Презентация на тему "дроби и проценты". й этап
Вспомним, что такое дробь. Дробь - это часть чего-то. Например, если у нас есть литр молока, то половина - это пол-литра, то есть (Рис. 1).
Рис. 1. Литр и пол-литра молока
Другой пример: если разделить торт на равных частей, то части - это торта (Рис. 2).
Рис. 2. торта
То есть числитель (то, что написано над чертой дроби) указывает на количество взятых частей, а знаменатель (то, что написано под чертой дроби) указывает, на сколько частей мы делили объект.
Мы уже говорили, что дроби - это условное понятие. Так как то, что выражается дробным числом, при другом подходе может быть выражено целым числом. Например, четверть метра ( метра) - это то же самое, что см. В жизни мы тоже один и тот же объект можем называть разными словами. Например, для кого-то данный человек Иван Иванович, а для другого - Ванечка, а для кого-то - главный бухгалтер (Рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к примеру
В математике тоже используют эквивалентные формы записи одного и того же объекта. Например, число можно представить (записать) разными способами (Рис. 4).
Рис. 4. Представления числа 12
Рассмотрим еще один пример. Пусть путь до школы составляет кварталов, тогда половина пути - квартала (при условии, что они одинаковые). С другой стороны, мы идем до школы минут, тогда половину пути мы пройдем за минут. Или путь можно посчитать в шагах, если путь до школы шагов, то половина пути - шагов (Рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к примеру
То есть . Мы одну и ту же вещь - половину пути - обозначили по-разному (эквивалентные записи). Каждая форма записи может быть удобной в определенной ситуации.
Предположим, нам необходимо сравнить успеваемость учеников двух школ. Мы знаем, что в первой - хорошист, а во второй - хорошистов, всего детей в первой школе - , а во второй - . Какая школа лучше? Во второй школе больше детей, которые учатся хорошо, но и детей в этой школе больше. Для решения этой задачи нужно сравнить и . Для этого, как мы знаем, нужно привести дроби к общему знаменателю, что при больших числах является трудоемкой задачей. А если представить, что сравниваются не две школы, а больше, то задача становится еще сложнее. Поэтому в таком случае удобно использовать десятичные дроби. Запишем дроби так:
Сравнение происходит намного легче. Ведь сравнение десятичных дробей выполняется поразрядно. Сразу видно, что вторая школа лучше.
Теперь рассмотрим то, как связаны десятичные и обыкновенные дроби. Обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной. Например, представим, что человека идут в поход и нужно поровну распределить между ними кг муки, то есть нужно разделить на .
Для этого мы можем перейти к другим единицам измерения, кг - это г. , в килограммах это приблизительно . То есть . Предположим, нужно было делить еще точнее, тогда мы могли представить кг в миллиграммах, мг. . В килограммах это приблизительно . . Так можно увеличивать точность расчетов сколько угодно. Эта идея заложена в общем алгоритме письменного деления чисел в столбик. Когда нам нужно поделить на , мы выполняем деление в столбик, если все разряды числа использованы, то мы продолжаем деление, дописывая нуль.
Основная идея десятичной дроби состоит в том, что это - удобная форма записи для дробей, знаменатели которых , , и т.д. В десятичной форме записи верно такое разложение: . После обобщения понятия степени вы узнаете, что , ; и т.д. Тогда можно будет любое число, записанное в десятичной форме, представить в виде суммы аналогично тому, как мы делали это для натуральных чисел. Например, .
Помимо облегчения выполнения сравнения, десятичные дроби имеют преимущество в арифметических операциях, так как на них можно обобщить существующие алгоритмы работы с натуральными числами, записанными в десятичной записи (сложение, умножение в столбик, деление в столбик и т.д.).
То есть десятичная запись - это некий стандарт в математике. Примером стандартизации может служить болт и гайка. Раньше каждая мастерская изготавливала болты и гайки разных размеров, что вызывало неудобство. Но потом ввели стандарты, и их использование значительно упростилось. Теперь в механизме могут использоваться только определенные болты и гайки. Так и в механизме счета пришли к удобному стандарту - десятичным дробям.
Для сотых частей вводится отдельное название - процент. - одна сотая. Вернемся к примеру со школами: соотношение количества хорошистов в первой школе к общему количеству детей - , а во второй - . В таком виде сравнение выполняется легко: . Но для сравнения нам бы хватило и меньшей точности. Обычно в таких случаях вычисления округляют до сотых: и . Эти сотые доли и называют процентами, - это , а - .
Так как один процент - это одна сотая, процентов - это сто сотых, то есть , все целое. Половина - . Наверное, каждый в жизни сталкивался с процентами, например, скидки в магазине . Проценты - это другое название одного из видов дробей. Например, можно сказать, что осталась четверть бака бензина, а можно сказать - . Можно обходиться и без процентов: так же, как и массу, измерять только в килограммах, но в зависимости от обстоятельств удобнее использовать другие единицы измерения массы - например, тонны.
То есть процент - это не принципиально новый объект. Это лишь другое название часто используемого нами объекта - дроби со знаменателем . Теперь, когда мы знаем, что процент - это сотая часть, научиться работать с процентами - это дело техники.
В математике важно разделять, какая часть понятийная (что нужно понимать), а какая - техническая (что нужно отработать, решая различные примеры). Если ты один раз прокатился на велосипеде, то это не значит, что ты уже умеешь кататься, но ты понял, как это делать. Так и в математике: после понимания должны следовать упражнения, на которых можно набить руку.
Примером такого упражнения на проценты является следующая задача .
Рост мальчика см, он вырос на . Рост его брата см, и он тоже вырос на . На сколько сантиметров изменился рот каждого?
В первом случае на см ( от ), а во втором на см ( от ).
Еще одно популярное упражнение .
Цена товара сначала увеличилась на , а затем уменьшилась на . Как изменилась цена?
Вспомним, что такое дробь. Дробь - это часть чего-то. Например, если у нас есть литр молока, то половина - это пол-литра, то есть (Рис. 1).
Рис. 1. Литр и пол-литра молока
Другой пример: если разделить торт на равных частей, то части - это торта (Рис. 2).
Рис. 2. торта
То есть числитель (то, что написано над чертой дроби) указывает на количество взятых частей, а знаменатель (то, что написано под чертой дроби) указывает, на сколько частей мы делили объект.
Мы уже говорили, что дроби - это условное понятие. Так как то, что выражается дробным числом, при другом подходе может быть выражено целым числом. Например, четверть метра ( метра) - это то же самое, что см. В жизни мы тоже один и тот же объект можем называть разными словами. Например, для кого-то данный человек Иван Иванович, а для другого - Ванечка, а для кого-то - главный бухгалтер (Рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к примеру
В математике тоже используют эквивалентные формы записи одного и того же объекта. Например, число можно представить (записать) разными способами (Рис. 4).
Рис. 4. Представления числа 12
Рассмотрим еще один пример. Пусть путь до школы составляет кварталов, тогда половина пути - квартала (при условии, что они одинаковые). С другой стороны, мы идем до школы минут, тогда половину пути мы пройдем за минут. Или путь можно посчитать в шагах, если путь до школы шагов, то половина пути - шагов (Рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к примеру
То есть 
. Мы одну и ту же вещь - половину пути - обозначили по-разному (эквивалентные записи). Каждая форма записи может быть удобной в определенной ситуации.
Предположим, нам необходимо сравнить успеваемость учеников двух школ. Мы знаем, что в первой - хорошист, а во второй - хорошистов, всего детей в первой школе - , а во второй - . Какая школа лучше? Во второй школе больше детей, которые учатся хорошо, но и детей в этой школе больше. Для решения этой задачи нужно сравнить и . Для этого, как мы знаем, нужно привести дроби к общему знаменателю, что при больших числах является трудоемкой задачей. А если представить, что сравниваются не две школы, а больше, то задача становится еще сложнее. Поэтому в таком случае удобно использовать десятичные дроби. Запишем дроби так:
Сравнение происходит намного легче. Ведь сравнение десятичных дробей выполняется поразрядно. Сразу видно, что вторая школа лучше.
Теперь рассмотрим то, как связаны десятичные и обыкновенные дроби. Обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной. Например, представим, что человека идут в поход и нужно поровну распределить между ними кг муки, то есть нужно разделить на .
Для этого мы можем перейти к другим единицам измерения, кг - это г. , в килограммах это приблизительно . То есть . Предположим, нужно было делить еще точнее, тогда мы могли представить кг в миллиграммах, мг. . В килограммах это приблизительно . . Так можно увеличивать точность расчетов сколько угодно. Эта идея заложена в общем алгоритме письменного деления чисел в столбик. Когда нам нужно поделить на , мы выполняем деление в столбик, если все разряды числа использованы, то мы продолжаем деление, дописывая нуль.
Основная идея десятичной дроби состоит в том, что это - удобная форма записи для дробей, знаменатели которых , , и т.д. В десятичной форме записи верно такое разложение: . После обобщения понятия степени вы узнаете, что , ; и т.д. Тогда можно будет любое число, записанное в десятичной форме, представить в виде суммы аналогично тому, как мы делали это для натуральных чисел. Например, .
Помимо облегчения выполнения сравнения, десятичные дроби имеют преимущество в арифметических операциях, так как на них можно обобщить существующие алгоритмы работы с натуральными числами, записанными в десятичной записи (сложение, умножение в столбик, деление в столбик и т.д.).
То есть десятичная запись - это некий стандарт в математике. Примером стандартизации может служить болт и гайка. Раньше каждая мастерская изготавливала болты и гайки разных размеров, что вызывало неудобство. Но потом ввели стандарты, и их использование значительно упростилось. Теперь в механизме могут использоваться только определенные болты и гайки. Так и в механизме счета пришли к удобному стандарту - десятичным дробям.
Для сотых частей вводится отдельное название - процент. - одна сотая. Вернемся к примеру со школами: соотношение количества хорошистов в первой школе к общему количеству детей - , а во второй - . В таком виде сравнение выполняется легко: . Но для сравнения нам бы хватило и меньшей точности. Обычно в таких случаях вычисления округляют до сотых: и . Эти сотые доли и называют процентами, - это , а - .
Так как один процент - это одна сотая, процентов - это сто сотых, то есть , все целое. Половина - . Наверное, каждый в жизни сталкивался с процентами, например, скидки в магазине . Проценты - это другое название одного из видов дробей. Например, можно сказать, что осталась четверть бака бензина, а можно сказать - . Можно обходиться и без процентов: так же, как и массу, измерять только в килограммах, но в зависимости от обстоятельств удобнее использовать другие единицы измерения массы - например, тонны.
То есть процент - это не принципиально новый объект. Это лишь другое название часто используемого нами объекта - дроби со знаменателем . Теперь, когда мы знаем, что процент - это сотая часть, научиться работать с процентами - это дело техники.
В математике важно разделять, какая часть понятийная (что нужно понимать), а какая - техническая (что нужно отработать, решая различные примеры). Если ты один раз прокатился на велосипеде, то это не значит, что ты уже умеешь кататься, но ты понял, как это делать. Так и в математике: после понимания должны следовать упражнения, на которых можно набить руку.
Примером такого упражнения на проценты является следующая задача .
Рост мальчика см, он вырос на . Рост его брата см, и он тоже вырос на . На сколько сантиметров изменился рот каждого?
В первом случае на см ( от ), а во втором на см ( от ).
Еще одно популярное упражнение .
Цена товара сначала увеличилась на , а затем уменьшилась на . Как изменилась цена?
Конспект урока математики в 6 классе, 11.03.2017
«Десятичные дроби и проценты»
Учитель: Новгородцева С.В.
МБОУ «Воробьевская средняя школа»
Тип урока: контроль, коррекция знаний умений и навыков
Цели: - продолжить работу по формированию навыка применения десятичных дробей к решению задач на проценты; провести контроль и коррекцию знаний. Умений и навыков учащихся в нестандартной форме
Развивать вычислительные навыки, мышление, сообразительность, наблюдательность;
Воспитывать ответственное отношение к собственной учебной деятельности
Планируемые результаты:
предметные
Знать, как решаются три типа задач на проценты;
Выполнять решение трёх типов задач на проценты с помощью десятичных дробей.
Формирование универсальных учебных действий учащихся
Познавательные – воспитывать познавательный интерес к предмету; учить анализировать имеющуюся информацию; учить осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения образовательных задач в зависимости от конкретных условий.
Регулятивные – учить целеполаганию; планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей; умению вносить коррективы в действие после его завершения на основе учёта сделанных ошибок; оценивать правильность выполнения действий.
Коммуникативные – организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками; контролировать действие партнёра.
Личностные – формирование учебно-познавательного интереса к деятельности; воспитание доброжелательного отношения к окружающим; формирование умения проводить объективный самоанализ деятельности.
Оборудование – сводная таблица результатов работы, индивидуальные карточки для выполнения самостоятельной работы
Ход урока
I. Мотивация к учебной деятельности.
Проверяет готовность учащихся к уроку. Запись домашнего задания с доски (Выполнить №№ 860, 864, повторить п.п. 1.6 , 1.7.)
Здравствуйте. Пожалуйста, садитесь.
Я очень рада всех вас видеть здесь и сейчас бодрыми и здоровыми. К работе готовы? Итак, начинаем.
Для того, чтобы узнать тему урока, вам нужно вспомнить, как решить такую задачу:
Из 30 учащихся класса в различных кружках занимаются 12. Сколько процентов учащихся класса занимаются в кружках?
Сталкивались ли мы с подобными заданиям? Где мы можем найти подсказку для решения задания? Найдите этот материал в учебнике и прочитайте п.п. еще раз.
Можем ли мы сформулировать тему и задачи урока? Какой раздел мы изучаем сейчас? (Десятичные дроби). Какую тему вы повторили? (Проценты) Какой будет наша тема (Десятичные дроби и проценты)
Давайте сформулируем задачи урока
Научиться вычислять процент на основе знаний о десятичных дробях;
Решать задачи на нахождение процента разными способами.
II. Актуализация знаний.
Наш сегодняшний урок будет строиться на работе «на самого себя»., т.е. каждое задание оценивается в определенное количество баллов. В таблице напротив своего имени вы самостоятельно будете выставлять заработанное количество баллов в соответствующей графе. На этапе оценивания вы подсчитаете свои баллы и сами определите свою оценку за урок. У нас есть графы «Домашнее задание» - 3 , «Математический диктант» - каждый правильный ответ – 1 балл, «Самостоятельное решение проблемной задачи» – 9 баллов, «Нахождение новых способов решения этой задачи» - по 1 баллу (всего есть 3 способа), Написание тестовой самостоятельной работы КИМ № 28 – 3 балла. Обращаю ваше внимание на дополнительный балл – активность на уроке.
Объяснение работы сопровождается демонстрацией таблицы.
Ш. Этап контроля знаний
1. Проверка домашнего задания в тройках. В случае возникновения расхождений в результатах решения учащиеся у доски выполняет перепроверку и находят верный вариант. (Домашнее задание Учебник: «Математика 6». Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. /С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин – Изд. 3-е. – М.: Просвещение, 2014., № 855, № 856, 857)
200/ 100 * 20 = 2 * 27 = 54 290/ 100 * 27 = 2,9 * 27 = 78,3
45 * 27 %=12,15 38* 27 %=10,26
540/27%=2000 300/27%=1111,11111
243/27%=900 2727/27%=10100
350 – 100% 350 – 100 %
35 – х% 385 – х %
Х = 35*100/350 = 10% х = 385*100/350 = 110 %
350 – 100 % 350 – 100 %
315 – х % 679 – х %
Х = 3150*100/350 = 90 % х = 679 * 100 / 350 = 194 %
После проверки учащиеся, не допустившие ошибок, выставляют 3 балла, если есть 1 ошибка - 2 балла, если есть 2 и более ошибок – ставиться 1 балл. В случае отсутствия домашнего задания, ученик получает «- 3 балла»
2. Устный счет. Написание математического диктанта.
Производится обмен тетрадями. Запись числа, темы урока. Учащиеся записывают в сточку через клетку только ответы.
1% от100, 7% от 200, 100% от 49, 1 % от 300.
Найди целое число, если 1% =3, 15%=30, 10%=40, 50%=250.
Увеличьте число 60 на 10%, 40 на 50%, 80 на 25%
Ответ. 1, 14, 49, 3, 300, 200, 400, 500, 66, 60, 100.
Учащиеся обмениваются тетрадями в парах и сверяют ответы с ключом на доске. После проверки записывают столько баллов, сколько было дано правильных ответов
3) Постановка проблемного задания. Найдите разные способы решения этой задачи. Учащимся дается возможность работать в парах или малых группах.
Масса сушеных яблок составляет 25% массы свежих. Сколько сушеных яблок получиться из 200 кг? Сколько процентов массы свежих яблок теряется присушке?
200 кг – 100% х = 200* 25 / 100 = 50 кг сушеных яблок
Х кг – 25% 200-50 = 150 кг теряется
200*0,25 = 50 кг сушеных яблок 200 – 50 = 150 кг теряется
25 % = ¼ 200 * ¼ = 50 кг сушеных яблок 200 – 50 = 150 кг теряется
После того, как сильные учащиеся найдут 3 способ решения или в случае затруднения, учитель (или сильные учащиеся) объясняют еще раз все 3 способа, после чего ученики самостоятельно решают № 858 учебника.
Учащиеся получают баллы после проверки учителем. Каждая задача, решенная 3-мя способам – 3 балла.
4) Решение тестовой самостоятельной работы КИМ № 28
После решения заданий учащиеся объединяются в группы по вариантам и сверяют ответа по Ключам, выданным учителем.
IV Подведение итогов урока. Подсчет баллов. Оценивание.
28 -25 баллов – «5»
24-20 баллов – «4»
19 – 14 баллов – «3»
Учащиеся, набравшие меньше 14 баллов получают дополнительное задание для индивидуальной работы.
Урок № Тема урока: Десятичные дроби и проценты.
Дата:
Цель: - Научить обуч-ся решению задач на нахождение процентов данного числа и числа по его процентам. Рассмотреть задачи двух основных типов.
Обеспечить условия для развития внимательности, наблюдательности и умений выделять главное.
Создать условия для воспитания творческого отношения к учебной деятельности.
Тип урока: урок открытия новых знаний .
ХОД УРОКА:
1. Мотивационный этап.
Ребята, как вы считаете, сколько соли в морской воде?
В итоге небольшой дискуссии выясняется, что измерить всю соль во всех морях и океанах невозможно, но можно найти относительную величину, которая выражает содержание количества соли в воде.
1. Необходимо установить условную меру, например, граммов соли на килограмм воды или килограммов соли на тонну воды.
2. Найти отношение этих величин.
3. Выразить отношение величин в удобной форме.
Морская вода содержит, как известно, большое количество соли. Но содержание соли не во всех морях одинаково. Самая соленая вода в Красном море.
Тонна воды Красного моря содержит 40 кг соли.
В Черном море соли меньше - 18 кг на одну тонну воды.
Меньше всего соли в Балтийском море - 7,8 кг на тонну воды.
В океанах содержание соли почти одинаково:
в Атлантическом на тонну воды - 35,37 кг,
в Тихом - 34,91 кг,
в Индийском - 34,81 кг.
В Средиземном море содержание соли - 37 кг на тонну воды.
Подсчитайте среднее количество соли в представленных океанах, найдите отношение величин.
Учащиеся самостоятельно решают поставленную задачу. (≈0,03)
Число 0,03 выражает относительное содержание соли в морской воде, но это отношение можно записать в процентах, а как мы узнаем сегодня на уроке.
Урок
Десятичные дроби и проценты
Цели урока:
образовательная: закрепить и усовершенствовать навыки записывать в процентах десятичные дроби и проценты в виде десятичных дробей; отработка навыков устного счёта; выработка умений по применению полученных знаний; проверить степень усвоения материала путем проведения самостоятельной работы с проверкой на уроке.
развивающая: развитие логического мышления, познавательного интереса, любознательности, умение анализировать, наблюдать и делать выводы.
воспитательная: повышать заинтересованность в изучении предмета математики; воспитание самостоятельности, самооценки, активности.
Тип урока: урок закрепления и совершенствования умений и навыков.
Ход урока
Организационный момент. Проверка д.з.
Мотивация
Учитель. Ребята, как вы считаете, сколько соли в морской воде?
В итоге небольшой дискуссии выясняется, что измерить всю соль во всех морях и океанах невозможно, но можно найти относительную величину, которая выражает содержание количества соли в воде.
Необходимо установить условную меру, например, граммов соли на килограмм воды или килограммов соли на тонну воды.
Найти отношение этих величин.
Выразить отношение величин в удобной форме.
Учитель. Морская вода содержит, как известно, большое количество соли. Но содержание соли не во всех морях одинаково. Самая соленая вода в Красном море.
Тонна воды Красного моря содержит 40 кг соли.
В Черном море соли меньше - 18 кг на одну тонну воды.
Меньше всего соли в Балтийском море - 7,8 кг на тонну воды.
в Атлантическом на тонну воды - 35,37 кг,
в Тихом - 34,91 кг,
в Индийском - 34,81 кг.
В Средиземном море содержание соли - 37 кг на тонну воды.
Подсчитайте среднее количество соли в представленных морях и океанах, найдите отношение величин.
Учащиеся самостоятельно решают поставленную задачу. (≈0,03)
Учитель : Число 0,03 выражает относительное содержание соли в морской воде, но это отношение можно записать в процентах, а как мы узнаем сегодня на уроке.
Формулирование темы и целей урока.
Формулируется тема урока: Проценты и десятичные дроби.
Учитель : какую цель вы поставите перед собой?
Ученики: научиться записывать десятичные дроби в процентах и выражать проценты в идее десятичных дробей.
Учитель : в карте успеха поставьте оценку, которую вы хотите получить за урок.
В карте успеха задание после проверки учителем отмечается знаком «+», таким образом, видно, что ученик получает за урок.
Актуализация опорных знаний
Как называется сотая доля величины? (процент)
Задания для актуализации опорных знаний. (На карточках задания на повторение)
5.Закрепление полученных знаний. Работа в тетради – 10 мин.
Откройте тетради. Запишите: число, классная работа.
Решение заданий по учебнику.
6.Физкультминутка – 1 мин.
7.Самостоятельная работа 10 минут
Работа будет с самопроверкой. Если при решении у вас появятся вопросы - поднимите руку, и я к вам подойду.
Поднимите руки кто получил 5, 4, 3
Молодцы! Хорошо поработали.
VIII. Домашнее задание – 1мин
IX. Итог урока - 2 мин
Оценка работы класса и отдельных учащихся. Аргументация выставленных отметок, замечания по уроку, обсуждение допущенных ошибок и того, что необходимо для их коррекции. Объявление отметок
X. Рефлексия – 0,5 мин.
Ребята, вы сегодня все хорошо потрудились на уроке.
Возьмите в руки сигнальные карточки и ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
Сумел ли ты закрепить свои знания и умения?
Ты был активен на уроке?
Было ли тебе интересно?
Обучающиеся рассуждают о том, что им больше всего понравилось на уроке, что запомнилось, что бы они хотели повторить, что бы хотели изменить. Как они себя чувствовали на уроке.
Мне было очень приятно работать с вами. Спасибо за урок!
Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства