Почему тема называется приближенное решение уравнений. На каждый день

Тест по дисциплине

Коэффициент уравнения регрессии показывает

Коэффициент эластичности показывает

На сколько ед. изменится фактор при изменении результата на 1 ед.

На сколько ед. изменится результат при изменении фактора на 1 ед.

Во сколько раз изменится результат при изменении фактора на 1 ед.

На сколько % изменится результат при изменении фактора на 1 %.

На сколько % изменится фактор при изменении результата на 1 %.

Стандартизованный коэффициент уравнения  к s применяется

При проверке статистической значимостиk -го фактора.

При проверке экономической значимостиk -го фактора.

При отборе факторов в модель.

При проверке на гомоскедастичность.

При проверкеважности фактора по сравнению с остальными факторами.

Какое из уравнений регрессии нельзя свести к линейному виду?

Какое из уравнений регрессии является степенным?

Не является предпосылкой классической модели предположение

Матрица факторов - невырожденная.

Факторы экзогенны.

Длина исходного ряда данных больше, чем количество факторов.

Матрица факторов содержит все важные факторы, влияющие на результат.

Факторы нестохастические.

Найдите предположение, являющееся предпосылкой классической модели.

Результирующий показатель является количественным.

Результирующий показатель измеряется в порядковой шкале.

Результирующий показатель измеряется в номинальной шкале.

Результирующий показатель измеряется в дихотомической шкале.

Результирующий показатель может быть и количественным и качественным.

Найдите предположение, не являющееся предпосылкой классической модели.

Возмущающая переменная имеет нулевое математическое ожидание.

Возмущающая переменная имеет постоянную дисперсию.

Отсутствует автокорреляция возмущающих переменных.

Отсутствует поперечная корреляция возмущающих переменных.

Возмущающая переменная обладает нормальным распределением.

Оценка  * * значения параметра модели  является несмещенной, если

 * обладает наименьшей дисперсией по сравнению с другими оценками.

 * от значения  cтремится к 0.

Математическое ожидание  * равно  .

Оценка  * значения параметра модели  является эффективной, если

Математическое ожидание  * равно  .

 *

При Т, вероятность отклонения  * от значения  cтремится к 0.

Оценка  * значения параметра модели  является состоятельной, если

 * обладает наименьшей дисперсией по сравнению с другими оценками.

Математическое ожидание  * равно  .

При Т, вероятность отклонения  * от значения  стремится к 0.

Критерий Стьюдента предназначен для

Определения экономической значимости каждого коэффициента уравнения.

Определения статистической значимости каждого коэффициента уравнения.

Проверки на гомоскедастичность.

Если коэффициент уравнения регрессии ( k ) статистически значим, то

 k > 1.

| k | > 1.

 k  0.

 k > 0.

0  k 1.

Табличное значение критерия Стьюдента зависит

Только от уровня доверительной вероятности.

Только от числа факторов в модели.

Только от длины исходного ряда.

Только от уровня доверительной вероятности и длины исходного ряда.

И от доверительной вероятности, и от числа факторов,и от длины исходного ряда.

Критерий Дарбина-Уотсона применяется для

Проверки модели на автокорреляцию остатков.

Определения экономической значимости модели в целом.

Определения статистической значимости модели в целом.

Сравнения двух альтернативных вариантов модели.

Отбора факторов в модель.

Коэффициенты множественной детерминации (D) и корреляции (R) связаны

Обобщенный метод наименьших квадратов применяется

Только в случае автокорреляции ошибок

Только в случае гетероскедастичности.

При наличии мультиколлинеарности (корреляции факторов).

Только в случае гомоскедастичности.

И в случае автокорреляции ошибок и в случае гетероскедастичности.

Главные компоненты представляют собой

Статистически значимые факторы.

Экономически значимые факторы.

Линейные комбинации факторов.

Центрированные факторы.

Пронормированные факторы.

Число главных компонент

Больше числа исходных факторов, но меньше длины базисного ряда данных.

Меньше числа исходных факторов.

Равно числу исходных факторов.

Равно длине базисного ряда данных.

Больше длины базисного ряда данных.

Первая главная компонента

Содержит максимальную долю изменчивости всей матрицы факторов.

Отражает степень влияния первого фактора на результат.

Отражает степень влияния результата на первый фактор.

Отражает долю изменчивости результата, обусловленную первым фактором.

Отражает тесноту связи между результатом и первым фактором.

В правой части структурной формы взаимозависимой системы могут стоять

Только эндогенные лаговые переменные.

В правой части прогнозной формы взаимозависимой системы могут стоять

Только экзогенные лаговые переменные.

Только экзогенные переменные (как лаговые, так и нелаговые).

Только эндогенные переменные (как лаговые, так и нелаговые).

Эндогенные лаговые и экзогенные переменные (и лаговые и нелаговые).

Любые экзогенные и эндогенные переменные.

Под переменной структурой понимается

Изменение состава факторов в модели.

Изменение статистической значимости факторов.

Присутствие в модели фактора времени в явном виде.

Изменение экономической значимости факторов.

Изменение степени влияния факторов на результирующий показатель.

Проверка гипотезы о переменной структуре модели осуществляется с помощью

Критерия Дарбина-Уотсона.

Критерия Стьюдента.

Критерия Пирсона.

Критерия Фишера.

Коэффициента множественной детерминации.

Найдите неверно указанный элемент интервального прогноза.

Объясненная уравнением регрессии дисперсия результирующего показателя.

Точечный прогноз результирующего показателя.

Среднеквадратическое отклонение прогнозного значения.

Квантиль распределения Стьюдента.

Неверно указанного элемента нет.

Вопросы к экзамену

Основные этапы построения эконометрических моделей.

Особенности обоснования формы эконометрической модели.

Методы отбора факторов.

Характеристики и критерии качества эконометрических моделей.

Качество оценки параметров эконометрических моделей.

Выборочная ковариация. Основные правила ее расчета. Теоретическая ковариация.

Выборочная дисперсия. Правила ее расчета.

Коэффициент корреляции. Коэффициент частной корреляции

Модель парной линейной регрессии.

Регрессия по методу наименьших квадратов.

1. Интерпретация уравнения регрессии. Качество оценки - коэффициент R 2 .

   Случайные составляющие коэффициентов регрессии.

   Предположения о случайном члене.

   Несмещенность коэффициентов регрессии.

   Теорема Гаусса-Маркова.

   Проверка гипотез, относящаяся к коэффициентам регрессии.

   Доверительные интервалы.

   Односторонние t-тесты.

   F-тест на качество оценивания.

   Взаимосвязи между критериями в парном регрессионном анализе

   Нелинейная регрессия. Выбор функции: тесты Бокса- Кокса.

   Вывод и интерпретация коэффициентов множественной регрессии.

   Множественная регрессия в нелинейных моделях.

   Свойства коэффициентов множественной регрессии.

   Мультиколлинеарность.

   Качество оценки - коэффициент R 2 .

   Спецификация переменных в уравнениях регрессии.

   Влияние отсутствия в уравнении переменной, которая должна быть включена.

   Влияние включения в модель переменной, которая не должна быть включена.

   Замещающие переменные.

   Проверка линейного ограничения.

   Гетероскедатичность и автокоррелированность случайного члена.

   Условия Гаусса-Маркова.

   Гетероскедатичность и ее последствия. Обнаружение гетероскедатичности. Что можно сделать в этом случае.

   Автокорреляция и связанные с ней факторы. Обнаружение автокорреляции первого порядка: критерий Дарбина-Уотсона. Что можно сделать в отношении автокорреляции. Автокорреляция как следствие неправильной спецификации модели.

   Обобщенный метод наименьших квадратов.

   Стохастические объясняющие переменные и ошибки измерения. Стохастические объясняющие переменные. Последствия ошибок измерения.

   Инструментальные переменные. Обобщенный метод наименьших квадратов

   Иллюстрация использования фиктивной переменной. Общий случай.

   Множественные совокупности фиктивных переменных.

   Фиктивные переменные для коэффициента наклона.

   Тест Чоу.

   Модели бинарного выбора.

   Модели множественного выбора.

   Модели счетных данных.

   Модели усеченных выборок.

   Модели цензурированных выборок.

   Модели случайно-усеченных выборок.

   Распределение Койка. Частичная корректировка.

   Адаптивные ожидания. Гипотеза Фридмена о постоянном доходе.

   Полиномиально распределенные лаги Алмон.

   Рациональные ожидания.

   Предсказание.

   Тесты на устойчивость.

   Модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация.

   Стационарные временные ряды.

   Параметрические тесты стационарности.

   Непараметрические тесты стационарности.

   Преобразование нестационарных временных рядов в стационарные.

   Объекты исследования финансовой эконометрики.

   Особенности эконометрического прогнозирования.

   Прогнозирование на основе моделей временных рядов.

   Лаговые переменные.

   Автокорреляция с лаговой зависимой переменной.

   Методы оценки коэффициентов моделей с лаговыми независимыми переменными.

   Оценивание систем одновременных уравнений.

   Смещение при оценке одновременных уравнений.

   Структурная и приведенная формы уравнений.

   Косвенный метод наименьших квадратов.

   Инструментальные переменные.

   Неидентифицируемость.

   Сверхидентифицируемость.

   Двухшаговый метод наименьших квадратов.

   Условие размерности для идентификации.

   Идентификация относительно стабильных зависимостей.

   Трехшаговый метод наименьших квадратов.

   Модели скользящего среднего.

   Модели временных рядов с сезонными колебаниями.

   Переход от нестационарных моделей к стационарным.

   Модели временных рядов финансовых показателей с нелинейными структурами.

8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

Литература

основная

Баранова Е. С. и др. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты:Учебное пособие.-СПб.:Питер,2009.- 320 с.

Введение в математическое моделирование [текст]:Учеб. пособие/ В.Н. Ашихмин [и др.].-М.:Логос,2005.-440 с.-(Новая университетская библиотека)

Высшая математика для экономистов:Учебник для вузов/Под ред. Кремера Н.Ш.-М.:ЮНИТИ,2004.-471 с.

Замков О. О. и др. Математические методы в экономике: Учебник/ Под ред.А.В.Сидоровича.-4-е изд./стереотип.-М.:ДИС, 2004.-368 с.-(Учебники МГУ им. М.В. Ломоносова)

Кастрица О. А.Высшая математика для экономистов [текст]: Учебник/О.А. Кастрица.-2-е изд.-Минск:Новое знание,2006.-491с.-(Экономическое образование)

Красс М.С., Чупрынов Б.П.Математические методы и модели для магистрантов экономики [текст]:Учеб. пособие/М.С. Красс, Б. П. Чупрынов.-2-е изд.-СПб.:Питер,2010.-496 с.-(Учебное пособие)

Эконометрика [текст]:учебник/Под ред. И.И. Елисеевой.-М.: Проспект,2009.-288 с.

С.Д.Захаров. Обработка экспериментальных данных. Лабораторные работы. Student на Nyx\economic\3 курс\ Эконометрика

дополнительная

Я. Р. Магнус, П.К.Катышев, А.А.Пересецкий. Эконометрика. М., ИНФРА-М., 2006.

Г.Ф. Лапин. Биометрия. М., ВШ, 1990.

В. И. Орлов Эконометрика. М., 2002.

И. Гайдышев. Анализ и обработка данных. Спб, Питер, 2001.

Н.П.Тихомиров, Е. Ю. Дорохина. Эконометрика, М. ,Экзамен, 2003.

9. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудиторные занятия и СРС по дисциплине «Сситема поддержки принятии решений» проходят в аудиториях, в том числе, оборудованных мультимедийными средствами обучения, в компьютерных классах, обеспечивающих доступ к сетям типа Интернет.

Оксана Викторовна Неволина

ЭКОНОМЕТРИКА

Рабочая учебная программа

Направление подготовки

«Экономика»

Профиль подготовки

Налоги и налогообложение, Мировая экономика,

Экономика предприятий и организаций,

Направление подготовки

«Зарубежное регионоведение»

Профиль подготовки

Евразийские исследования: Россия и сопредельные регионы

Ответственный за выпуск к.ф-м.н., доцент Е.Н. Фокина

Формат 60х84/16. Гарнитура Times New Roman.

Тираж 20. Объём 1,39 у.-п.л.

«ТЮМЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА»

625051, г. Тюмень, ул. 30 лет Победы, 102

Отпечатано в лаборатории множительной техники «ТГАМЭУП»

В долях среднего квадратического отклонения факторного и результативного признаков;

6. Если параметр а в уравнении регрессии больше нуля, то:

7. Зависимость предложения от цен характеризуется уравнением вида у = 136·х 1,4 . Что это означает?

С увеличением цен на 1 %, предложение увеличивается в среднем на 1,4%;

8. В степенной функции параметр b является:

Коэффициентом эластичности;

9. Остаточное среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

10. Уравнение регрессии, построенное по 15 наблюдениям, имеет вид: у = 4 + 3х +?6значение t - критерия равно 3,0 Коэффициент детерминации для этого уравнения равен:

На стадии формирования модели, в частности в процедуре отсева факторов, используют

Частные коэффициенты корреляции.

12. «Структурными переменными» называются :

Фиктивные переменные.

13. Дана матрица парных коэффициентов корреляции:

У xl х2 х3

У 1,0 - - -

Xl 0,7 1,0 - -

Х2 -0,5 0,4 1,0 -

Х3 0,4 0,8 -0,1 1,0

Какие факторы являются коллинеарными?

14. Автокорреляционная функция временного ряда - это:

последовательность коэффициентов автокорреляции уровней временного ряда;

15. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели - это:

Сумма трендовой и сезонной компонент.

16. Одним из методов тестирования гипотезы о коинтеграции временных рядов является:

Критерий Энгеля-Грангера;

17. Коинтеграция временных рядов - это:

Причинно - следственная зависимость в уровнях двух (или более) временных рядов;

18. Коэффициенты при экзогенных переменных в системе уравнений обозначаются:

19. Уравнение сверхидентифицируемо, если:

20.Модель считается неидентифицируемой, если:

Хотя бы одно уравнение модели неидентифицируемо;

ВАРИАНТ 13

1. Первым этапом эконометрического исследования является:

Постановка проблемы.

При какой зависимости разным значениям одной переменной соответствуют разные распределения значений другой переменной?

Статистической;

3. Если коэффициент регрессии больше нуля, то:

Коэффициент корреляции больше нуля.

4. Классический подход к оцениванию коэффициентов регрессии основан на:

Методе наименьших квадратов;

F-критерий Фишера характеризует

Соотношение факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы.

6. Стандартизованным коэффициентом регрессии является:

Множественный коэффициент корреляции;

7. Для оценки значимости коэффициентов нелинейной регрессии рассчитывают:

F - критерий Фишера;

8. Методом наименьших квадратов определяются параметры:

Линейной регрессии;

9. Случайная ошибка коэффициента корреляции определяется по формуле:

M= √(1-r 2)/(n-2)

10. Дано: Dфакт = 120;Docт = 51. Чему будет равно фактическое значение F-критерия Фишера?

11.Частный F-критерий Фишера оценивает:

Статистическую значимость присутствия соответствующего фактора в уравнении множественной регрессии;

12. Несмещенность оценки означает, что :

Математическое ожидание остатков равно нулю.

13. При расчете модели множественной регрессии и корреляции в Ехсеl для вывода матрицы парных коэффициентов корреляции используется:

Инструмент анализа данных Корреляция;

14. Сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам в аддитивной модели должна быть равна:

15. Прогнозное значение уровня временного ряда в мультипликативной модели - это:

Произведение трендовой и сезонной компонент;

16. Ложная корреляция вызвана наличием:

Тенденции.

17. Для определения авто корреляции остатков используют:

Критерий Дарбина- Уотсона;

18. Коэффициенты при эндогенных переменных в системе уравнений обозначаются :

19 . Условие, что ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных. отсутствующих в исследуемом уравнении не меньше числа эндогенных переменных системы на единицу-это:

Дополнительное условие идентификации уравнения в системе уравнений

20. Косвенный метод наименьших квадратов применяется для решения:

Идентифицируемой системы уравнений.

ВАРИАНТ 14

1. Математико-статистическими выражениями, количественно характеризующими экономические явления и процессы и обладающими достаточно высокой степенью надежности, называются:

Эконометрические модели.

2. Задачей регрессионного анализа является:

Определение тесноты связи между признаками;

3. Коэффициент регрессии показывает:

Среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу его измерения.

4. Средняя ошибка аппроксимации - это:

Среднее отклонение расчетных значений результативного признака от фактических;

5. Неправильный выбор математической функции относится к ошибкам:

Спецификации модели;

6. Если параметр а в уравнении регрессии больше нуля, то :

Вариация результата меньше вариации фактора;

7. Линеаризация какой функции происходит путем замены переменных: x=x1, x2=x2

Полинома второй степени;

8. Зависимость спроса от цен характеризуется уравнением вида у = 98 х - 2,1. ЧТО это означает?

С увеличением цен на 1 %, спрос снижается в среднем на 2,1 %;

9. Средняя ошибка прогноза определяется по формуле:

- σост=√(∑(у-ỹ) 2 / (n-m-1))

10. Пусть имеется уравнение парной регрессии: у = 13+6*x, построенное по 20 наблюдениям, при этом r = 0,7. Определить стандартную ошибку для коэффициента корреляции:

11. Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают:

На сколько сигм изменится в среднем результат, если соответствующий фактор изменится на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов;

12. Одной ИЗ пяти предпосылок метода наименьших квадратов является:

Гомоскедастичность;

13. Для расчета множественного коэффициента корреляции в Excel используется :

Инструмент анализа данных Регрессия.

14. Сумма значений сезонной компоненты по всем периодам в мультипликативной модели в цикле должна быть равна:

Четырем.

15. При аналитическом выравнивании временного ряда в качестве независимой переменной выступает:

16. Автокорреляция в остатках - это нарушение предпосылки МНК о:

Случайности остатков, полученных по уравнению регрессии;

МБОУ ООШ №6

Урок информатики

Тема Excel »

класс: IX (общеобразовательный)

учитель: Е.Н.Кулик

Тема урока: «Приближенное решение уравнений с помощью табличного процессора Excel »

Тип урока : урок - закрепление изученного

Вид урока: урок – практикум

Технология : проблемно – исследовательская

Оборудование : компьютерный класс оснащенный современной техникой и программным обеспечением

Цели урока:

Формирование умений и навыков, носящих в современных условиях общенаучный и общеинтеллектуальный характер.

Развитие у школьников теоретического, творческого мышления, а также формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений.

Научить школьников применять современное программное обеспечение в решении нестандартных задач.

Задачи урока:

Воспитательная - развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры.

Учебная - изучить и закрепить основные навыки работы с электронными таблицами.

Развивающая - развитие логического мышления, расширение кругозора.

План урока.

Фронтальный опрос для проверки уровня подготовки учащихся к усвоению нового материала.

Объяснение нового материала и самостоятельная работа учащихся на компьютерах.

Выполнение индивидуальных дифференцированных заданий (работа в группах).

Распечатка отчетов по практикуму и выставление оценок.

Домашнее задание.

Рефлексия.

ХОД УРОКА

I . Краткий инструктаж по технике безопасности в компьютерном классе.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы проводим практическое занятие по электронным таблицам в компьютерном классе. Для обеспечения безопасной работы необходимо выполнять следующие правила:

Нельзя самостоятельно, без разрешения учителя, включать и выключать компьютер;

Нельзя касаться тыльной стороны компьютера и проводов;

Нельзя нажимать клавиши ручкой или карандашом;

Нельзя ходить по классу, вставать со своего места;

В случае неисправности компьютера или при обнаружении запаха гари - подозвать учителя.

Фронтальный опрос.

На прошлом теоретическом занятии мы уже говорили о дополнительных возможностях программы Excel.

Вспомним для чего нужна эта программа? (С помощью ее богатой библиотеки диаграмм можно составить диаграммы и графики разных видов: круговые, столбчатые диаграммы, графики; можно снабжать заголовками и пояснениями, можно задавать цвет и вид штриховки в диаграммах; печатать на бумаге, изменяя размеры и расположение на листе и вставлять диаграммы в нужное место листа)

Как вы понимаете термин «деловая графика»? (Под этим термином обычно понимают графики и диаграммы, наглядно представляющие динамику развития того или иного производства, отрасли и любые другие числовые данные)

При помощи какой команды меню можно построить диаграммы и графики в Excel? (Диаграммы и графики можно построить с помощью кнопки вызова Мастера диаграмм)

Как задать автоматическое вычисление в таблице значений ячеек по определенной формуле? (Чтобы задать автоматическое вычисление в таблице значений по определенной формуле надо ввести знак «=», затем активизировать нужную ячейку и вводить соответствующие знаки арифметических операций)

Можно ли контролировать ввод формулы? (Контролировать ввод формулы можно используя окно ввода формулы)

Каким образом можно занести формулу в несколько ячеек, т.е. скопировать ее? (Чтобы занести формулу в несколько ячеек нужно установить курсор на нижнем правом маркере ячейки и протянуть его до последней ячейки в нужном диапазоне)

Что можно сказать о виде курсора, установленном на правом нижнем маркере ячейки?

III . Изложение нового материала и самостоятельная работа учащихся на компьютерах.

Тема урока«Приближенное решение уравнений с помощью табличного процессора Excel »

Из курса математики давайте вспомним, что значит решить уравнение? (Решить уравнение значит найти его корни или доказать, что корней нет)

Какие способы решения уравнений вам известны? (Существуют два способа решения уравнений: аналитический и графический)

Остановимся на графическом методе нахождения корней. Исходя из этого метода, скажите, пожалуйста, чем являются корни уравнения? (корнями уравнения являются значения точек пересечения графика функции с осью абсцисс).

Если мы решаем систему уравнений, то что будет ее решением? (Решением системы уравнений будут координаты точек пересечения графиков функций).

На прошлом занятии мы узнали, что с помощью программы Excel можно строить практически любые графики.

Воспользуемся этими знаниями для нахождения корней системы уравнений графическим методом.

Что нужно сделать, чтобы решить эту систему уравнений? (Преобразовать данную систему в приведенную)

Получаем: х 2 =2х+9

Для оценки решений воспользуемся диаграммой на которой отобразим графики обеих функций в одой системе координат.

Сначала постоим таблицу.

Первая строка - строка заголовков

При заполнении столбца А: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента х. Ребята, предложите начальное значение х (___).

А почему мы можем взять начальное значение равное ____? (Потому что область определения обеих функций - все действительные числа).

Для автоматического заполнения всего столбца нужно в ячейку А3 занести формулу:

А2+1, где +1 - это шаг изменения аргумента и скопировать ее до ячейки А23.

При заполнении столбца В в ячейку В2 заносим формулу А2*А2, которую тоже копируем до ячейки В23.

При заполнении столбца С в ячейку С2 заносим формулу 2*А2+9 и также копируется до С23.

Выделите полученную таблицу.

На панели Стандартная щелкните на кнопке «Мастер диаграмм», откроется окно «Мастер диаграмм», щелкните на типе «Точечная», затем выберите вид «Точечная диаграмма со значениями соединенными сглаженными линиями» и построим диаграмму оценки решений.

Что мы видим на диаграмме? (На диаграмме видно, что оба графика имеют две точки пересечения)

Что можно сказать об этих точках пересечения?(Координаты точек пересечения и есть решения системы)

По графику приближенно можно определить координаты

Давайте еще раз вспомним, как графически найти решение уравнения?

(Это можно сделать, построив график функции y = x ^3-2 x ^2+4 x -12 и определив координату х точек пересечения с осью ОХ.

Или представить данное уравнение в виде x ^3=2 x ^2-4 x +12 и построив два графика y = x ^3 y =2 x ^2-4 x +12 и определить абсциссы точек пересечения графиков функций и значения абсцисс будут корнями уравнения)

Мы уже рассмотрели построение двух графиков. Давайте найдем решение этого уравнения, определив координату х точек его пересечения с осью ОХ.

Начинаем с заполнения таблицы.

В строку заголовков заносим текст:

Х y=x^3-2x^2+4x-12

Я предлагаю начальное значение аргумента взять равное 0, его заносим в ячейку А2.

В ячейку А3 заносим формулу =А2+0,15 и копируем до ячейки А20.

В ячейку В2 заносим формулу =А2^3-2*А2^2+4*А2-12 и также копируем до В20.

Как определяем решение уравнения? (определяем координату х точек пресечения графика с осью ОХ)

Сколько таких точек? (одна)

Чему равна ее абсцисса (х=2,4)

Выполнение индивидуальных дифференцированных заданий (работа в группах)

Таким образом мы видим, что используя программу Excel, можно графически решить практически любое уравнение, что мы сейчас и сделаем.

Каждая группа получит индивидуальное задание. После выполнения задания группа должна распечатать таблицы и графики своего задания.

В каждой группе есть консультанты, и я при выставлении оценок буду учитывать его мнение. На работу вам отводится 10минут.

2x+y=-3 2y=34-x^2 x^2+y^2=25

2x^2=-22+5x+y y=x^2+11 3y=4x

решений нет (-2;15), (2;15) (3;4), (-3;-4)

(выступление консультантов)

V . Домашнее задание: Проанализировать и проверить задания, оформить отчеты в тетради.

VI .Рефлексия.

Сегодня на уроке мы рассмотрели …

С помощью программы Excel можно строить …

До этого урока я не знал …

Я на уроке злился на себя, потому что …

Я могу похвалить сегодня …. ,за то, что…

Сегодня на уроке я научился…

Мне на протяжении всего урока было …

Отделение корней
Пусть дано уравнение f(x)=0, (1)
где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a≤x≤b.
Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x).
Число ξ называется корнем k-ой кратности, если при x= ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно
f(ξ) = f’(ξ) = … = f k -1 (ξ) = 0
Однократный корень называется простым.

Приближенное нахождение корней уравнения (1) обычно складывается из двух этапов:
1. Отделение корней, то есть установление интервалов [α i ,β i ], в которых содержится один корень уравнения (1).
2. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.

Для отделения корней полезна след. теорема:
Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка , то есть f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x)=0, то есть найдется хотя бы одно число , такое, что f(ξ)=0.
Корень заведомо единственный, если f ‘(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала .
Доказательство: Пусть для определенности f(a)<0, f(b)>0. Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка ξ в интервале (ξ 1 , ξ 2) (a< ξ 1 < ξ< ξ 2 f(ξ 1)<0, f(ξ 2)>0. (2)
В силу непрерывности функции для каждого сколь угодно малого δ>0 всегда найдется число ε>0 такое, что при | ξ 1 - ξ 2 |<ε выполняется |f 1 – f 2 |<δ, где f i =f(ξ i); i=1,2. Из условия (3.2) и условия |f 1 – f 2 |<δ следует, что |f 1 |<δ и |f 2 |<δ. Поскольку f 1 <0, а f 2 >0 и f(x) непрерывна, то следовательно существует предел или f(ξ)=0 и таким образом, первая часть теоремы доказана.
Далее, если f ‘(x) сохраняет знак на то она будет монотонна, то есть для любых x 1 0) либо f(x 1) > f(x 2) (если f ‘(x)<0). В силу условия f(a)f(b)<0, монотонности и непрерывности корень будет единственный. Доказательство закончено.
Рассмотрим графический или табличный способ отделения корней. В заданном интервале задается сетка a=x 1 , то точность нахождения корня будет равна половине интервала . Нужно еще убедится, является ли найденный корень единственным. Для этого достаточно провести процесс половинного деления, деля интервал на две, четыре и т.д. равных частей и определить знаки функции f(x) в точках деления. При делении мы повышаем точность определения корня.

Пример №1 . Определить корни уравнения f(x) = x 3 – 6x +2 = 0
Решение: Составляем приблизительную схему.

x	-∞	-3	-1	0	1	3	∞
f(x)	-	-	+	+	-	+	+

Следовательно, уравнение (3.3) имеет три действительных корня лежащих в интервалах (-3,-1), (0,1) и (1,3).
Для графического решения уравнения (3.3) удобно заменить (3.3) эквивалентным уравнением
f 1 (x) = f 2 (x) или x 3 = 6x-2, то есть
f(x 1) = x 3 ,
f 2 (x) = 6x-2.
То значение x=ξ, при которых f 1 (ξ) = f 2 (ξ) и будет являться корнем уравнения (3.3).

Пример №2 . x*lg(x)=1.
Решение: ,
ξ ≈ 2.5.

Итак, мы выделили интервалы, в которых содержится единственный корень. Рассмотрим теперь методы уточнения корней.
Прежде чем перейти к методам уточнения корней, дадим определение сходимости последовательности чисел (или сходимости итерационного процесса).
Определение 1. Если выполняется неравенство
, (4)
то говорят, что последовательность {x k } линейно сходится к пределу ξ. Здесь α - коэффициент сходимости. Если α → 0, то имеем суперлинейную сходимость.

Определение 2. Если существует такое r>1 (r=2,3,…), что , (5)
то последовательность {x k } имеет сходимость порядка r . Здесь c = const .
Максимум в (4) и (5) берется по всем последовательностям {x k }.

Пример №3 . Отделить корни уравнения f(x), используя графико-аналитический метод. Найти корни уравнения с заданной точностью методами бисекций, Ньютона или простых итераций. Выполнить проверку правильности найденных решений, вычислив невязки.

Действительные корни уравнения f(x)=0 (как алгебраического, так и трансцендентного) можно приближенно найти графически или посредством отделения корней. Для графического решения уравнения f(x)=0 строят график функции у=f(x); абсциссы точек пересечения и точек касания графика с осью абсцисс являются корнями уравнения. Метод отделения корней состоит в том, что находят таких два числа a и b, при которых функция f(x), предполагаемая непрерывной, имеет различные знаки - в этом случае между а и b заключен, по крайней мере, один корень; если производная f"(x) сохраняет знак в интервале от а до b, значит, f(x) - монотонная функция, то этот корень единственный (рис. 1).

Рисунок 1.

Более совершенными приемами, позволяющими найти корень с любой точностью, являются следующие. Пусть найдены такие два значения аргумента х=а, x=b (а

По способу хорд: значение корня х 1 уравнения f(х) = 0 в интервале [а, b] в первом приближении находится по формуле

Затем выбирается тот из интервалов , , на концах которого значения f(x) имеют различные знаки и находится корень х 2 во втором приближении по той же формуле, но с заменой числа х 1 на х 2 , а числа b или а на x 1 (в зависимости от того, взят ли интервал или [х 1 , b]). Аналогично находятся последующие приближения (рис. 2).

Рисунок 2.

По способу касательных (или способу Ньютона) рассматривают тот из концов интервала [а, b], где f(x) и f""(х) имеют одинаковые знаки (рис. 3).

Рисунок 3.

В зависимости от того, выполняется ли это условие на конце х=а или на конце х=b, значение корня x 1 в первом приближении определяется по одной из формул

Затем рассматривается интервал (если была использована первая из указанных формул) или (если была использована вторая формула) и аналогичным путем находится значение корня x 2 по второму приближению и т. д.

Совместное применение способа хорд и способа касательных заключается в следующем. Устанавливают, на каком конце интервала [а, b] величины f(x) и f"(x) имеют одинаковые знаки. Для этого конца интервала применяют соответственно одну из формул способа касательных, получая значение x 1 . Применяя для одного из интервалов , формулу по способу хорд, получают значение x 2 . Затем таким же образом проводят вычисления для интервала и т. д.

Пример 1: y=f(х)=х 3 +2х-6=0. Путем проб находим 1,4<х< 1,5. Определяем корень по способу хорд: a=1,4; f(a)=-0,456; b=1,5; f(b)=0,375.
Первое приближение:

Повторяем операцию, заменяя значения а, f(a) на x 1 =1,455; f(x 1)=-0,010.

Второе приближение:

Пример 2: x-1,5 cos x=0. Первое приближение находим с помощью табл. 1.35 : если задаться x 1 =0,92, то cos x 1 =0,60582 и 0,92≈1,5?0,61. Уточняем корень по способу касательных: y"=1+1,5 sin x; y""=1,5 cos x. По той же таблице имеем:

Окончательно

К приближенным приемам решения уравнений относится также способ итераций. Он состоит в том, что каким-либо способом уравнение приводится к виду x=φ(x). Найдя приближенно х 1 , подставляют найденное значение в правую часть уравнения и находят уточненные приближенные значения x 2 =φ(x 1), x 3 =φ(x 2) и т.д.; числа х 2 , х 3 , … приближаются к искомому корню (процесс сходится), если?φ?(х)?<1.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства