в соответствующие евклидовы свойства (см. табл. 1), что еще раз демонстрирует аналогию между треугольником максимальной площади и прямоугольным треугольником. 2. Если b, c → ∞, то из свойства (4) следует, что угол α стремится к 0 (рис. 9), в то время как в евклидовом прямоугольном треугольнике α = π2 = const (рис. 8). Этот факт наиболее ярко отражает разницу между прямоугольным треугольником и треугольником максимальной площади. A A Рис. 8. Рис. 9. 3. Формулу (5) можно назвать неевклидовой теоремой Пифагора, т.к. она имеет тот же вид, что и в геометрии Евклида, с той оговоркой, что в ней присутствуют не стороны, а гиперболические синусы от их половин. 5 Ключевая теорема и формула ABE = th 2c объясняют, почему во многих формулах, связанных с площадью треугольника, встречаются именно половина площади и половины сторон. Упражнение 6. Используя доказательство равносильности свойств (0) и (3), докажите формулу cth 2b cth 2c − cos α S ctg = 2 sin α для вычисления площади произвольного неевклидова треугольника через две стороны и угол между ними. Используя ключевую теорему, попробуйте также доказать другие неевклидовы формулы, связанные с площадью треугольника (см. ). 5. Применение: изопериметрическая задача Пользуясь свойствами треугольника максимальной площади можно решить аналог т.н. изопериметрической задачи: какой будет фигура максимальной площади при заданном периметре? В геометрии Евклида ответ хорошо известен: эта фигура является кругом (см. ). Оказывается, что в геометрии Лобачевского решением этой задачи также является круг (см. также ). Теорема 3. В геометрии Лобачевского фигурой максимальной площади с заданным периметром является круг. Доказательство. Мы построим доказательство аналогично евклидовому доказательству, предложенному Штейнером (см. ). Пусть F - искомая фигура с площадью S и периметром L (доказательство существования такой фигуры в геометрии Лобачевского аналогично доказательству для евклидовой геометрии; см. ). Так же, как в евклидовой геометрии (см. ) доказывается, что фигура F выпукла, и отрезок BC, который делит периметр фигуры F пополам, делит и ее площадь пополам. Назовем такой отрезок диаметром. A B A C B Рис. 10. C Рис. 11. Пусть теперь A - произвольная точка границы фигуры F и BC - диаметр фигуры F (рис. 10). Докажем, что треугольник ABC имеет максимальную площадь. Предположим противное. Рассмотрим половину фигуры F , отсекаемую диаметром BC и содержащую точку A. Ее площадь будет состоять из площади треугольника ABC и площадей двух оставшихся сегментов, прикрепленных к сторонам AB и AC. Если двигать стороны AB и AC, меняя угол 6 между ними, то половина площади F будет меняться, причем сегменты будут двигаться вместе со сторонами, тем самым сохраняя периметр L/2. Таким образом можно добиться, чтобы площадь треугольника ABC стала максимальной (рис. 11). Тогда отразим полученную фигуру относительно диаметра BC и получим новую фигуру F периметра L и с площадью большей S - противоречие. Итак, для любой точки A границы фигуры F площадь треугольника ABC максимальна. По свойству (2) теоремы 2 имеем OA = OB = OC = const, а значит, фигура F является кругом с диаметром BC. Список литературы Бибиков П. В., Ткаченко И. В. О трисекции и бисекции треугольника на плоскости Лобачевского // Мат. Просвещение. Сер. 3, вып. 11, 2007. С. 113–126. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. М.: Физматлит, 2003. Заславский А. А. Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 2003. Крыжановский Д. А. Изопериметры. М.: Физматгиз, 1959. Норден А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. М.: ГИИТЛ, 1953. Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. 3-е изд. М.: МЦНМО, 2004. Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. М.: МЦНМО, 2005. Шварцман О. В. Комментарий к статье П. В. Бибикова и И. В. Ткаченко «О трисекции и бисекции треугольника на плоскости Лобачевского» // Мат. Просвещение. Сер. 3, вып. 11, 2007. С. 127–130. Maehara H. The problem of thirteen spheres - a proof for undergraduates // European Journal of Combinatorics 28, 2007. P. 1770–1778. Schmidt E. Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel im hyperbolischen und sphr¨ arischen Raum jeder Dimensionenzahl // Math. Z. 49, 1943. P. 1–109. 7

A mű szövegét képek és képletek nélkül közöljük.
A munka teljes verziója elérhető a "Munkafájlok" fülön PDF formátumban

BEVEZETÉS

...Könnyebb lenne megállítani a Napot, könnyebb lenne mozgatni a Földet, mint egy háromszögben a szögek összegét csökkenteni, a párhuzamosságokat konvergenciára redukálni és a merőlegeseket az egyenesre mozgatni, hogy elváljon. (V.F. Kagan)

Egyszer a 7. osztályban egy geometria órán a „Párhuzamos vonalak” téma tanulmányozása közben a tanár azt mondta, hogy a párhuzamos egyenesek nem mindig diszjunktak, ami meglepetést és bizalmatlanságot váltott ki a tanulókban, köztük a szerző is. ennek a munkának.

Valójában minden végzős szilárdan meg van győződve arról, hogy a háromszögek egyenlőségének három jele van, hogy egy háromszög szögeinek összege 180 0, és a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. . Ez az információ az egyik fő információ a háromszögek tanulmányozásában és a planimetria elemi problémáinak megoldásában. De mi a helyzet azzal a ténnyel, amit a tanár mondott? Lehetséges-e más lehetőség a párhuzamos egyenesek egymáshoz viszonyított helyzetére?

A szerző Atanasyan L.S. „Geometria 7-9 osztályos” című tankönyvében. nem találtunk információt arról, hogy a párhuzamos egyeneseknek a jól ismerttől eltérő kölcsönös elrendezésére lenne lehetőség, azonban a „Néhány információ a geometria fejlődéséről” részben a szerző talált egy leírást egy új geometria megalkotására tett kísérletekről. matematikusok, köztük honfitársunk, a híres tudós N.I. Lobacsevszkij. Miután megtudta, hogy az N.I. Lobacsevszkijt csak a fizika és a matematika tanulói tanulják, és az iskolai órákon nem lehet információt szerezni a tantárgy ezen szakaszáról, ezért a szerző úgy döntött, hogy a tanár segítségével önállóan megvizsgálja a kérdést.

Ennélfogva, célja Ez a munka a háromszögek tulajdonságait tanulmányozza az N.I. geometriájában. Lobacsevszkij.

Illetőleg, feladatokat ennek a munkának a következők:

tanulmányozza a geometria kialakulásának történetét N.I. Lobacsevszkij;

mérlegelje ennek a geometriának az alapvető tényeit, elmélyülve a hallgató számára új terminológiában;

részletesen tanulmányozza a háromszögek tulajdonságait a geometriában N.I. Lobacsevszkij;

fontolja meg a tudósok által javasolt hiperbolikus geometria értelmezési modelljeit;

vizsgálja meg az N.I. geometriájának alkalmazásának kérdését. Lobacsevszkij a modern tudományban.

A tanulmány megkezdése előtt a szerző felállított egy hipotézist, amely szerint az N.I. A Lobacsevszkij egy teljesen új geometria, olyan tényekből áll, amelyek ellentmondanak Eukleidész geometriájának. Ez a munka ennek a feltételezésnek a bizonyítására szolgál.

A szerző a kutatómunka újszerűségét tekinti fő részének, amely abból áll, hogy megvizsgálja az N.I. geometria megalkotásának kérdését. Lobacsevszkij és vizuális modellek készítése a párhuzamok bemutatására Lobacsevszkij szerint, valamint azon felület egyik modellje, amelyen „képzeletbeli” geometriájú háromszögek léteznek.

A szükséges információk kiválasztásához a geometriáról szóló könyvekben N.I. Lobacsevszkij, a szerző figyelmet fordított az anyag bemutatásának nyelvére, a szükséges információk bemutatásának részletességére és konkrétságára. Az első megfelelő kiadvány Laptev B.L. könyve volt. "N.I. Lobacsevszkij és geometriája”, amelyről kiderült, hogy kézikönyv a diákok számára. A könyv érthető nyelven magyarázza el N.I. geometriája kialakulásának előfeltételeit. Lobacsevszkij szerint a geometriai szakasz alapvető tényei, azonban ez az információ elégtelennek bizonyult, mivel felületes volt. Világosság a geometriai háromszögek elméletében N.I. Lobacsevszkijt V. I. könyve vezette be. "A geometria alapjai", amely a hiperbolikus geometria planimetriájának tételeit és érdekes elméleti megjegyzéseket tartalmaz az ábrák tulajdonságairól.

Kiderült, hogy a könyvek tartalmazzák a legkevesebb információt a geometriai feladatok megoldásának gyakorlatáról N.I. Lobacsevszkij. Hasonló következtetésekkel összhangban a szerző feladatul tűzte ki a hiperbolikus geometria felhasználását iskolai tankönyvből származó feladatok megoldására, és a kapott megoldások összehasonlítását.

HIPERBOLIUS GEOMETRIA, VAGY N.I LOBACHEWSKY

1. A NEM EUKLIDÉSZ GEOMETRIA TÖRTÉNETE

A 19. század végén. A matematikusok néhány hiányosságot azonosítottak Eukleidész Elemeiben, bár korábban munkája a geometriai rendszer tökéletes bemutatásának számított. Különös figyelmet keltett az egyenesek párhuzamosságáról szóló posztulátum. Megerősödött az a téves nézet, hogy a posztulátumokat és axiómákat szavukra kell fogadni. Egyszerűnek és kézenfekvőnek tartották őket. De az ötödik posztulátum bonyolultabb megfogalmazásában különbözött a többitől. A tudósok azt sugallják, hogy a posztulátum annyira eltérő, mert Eukleidész egyszerűen nem tudta bizonyítani.

A geométerek ezt a tételt csak az ötödik tételt megelőző axiómák és posztulátumok felhasználásával igyekeztek bizonyítani. De mindegyik bizonyításban vagy durva hibákat vagy nagy pontatlanságokat találtak. Így a matematikusok több lehetőséget is találtak, amelyek helyettesíthetik az ötödik posztulátumot, de a probléma megoldatlan maradt.

Általában az ötödik posztulátumot a következőképpen értelmezik: síkon, egy ponton keresztül, amely nem egy adott egyenesen fekszik, csak egy párhuzamos van ezzel az egyenessel.

Tanári pályafutása elején Lobacsevszkij is kísérletet tett Eukleidész posztulátumának bizonyítására, de nem járt sikerrel. Bár a posztulátum bizonyítása közben sok újat sikerült bevinnie az abszolút geometriába. 1826-ban N. I. Lobacsevszkij először tájékoztatta a tudományos közösséget a probléma megoldásáról és egy új, „képzetes” geometriáról, ahogyan ő maga nevezte, amelyben a párhuzamos egyenesek axiómáját helyettesítették.

Lobacsevszkij azzal a feltételezéssel dolgozta ki geometriáját, hogy a háromszög szögeinek összege kisebb, mint π. A következő munkákban azonnal elkezd különbséget tenni a vonalak két osztálya között.

Lobacsevszkij axiómáját a következőképpen értelmezzük: egy síkon egy adott egyenesen kívül eső ponton keresztül több olyan egyenes halad át, amely nem metszi az adott egyenest.

Az N.I. geometriájában az egyenesek párhuzamosságával kapcsolatos összes feltételezés és fogalom. Lobacsevszkij, nagyon eltérnek Eukleidész geometriájától, és a többi ugyanaz. Azokat az elméleti információkat, amelyek mindkét geometriában érvényesek, általában „abszolút geometriának” nevezik.

A párhuzamosság új axiómája az egyenesek számos szokatlan tulajdonságát hozza létre, amelyeknek nincs helye az euklideszi geometriában. Hasonló tulajdonságokat tárgyalunk e munka fő részének következő szakaszaiban. A „képzeletbeli” geometriát nem ismerték fel N. I. életében. Lobacsevszkijt, és létrehozásában fennálló elsőbbségét sokáig vitatták. A tudományos közösségben N.I. Lobacsevszkij J. Bolyait és K.F.-t tartotta a nem euklideszi geometria első alkotóinak. Gauss, de végül a szerzőséget honfitársunkként ismerték el.

1. ÖTÖDIK POSZTULÁTUM A GEOMETRIÁBAN N.I. LOBACHEWSKY

A „képzeletbeli” geometria jelentésének megértése előtt meg kell érteni az ötödik posztulátum értelmezésének lényegét és az N.I. által bevezetett terminológiát. Lobacsevszkij.

Párhuzamosan az iskolai tankönyvben „Geometria. 7-9" Atanasyan L.S. stb. olyan egyeneseknek nevezzük, amelyek nem metszik egymást, és a „Párhuzamos egyenesek” témakör tanulmányozásakor axiómaként fogadjuk el a következő állítást: „Olyan ponton, amely nem egy adott egyenesen fekszik, csak egy adott egyenessel párhuzamos egyenes halad át, ” azaz. egyenes a az egyetlen egyenes, amely párhuzamos a b egyenessel és átmegy a ponton M, nem a b vonalon fekszik (1. ábra). Abszolút minden iskolás, aki a párhuzamosság témáját tanulmányozta a geometria órákon, képes ábrázolni két egyenes vonal ilyen elrendezését.

Most próbáljuk meg bemutatni a párhuzamos egyenesek vagy párhuzamos vonalak grafikus értelmezését, ahogy N.I. Lobacsevszkij, hiperbolikus geometriában (2. ábra) a szerző által tervezett modell segítségével (3. ábra).

Hadd A.A. ’ - tetszőleges egyenes a síkon, pont R- egy pont, amely nem egy adott egyenesen fekszik, hanem egy sugár PQ- egyenesre merőlegesen A.A. ’ (3. ábra). Közvetlen BB ’ , nyilvánvalóan ugyanaz az egyenes, amelyet párhuzamos egyenesnek tekintünk A.A. ’ az euklideszi geometriában. De N.I. Lobacsevszkij nem az egyetlen lehetséges lehetőség.

Pont M egyenes vonalban mozgó pontnak vesszük A.A. ’ lényegre törő A pontból K(4., 5., 6., 7. ábra).

Aztán egyenesen DÉLUTÁN. egy bizonyos pozícióba is mozog, amelyet egyenesnek jelölnek P.T. a 2. ábrán. Ezt a helyzetet ún szélső(8. ábra). Az ebben a helyzetben lévő egyenest a „képzeletbeli” geometriában olyan egyenesnek tekintjük, amely nem metszi ezt az egyenest, és az α szöget P.T.És PQ N.I. Lobacsevszkij neve párhuzamosság szöge. Ennek a szögnek a mértékét 0-n belül veszik fel< α < π/2, т.е. угол острый, не принимающий значений 0 0 и 90 0 .

Tehát melyik az ábrán látható egyenes. 2 egy párhuzamos egyenes AA ’ ? Kiderült, hogy ez egyenes P.T., amelyet N.I. Lobacsevszkij neve párhuzamos. Az AA-hoz egynél több ilyen egyenes tartozik, ami a következő ábrákon látható:

Kiderült, hogy a párhuzamosnál P.T. az az irány, amelyet egy adott egyenesnek egy adott egyeneshez való közeledésének iránya határoz meg, és egy adott párhuzamos megnevezésénél jelzi. Egyenes P.U. ’ , szimmetrikus egyenes P.T., szintén párhuzamos a vonallal AA', hanem a lényeg felé A ’ . Ebből arra következtethetünk, hogy egy adott egyenesre két párhuzam van, és az ötödik posztulátum másképp is megfogalmazható, mint Eukleidésznél: egy síkon egy adott egyenesen kívül eső ponton keresztül több olyan egyenes is átmegy, amely nem metszi az adott egyenest.

A javasolt jelölésnek megfelelően N.I. Lobacsevszkij két vonalosztályt azonosított, amelyek a P ponton áthaladnak és a vonalhoz képest helyezkednek el AA' eltérően: metsző egyenesekAA' T'PUÉs U'PTés tartalmazzák a merőlegest PQ) És attól eltérõ egyenes vonalakAA' (a függőleges szögek uniójában található T'PU'És UPTés tartalmazza az egyenes BB-t ’ ). Vegye figyelembe, hogy a párhuzamok TT'És U U' nem tartoznak ezekbe a csoportokba.

1. A „KÉPZETT” GEOMETRIA ALAPVETŐ PLÁNIMETRIAI TÉNYEI

Tehát soroljuk fel az N.I geometriájában a vonalak párhuzamosságával kapcsolatos főbb tényeket. Lobacsevszkij.

Ha egyenes CD párhuzamos a vonallal AB felőli irányban A Nak nek BAN BEN ponthoz képest VAL VEL, akkor párhuzamos vele és bármely más pontjához viszonyítva E(11. ábra).

Két egyenes aés b, amelyek egyenlő megfelelő szögeket alkotnak az egyenesük harmadik keresztirányával c, mindig eltérnek. Ezért igaz az az állítás, hogy ugyanarra az egyenesre két merőleges mindig eltér.

Bármely divergens egyenespárnak mindig van egy és csak egy közös merőlegese, amelynek mindkét oldalán korlátlanul eltávolodnak egymástól (12. ábra).

Ez a következő állítást jelenti.

A háromszög középvonala mindig eltér az alaptól, közös merőlegesük az alap közepén halad át.

A hiperbolikus geometriában az N.I. síkon előforduló vonalpárok típusától függően. Lobacsevszkij (párhuzamos, metsző és nem metsző) háromféle, a teljes síkot lefedő egyenes vonalú ceruzát azonosítanak:

Az első típusú nyaláb az egy ponton - a sugár középpontján - áthaladó összes vonal halmaza (13. ábra).

A második típusú gerenda egy egyenesre - a gerenda alapjára - merőleges vonalak halmaza (14. ábra).

A harmadik típusú nyaláb egy adott irányban egy egyenessel párhuzamos egyenesek halmaza (15. ábra).

Figyelemre méltó, hogy ha nem egy, hanem két horociklust készítünk egy harmadik típusú ceruzához, akkor ezen vonalak határvonalak közé zárt szakaszainak hossza egyenlő lesz: A.A. ’ = SS ’ =BB ’ . Az euklideszi síkon egy ilyen minta másképp nézne ki, és a kapott négyszögek mindegyike téglalap lenne.

Nyilvánvaló, hogy mind a trapéz, mind a paralelogramma, mint négyszögtípus, amelyet az euklideszi geometriában ismerünk, nem létezik a hiperbolikus geometriában. Helyette a geometriai területek elméletének bemutatásában N.I. Lobacsevszkij a „Saccheri-négyszög” fogalmát használja, amelyet arról a tudósról neveztek el, aki ezt a négyszöget használta, amikor megpróbálta bizonyítani Eukleidész ötödik posztulátumát. A Saccheri-négyszög olyan négyszög, amelynek két egyenlő oldala merőleges az egyik alapra. „Képzeletbeli” geometriában a Saccheri-négyszög a 17. ábrán látható módon néz ki.

Nyilvánvalóan Thalész tétele sem állja meg a helyét a hiperbolikus geometriában.

N.I. Lobacsevszkij „képzetes” geometriájának megalkotásakor bebizonyította, hogy a háromszög területe a szögeinek összegéhez kapcsolódik, és egyenlő lehet egy bizonyos követelményeknek megfelelő Saccheri-négyszög területével. Nézzük meg részletesebben a háromszögek tulajdonságait, amelyek az N.I geometriájában játszódnak le. Lobacsevszkij.

1. HIPERBOLIUS HÁROMSZÖGEK

A hiperbolikus geometria alapjainak bemutatásának szentelt publikációiban N.I. Lobacsevszkij kétféle háromszöget vesz figyelembe: egyenes és gömb alakút, és mindegyik típusnál figyelembe veszi a háromszögek mérését és a párhuzamosakról szóló feladatok megoldását leíró egyenleteket.

Nyilvánvaló, hogy az egyenes háromszögek alatt minden iskolás számára ismerős figurát kell érteni, de mit lehet érteni a gömbháromszög alatt?

A helyzet az, hogy ha megpróbálja ábrázolni az N.I. geometriai modelljét. Lobacsevszkij térben, majd a szakirodalomban több változata is megtalálható egy ilyen értelmezésnek.

Klein modellje, amelyben a sík pontjai egy bizonyos kör pontjai, az egyenesek pedig a kör húrjai. Ebben a modellben bármely két pont távolságát és két egyenes közötti szöget a magasabb matematika fogalmaihoz kapcsolódó képletek fejezik ki.

A Poincaré-modell körben, amelyet úgy kapunk, hogy a Klein-kör minden X pontjához megszerkesztünk egy X 1 pontot, ahol az egyenesek a körívek (18. ábra).

P pszeudoszféra, amelynek koncepciója csak az N.I. geometriájára alkalmazható. Lobacsevszkij. Elképzelhető egy pszeudoszféra, ha két harangos „tölcsért” rögzítünk egymáshoz (19. ábra).

A szerző véleménye szerint az utolsó lehetőség a legvizuálisabb (20. ábra), mivel könnyebb elképzelni egy gömbháromszöget, ha megpróbáljuk gondolatban felvázolni a pszeudoszféra egyik tölcséren (21. ábra). A lényeg itt az, hogy figyelembe vegyük, hogy ennek a síknak van némi görbülete, és ezért a gömbháromszög geometriájával kapcsolatos összes matematikai számítás összetett, és ehhez a görbülethez, pontosabban annak sugarához kapcsolódik.

Tehát nézzük meg a „képzeletbeli” geometria háromszögek elméletének főbb rendelkezéseit, megjegyezve, hogy a háromszögekre vonatkozó információk megkülönböztető jellemzői csak akkor térnek el, ha az ötödik posztulátumot használták a tételek bizonyításához.

A háromszög szögeinek összegére vonatkozó tétel az iskolai kurzus első tétele, amelynek bizonyítása Eukleidész párhuzamossági axiómáját használja, és az egyik kulcstétel. De Lobacsevszkij geometriájában bármely háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180°, ami jól látható a Poincaré-modellben (22. ábra).

Az ábrán látható, hogy a B és a szögek összege VAL VEL egyértelműen kisebb, mint az euklideszi sík megfelelő szögeinek összege, ezért mindhárom szög összege kisebb, mint 180 0.

Ha egy háromszög két szöge rendre egyenlő egy másik háromszög két szögével, akkor az euklideszi geometriában a harmadik szögek is egyenlőek (az ilyen háromszögek hasonlóak). A geometriában N.I. Lobacsevszkijnek nincs fogalma a hasonló háromszögekről. Emellett N.I. Lobacsevszkij levezette a háromszögek egyenlőségének negyedik kritériumát: ha az egyik háromszög szögei ennek megfelelően egyenlőek egy másik háromszög szögeivel, akkor ezek a háromszögek egyenlőek, de ha ezek a háromszögek gömb alakúak.

A 180° és a háromszög szögeinek összege közötti különbség az N.I geometriában. Lobacsevszkij pozitív; ez az úgynevezett disszidálδ ennek a háromszögnek, vagy szöghiba, azaz δ = π - α - β - γ, ahol α, β, γ egy adott háromszög szögei. Kiderült, hogy a hiperbolikus geometriában a háromszög területe ehhez a hibához kapcsolódik, és a következő képlettel fejeződik ki: , ahol k egy együttható, amely a területek és szögek mérésére szolgáló mértékegységek megválasztásától függ. N. I. Lobachevsky azt is bizonyítja, hogy bármely háromszög területe megegyezik a Saccheri-négyszög területével, amelynek felső alapja ennek a háromszögnek az egyik oldala, és hegyesszögeinek összege egyenlő a háromszög szögeinek összege.

Mint tudják, az euklideszi geometriában egy kör bármely háromszög körül leírható. A „képzetes” geometriában ez a tétel nem igaz. Mutatjuk, miért. ábrán. 23 merőleges felező M.H. oldalra AB háromszög ABC nem metszi a sugarat A.A. 1 , valamint a merőleges felező N.H. 1 oldalra AC. Ezek a merőlegesek nem metszik egymást, ezért nincs a pontoktól egyforma távolságra lévő pont A, Zenekar C, azaz Δ ABC nincs körülírt köre.

Geometria N.I. Lobacsevszkij van egy úgynevezett aszimptotikus háromszög, i.e. egy háromszög, amelynek oldalai páronként párhuzamosak a hiperbolikus geometria értelmében (24. ábra).

Egy ilyen háromszög területét a legnagyobbnak tekintik a háromszög területének képlete szerint, mert Egy adott háromszög szögei végtelenül kicsik, és valójában egyenlők lehetnek nullával.

N. I. Lobacsevszkij geometriájában a Pitagorasz-tétel érvényes, de módosított egyenlete van, és a hiperbolikus koszinusz fogalmához kapcsolódik - az exponenciális exponenciális függvénye: , ahol ch- hiperbolikus koszinusz, a,b, c- derékszögű háromszög lábai és hipotenusza.

A szinusz és koszinusz tételei az N.I. geometriájában is helyet kapnak. Lobacsevszkij és bármely háromszögre érvényesek, azonban ezeknek a tételeknek a matematikai ábrázolása is a hiperbolikus koszinuszhoz kapcsolódik, csakúgy, mint Ceva és Menelaus tételeinek értelmezése.

KÖVETKEZTETÉS

Az ebben a munkában ismertetett kutatás elvégzése előtt a szerző azt tervezte, hogy a hiperbolikus geometria gyakorlati alkalmazásának átgondolását tűzte ki célul a feladatok iskolai tankönyvből történő megoldására, elemezve azok megoldását Eukleidész és N.I. geometriájában. Lobacsevszkij. A „képzeletbeli” geometria alapjaira vonatkozó információk gyűjtése során azonban kiderült, hogy a világhírű orosz tudós munkáiban leírt matematikai számítások olyan összetettek, hogy jelenleg nem használhatók.

A munka a geometria felépítésének kérdését tárgyalja, amely a geometriai elmélet egyik alapvető „építőkövének” megváltoztatásán alapul, amelyet a távoli múltban egy ókori tudós - Eukleidész - az ötödik posztulátum épített fel. Kiderült, hogy a kezdeti axiomatikus adatok ilyen csekélynek tűnő változása a párhuzamos egyenesek elméletének egy hatalmas rétegének változását vonja maga után, amelyre az iskolai geometriatanfolyamon sok fontos tény épül.

Az input részletesebb elemzéséhez és vizuális bemutatásához N.I. A párhuzamos vonalak meghatározásához kapcsolódó Lobacsevszkij-koncepciók alapján a szerző a tudományos témavezetővel közösen kidolgozta és oktatástechnológusok segítségével a következő modelleket állította össze:

Modell a „párhuzamos” definíciójának bemutatására N.I. Lobacsevszkij.

Felületmodell az N.I. Lobacsevszkij, amelyen gömb alakú háromszögek léteznek.

A tanulmány kidolgozása során a bevezetőben megfogalmazott hipotézis, hogy az N.I. geometriája. Lobachevsky - ez egy teljesen új geometria, amelynek minden ténye ellentmond Eukleidész geometriájának, helytelennek bizonyult. Kiderült, hogy a hiperbolikus geometriában a párhuzamos egyenesek elméletével bizonyított tételek irrelevánsak, a többi pedig mindkét geometriában érvényes, és ezeket „abszolút geometriának” nevezzük.

Miután elolvasta N.I. Lobacsevszkij „A geometria alapelveiről”, amelyet a Norden A.P. „A geometria alapjairól” a szerző meg volt győződve az úgynevezett „képzeletbeli” geometria saját tudós általi bemutatásának egyediségéről, a tények érveléséről és minden matematikai számítás bizonyítékáról. Az N.I. Lobacsevszkij egyszerűen hatalmas, és minden matematika iránt szenvedélyes ember számára titáninak tűnik.

A kutatás során a szerző szerint a kezdetben kitűzött cél a háromszögek tulajdonságainak tanulmányozása N.I. geometriájában. Lobacsevszkij, sikerült. A munka bevezetőjében megfogalmazott problémákat is megoldották. Mint kiderült, a Lobacsevszkij-geometriát a határozott integrálok számításakor, a relativitáselméletben és a számelméletben használják.

A munka szerzője felvázolja azon képletek részletes elemzésének lehetőségét, amelyek segítségével számításokat lehet végezni az N.I geometriájában lévő háromszögekre. Lobacsevszkij, miután középiskolában trigonometriát tanult. Nem kevésbé érdekes, hogy N.I. a térinformációkat figyelembe veszi a geometriában. Lobacsevszkij, ami a sztereometria tanulmányozása után válik aktuálissá.

Általánosságban elmondható, hogy a tanulmányon végzett munka lehetővé tette a szerző számára, hogy új pillantást vethessen a geometriára mint tudományra, és megbizonyosodjon arról, hogy az ötödik posztulátum bemutatásának van egy másik változata, amely minden kritikát kibír, és ugyanúgy igaz, mint Euklidész geometriája.

A HASZNÁLT HIVATKOZÁSOK JEGYZÉKE

Geometria.7 - 9 évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények / (L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev stb.). - M.: Oktatás, 2011. - 384 p.

Kagan V.F. Lobacsevszkij és geometriája. - M.: Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1955. - 304 p.

Kostin V.I. A geometria alapjai (második kiadás). - M.: Állami nevelőtanár. Az RSFSR Oktatási Minisztériumának kiadója, 1948. - 305 p.

Laptev B.L. N.I. Lobacsevszkij és geometriája (kézikönyv diákoknak). - M.: Nevelés, 1976. - 112 p.

Lobacsevszkij N.I. Geometriai tanulmányok a geometriai vonalak elméletéről. - M.: Szovjetunió Tudományos Akadémia Kiadója, 1945. - 178 p.

Norden A.P. A geometria alapjairól. - M.: Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1956. - 531 p.

Prasolov V.V. Lobacsevszkij geometriája. - M.: MTsNMO Kiadó, 2004. - 89 p.

Smogorzhevsky A.S. Lobacsevszkij geometriájáról. - M.: Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Könyvkiadó, 1957. - 69 p.

D. Kulikov: Igen, persze. De ismétlem, egy egyszerű formai dolog, ami ezt az egészet összetarthatta, az a párt chartája, amit be kellett tartani. De erről még senki sem akart beszélni. Miért van lezárva a jelentés? Ez sok kérdést felvet. Voltak ott küldöttek?

A. Gasparyan: Azt mondják, néhányan teljesen elmentek.

D. Kulikov: Igen, sokan teljesen elmentek. Mi volt ennek a jelentésnek a célja? A kongresszusnak szavaznia kellett rá, jóvá kellett hagynia? Ebből nem volt semmi. Milyen eljárás keretében történt mindez? Azt hiszem, Hruscsov úr (vagy elvtárs, ahogy akarja) egy kérdésben döntött - igaza volt, Gia és Armen, amikor rámutatott - mindenkit bűnözőnek nyilvánítottak. Elvileg tehetetlenségből azt lehetne mondani: rehabilitáljuk ezeket az embereket, de üzletet nyitunk rajtad, lássuk, mit csináltál például 1937-től 1953-ig? Általában ez az egész pártra vonatkozott. Hogy ezek az emberek valóban részt vettek-e ebben, mennyire volt jogilag bizonyítható mindez – mindez lényegtelen volt abban a légkörben, amelyben cselekedtek. A lényeg az, hogy van ügy, és megtalálják az embert. Ezért Hruscsov a belső pártharcban ugyanazt a módszert alkalmazta, mint Sztálin a trockisták kapcsán. Egyesek úgy vélik, hogy Hruscsov túlélő trockista volt. Mondhatni. Egy sor meggyőző bizonyítékot tudok adni arra, hogy ez így volt.

G. Saralidze: Fontos kérdés: mikor döntött Hruscsov, hogy megteszi ezt a lépést?

A. Gasparyan: Nem kellett volna ezt tennie. Ez a helyzet paradoxona. Kezdetben az első alkalom, hogy szörnyű többletet kaptunk (ahogy hívták), Berija mondta, akinek utasítására valójában elkezdték összegyűjteni az összes valós statisztikát: mi is történt valójában a GULAG létesítményeiben. Berija nem sokáig gyűjtögette ezeket az anyagokat, mert a falhoz szólították. Ennek megfelelően Mikojan és Molotov, felismerve, hogy valóban létezik valamiféle inflexió (erről mindig nagyon tapintatosan beszéltek), azt mondták, ha már összegyűjtötték az anyagokat, akkor valószínűleg tenni kell velük valamit. És itt kérte meg őket Hruscsov, aki, miután megismerkedett ezzel az iratsorral, kijelentette, hogy erre az egész szovjet nép figyelmét fel kell hívni. Ekkor következik be az egyetlen vita ebben az egész történetben. Mindent nagyon szűk körben dönt el Vorosilov, Mikojan, Hruscsov és Molotov. Hárman azt mondják, hogy igen, megtörtént, de megnyertük ezt a háborút, ami azt jelenti, hogy igazunk volt, és az embereknek nem kell semmit mondaniuk. Hruscsov őszintén hisz abban, hogy a jelenlegi politikai konfigurációban háttérbe vagy harmadik helyre szorulhat. És ő akar lenni az első. És egyedül ő hozza meg a döntést: bejelenti a statisztikákat. Ebben a hatalmi harcban mindent felcserél: a párt tekintélyét, az emberek elképzelését arról, hogy mi történik az országban...

G. Saralidze: A népképviseletről... Amikor Hruscsov meg akarta tenni ezt a lépést, megértette, hogy az emberek felteszik azt a szentségi kérdést, amit Dima mondott: hol voltatok abban a pillanatban? Mit csináltál?

A. Gasparyan: Igen, általában az emberek nem törődtek Hruscsovval. A további események ennek további megerősítése. Ez a tragédia Tbilisziben, ez Novocherkassk, stb. Aggódott valaha egy szovjet személy sorsa miatt? Nem. Csodálatos bizonyítékok vannak erre. Az 1940-es évek végén, Joszif Visszarionovics Sztálin évfordulóján a szovjet állam összes vezetője laudációt írt a tiszteletére. A legcukrosabbat Hruscsov írta.

G. Saralidze: Igen, ez történelmi tény.

A. Gasparyan:És ez az ember anélkül, hogy szünetet tartana, 180 fokkal megváltoztatja a hozzáállását...

D. Kulikov: Van még egy tájékoztató jellegű dokumentum. Igazán nem tudom, hogy valódi-e vagy sem, világosíts fel, Armen. Ez Sztálin állásfoglalása a Hruscsov kivégzési listáin: „Nyugodj meg, te bolond!” Volt ilyen dokumentum?

A. Gasparyan: Egyébként Hruscsov volt az, aki először mondta ki, hogy az elnyomásoknál emelni kell a kamatlábat.

G. Saralidze: Igaz, létezik ilyen dokumentum. Ukrajnába érkezése után Hruscsov táviratot küldött Sztálinnak: „Ukrajna havonta 16-18 ezer elnyomott személyt küld önnek.

Moszkva pedig 2-3 ezret követel. Arra kérem, tegyen lépéseket”, Sztálin pedig határozatot rótt rá: „Nyugodj meg, te bolond!”

A. Gasparyan: A legérdekesebb az, hogy miután Ukrajna élére került, Nyikita Szergejevics Hruscsov a hangerő további növelését követelte: Moszkva növelte, de hogy vagy itt? Kiváló asszisztense volt ezekben a kérdésekben. Kevesen tudják, hogy Jezsovval járt oda.

G. Saralidze: Kiderült, hogy az illető nem félt, hogy ezzel megvádolják?

A. Gasparyan: Jezsovot vérontásért ítélték el, többek között Ukrajnában is. Csak valaki a hatalom legfelsőbb szintjéről hibáztathatja Hruscsovot. Természetesen ezt azért nem tennék meg, mert mindegyiküknek megvolt a háta mögött az elnyomásban való részvétel. Vagyis Hruscsov, a nagy demokratizáló maga engedte ki a dzsinnt a palackból.

G. Saralidze: Még mindig nem értem a kérdést: gondolt-e a lehetséges következményekre? Vagy biztos volt benne, hogy nem valószínű, hogy bárki bármit is tud majd mutatni neki. Sok szó esik arról, hogy Hruscsov volt az első, aki „hóhért” mert kimondani Sztálinról. Mint ismeretes, nem mondott ilyesmit, de erre utalt. De valaki azt mondhatná: várj, akkor ki vagy? És egyáltalán, amikor valamiféle öntisztulásról beszélnek... Az öntisztulás lenne, ha Hruscsov kijönne és azt mondaná: hóhér vagyok, bevallom, megbánom. De nem volt bűnbánat.

D. Kulikov: Minden nagyon egyszerű. A jelentés tárgya például nem az elnyomás, mint külön párt- és állami tevékenység volt. Felhívjuk figyelmét, hogy a riport tárgya valamiféle személyiségkultusz volt!

G. Saralidze: Szóval az ékezetekről van szó? Az ékezetes jegyekben?

D. Kulikov: Az elem megváltozott. Nem véletlenül, egyáltalán nem véletlenül.

Beriát eltávolították, majd Malenkovot, aztán ott volt a pártellenes csoport és Shepilov, aki csatlakozott hozzá. Mindez Hruscsov alatt történt. Amúgy figyelem: az elnyomások enyhébb formában zajlottak, csak Beriát lőtték le.

A. Gasparyan: Nos, nem csak Beriát – még egy tucat ember van vele.

D. Kulikov: Igen, feltételesen beszélek. De elvileg megismétlődött az 1920-as évek végének és 1930-as évek helyzete. A párt ismét ahelyett, hogy több csoportot és központot tartott volna magában, vitát folytatott, kongresszuson megvitatta, szavazott mellette vagy ellene, mindent a színfalak mögé redukált. Igen, egyeseket lelőttek, másokat elbocsátottak, és megfosztották a nyugdíjuktól. Malenkovot kelet-szibériai építkezések irányítására küldték.

A. Gasparyan:És Ignatiev - Kazahsztánba, ha emlékezetem nem csal.

D. Kulikov:Örüljünk, hogy mindez szelídebben történt. Mi az értelme? Persze nem mindenkit lőttek le, ezzel egyetértek. De az államhatalom termelőtevékenysége szempontjából...

D. Kulikov: Nagyon belefáradt a félelembe. Mellesleg, amikor az emberek elvesztették a posztjaikat, ezek szerint a mércék szerint mindent elveszítettek. Legalább elhagyták a dácsát Hruscsovnak. De itt egy másik dolog is fontos - az eredmény. Mi az eredménye ezeknek a takarításoknak? Tehát ez egy új tanfolyamot hozott létre? A probléma nem az, hogy ezeket az 1930-as években lőtték le, és csak az 1960-as években zárták ki őket. A probléma az, hogy a személyzeti politika fő eszköze még mindig az elnyomás volt. Akár durva formában (szörnyű, kivégzésekkel), akár relatíve lágy formában. Mindazonáltal a személyzeti politikának nem volt más mechanizmusa, mint az elnyomó. Ez a fő probléma, és senki sem tárgyalta.

A. Gasparyan: Kollégák, azzal szeretnék érvelni, hogy az elit félt a következő kivégzési körtől. A helyzet az, hogy Sztálin elvtárs 1952-ben megkezdte a pártapparátus újabb masszív átalakítását. Valójában azok jöttek később Brezsnyevvel, a Politikai Hivatallal, akiket Sztálin elvtársnak kellett volna jelölnie 1953–1954-ben. Hruscsov egyszerűen lelassította valamelyest az események menetét. Tehát a beszédek hangneméből ítélve a Politikai Hivatal ülései alapján nemcsak nem féltek az elnyomástól, hanem éppen ellenkezőleg, kiálltak mellettük, őszintén abban a hitben, hogy ha egyszer ez a mechanizmus pozitív dinamikához vezetett, akkor mindig azzal igazolhatták magukat, hogy el kell távolítani a középszerű vörös parancsnokokat és jött egy nemzedék, amelyik győzött. Most hidegháborúd van. Miért nem csináltad ugyanezt másodszor is?