Как посчитать определитель матрицы 5 на 5. Определитель матрицы

До появления сетевых методов планирование работ, проек­тов осуществлялось в небольшом объеме. Наиболее известным средством такого планирования был ленточный график Ганта, недостаток которого состоит в том, что он не позволяет установить зависимости между различными операциями.

Современное сетевое планирование начинается с разбиения программы работ на операции. Определяются оценки продол­жительности операций, и строится сетевая модель (график). Построение сетевой модели позволяет проанализировать все операции и внести улучшения в структуру модели до начала ее реализации. Строится календарный график, определяющий начало и окончание каждой операции, а также взаимосвязи с другими операциями графика. Календарный график выявляет критические операции, которым надо уделять особое внима­ние, чтобы закончить все работы в директивный срок. Что касается некритических операций, то календарный план поз­воляет определить резервы времени, которые можно выгодно использовать при задержке выполнения работ или эффектив­ном применении как трудовых, так и финансовых ресурсов.

Сетевая модель - графическое изображение плана выпол­нения комплекса работ, состоящего из нитей (работ) и узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех операций. В основе сетевого моделирования лежит изображе­ние планируемого комплекса работ в виде графа. Граф - схе­ма, состоящая из заданных точек (вершин), соединенных сис­темой линий. Отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами (дугами) графа. Ориентированным называется такой граф, на котором стрелкой указаны направления всех его ребер (дуг), что позволяет определить, какая из двух его граничных вершин является начальной, а какая - конечной. Исследование таких сетей проводится методами теории графов.

Теория графов оперирует понятием пути, объединяющим последовательность взаимосвязанных ребер. Контур означает такой путь, у которого начальная вершина совпадает с конеч­ной. Сетевой график - это ориентированный граф без конту­ров. В сетевом моделировании имеются два основных элемен­та - работа и событие.

Работа - это активный процесс, требующий затрат ресур­сов, либо пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного результата.

Фиктивная работа - это связь между результатами работ (событиями), не требующая затрат времени и ресурсов.

Событие - это результат (промежуточный или конечный) выполнения одной или нескольких предшествующих работ.

Путь - это любая непрерывная последовательность (цепь) работ и событий.

Критический путь - это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряженные работы комплекса. Работы, расположенные на критическом пути, называют критически­ми. Все остальные работы являются некритическими (нена­пряженными) и обладают резервами времени, которые позво­ляют передвигать сроки их выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.

При построении сетевых моделей необходимо соблюдать следующие правила.

1. Сеть изображается слева направо, и каждое событие с большим порядковым номером изображается правее преды­дущего. Общее направление стрелок, изображающих работы, также в основном должно быть расположено слева направо, при этом каждая работа должна выходить из события с мень­шим номером и входить в событие с большим номером.

2. Два соседних события могут объединяться лишь одной работой. Для изображения параллельных работ вводятся про­межуточное событие и фиктивная работа (рис. 30.1).

3. В сети не должно быть тупиков, т. е. промежуточных событий, из которых не выходит ни одна работа (рис. 30.2).

4. В сети не должно быть промежуточных событий, кото­рым не предшествует хотя бы одна работа (рис. 30.3).

5. В сети не должно быть замкнутых контуров, состоя­щих из взаимосвязанных работ, создающих замкнутую цепь (рис. 30.4). Для правильной нумерации событий поступают следующим образом: нумерация событий начинается с исход­ного события, которому дается номер 1. Из исходного собы­тия 1 вычеркивают все исходящие из него работы, на остав­шейся сети вновь находят событие, в которое не входит ни одна работа. Этому событию дается номер 2. Затем вычеркивают работы, выходящие из события 2, и вновь находят на остав­шейся части сети событие, в которое не входит ни одна работа, ему присваивается номер 3, и так продолжается до заверша­ющего события. Пример нумерации сетевого графика показан на рис. 30.5.

Продолжительность выполнения работ устанавливается на основании действующих нормативов или по экспертным оцен­кам специалистов. В первом случае временные оценки являют­ся детерминированными (однозначными), во втором - стохас­тическими (вероятностными).

Рассмотрим в качестве примера программу создания но­вого бытового прибора, пользующегося спросом у населения. Необходимые данные приведены в табл. 30.1.

На основании данных таблицы построим сетевой график создания прибора с учетом вышеизложенных рекомендаций (рис. 30.6).

Сетевая модель и ее основные элементы

Сетевая модель представляет собой план выполнения некоторого комплекса взаимосвязанных работ (операций), заданного в специфической форме сети, графическое изображение которой называется сетевым графиком . В нашем случае, сетевой моделью консолидации будем называть план работ и операций по осуществлению консолидации данных, реализованный в виде сетевого графика.

Отличительной особенностью сетевой модели является четкое определение всех временных взаимосвязей предстоящих работ.

Главными элементами сетевой модели являются события и работы .

Термин "работа" используется в СПУ в широком смысле.

Во-первых, это действительная работа – протяженный во времени процесс, требующий затрат ресурсов (например, сборка изделия, испытание прибора и т.п.). В нашем случае под термином "работа" мы будем понимать процессы вида сбора первоначальной бухгалтерской информации, формирование на базе полученной информации баланса, формирование отчета о прибылях и убытках, формирования отчетов о движениях денежных средств и других необходимых отчетов, корректировка полученных данных с учетом международных стандартов ведения бухгалтерской отчетности GAAP, анализ полученных результатов и т.д. Каждая такая действительная работа должна быть конкретной, четко описанной и иметь ответственного исполнителя.

Во-вторых, это ожидание – протяженный во времени процесс, не требующий затрат труда (например, процесс ожидания получения финансовых данных о деятельности удаленного филиала или дочернего предприятия по каналам электронной или другой связи и т.п.).

В-третьих, это зависимость, или фиктивная работа –логическая связь между двумя или несколькими работами (событиями), не требующими затрат труда, материальных ресурсов или времени. Она указывает, что возможность одной работы непосредственно зависит от результатов другой. Так, инициализация процесса формирования финансового отчета дивизиона возможна только после получения данных от всех входящих в него предприятий и фирм. Продолжительность фиктивной работы принимается равной нулю.

Событие – это момент завершения какого-либо процесса, отражающий отдельный этап выполнения проекта . Событие может являться частным результатом отдельной работы или суммарным результатом нескольких работ. Событие может свершиться только тогда, когда закончатся все работы, ему предшествующие. Последующие работы могут начаться только тогда, когда событие свершится. В нашем случае событиями можно называть действия вида – информация собрана, отчет создан и т.д. При этом предполагается, что событие не имеет продолжительности и свершается как бы мгновенно. Поэтому каждое событие, включаемое в сетевую модель, должно быть полно, точно и всесторонне определено, его формулировка должна включать в себя результат всех непосредственно предшествующих ему работ.

Среди событий сетевой модели выделяют исходное и завершающее события. Исходное событие не имеет предшествующих работ и событий, относящихся к представленному в модели комплексу работ. Завершающее событие не имеет последующих работ и событий. Исходным событием задачи консолидации данных будет инициализация сбора первичной бухгалтерской информации; завершающим событием системы будет являться завершение формирования консолидированного отчета холдинга.

События на сетевом графике (графе) изображаются кружками (вершинами графа), а работы – стрелками (ориентированными дугами), показывающими связь между работами.

Основные понятия сетевой модели

Сетевая модель - графическое изображение плана выполнения комплекса работ, состоящего из нитей (работ) и узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех операций. В основе сетевого моделирования лежит изображение планируемого комплекса работ в виде графа. Граф - схема, состоящая из заданных точек (вершин), соединенных системой линий. Отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами (дугами) графа. Ориентированным называется такой граф, на котором стрелкой указаны направления всех его ребер (дуг), что позволяет определить, какая из двух его граничных вершин является начальной, а какая - конечной. Исследование таких сетей проводится методами теории графов.

Теория графов оперирует понятием пути, объединяющим последовательность взаимосвязанных ребер. Контур означает такой путь, у которого начальная вершина совпадает с конечной. Сетевой график - это ориентированный граф без контуров. В сетевом моделировании имеются два основных элемента - работа и событие.

Работа - это активный процесс, требующий затрат ресурсов, либо пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного результата. Найти ФСР ОЛДУ . Записать общее решение. По НУ: выделить частное решение.

Фиктивная работа - это связь между результатами работ (событиями), не требующая затрат времени и ресурсов.

Событие - это результат (промежуточный или конечный) выполнения одной или нескольких предшествующих работ.

Путь - это любая непрерывная последовательность (цепь) работ и событий.

Критический путь - это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряженные работы комплекса. Работы, расположенные на критическом пути, называют критическими. Все остальные работы являются некритическими (ненапряженными) и обладают резервами времени, которые позволяют передвигать сроки их выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.

Правила построения сетевых моделей

1. Сеть вычерчивается слева направо, и каждое событие с большим порядковым номером изображается правее предыдущего. Общее направление стрелок, изображающих работы, также в основном должно быть расположено слева направо, при этом каждая работа должна выходить из события с меньшим номером и входить в событие с большим номером.

2. Два соседних события могут объединяться лишь одной работой. Для изображения параллельных работ вводятся промежуточное событие и фиктивная работа.

3. В сети не должно быть тупиков, т.е. промежуточных событий, из которых не выходит ни одна работа.

4. В сети не должно быть промежуточных событий, которым не предшествует хотя бы одна работа.

5. В сети не должно быть замкнутых контуров, состоящих из взаимосвязанных работ, создающих замкнутую цепь. Для правильной нумерации событий поступают следующим образом: нумерация событий начинается с исходного события, которому дается номер 1. Из исходного события 1 вычеркивают все исходящие из него работы, на оставшейся сети вновь находят событие, в которое не входит ни одна работа. Этому событию дается номер 2. Затем вычерчивают работы, выходящие из события 2, и вновь находят на оставшейся части сети событие, в которое не входит ни одна работа, ему присваивается номер 3, и так продолжается до завершающего события.

Продолжительность выполнения работ устанавливается на основании действующих нормативов или по экспертным оценкам специалистов. В первом случае временные оценки являются детерминированными (однозначными), во втором - стохастическими (вероятностными).

1 Теоретическое введение

Календарное планирование предусматривает определение моментов начала и окончания каждой работы и других временных характеристик сетевого графика. Это позволяет проанализировать сетевую модель, выявить критические работы, непосредственно определяющие срок выполнения проекта, провести оптимизацию использования ресурсов (временных, финансовых, исполнителей).

Расчет сетевой модели начинают с временных параметров событий, которые вписывают непосредственно в вершины сетевого графика (рис.1):

· – ранний срок наступления события i, минимально необходимый для выполнения всех работ, которые предшествуют событию i;

· – поздний срок наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети;

· – резерв события i, т. е. время, на которое может быть отсрочено наступление события i без нарушения сроков завершения проекта в целом.

Рис.1. Отображение временных параметров событий на сетевом графике

Ранние сроки свершения событий рассчитываются от исходного (И) к завершающему (З) событию следующим образом:

1) для исходного события И ;

2) для всех остальных событий I

https://pandia.ru/text/78/183/images/image007_88.gif" width="39" height="28">, входящим в событие i; – длительность работы (k, i) (рис.2).

https://pandia.ru/text/78/183/images/image002_149.gif" width="44" height="29"> рассчитываются от завершающего к исходному событию:

1) для завершающего события З ;

2) для всех остальных событий

,

где минимум берется по всем работам , выходящим из события i; – длительность работы (k, i) (рис.3).

Рис.3. Расчет позднего срока свершения события i

Временные параметры работ определяются на основе ранних и поздних сроков событий:

· – ранний срок начала работы;

· – ранний срок окончания работы;

· – поздний срок окончания работы;

· – поздний срок начала работы;

· – полный резерв работы показывает максимальное время, на которое можно увеличить длительность работы или отсрочить ее начало, чтобы не нарушился срок завершения проекта в целом;

· – свободный резерв работы показывает максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность работы или отсрочить ее начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ.

Путь – это последовательность работ в сетевом графике (в частном случае это одна работа), в которой конечное событие одной работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Полный путь – это путь от исходного до завершающего события. Критический путь – максимальный по продолжительности полный путь. Работы, лежащие на критическом пути, называют критическими . Критические работы имеют нулевые свободные и полные резервы. Подкритический путь – полный путь, ближайший по длительности к критическому пути.

Для проведения анализа временных параметров сетевой модели используют график привязки , который отображает взаимосвязь выполняемых работ во времени. По вертикальной оси графика привязки откладываются коды работ, по горизонтальной оси – отрезки, соответствующие длительностям работ (раннее начало и раннее окончание работ). График привязки можно построить на основе данных о продолжительности работ. При этом необходимо помнить, что работа может выполняться только после того как будут выполнены все предшествующие ей работы .

Задача №1

Компания разрабатывает строительный проект. Исходные данные по основным операциям проекта представлены в табл.1. Постройте сетевую модель проекта, определите критические пути модели и проанализируйте, как влияет на ход выполнения проекта задержка работы D на 4 недели.

Таблица 1

Исходные данные задачи №1

Название	Непосредственно предшествующие операции	Длительность,

Решение

Построим сетевую модель и рассчитаем временные параметры событий (рис.3). При поиске критических путей на сетевом графике будем использовать следующие условия его критичности:

· необходимое условие – нулевые резервы событий, лежащих на критическом пути;

· достаточное условие – нулевые полные резервы работ, лежащих на критическом пути.

Согласно необходимому условию два полных пути сетевой модели (см. рис.8.3) и могут быть критическими. Проверим достаточное условие критичности для работ (1,2) и (1,3)

Путь , начинающийся с работы (1,3) не является критическим, т. к. как минимум одна из его работ (1,3,) не является критической. Работа (1,3) имеет ненулевой полный резерв, а значит может быть задержана с выполнением, что недопустимо для критических работ.

Таким образом, сетевая модель имеет единственный критический путь длительностью недель. За выполнением работ этого пути необходим особый контроль, т. к. любое увеличение их длительности нарушит срок выполнения проекта в целом.

Работа D или (2,5) не является критической, ее полный резерв равен 3-м неделям. Это означает, что при задержке работы в пределах 3-х недель срок выполнения проекта не будет нарушен. Поэтому если согласно условию работа D задержится на 4 недели, то весь проект закончится на 1 неделю позже.

Рис.3. Сетевой график задачи №1

Задача №2

По данным о кодах и длительностях работ в днях (табл.2) постройте график привязки сетевой модели, определите критические пути и их длительность. Определите свободные и полные резервы каждой работы, отметьте на графике привязки свободные резервы работ.

Таблица 2

Исходные данные задачи №2

При поиске критических путей следует помнить, что признаком критической работы являются нулевые значения резервов времени. Это означает, что каждая последующая критическая работа будет начинаться строго в момент окончания предыдущей критической работы. Вследствие этого сдвиг любой из работ критического пути обязательно приведет к увеличению первоначальной длительности проекта (). Кроме того, следует учесть, что критический путь является полным , т. е. соединяет исходное и завершающее события сети. Поэтому на графике привязки первая из работ критического пути всегда начинается в исходном событии сети с нулевого (начального) момента времени, а последняя из работ критического пути всегда завершается позже всех остальных работ сети в завершающем событии.

Из вышеприведенных соображений следует способ определения критического пути на графике привязки (все найденные работы выписываются последовательно справа налево ):

1) найти на графике привязки и выписать работу (i, j), которая заканчивается позже всех остальных. Это будет последняя работа критического пути (ее конечное событие иметь номер завершающего события сети);

2) из всех работ сети (k, i), конечное событие которых i совпадает с начальным событием i работы (i, j), найденной в п.1), выбрать и выписать ту, которая на графике вплотную примыкает к работе (i, j);

3) из всех работ сети (l, k), конечное событие которых k совпадает с начальным событием k работы (k, i), найденной в п.2), выбрать и выписать ту, которая на графике вплотную примыкает к работе (k, i);

4) продолжать п.3) до тех пор, пока не будет найдена исходная работа сети, т. е. начинающаяся в нулевой момент времени (ее начальное событие будет иметь номер исходного события сети, например, 1).

Следует заметить, что если в сетевой модели несколько критических путей, то, выполняя вышеописанные действия, можно обнаружить несколько работ, удовлетворяющих сформулированным требованиям. В таком случае необходимо продолжать поиск по каждой из таких работ в отдельности. В сложных сетевых моделях подобные разветвления могут привести к большим затратам времени на поиск критически путей. Тем не менее, такой способ хорош для учебных целей, поскольку дает понимание значения критических работ в сетевой модели и учит "читать" и понимать график привязки.

Решение

I. Поиск критических путей

1) Построим график привязки (рис.4).

Рис.4. График привязки задачи №2

2) Начнем поиск критических путей (справа налево) с работ, завершающих проект. На графике привязки (см. рис.8.4) две работы (6,7) и (3,7), которые заканчиваются позже остальных в завершающем событии №7. Записываем работы, определенные как критические справа налево

4) Найдем критическую работу из примыкает" на графике к началу работы (3,6). Допишем слева найденную критическую работу (2,3) к выражению (2)

5) Найдем критическую работу из примыкает" на графике к началу работы (2,3)..gif" width="252" height="29">.

6) Аналогичный поиск работ критического пути https://pandia.ru/text/78/183/images/image040_18.gif" width="209" height="29">.

В другой форме записи https://pandia.ru/text/78/183/images/image042_17.gif" width="124" height="29 src=">.

7) Для наглядности выделим на графике привязки критические работы жирной линией.

II. Поиск резервов работ

1) Для всех найденных критических работ впишем в табл.3 нулевые значения свободного и полного резервов. Рассмотрим некритические работы, начиная с конца табл.8.3.

Таблица 3

Резервы работ из задачи №2

				Критичность
				Критическая
				Критическая
				Критическая
				Критическая
				Критическая

2) Работа (5,7), согласно графику привязки (см. рис.4) заканчивается в 13-й день, а завершающее событие 7 сети, в которое она входит, наступает лишь в 14-й день. Т. е..gif" width="172" height="29 src=">.

3) Работа (4,6) заканчивается в 8-й день, в то время как последующая работа (6,7) начинается в 10-й день. То есть, работа (4,6) может задержаться на 2 дня и это никак не повлияет на время начала последующей работы (6,7), т. е. .

Правило №1

Полный резерв любой работы складывается из собственного свободного резерва и минимального из полных резервов непосредственно следующих работ.

За работой (4,6) следует только критическая работа (6,7) с нулевым полным резервом. Поэтому .

4) Работа (4,5) заканчивается в 12-й день, в этот же день начинается следующая работа (5,7), т. е. любая задержка выполнения работы (4,5) приведет к задержке начала работы (5,7). Это означает, что работа (4,5) не имеет свободного резерва . Но если сдвинуть во времени работу (4,5) на 1 день, то работа (5,7) также сдвинется на 1 день и это не нарушит срок выполнения проекта, т. к. у работы (5,7) есть временной резерв. Таким образом согласно правилу №8.1

5) Работа (1,5) заканчивается в 10-й день, в то время как последующая работа (5,7) начинается в 12-й день. Т. е. работа (1,5) может задержаться на 2 дня и это никак не повлияет на время начала последующей работы (5,7), т. е. . Кроме того, поскольку последующая работа (5,7) имеет резерв в 1 день, то, в общем, работу (1,5) можно сдвинуть на 3 дня и это не нарушит сроков проекта (см. рис.8.4), т. е.

6) Работа (1,4) заканчивается во 2-й день, и в этот же день начинаются следущие работы (4,5) и (4,6). Т. е. работа (1,4) не имеет свободного резерва времени . Поскольку после работы (1,4) следуют две работы с различными полными резервами, то согласно правилу №1

7) Работа (1,3) заканчивается в 3-й день, а следующие за ней работы (3,6) и (3,7) начинаются в 5-й день, т. е..gif" width="562" height="41">.

8) Ненулевые свободные резервы работ обозначены на графике привязки фигурными скобками (см. рис.4).

3 Варианты задач для самостоятельного решения

Задача №1

Рассчитайте временные параметры событий и работ сетевых моделей задач №1–4, определите критические пути и их длительность.

Задача №2

Определите критические пути и указанные параметры работ в сетевой модели (рис.3): Rc(1,5), Rп(1,5), Tрн(5,7), Тпн(5,7), Тро(2,6), Тпн(3,6), Тро(4,7), Тпо(1,5), Тпн(1,5).

Рис.3. Сетевая модель задачи №2

Задача №3

Задание из задачи №2 для рис.4: Rc(1,3), Rп(1,2), Тро(3,7), Трн(2,5), Тпн(1,6), Тпо(1,3), Тпн(4,5), Тро(1,4), Тпо(1,2).

Рис.4 Сетевая модель задачи №3

Задача №4

Определите критические пути и указанные параметры работ в сетевой модели, полученной после исправлений в процессе решения задачи №6 (см. рис.8): Tрн(H), Rп(N), Тпн(F), Тпо(A), Rc(A), Тпн(M), Тро(M), Rп(A), Тро(G), Тпн(E), Rc(J), Тпн(G).

Задача №5

Проанализируйте, как повлияет на ход выполнения проекта, представленного на рис.8.3, одновременная задержка следующих работ: (1,5) – на 19 дней, (3,6) – на 3 дня. Аргументируйте свой ответ.

Задача №6*

Проанализируйте, как повлияет на ход выполнения проекта, представленного на рис.8.4, одновременная задержка следующих работ: (1,2) – на 2 дня, (1,3) – на 11 дней, (3,7) –на 3 дня, (5,6) – на 1 день. Аргументируйте свой ответ.

Задачи №7, 8, 9

По данным о кодах и длительностях работ (табл.8.4) постройте график привязки сетевой модели, определите критические пути и их длительность, численные значения свободных и полных резервов каждой работы сведите в таблицу, отметьте на графике привязки свободные резервы работ.

Таблица 4

Исходные данные задач №7, 8, 9

Задача №7	Задача №8	Задача №9

Равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. , где i 0 – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i 0 .

Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для нахождения определителя матрицы в онлайн режиме с оформлением всего хода решения в формате Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Инструкция . Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.

Размерность матрицы 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вычислить определитель можно будет двумя способами: по определению и разложением по строке или столбцу . Если требуется найти определитель созданием нулей в одной из строк или столбцов, то можно использовать этот калькулятор .

Алгоритм нахождения определителя

1. Для матриц порядка n=2 определитель вычисляется по формуле: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Для матриц порядка n=3 определитель вычисляется через алгебраические дополнения или методом Саррюса .
3. Матрица, имеющая размерность больше трех, раскладывается на алгебраические дополнения, для которых вычисляются свои определители (миноры). Например, определитель матрицы 4 порядка находится через разложение по строкам или столбцам (см. пример).

Для вычисления определителя, содержащего в матрице функции, применяются стандартные методы. Например, вычислить определитель матрицы 3 порядка:

Используем прием разложения по первой строке.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Методы вычислений определителей

Нахождение определителя через алгебраические дополнения является распространенным методом. Его упрощенным вариантом является вычисление определителя правилом Саррюса . Однако при большой размерности матрицы, используют следующие методы:

1. вычисление определителя методом понижения порядка
2. вычисление определителя методом Гаусса (через приведение матрицы к треугольному виду).

В Excel для расчета определителя используется функция =МОПРЕД(диапазон ячеек) .

Прикладное использование определителей

Вычисляют определители, как правило, для конкретной системы, заданной в виде квадратной матрицы. Рассмотрим некоторые виды задач на нахождение определителя матрицы . Иногда требуется найти неизвестный параметр a , при котором определитель равнялся бы нулю. Для этого необходимо составить уравнение определителя (например, по правилу треугольников ) и, приравняв его к 0 , вычислить параметр a .
разложение по столбцам (по первому столбцу):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6 .

Определим минор для (2,1): для этого вычеркиваем из матрицы вторую строку и первый столбец.

Найдем определитель для этого минора. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Главный определитель равен: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Найдем определитель, использовав разложение по строкам (по первой строке):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.

Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6 . Минор для (1,2): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец. Вычислим определитель для этого минора. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7 . И чтобы найти минор для (1,3) вычеркиваем из матрицы первую строку и третий столбец. Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Находим главный определитель: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

Уважаемые друзья!

С 8 февраля 2018 года наш форум переходит в режим Элитарного Клуба.
Теперь незарегистрированным посетителям запрещено подглядывать и подслушивать наши тайные переговоры, а чтобы зарегистрироваться, нужно... впрочем, если вы действительно достойны стать членом Клуба, то вы наверняка разберётесь, как это сделать.

Возрадуйтесь, обладатели зарегистрированных аккаунтов! Обещаем вам чистки, репрессии и все остальные бонусы тоталитарного сообщества.

Всегда ваша,
Администрация Корума

1. Теоретический минимум

   Определитель (детерминант) возникает во многих разделах математики естественным образом. Вводится он обычно в рамках алгебры.
   Например, можно начинать с систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для простоты ограничимся случаем двух уравнений с
   двумя переменными:
   .
   Решить эту систему легко, например, выражая одну из переменных через другую и выполняя подстановку во второе уравнение.
   
   Решение удобно представить в другом виде, для чего вводится следующее обозначение:
   .
   Так вводится определитель второго порядка. В таких обозначениях получим из (1)
   .
   Это частный случай формул Крамера, предназначенных для решения СЛАУ, число уравнений в которых совпадает с числом переменных.
   Мы не останавливаемся здесь подробно на вопросе решения СЛАУ. Заметим только, что понятие определителя обобщается для большего
   количества элементов.

   Обобщение такое может быть сделано не одним способом. Возможен индуктивный метод, когда определитель третьего порядка
   вводится через определитель второго порядка, определитель четвёртого порядка - через определитель третьего порядка и т.д.
   Например, для определителя третьего порядка вводится следующее правило:
   .
   Сформулировать правило можно следующим образом. Берётся первый элемент первой строки, вычёркивается строка и столбец, которым
   этот элемент принадлежит - остаётся определитель второго порядка. Следующий элемент первой строки берётся со знаком минус, снова
   вычёркивается строка и столбец, которым принадлежит элемент, остаётся определитель. Наконец, третий элемент первой строки берётся со
   знаком плюс, опять вычёркиваются содержащие его строка и столбец. Соответственно, правило легко обобщить на определитель любого порядка.
   Последовательно берутся элементы первой строки, причём знаки, с которыми они входят в определитель, должны чередоваться. Затем
   вычёркивается строка и столбец, в которые входит выбранный элемент, остаётся определитель на единицу меньшего порядка.

   С точки зрения вычислений этот метод введения определителя не так плох, но для доказательств свойств детерминанта это определение
   неудобно, поэтому используется другое определение. Чтобы прийти к нему, выпишем явно определитель третьего порядка.
   
   
   Обратите внимание: все слагаемые можно записать в общем виде . Индексы могут принимать
   значения 1, 2 или 3. Фактически мы перебираем все возможных варианты расстановки трёх чисел. Таких вариантов шесть: 123, 132, 213, 231, 312, 321.
   Слагаемых в определителе тоже шесть. Как определить знак, с которым войдёт в определитель слагаемое при данной расстановке индексов?
   Возьмём за отправную точку слагаемое, в котором вторые индексы образуют последовательность 123 (элемент ).
   Этот элемент входит со знаком плюс. Поменяем местами два вторых индекса, чтобы они образовали последовательность 213. Соответствующее
   слагаемое входит в определитель со знаком минус. Если же мы в последовательности 123 дважды поменяем
   местами индексы: , то получим слагаемое , входящее в определитель со знаком
   плюс. Отсюда можно прийти к идее составления определителя на основе произведений его элементов, которые входят со знаком, определяемым
   расстановкой индексов элементов в данном слагаемом. Сформулируем эту идею в общем виде для определителя порядка . Он будет состоять
   из слагаемых вида , где индексы принимают значения от 1 до .
   Вводится понятие перестановки индексов. Так называют упорядоченный набор чисел из чисел от 1 до без пропусков и повторений.
   Два элемента перестановки образуют порядок, если при . В противном случае эти два элемента образуют инверсию.
   Если в перестановке имеется чётное число инверсий, то она называется чётной, в противном случае - нечётной. Если мы меняем местами любые
   два элемента перестановки, то это называется транспозицией. При транспозиции перестановка меняет свою чётность.

   Теперь мы можем дать общее определение детерминанта. Введём в рассмотрение таблицу чисел (матрицу)
   .
   По определению её детерминантом называется число
   ,
   где суммирование ведётся по всевозможным перестановкам , а - это число инверсий в перестановке .

   Пример .
   Определим, с каким знаком войдёт в определитель пятого порядка слагаемое .
   Согласно общему определению нужно найти число инверсий в перестановке 34152. Удобнее всего делать это приведением перестановки к виду 12345,
   считая при этом число транспозиций:
   - 2 транспозиции
   - 3 транспозиции
   Итого 5 транспозиций, следовательно, перестановка была нечётная, и рассматриваемое слагаемое должно войти в определитель с минусом.

   Переходим к свойствам определителя. Отметим, что здесь мы не останавливаемся на свойствах определителя, связанных с операциями над матрицами:
   эти свойства обсудим позже.
   1. При перестановке двух строк или столбцов определителя он меняет знак.
   2. Определитель с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.
   3. Если к строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец) определителя, умноженную на отличное от нуля число,
   то определитель не изменится.
   4. Из строки (столбца) определителя можно выносить множитель за знак определителя.

   Следующие свойства приведут нас к тому определению детерминанта, с которого мы начали. Сначала введём терминологию. Минором
   элемента называется определитель, полученный вычёркиванием из исходного определителя строки и столбца, содержащих элемент .
   Алгебраическое дополнение элемента
   .
   Существует теорема разложения определителя по строке и по столбцу. Согласно этой теореме определитель равен сумме элементов одной строки
   (одного столбца), умноженных на их алгебраические дополнения. Например,
   .
   Видно, что это и есть то индуктивное определение детерминанта, которое приводилось выше. Однако теорема о разложении определителя позволяет
   вычислять детерминант разложение не только по первой строке, а по любой строке или любому столбцу - как удобнее.
   Другое следствие теоремы о разложении определителя - теорема об определителе верхнетреугольной матрицы, т.е. матрицы вида
   .
   Детерминант такой матрицы равен произведению её диагональных элементов. Отсюда следует способ вычисления определителей высоких порядков.
   Нужно допустимыми преобразованиями привести матрицу к верхнетреугольному виду и перемножить диагональные элементы. К преобразованиям
   относится прибавление к строкам и столбцам определителя других строк и столбцов, умноженных на соответствующие числа. Проиллюстрируем это примерами.

   Примеры вычисления определителей

   Пример 1. Вычисление определителей матриц прямым разложением по строкам и столбцам .
   Вычислить определитель
   

   Один раз покажем вычисление по теореме разложения, однако на практике обычно лучше не применять такой способ к вычислению
   определителей выше третьего порядка (если только в определителе нет большого количества нулей).
   Во втором столбце есть два нуля, поэтому разложение проводим по второму столбцу:
   
   Первый определитель третьего порядка вычисляем разложением по первой строке (впрочем, этот вариант ничем не лучше разложений по другим
   строкам или столбцам). Второй определитель раскладываем по второй строке: там есть один нуль (с тем же успехом можно было раскладывать по
   второму столбцу):
   
   

   Пример 2. Простой пример вычисления определителя методом преобразований .
   Вычислить определитель
   .

   В общем, ничто не мешает применить совсем простую формулу для определителя второго порядка, но хотелось бы сделать вычисления проще.
   Для этого вычтем из второго столбца первый, вынесем из второго столбца 100:
   .

   Пример 3. Вычисление определителей матриц методом преобразований .
   Вычислим тот же определитель, что и в первом примере, но с помощью допустимых преобразований. Совершённые преобразования будут
   указываться после их проведения.
   
   
   Из второй и четвёртой строк вычли первую строку, из третьей строки вычли первую, умноженную на 2. Затем вынесли из второй строки двойку.
   Умножили вторую строку на 5, четвёртую строку - на 2. Чтобы определитель не изменился, разделили его на 10. Этими действиями мы приводим
   определитель к ступенчатому виду.
   
   
   Внесли дробь перед определителем во вторую строку, третью строку умножили на 12, четвёртую - на 7; прибавили к четвёртой строке третью,
   разделили третью строку на 12. Домножения и деления строк определителя сопровождались изменением множителя перед определителем.
   Перемножение диагональных элементов и деление результата на 7 приводит к ответу 46 - в согласии с результатом вычислений в первом примере.
   Может показаться, что мы ничего не выгадали по сравнению с первым примером, пользуясь методом преобразований. Иногда, действительно, вычисления
   и тем, и другим способами примерно одинаковы по сложности. Разница становится очевидна при вычислении определителей бòльших порядков
   или при отсутствии нулей среди элементов матрицы (см. далее).

   Пример 4. Определитель матрицы без нулевых элементов .
   Вычислить определитель
   

   Применяем метод преобразований.
   
   Умножили вторую, третью, четвёртую строки на 3 и вычли из них первую строку; вынесли из второй, третьей и четвёртой строк 2.
   
   
   Умножили третью и четвёртую строки на 4, вычли из них вторую строку; вынесли из третьей и четвёртой строк 3.
   
   
   Четвёртую строку умножили на 5 и вычли из неё третью строку.
   Вычисление расписано очень детально, поэтому может показаться, что оно очень длинно. Между тем непосредственное разложение по строке
   не будет короче и к тому же может быть связано с чисто арифметическими вычислительными ошибками.

   Пример 5. Вычисление определителя пятого порядка .
   Вычислить определитель
   .

   Хотелось бы сразу пояснить, что раскладывать этот определитель по строкам или столбцам - значит иметь дело с слагаемыми.
   Поэтому будем преобразовывать определитель. Выкладки не будут столь детальны, как прежде. Рекомендуется проделать вычисления самостоятельно,
   а ответ сравнить с полученным здесь:
   
   
   
   
   Нужно подчеркнуть, что показанный метод, конечно же, не единственный возможный. Необязательно упорно приводить матрицу к ступенчатому
   виду. Можно комбинировать метод преобразований с разложением по строкам и столбцам, получая нули там, где это удобнее для вычислений.
   Здесь продемонстрирован метод последовательного приведения к ступенчатому виду матрицы.

   Замечания .
   1. В высшей алгебре приводится ещё один способ определения детерминанта, имеющий значительные преимущества по сравнению с приведёнными здесь. Он основан на использовании т.н. внешних произведений.
   2. Теорема разложения имеет очень сильное обобщение - теорему Лапласа. Она заключается в возможности разложения определителя не только по строке, но и по минорам. Мы здесь не останавливаемся
   на этой теореме.

2. Попытки создания «чистой» дедуктивно-аксиоматической математики привели к отказу от обычной в физике схемы (наблюдение - модель - исследование модели - выводы - проверка наблюдениями) и замена её схемой: определение - теорема - доказательство. Понять немотивированное определение невозможно, но это не останавливает преступных алгебраистов-аксиоматизаторов. Например, они были бы готовы определить произведение натуральных чисел при помощи правила умножения «столбиком». Коммутативность умножения становится при этом трудно доказываемой, но все же выводимой из аксиом теоремой. Эту теорему и её доказательство можно затем заставить учить несчастных студентов (с целью повысить авторитет как самой науки, так и обучающих ей лиц). Понятно, что ни такие определения, ни такие доказательства, ни для целей преподавания, ни для практической деятельности, ничего, кроме вреда, принести не могут.

   Понять коммутативность умножения можно, только либо пересчитывая выстроенных солдат по рядам и по шеренгам, либо вычисляя двумя способами площадь прямоугольника. Попытки обойтись без этого вмешательства физики и реальности в математику - сектанство и изоляционизм, разрушающие образ математики как полезной человеческой деятельности в глазах всех разумных людей.

   Раскрою ещё несколько подобных секретов (в интересах несчастных студентов).

   Определитель матрицы - это (ориентированный) объём параллелепипеда, рёбра которого - её столбцы. Если сообщить студентам эту тайну (тщательно скрываемую в выхолощенном алгебраическом преподавании), то вся теория детерминантов становится понятной главой теории полилинейных форм. Если же определять детерминанты иначе, то у каждого разумного человека на всю жизнь останется отвращение и к определителям, и к якобианам, и к теореме о неявной функции.

   Нажмите, чтобы раскрыть...

   http://www.ega-math.narod.ru/Arnold2.htm

3. Не возражая против слов процитированного В.И. Арнольда, замечу, что сейчас есть такое модное веяние - пытаться засунуть куда только
   можно и нельзя теорию форм и всё тому подобное. Да, выделенное жирным шрифтом утверждение имеет место быть, с этим не поспоришь,
   только вот вычислять детерминанты оно не поможет. А основной смысл приведённого выше текста сводился к мотивировке введения
   детерминанта в том виде, в каком он вводится буквально с первых семинаров (делается это обычно без обоснования, а появляется оно
   примерно полгода спустя). Также насколько возможно поясняется классическое определение, даваемое в алгебре, а акцент сделан на
   вычислительной части - собственно на том, что нужнее всего студентам первого и второго семестров. Может быть со временем появится
   набор тем, содержащих материал, который в МИФИ не дают.

   С Арнольдом также не поспоришь в том, что геометрии сейчас уделяется слишком мало внимания, но это не значит, что некоторые чисто
   алгебраические вещи должны извлекаться из процесса образования.

4. не хочется спорить, если честно, поэтому отвечу очень кратко

   Меня учили (не в мифи), что определитель - это коэффициент преобразования объема под действием линейного оператора. Т.е., под действием линейного оператора А параллелепипед объемом X переходит в параллелепипед с (ориентированным) объемом det(A)*X

   Из этого определения мгновенно (без приложения каких-либо умственных усилий) следует что определитель произведения матриц равен произведению определителей, а для суммы матриц например это уже не верно. Из вашего определения это можно вывести, но это уже нетривально. И главное вывод выглядит как бессмысленная возня с индексами, он скорее прячет ясный смысл равенства, а не проясняет его. Также скажем следует, опять же без каких либо вычислений, что определитель матрицы, у которой два столбца или две строки совпадают, равен 0, многое следует про якобиан, про то что не бывает определителя у неквадратной матрицы ну итд

   То, что я услышал правильное определение на почти 2 года позже мифишного, отняло у меня очень много ценного времени, поэтому я теперь так нервно реагирую когда вижу мифишное.

   И вообще, это очень характерная ситуация, которую я неоднократно встречал в жизни. Если вы видите человека, который очень хорошо знает математику, то скорее всего это не потому, что он прорешал всего демидовича, а потому что он читал правильные книжки/учился у правильных людей в то время как другие решали демидовича.

5. 
   
   
   
   
   

   
   
   

   Если вы видите человека, который очень хорошо знает математику, то скорее всего это не потому, что он прорешал всего демидовича, а потому что он читал правильные книжки/учился у правильных людей в то время как другие решали демидовича.

   Нажмите, чтобы раскрыть...

   А это, простите, тривиальность.

6. Я за принципиальные вещи с Вами не спорю. Я согласен с тем, что определение, которое приводится в линейной алгебре, во многих
   теоретических вопросах неудобно, очень неудобно. Более того, я упомянул о существовании хорошего определения, имеющего выходы на разные
   интересные общетеоретические вопросы в примечании. Но понимаете, цель вот этой конкретной темы как раз прояснить определение, которое студент
   узнаёт на первом семестре и которое ему может быть непонятно. Цель этой конкретной темы - показать методы вычисления определителей.
   Могу повторить, что была у меня мысль со временем - когда основные темы будут готовы - обратить внимание и на темы, которые в МИФИ не освещают,
   к сожалению. Я согласен, что в МИФИ не хватает современной математики.

   "Возня с индексами" - говорите Вы. Но с индексами-то тоже нужно уметь работать. А навык приобретается на практике, в качестве которой можно
   рассматривать и доказательство таких вот теорем.

   Нажмите, чтобы раскрыть...

   я наверное не сумел донести свою мысль. Алгебраическое определение - вредное, оно сильно затрудняет понимание (и не каких-то теоретических вопросов, а самых что ни на есть практических) и ничего не дает, кроме бессмысленного вычислительного рецепта. Бессмысленного потому, что он применим только для матриц от 2х2 до 4х4, как вы правильно написали 5x5 уже слишком много.

   Кстати, считать определители выше 3x3 руками, если мне не изменяет память, мне не приходилось в мифи по-моему (понятно что это были определители как функции какого-то параметра) И вообще считать рукми определители "численные" размером выше 3х3 - анахронизм сродни использованию логарифмической линейки. Кстати и эти определители 3х3 были якобианами при замене переменных в каких-то интегралах, так что и тут правильное определение было бы более полезным.

   Одним словом изучать определители, основываясь на "классическом определении" (на самом деле оно никаким классическим не является конечно) - вредно для мозгов. Наверное чуть лучше чем какие-нибудь подстановки Эйлера, но не сильно. Но я понимаю, что признать это вы не сможете, поэтому как говорят джентельмены let"s agree to disagree

   А это, простите, тривиальность.

   Нажмите, чтобы раскрыть...

   рад, что наши мнения тут совпадают

7. Я за принципиальные вещи с Вами не спорю. Я согласен с тем, что определение, которое приводится в линейной алгебре, во многих
   теоретических вопросах неудобно, очень неудобно. Более того, я упомянул о существовании хорошего определения, имеющего выходы на разные
   интересные общетеоретические вопросы в примечании. Но понимаете, цель вот этой конкретной темы как раз прояснить определение, которое студент
   узнаёт на первом семестре и которое ему может быть непонятно. Цель этой конкретной темы - показать методы вычисления определителей.
   Могу повторить, что была у меня мысль со временем - когда основные темы будут готовы - обратить внимание и на темы, которые в МИФИ не освещают,
   к сожалению. Я согласен, что в МИФИ не хватает современной математики.

   "Возня с индексами" - говорите Вы. Но с индексами-то тоже нужно уметь работать. А навык приобретается на практике, в качестве которой можно
   рассматривать и доказательство таких вот теорем.

   А это, простите, тривиальность.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Гармонические колебания Физика формула частоты колебаний