В прогнозных расчётах по уравнению регрессии определяется то, что уравнение не является реальным , для есть ещё стандартная ошибка . Поэтому интервальная оценка прогнозного значения

Выразим из уравнения

То есть стандартная ошибка зависит и ошибки коэффициента регрессии b,

Из теории выборки известно, что . Используя в качестве оценки остаточную дисперсию на одну степень свободы , получим формулу расчёта ошибки среднего значения переменной y: .

Ошибка коэффициента регрессии: .

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется уравнение как точечный прогноз при , то есть путём подстановки в уравнение регрессии . Однако точечный прогноз явно нереален.

- формула стандартной ошибки предсказываемого значения y при заданных , характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки , достигает min при , и возрастает по мере того, как «удаляется» от в любом направлении. То есть чем больше разность между и x, тем больше ошибка , с которой предсказывается среднее значение y для заданного значения .

Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак - фактор x находится в центре области наблюдений х и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении от .

Если же значение оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при построении ЛР, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости то того, насколько отклоняется от области наблюдаемых значений фактора х. Доверит. интервалы при .

На графике доверительной границы представляет собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии.

Две гиперболы по обе стороны от ЛР определяют 95%-ные доверительные интервалы для среднего значения y при заданном значении x.

Однако фактические значения y варьируют около среднего значения . Индивидуальные значения y могут отклоняться от на величину случайной ошибки , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы . Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения y должна включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку.

Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения y составит:

.

При прогнозировании на основе УР следует помнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального значения y, но и от точности прогноза значений фактора x.

Его величина может задаваться на основе анализа других моделей исходя из конкретной ситуации, а также из анализа динамики данного фактора.

Рассмотренная формула средней ошибки индивидуального значения признака y() может быть использована также для оценки существенности различия предсказываемого значения исходя из регрессионной модели и выдвинутой гипотезы развития событий.

Понятие о множественной регрессии. Классическая линейная модель множественной регрессии (КЛММР). Определение параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов.

Парная регрессия используется при моделировании, если влияние других факторов, воздействующих на объект исследования можно пренебречь.

Например, при построении модели потребления того или иного товара от дохода исследователь предполагает, что в каждой группе дохода одинаково влияние на потребление таких факторов, как цена товара, размер семьи, ее состав. Однако, уверенности в справедливости данного утверждения нет.

Прямой путь решения такой задачи состоит в отборе единиц совокупности с одинаковыми значениями всех других факторов, кроме дохода. Он приводит к планированию эксперимента – метод, который используется в естественно-научных исследованиях. Экономист лишен возможности регулировать другие факторы. Поведение отдельных экономических переменных контролировать нельзя, т.е. не удается обеспечить равенство прочих условий для оценки влияния одного исследуемого фактора.

Как поступить в этом случае? Надо выявить влияние других факторов, введя их в модель, т.е. построить уравнение множественной регрессии.

такого рода уравнения используется при изучении потребления.

Коэффициенты b j – частные производные у по факторами х i

при условии, что все остальные х i = const

Рассмотрим современную потребительскую функцию (впервые 30е годы предложил Кейнс Дж.М.) как модель вида С = f(y,P,M,Z)

c- потребление. у – доход

P – цена, индекс стоимости.

M – наличные деньги

Z – ликвидные активы

При этом

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функций издержек производства, в макроэкономических вопросах и других вопросах эконометрики.

В настоящее время множественная регрессия – один из наиболее распространенных методов в эконометрике.

Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого их них в отдельности, а также совокупное воздействие на моделируемый показатель.

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Она включает в себя 2 круга вопросов:

1. отбор факторов

2. выбор уравнения регрессии.

Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Требования к факторам, включаемым во множественную регрессию

1. они должны быть количественно измеримы, если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов; в модели стоимости объектов недвижимости: районы должны быть проранжированы).

2. факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, когда R у x 1

Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются интерпретируемыми.

В уравнение предполагается, что факторы х 1 и х 2 независимы друг от друга, r х1х2 = 0, тогда параметр b1 измеряет силу влияния фактора х 1 на результат у при неизменном значении фактора х 2 . Если r х1х2 =1, то с изменением фактора х 1 фактор х 2 не может оставаться неизменным. Отсюда b 1 и b 2 нельзя интерпретировать как показатели раздельного влияния х 1 и х 2 и на у.

Пример, рассмотрим регрессию себестоимости единицы продукции у (руб.) от заработной платы работника х (руб.) и производительности труда z (ед. в час).

у = 22600 - 5x - 10z + e

коэффициент b 2 = -10, показывает, что с ростом производительности труда на 1 ед. себестоимость единицы продукции снижается на 10 руб. при постоянном уровне оплаты.

Вместе с тем параметр при х нельзя интерпретировать как снижение себестоимости единицы продукции за счет роста заработной платы. Отрицательное значение коэффициента регрессии при переменной х обусловлено высокой корреляцией между х и z (r х z = 0,95). Поэтому роста заработной платы при неизменности производительности труда (не учитывая инфляции) быть не может.

Включенные во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строиться модель с набором р факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации R 2 , которая фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии р факторов. Влияние других неучтенных в модели факторов оценивается как 1-R 2 c соответствующей остаточной дисперсией S 2 .

При дополнительном включении в регрессию р+1 фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшается.

R 2 p +1 >= R 2 p и S 2 p +1 <= S 2 p

Если же этого не происходит и данные показатели практически мало отличаются друг от друга, то включенный в анализ фактор x р+1 не улучшает модель и практически является лишним фактором.

Если для регрессии, включающей 5 факторов R 2 = 0,857, и включенный 6 дало R 2 = 0,858, то нецелесообразно включать в модель этот фактор.

Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической не значимости параметров регрессии по критерию t-Стьюдента.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости.

Отбор факторов производиться на основе теоретико-экономического анализа. Однако, он часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов осуществляется в две стадии:

на первой – подбирают факторы, исходя из сущности проблемы.

на второй – на основе матрицы показателей корреляции определяют t-статистики для параметров регрессии.

Коэффициенты интеркоррелиции (т.е. корреляция между объясняющими переменными) позволяют исключить из моделей дублирующие факторы. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если r х i х j >=0.7.

Поскольку одним из условий построения уравнения множественной регрессии является независимость действия факторов, т.е. Rх i x j = 0, коллинеарность факторов нарушает это условие. Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга.

Рассмотрим матрицу парных коэффициентов корреляции при изучении зависимости у = f(x, z, v)

Очевидно, факторы x и z дублируют друг друга. В анализ целесообразно включит фактор z, а не х, так как корреляция z с у слабее чем корреляция фактора х с у (r у z < r ух), но зато слабее межфакторная корреляция (r zv < r х v)

Поэтому в данном случае в уравнение множественной регрессии включает факторы z и v

По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Но наиболее трудности возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга. Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой, и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарности факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью МНК.

Если рассмотренная регрессия у = a + bx + cx + dv + e, то для расчета параметров, применяется МНК

S y = S факт +S e

общая сумма = факторная + остаточная

Одной из центральных задач эконометрического моделирования является предсказание (прогнозирование) значений зависимой переменной при определенных значениях объясняющих переменных при определенных значениях объясняющих переменных. Здесь возможен двоякий подход: либо предсказать условное математическое ожидание зависимой переменной (предсказание среднего значения ), либо прогнозировать некоторое конкретное значение зависимой переменной (предсказание конкретного значения ).

Замечание. Некоторые авторы различают такие понятия, как прогнозирование и предсказание. Если значение объясняющей переменной X известно точно, то оценивание зависимой переменной Y называется предсказанием . Если же значение объясняющей переменной X неизвестно точно, то говорят, что делается прогноз значения Y . Такая ситуация характерна для временных рядов. В данном случае мы не будем различать предсказание и прогноз.

Различают точечное и интервальное прогнозирование. В первом случае оценка – некоторое число, во втором – интервал, в котором находится истинное значение зависимой переменной с заданным уровнем значимости.

а) Предсказание среднего значения . Пусть построено уравнение парной регрессии , на основе которого необходимо предсказать условное математическое ожидание . В данном случае значение является точечной оценкой . Тогда естественно возникает вопрос, как сильно может отклониться модельное значение , рассчитанное по эмпирическому уравнению, от соответствующего условного математического ожидания. Ответ на этот вопрос даётся на основе интервальных оценок, построенных с заданным уровнем значимости a при любом конкретном значении x p объясняющей переменной.

Запишем эмпирическое уравнение регрессии в виде

Здесь выделены две независимые составляющие: средняя и приращение . Отсюда вытекает, что дисперсия будет равна

Из теории выборки известно, что

Используя в качестве оценки s 2 остаточную дисперсию S 2 , получим

Дисперсия коэффициента регрессии, как уже было показано

Подставляя найденные дисперсии в (5.41), получим

. (5.56)

Таким образом, формула расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии среднего значения Y имеет вид

. (5.57)

Величина стандартной ошибки , как видно из формулы, достигает минимума при , и возрастает по мере удаления от в любом направлении. Иными словами, больше разность между и , тем больше ошибка с которой предсказывается среднее значение y для заданного значения x p . Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если значения x p находятся в центре области наблюдений X и нельзя ожидать хороших результатов прогноза по мере удаления от .

Случайная величина

(5.58)

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы n=n –2 (в рамках нормальной классической модели ). Следовательно, по таблице критических точек распределения Стьюдента по требуемому уровню значимости a и числу степеней свободы n=n –2 можно определить критическую точку , удовлетворяющую условию

.

С учетом (5.46) имеем:

.

Отсюда, после некоторых алгебраических преобразований, получим, что доверительный интервал для имеет вид:

, (5.59)

где предельная ошибка D p имеет вид

. (5.60)

Из формул (5.57) и (5.60) видно, что величина (длина) доверительного интервала зависит от значения объясняющей переменной x p : при она минимальна, а по мере удаления x p от величина доверительного интервала увеличивается (рис. 5.4). Таким образом, прогноз значений зависимой переменной Y по уравнению регрессии оправдан, если значение x p объясняющей переменной X не выходит за диапазон ее значений по выборке (причем более точный, чем ближе x p к ). Другими словами, экстраполяция кривой регрессии, т.е. её использование вне пределов обследованного диапазона значений объясняющей переменной (даже если она оправдана для рассматриваемой переменной исходя из смысла решаемой задачи) может привести к значительным погрешностям .

б) Предсказание индивидуальных значений зависимой переменной . На практике иногда более важно знать дисперсию Y , чем ее средние значения или доверительные интервалы для условных математических ожиданий. Это связано с тем, что фактические значения Y варьируют около среднего значения . Индивидуальные значения Y могут отклоняться от на величину случайной ошибки e, дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы S 2 . Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения Y должны включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку S . Это позволяет определять допустимые границы для конкретного значения Y .

Пусть нас интересует некоторое возможное значение y 0 переменной Y при определенном значении x p объясняющей переменной X . Предсказанное по уравнению регрессии значение Y при X =x p составляет y p . Если рассматривать значение y 0 как случайную величину Y 0 , а y p – как случайную величину Y p , то можно отметить, что

,

.

Случайные величины Y 0 и Y p являются независимыми, а следовательно, случайная величина U = Y 0 –Y p имеет нормальное распределение с

И . (5.61)

Используя в качестве s 2 остаточную дисперсию S 2 , получим формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии индивидуального значения Y :

. (5.63)

Случайная величина

(5.64)

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы k =n –2. На основании этого можно построить доверительный интервал для индивидуальных значений Y p :

, (5.65)

где предельная ошибка D u имеет вид

. (5.66)

Заметим, что данный интервал шире доверительного интервала для условного математического ожидания (см. рис. 5.4).

Пример 5.5. По данным примеров 5.1-5.3 рассчитать 95%-ый доверительный интервал для условного математического ожидания и индивидуального значения при x p =160.

Решение. В примере 5.1 было найдено . Воспользовавшись формулой (5.48), найдем предельную ошибку для условного математического ожидания

Тогда доверительный интервал для среднего значения на уровне значимости a=0,05 будет иметь вид

Другими словами, среднее потребление при доходе 160 с вероятностью 0,95 будет находиться в интервале (149,8; 156,6).

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объёмов потребления при уровне дохода x p =160, т.е. доверительный интервал для индивидуального значения . Найдем предельную ошибку для индивидуального значения

Тогда интервал, в котором будут находиться, по крайней мере, 95% индивидуальных объёмов потребления при доходе x p =160, имеет вид

Нетрудно заметить, что он включает в себя доверительный интервал для условного среднего потребления. â

ПРИМЕРЫ

Пример 5.65. По территориям региона приводятся данные за 199X г. (таб. 1.1).

2. Построить линейное уравнение парной регрессии y на x и оценить статистическую значимость параметров регрессии. Сделать рисунок.

3. Оценить качество уравнения регрессии при помощи коэффициента детерминации. Проверить качество уравнения регрессии при помощи F -критерия Фишера.

4. Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x , составляющем 107% от среднего уровня. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал для уровня значимости a=0,05. Сделать выводы.

Решение

1. Для определения степени тесноты связи обычно используют коэффициент корреляции :

где , – выборочные дисперсии переменных x и y . Для расчета коэффициента корреляции строим расчетную таблицу (табл. 5.4):

Таблица 5.4

	x	y	xy	x 2	y 2			e 2
						148,77	-15,77	248,70
						152,45	-4,45	19,82
						157,05	-23,05	531,48
						149,69	4,31	18,57
						158,89	3,11	9,64
						174,54	20,46	418,52
						138,65	0,35	0,13
						157,97	0,03	0,00
						144,17	7,83	61,34
						157,05	4,95	24,46
						146,93	12,07	145,70
						182,83	-9,83	96,55
Итого						–		1574,92
Среднее значение	85,58	155,75	13484,00	7492,25	24531,42	–	–	–

По данным таблицы находим:

, , , ,

, , , ,

, .

Таким образом, между заработной платой (y) и среднедушевым прожиточным минимумом (x) существует прямая достаточно сильная корреляционная зависимость .

Для оценки статистической значимости коэффициента корреляции рассчитаем двухсторонний t-критерий Стьюдента :

который имеет распределение Стьюдента с k =n –2 и уровнем значимости a. В нашем случае

и .

Поскольку , то коэффициент корреляции существенно отличается от нуля.

Для значимого коэффициента можно построить доверительный интервал , который с заданной вероятностью содержит неизвестный генеральный коэффициент корреляции. Для построения интервальной оценки (для малых выборок n <30), используют z-преобразование Фишера :

Распределение z уже при небольших n является приближенным нормальным распределением с математическим ожиданием и дисперсией . Поэтому вначале строят доверительный интервал для M[z ], а затем делают обратное z -преобразование. Применяя z -преобразование для найденного коэффициента корреляции, получим

Доверительный интервал для M(z ) будет иметь вид

,

где t g находится с помощью функции Лапласа F(t g)=g/2. Для g=0,95 имеем t g =1,96. Тогда

или . Обратное z -преобразование осуществляется по формуле

В результате находим

.

В указанных границах на уровне значимости 0,05 (с надежностью 0,95) заключен генеральный коэффициент корреляции r.

2. Таким образом, между переменными x и y имеет существенная корреляционная зависимость. Будем считать, что эта зависимость является линейной. Модель парной линейной регрессии имеет вид

,

где y – зависимая переменная (результативный признак), x – независимая (объясняющая) переменная, e – случайные отклонения, b 0 и b 1 – параметры регрессии. По выборке ограниченного объема можно построить эмпирическое уравнение регрессии:

где b 0 и b 1 – эмпирические коэффициенты регрессии. Для оценки параметров регрессии обычно используют метод наименьших квадратов (МНК ). В соответствие с МНК, сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной y от теоретических была минимальной:

,

где – отклонения y i от оцененной линии регрессии. Необходимым условием существования минимума функции двух переменных является равенство нулю ее частных производных по неизвестным параметрам b 0 и b 1 . В результате получаем систему нормальных уравнений:

Решая эту систему, найдем

, .

По данным таблицы находим

Получено уравнение регрессии:

Параметр b 1 называется коэффициентом регрессии . Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. В рассматриваемом случае, с увеличением среднедушевого минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб .

,

где F подчиняется распределению Фишера с уровнем значимости a и степенями свободы k 1 =1 и k 2 =n –2. В нашем случае

.

Поскольку критическое значение критерия равно

и , то признается статистическая значимость построенного уравнения регрессии. Отметим, что для линейной модели F - и t -критерии связаны равенством , что можно использовать для проверки расчётов.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Прогнозное значение y p определяется путем подстановки в уравнение регрессии (1.16) соответствующего (прогнозного) значения x p

ЛЕКЦИЯ 5 99

§5.2. Анализ точности оценок коэффициентов регрессии 99

5.2.1. Оценка дисперсии случайного отклонения 99

5.2.2. Проверка гипотез относительно коэффициентов регрессии 100

5.2.3. Интервальные оценка коэффициентов регрессии 103

§5.3. Показатели качества уравнения регрессии 104

5.3.1. Коэффициент детерминации 104

5.3.2. Проверка общего качества уравнения регрессии: F-тест 106

5.3.3. Проверка общего качества уравнения регрессии: t-тест 108

§5.4. Интервалы прогноза по уравнению регрессии 108

Прогнозирование по модели множественной линейной регрессии предполагает оценку ожидаемых значений зависимой переменной при заданных значениях независимых переменных, входящих в уравнение регрессии. Различают точечный и интервальный прогнозы.

Точечный прогноз – это расчетное значение зависимой переменной, полученное подстановкой в уравнение множественной линейной регрессии прогнозных (заданных исследователем) значений независимых переменных. Если заданы значения , то прогнозное значение зависимой переменной (точечный прогноз) будет равно

Интервальный прогноз – это минимальное и максимальное значения зависимой переменной, в промежуток между

которыми она попадает с заданной долей вероятности и при заданных значениях независимых переменных.

Интервальный прогноз для линейной функции вычисляется по формуле

где t T – теоретическое значение критерия Стьюдента при df=n- – т – 1 степенях свободы; s y – стандартная ошибка прогноза, вычисляемая по формуле

(2.57)

где Х – матрица исходных значений независимых переменных; Х пр – матрица-столбец прогнозных значений независимых переменных вида

Найдем прогнозные значения поступления налогов (пример 2.1), при условии, что связь между показателями описывается уравнением

Зададим прогнозные значения независимых переменных:

• – количество занятых Xj: 500 тыс. человек;
• – объем отгрузки в обрабатывающих производствах х 2: 65 000 млн руб.;
• – производство энергии х3:15 000 млн руб.

Найдем точечный и интервальный прогноз поступления налогов.

При заданных значения независимых переменных поступление налогов в среднем составит

Вектор прогнозных значений независимых переменных будет иметь вид

Ошибка прогноза, рассчитанная по формуле (2.57), составила 5556,7. Табличное значение t-критерия при числе степеней свободы df = 44 и уровне значимости а = 0,05 равно 2,0154. Следовательно, прогнозные значения поступления налогов будут с вероятностью 0,95 находиться в границах:

от 18 013,69 – 2,0154-5556,7=6814,1 млн руб.;

до 18 013,69 + 2,0154-5556,7=29 212 млн руб.

Прогнозирование по нелинейным моделям множественной регрессии также можно осуществлять по формулам (2.55)–(2.57), предварительно линеаризовав указанные модели.

Мультиколлинеарность данных

При построении эконометрической модели предполагается, что независимые переменные воздействуют на зависимую изолированно, т. е. влияние отдельной переменной на результативный признак не связано с влиянием других переменных. В реальной экономической действительности все явления в той или иной мере связаны, поэтому добиться выполнения этого предположения практически невозможно. Наличие связи между независимыми переменными приводит к необходимости оценки ее влияния на результаты корреляционно-регрессионного анализа.

Различают функциональные и стохастические связи между объясняющими переменными. В первом случае говорят об ошибках спецификации модели, которые должны быть исправлены.

Функциональная связь возникает, если в уравнение регрессии в качестве объясняющих переменных включают, в частности, все переменные, входящие в тождество. Например, можно сказать, что доход У складывается из потребления С и инвестиций I, т. е. имеет место тождество. Мы предполагаем, что уровень процентных ставок г зависит от дохода, т.е. модель в общем виде может быть представлена в виде

Неопытный исследователь, желая улучшить модель, может включить в уравнение также переменные "потребление" и "инвестиции", что приведет к функциональной связи между объясняющими переменными:

Функциональная взаимосвязь столбцов матрицы X приведет к невозможности найти единственное решение уравнения

регрессии, так как, а нахождение обратной

матрицыпредполагает деление алгебраических дополнений матрицына ее определитель, который в дан

ном случае будет равен нулю.

Более часто между объясняющими переменными наблюдается стохастическая связь, что приводит к уменьшению

величины определителя матрицы: чем сильнее связь,

тем меньше будет определитель. Это приводит к росту не только оценок параметров, полученных с использованием МНК, но и их стандартных ошибок, которые вычисляются по формуле (2.24):

в которой, как мы видим, также используется матрица Корреляционная связь может существовать как между двумя объясняющими переменными (интеркорреляция ), так и между несколькими (мультиколлинеарность).

Существует несколько признаков, указывающих на наличие мультиколлинеарности. В частности, такими признаками являются:

• – не соответствующие экономической теории знаки коэффициентов регрессии. Например, нам известно, что объясняющая переменная х оказывает прямое воздействие на объясняемую переменную у, в то же время коэффициент регрессии при этой переменной меньше нуля;
• – значительные изменения параметров модели при небольшом сокращении (увеличении) объема исследуемой совокупности;
• – незначимость параметров регрессии, обусловленная высокими значениями стандартных ошибок параметров.

Существование корреляционной связи между независимыми переменными может быть выявлено с помощью показателей корреляции между ними, в частности с помощью парных коэффициентов корреляции r XiX, которые можно записать в виде матрицы

(2.58)

Коэффициент корреляции переменной с самой собой равен единице (г хх = 1), а коэффициент корреляции переменной*, с переменной *,■ равен коэффициенту корреляции переменной XjC переменной X, (г х х =г х х ). Следовательно, данная матрица является симметрической, поэтому в ней указывают только главную диагональ и элементы под ней:

Высокие значения парных линейных коэффициентов корреляции указывают на наличие интеркорреляции, т.е. линейной связи между двумя объясняющими переменными. Чем выше величина , тем выше интеркорреляция. Так как при построении моделей избежать отсутствия связей между объясняющими переменными практически невозможно, существует следующая рекомендация относительно включения двух переменных в модель в качестве объясняющих. Обе переменные можно включить в модель, если выполняются соотношения

т.е. теснота связи результирующей и объясняющей переменных больше, чем теснота связи между объясняющими переменными.

Наличие мультиколлинеарности можно подтвердить, найдя определитель матрицы (2.58). Если связь между независимыми переменными полностью отсутствует, то недиагональные элементы будут равны нулю, а определитель матрицы – единице. Если связь между независимыми переменными близка к функциональной (т.е. является очень тесной), то определитель матрицы гхг будет близок к нулю.

Еще один метод измерения мультиколлинеарности является следствием анализа формулы стандартной ошибки коэффициента регрессии (2.28):

Как следует из данной формулы, стандартная ошибка будет тем больше, чем меньше будет величина, которую называют фактор инфляции дисперсии (или фактор вздутия дисперсии ) VIF:

где – коэффициент детерминации, найденный для уравнения зависимости переменной Xj от других переменных , входящих в рассматриваемую модель множественной регрессии.

Так как величина отражает тесноту связи между переменной Xj и прочими объясняющими переменными, то она, по сути, характеризует мультиколлинеарность применительно К данной переменной Xj. При отсутствии связи показатель VIF X будет равен (или близок) единице, усиление связи ведет к стремлению этого показателя к бесконечности. Считают, что если VIF X >3 для каждой переменной *, то имеет место мультиколлинеарность.

Измерителем мультиколлинеарности является также так называемый показатель (число) обусловленности матрицы . Он равен отношению максимального и минимального собственных чисел этой матрицы:

Считается, что если порядок этого соотношения превышает 10s–106, то имеет место сильная мультиколлинеарность .

Проверим наличие мультиколлинеарности в рассматриваемом нами примере 2.1. Матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид

Можно отметить, что связи между объясняющими переменными достаточно тесные, особенно между переменными.Xj и х2; X] и х3, что указывает на интеркорреляцию этих переменных. Более слабая связь наблюдается между переменными х2 и х3. Найдем определитель матрицы г^..

Полученное значение ближе к нулю, чем к единице, что указывает на наличие мультиколлинеарности объясняющих переменных.

Проверим обоснованность включения всех трех независимых переменных в модель регрессии, используя правило (2.59). Парные линейные коэффициенты корреляции зависимой и независимых переменных равны

Они больше, чем показатели тесноты связи между независимыми переменными, следовательно, правило (2.59) выполняется, все три переменные можно включить в модель регрессии.

Измерим степень мультиколлинеарности переменных с помощью фактора инфляции дисперсии (VIF ). Для этого необходимо рассчитать коэффициенты детерминации для регрессий:

Для этого к каждой регрессии необходимо применить МНК, оценить ее параметры и рассчитать коэффициент детерминации. Для нашего примера результаты расчетов следующие:

Следовательно, фактор инфляции дисперсии для каждой независимой переменной будет равен

Все рассчитанные величины не превысили критического значения, равного трем, следовательно, при построении модели можно пренебречь существованием связей между независимыми переменными.

Для нахождения собственных чисел матрицы (с целью расчета показателя обусловленности η (2.60)) необходи мо найти решение характеристического уравнения

Матрица для нашего примера имеет вид

а матрица, модуль определителя которой нужно приравнять нулю, получится следующей:

Характеристический многочлен в данном случае будет иметь четвертую степень, что затрудняет решение задачи вручную. В данном случае рекомендуется воспользоваться возможностями вычислительной техники. Например, в ППП EViews получены следующие собственные числа матрицы :

Следовательно, показатель обусловленности η будет равен

что свидетельствует о наличии в модели сильной мультиколлинеарности.

Методами устранения мультиколлинеарности являются следующие.

• 1. Анализ связей между переменными, включаемыми в модель регрессии в качестве объясняющих (независимых), с целью отбора только тех переменных, которые слабо связаны друг с другом.
• 2. Функциональные преобразования тесно связанных между собой переменных. Например, мы предполагаем, что поступление налогов в городах зависит от количества жителей и площади города. Очевидно, что эти переменные будут тесно связаны. Их можно заменить одной относительной переменной "плотность населения".
• 3. Если по каким-то причинам перечень независимых переменных не подлежит изменению, то можно воспользоваться специальными методами корректировки моделей с целью исключения мультиколинеарности: ридж-регрессией (гребневой регрессией), методом главных компонент.

Применение ридж-регрессии предполагает корректировку элементов главной диагонали матрицы на некую произвольно задаваемую положительную величину τ. Значение рекомендуется брать от 0,1 до 0,4. Н. Дрейпер, Г. Смит в своей работе приводят один из способов "автоматического" выбора величины τ, предложенный Хоэрлом, Кеннардом и Белдвином :

(2.61)

где т – количество параметров (без учета свободного члена) в исходной модели регрессии; SS e – остаточная сумма квадратов, полученная по исходной модели регрессии без корректировки на мультиколлинеарность; а – вектор-столбец коэффициентов регрессии, преобразованных по формуле

(2.62)

где cij – параметр при переменной у, в исходной модели регрессии.

После выбора величины τ формула для оценки параметров регрессии будет иметь вид

(2.63)

где I – единичная матрица; X, – матрица значений независимых переменных: исходных или преобразованных по формуле (2.64); Υ τ – вектор значений зависимой переменной: исходных или преобразованных по формуле (2.65).

(2.64)

и результативную переменную

В этом случае после оценки параметров по формуле (2.63) необходимо перейти к регрессии по исходным переменным, используя соотношения

Оценки параметров регрессии, полученные с помощью формулы (2.63), будут смещенными. Однако, так как определитель матрицы больше определителя матрицы , дисперсия оценок параметров регрессии уменьшится, что положительно повлияет на прогнозные свойства модели.

Рассмотрим применение ридж-регрессии для примера 2.1. Найдем величину τ с помощью формулы (2.61). Для этого сначала рассчитаем вектор преобразованных коэффициентов регрессии по формуле (2.62):

Произведение равно 1,737-109. Следовательно, рекомендуемое τ составит

После применения формулы (2.63) и преобразований по фор муле (2.66) получим уравнение регрессии

Применение метода главных компонент предполагает переход от взаимозависимых переменных х к независимым друг от друга переменным ζ, которые называют главными

компонентами . Каждая главная компонента z, может быть представлена как линейная комбинация центрированных (или стандартизованных) объясняющих переменных t:. Напомним, что центрирование переменной предполагает вычитание из каждого і-го значения данной j-й переменной ее среднего значения:

а стандартизация (масштабирование) –деление выражения (2.67) на среднее квадратическое отклонение, рассчитанное для исходных значений переменной Xj

Так как независимые переменные часто имеют разный масштаб измерения, формула (2.68) считается более предпочтительной.

Количество компонент может быть меньше или равно количеству исходных независимых переменных р. Компоненту с номером к можно записать следующим образом:

(2.69)

Можно показать, что оценки в формуле (2.69) соответствуют элементам к- го собственного вектора матрицы , где Т – матрица размером , содержащая стандартизованные переменные. Нумерация главных компонент не является произвольной. Первая главная компонента имеет максимальную дисперсию, ей соответствует максимальное собственное число матрицы ; последняя – минимальную дисперсию и наименьшее собственное число.

Доля дисперсии к- й компоненты в общей дисперсии независимых переменных рассчитывается по формуле

где Х к – собственное число, соответствующее данной компоненте; в знаменателе формулы (2.70) приведена сумма всех собственных чисел матрицы .

После расчета значений компонент z, строят регрессию, используя МНК. Зависимую переменную в регрессии по главным компонентам (2.71) целесообразно центрировать (стандартизовать) по формулам (2.67) или (2.68).

где t y – стандартизованная (центрированная) зависимая переменная; – коэффициенты регрессии по главным компонентам; – главные компоненты, упорядоченные по убыванию собственных чисел Х к; δ – случайный остаток.

После оценки параметров регрессии (2.71) можно перейти к уравнению регрессии в исходных переменных, используя выражения (2.67)–(2.69).

Рассмотрим применение метода главных компонент на данных примера 2.1. Отметим, что матрица для стандартизованных переменных является в то же время матрицей парных линейных коэффициентов корреляции между независимыми переменными. Она уже была рассчитана и равна

Найдем собственные числа и собственные векторы этой матрицы, используя ППП Eviews. Получим следующие результаты.

Собственные числа матрицы :

Доля дисперсии независимых переменных, отражаемой компонентами, составила

Объединим собственные векторы матрицы , записав их как столбцы приведенной ниже матрицы F. Они упорядочены по убыванию собственных чисел, т.е. первый столбец является собственным вектором максимального собственного числа и т.д.:

Следовательно, три компоненты (соответствующие трем собственным векторам) можно записать в виде

После стандартизации исходных переменных по формуле (2.68) и расчета значений компонент (по n значений каждой компоненты) с помощью МНК найдем параметры уравнения (2.71):

В полученном уравнении регрессии значим только параметр при первой компоненте. Это закономерный результат с учетом того, что данная компонента описывает 70,8% вариации независимых переменных. Так как компоненты независимы, при исключении из модели одних компонент параметры уравнения при других компонентах не меняются. Таким образом, имеем уравнение регрессии с одной компонентой:

Преобразуем полученное выражение в регрессию с исходными переменными

Таким образом, используя метод главных компонент, мы получили уравнение регрессии

Устранение мультиколлинеарности с помощью ридж-регрессии и метода главных компонент привело к определенному изменению параметров исходной регрессии, которая имела вид

Отметим, что эти изменения были относительно невелики, что указывает на невысокую степень мультиколлинеарности.

• См., например, Вучков И., Бояджиева Л., Солаков Е. Прикладной регрессионный анализ: пер. с болг. M.: Финансы и статистика, 1987. С. 110.
• Дрейпер Н., Смит Г. Указ. соч. С. 514.

Оценка статистической значимости параметров регрессии проводится с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала для каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н 0 о статистически значимом отличие показателей от 0 a = b = r = 0. Рассчитываются стандартные ошибки параметров a,b, r и фактическое значение t-критерия Стьюдента.

Определяется статистическая значимость параметров.

t a > T табл - параметр a статистически значим.

t b > T табл - параметр b статистически значим.

Находятся границы доверительных интервалов.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что параметры a и b находясь в указанных границах не принимают нулевых значений, т.е. не является статистически незначимыми и существенно отличается от 0. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. - М.: Дело, 2001. - С. 45.

Нелинейная регрессия

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы, параболы второй степени и д.р.

Различают два класса нелинейных регрессий:

• - регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
• - регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

полиномы разных степеней;

равносторонняя гипербола.

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

степенная;

показательная;

экспоненциальная.

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +е заменяя переменные x=x 1 ,x 2 =x 2 , получим двухфакторное уравнение линейной регрессии: у=а 0 +а 1 х 1 +а 2 х 2 + е.

Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное), значение результативного признака: приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени: , т.е. b+2cx=0 и x=-b/2c.

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

Решение ее возможно методом определителей:

В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразованным уравнениям. Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия min, то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам, т.е. ln y, 1/y. Так, в степенной функции МНК применяется к преобразованному уравнению lny = lnб + в ln x ln е. Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах. Соответственно если в линейных моделях то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, . Вследствие этого оценка параметров оказываются несколько смещенной.

Уравнение нелинейной регрессии, так же как и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции (R):

Величина данного показателя находится в границах: 0 ? R ? 1, чем ближе к 1, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом урпвнения нелинейной регрессии по F- критерию Фишера:

Данный способ расчета наиболее обоснован теоретически и дает самые точные результаты в практическом применении. Но дело осложняется рядом обстоятельств. Во-первых, качество большинства видов продукции, а, следовательно, и его уровень формируются чаще не одним, а несколькими свойствами, причем значимость их в формировании полезности различна. Встает сложная проблема определения их значимости. Во-вторых, полезность продукта находится чаще в нелинейной зависимости от значения свойств (частных качественных характеристик), а это означает непостоянство их значимости. Указанные сложности преодолимы, но не всегда.

Теснота связи между переменными величинами может иметь различные значения, если рассматривать ее с позиции характера зависимости (линейная, нелинейная). Если установлена слабая связь между переменными в линейной зависимости, то это совсем не означает, что такая связь должна быть в нелинейной зависимости. Показателем, характеризующим значимость факторов при различной форме связи, является корреляционное отношение. Оценка факторов по корреляционному отношению уже на этом этапе анализа позволяет предварительно уст0новить вид многофакторной связи, что служит хорошей предпосылкой при выборе конкретной модели исследуемого показателя.

В случае нелинейной зависимости линейный коэффициент корреляции теряет смысл, и для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение, известное также под названием «индекс корреляции»:

Для нахождения лучшей подстановки можно использовать визуальный метод, когда «на глаз» определяется вид нелинейной зависимости, связывающей результирующий параметр и независимый фактор, а можно выбор наилучшей замены осуществлять, используя коэффициент корреляции. Та подстановка, у которой коэффициент корреляции является максимальным, и является наилучшей. Ланге О. Введение в эконометрику. - М.: Прогресс, 1964. - С. 76.

Линейная регрессия является наиболее часто используемым видом регрессионно­го анализа. Ниже перечислены три основные задачи, решаемые в маркетинговых исследованиях при помощи линейного регрессионного анализа.

1. Определение того, какие частные параметры продукта оказывают влияние на общее впечатление потребителей от данного продукта. Установление направ­ления и силы данного влияния. Расчет, каким будет значение результирующе­го параметра при тех или иных значениях частных параметров. Например, тре­буется установить, как влияет возраст респондента и его среднемесячный доход на частоту покупок глазированных сырков.

2. Выявление того, какие частные характеристики продукта влияют на общее впе­чатление потребителей от данного продукта (построение схемы выбора продук­та потребителями). Установление соотношения между различными частными па­раметрами по силе и направлению влияния на общее впечатление. Например, имеются оценки респондентами двух характеристик мебели производителя X - цены и качества, - а также общая оценка мебели данного производителя. Требу­ется установить, какой из двух параметров является наиболее значимым для покупате­лей при выборе производителя мебели и в каком конкретном соотношении находится значимость для покупателей данных двух факторов (параметр Цена в х раз более значим для покупателей при выборе мебели, чем параметр Качество).

3. Графическое прогнозирование поведения одной переменной в зависимости от изменения другой (используется только для двух переменных). Как правило, целью проведения регрессионного анализа в данном случае является не столько расчет уравнения, сколько построение тренда (то есть аппроксимирующей кри­вой, графически показывающей зависимость между переменными). По полу­ченному уравнению можно предсказать, каким будет значение одной перемен­ной при изменении (увеличении или уменьшении) другой. Например, требуется установить характер зависимости между долей респондентов, осведомленных о раз­личных марках глазированных сырков, и долей респондентов, покупающих данные марки. Также требуется рассчитать, насколько возрастет доля покупателей сырков марки х при увеличении потребительской осведомленности на 10 % (в результате про­ведения рекламной кампании).

В зависимости от типа решаемой задачи выбирается вид линейного регрессионно­го анализа. В большинстве случаев (1 и 2) применяется множественная линейная регрессия, в которой исследуется влияние нескольких независимых переменных на одну зависимую. В случае 3 применима только простая линейная регрессия, в которой участвуют только одна независимая и одна зависимая переменные. Это связано с тем, что основным результатом анализа в случае 3 является линия трен­да, которая может быть логически интерпретирована только в двухмерном про­странстве. В общем случае результатом проведения регрессионного анализа явля­ется построение уравнения регрессии вида: у = а + Ь, х, + Ь2х2 + ... + Ь„хп, позволяющего рассчитать значение зависимой переменной при различных значе­ниях независимых переменных.

В табл. 4.6 представлены основные характеристики переменных, участвующих в анализе.

Таблица 4.6. Основные характеристики переменных, участвующих в линейном регрессионном анализе

В связи с тем что и множественная и простая регрессии строятся в SPSS одинако­вым способом, рассмотрим общий случай множественной линейной регрессии как наиболее полно раскрывающий суть описываемого статистического метода. Да­вайте рассмотрим, как построить линию тренда с целью статистического прогно­зирования.

Исходные данные:

В ходе опроса респондентов, летающих одним из трех классов (первым, бизнес - или эко­ном-классом), просили оценить по пятибалльной шкале - от 1 (очень плохо) до 5 (отлич­но) - следующие характеристики сервиса на борту самолетов авиакомпании X: комфор­табельность салона, работа бортпроводников, питание во время полета, цена билетов, спиртные напитки, дорожные наборы, аудиопрограммы, видеопрограммы и пресса. Также респондентам предлагалось поставить общую (итоговую) оценку обслуживания на борту самолетов данной авиакомпании.

Для каждого класса полета требуется:

1) Выявить наиболее значимые для респондентов параметры обслуживания на борту.

2) Установить, какое влияние оказывают оценки частных параметров обслуживания на борту на общее впечатление авиапассажиров от полета.

Откройте диалоговое окно Linear Regression при помощи меню Analyze Regres­sion Linear. Из левого списка выберите зависимую переменную для анализа. Это будет Общая оценка сервиса на борту. Поместите ее в область Dependent. Далее в ле­вом списке выберите независимые переменные для анализа: частные параметры сервиса на борту - и поместите их в область Independent(s).

Существует несколько методов проведения регрессионного анализа: enter, stepwise, forward и backward. He вдаваясь в статистические тонкости, проведем регрессион­ный анализ посредством пошагового метода backward как наиболее универсально­го и релевантного для всех примеров из маркетинговых исследований.

Так как задача анализа содержит требование провести регрессионный анализ в раз­резе трех классов полета, выберите в левом списке переменную, обозначающую класс (q5) и перенесите ее в область Selection Variable. Затем щелкните на кнопке Rule, чтобы задать конкретное значение данной переменной для регрессионного анализа. Следует отметить, что за одну итерацию можно построить регрессию толь­ко в разрезе какого-то одного класса полета. В дальнейшем следует повторить все этапы сначала по количеству классов (3), каждый раз выбирая следующий класс.

Если нет необходимости проводить регрессионный анализ в каком-либо разрезе, оставьте поле Selection Variable пустым.

Итак, на экране открылось диалоговое окно Set Rule, в котором вы должны указать, для какого именно класса полета вы хотите построить регрессионную модель. Выберите экономический класс, закодированный как 3 (рис. 4.26).

В более сложных случаях, когда требуется построить регрессионную модель в раз­резе трех и более переменных, следует воспользоваться условным отбором дан­ных (см. раздел 1.5.1). Например, если кроме класса полета есть еще и необходи­мость раздельного построения регрессионной модели для респондентов (мужчин и женщин), необходимо перед открытием диалогового окна Linear Regression про­извести условный отбор анкет респондентов, являющихся мужчинами. Далее про­водится регрессионный анализ по описываемой схеме. Для построения регрес­сии для женщин следует повторить все этапы сначала: вначале выбрать только анкеты респондентов-женщин и затем уже для них построить регрессионную модель.

Щелкните на кнопке Continue в диалоговом окне Set Rule - вы вновь вернетесь к основному диалоговому окну Linear Regression. Последним шагом перед запуском процедуры построения регрессионной модели является выбор пункта Collinearity Diagnostics в диалоговом окне, появляющемся при щелчке на кнопке Statistics (рис. 4.27). Установление требования провести диагностику наличия коллинеар­ности между независимыми переменными позволяет избежать эффекта мульти-коллинеарности, при котором несколько независимых переменных могут иметь настолько сильную корреляцию, что в регрессионной модели обозначают, в прин­ципе, одно и то же (это неприемлемо).

Рассмотрим основные элементы отчета о построении регрессионной модели (окно SPSS Viewer), содержащие наиболее значимые для исследователя данные. Не­обходимо отметить, что все таблицы, представленные в отчете Output, содержат несколько блоков, соответствующих количеству шагов SPSS при построении модели. На каждом шаге при используемом методе backward из полного списка независимых переменных, введенных в модель изначально, при помощи наимень­ших частных коэффициентов корреляции последовательно исключаются пере­менные - до тех пор, пока соответствующий коэффициент регрессии не оказы­вается незначимым (Sig > 0,05). В нашем примере таблицы состоят из трех блоков (регрессия строилась в три шага). При интерпретации результатов регрессион­ного анализа следует обращать внимание только на последний блок (в нашем случае 3).

Первое, на что следует обратить внимание, - это таблица ANOVA (рис. 4.29). На третьем шаге статистическая значимость (столбец Sig) должна быть меньше или равна 0,05.

Затем следует рассмотреть таблицу Model Summary, содержащую важные сведения о построенной модели (рис. 4.30). Коэффициент детерминации R является харак­теристикой силы общей линейной связи между переменными в регрессионной модели. Он показывает, насколько хорошо выбранные независимые переменные способны определять поведение зависимой переменной. Чем выше коэффициент детерминации (изменяющийся в пределах от 0 до 1), тем лучше выбранные неза­висимые переменные подходят для определения поведения зависимой перемен­ной. Требования к коэффициенту R такие же, как к коэффициенту корреляции (см. табл. 4.4): в общем случае он должен превышать хотя бы 0,5. В нашем примере R = 0,66, что является приемлемым показателем.

Также важной характеристикой регрессионной модели является коэффициент R2, показывающий, какая доля совокупной вариации в зависимой переменной описывается выбранным набором независимых переменных. Величина R2 из­меняется от 0 до 1. Как правило, данный показатель должен превышать 0,5 (чем он выше, тем показательнее построенная регрессионная модель). В нашем при­мере R2 =■ 0,43 - это значит, что регрессионной моделью описано только 43 % случаев (дисперсии в итоговой оценке полета). Таким образом, при интерпре­тации результатов регрессионного анализа следует постоянно иметь в виду су­щественное ограничение: построенная модель справедлива только для 43 % случаев.

Третьим практически значимым показателем, определяющим качество регресси­онной модели, является величина стандартной ошибки расчетов (столбец Std. Error of the Estimate). Данный показатель варьируется в пределах от 0 до 1. Чем он мень­ше, тем надежнее модель (в общем случае показатель должен быть меньше 0,5). В нашем примере ошибка составляет 0,42, что является завышенным, но в целом приемлемым результатом.

На основании таблиц AN OVA и Model Summary можно судить о практической пригод­ности построенной регрессионной модели. Учитывая, что AN OVA показывает весь­ма высокую значимость (менее 0,001), коэффициент детерминации превышает 0,6, а стандартная ошибка расчетов меньше 0,5, можно сделать вывод о том, что с уче­том ограничения модель описывает 43 % совокупной дисперсии, то есть построен­ная регрессионная модель является статистически значимой и практически при­емлемой.

После того как мы констатировали приемлемый уровень качества регрессионной модели, можно приступать к интерпретации ее результатов. Основные практиче­ские результаты регрессии содержатся в таблице Coefficients (рис. 4.31). Под таб­лицей вы можете видеть, какая переменная была зависимой (общая оценка серви­са на борту) и для какого класса полета происходило построение регрессионной модели (эконом-класс). В таблице Coefficients практически значимыми являются четыре показателя: VIF, Beta, В и Std. Error. Рассмотрим последовательно, как их сле­дует интерпретировать.

Прежде всего необходимо исключить возможность возникновения ситуации мультиколлинеарности (см. выше), при которой несколько переменных могут обозна­чать почти одно и то же. Для этого необходимо посмотреть на значение VIF возле каждой независимой переменной. Если величина данного показателя меньше 10 - значит, эффекта мультиколлинеарности не наблюдается и регрессионная модель приемлема для дальнейшей интерпретации. Чем выше этот показатель, тем более связаны между собой переменные. Если какая-либо переменная превышает значение в 10 VIF, следует пересчитать регрессию без этой независимой переменной. В данном примере автоматически уменьшится величина R2 и возрастет величина свободного члена (константы), однако, несмотря на это, новая регрессионная мо­дель будет более практически приемлема, чем первая.

В первом столбце таблицы Coefficients содержатся независимые переменные, со­ставляющие регрессионное уравнение (удовлетворяющие требованию статисти­ческой значимости). В нашем случае в регрессионную модель входят все частные характеристики сервиса на борту самолета, кроме аудиопрограмм. Исключенные переменные содержатся в таблице Excluded Variables (здесь не приводится). Итак, мы можем сделать первый вывод о том, что на общее впечатление авиапассажиров от полета оказывают влияние семь параметров: комфортабельность салона, работа бортпроводников, питание во время полета, спиртные напитки, дорожные наборы, видеопрограммы и пресса.

После того, как мы определили состав параметров, формирующих итоговое впе­чатление от полета, можно определить направление и силу влияния на него каж­дого частного параметра. Это позволяет сделать столбец Beta, содержащий стан­дартизированные - коэффициенты регрессии. Данные коэффициенты также дают возможность сравнить силу влияния параметров между собой. Знак (+ или -) пе­ред -коэффициентом показывает направление связи между независимой и зави­симой переменными. Положительные -коэффициенты свидетельствуют о том, что возрастание величины данного частного параметра увеличивает зависимую пере­менную (в нашем случае все независимые переменные ведут себя подобным обра­зом). Отрицательные коэффициенты означают, что при возрастании данного част­ного параметра общая оценка снижается. Как правило, при определении связи между оценками параметров это свидетельствует об ошибке и означает, например, что выборка слишком мала.

Например, если бы перед - коэффициентом параметра работы бортпроводников стоял знак -, его следовало бы интерпретировать следующим образом: чем хуже работают бортпроводники, тем лучше становится общее впечатление пассажиров от полета. Такая интерпретация является бессмысленной и не отражающей реаль­ного положения вещей, то есть ложной. В таком случае лучше пересчитать регрес­сию без данного параметра; тогда доля вариации в итоговой оценке, описываемой исключенным параметром, будет отнесена на счет константы (увеличивая ее). Соответственно уменьшится и процент совокупной дисперсии, описываемой рег­рессионной моделью (величина R2). Однако это позволит восстановить семанти­ческую релевантность.

Еще раз подчеркнем, что сделанное замечание справедливо для нашего случая (оценки параметров). Отрицательные - коэффициенты могут быть верными и от­ражать семантические реалии в других случаях. Например, когда уменьшение до­хода респондентов приводит к увеличению частоты покупок дешевых товаров. В таблице вы видите, что в наибольшей степени на общее впечатление пассажи­ров от полета влияют два параметра: работа бортпроводников и комфортабель­ность салона (- коэффициенты по 0,21). Напротив, в наименьшей степени форми­рование итоговой оценки сервиса на борту происходит за счет впечатления от обслуживания спиртными напитками (0,08). При этом два первых параметра ока­зывают почти в три раза более сильное влияние на итоговую оценку полета, чем

Спиртные напитки. На основании стандартизированных (3-коэффициентов регрес­сии можно построить рейтинг влияния частных параметров сервиса на борту на общее впечатление авиапассажиров от полета, разделив их на три группы по силе влияния:

■ наиболее значимые параметры;

■ параметры, имеющие среднюю значимость;

■ параметры, имеющие низкую значимость для респондентов (рис. 4.32).

В крайнем правом столбце содержатся - коэффициенты, умноженные на 100, - для облегчения сравнения параметров между собой.

Данный рейтинг также можно интерпретировать и как рейтинг значимости для респондентов различных параметров сервиса на борту (в общем случае - схема выбора). Так, наиболее важными факторами являются первые два (1-2); среднюю значимость для пассажиров имеют следующие три параметра (3-5); относительно малое значение имеют последние два фактора (6-7).

Регрессионный анализ позволяет выявить истинные, глубинные мотивы респон­дентов при формировании общего впечатления о каком-либо продукте. Как пока­зывает практика, такого уровня приближения нельзя достичь обычными метода­ми - например, просто спросив респондентов: Какие факторы из нижеперечисленных оказывают наибольшее влияние на Ваше общее впечатление от полета самолетами нашей авиакомпании?. Кроме того, регрессионный анализ позволяет достаточно точно оце­нить, насколько один параметр более-менее значим для респондентов, чем другой, и на этом основании классифицировать параметры на критические, имеющие сред­нюю значимость и малозначимые.

Столбец В таблицы Coefficients содержит коэффициенты регрессии (нестандарти-зированные). Они служат для формирования собственно регрессионного уравне­ния, по которому можно рассчитать величину зависимой переменной при разных значениях независимых.

Особая строка Constant содержит важную информацию о полученной регрессион­ной модели: значение зависимой переменной при нулевых значениях независимых переменных. Чем выше значение константы, тем хуже подходит выбранный перечень независимых переменных для описания поведения зависимой перемен­ной. В общем случае считается, что константа не должна быть наибольшим коэффи­циентом в регрессионном уравнении (коэффициент хотя бы при одной переменой должен быть больше константы). Однако в практике маркетинговых исследова­ний часто свободный член оказывается больше всех коэффициентов вместе взя­тых. Это связано в основном с относительно малыми размерами выборок, с кото­рыми приходится работать маркетологам, а также с неаккуратным заполнением анкет (некоторые респонденты могут не поставить оценку каким-либо парамет­рам). В нашем случае величина константы меньше 1, что является весьма хоро­шим результатом.

Итак, в результате построения регрессионной модели можно сформировать сле­дующее регрессионное уравнение:

СБ = 0,78 + 0,20К + 0.20Б + 0,08ПП + 0.07С + 0Д0Н + 0,08В + 0Д2П, где

■ СБ - общая оценка сервиса на борту;

■ К - комфортабельность салона;

■ Б - работа бортпроводников;

■ ПП - питание во время полета;

■ С - спиртные напитки;

■ Н - дорожные наборы;

■ В - видеопрограмма;

■ П - пресса.

Последний показатель, на который целесообразно обращать внимание при интер­претации результатов регрессионного анализа, - это стандартная ошибка, рассчи­тываемая для каждого коэффициента в регрессионном уравнении (столбец Std. Error). При 95%-ном доверительном уровне каждый коэффициент может отклоняться от величины В на ±2 х Std. Error. Это означает, что, например, коэффициент при пара­метре Комфортабельность салона (равный 0,202) в 95 % случаев может отклоняться от данного значения на ±2 х 0,016 или на ±0,032. Минимальное значение коэффициен­та будет равно 0,202 - 0,032 = 0,17; а максимальное - 0,202 + 0,032 = 0,234. Таким образом, в 95 % случаев коэффициент при параметре «комфортабельность салона» варьируется в пределах от 0,17 до 0,234 (при среднем значении 0,202). На этом интерпретация результатов регрессионного анализа может считаться за­вершенной. В нашем случае следует повторить все шаги еще раз: сначала для биз­нес -, потом для эконом-класса.

Теперь давайте рассмотрим другой случай, когда необходимо графически пред­ставить зависимость между двумя переменными (одной зависимой и одной неза­висимой) при помощи регрессионного анализа. Например, если мы примем итого­вую оценку полета авиакомпанией X в 2001 г. за зависимую переменную S, а тот же показатель в 2000 г. - за независимую переменную So, то для построения урав­нения тренда (или регрессионного уравнения) нужно будет определить парамет­ры соотношения S, = а + b x So. Построив данное уравнение, также можно построить регрессионную прямую и, зная исходную итоговую оценку полета, спрогнози­ровать величину данного параметра на следующий год.

Эту операцию следует начать с построения регрессионного уравнения. Для этого повторите все вышеописанные шаги для двух переменных: зависимой Итоговая оценка 2001 и независимой Итоговая оценка 2000. Вы получите коэффициенты, при помощи которых можно в дальнейшем строить линию тренда (как в SPSS, так и любыми другими средствами). В нашем случае полученное регрессионное уравне­ние имеет вид: S{ = 0,18 + 0,81 х So. Теперь построим уравнение линии тренда в SPSS.

Диалоговое окно Linear Regression имеет встроенное средство для построения гра­фиков - кнопку Plots. Однако это средство, к сожалению, не позволяет на одном графике построить две переменные: S, и So - Для того чтобы построить тренд, необ­ходимо использовать меню Graphs Scatter. На экране появится диалоговое окно Scatterplot (рис. 4.32), которое служит для выбора типа диаграммы. Выберите вид Simple. Максимально возможное число независимых переменных, которое можно изобразить графически, - 2. Поэтому при необходимости графического построе­ния зависимости одной переменной (зависимой) от двух независимых (например, если бы в нашем распоряжении были данные не по двум, а по трем годам), в окне Scatterplot следует выбрать 3-D. Схема построения трехмерной диаграммы рассея­ния не имеет существенных отличий от описываемого способа построения двух­мерной диаграммы.

После щелчка на кнопке Define на экране появится новое диалоговое окно, пред­ставленное на рис. 4.34. Поместите в поле Y Axis зависимую переменную (Итоговая оценка 2001), а в поле X Axis - независимую (Итоговая оценка 2000). Щелкните на кнопке 0 К, что приведет к построению диаграммы рассеяния.

Для того чтобы построить линию тренда, дважды щелкните мышью на получен­ной диаграмме; откроется окно SPSS Chart Editor. В этом окне выберите пункт меню Chart Options; далее пункт Total в области Fit Line; щелкните на кнопке Fit Options. Откроется диалоговое окно Fit Line, выберите в нем тип аппроксимирующей ли­нии (в нашем случае Linear regression) и пункт Display R-square in legend. После за­крытия окна SPSS Chart Editor в окне SPSS Viewer появится линейный тренд, ап­проксимирующий наши наблюдения по методу наименьших квадратов. Также на диаграмме будет отражаться величина R2, которая, как было сказано выше, обо­значает долю совокупной вариации, описываемой данной моделью (рис. 4.35). В на­шем примере она равна 53 %.

Этот коэффициент вводится в маркетинговых исследованиях для удобства сравне­ния привлекательности для респондентов анализируемых продуктов/марок. В анке­те должны присутствовать вопросы типа Оцените представленные параметры продукта/ марки X, в которых респондентам предлагается дать свои оценки частным параметрам продукта или марки X, скажем, по пятибалльной шкале (от 1 - очень плохо до 5 - отлично). В конце списка оцениваемых частных параметров респонденты должны поставить итоговую оценку продукту/марке X. При анализе полученных в ходе опро­са ответов респондентов на основании оценок респондентов формируются:

2 при высоком уровне оценки (средневзвешенный балл ≥ 4,5)

1 при среднем уровне оценки (средневзвешенный балл ≥4,0 и < 4,5)

1 при низком уровне оценки (средневзвешенный балл ≥3,0 и < 4,0)

2 при неудовлетворительной оценке (средневзвешенный балл < 3,0)

Рассчитанный для каждого конкурирующего продукта/марки коэффициент СА показывает его/ее относительную позицию в структуре потребительских предпоч­тений. Данный интегральный показатель учитывает уровень оценок по каждому параметру, скорректированный на их значимость. При этом он может изменяться в пределах от -1 (наихудшая относительная позиция среди всех рассматриваемых продуктов/марок) до 1 (наилучшее положение); 0 означает, что данный продукт/ марка ничем особенным не выделяется в глазах респондентов.

Мы завершаем рассмотрение ассоциативного анализа. Данная группа статисти­ческих методов применяется в отечественных компаниях в настоящее время дос­таточно широко (особенно это касается перекрестных распределений). Вместе с тем хотелось бы подчеркнуть, что только лишь перекрестными распределениями ассоциативные методы не ограничиваются. Для проведения действительно глубо­кого анализа следует расширить спектр применяемых методик за счет методов, описанных в настоящей главе.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства