4. Треугольники, четырехугольники, многоугольники. Формулы площадей треугольника, прямоугольника, параллелограмма, трапеции.

5. Окружность, круг.

1. Треугольники

Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Но его изучение породило целую науку – тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт местности, конструировании различных механизмов.

Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.

Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из треугольника и его внутренней области, также называют треугольником (или плоским треугольником).

В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.

Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС.

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющей вершину с точкой на противоположной стороне.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.

На практике и в теоретических построениях часто пользуются признаками равенства треугольников, обеспечивающих более быстрое решение вопроса об отношениях ме5жду ними. Таких признаков три:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.

Равнобедренные треугольники обладают рядом свойств, например:

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Отметим несколько свойств треугольников.

1. Сумма углов треугольника равна 180º.

Из этого свойства следует, что в любом треугольнике хотя бы два угла острые.

2. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

3. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

1. Четырехугольники

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – его сторонами.

Любой четырехугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из четырехугольника и его внутренней области, также называется четырехугольником (или плоским четырехугольником).

Вершины четырехугольника называют соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями .

Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими. У четырехугольника АВСD вершины А и В – противолежащие, стороны АВ и ВС – соседние, ВС и АD – противолежащие; отрезки АС и ВD – диагонали данного четырехугольника.

Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВСD – выпуклый, а четырехугольник КРМТ – невыпуклый. Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Пусть АВСD – параллелограмм. Из вершины В на прямую АD опустим перпендикуляр ВЕ. Тогда отрезок ВЕ называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам ВС и АD. Отрезок

М

СМ – высота параллелограмм, соответствующая сторонам СD и АВ.

Чтобы упростить распознавание параллелограммов, рассматривают следующий признак: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник – параллелограмм.

Ряд свойств параллелограмма, которые не содержатся в его определении, формулируют в виде теорем и доказывают. Среди них:

1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы равны.

Рассмотрим теперь определение трапеции и ее основное свойство.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.

Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции обладает свойством: она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Исходя из этого определения, можно доказать, что диагонали прямоугольника равны.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Пользуясь этим определением, можно доказать, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Из множества прямоугольников выделяют квадраты.

Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны.

Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Следовательно, квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

1. Многоугольники

Обобщением понятия треугольника и четырехугольника является понятие многоугольника. Определяется оно через понятие ломаной.

Ломаной А₁А₂А₃…Аn называется фигура, которая состоит из точек А₁, А₂, А₃, …, Аn и соединяющих их отрезков А₁А₂, А₂А₃, …, Аn-₁Аn. Точки А₁, А₂, А₃, …, Аn называются вершинами ломаной, а отрезки А₁А₂, А₂А₃, …, Аn-₁Аn – ее звеньями.

Если ломаная не имеет самопересечений, то она называется простой. Если ее концы совпадают, то она называется замкнутой. О ломаных, изображенных на рисунке можно сказать: а) – простая; б) – простая замкнутая; в) – замкнутая ломаная, не являющаяся простой.

А) б) в)

Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Известно, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.

Вершины ломаной называют вершинами многоугольника, а ее звенья – его сторонами. Отрезки, соединяющие несоседние вершины, называются диагоналями.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая – внешней областью многоугольника (или плоским многоугольником).

Различают выпуклые и невыпуклые многоугольники.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.

Правильным является равносторонний треугольник, правильным четырехугольником – квадрат.

Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образуемый его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Известно, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180º (n – 2).

В геометрии, кроме выпуклых и невыпуклых многоугольников, рассматривают еще многоугольные фигуры.

Многоугольной фигурой называется объединение конечного множества многоугольников.

А) б) в)

Многоугольники, из которых состоит многоугольная фигура, могут не иметь общих внутренних точек, могут иметь общие внутренние точки.

Говорят, что многоугольная фигура F состоит из многоугольных фигур, если она является их объединением, а сами фигуры не имеют общих внутренних точек. Например, о многоугольных фигурах, изображенных на рисунке а) и в), можно сказать, что они состоят из двух многоугольных фигур или что они разбиты на две многоугольные фигуры.

1. Окружность и круг

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром .

Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности. Радиусом называется также расстояние от любой точки окружности до ее центра.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой . Хорда, проходящая через центр, называется диаметром .

Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние – радиусом круга.

Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом.

Напомним некоторые свойства окружности и круга.

Говорят, что прямая и окружность касаются, если они имеют единственную общую точку. Такую прямую называют касательной, а общую точку прямой и окружности – точкой касания. Доказано, что если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Справедливо и обратное утверждение (рис. а).

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис.б).

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность (рис.в).

Угол, вписанный в окружность, обладает следующим свойством: он равен половине соответствующего центрального угла. В частности, углы, опирающиеся на диаметр – прямые.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Чтобы описать окружность около треугольника, надо найти ее центр. Правило его нахождения обосновывается следующей теоремой:

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к его сторонам, проведенных через середины этих сторон (рис.а).

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Правило нахождения центра такой окружности обосновывается теоремой:

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис.б)

Таким образом, серединные перпендикуляры и биссектрисы пересекаются в одной точке соответственно. В геометрии доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эту точку называют центром тяжести треугольника, а точку пересечения высот – ортоцентром.

Таким образом, во всяком треугольнике существует четыре замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей и ортоцентр.

Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Основные свойства

1.Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

2.Отношение площадей треугольников, имеющих общие высоты, равно отношению оснований, соответствующих этим высотам.

3. Отношение площадей треугольников, имеющих общие основания, равно отношению высот, соответствующих этим сторонам треугольника.

4.В подобных треугольниках пропорциональны сходственные элементы, радиусы вписанных и описанных окружностей, периметры треугольников, квадратные корни из площадей.

5.Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

6.Радиус описанной окружности удобно находить с помощью теоремы синусов и косинусов:

7.Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника.

8.Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

9.Точка пересечения биссектрис делит биссектрису в отношении:

сумма сторон, образующих угол, из которого проведена биссектриса, к третьей стороне.

10.Медианы треугольника и стороны связаны формулой:

11.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник, подобный данному.

12. Если биссектрисы углов B и С треугольника ABC пересекаются в точке М, то .

13. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 .

14. Если М – точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то где - полупериметр треугольника.

15. Окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС. Тогда расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.

16. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках K , L и M . Если , то .

17. Теорема Менелая. Дан треугольник АВС. Некоторая прямая пересекает его стороны АВ, ВС и продолжение стороны АС в точках С 1, А 1, В 1 соответственно. Тогда

18. Теорема Чевы. Пусть точки А 1, В 1 и С 1 принадлежат соответственно сторонам ВС, АС и АВ треугольника АВС. Отрезки АА 1, ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

19. Теорема Штейнера-Лемуса. Если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.

20. Теорема Стюарта. Точка D расположена на стороне ВС треугольника АВС, тогда .

21.Внеписанной окружностью называют окружность, касающуюся одной из его сторон и продолжений двух других.

22.Для каждого треугольника существуют три внеписанных окружности, которые расположены вне треугольника.

23.Центром внеписанной окружности является точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника и биссектрисы внутреннего, не смежного с этими двумя внешними.

24.Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС. Тогда расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.

«Геометрические

фигуры

и их свойства»

Электронный справочник

Составила: Касьянова Т.В.

Учитель математики и информатики

МОУ «СОШ №3 г. Зеленокумска»

Узнай меня

Простейшие геометрические фигуры

Прямая

• Определение

, а

• Обозначение:

АВ или ВА

а

Прямая

• Точки, принадлежащие прямой.

• Точки, не принадлежащие прямой.

Прямая

• Прямые, пересекающие прямую а

b

k

а

c

• Прямые, не пересекающие прямую а

Отрезок

• Определение

• Обозначение:

CD или DC

Отрезок

• Точки, принадлежащие отрезку АВ

• Точки, не принадлежащие отрезку АВ

m

n

• Прямые, пересекающие отрезок АВ

• Прямые, не пересекающие отрезок АВ

• Определение

• Обозначение:

• Точки, принадлежащие лучу KL

• Точки, не принадлежащие лучу KL

• Лучи, пересекающие луч KL

• Лучи, не пересекающие луч KL

Координатный луч

• Определение

• Координаты точек

Треугольник

Треугольник - простейшая плоская фигура. Три вершины и три стороны. Изучение треугольника породило науку – тригонометрию. Эта наука возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт на местности, конструировании машин и механизмов.

Первое упоминание о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах,

которым более 4000лет,а через 2000 лет - в древней Греции.

Виды треугольников по углам

Тупоугольный

треугольник

Остроугольный

треугольник

Прямоугольный

треугольник

Виды треугольников по сторонам

Разносторонний треугольник

Отрезки треугольника

• Медиана треугольника

• Высота треугольника

• Биссектриса треугольника

• Проверочные задания

Треугольники

• Признаки равенства треугольников

• Признаки подобия треугольников

• Решение задач

• Признаки равенства прямоугольных треугольников

Прямоугольные треугольники

Треугольник, у которого есть прямой угол, называется прямоугольным.

Каждый из таких треугольников называют прямоугольным.

Тупоугольные треугольники

Треугольник, у которого есть тупой угол, называется тупоугольным.

Это – тупоугольные треугольники.

Остроугольные треугольники

Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным.

Это – остроугольные треугольники

4. Равнобедренные треугольники

Треугольник, у которого есть равные стороны, называется равнобедренным.

Каждый из таких треугольников - равнобедренный.

Равносторонние треугольники

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним

Это равносторонние треугольники

Разносторонние треугольники

Треугольник, у которого все стороны имеют разную длину, называется разносторонним

Это разносторонние треугольники

Медиана треугольника

• Отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

• Любой треугольник имеет

три медианы.

• В треугольнике медианы пересекаются в одной точке.

Высота треугольника

• Перпендикуляр проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

• Любой треугольник имеет три высоты.

• В треугольнике высоты пересекаются в одной точке.

Биссектриса треугольника

• Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

• Любой треугольник имеет три биссектрисы.

• В треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.

На каком рисунке изображена медиана треугольника?

На каком рисунке изображена высота?

На каком рисунке изображена биссектриса?

свойства

равнобедренного

треугольни ка

в 1,5 раза больше ER

на 3см меньше МК

Найдите равнобедренные треугольники

Сформулируйте признак равенства треугольников, который изображен на рисунке

Первый признак равенства треугольников

и углу между ними)

(по двум сторонам

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

назад

Второй признак равенства треугольников

и двум прилежащим к ней углам)

(по стороне

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

назад

Третий признак равенства треугольников

(по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

назад

Такого признака равенства треугольников не существует

Это подобие

назад

Работа над ошибками

Верно ли доказано равенство треугольников?

Задачи с практическим содержанием

Задача

Лежащий на полу ковер прямоугольной формы, сложили по диагонали.

Выполнив измерения,

указанные на рисунке.

Саша быстро восстановил

размеры ковра. Как он это сделал?

AF = 4м, EF = 3 м

Задача

Докажите равенство

∆ AFE и ∆ CDE.

Указания к решению задач с практическим содержанием

Задача

Докажите равенство

∆ AFE и ∆ CDE.

Самостоятельная работа

Найдите на рисунках равные треугольники и докажите их равенство

Прямоугольный треугольник

катет

гипотенуза

катет

Прямоугольный треугольник

1 признак. По двум катетам

Прямоугольный треугольник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

2 признак. По катету и гипотенузе

Прямоугольный треугольник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

3 признак. По катету и прилежащему острому углу

Прямоугольный треугольник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

4 признак. По гипотенузе и острому углу

Сформулируйте признак подобия треугольников, который изображен на рисунке

Первый признак подобия треугольников

(по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

назад

Второй признак подобия треугольников

(по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

назад

Третий признак подобия треугольников

(по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

назад

Четырехугольник

Четырехугольник – фигура, состоящая из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки – пересекаться.

Выпуклость

Четырехугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Выпуклый

Невыпуклый

Виды выпуклых четырехугольников

Трапеция

Параллелограмм

Ромб

Прямоугольник

Квадрат

Площади плоских фигур:

• Определение площади

• Свойства площадей

• Формулы площадей четырёхугольников

• Закрепление материала

Параллелограмм

Определение:

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Свойства параллелограмма

Свойства параллелограмма

1)Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

2)У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Признаки параллелограмма:

1) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

2) Если в четырехугольнике две стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Прямоугольник

Определение:

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства

прямоугольника

Свойства прямоугольника:

• Свойства параллелограмма.
• Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника:

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Ромб

Определение:

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

Свойства ромба:

• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Квадрат

Определение:

1)Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

2)Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.

• Свойства квадрата

Свойства квадрата

• У квадрата все углы прямые.

2) Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Боковая сторона

Боковая сторона

Трапеция

Основание

Определение:

Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Основание

Виды трапеций

Произвольная

Равнобедренная

Прямоугольная

Понятие площади

• Что принимают за единицу измерения площади?
• В каких единицах измеряется площадь?
• Чем выражается площадь многоугольника, что показывает это число?

Свойства площадей

• Равные многоугольники имеют равные площади
• Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников
• Площадь квадрата равна квадрату его стороны

1 свойство

то S(F1)=S(F2)

2 свойство

S(F)=S(F1)+S(F2)+S(F3)

3 свойство

S квадрата = a 2

Площади геометрических фигур

S = a x h

Ко всем четырехугольникам подберите формулы для вычисления их площади

Формулы для вычисления площади

Четырехугольники

• Квадрат

• Прямоугольник

• Параллелограмм

• Трапеция

• Треугольник

2.1. Геометрические фигуры на плоскости

В последние годы наметилась тенденция к включению значительного по объему геометрического материала в начальный курс математики. Но для того, чтобы мог познакомить учащихся с различными геометрическими фигурами, мог научить их правильно изображать, ему нужна соответствующая математическая подготовка. Учитель должен быть знаком с ведущими идеями курса геометрии, знать основные свойства геометрических фигур, уметь их построить.

При изображении плоской фигуры не возникает никаких геометрических проблем. Чертеж служит либо точной копией оригинала, либо представляет ему подобную фигуру. Рассматривая на чертеже изображение круга, мы получаем такое же зрительное впечатление, как если бы рассматривали круг-оригинал.

Поэтому изучение геометрии начинается с планиметрии.

Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.

Отрезок, прямая, круг – геометрические фигуры.

Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской.

Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры.

Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.

Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую, можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.

Например, объединением двух лучей АВ и МК является прямая КВ, а их пересечение есть отрезок АМ.

Различают выпуклые и невыпуклые фигуры. Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.

Фигура F 1 – выпуклая, а фигура F 2 – невыпуклая.

Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка. нетрудно убедится в том, что выпуклой фигурой является круг.

Если продолжить отрезок XY до пересечения с окружностью, то получим хорду АВ. Так как хорда содержится в круге, то отрезок XY тоже содержится в круге, и, значит, круг – выпуклая фигура.

Основные свойства простейших фигур на плоскости выражаются в следующих аксиомах:

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Эта аксиома выражает основное свойство принадлежности точек и прямых на плоскости.

2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Этой аксиомой выражается основное свойство расположения точек на прямой.

3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Очевидно, что аксиома 3 выражает основное свойство измерения отрезков.

Этим предложением выражается основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.

5. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 о. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Эта аксиома выражает основное свойство измерения углов.

6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

7. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 О, и только один.

В этих аксиомах отражаются основные свойства откладывания углов и отрезков.

К основным свойствам простейших фигур относится и существование треугольника, равного данному.

8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Основные свойства параллельных прямых выражается следующей аксиомой.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Рассмотрим некоторые геометрические фигуры, которые изучаются в начальной школе.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – его вершиной.

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.

Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым.

Кроме понятия угла, данного выше, в геометрии рассматривают понятие плоского угла.

Плоский угол – это часть плоскости, ограничения двумя различными лучами, исходящими из одной точки.

Существует два плоских угла, образованные двумя лучами с общим началом. Они называются дополнительными. На рисунке изображены два плоских угла со сторонами ОА и ОВ, один из них заштрихован.

Углы бывают смежные и вертикальные.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Сумма смежных углов равна 180 градусов.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Углы АОД и СОВ, а также углы АОС и ДОВ – вертикальные.

Вертикальные углы равны.

Параллельные и перпендикулярные прямые.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если прямая а параллельна прямой в, то пишут а II в.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Если прямая а перпендикулярна прямой в, то пишут а в.

Треугольники.

Треугольников называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.

Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю.

В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называются перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Четырехугольники.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами треугольника, а соединяющие из отрезки – его сторонами.

Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются противолежащими.

У четырехугольника АВСД вершины А и В – соседние, а вершины А и С – противолежащие; стороны АВ и ВС – соседние, ВС и АД – противолежащие; отрезки АС и ВД – диагонали данного четырехугольника.

Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВСД – выпуклый, а четырехугольник КРМТ – невыпуклый.

Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

ВС и АД – основания трапеции; АВ и СД – боковые стороны; КМ – средняя линия трапеции.

Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Из множества прямоугольников выделяют квадраты.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Окружность.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром.

Расстояние от точек до ее центра называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. ОА – радиус, СД – хорда, АВ – диаметр.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.

По новым учебникам в новых программах М.И. Моро, М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, С.И. Волковой, С.В. Степановой в 4 классе даются задачи на построение, такие, которых раньше в программе по математике в начальной школе не было. Это такие задачи, как:

Построить перпендикуляр к прямой;

Разделить отрезок пополам;

Построить треугольник по трем сторонам;

Построить правильный треугольник, равнобедренный треугольник;

Построить шестиугольник;

Построить квадрат, пользуясь свойствами диагоналей квадрата;

Построить прямоугольник, пользуясь свойством диагоналей прямоугольника.

Рассмотрим построение геометрических фигур на плоскости.

Раздел геометрии, изучающий геометрические построения, называется конструктивной геометрией. Основным понятием конструктивной геометрии является понятие "построить фигуру". Основные предложения формируются в виде аксиом и сводятся к следующим.

1. Каждая данная фигура построена.

2. Если построены две (или более) фигуры, то построено и объединение этих фигур.

3. Если построены две фигуры, то можно установить, будет ли их пересечение пустым множеством или нет.

4. Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно построено.

5. Если построены две фигуры, то можно установить, будет ли их разность пустым множеством или нет.

6. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то она построена.

7. Можно простроить точку, принадлежащую простроенной фигуре.

8. Можно построить точку, не принадлежащей построенной фигуре.

Для построения геометрических фигур, обладающих некоторыми указанными свойствами, пользуются различными чертежными инструментами. Простейшими из них являются: односторонняя линейка (в дальнейшем просто линейка), двусторонняя линейка, угольник, циркуль и др.

Различные чертежные инструменты позволяют выполнять различные построения. Свойства чертежных инструментов, используемые для геометрических построений, также выражаются в форме аксиом.

Поскольку в школьном курсе геометрии рассматриваются построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки, мы также остановимся на рассмотрении основных построений, выполняемых именно этими чертежами инструментами.

Итак, с помощью линейки можно выполнить следующие геометрические построения.

1. построить отрезок, соединяющий две построенные точки;

2. построить прямую, проходящую через две построенные точки;

3. построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через построенную точку.

Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:

1. построить окружность, если построен ее центр и отрезок, равный радиусу окружности;

2. построить любую из двух дополнительных дуг окружность, если построены центр окружности и концы этих дуг.

Элементарные задачи на построение.

Задачи на построение – это, пожалуй, самые древние математические задачи, они помогают лучше понять свойства геометрических фигур, способствуют развитию графических умений.

Задача на построение считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Рассмотрим некоторые элементарные задачи на построение.

1. Построить на данной прямой отрезок СД, равный данному отрезку АВ.

Возможность только построения вытекает из аксиомы откладывания отрезка. С помощью циркуля и линейки оно осуществляется следующим образом. Пусть даны прямая а и отрезок АВ. Отмечаем на прямой точку С и строим с центром в точке С окружность с прямой а обозначаем Д. Получаем отрезок СД, равный АВ.

2. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.

Пусть даны точки О и прямая а. Возможны два случая:

1. Точка О лежит на прямой а;

2. Точка О не лежит на прямой а.

В первом случае из обозначим точку С, не лежащую на прямой а. Из точки С как из центра списываем окружность произвольного радиуса. Пусть А и В – точки ее пересечения. Из точек А и В описываем окружность одного радиуса. Пусть точка О – точка их пересечения, отличная от С. Тогда полупрямая СО – это биссектриса развернутого угла, а также и перпендикуляр к прямой а.

Во втором случае из точки О как из центра проводим окружность, пересекающую прямую а, а затем из точек А и В тем же, радиусом проводим еще две окружности. Пусть О – точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Прямая ОО/ и есть перпендикуляр к данной прямой а. Докажем это.

Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО/. Треугольники АОВ и АО/В равны по трем сторонам. Поэтому угол ОАС равен углу О/АС равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда из углы АСО и АСО/ равны. А так как углы смежные, то они прямые. Таким образом, ОС есть перпендикуляр к прямой а.

3. Через данную точку провести прямую, параллельную данной.

Пусть даны прямая а и точка А вне этой прямой. Возьмем на прямой а какую-нибудь точку В и соединим ее с точкой А. Через точку А проведем прямую С, образующую с АВ такой же угол, какой АВ образует с данной прямой а, но на противоположной стороне от АВ. Построенная прямая будет параллельна прямой а., что следует из равенства накрест лежащих углов, образованных при пересечении прямых а и с секущей АВ.

4. Построить касательную к окружности, проходящую через данную на ней точку.

Дано: 1) окружность Х (О, ч)

2) точка А х

Построить: касательную АВ.

Построение.

2. окружность Х (А, ч), где ч – произвольный радиус (аксиома 1 циркуля)

3. точки М и N пересечения окружности х 1 , и прямой АО, то есть {М, N} = х 1 АО (аксиома 4 общая)

4. окружность х (М, r 2), где r 2 – произвольный радиус, такой что r 2 r 1 (аксиома 1 циркуля)

И внешне – своим открытым поведением, а внутренне – своим психическими процессами и чувствами. Выводы по первому разделу Для развития всех познавательных процессов младшего школьника необходимо соблюдать следующие условия: 1. Учебная деятельность должна быть целенаправленной, вызывать и поддерживать постоянный интерес у учащихся; 2. Расширять и развивать познавательные интересы у...

Всему тесту в целом, что говорит о том, что у них уровни развития мыслительных операций сравнения и обобщения выше, чем у слабоуспевающих школьников. Если анализировать индивидуальные данные по субтестам, то затруднения при ответах на отдельные вопросы говорят о слабом владении данными логическими операциями. Данные затруднения наиболее часто встречаются именно у слабоуспевающих школьников. Это...

Младшего школьника. Объект исследования: развитие образного мышления у учащихся 2 класса средней школы №1025. Метод: тестирование. Глава 1. Теоретические основы исследования образного мышления 1.1. Понятие о мышлении Наше познание окружающей действительности начинается с ощущений и восприятия и переходит к мышлению. Функция мышления – расширение границ познания путем выхода за...

Свойства геометрических фигур - ключ к решению любых задач по планиметрии. Юзбашев А.В.

М.: ИТЦ "МАТИ", 2005. - 216с.

В книге представлены задачи, отражающие свойства основных геометрических фигур и их элементов. От треугольников до многоугольников, ромбов, окружностей. Все задачи систематизированы по названиям фигур, снабжены рисунками и указаниями. Многолетний опыт преподавания математики позволяет автору утверждать, что знание этих свойств, многие из которых составляют содержание известных теорем, а другие еще не попали в школьные учебники, является достаточным условием для решения любых задач по планиметрии. Для широкого круга читателей, интересующихся математикой: учащихся школ, лицеев, гимназий и колледжей, для абитуриентов и преподавателей.

(Примечание: До стр.149 - условия 402 задач. Стр. 150-207 - указания к их решению.)

Формат: djvu / zip

Размер: 1 ,3 Мб

/ Download файл

Обращение к читателю (вместо предисловия)

Книга, которую Вы, уважаемый читатель, держите в руках, во многом отличается от большинства учебников, задачников и справочников тем, что, во-первых, она не является, в строгом смысле, ни одним из этих пособий, а, во-вторых, содержит в себе элементы каждого из них.

Много лет занимаясь преподаванием математики, я понял в какой-то момент, чего мне не хватало среди огромного количества самых разнообразных книг по геометрии: мне не хватало книги, где были бы собраны под одной обложкой все или почти все известные нам свойства основных геометрических фигур и их элементов.
Разумеется, все эти свойства давно известны и досконально изучены, а сформулированные в виде теорем и задач, изложены во многих изданиях, начиная от школьных учебников и кончая олимпиадными сборниками.

По этой причине мы опускаем подробные доказательства приводимых утверждений (свойств) и отсылаем читателя к замечательным книгам, в которых он найдет, помимо строгих доказательств, еще и множество других интереснейших фактов и сведений из планиметрии.
И если случится так, что ваше любопытство, ваш интерес и желание поглубже и повнимательнее рассмотреть и понять иногда очевидные, иногда поразительные, а иногда просто фантастические, изумительные свойства привычных нам фигур хотя бы в малой степени будут "спровоцированы" настоящей книгой, я буду считать, что моя цель достигнута.

Мне также хотелось бы думать, что она будет полезна Вам и для решения геометрических задач, когда возникнет необходимость вспомнить или заново узнать те или иные свойства фигур. Хотелось бы, конечно, надеяться, что она понадобится многим и многим читателям: и школьникам, изучающим курс геометрии, и абитуриентам, готовящимся к экзаменам и систематизирующим свои знания, и вообще всем, кто интересуется геометрией.

Я отдаю себе отчет в том, что эта книга далеко не полная, и если Вам, уважаемый читатель, она придется по душе, этого будет вполне достаточно, чтобы в дальнейшем попытаться сделать ее более содержательной и привлекательной.
Желаю успехов, Андрей Юзбашев

Содержание
Глава 1. ТРЕУГОЛЬНИКИ 6
§ 1. Обозначения 6
§ 2. Общие свойства 7
§ 3. Свойства биссектрис 8
§ 4. Свойства высот 15
§ 5. Свойства медиан 21
§ 6. Свойства ортоцентра 24
§ 7. Ортотреугольник и серединный треугольник 28
§ 8. Метрические соотношения 32
§ 9. Соотношения между сторонами и углами 33
§10. Точки лежат на одной прямой 35
§11. Прямые пересекаются в одной точке 42
§12. Прямая Эйлера 52
§13. Окружность девяти точек 55
§14. Точка Ферма 59
§15. Фигуры, построенные на сторонах 61
§16. Прямая Симеона 65
§17. Свойства трисектрис 69
§18. Отрезки прямых через произвольную точку 70
§19. Свойства, связанные с описанной, вписанной и вневписанной окружностями 72
§20. Метрические соотношения между сторонами треугольника и радиусами вписанной и описанной окружностей 87
Глава 2. ПРАВИЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 90
Глава 3. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 95
Глава 4. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 98
Глава 5. ВПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 111
Глава 6. ТРАПЕЦИИ 125
Глава 7. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ 128
Глава 8. ПРЯМОУГОЛЬНИКИ И РОМБЫ 131
Глава 9. ШЕСТИУГОЛЬНИКИ 133
Глава 10. ОКРУЖНОСТИ 135
Указания 150
Литература 208

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства