Видимость горизонта с разных высот. Странные факты, подтверждающие, что земля не круглая и не вращается

Какова дальность до линии горизонта для наблюдателя, стоящего на земле? Ответ — приближённое расстояние до горизонта — можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Для проведения приближённых расчётов сделаем допущение, что Земля имеет форму шара. Тогда стоящий вертикально человек будет продолжением земного радиуса, а линия взгляда, направленного на горизонт, — касательной к сфере (поверхности Земли). Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то треугольник (центр Земли) —(точка касания) —(глаз наблюдателя) является прямоугольным.

Две стороны в нём известны. Длина одного из катетов (стороны, прилегающей к прямому углу) равна радиусу Земли $R$, а длина гипотенузы (стороны, лежащей против прямого угла) равна $R+h$, где $h$ — расстояние от земли до глаз наблюдателя.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Значит, расстояние до горизонта равно
$$
d=\sqrt{(R+h)^2-R^2} = \sqrt{(R^2+2Rh+h^2)-R^2} =\sqrt{2Rh+h^2}.
$$Величина $h^2$ очень мала по сравнению со слагаемым $2Rh$, поэтому верно приближённое равенство
$$
d≈ \sqrt{2Rh}.
$$
Известно, что $R≈ 6400$ км, или $R≈ 64\cdot10^5$ м. Будем считать, что $h≈ 1{,}6$ м. Тогда
$$
d≈\sqrt{2\cdot64\cdot10^5\cdot 1{,}6}=8\cdot 10^3 \cdot \sqrt{0{,}32}.
$$Используя приближённое значение $\sqrt{0{,}32}≈ 0{,}566$, находим
$$
d≈ 8\cdot10^3 \cdot 0{,}566=4528.
$$Полученный ответ — в метрах. Если перевести найденное приближённое расстояние от наблюдателя до горизонта в километры, то получим $d≈ 4,5$ км.

В дополнение — три микросюжета, связанных с рассмотренной задачей и проделанными вычислениями.

I. Как связано расстояние до горизонта с изменением высоты точки наблюдения? Формула $d≈ \sqrt{2Rh}$ даёт ответ: чтобы увеличить расстояние $d$ вдвое, высоту $h$ надо увеличить в четыре раза!

II. В формуле $d≈ \sqrt{2Rh}$ нам пришлось извлекать квадратный корень. Конечно, читатель может взять смартфон со встроенным калькулятором, но, во‐первых, полезно задуматься, а как же решает эту задачу калькулятор, а во‐вторых, стоит ощутить умственную свободу, независимость от «всезнающего» гаджета.

Существует алгоритм, сводящий извлечение корня к более простым операциями — сложению, умножению и делению чисел. Для извлечения корня из числа $a>0$ рассмотрим последовательность
$$
x_{n+1}=\frac12 (x_n+\frac{a}{x_n}),
$$где $n=0$, 1, 2, …, а в качестве $x_0$ можно взять любое положительное число. Последовательность $x_0$, $x_1$, $x_2$, … очень быстро сходится к $\sqrt{a}$.

Например, при вычислении $\sqrt{0,32}$ можно взять $x_0=0,5$. Тогда
$$
\eqalign{
x_1 &=\frac12 (0,5+\frac{0,32}{0,5})=0,57,\cr
x_2 &=\frac12 (0,57+\frac{0,32}{0,57})≈ 0,5657.\cr}
$$Уже на втором шаге мы получили ответ, верный в третьем знаке после запятой ($\sqrt{0,32}=0,56568…$)!

III. Иногда алгебраические формулы удаётся столь наглядно представить как соотношения элементов геометрических фигур, что всё «доказательство» заключается в рисунке с подписью «Смотри!» (в стиле древних индийских математиков).

Объяснить геометрически можно и использованную формулу «сокращённого умножения» для квадрата суммы
$$
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
$$Жан‐Жак Руссо в «Исповеди» писал: «Когда я в первый раз обнаружил при помощи вычисления, что квадрат бинома равен сумме квадратов его членов и их удвоенному произведению, я, несмотря на правильность произведённого мною умножения, не хотел этому верить до тех пор, пока не начертил фигуры».

Литература

• Перельман Я. И. Занимательная геометрия на вольном воздухе и дома. - Л.: Время, 1925. - [И любое издание книги Я. И. Перельмана «Занимательная геометрия»].

Дальность видимости горизонта

Наблюдаемая в море линия, по которой море как бы соединяется с небосводом, называется видимым горизонтом наблюдателя.

Если глаз наблюдателя находится на высоте е М над уровнем моря (т. А рис. 2.13), то луч зрения идущий по касательной к земной поверхности, определяет на земной поверхности малый круг аа , радиуса D .

Рис. 2.13. Дальность видимости горизонта

Это было бы верно, если бы Землю не окружала атмосфера.

Если принять Землю за шар и исключить влияние атмосферы то, из прямоугольного треугольника ОАа следует: ОА=R+e

Так как величина чрезвычайно мала (для е = 50м при R = 6371км – 0,000004 ), то окончательно имеем:

Под действием земной рефракции, в результате преломления зрительного луча в атмосфере, наблюдатель видит горизонт дальше (по кругу вв ).

(2.7)

где х – коэффициент земной рефракции (» 0,16).

Если принять дальность видимого горизонта D e в милях, а высоту глаза наблюдателя над уровнем моря (е М ) в метрах и подставить значение радиуса Земли (R =3437,7 мили = 6371 км ), то окончательно получим формулу для расчета дальности видимого горизонта

(2.8)

Например:1) е = 4 м D е = 4,16 мили; 2) е = 9 м D е = 6,24 мили;

3) е = 16 м D е = 8,32 мили; 4) е = 25 м D е = 10,4 мили.

По формуле (2.8) составлена таблица № 22 «МТ-75» (с. 248) и таблица № 2.1 «МТ-2000» (с. 255) по (е М ) от 0,25 м ¸ 5100 м . (см. табл. 2.2)

Дальность видимости ориентиров в море

Если наблюдатель, высота глаза которого находится на высоте е М над уровнем моря (т. А рис. 2.14), наблюдает линию горизонта (т. В ) на расстоянии D е(миль) , то, по аналогии, и с ориентира (т. Б ), высота которого над уровнем моря h M , видимый горизонт (т. В ) наблюдается на расстоянии D h(миль) .

Рис. 2.14. Дальность видимости ориентиров в море

Из рис. 2.14 очевидно, что дальность видимости предмета (ориентира), имеющего высоту над уровнем моря h M , с высоты глаза наблюдателя над уровнем моря е М будет выражаться формулой:

Формула (2.9) решается с помощью таблицы 22 «МТ-75» с. 248 или таблицы 2.3 «МТ-2000» (с. 256).

Например: е = 4 м, h = 30 м, D П = ?

Решение: для е = 4 м ® D е = 4,2 мили;

для h = 30 м® D h = 11,4 мили.

D П = D е + D h = 4,2 + 11,4 = 15,6 мили.

Рис. 2.15. Номограмма 2.4. «МТ-2000»

Формулу (2.9) можно решать и с помощью Приложения 6 к «МТ-75» или номограммы 2.4 «МТ-2000» (с. 257) ® рис. 2.15.

Например: е = 8 м, h = 30 м, D П = ?

Решение: Значения е = 8 м (правая шкала) и h = 30 м (левая шкала) соединяем прямой линией. Точка пересечения этой линии со средней шкалой (D П ) и даст нам искомую величину 17,3 миль. (см. табл. 2.3).

Географическая дальность видимости предметов (из табл. 2.3. «МТ-2000»)

Примечание:

Высота навигационного ориентира над уровнем моря выбирается из навигационного руководства для плавания «Огни и знаки» («Огни»).

2.6.3. Дальность видимости огня ориентира, показанная на карте (рис. 2.16)

Рис. 2.16. Дальности видимости огня маяка, показанные

На навигационных морских картах и в навигационных пособиях дальность видимости огня ориентира дана для высоты глаза наблюдателя над уровнем моря е = 5 м, т.е.:

Если же действительная высота глаза наблюдателя над уровнем моря отличается от 5 м, то для определения дальности видимости огня ориентира необходимо к дальности, показанной на карте (в пособии), прибавить (если е > 5 м), или отнять (если е < 5 м) поправку к дальности видимости огня ориентира (DD К ), показанной на карте за высоту глаза.

(2.11)

(2.12)

Например: D К = 20 миль, е = 9 м.

D О = 20,0+1,54=21,54мили

тогда: D О = D К + ∆ D К = 20,0+1,54 =21,54 мили

Ответ: D О = 21,54 мили.

Задачи на расчет дальностей видимости

А) Видимого горизонта (D e ) и ориентира (D П )

Б) Открытие огня маяка

Выводы

1. Основными для наблюдателя являются:

а) плоскости:

Плоскость истинного горизонта наблюдателя (пл. ИГН);

Плоскость истинного меридиана наблюдателя (пл. ИМН);

Плоскость первого вертикала наблюдателя;

б) линии:

Отвесная линия (нормаль) наблюдателя,

Линия истинного меридиана наблюдателя ® полуденная линия N-S ;

Линия Е-W .

2. Системами счета направлений являются:

Круговая (0°¸360°);

Полукруговая (0°¸180°);

Четвертная (0°¸90°).

3. Любое направление на поверхности Земли может быть измерено углом в плоскости истинного горизонта, принимая за начало отсчета линию истинного меридиана наблюдателя.

4. Истинные направления (ИК, ИП) определяются на судне относительно северной части истинного меридиана наблюдателя, а КУ (курсовой угол) – относительно носовой части продольной оси судна.

5. Дальность видимого горизонта наблюдателя (D e ) рассчитывается по формуле:

.

6. Дальность видимости навигационного ориентира (днем в хорошую видимость) рассчитывается по формуле:

7. Дальность видимости огня навигационного ориентира, по его дальности (D К ), показанной на карте, рассчитывается по формуле:

, где .

При геодезических работах, выполняемых на небольших по площади участках местности, уровенную поверхность принимают за горизонтальную плоскость. Такая замена влечет за собой некоторые искажения в длинах линий и высотах точек.
Рассмотрим при каких размерах участка этими искажениями можно пренебречь. Допустим, что уровенная поверхность является поверхностью шара радиуса R (рис.1.2). Заменим участок шара АоВоСо горизонтальной плоскостью АВС, касающейся шара в центре участка в точке В. Расстояние между точками В (Во) и Со равно г, центральный угол соответствующий данной дуге обозначим а, отрезок касательной

ВС = t, тогда в горизонтальном расстоянии между точками В (Во) и Со возникнет ошибка Ad = t - d. Из рис. 1.2 находим t = R tga и d = R a, где угол а выражен в радианах a = d / R, тогда A d =R(tga -a) а так как значение d незначительно по сравнению с R то угол настолько мал,
о

что приближенно можно принять tga -а = а /3. Применив формулу определения угла а, окончательно получаем: A d = R- а /3 = d /3R . При d = 10 км и R = 6371 км погрешность определения расстояния при замене сферической поверхности плоскостью составит 1 см.Учитывая реальную точность, с которой производят измерения на местности при геодезических работах, можно считать, что на участках радиусом 2025 км погрешность от замены уровенной поверхности плоскостью не имеет практического значения. Иначе обстоит дело с влиянием кривизны Земли на высоты точек. Из прямоугольного треугольника ОВС

(1.2)
откуда
(1.3) где р - отрезок отвесной линии ССо, выражающий влияние кривизны Земли на высоты точки С. Так как полученное значение р очень мало, по сравнению с R, то в знаменателе полученной формулы этой величиной можно пренебречь. Тогда получим

(1.4)
Для различных расстояний l определим поправки в высоты точек местности, значения которых представлены в табл. 1.1, из которой видно, что влияние кривизны Земли на высоты точек сказывается уже на расстоянии в 0,3 км. Это необходимо учитывать при производстве геодезических работ.
Таблица 1.1
Погрешности измерений высот точек на разных расстояниях

l, км	0,3	0,5	1,0	2,0	5,0	10,0	20,0
Р, м	0,01	0,02	0,08	0,31	1,96	7,85	33,40

Рис. 4 Основные линии и плоскости наблюдателя

Для ориентирования в море принята система условных линий и плоскостей наблюдателя. На рис. 4 изображен земной шар, на поверхности которого в точке М располагается наблюдатель. Его глаз находится в точке А . Буквой е обозначена высота глаза наблюдателя над уровнем моря. Линия ZMn, проведенная через место наблюдателя и центр земного шара, называется отвесной или вертикальной линией. Все плоскости, проведенные через эту линию, называются вертикальными , а перпендикулярные ей - горизонтальными . Горизонтальная плоскость НН / , проходящая через глаз наблюдателя, называется плоскостью истинного горизонта . Вертикальная плоскость VV / , проходящая через место наблюдателя М и земную ось, называется плоскостью истинного меридиана. В пересечении этой плоскости с поверхностью Земли образуется большой круг РnQPsQ / , называемый истинным меридианом наблюдателя . Прямая, полученная от пересечения плоскости истинного горизонта с плоскостью истинного меридиана, называется линией истинного меридиана или полуденной линией N-S. Этой линией определяется направление на северную и южную точки горизонта. Вертикальная плоскость FF / , перпендикулярная плоскости истинного меридиана, называется плоскостью первого вертикала . В пересечении с плоскостью истинного горизонта она образует линию Е-W, перпендикулярную линии N-S и определяющую направления на восточную и западную точки горизонта. Линии N-S и Е-W делят плоскость истинного горизонта на четверти: NE, SE, SW и NW.

Рис.5. Дальность видимости горизонта

В открытом море наблюдатель видит вокруг судна водную поверхность, ограниченную малым кругом СС1 (рис. 5). Этот круг называется видимым горизонтом. Расстояние De от места судна М до линии видимого горизонта СС 1 называется дальностью видимого горизонта . Теоретическая дальность видимого горизонта Dt (отрезок AB) всегда меньше его действительной дальности De. Это объясняется тем, что из-за различной плотности слоев атмосферы по высоте луч света распространяется в ней не прямолинейно, а по кривой АС. В результате наблюдатель может видеть дополнительно некоторую часть водной поверхности, расположенную за линией теоретического видимого горизонта и ограниченную малым кругом СС 1 . Этот круг и является линией видимого горизонта наблюдателя. Явление преломления световых лучей в атмосфере называется земной рефракцией. Рефракция зависит от атмосферного давления, температуры и влажности воздуха. В одном и том же месте Земли рефракция может меняться даже на протяжении одних суток. Поэтому при расчетах берут среднее значение рефракции. Формула для определения дальности видимого горизонта:

В результате рефракции наблюдатель видит линию горизонта в направлении АС / (рис. 5), касательном к дуге АС. Эта линия приподнята на угол r над прямым лучом АВ. Угол r также называется земной рефракцией. Угол d между плоскостью истинного горизонта НН / и направлением на видимый горизонт называется наклонением видимого горизонта .

ДАЛЬНОСТЬ ВИДИМОСТИ ПРЕДМЕТОВ И ОГНЕЙ. Дальность видимого горизонта позволяет судить о видимости предметов, находящихся на уровне воды. Если предмет имеет определенную высоту h над уровнем моря, то наблюдатель может обнаружить его на расстоянии:

На морских картах и в навигационных пособиях приводится заранее вычисленная дальность видимости огней маяков Dk с высоты глаза наблюдателя 5 м. С такой высоты De равна 4,7 мили. При е , отличной от 5 м, следует вносить поправку. Её величина равна:

Тогда дальность видимости маяка Dn равна:

Дальность видимости предметов, расчитанная по данной формуле, называется геометрической, или географической. Вычисленные результаты соответствуют некоторому среднему состоянию атмосферы в дневное время суток. При мгле, дожде, снегопаде или туманной погоде видимость предметов, естественно, сокращается. Наоборот, при определенном состоянии атмосферы рефракция может быть очень большой, вследствие чего дальность видимости предметов оказывается значительно больше рассчитанной.

Дальность видимого горизонта. Таблица 22 МТ-75:

Таблица вычислена по формуле:

Де = 2.0809 ,

Входя в табл. 22 MT-75 с высотой предмета h над уровнем моря, получают дальность видимости этого предмета с уровня моря. Если к полученной дальности прибавить дальность видимого горизонта, найденную в той же таблице по высоте глаза наблюдателя е над уровнем моря, то сумма этих дальностей составит дальность видимости предмета, без учета прозрачности атмосферы.

Для получения дальности радиолокационного горизонта Дp принято выбранную из табл. 22 дальность видимого горизонта увеличивать на 15%, тогда Дp=2.3930 . Эта формула справедлива для стандартных условий атмосферы: давление 760 мм, температура +15°C, градиент температуры - 0.0065 градуса на метр, относительная влажность, постоянная с высотой, 60%. Любое отклонение от принятого стандарт­ного состояния атмосферы обусловит частичное изменение дальности радиолокационного горизонта. Кроме того, эта дальность, т. е. расстоя­ние, с которого могут быть видны отраженные сигналы на экране радио­локатора, в значительной степени зависит от индивидуальных особенностей радиолокатора и отражающих свойств объекта. По этим причинам пользоваться коэффициентом 1.15 и данными табл. 22 следует с осторожностью.

Сумма дальностей радиолокационного горизонта антенны Лд и наблюдаемого объекта высотой А представит собой максимальное рас­стояние, с которого может вернуться отраженный сигнал.

Пример 1. Определить дальность обнаружения маяка высотой h=42 м от уровня моря с высоты глаза наблюдателя е=15.5 м.
Решение. Из табл. 22 выбирают:
для h = 42 м ..... . Дh = 13.5 мили;
для е = 15.5 м . . . . . . Де = 8.2 мили,
следовательно, даль­ность обнаружения маяка
Дп = Дh+Дe = 21.7 мили.

Дальность видимости предмета можно определить также по номограмме, помещенной на вкладыше (приложение 6). MT-75

Пример 2. Найти радиолокационную дальность объекта высотой h=122 м, если действующая высота радиолокационной антенны Hд= 18.3 м над уровнем моря.
Решение. Из табл. 22 выбирают дальности видимости объекта и антенны с уровня моря соответственно 23.0 и 8.9 мили. Суммируя эти дальности и умножая их на коэффициент 1.15, получают, что объект при стандартных условиях атмосферы, вероятно, будет обнаружен с расстояния 36.7 мили.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства