Отношение делимости и его свойства

Делимость натуральных чисел

Как известно, вычитание и деление на множестве натуральных чисел выполнимо не всегда. Вопрос о существовании разности натуральных чисел а и b решается просто - достаточно установить (по записи чисел), что b < а. Для деления такого общего и простого признака нет. Поэтому в математической науке с давних пор пытались найти такие правила, которые позволили бы по записи числа а узнавать, делится оно на число b или нет, не выполняя непосредственного деления а на b. В результате этих поисков были открыты не только некоторые признаки делимости, но и другие важные свойства чисел; познакомимся с некоторыми из них.

В начальных курсах математики делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются. Например, признак делимости суммы, разности и произведения на число тесно связаны с правилами деления суммы, разности и произведения на число, изучаемыми в начальных классах. В ряде курсов изучаются признаки делимости чисел на 2, 3, 5 и другие.

Вообще знания о делимости натуральных чисел расширяют представления о множестве натуральных чисел, позволяют глубже усвоить материал, связанный с делением натуральных чисел, применять полученные ранее знания о способах доказательства, о свойствах отношений и др.

Отношение делимости и его свойства

Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что a - bq.

В этом случае число b называют делителем числа а, а число а - кратным числа b.

Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8·3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8.

В том случае, когда а делится на b, пишут: а b. Эту запись часто читают и так: «а кратно b».

Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5-делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.

Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема 1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если a b, тo b≤a.

Доказательство. Так как а b, то существует такое q N, что a=bq и, значит, a-b = bq-b = b· (q- 1). Поскольку а N, то q≥l. Тогда b· (q- 1) ≥0 и, следовательно, b≤a.

Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно . Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1, 2, 3,4, 6,9, 12, 18, 36}.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Определение. Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.

Например, число 13 - простое, поскольку у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1, 2 и 4.

Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, - их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ..., и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где q принимает значения 1, 2, 3,....

Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство . Для любого натурального а справедливо равенство а = а·1. Так как 1 N, то, по определению отношения делимости, а а.

Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е.

если a b и а≠b, то .

Доказательство . Предположим противное, т.е. что b а. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию a b и а≠b. Тогда, по той же теореме, b≤а.

Неравенства а ≤b и b ≤а будут справедливы лишь тогда, когда а=b, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверное и поэтому если a b и а≠b, то .

Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если a b и b с, то а с.

Доказательство . Так как a b, то существует такое натуральное число q, что a - bq, а так как b с, то существует такое натуральное число р, что b= ср. Но тогда имеем: a=bq = (cp)q = c(pq). Число pq - натуральное. Значит, по определению отношения делимости, а с.

Теорема 5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а 1 , а 2 , ... , а n делится на натуральное число b, то и их сумма а 1 +а 2+ ...+ а n делится на это число.

Доказательство . Так как а 1 b, то существует такое натуральное число q 1 , что а 1= bq 1 . Так как a 2 b, то существует такое натуральное число q 2 , что а 2 = bq 2 . Продолжая рассуждения, получим, что если а n b, то существует такое натуральное число q n , что а n = bq n . Эти равенства позволяют преобразовать сумму а 1 +а 2 + ... + а n в сумму вида bq 1 + bq 2 + ... + bq n . Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q 1 + q 2 + ... + q n обозначим буквой q. Тогда а 1 + а 2 + ... + a n = b(g 1 + q 2 + ... + q n)= bq, т.е. сумма а 1 + а 2 + ... + а n оказалась представленной в виде произведения числа b и некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а 1 + а 2 + ... + a n делится на b, что и требовалось доказать.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что сумма 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа a 1 и а 2 делятся на b и а 1 > а 2 , то их разность а 1 - а 2 делится на b.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведение вида ах, где х N, делится на b.

Доказательство . Так как а b, то существует такое натуральное число q, что а = bq. Умножим обе части этого равенства на натуральное число х. Тогда ах = (bq)x, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)x – b(qx) и, значит, ах = b(qx), где qx - натуральное число. Согласно определению отношения делимости ах b, что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b.

Например, произведение 24 – 976 - 305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.

Доказательство . Пусть s = а 1 + а 2 + ... + a n + с и известно,

что а 1 b, а 2 b ... a n b, но . Докажем, что тогда .

Предположим противное, т.е. пусть s b. Преобразуем сумму s к виду с = s - (а 1 + а 2 + ... + a n). Так как s b по предположению, (а 1 + а 2 + ... + a n) b согласно признаку делимости суммы, то по теореме о делимости разности с b. Пришли к противоречию с тем, что дано. Следовательно, .

Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так как 34 2, 376 2,124 2, но .

Теорема 9. Если в произведении ab множитель а делится на натуральное число m, а множитель b делится на натуральное число n, то ab делится на mn.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

Теорема 10. Если произведение ас делится на произведение bс, причем с - натуральное число, то и я делится на b.

Доказательство . Так как ас делится на bс, то существует такое натуральное число q, что ас = (bc)q, откуда ас = (bq)c и, следовательно, а =bq, т.е. а b.

Признаки делимости

Рассмотренные в п. 88 свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3,4, 5, 9.

Признаки делимости позволяют установить по записи числа делится ли оно на другое, не выполняя деления.

Теорема 11 (признак делимости на 2). Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 , где а n , a n-1 ,..., а 1 , принимают значения 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а n ≠ 0 и а 0 принимает значения 0,2,4,6,8. Докажем, что тогда х 2.

Так как 10 2, то 10 2 2, 10 3 2, ..., 10 n 2 и, значит, (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 2. По условию а 0 тоже делится на 2, и поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число х делится на 2.

Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2,4, 6, 8.

Запишем равенство х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10+а в таком виде:

а о = х-(а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10). Но тогда, по теореме о делимости разности, а о 2, поскольку х 2 и (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 2. Чтобы однозначное число а 0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.

Теорема 12 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.

Теорема 13 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.

Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 и две последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х 4.

Так как 100 4, то (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 4. По условию, а 1 ·10 + а 0 (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, и само число х делится на 4.

Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, то двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4.

Запишем равенство х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 в таком виде: а 1 ·10 + а о = х- (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 ·10 2). Так как х 4 и (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 ·10 2) 4, то по теореме о делимости разности (а 1 ·10 + а о) 4 Но выражение а 1 ·10 + а 0 есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.

Приведем пример, подтверждающий справедливость свойства деления суммы двух натуральных чисел на данное натуральное число. Покажем, что равенство (18+36):6=18:6+36:6 верное. Сначала вычислим значение выражения из левой части равенства. Так как 18+36=54 , то (18+36):6=54:6 . Из таблицы умножения находим 54:6=9 (смотрите раздел теории деление при помощи таблицы умножения). Переходим к вычислению значения выражения 18:6+36:6 . Из таблицы умножения имеем 18:6=3 и 36:6=6 , поэтому 18:6+36:6=3+6=9 . Следовательно, равенство (18+36):6=18:6+36:6 верное.

Еще следует обратить внимание на тот факт, что это свойство, а также сочетательное свойство сложения натуральных чисел позволяют выполнять деление суммы трех и большего количества натуральных чисел на данное натуральное число. Например, частное (14+8+4+2):2 равно сумме частных следующего вида 14:2+8:2+4:2+2:2 .

Свойство деления разности двух натуральных чисел на натуральное число.

Аналогично предыдущему свойству формулируется свойство деления разности двух натуральных чисел на данное натуральное число: разделить разность двух чисел на данное число – это все равно, что отнять от частного уменьшаемого и данного числа частное вычитаемого и данного числа .

С помощью букв это свойство деление можно записать так: (a-b):c=a:c-b:c , где a , b и c – такие натуральные числа, что a больше или равно b , а также и a и b можно разделить на c .

В качестве примера, подтверждающего рассматриваемое свойство деления, покажем справедливость равенства (45-25):5=45:5-25:5 . Так как 45-25=20 (при необходимости изучите материал статьи вычитание натуральных чисел), то (45-25):5=20:5 . По таблице умножения находим, что полученное частное равно 4 . Теперь вычислим значение выражения 45:5-25:5 , стоящего в правой части равенства. Из таблицы умножения имеем 45:5=9 и 25:5=5 , тогда 45:5-25:5=9-5=4 . Следовательно, равенство (45-25):5=45:5-25:5 верно.

Свойство деления произведения двух натуральных чисел на натуральное число.

Если увидеть связь между делением и умножением , то будет видно и свойство деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, равное одному из множителей. Его формулировка такова: результат деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, которое равно одному из множителей, равен другому множителю . Приведем буквенный вид этого свойства деления: (a·b):a=b или (a·b):b=a , где a и b – некоторые натуральные числа.

Например, если разделить произведение чисел 2 и 8 на 2 , то получим 8 , а (3·7):7=3 .

Теперь будем считать, что делитель не равен ни одному из множителей, образующих делимое. Сформулируем свойство деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число для этих случаев. При этом будем считать, что хотя бы один из множителей можно разделить на данное натуральное число. Итак, разделить произведение двух натуральных чисел на данное натуральное число – это все равно, что разделить на это число один из множителей и результат умножить на другой множитель .

Озвученное свойство, мягко говоря, не очевидно. Но если вспомнить, что умножение натуральных чисел по сути является сложением некоторого количества равных слагаемых (об этом написано в разделе теории смысл умножения натуральных чисел), то рассматриваемое свойство следует из .

Запишем это свойство с помощью букв. Пусть a , b и c – натуральные числа. Тогда, если a можно разделить на c , то справедливо равенство (a·b):c=(a:c)·b ; если b можно разделить на c , то справедливо равенство (a·b):c=a·(b:c) ; а если и a , и b можно разделить на c , то имеют место оба равенства одновременно, то есть, (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) .

К примеру, в силу рассмотренного свойства деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число справедливы равенства (8·6):2=(8:2)·6 и (8·6):2=8·(6:2) , которые можно записать в виде двойного равенства вида (8·6):2=(8:2)·6=8·(6:2) .

Свойство деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел.

Давайте разберем следующую ситуацию. Пусть нужно поровну разделить a призов между участниками b команд по c человек в каждой команде (будем считать, что натуральные числа a , b и c таковы, что указанное деление возможно провести). Как это можно сделать? Рассмотрим два случая.

• Во-первых, можно узнать общее количество участников (для этого нужно вычислить произведение b·c ), после чего провести деление всех a призов на всех b·c участников. Математически этому процессу соответствует a:(b·c) .
• Во-вторых, a призов можно разделить на b команд, после чего полученное количество призов в каждой команде (оно будет равно частному a:b ) разделить на c участников. Математически этот процесс описывается выражением (a:b):c .

Понятно, что и при первом и при втором варианте деления, каждый участник получит одно и то же количество призов. То есть, будет справедливо равенство вида a:(b·c)=(a:b):c , которое представляет собой буквенную запись свойства деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел. Следует заметить, что в силу переместительного свойства умножения натуральных чисел полученное равенство можно записать в виде a:(b·c)=(a:c):b .

Осталось лишь привести формулировку рассматриваемого свойства деления: разделить натуральное число на произведение – это все равно что разделить это число на один из множителей, после чего полученное частное разделить на другой множитель .

Приведем пример. Покажем справедливость равенства 18:(2·3)=(18:2):3 , что будет подтверждать свойство деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел. Так как 2·3=6 , то частное 18:(2·3) равно 18:6=3 . Теперь вычислим значение выражения (18:2):3 . Из таблицы умножения находим, что 18:2=9 , а 9:3=3 , тогда (18:2):3=3 . Следовательно, 18:(2·3)=(18:2):3 .

Свойство деления нуля на натуральное число.

Мы приняли условность, что число нуль (напомним, что нуль не относится к натуральным числам) означает отсутствие чего-либо. Таким образом, деление нуля на натуральное число – это есть деление «ничего» на несколько частей. Очевидно, что в каждой из полученных частей также будет «ничто», то есть нуль. Итак, 0:a=0 , где a – любое натуральное число.

Полученное выражение представляет собой буквенную запись свойства деления нуля на натуральное число, которое формулируется так: результатом деления нуля на произвольное натуральное число является нуль .

К примеру, 0:105=0 , а частное от деления нуля на 300 553 тоже равно нулю.

Натуральное число делить на нуль нельзя.

Почему же натуральное число нельзя делить на нуль? Давайте разберемся с этим.

Предположим, что некоторое натуральное число a можно разделить на нуль, и результатом деления является другое натуральное число b , то есть, справедливо равенство a:0=b . Если вспомнить о связи деления с умножением, то записанное равенство a:0=b означает справедливость равенства b·0=a . Однако свойство умножения натурального числа и нуля утверждает, что b·0=0 . Сопоставление двух последних равенств указывает на то, что a=0 , чего быть не может, так как мы сказали, что a – некоторое натуральное число. Таким образом, наше предположение о возможности деления натурального числа на нуль приводит к противоречию.

Итак, натуральное число нельзя делить на нуль .

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

выработка навыка решения заданий на применение свойств делимости суммы и произведения;

включение каждого учащегося в осознанную учебную деятельность;

Развивать творческие способности, математическую культуру, умение выявлять закономерности, обобщать.

Оборудование: доска, таблица, учебная литература, компьютер, проектор, экран.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний

Математический диктант

1 вариант	2 вариант
а) если число а делится на 6, то оно делится на 12*; б) если число а не делится на 6, то оно не делится на 12	1. Какие из высказываний верные: а) если число а делится на 12, то оно делится на 6; б) если число а не делится на 12, то оно не делится на 6
а) любое число, кратное 90	2. Пусть F – множество чисел, кратных 33. Принадлежит ли множеству F: а) любое число, кратное 11
3. Найдите пересечения: а) множества четных чисел и множества чисел, кратных 4	3. Найдите пересечения: а) множества чисел, кратных 3, и множества чисел, кратных 7

3. Усвоение новых знаний

Учащиеся делятся на 4 группы. Каждая группа изучает одно из свойств, доказательство этого свойства.

Рассмотрим некоторые свойства делимости суммы и произведения.

1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Доказательство проведем для трех слагаемых. Если числа a, b , и c делятся на p, то a=pk, b=pm, c=pn, где k,m и n – целые числа. Тогда

a+b+c=pk+pm+pn=p(k+m+n),

и так как k +m+n – целое число, то a+b+c делится на p.

В случае произвольного числа слагаемых прием доказательства остается тем же. Очевидно, что обратное утверждение неверно.

2. Если два целых числа делятся на некоторое число, то их разность делится на это число.

Это свойство следует из предыдущего, так как разность a-b всегда можно представить в виде суммы a+(-b) .

3. Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.

Пусть числа a и b делятся на p, а число c не делится на p. Докажем, что сумма a+b+c не делится p. Предположим противное: пусть a+b+c делится на p. Тогда в разности (a+b+c)-(a+b) уменьшаемое делится на p по предположению, а вычитаемое делится на p по свойству 1, и поэтому по свойству 2 разность делится на p. Однако эта разность равна c и на p по условию не делится. Мы пришли к противоречию. Следовательно, сделанное нами предположение неверно и сумма a+b+c делится на р, что и требовалось доказать.

Заметим, что так как разность a-b можно рассматривать как сумму a+(-b), то доказанные свойства суммы относятся к любой алгебраической сумме чисел.

4. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то произведение делится на это число.

Если а делится на с, то a=ck, где k –целое число. Тогда ab=(ck)b т.е ab=c(kb), причем kb – целое число, так как произведение целых чисел является целым числом. Значит ab делится на с.

При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением целых чисел. Например:

Одно из п последовательных целых чисел делится на п;

Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;

Произведение трех последовательных целых чисел делится на 6;

Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.

Решение задач с применением свойств делимости суммы и произведения.

Пример 1

Докажите, что сумма 333 555 + 555 333 делится на 37.

333 555 + 555 333 = (3*111) 555 +(5*111) 333 = 111*(3 555 *111 554 + 5 333 *111 332). Так как 111 делится на 37, то данное выражение делится на 37.

Пример 2

Выясним, принадлежит ли графику уравнения 15х + 25 y= 114 хотя бы одна точка, координатами которой являются целые числа.

Допустим, что график проходит через точку М (а; в), где а и в целые числа. Тогда верным является равенство 15а + 25в =114. В левой части этого равенства записана сумма, которая делится на 5, так как каждое слагаемое 15а и 25в делятся на 5. ТО число 114 на 5 не делится. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и на графике уравнения 15х + 25y = 114 нет ни одной точки с целочисленными координатами.

Пример 3

Выясним, может ли целое число а, не равное нулю и не являющееся делителем 240, быть корнем уравнения 17х 3 –10х 2 -6х + 240 =0.

Допустим, что а – целый корень уравнения. Тогда верно равенство

17а 3 – 10а 2 – 6а + 240 =0.

Левая часть представляет собой сумму, в которой каждое слагаемое, кроме одного, делится на а, и поэтому эта сумма не делится на а. Правая часть этого равенства делится на а, так как 0 делится на любое число, отличное от нуля. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и число а не может быть корнем данного уравнения.

Пример 4

Докажем, что если n - простое число, большее чем 3, то разность n 2 - 1 делится на 24.

Имеем n 2 - 1 =(n-1)(n+1) . Из трех последовательных чисел n-1, n , n+1 хотя бы одно делится на 3. Однако число n на 3 не делится, значит, на 3 делится одно из чисел n-1 и n+1и, следовательно, их произведение (n-1)(n+1). Из условия ясно, что число n нечетное. Значит, n-1 и n+1 – два последовательных четных числа. Одно из таких чисел делится на 2, а другое - на 4, и поэтому их произведение делится на 8.

Итак, разность n 2 -1, где n – простое число и n>3, делится на 3 и на 8. А так как 3 и 8 взаимно простые, то эта разность делится на 24.

Решение №108, 110, 111(а),116(а), 119, 123.

4. Подведение итогов

5. Домашнее задание

Лекция 4. Делимость на множестве целых неотрицательных чисел

1. Понятие отношения делимости, его свойства.

2. Признаки делимости суммы, разности, произведения.

3. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9 (два доказать).

В начальном курсе математики делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются.

Отношение делимости и его свойства

Рассмотрим отношение делимости на множестве целых неотрицательных чисел.

Определение 1. Пусть даны целые неотрицательные числа а и b . Говорят, что число а b , если существует такое целое неотрицательное число q , что а=bq . В этом случае число b называют делителем числа а , а число а - кратным числа b.

Обознаение: а b и говорят а кратно b , а b называют делителем числа а .

Заметим, что понятие "делитель данного числа" следует отличать от понятия "делитель", обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 - делитель, но не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия "делитель" и "делитель данного числа" совпадают.

Замечание. Из определения 1 и равенства а=1а , следует, что 1 является делителем любого целого неотрицательного числа.

Свойства отношения делимости:

Отношение делимости рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

Теорема 1. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя
.

Доказательство:

Для справедливо равенство а=а 1. Т.к. 1 , то по опр. 1 .

Теорема 2. Отношение делимости антисимметрично, т. е.

Доказательство (методом от противного): Предположим, что
. Тогда очевидно, что b≥a. Но по условию
и значит а≥b. Выполнение этих неравенств возможно только при а=b, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно и справедливость свойства установлена.

Теорема 3. Отношение делимости транзитивно, то есть

Доказательство:

Т.к.
, то по опр.1 . Аналогично, т.к. b с, то .

Тогда a=bq=(cp)q=c(pq). Число рq- натуральное. Это означает по опр.1, что а с.

Таким образом, отношение делимости на множестве N, обладая свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, является отношением нестрогого порядка.

Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел

Теорема 4 (признак делимости суммы): Если каждое слагаемое суммы делится на натуральное число b, то и вся сумма делится на это число, то есть

если
.

Доказательство: Пусть
. Тогда существуют q 1 ,q 2 ,…q n
N такие, что выполняются равенства: а 1 =bq 1 , а 2 =bq 2 , …, а 1 n = bq n . Из этих равенств следует, что а 1 +а 2 +…а n =bq 1 +bq 2 +…+bq n =b(q 1 +q 2 +…+q n), где q 1 +q 2 +…+q n =q
N 0 . По определению отношения делимости это означает, что
.

Теорема 5 (признак делимости разности): Если каждое из чисел а и b делится на с и а≥b , то разность а-b делится на с , т. е. если .

Доказательство: Пусть
. Тогда существуют q 1 ,q 2
N такие, что а=cq 1 , b=cq 2 . Поскольку а≥b, то q 1 >q 2 . Таким образом, имеем а-b =cq 1 -cq 2 =c(q 1 -q 2)=cq, где q 1 -q 2 =q
N. Следовательно, .

Теорема 6 (признак делимости произведения): Если хотя бы один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на это число, то есть
.

Доказательство: Пусть а k b, тогда существует q
N такое, что а k =bq. Отсюда, используя коммутативный и ассоциативный законы умножения, можем записать
. Поскольку произведение целых неотрицательных чисел является целым неотрицательным числом, то последнее равенство означает, что
.

Теорема 7: Если в произведении ab множитель а делится на натуральное число m , а множитель b делится на натуральное число n , то произведение ab делится на произведение nm , то есть
.

Доказательство: Пусть a m и b n, тогда существуют q 1 ,q 2
N такие что, a=mq 1 , b=nq 2 . Отсюда на основании комм. и ассоц. законов умножения имеем ab=(mq 1)(nq 2)=(mn)(q 1 q 2)=(mn)q, где q 1 q 2 =q
N . следовательно, ab mn.

Теорема 8: Если в сумме одно слагаемое не делится на натуральное число b , а все остальные слагаемые делятся на это число, то и вся сумма на число b не делится.

Доказательство: Пусть S=a 1 +a 2 +…+a n +c, где а 1 b, a 2 b, …, a n b, но
. Докажем, что
. Предположим противное, то есть S b. Тогда с=S-(a 1 +a 2 +…+a n), где S b, и (a 1 +a 2 +…+a n) b. По теореме о делимости разности это означает, что с b. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Признаки делимости

Теорема 9 (признак делимости на 2) Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0,2,4,6,8.

Доказательство. Пусть число х

х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 , где а n , а n-1,…, a 1 принимают значения 0, 1, 2, ...9, а n ≠0 и а 0 принимает значения 0,2,4,6,8. Докажем, что тогда х: .2.

Так как 10: .2, то 10 2: .2, 10 3: .2,…,10 n: .2 и, значит, (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10) : .2. По условию а 0 тоже делится на 2, поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число хделится на 2.

Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0,2,4,6,8.

Запишем равенство х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 в таком виде: а 0 = х - (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10). Но тогда, по теореме о делимости разности, а 0: . 2, поскольку х: . 2 и (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10) : . 2. Чтобы однозначное число а 0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0,2,4,6,8.

Теорема 10 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Доказать самостоятельно!

Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.

Теорема 11 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х .

Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е.

х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 и последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х: . 4.

Так как 100: . 4, то (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 · 10 2) : . 4. По условию, а 1 ·10 + а 0 (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, и само число х делится на 4.

Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, тo двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4.

Запишем равенство х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 в таком виде:

а 1 · 10 + а 0 = х- (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 · 10 2) .

Так как х: . 4 и (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 · 10 2) : . 4, то по теореме о делимости разности (а 1 · 10 + а 0) : . 4. Но выражение а 1 · 10 + а 0 есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.

Теорема12 (признак делимости на 9) Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сум­ма цифр его десятичной записи делилось на 9.

Доказательство . Докажем сначала, что числа вида 10 n - 1 делятся на 9. Действительно, 10 n - 1 = (9·10 n-1 + 10 n-1) - 1 = (9·10 n-1 +9·10 n-2 + 10 n-2)-1 = (9·10 n-1 +9·10 n-2 + …+10)-1=9·10 n-1 +9·10 n-2 + …+9. Каждое слагаемое полученной сум­мы делится на 9, значит, и число 10 n - 1 делится на 9.

Пусть число х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 и (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) : . 9. Докажем, что тогда х: . 9.

Преобразуем сумму а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 , при­бавив и вычтя из нее выражение a n +a n-1 +…+a 1 +a 0 и записав результат в таком виде:

х = (а n ·10 - a n)+( а n-1 ·10 n-1 - a n-1)+…+( а 1 · 10 - a 1)+ (а 0 – а 0)+ (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0)= =а n ·(10 n -1)+ a n-1 ·(10 n-1 -1)+…+ a 1 ·(10 -1)+ (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0).

В последней сумме каждое слагаемое делится на 9:

а n ·(10 n -1) : . 9, так как (10 n -1) : . 9,

a n-1 ·(10 n-1 -1) : . 9,так как(10 n-1 -1) : . 9 и т.д.

a 1 ·(10 -1) : . 9, так как (10- 1) : . 9,

(a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) : . 9 по условию.

Следовательно, х: . 9.

Докажем обратное, т.е. если х: . 9, то сумма цифр его деся­тичной записи делится на 9.

Равенство х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 запи­шем в таком виде:

a n +a n-1 +…+a 1 +a 0 = х - (а n (10 n - 1) + а n-1 ·(10 n-1 -1) +…+ a 1 ·(10 -1).

Так как в правой части этого равенства и уменьшаемое, и вычитаемое кратны 9, то по теореме о делимости разности (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) : . 9, т.е. сумма цифр десятичной записи числа x делится на 9, что и требовалось доказать.

Теорема15 (признак делимости на 3): Для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сум­ма цифр его десятичной записи делилась на 3.

Доказательство этого утверждения аналогично доказа­тельству признака делимости на 9.

• Если каждое из натуральных чисел a1, a2, ... , an b , то их сумма a1 + a 2 + ... + an делится на это число.

• Если в сумме одно слагаемое не делится на число b , а все остальные слагаемые делятся на число b , то вся сумма на число b не делится.

• Если числа a1 и a2 делятся на b и a1 ≥ a2 , то их разность a1 – a 2 делится на b .

• Если в произведении a·b множитель a делится на натуральное число m , а множитель b делится на натуральное число n , то a·b делится на m·n .

• Если произведение a·c делится на произведение b·c , причем c – натуральное число, то и a делится на b .

Задача 19. Не производя вычислений, установите, делятся ли на 4 выражения: а) 132 + 360 + 536; б) 540 - 332; в) 2512·127.

Решение . а) так как на 4 делится каждое слагаемое, то сумма 132 + 360 + 536 делится на 4; б) так как уменьшаемое 540 делится на 4 и вычитаемое 332 делится на 4, то и разность 540 - 332 делится на 4; в) так как число 2512 делится на 4, то и произведение 2512·127 делится на 4.

Задача 20. Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел n и n + 1 делится на 2.

Решение. n·(n + 1) делится на 2, надо рассмотреть две возможности:

1) n делится на 2, т.е. n = 2k . Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: 2 k·(2k + 1) . Это произведение делится на 2, так как первый множитель в нем делится на 2;

2) n не делится на 2, т.е. n = 2k + 1 . Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: (2 k + 1)·(2k + 2) . Это произведение делится на 2, так как второй множитель делится на 2.

Задача 21. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2 делится на 3.

Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2) делится на 3, надо рассмотреть три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k . Тогда n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: 3 k·(3k + 1)·(3k + 2) . Это произведение делится на 3, так как первый множитель в нем делится на 3;

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1 . Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3 k + 1)·(3k + 2)·(3k + 3) . Это произведение делится на 3, т.к. третий множитель делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3 k + 2)·(3k + 3)·(3k + 4) . Это произведение делится на 3, т.к. второй множитель в нем делится на 3.

На основании задач 20 и 21 можно сформулировать утверждение, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

Задача 22. Доказать, что произведение четырех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2, n + 3 делится на 4.

Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) делится на 4 надо рассмотреть четыре возможности:

1) n делится на 4, т.е. n = 4k . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: 4k·(4k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3) . Это произведение делится на 4, так как первый множитель в нем делится на 4;

2) n при делении на 4 дает в остатке 1, т.е. n = 4k + 1 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3)·(4k + 4) . Это произведение делится на 4, так как последний множитель делится на 4;

3) n при делении на 4 дает в остатке 2, т.е. n = 4k + 2 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 2)·(4k + 3)·(4 k+ 4)·(4k + 5) . Это произведение делится на 4, так как третий множитель делится на 4;

4) n при делении на 4 дает в остатке 3, т.е. n= 4k + 3 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 3)·(4k + 4)·(4k + 5)·(4k + 6) . Это произведение делится на 4, так как второй множитель делится на 4.

Поскольку произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) содержит произведение двух, трех последовательных натуральных чисел, то оно делится на 2 и на 3.

Задача 23. Доказать, что при любом натуральном значении n .

Решение . Преобразуем данное выражение: (2 n - 1)3 - (2n - 1)= = (2n - 1)·(4n2 - 4n + 1 - 1) = 4n·(n - 1)·(2n - 1) . Это произведение делится на 4. Кроме того, произведение двух последовательных натуральных чисел n·(n - 1) делится на 2. Таким образом, произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) делится на 8. Осталось показать, что это произведение делится на 3. Для этого рассмотрим три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k . Тогда произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) будет иметь вид: 4 ·3 k·(3k - 1)·(6k - 1)

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1 . Тогда произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) будет иметь вид: 4 ·(3 k + 1)·3k·(6k + 1) . Это произведение делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2 . Тогда произведение 4 n·(n - 1) ·(2 n - 1) будет иметь вид: 4 ·(3 k + 2)·(3k + 2 -1) · (6 k + 4 - 1)= 4 ·(3 k + 2) ·(3 k +1) ·(6 k+3). Это произведение делится на 3, т.к. последний множитель в нем делится на 3.

Так как 8 и 3 - взаимно , то , т.е. на 24, что и требовалось доказать.

Задача 24. Доказать, что разность любого трехзначного числа и трехзначного, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке делится на 9.

Решение. Представим любое трехзначное число в виде . Нам надо доказать, что . Преобразуем выражение

Упражнения для самостоятельной работы

1. Доказать, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.

2. Доказать, что при любом натуральном n число n 3 + 5n делится на 6.

3. Доказать, что при любом натуральном n число n 3 - n делится на 24.

4. Доказать, что разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

5. Доказать, что трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства