Какая десятичная дробь больше. Сравнение десятичных дробей — Гипермаркет знаний

В данной теме будет рассмотрена как общая схема сравнения десятичных дробей, так и детальный разбор принципа сравнения конечных и бесконечных дробей. Теоретическую часть закрепим решением типичных задач. Также разберем на примерах сравнение десятичных дробей с натуральными или смешанными числами, и обыкновенными дробями.

Внесем уточнение: в теории ниже будет рассмотрено сравнение только положительных десятичных дробей.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Общий принцип сравнения десятичных дробей

Для каждой конечной десятичной и бесконечной периодической десятичной дробей существуют соответствующие им некоторые обыкновенные дроби. Следовательно, сравнение конечных и бесконечных периодических дробей возможно производить как сравнение соответствующих им обыкновенных дробей. Собственно, это утверждение и является общим принципом сравнения десятичных периодических дробей.

На основе общего принципа формулируются правила сравнения десятичных дробей, придерживаясь которых возможно не осуществлять перевод сравниваемых десятичных дробей в обыкновенные.

То же самое можно сказать и про случаи, когда происходит сравнение десятичной периодической дроби с натуральными числами или смешанными числами, обыкновенными дробями – заданные числа необходимо заменить соответствующими им обыкновенными дробями.

Если же речь идет о сравнении бесконечных непериодических дробей, то его обычно сводят к сравнению конечных десятичных дробей. Для рассмотрения берется такое количество знаков сравниваемых бесконечных непериодических десятичных дробей, которое даст возможность получить результат сравнения.

Равные и неравные десятичные дроби

Определение 1

Равные десятичные дроби – это две конечные десятичные дроби, у которых равны соответствующие им обыкновенные дроби. В противном случае десятичные дроби являются неравными .

Опираясь на данное определение, просто обосновать такое утверждение: если в конце заданной десятичной дроби подписать или, наоборот, отбросить несколько цифр 0 , то получится равная ей десятичная дробь. К примеру: 0 , 5 = 0 , 50 = 0 , 500 = … . Или: 130 , 000 = 130 , 00 = 130 , 0 = 130 . По сути, дописать или отбросить нуль в конце дроби справа - значит умножить или разделить на 10 числитель и знаменатель соответствующей обыкновенной дроби. Добавим к сказанному основное свойство дробей (умножая или деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, получаем дробь, равную исходной) и имеем доказательство вышеуказанного утверждения.

К примеру, десятичной дроби 0 , 7 соответствует обыкновенная дробь 7 10 . Дописав нуль справа, получим десятичную дробь 0 , 70 , которой соответствует обыкновенная дробь 70 100 , 7 · 70 100: 10 . Т.е.: 0 , 7 = 0 , 70 . И наоборот: отбрасывая в десятичной дроби 0 , 70 нуль справа, получаем дробь 0 , 7 – таким образом, от десятичной дроби 70 100 мы переходим к дроби 7 10 , но 7 10 = 70: 10 100: 10 Тогда: 0 , 70 = 0 , 7 .

Теперь рассмотрим содержание понятия равных и неравных бесконечных периодических десятичных дробей.

Определение 2

Равные бесконечные периодические дроби – это бесконечные периодические дроби, у которых равны отвечающие им обыкновенные дроби. Если же соответствующие им обыкновенные дроби не равны, то заданные для сравнения периодические дроби также являются неравными .

Данное определение позволяет сделать следующие выводы:

Если записи заданных периодических десятичных дробей совпадают, то такие дроби являются равными. К примеру, периодические десятичные дроби 0 , 21 (5423) и 0 , 21 (5423) равны;

Если в заданных десятичных периодических дробях периоды начинаются с одной и той же позиции, первая дробь имеет период 0 , а вторая – 9 ; значение разряда, предшествующего периоду 0 , на единицу больше, чем значение разряда, предшествующего периоду 9 , то такие бесконечные периодические десятичные дроби равны. К примеру, равными являются периодические дроби 91 , 3 (0) и 91 , 2 (9) , а также дроби: 135 , (0) и 134 , (9) ;

Две любые другие периодические дроби не являются равными. Например: 8 , 0 (3) и 6 , (32) ; 0 , (42) и 0 , (131) и т.д.

Осталось рассмотреть равные и неравные бесконечные непериодические десятичные дроби. Такие дроби представляют из себя иррациональные числа, и их невозможно перевести в обыкновенные дроби. Следовательно, сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей не сводится к сравнению обыкновенных.

Определение 3

Равные бесконечные непериодические десятичные дроби – это непериодические десятичные дроби, записи которых полностью совпадают.

Логичным будет вопрос: как сравнить записи, если увидеть «законченную» запись таких дробей невозможно? Сравнивая бесконечные непериодические десятичные дроби, нужно рассматривать только некоторое конечное число знаков заданных для сравнения дробей так, чтобы это позволило сделать вывод. Т.е. по сути сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей заключается в сравнении конечных десятичных дробей.

Такой подход дает возможность утверждать о равенстве бесконечных непериодических дробей только с точностью до рассматриваемого разряда. Например, дроби 6 , 73451 … и 6 , 73451 … равны с точностью до стотысячных, т.к. равными являются конечные десятичные дроби 6 , 73451 и 6 , 7345 . Дроби 20 , 47 … и 20 , 47 … равны с точностью до сотых, т.к. равными являются дроби 20 , 47 и 20 , 47 и так далее.

Неравенство бесконечных непериодических дробей устанавливается вполне конкретно при явных различиях в записях. Например, неравными являются дроби 6 , 4135 … и 6 , 4176 … или 4 , 9824 … и 7 , 1132 … и так далее.

Правила сравнения десятичных дробей. Решение примеров

Если установлен факт неравенства двух десятичных дробей, обычно также необходимо определить, какая из них больше, а какая – меньше. Рассмотрим правила сравнения десятичных дробей, которые дают возможность решить вышеуказанную задачу.

Очень часто достаточно лишь сравнить целые части заданных к сравнению десятичных дробей.

Определение 4

Та десятичная дробь, у которой целая часть больше, является бОльшей. Меньшей является та дробь, у которой целая часть меньше.

Указанное правило распространяется как на конечные десятичные дроби, так и на бесконечные.

Пример 1

Необходимо сравнить десятичные дроби: 7 , 54 и 3 , 97823 … .

Решение

Совершенно очевидно, что заданные десятичные дроби равными не являются. Целые их части равны соответственно: 7 и 3 . Т.к. 7 > 3 , то 7 , 54 > 3 , 97823 … .

Ответ: 7 , 54 > 3 , 97823 … .

В случае, когда целые части заданных к сравнению дробей равны, решение задачи сводится к сравнению дробных частей. Сравнение дробных частей производится поразрядно – от разряда десятых к более младшим.

Рассмотрим сначала случай, когда нужно сравнить конечные десятичные дроби.

Пример 2

Необходимо выполнить сравнение конечных десятичных дробей 0 , 65 и 0 , 6411 .

Решение

Очевидно, что целые части заданных дробей равны (0 = 0) . Проведем сравнение дробных частей: в разряде десятых значения равны (6 = 6) , а вот в разряде сотых значение дроби 0 , 65 больше, чем значение разряда сотых в дроби 0 , 6411 (5 > 4) . Таким образом, 0 , 65 > 0 , 6411 .

Ответ: 0 , 65 > 0 , 6411 .

В некоторых задачах на сравнение конечных десятичных дробей с разным количеством знаков после запятой необходимо к дроби с меньшим количеством десятичных знаков приписывать нужное количество нулей справа. Удобно уравнивать таким образом количество десятичных знаков в заданных дробях еще до начала сравнения.

Пример 3

Необходимо сравнить конечные десятичные дроби 67 , 0205 и 67 , 020542 .

Решение

Данные дроби очевидно не являются равными, т.к. записи их различны. При этом их целые части равны: 67 = 67 . Прежде чем приступить к поразрядному сравнению дробных частей заданных дробей, уравняем количество знаков после запятой, дописав нули справа в дроби с меньшим количеством знаков. Тогда получим для сравнения дроби: 67 , 020500 и 67 , 020542 . Проводим поразрядное сравнение и видим, что в разряде стотысячных значение в дроби 67 , 020542 больше, чем соответствующее в дроби 67 , 020500 (4 > 0) . Таким образом, 67 , 020500 < 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Ответ: 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Если необходимо сравнить конечную десятичную дробь с бесконечной, то конечная дробь заменяется бесконечной, ей равной с периодом 0 . Затем производится поразрядное сравнение.

Пример 4

Необходимо сравнить конечную десятичную дробь 6 , 24 с бесконечной непериодической десятичной дробью 6 , 240012 …

Решение

Мы видим, что целые части заданных дробей равны (6 = 6) . В разрядах десятых и сотых значения обеих дробей также являются равными. Чтобы иметь возможность сделать вывод, продолжаем сравнение, заменяя конечную десятичную дробь равной ей бесконечной с периодом 0 и получаем: 6 , 240000 … . Дойдя до пятого знака после запятой, находим различие: 0 < 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

Ответ: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

Сравнивая бесконечные десятичные дроби, также применяют поразрядное сравнение, которое окончится тогда, когда значения в каком-то разряде у заданных дробей окажутся различными.

Пример 5

Необходимо сравнить бесконечные десятичные дроби 7 , 41 (15) и 7 , 42172 … .

Решение

В заданных дробях - равные целые части, значения десятых также равны, а вот в разряде сотых мы видим различие: 1 < 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Ответ: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Пример 6

Необходимо сравнить бесконечные периодические дроби 4 , (13) и 4 , (131) .

Решение:

Понятными и верными являются равенства: 4 , (13) = 4 , 131313 … и 4 , (133) = 4 , 131131 … . Сравниваем целые части и поразрядно дробные, и на четвертом знаке после запятой фиксируем расхождение: 3 > 1 . Тогда: 4 , 131313 … > 4 , 131131 … , а 4 , (13) > 4 , (131) .

Ответ: 4 , (13) > 4 , (131) .

Чтобы получить результат сравнения десятичной дроби с натуральным числом, необходимо сравнить целую часть заданной дроби с заданным натуральным числом. При этом надо учесть, что периодические дроби с периодами 0 или 9 нужно предварительно представить в виде равных им конечных десятичных дробей.

Определение 5

Если целая часть заданной десятичной дроби меньше заданного натурального числа, то и вся дробь является меньшей по отношению к заданному натуральному числу. Если целая часть заданной дроби больше или равна заданному натуральному числу, то дробь больше заданного натурального числа.

Пример 7

Необходимо сравнить натуральное число 8 и десятичную дробь 9 , 3142 … .

Решение:

Заданное натуральное число меньше, чем целая часть заданной десятичной дроби (8 < 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

Ответ: 8 < 9 , 3142 … .

Пример 8

Необходимо сравнить натуральное число 5 и десятичную дробь 5 , 6 .

Решение

Целая часть заданной дроби равна заданному натуральному числу, тогда, согласно вышеуказанному правилу, 5 < 5 , 6 .

Ответ: 5 < 5 , 6 .

Пример 9

Необходимо сравнить натуральное число 4 и периодическую десятичную дробь 3 , (9) .

Решение

Период заданной десятичной дроби равен 9 , а значит перед сравнением необходимо заменить заданную десятичную дробь равной ей конечной или натуральным числом. В данном случае: 3 , (9) = 4 . Таким, образом исходные данные равны.

Ответ: 4 = 3 , (9) .

Чтобы произвести сравнение десятичной дроби с обыкновенной дробью или смешанным числом, необходимо:

Записать обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби, а затем выполнить сравнение десятичных дробей или
- записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби (за исключением бесконечной непериодической), а затем выполнить сравнение с заданной обыкновенной дробью или смешанным числом.

Пример 10

Необходимо сравнить десятичную дробь 0 , 34 и обыкновенную дробь 1 3 .

Решение

Решим задачу двумя способами.

1. Запишем заданную обыкновенную дробь 1 3 в виде равной ей периодической десятичной дроби: 0 , 33333 … . Тогда становится необходимым произвести сравнение десятичных дробей 0 , 34 и 0 , 33333 … . Получим: 0 , 34 > 0 , 33333 … , а значит 0 , 34 > 1 3 .
2. Запишем заданную десятичную дробь 0 , 34 в виде равной ей обыкновенной. Т.е.: 0 , 34 = 34 100 = 17 50 . Сравним обыкновенные дроби с разными знаменателями и получим: 17 50 > 1 3 . Таким образом, 0 , 34 > 1 3 .

Ответ: 0 , 34 > 1 3 .

Пример 11

Необходимо сравнить бесконечную непериодическую десятичную дробь 4 , 5693 … и смешанное число 4 3 8 .

Решение

Бесконечную непериодическую десятичную дробь нельзя представить в виде смешанного числа, но возможно перевести смешанное число в неправильную дробь, а ее, в свою очередь, записать в виде равной ей десятичной дроби. Тогда: 4 3 8 = 35 8 и

Т.е.: 4 3 8 = 35 8 = 4 , 375 . Проведем сравнение десятичных дробей: 4 , 5693 … и 4 , 375 (4 , 5693 … > 4 , 375) и получим: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

Ответ: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В этой статье мы рассмотрим тему «сравнение десятичных дробей ». Сначала обсудим общий принцип сравнения десятичных дробей. После этого разберемся, какие десятичные дроби являются равными, а какие – неравными. Дальше научимся определять, какая десятичная дробь больше, а какая меньше. Для этого изучим правила сравнения конечных, бесконечных периодических и бесконечных непериодических дробей. Всю теорию снабдим примерами с подробными решениями. В заключение остановимся на сравнении десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами.

Сразу скажем, что здесь мы будем говорить лишь о сравнении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные случаи разобраны в статьях сравнение рациональных чисел и сравнение действительных чисел .

Навигация по странице.

Общий принцип сравнения десятичных дробей

Исходя из этого принципа сравнения, выводятся правила сравнения десятичных дробей, позволяющие обойтись без перевода сравниваемых десятичных дробей в обыкновенные дроби. Эти правила, а также примеры их применения, мы разберем в следующих пунктах.

По схожему принципу сравниваются конечные десятичные дроби или бесконечные периодические десятичные дроби с натуральными числами , обыкновенными дробями и смешанными числами : сравниваемые числа заменяются соответствующими им обыкновенными дробями, после чего сравниваются обыкновенные дроби.

Что касается сравнения бесконечных непериодических десятичных дробей , то оно обычно сводится к сравнению конечных десятичных дробей. Для этого рассматривается такое количество знаков сравниваемых бесконечных непериодических десятичных дробей, которое позволяет получить результат сравнения.

Равные и неравные десятичные дроби

Сначала введем определения равных и неравных конечных десятичных дробей .

Определение.

Две конечные десятичные дроби называются равными , если равны соответствующие им обыкновенные дроби, в противном случае эти десятичные дроби называются неравными .

На основании этого определения легко обосновать следующее утверждение: если в конце данной десятичной дроби приписать или отбросить несколько цифр 0 , то получится равная ей десятичная дробь. Например, 0,3=0,30=0,300=… , а 140,000=140,00=140,0=140 .

Действительно, дописывание или отбрасывание в конце десятичной дроби нуля справа соответствует умножению или делению на 10 числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби. А мы знаем основное свойство дроби , которое гласит, что умножение или деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число дает дробь, равную исходной. Этим доказано, что дописывание или отбрасывание нулей справа в дробной части десятичной дроби дает дробь, равную исходной.

Например, десятичной дроби 0,5 отвечает обыкновенная дробь 5/10 , после дописывания нуля справа получается десятичная дробь 0,50 , которой отвечает обыкновенная дробь 50/100 , а . Таким образом, 0,5=0,50 . Обратно, если в десятичной дроби 0,50 отбросить справа 0 , то мы получим дробь 0,5 , так от обыкновенной дроби 50/100 мы придем к дроби 5/10 , но . Следовательно, 0,50=0,5 .

Переходим к определению равных и неравных бесконечных периодических десятичных дробей .

Определение.

Две бесконечные периодические дроби равны , если равны отвечающие им обыкновенные дроби; если же соответствующие им обыкновенные дроби не равны, то сравниваемые периодические дроби тоже не равны .

Из данного определения следуют три вывода:

• Если записи периодических десятичных дробей полностью совпадают, то такие бесконечные периодические десятичные дроби равны. Например, периодические десятичные дроби 0,34(2987) и 0,34(2987) равны.
• Если периоды сравниваемых десятичных периодических дробей начинаются с одинаковой позиции, первая дробь имеет период 0 , вторая – период 9 , и значение разряда, предшествующего периоду 0 на единицу больше, чем значение разряда, предшествующего периоду 9 , то такие бесконечные периодические десятичные дроби равны. Например, периодические дроби 8,3(0) и 8,2(9) равны, также равны дроби 141,(0) и 140,(9) .
• Две любые другие периодические дроби не являются равными. Приведем примеры неравных бесконечных периодических десятичных дробей: 9,0(4) и 7,(21) , 0,(12) и 0,(121) , 10,(0) и 9,8(9) .

Осталось разобраться с равными и неравными бесконечными непериодическими десятичными дробями . Как известно, такие десятичные дроби не могут быть переведены в обыкновенные дроби (такие десятичные дроби представляют иррациональные числа), поэтому сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей нельзя свести к сравнению обыкновенных дробей.

Определение.

Две бесконечные непериодические десятичные дроби равны , если их записи полностью совпадают.

Но есть один нюанс: невозможно увидеть «законченную» запись бесконечных непериодических десятичных дробей, следовательно, невозможно убедиться и в полном совпадении их записей. Как же быть?

При сравнении бесконечных непериодических десятичных дробей рассматривают лишь конечное число знаков сравниваемых дробей, которое позволяет сделать необходимые выводы. Таким образом, сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей сводится к сравнению конечных десятичных дробей.

При таком подходе можно говорить о равенстве бесконечных непериодических десятичных дробей лишь с точностью до рассматриваемого разряда. Приведем примеры. Бесконечные непериодические десятичные дроби 5,45839… и 5,45839… равны с точностью до стотысячных, так как равны конечные десятичные дроби 5,45839 и 5,45839 ; непериодические десятичные дроби 19,54… и 19,54810375… равны с точностью до сотых, так как равны дроби 19,54 и 19,54 .

Неравенство бесконечных непериодических десятичных дробей при таком подходе устанавливается вполне определенно. Например, бесконечные непериодические десятичные дроби 5,6789… и 5,67732… не равны, так как очевидны различия в их записях (не равны конечные десятичные дроби 5,6789 и 5,6773 ). Бесконечные десятичные дроби 6,49354… и 7,53789… тоже не равны.

Правила сравнения десятичных дробей, примеры, решения

После установления факта неравенства двух десятичных дробей, часто нужно узнать, какая из этих дробей больше, а какая – меньше другой. Сейчас мы разберем правила сравнения десятичных дробей, позволяющие ответить на поставленный вопрос.

Во многих случаях бывает достаточно сравнить целые части сравниваемых десятичных дробей. Справедливо следующее правило сравнения десятичных дробей : больше та десятичная дробь, целая часть которой больше, и меньше та десятичная дробь, целая часть которой меньше.

Это правило относится как к конечным десятичным дробям, так и к бесконечным. Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Сравните десятичные дроби 9,43 и 7,983023… .

Решение.

Очевидно, данные десятичные дроби не равны. Целая часть конечной десятичной дроби 9,43 равна 9 , а целая часть бесконечной непериодической дроби 7,983023… равна 7 . Так как 9>7 (смотрите сравнение натуральных чисел), то 9,43>7,983023 .

Ответ:

9,43>7,983023 .

Пример.

Какая из десятичных дробей 49,43(14) и 1 045,45029… меньше?

Решение.

Целая часть периодической дроби 49,43(14) меньше, чем целая часть бесконечной непериодической десятичной дроби 1 045,45029… , следовательно, 49,43(14)<1 045,45029… .

Ответ:

49,43(14) .

Если целые части сравниваемых десятичных дробей равны, то для выяснения, какая из них больше, а какая - меньше, приходится сравнивать дробные части. Сравнение дробных частей десятичных дробей проводится поразрядно - от разряда десятых к более младшим.

Для начала рассмотрим пример сравнения двух конечных десятичных дробей.

Пример.

Выполните сравнение конечных десятичных дробей 0,87 и 0,8521 .

Решение.

Целые части данных десятичных дробей равны (0=0 ), поэтому переходим к сравнению дробных частей. Значения разряда десятых равны (8=8 ), а значение разряда сотых дроби 0,87 больше, чем значение разряда сотых дроби 0,8521 (7>5 ). Следовательно, 0,87>0,8521 .

Ответ:

0,87>0,8521 .

Иногда, чтобы выполнить сравнение конечных десятичных дробей с разным количеством десятичных знаков, к дроби с меньшим количеством десятичных знаков приходится дописывать некоторое количество нулей справа. Достаточно удобно уравнивать количество десятичных знаков до начала сравнения конечных десятичных дробей, дописав к одной из них некоторое количество нулей справа.

Пример.

Сравните конечные десятичные дроби 18,00405 и 18,0040532 .

Решение.

Очевидно, данные дроби неравны, так как их записи отличаются, но при этом они имеют равные целые части (18=18 ).

Перед поразрядным сравнением дробных частей данных дробей уравняем количество десятичных знаков. Для этого припишем две цифры 0 в конце дроби 18,00405 , при этом получим равную ей десятичную дробь 18,0040500 .

Значения десятичных разрядов дробей 18,0040500 и 18,0040532 равны вплоть до стотысячных, а значение разряда миллионных дроби 18,0040500 меньше значения соответствующего разряда дроби 18,0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Ответ:

18,00405<18,0040532 .

При сравнении конечной десятичной дроби с бесконечной, конечная дробь заменяется равной ей бесконечной периодической дробью с периодом 0 , после чего проводится сравнение по разрядам.

Пример.

Сравните конечную десятичную дробь 5,27 с бесконечной непериодической десятичной дробью 5,270013… .

Решение.

Целые части данных десятичных дробей равны. Значения разрядов десятых и сотых данных дробей равны, и чтобы выполнить дальнейшее сравнение, конечную десятичную дробь заменяем равной ей бесконечной периодической дробью с периодом 0 вида 5,270000… . До пятого знака после запятой значения разрядов десятичных дробей 5,270000… и 5,270013… равны, а на пятом знаке имеем 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Ответ:

5,27<5,270013… .

Сравнение бесконечных десятичных дробей также проводится поразрядно , и заканчивается после того, как только значения какого-то разряда оказываются разными.

Пример.

Сравните бесконечные десятичные дроби 6,23(18) и 6,25181815… .

Решение.

Целые части данных дробей равны, также равны значения разряда десятых. А значение разряда сотых периодической дроби 6,23(18) меньше разряда сотых бесконечной непериодической десятичной дроби 6,25181815… , следовательно, 6,23(18)<6,25181815… .

Ответ:

6,23(18)<6,25181815… .

Пример.

Какая из бесконечных периодических десятичных дробей 3,(73) и 3,(737) больше?

Решение.

Понятно, что 3,(73)=3,73737373… и 3,(737)=3,737737737… . На четвертом знаке после запятой поразрядное сравнение заканчивается, так как там имеем 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Ответ:

3,(737) .

Сравнение десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами.

Получить результат сравнения десятичной дроби с натуральным числом позволяет сравнение целой части данной дроби с данным натуральным числом. При этом периодические дроби с периодами 0 или 9 нужно предварительно заменить равными им конечными десятичными дробями.

Справедливо следующее правило сравнения десятичной дроби и натурального числа : если целая часть десятичной дроби меньше данного натурального числа, то и вся дробь меньше этого натурального числа; если целая часть дроби больше или равна данному натуральному числу, то дробь больше данного натурального числа.

Рассмотрим примеры применения этого правила сравнения.

Пример.

Сравните натуральное число 7 с десятичной дробью 8,8329… .

Решение.

Так как данное натуральное число меньше, чем целая часть данной десятичной дроби, то это число меньше данной десятичной дроби.

Ответ:

7<8,8329… .

Пример.

Сравните натуральное число 7 и десятичную дробь 7,1 .

Урок усвоения и закрепления новых знаний

Тема : Сравнение десятичных дробей

Дамбаева Валентина Матвеевна

Учитель математики

МАОУ «СОШ № 25» г. Улан-Удэ

Тема. Сравнение десятичных дробей.

Дидактическая цель: научить учащихся сравнивать две десятичные дроби. Познакомить учащихся с правилом сравнения. Сформировать умение находить большую (меньшую) дробь.

Воспитательная цель. Развивать творческую активность учащихся в процессе решения примеров. Воспитать интерес к математике, подбором различных типов заданий. Воспитывать сообразительность, смекалку, развивать гибкое мышление. Продолжать формировать у учащихся умение самокритично относиться к результатам выполненной работы.

Оборудование урока. Раздаточный материал. Сигнальные карточки, карточки-задания, копировальная бумага.

Наглядные пособия. Таблицы-задания, плакат-правила.

Вид занятия. Усвоение новых знаний. Закрепление новых знаний.

План урока

Организационный момент. 1 мин.

Проверка домашней работы. 3 мин.

Повторение. 8 мин.

Объяснение новой темы. 18-20 мин.

Закрепление. 25-27 мин.

Подведение итога работы. 3 мин.

Домашнее задание. 1 мин.

Экспресс-диктант. 10-13 мин

Ход урока .

1. Организационный момент .

2. Проверка домашней работы . Сбор тетрадей.

3. Повторение (устно).

а) сравнить обыкновенные дроби (работа с сигнальными карточками).

4/5 и 3/5; 4/4 и 13/40; 1 и 3/2; 4/2 и 12/20; 3 5/6 и 5 5/6;

б) В каком разряде 4 единицы, 2 единицы…..?

57532, 4081

в) сравнить натуральные числа

99 и 1111; 54 4 и 53 4, 556 и 559 ; 4 366 и 7 366;

Как сравнить числа с одинаковым количеством цифр?

(Числа с одинаковым количеством цифр сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда. Плакат-правило).

Можно представить, что одноименные разряды «соревнуются», чьё разрядное слагаемое больше: единица с единицами, десятки с десятками и т.д.

4. Объяснение новой темы .

а) Каким знаком (>, < или =) следует заменить вопросительный знак между десятичными дробями на рисунке.

Плакат- задание

3425, 672678 ? 3425, 672478

14, 24000 ? 14, 24

Для ответа на этот вопрос нужно научиться сравнивать десятичные дроби.

12, 3 < 15,3

72,1 > 68,4 Почему?

Из двух десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть.

13,5 > 13,4

0, 327 > 0,321

Почему?

Если же целые части сравниваемых дробей равны между собой, то сравнивают их дробную часть по разрядам.

3. 0,800 ? 0,8

1,32 ? 1,3

А как быть, если этих цифр разное количество? Если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей, то значение дроби не изменится.

Обратно, если десятичная дробь оканчивается нулями, то эти нули можно отбросить, значение дроби от этого не изменится.

Рассмотрим три десятичные дроби:

1,25 1,250 1,2500

Чем они отличаются друг от друга?

Только количеством нулей в конце записи.

А какие числа они обозначают?

Чтобы выяснить это, нужно записать для каждой из дробей сумму разрядных слагаемых.

1,25 = 1+ 2/10 + 5/100

1,250 = 1+ 2/10 + 5/100 1 25/100 = 1,25

1,2500 = 1+ 2/10 + 5/100

Во всех равенствах справа написана одна и та же сумма. Значит, все три дроби обозначают одно и то же число. Иначе, эти три дроби равны: 1,25 = 1,250 = 1,2500.

Десятичные дроби можно изображать на координатном луче так же, как и обыкновенные дроби. Например, чтобы изобразить на координатном луче десятичную дробь 0,5. сначала представим ее в виде обыкновенной дроби: 0,5 = 5/10. Затем отложим от начала луча пять десятых единичных отрезка. Получим точку А(0,5)

Равные десятичные дроби изображаются на координатном луче одной и той же точкой.

Меньшая десятичная дробь лежит на координатном луче левее большей, и большая – правее меньшей

б) Работа с учебником, с правилом.

А теперь попробуй ответить на вопрос, который был поставлен в начале объяснения: каким знаком (>, < или =) следует заменить вопросительный знак.

5. Закрепление.

№1

Сравните: Работа с сигнальными карточками

85.09 и 67,99

55,7 и 55,700

0,0025 и 0,00247

98,52 м и 65,39 м

149,63 кг и 150,08 кг

3,55 0 С и 3,61 0 С

6,784 ч и 6,718 ч

№ 2

Напишите десятичную дробь

а) с четырьмя знаками после запятой, равную 0,87

б) с пятью знаками после запятой, равную 0,541

в) с тремя знаками после запятой, равную 35

г) с двумя знаками после запятой, равную 8,40000

2 ученика работают на индивидуальных досках

№ 3

Смекалкин приготовился выполнять задание на сравнение чисел и переписал в тетрадь несколько пар чисел, между которыми нужно поставить знак > или <. Вдруг он нечаянно уронил тетрадь на мокрый пол. Записи размазались, и некоторые цифры стало невозможно разобрать. Вот что получилось:

а) 4,3 ** и 4,7**

б) **, 412 и *, 9*

в) 0,742 и 0,741*

г)*, *** и **,**

д) 95,0** и *4,*3*

Смекалкину понравилось, что он смог выполнить задание с размазанными цифрами. Ведь вместо задания получились загадки. Он сам решил придумать загадки с размазанными цифрами и предлагает вам. В следующих записях некоторые цифры размазаны. Нужно отгадать, какие это цифры.

а) 2,*1 и 2,02

б) 6,431 и 6,4*8

в) 1,34 и 1,3*

г) 4,*1 и 4,41

д) 4,5*8 и 4, 593

е) 5,657* и 5,68

Задание на плакате и на индивидуальных карточках.

Проверка-обоснование каждого поставленного знака.

№ 4

Я утверждаю:

а) 3,7 меньше, чем 3,278

ведь в первом числе цифр меньше, чем во втором.

б) 25,63 равно 2,563

Ведь у них одни и те же цифры идут в одном и том же порядке.

Исправьте мое утверждение

«Контрпример» (устно)

№ 5

Какие натуральные числа стоят между числами (письменно).

а) 3, 7 и 6,6

б) 18,2 и 19,8

в) 43 и 45,42

г) 15 и 18

6. Итог урока.

Как сравнить две десятичные дроби с разными целыми числами?

Как сравнить две десятичные дроби с одинаковыми целыми числами?

Как сравнить две десятичные дроби с равным количеством знаков после запятой?

7. Домашнее задание.

8. Экспресс-диктант.

Запишите числа короче

0,90 1,40

10,72000 61,610000

Сравните дроби

0,3 и 0,31 0,4 и 0,43

0,46 и 0,5 0,38 и 0,4

55,7 и 55,700 88,4 и 88,400

Расставьте в порядке

Убывания Возрастания

3,456; 3465; 8,149; 8,079; 0,453

Какие натуральные числа стоят между числами?

7,5 и 9,1 3,25 и 5,5

84 и 85,001 0,3 и 4

Поставьте цифры, чтобы было верно неравенство:

15,*2 > 15,62 4,60 < 4,*3

6,99 6,8

Проверка экспресс-диктанта с доски

Дополнительное задание.

1. Напишите 3 примера своему соседу и проверь!

Литература:

Стратилатов П.В. «О системе работы учителя математики» Москва «Просвещение» 1984

Кабалевский Ю.Д. «Самостоятельная работа учащихся в процессе обучения математике» 1988

Буланова Л.М., Дудницын Ю.П. «Проверочные задания по математике»,

Москва «Посвещение» 1992

В.Г. Коваленко «Дидактические игры на уроках математики» Москва «Просвещение» 1990

Минаева С.С. «Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по математике» Москва «Просвещение» 1983

Отрезка АВ равна 6 см, то есть 60 мм. Так как 1 см = дм, то 6 см = дм. Значит, АВ - 0,6 дм. Так как 1 мм = дм, то 60 мм = дм. Значит, АВ = 0,60 дм.
Таким образом, АВ = 0,6 дм = 0,60 дм. Значит, десятичные дроби 0,6 и 0,60 выражают длину одного и того же отрезка в дециметрах. Эти дроби равны друг другу: 0,6 = 0,60.

Если в конце десятичной дроби приписать нуль или отбросить нуль, то получится дробь , равная данной.
Например,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Сравним две десятичные дроби 5,345 и 5,36. Уравняем число десятичных знаков, приписав к числу 5,36 справа нуль. Получаем дроби 5,345 и 5,360.

Запишем их в виде неправильных дробей:

У этих дробей одинаковые знаменатели. Значит, та из них больше, у которой больше числитель.
Так как 5345 < 5360, то а значит, 5,345 < 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Чтобы сравнить две десятичные дроби, надо сначала уравнять у них число десятичных знаков, приписав к одной из них справа нули, а потом, отбросив запятую, сравнить получившиеся натуральные числа .

Десятичные дроби можно изображать на координатном луче так же, как и обыкновенные дроби.
Например, чтобы изобразить на координатном луче десятичную дробь 0,4, сначала представим ее в виде обыкновенной дроби: 0,4 = Затем отложим от начала луча четыре десятых единичного отрезка. Получим точку A(0,4) (рис. 141).

Равные десятичные дроби изображаются на координатном луче одной и той же точкой.

Например, дроби 0,6 и 0,60 изображаются одной точкой В (см. рис. 141).

Меньшая десятичная дробь лежит на координатном луче левее большей, и большая - правее меньшей.

Например, 0,4 < 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Изменится ли десятичная дробь, если в конце ее приписать нуль?
А6 нулей?
Сформулируйте правило сравнения десятичных дробей.

1172. Напишите десятичную дробь:

а) с четырьмя знаками после запятой, равную 0,87;
б) с пятью знаками после запятой, равную 0,541;
в) с тремя знаками после занятой, равную 35;
г) с двумя знаками после запятой, равную 8,40000.

1173. Приписав справа нули, уравняйте число знаков после запятой в десятичных дробях:1,8; 13,54 и 0,789.

1174. Запишите короче дроби:2,5000; 3,02000; 20,010.

85,09 и 67,99; 55,7 и 55,7000; 0,5 и 0,724; 0,908 и 0,918; 7,6431 и 7,6429; 0,0025 и 0,00247.

1176. Расставьте в порядке возрастания числа:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

расставьте в порядке убывания.

а) 1,41 < х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
б) 0,1 < х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
в) 2,7 < х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Сравните величины:

а) 98,52 м и 65,39 м; д) 0,605 т и 691,3 кг;
б) 149,63 кг и 150,08 кг; е) 4,572 км и 4671,3 м;
в) 3,55°С и 3,61°С; ж) 3,835 га и 383,7 а;
г) 6,781 ч и 6,718 ч; з) 7,521 л и 7538 см3.

Можно ли сравнить 3,5 кг и 8,12 м? Приведите несколько примеров величин, которые нельзя сравнивать.

1185. Вычислите устно:

1186. Восстановите цепочку вычислений

1187. Можно ли сказать, сколько цифр после запятой в записи десятичной дроби, если ее название заканчивается словом:

а) сотых; б) десятитысячных; в) десятых; г) миллионных?

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Дробью будем называть одну или несколько равных между собой долей одного целого. Дробь записывается с помощью двух натуральных чисел, которые разделены между собой чертой. Например, 1 / 2 , 14 / 4 , ¾, 5 / 9 и т.д.

Цифра, которая записана сверху над чертой, называется числителем дроби, а цифра записанная под чертой, называется знаменателем дроби.

Для дробных чисел, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000, и т.д. условились записывать число без знаменателя. Для этого сначала пишут целую часть числа, ставят запятую и пишут дробную часть этого числа, то есть числитель дробной части.

Например, вместо 6 * (7 / 10) пишут 6,7.

Такую запись принято называть десятичной дробью .

Как сравнить две десятичные дроби

Разберемся, как сравнить две десятичные дроби. Для этого сначала убедимся в одном вспомогательном факте.

Например, длина некоторого отрезка равна 7 сантиметров или 70 мм. Так же 7 см = 7 / 10 дм или в десятичной записи 0.7 дм.

С другой стороны, 1 мм = 1 / 100 дм, тогда 70 мм = 70 / 100 дм или в десятичной записи 0,70 дм.

Таким образом, получаем, что 0,7 = 0,70.

Из этого делаем вывод, что если в конце десятичной дроби приписать или отбросить нуль, то получится дробь, равная данной. Другими словами значение дроби не изменится.

Дроби с одинаковыми знаменателями

Допустим нам надо сравнить две десятичные дроби 4,345 и 4,36.

Сначала необходимо уравнять число десятичных знаков приписыванием или отбрасыванием справа нулей. Получится 4,345 и 4,360.

Теперь необходимо записать их в виде неправильных дробей:

• 4,345 = 4345 / 1000 ;
• 4,360 = 4360 / 1000 .

У получившихся дробей одинаковые знаменатели. По правилу сравнения дробей знаем, что в таком случае больше та дробь, у которой числитель больше. Значит дробь 4,36 больше чем дробь 4,345.

Таким образом, чтобы сравнить две десятичные дроби, необходимо сначала уравнять у них число десятичных знаков, приписав к одной из них справа нули, а потом отбросив запятую сравнить, получившиеся натуральные числа.

Десятичные дроби можно изобразить точками на числовой прямой. И поэтому, иногда в случае, когда одно число больше другого, говорят, что это число расположено правее другого, или если меньше то левее.

Если две десятичные дроби равны, то они изображаются на числовой прямой одной и той же точкой.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства