A kúp felületének kialakulása egy lapos alakzat, amelyet úgy kapunk, hogy a kúp oldalfelületét és alapját egy bizonyos síkkal kombináljuk.

A sweep készítésének lehetőségei:

Jobb körkúp kialakítása

A jobb oldali körkúp oldalfelületének kialakulása egy körszektor, amelynek sugara megegyezik az l kúpos felület generatrixának hosszával, és a φ középponti szöget a φ=360*R/ képlet határozza meg. l, ahol R a kúp alapkörének sugara.

A leíró geometria számos problémájában az előnyös megoldás egy kúp közelítése (kicserélése) egy beleírt gúlával, és egy hozzávetőleges kidolgozás megalkotása, amelyen kényelmesen lehet a kúpos felületen fekvő vonalakat húzni.

Építési algoritmus

1. Kúpos felületbe sokszögű gúlát illesztünk. Minél több oldallapja van egy beírt piramisnak, annál pontosabb a megfelelés a tényleges és a hozzávetőleges fejlődés között.
2. Háromszög módszerrel megszerkesztjük a piramis oldalfelületének alakulását. A kúp alapjához tartozó pontokat sima görbével kötjük össze.

Példa

Az alábbi ábrán egy szabályos hatszögletű SABCDEF piramis van beírva egy derékszögű körkúpba, és oldalfelületének hozzávetőleges alakulása hat egyenlő szárú háromszögből áll - a piramis lapjaiból.

Tekintsük az S 0 A 0 B 0 háromszöget. S 0 A 0 és S 0 B 0 oldalainak hossza megegyezik a kúpos felület l generatrixával. Az A 0 B 0 érték az A’B’ hossznak felel meg. S 0 A 0 B 0 háromszög megszerkesztéséhez a rajz tetszőleges helyén rakjuk le az S 0 A 0 =l szakaszt, majd az S 0 és A 0 pontokból S 0 B 0 =l sugarú köröket rajzolunk és A 0 B 0 = A'B' rendre. A B 0 körök metszéspontját összekötjük A 0 és S 0 pontokkal.

A SABCDEF piramis S 0 B 0 C 0, S 0 C 0 D 0, S 0 D 0 E 0, S 0 E 0 F 0, S 0 F 0 A 0 lapjait az S 0 A 0 háromszöghöz hasonlóan készítjük el. B 0.

A kúp alján fekvő A, B, C, D, E és F pontokat egy sima görbe köti össze - egy körív, amelynek sugara l.

Ferde kúpfejlődés

Tekintsük a ferde kúp oldalfelületének letapogatásának elkészítését közelítő (közelítő) módszerrel.

Algoritmus

1. Az 123456 hatszöget a kúp alapkörébe írjuk Az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 pontokat összekötjük az S csúcsgal. Az így megszerkesztett S123456 piramis bizonyos közelítéssel a következő. a kúpos felület helyettesítője, és így további konstrukciókban használatos.
2. A piramis éleinek természetes értékeit a vetületi vonal körüli forgatás módszerével határozzuk meg: a példában az i tengelyt használjuk, amely merőleges a vízszintes vetítési síkra és áthalad az S csúcson.
   Így az S5 él elforgatása következtében új, S’5’ 1 vízszintes vetülete olyan helyzetbe kerül, amelyben párhuzamos a π 2 homloksíkkal. Ennek megfelelően az S''5''1 az S5 tényleges mérete.
3. Megszerkesztjük az S123456 piramis oldalsó felületét, amely hat háromszögből áll: S 0 1 0 6 0, S 0 6 0 5 0, S 0 5 0 4 0, S 0 4 0 3 0, S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . Minden háromszög felépítése három oldalon történik. Például az △S 0 1 0 6 0 hossza S 0 1 0 =S’’1’’ 0, S 0 6 0 =S’’6’’ 1, 1 0 6 0 =1’6’.

Az, hogy a hozzávetőleges fejlődés mennyire felel meg a ténylegesnek, a beírt gúla lapjainak számától függ. Az arcok számát a rajz könnyű olvashatósága, a pontosság követelményei, a jellegzetes pontok és vonalak megléte alapján választják ki, amelyeket át kell vinni a fejlesztésbe.

Egy vonal átvitele a kúp felületéről egy fejlesztésre

A kúp felületén fekvő n vonal egy bizonyos síkkal való metszés eredményeként jön létre (az alábbi ábra). Tekintsük az n egyenes felépítésének algoritmusát a pásztázás során.

Algoritmus

1. Megtaláljuk az A, B és C pontok vetületeit, ahol az n egyenes metszi a kúpba írt S123456 gúla éleit.
2. Az SA, SB, SC szegmensek természetes méretét a kiálló egyenes körüli elforgatással határozzuk meg. A vizsgált példában SA=S’’A’’, SB=S’’B’’ 1, SC=S’’C’’ 1 .
3. Megtaláljuk az A 0 , B 0 , C 0 pontok helyzetét a gúla megfelelő élein, a letapogatáson ábrázolva az S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B' szakaszokat. ' 1, S 0 C 0 =S''C'' 1 .
4. Az A 0, B 0, C 0 pontokat sima vonallal kötjük össze.

Csonkakúp kialakulása

Az alábbiakban ismertetett módszer a jobb oldali kör alakú csonkakúp kialakítására a hasonlóság elvén alapul.

16.1. A prizmák és hengerek felületi fejlődésének rajzai.

Szerszámgép kerítések, szellőzőcsövek és néhány egyéb termék gyártásához ezek fejlesztését lemezanyagból vágják ki.

Bármely egyenes prizma felületeinek kidolgozása egy lapos figura, amely oldallapokból - téglalapokból és két alapból - sokszögekből áll.

Például egy hatszögletű prizma felületeinek kialakításánál (139. ábra, b) minden lap egyenlő a szélességű és h magasságú téglalap, az alapok pedig szabályos hatszögek, amelyek oldala egyenlő a-val.

Rizs. 139. A prizmafelületek alakulását ábrázoló rajz készítése: a - kétféle; b - felületek fejlesztése

Így bármilyen prizma felületeinek alakulásáról rajzot lehet készíteni.

A henger felületeinek kidolgozása egy téglalapból és két körből áll (140. ábra, b). A téglalap egyik oldala a henger magasságával, a másik az alap kerületével egyenlő. A fejlesztési rajzon két kör van a téglalaphoz rögzítve, amelyek átmérője megegyezik a henger alapjainak átmérőjével.

Rizs. 140. A hengerfelületek alakulásának rajzának készítése: a - kétféle; b - felületek fejlesztése

16.2. Kúp- és gúlafelületek kidolgozásának rajzai.

A kúpfelületek kidolgozása egy szektorból - az oldalfelület kifejlődéséből és egy körből - álló lapos figura - a kúp alapja (141. ábra, 6).

Rizs. 141. Kúpfelületek fejlődési rajzának készítése: a - kétféle; b - felületek fejlesztése

Az építkezéseket a következőképpen hajtják végre:

1. Rajzoljunk egy tengelyirányú egyenest, és az s" pontból írjunk le egy körívet, amelynek sugara megegyezik a kúp generatrixának s"a" hosszával. Rajzoljuk rá a kúp alapjának kerületét.

   Az s" pont az ív végpontjaihoz kapcsolódik.

2. A kapott ábrához - szektorhoz egy kört csatolunk. Ennek a körnek az átmérője megegyezik a kúp alapjának átmérőjével.

A kör kerülete szektor felépítésénél a C = 3,14xD képlettel határozható meg.

Az a szöget az a = 360°xD/2L képlettel számítjuk ki, ahol D az alapkör átmérője, L a kúpgeneratrix hossza, kiszámítható a Pitagorasz-tétel segítségével.

Rizs. 142. Piramis felületeinek fejlődési rajzának készítése: a - kétféle; b - felületek fejlesztése

A gúla felületeinek fejlődési rajza a következőképpen épül fel (142. ábra, b):
Egy tetszőleges O pontból egy L sugarú ívet írnak le, amely megegyezik a gúla oldalélének hosszával. Erre az ívre négy, az alap oldalával egyenlő szegmenst fektetünk. A szélső pontokat egyenes vonalak kötik össze az O ponttal. Ezután adunk hozzá egy négyzetet, amely egyenlő a piramis alapjával.

Ügyeljen a fejlesztési rajzok elkészítésére. A kép fölött egy speciális tábla található. A két ponttal pont-kötőjel húzott hajtásvonalakból vezetővonalak rajzolódnak ki, és a polcra felírják a „Hajtásvonalak” feliratot.

1. Hogyan készítsünk rajzot a henger felületeinek alakulásáról?
2. Milyen feliratokat helyeznek el a tárgyak felszíni fejlődését bemutató rajzokon?

A „minta” szó helyett néha „dörzsár” is előfordul, de ez a kifejezés nem egyértelmű: például a dörzsár egy furat átmérőjének növelésére szolgáló eszköz, az elektronikai technikában pedig ott van a dörzsár fogalma. Ezért, bár köteles vagyok a „kúpfejlesztés” szavakat használni, hogy a keresőmotorok ezek alapján megtalálják ezt a cikket, a „minta” szót fogom használni.

A kúp mintájának elkészítése egyszerű dolog. Tekintsünk két esetet: egy teljes kúp és egy csonka kúp esetében. A képen (kattintson a nagyításhoz) Az ilyen kúpok vázlatai és mintái láthatók. (Rögtön meg kell jegyeznem, hogy csak kerek alappal rendelkező egyenes kúpokról beszélünk. A következő cikkekben az ovális alappal és ferde kúpokkal foglalkozunk).

1. Teljes kúp

Megnevezések:

A mintaparaméterek kiszámítása a következő képletekkel történik:
;
;
Ahol .

2. Csonkakúp

Megnevezések:

Képletek a mintaparaméterek kiszámításához:
;
;
;
Ahol .
Megjegyzendő, hogy ezek a képletek teljes kúpra is alkalmasak, ha behelyettesítjük.

Néha egy kúp megalkotásakor a csúcsánál (vagy a képzeletbeli csúcsnál, ha a kúp csonka) a szög értéke alapvető. A legegyszerűbb példa az, amikor egy kúpnak szorosan illeszkednie kell a másikba. Jelöljük ezt a szöget betűvel (lásd a képet).
Ebben az esetben használhatjuk a három bemeneti érték egyike helyett: , vagy . Miért "együtt O", nem "együtt e"? Mert egy kúp felépítéséhez három paraméter elegendő, és a negyedik értékét a másik három értékén keresztül számítják ki. Hogy miért pontosan három, és nem kettő vagy négy, az a kérdés, amely meghaladja e cikk kereteit. Egy titokzatos hang azt mondja nekem, hogy ez valahogy összefügg a „kúp” objektum háromdimenziósságával. (Hasonlítsa össze a kétdimenziós „körszegmens” objektum két kezdeti paraméterével, amelyből a cikkben az összes többi paraméterét kiszámítottuk.)

Az alábbiakban bemutatjuk azokat a képleteket, amelyekkel a kúp negyedik paramétere meghatározható, ha három adott.

4. Mintaépítési módszerek

• Számolja ki az értékeket egy számológépen, és készítsen mintát papírra (vagy közvetlenül fémre) iránytű, vonalzó és szögmérő segítségével.
• Írja be a képleteket és a forrásadatokat egy táblázatba (például Microsoft Excel). A kapott eredmény segítségével hozzon létre egy mintát grafikus szerkesztővel (például CorelDRAW).
• használd a programomat, ami a képernyőre rajzol és kiír egy mintát egy kúphoz a megadott paraméterekkel. Ez a minta vektorfájlként menthető és importálható a CorelDRAW-ba.

5. Nem párhuzamos alapok

Ami a csonka kúpokat illeti, a Cones program jelenleg olyan kúpokhoz hoz létre mintákat, amelyeknek csak párhuzamos alapjai vannak.
Azok számára, akik nem párhuzamos alapokkal rendelkező csonkakúp mintázatának elkészítési módját keresik, itt található egy link, amelyet az oldal egyik látogatója adott:
Csonka kúp, nem párhuzamos alapokkal.

Minden szegmensre merőlegeseket veszünk, és azokon ábrázoljuk a henger alkotóelemeinek tényleges értékeit a frontális vetületből. Az így kapott pontokat egymással összekötve görbét kapunk.

A teljes kifejlődés érdekében az oldalfelület kidolgozottságához egy kört (alapot) és a metszet természetes méretét (ellipszis) adjuk hozzá, ennek fő- és melléktengelyei mentén, illetve pontok szerint megszerkesztve.

5.3.4. Csonkakúp fejlesztésének megalkotása

IN A kúp kifejlődése különösen egy kör alakú szektorból és egy körből (a kúp alapjából) álló lapos figura.

IN Általában a felület kibontása egy kúpos felületbe írt poliéder piramis kibontásának elve szerint történik (azaz a háromszögek módszerével). Minél több lapja van egy gúlának egy kúpos felületbe, annál kisebb lesz a különbség a kúpos felület tényleges és hozzávetőleges fejlettsége között.

A kúppásztázás felépítése azzal kezdődik, hogy S 0 pontból egy körívet rajzolunk, amelynek sugara megegyezik a kúpgeneratrix hosszával. Ezen az íven a kúp aljának kerületének 12 részét lefektetjük, és a kapott pontokat a tetejéhez kötjük. ábrán látható egy példa egy csonka kúp teljes kibontakozási képére. 5.7.

6. előadás (eleje)

FELÜLETEK KÖLCSÖNÖS METSZÉSE. FELÜLETEK KÖLCSÖNÖS METSZÉSÉNEK KIALAKÍTÁSÁNAK MÓDSZEREI.

KIEGÉSZÍTŐ VÁGÓSÍK MÓDSZERE ÉS KÜLÖNLEGES ESETEK

6.1. Felületek kölcsönös metszéspontja

A testek felületei egymást metszve különböző törött vagy görbe vonalakat alkotnak, amelyeket kölcsönös metszésvonalnak nevezünk.

Két felület metszésvonalának megszerkesztéséhez meg kell találni azokat a pontokat, amelyek egyidejűleg két adott felülethez tartoznak.

Amikor az egyik felület teljesen áthatol a másikon, 2 külön metszésvonalat kapunk, amelyeket elágazásoknak nevezünk. Egy betét esetén, amikor az egyik felület részben belép a másikba, akkor a felületek egy metszésvonala lesz.

6.2. Fazettált felületek metszéspontja

Két poliéder metszésvonala zárt térbeli szaggatott vonal. Linkjei az egyik poliéder lapjainak a másik lapjaival való metszésvonalai, a csúcsok pedig az egyik poliéder éleinek és egy másik poliéder lapjainak metszéspontjai. Így ahhoz, hogy két poliéder metszésvonalát meg lehessen szerkeszteni, meg kell oldani a két sík metszéspontját (az élmódszer), vagy az egyenes metszéspontját egy síkkal (az élmódszer). A gyakorlatban általában mindkét módszert kombinálva alkalmazzák.

Piramis és prizma metszéspontja. Tekintsük a kereszteződés esetét

egy prizmás piramisé, amelynek oldalfelülete π3-ra vetül a körvonalalapokra (négyszög). A kivitelezést profilvetítéssel kezdjük. A pontok megrajzolásakor az élmódszert fogjuk alkalmazni, vagyis amikor egy függőleges gúla élei metszik a vízszintes prizma éleit (6.1. ábra).

A problémakörülmények elemzése azt mutatja, hogy a piramis és a prizma metszésvonala 2 ágra szakad, az egyik ág egy lapos sokszög, 1, 2, 3, 4 pontok (a piramis éleinek metszéspontjai a prizma lapjával). Vízszintes, frontális és profilvetületeik a megfelelő élek vetületein helyezkednek el, és kommunikációs vonalak határozzák meg. Hasonlóan megtalálhatók a másik ághoz tartozó 5., 6., 7. és 8. pont is. A 9, 10, 11, 12 pontokat abból a feltételből határozzuk meg, hogy a prizma felső és alsó felülete párhuzamos egymással, azaz 1 "2" párhuzamos 5" 10"-el stb.

Használhatja a segédvágósíkok módszerét. A segédsík szaggatott vonalak mentén metszi mindkét felületet. Ezeknek az egyeneseknek a kölcsönös metszéspontja adja a kívánt metszésvonalhoz tartozó pontokat. Segédsíkként α""" és β"""-t választjuk. Az α""" sík használata

megtaláljuk az 1 ", 2", 3", 4" pontok és a β"" sík vetületeit - az 5", 6", 9", 10", 11", 12" pontokat meghatározzuk mint az előző módszernél .

6.3. Fazettált felületek metszéspontja

Vel forradalom felületei

A legtöbb műszaki alkatrész és tárgy különféle geometriai testek kombinációjából áll. Egymást metszve,

Ezeknek a testeknek a felületei különböző egyenes vagy görbe vonalakat alkotnak, amelyeket kölcsönös metszésvonalaknak nevezünk.

Két felület metszésvonalának megszerkesztéséhez meg kell találni azokat a pontokat, amelyek egyidejűleg két felülethez tartoznak.

Amikor egy poliéder metszi egy forgásfelületet, egy térbeli görbe metszésvonal jön létre.

Ha teljes metszéspont (penetráció) következik be, akkor két zárt görbe vonal, ha pedig nem teljes metszéspont, akkor egy zárt térbeli metszésvonal jön létre.

A poliéder és a forgásfelület kölcsönös metszésvonalának megszerkesztéséhez a segédvágósíkok módszerét alkalmazzuk. A segédsík mindkét felületet görbe és szaggatott vonal mentén metszi. Ezeknek az egyeneseknek a kölcsönös metszéspontja adja a kívánt metszésvonalhoz tartozó pontokat.

Legyen szükség egy henger és egy háromszög prizma felületeinek metszésvonalának vetületeinek megszerkesztésére. ábrából látható. 6.2, a prizma mindhárom lapja részt vesz a metszéspontban. Ezek közül kettő bizonyos szögben van a henger forgástengelyéhez képest, ezért ellipszisben metszi a henger felületét, az egyik oldal merőleges a henger tengelyére, azaz körben metszi azt.

Megoldási terv:

1) megtaláljuk a bordák és a henger felületének metszéspontjait;

2) megtaláljuk a lapok és a henger felületének metszésvonalait. ábrából látható. 6.2, a henger oldalfelülete vízszintes

magas vetületű, azaz a vetületek vízszintes síkjára merőleges. A prizma oldalfelülete profilvetítésű, azaz mindegyik lapja merőleges a profilvetítési síkra. Ebből következően a testek metszésvonalának vízszintes vetülete egybeesik a henger vízszintes vetületével, a profilé pedig a prizma profilvetületével. Így a rajzban csak a metszésvonal frontális vetületét kell megszerkeszteni.

A konstrukciót a jellemző pontok, azaz további konstrukció nélkül megtalálható pontok kirajzolásával kezdjük. Ezek az 1., 2. és 3. pontok. A henger elülső vetületei körvonalgenerátorainak metszéspontjában helyezkednek el a prizma megfelelő élének frontális vetületével kommunikációs vonalak segítségével.

Így a prizmabordák és a henger felületének metszéspontjait megszerkesztjük.

A henger és a prizma lapjai közötti metszésvonalak közbülső pontjainak (összesen négy ilyen pontja van, de ezek közül egyet jelöljünk A) megtalálásához mindkét felületet valamilyen vetületi síkkal vagy síkkal metsszük. Vegyük például az α vízszintes síkot. Az α sík két egyenes mentén metszi a prizma lapjait, a henger pedig egy kör mentén. Ezek a vonalak metszik egymást az A pontban (egy pont meg van jelölve, a többi nem), amely egyszerre tartozik a henger felületéhez (a hengerhez tartozó körön fekszik) és a prizma felületéhez (egyenes vonalakon fekszik). amelyek a prizma lapjaihoz tartoznak).

Először a poliéder profilvetületén találtuk meg azokat az egyeneseket, amelyek mentén a prizma lapjai metszik az α síkot (ott vetítettük az A pontra és a szimmetrikus pontra), majd összekötő vonalak segítségével megszerkesztettük őket. a prizma vízszintes vetületén A pontot és szimmetrikus pontokat kaptunk a metszésvonalak (a prizmával α sík) vízszintes vetületének a körrel és kommunikációs vonalak segítségével a frontális vetületen.

Egy csonka henger és egy kúp fejlesztései.

Egy csonka henger fejlesztéséhez rajzoljon egy csonka hengert két vetületben (elölnézetben és felülnézetben), majd ossza fel a kört egyenlő számú részre, például 12-re (243. ábra). Az első vetítés jobb oldalára húzzunk egy AB egyenest, amely megegyezik a kör kiegyenesített hosszával, és osszuk fel ugyanannyi egyenlő részre, azaz 12-re. Az osztási pontokból 1, 2, 3 stb. az AB egyenesen rekonstruáljunk merőlegeseket, és a körön fekvő 1., 2., 3. stb. pontokból húzzunk a tengelyirányú egyenessel párhuzamos egyeneseket, amíg nem metszik egymást a ferde metszetvonallal.

Rizs. 243. Csonka henger fejlesztésének megalkotása

Most mindegyik merőlegesen egy iránytűvel az AB egyenestől felfelé szakaszokat fektetünk le, amelyek magassága megegyezik az elölnézeti vetületen a megfelelő pontok számával jelzett szakaszokkal. Az egyértelműség kedvéért két ilyen szegmenst göndör zárójelekkel jelölünk. A merőlegeseken a kapott pontokat sima görbe köti össze.

A kúp oldalfelületének kifejlődésének felépítését az ábra mutatja. 244, a. Megrajzoljuk a kúp teljes méretű oldalvetületét a megadott átmérő- és magasságméreteknek megfelelően. Iránytűvel mérjük meg a kúp R betűvel jelölt generatrixának hosszát. Beállított sugarú körzővel rajzoljunk ívet az O középpont köré, amely egy tetszőlegesen megrajzolt OA egyenes szélső pontja.

Az A pontból egy ív mentén ábrázoljuk (iránytűvel kis szakaszokban) a kibontott kör hosszát, egyenlő πD-vel. A kapott B szélső pont az ív O középpontjához kapcsolódik. Az AOB ábra a kúp oldalfelületének továbbfejlesztése lesz.

Egy csonka kúp oldalfelületének kifejlődése az ábrán látható módon van megszerkesztve. 244, b.