Свойства делимости произведения на число. Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел

Теорема 1 (признак делимости суммы). Если каждое слагаемое делится на нат. число с, то и сумма чисел делится на с. Док-во: пусть а⋮с и в⋮с. Тогда существуют нат.числа q 1 и q 2 такие, что а=сq 1 и в=сq 2 . Имеем: а+в=сq 1 +cq 2 = c(q 1 +q 2). Так как числа q 1 и q 2 натуральные, то q 1 +q 2 также число натуральное. Тогда из равенства а+в=с(q 1 +q 2) следует, что (а+в)⋮с. П: Числа 96 и 48 делятся на 12,значит,их сумма 96+48=144 также делится на 12. Утверждение, обратное данной теореме неверно,т.е. если двух чисел a и b делится на некоторое число с, то это не значит, что каждое слагаемое, из которых состоит эта сумма, делится на число с. Теорема 2 (о делимости разности). Если каждое из чисел а и в делится на натуральное число с и в ≤ а, то разность этих чисел делится на с. Теорема 3 (о делимости произведения). Если хотя бы один из множителей делится на число с, то и произведение делится на это число с. Док-во. Пусть а ⋮ с.Тогда по определению отношения делимости существует натуральное число q такое, что а= сq. Рассмотрим число а ∙ в = (сq) ∙ в =с ∙ (qв). Поскольку число qв-натуральное, то из последнего равенства следует, что (ав) ⋮ с. Теорема4 (о делимости произведения). Если в произведении ав двух множителей первый множитель делится на натуральное число с, а второй множитель делится на натуральное число d, то это произведение делится на сd. Док-во.По условию a=cq 1 и b=dq 2 ,где q 1 , q 2 ∈ N. Тогда ab =(cq 1)(dq 2) =с (q 1 (dq 2)=c ((q 1 ∙ d) q 2)= с ((dq 1) ∙ q 2)= c (d(q 1 q 2))= (cd)(q 1 ∙q 2), где q 1 ∙ q 2 ∈ N. Следовательно,(ав) ⋮ (с d). П: т.к.число 30 делится на 5, а число 14 делится на 7, то произведение 30 и 14 делится на произведение 5 и7, т.ею(30 14) делится на(5 7). Действительно, 30 14=420; 5 7=35, и 420:35=12,т.е.420 35.

21.Признак делимости паскаля .Теорема: нат.число а, заданное в десятичной системе счисления, делится на натуральное число в тогда и только тогда, когда на в делится сумма произведений каждой цифры числа а на остатки от деления на в соответствующих разрядных единиц (1,10,10 2 ,10 3 , …,10 п). Док-во: пусть а =а п а п-1 …а 2 а 1 а 0 . Пусть при делении на в числа 10, 10 2 , 10 3 , …, 10 п дают остатки r 1 , r 2 , r 3 , …, r п-1 , r п. По теореме о делении с остатком имеем: 10=вq 1 +r 1 , 10 2 =вq 2 +r 2 , 10 3 =вq 3 +r 3, …, 10 п-1 =вq п-1 +r п-1 , 10 п =вq п +r п. Преобразуем данное число а к виду: а=а п а п-1 …а 2 а 1 а 0 = а п 10 п +а п-1 10 п-1 +…+а 2 10 2 +а 1 10 1 +а 0 = а п (вq п +r п)+ а п-1 (вq п-1 +r п-1)+ …+ а 2 (вq 2 +r 2)+ а 1 (вq 1 +r 1) +а 0 = (а п q п +а п-1 q п-1 +… +а 2 q 2 +а 1 q 1) в+ (а п r п +а п-1 r п-1 + …+ а 2 r 2 + а 1 r 1 +а 0). Видим, что первое слагаемое делится на в, т.к.содержит мн.в. Для того чтобы данное число а делилось на в, необходимо и достаточно, чтобы и второе слагаемое делилось на в,т.е.на в должно делиться число с=а 0 +а 1 r 1 + а 2 r 2 + …+ а п-1 r п-1 +а п r п. Это число и есть сумма произведений каждой цифры числа а на остатки от деления на в соответствующих разрядных единиц. П: покажем, что число 65345 делится на 7. Найдём остатки от деления на 7 разрядных единиц 10 1 , 10 2 , …, 10 5 . Если остаток будет близок к числу 7, то будем заменять его недостатком, то есть числом единиц, недостающих для делимости нацело на 7. 10 1:7, r 1 =3; 10 2:7, r 2 =2; 10 3:7, r 3 = -1; 10 4:7, r 4 =-3. Тогда с=5+4 3+3 2+ 5 (-1)+ 6 (-3)= 5+12+6-5-18=0. Т.к.0 делится на 7, то и число 65345 делится на 7.

Понятие о рациональном числе. Отношения между множествами натуральных, целых и рациональных чисел .

Рациональное число - число, представляемое обыкновенной дробью , числитель м - целое число, а знаменатель п - натуральное число, к примеру 2/3. Множество положительных рациональных чисел обозначают Q + . Покажем, что все нат.числа содержатся в этом множестве, т.е.что N c Q + .Пусть длина отрезка а при единице длины е выражается нат.числом м. Разобьём отрезок е на п равных частейю Тогда п-я доля отрезка е будет укладываться в отрезке а м п раз, т.е.длина отрезка а будет выражаться дробями вида . Но мн.этих дробей есть положит.рациональное число. Следовательно, длина отрезка а, с одной стороны, выражается нат.числом м, а с другой- полож.рациональным числом . Но это должно быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида яв-ся записями нат.числа м. Из этого следует, что любое нат.число м можно представить в виде дроби , следовательно N c Q + . Все нат.числа содержатся в мн.полож.рац.чисел. Числа, которые дополняют мн.нат.чисел до мн.полож.рацион.чисел, называют дробными числами.

Сложение и вычитание рациональных чисел. Законы сложения .

Суммой рациональных чисел и называют рациональное число . Т.к.любые две дроби могут быть приведены к общему знаменателю, то сумма рациональных чисел и будет равна: + = + = . Сумма рациональных чисел всегда существует и единственная. Теорема: операция сложения рациональных чисел обладает коммутативным и ассоциативным свойствами, т.е. 1. ( а,в Q) а+в= в+а (коммутативность сложения); 2. ( а,в,с Q)(a+в)+с= а+(в+с) (ассоциативность сложения). Законы сложения: переместительный- а+в=в+а для любых а,в Q + ; сочетательный- (а+в)+с= а+(в+с) для любых а, в, с Q + . Разность дробей и называется дробь такая, что + = . Согласно определению - = + = . Выведем правило вычитания дробей, т.е.найдём значение дроби . Т.к. + = , то = . Отсюда: (py+xq) n= (qy) m или pyn+xqn=qум, х(qп)= у(qм-pn). Из последнего равенства будем иметь: = . Таким образом, получили: - = . В частности, - = . Для рациональных чисел верно утверждение: разность рациональных чисел всегда существует и единственная. Это значит, что каких бы два рациональных числа ни были даны, разность их всегда можно найти, т.е.вычитание обыкновенных дробей всегда выполнимая операция.

Отношение порядка на множестве рациональных чисел. Свойства множества рациональных чисел (бесконечность, упорядоченность, счётность, плотность) .

Mq np или mq np. Для целых чисел это также верно: а в или а 1 в 1. П: сравним дроби и . 19 27=513 и 23 25= 575 и сравним их. Т.к. 513 575, то . Теорема: отношение «меньше» на мн.рацион.чисел транзитивно, асимметрично и антирефлексивно, т.е. 1) и , то - транзитивность; 2) , то неверно, что - асимметричность; 3)неверно, что - антирефлексивность. Из теорем следует, что отношение «меньше» на множестве Q рациональных чисел яв-ся отношением строгого линейного порядка, а само мн.Q- линейно упорядоченным множеством. Свойства мн.рацион.чисел : 1.Мн.Q рациональных чисел счётное, т.е.его элементы можно пронумеровать с помощью нат.чисел.

N: 1,2, 3, 4, 5, 6.

Из графика видим, что Q N, значит, мн.Q счётное.

2.Мн.Q рациональных чисел бесконечное. Это вытекает из того, что Q N, а мн.N бесконечное. 3.Во мн.положительных рац.чисел нет наименьшего числа. 4.Мн.Q рац.чисел плотное. Это значит, что между любыми двумя различными рац.числами а и в мн.Q лежит бесконечное мн.рац.чисел. 5.Каждому рац.числу соответствует единственная точка координатной прямой, но не каждой точке будет соответствовать рац.число. Соответствие между мн.Q рац.чисел и мн.точек координатной прямой не яв-ся биективным.

Понятие иррационального числа. Множество положительных действительных чисел .

Иррациональное число- это число, которое выражается бесконечной десятичной непериодической дробью. Иррац.числа получаются не только при извлечении корней из некоторых чисел ( ; ), не только при измерении длин отрезков, но и при решении практических задач, например, при измерении площади, вычислении отношения длины окружности к её диаметру (). П: числа 0,0100100010000100…; 45,3232232223222232…; =3,141592…; =1,732050…; =1,414213… яв-ся иррац., т.к.они яв-ся бесконечными непериодическими десятичными дробями (в них невозможно выделить период). Мн.полож.иррац.чисел обозначают I + . Объединение мн.полож.рац.чисел и мн.полож.иррац.чисел образует мн.полож.действительных чисел, которое обозначается R + , т.е. R + =Q + I + , причём Q + c R + , I + c R + , Q + I + = . Мн. R + делится на два класса: 1.класс бесконечных периодических десятичных дробей; 2.класс бесконечных непериодических десятичных дробей. Конечные десятичные дроби можно также считать бесконечными периодическими дробями с периодом равным 0. Н: 0,4=0,40000… Кроме того, любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической дроби с периодом, равным 9.

Упорядоченность множества положительных действительных чисел. Свойства множества положительных действительных чисел .

Отношение «меньше» на мн.R + яв-ся отношением строгого линейного порядка, это значит, оно асимметрично (если х у, то у х), транзитивно (если х у, у z, то х z) и связно (либо х=у, либо х у, либо у х). Из этого следует, что мн.R + положительных действительных чисел яв-ся упорядоченным множеством. Его элементы можно упорядочить с помощью отношения «меньше». Мн. R + плотно в себе, т.е.между любыми двумя действительными числами лежит бесконечное мн.действительных чисел. Н: между числами 1,2 и 1,3 лежат числа 1,21; 1,211 и т.д. Мн. R + яв-ся непрерывным, т.е.если числовое множество Х располагается слева от числового мн.Y, то найдётся хотя бы одно число, которое разделяет эти множества. Мн.полож.действ.чисел несчётно. Док-во (методом от противного): докажем, что ни при каком упорядочивании мн. R + пронумеровать его числа невозможно. Предположим, что элементы мн. R + удалось пронумеровать: 1 м 1 ,а 1 а 2 а 3 …; 2 м 2 , в 1 в 2 в 3 …; 3 м 3 ,с 1 с 2 с 3 …; …., где м i - целая часть числа, буквы а,в,с,… представляют собой десятичные знаки после запятой. Предположим, что эта последовательность дробей описывает все действительные числа. Возьмём число z=0, авс…, где а а 1 , в в 2 , с с 3 и т.д. Это новое число z отличается от первого числа десятыми долями, от второго- сотыми, от третьего- тысячными и т.д. Оно отличается от п-го числа в последовательности п-ой цифрой дробной части. Значит, появилось новое число z, которое не пронумеровали. Это противоречит предположению о том, что пронумеровали все действительные числа. Таким образом, доказано, что мн. R + несчётное. Мн. R + бесконечное(доказывается методом от противного).

Арифметические операции на множестве всех действительных чисел .

Суммой двух дейст.чисел х и у называется дейст.число, которое удовлетворяет след.условиям: 1)сумма полож.чисел есть число положительное, модуль которого равен сумме модулей слагаемых: |х+у|=|х|+|у|; 2)сумма отриц.чисел есть число отрицательное, модуль которого равен сумме модулей слагаемых: (-х)+(-у)=-(х+у); 3)сумма двух чисел с разными знаками есть число, которого совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль, а модуль суммы равен разности большего и меньшего модулей слагаемых: если х у, то х+(-у)=х-у; если х у, то х+(-у)= -(у-х). Операции сложения во мн.R коммутативна ( х,у R) х+у=у+х и ассоциативна ( х,у,z R)(x+y)+z= x+(y+z). Число 0 яв-ся нейтральным элементом относительно сложения, т.е.х+0=0+х=х. Операция вычитания во мн.R определяется как операция, обратная сложению. Т.к.для каждого в R существует число- в такое, что в+(-в)=0, то вычитание равносильно сложению с числом-в, т.е.а-в=а+(-в). Произведением двух действительных чисел х и у называется дейст.число z, которое удовлетворяет условиям: 1)модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел: |х у|=|х|∙|у|; 2)знак в произведении двух чисел положителен, если знаки множителей одинаковые; 3)знак в произведении двух чисел отрицателен, если знаки множителей разные. Операция умножения во мн.R коммутативна ( х,у R)x∙y=y∙x; ассоциативна ( x,y,z R)(x∙y) ∙z=x∙(y∙z); дистрибутивна ( x,y,z . 1-нейтральный элемент относительно умножения: х∙1=1∙х=х; 0- поглощающий элемент относительно умножения: х∙0=0∙х=0. Деление дейст.чисел можно рассматривать как действие, обратное умножению, т.к.х:у=х ∙ , где у Деление на 0 во множестве R невозможно.

Длина отрезка и её измерение .

Длиной отрезка называется величина, определенная для каждого отрезка так, что: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков. В математике рассматривают две взаимно обратные задачи, связанные с длиной отрезка: измерение длины отрезка а с помощью отрезка е, выбранного за единичный отрезок, и построение отрезка а по заданной его длине. Св-ва длины отрезка 1.При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным действительным числом, и для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается зтим числом.2.Если два отрезка равны, то числовые значения их длин также равны, и наоборот: если числовые значения длин двух отрезков равны, то равны и сами отрезки. a=b (a) = (b). 2.Если данный отрезок состоит из конечного числа отрезков, числовое значение его длина равно сумме числовых значений длин составляющих отрезков, и наоборот: если числовое значение длины отрезка равно сумме числовых значений нескольких отрезков, то и сам отрезок равен сумме этих отрезков. c= a+ b (c) = (a) + (b). Покажем это. Пусть a = e, b= e. a+b = ( + 4. Если длины отрезков а и в такие, что в = ха, где х – положительное действительное число, то, чтобы найти числовое значение длины отрезка b при единице измерения е, достаточно найти произведение число х и числового значения длины отрезка а при единице е. b = xa (b) = x (a). Пусть b = xa и a = e, тогда в=х е= (х )е. 5.При замене единицы длины значение длины отрезка увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз новая единица меньше (больше) старой. Пусть даны две единицы длины е и е 1 такие, что е 1 =ке. Это значит, что новая единица в к раз больше старой. Тогда если а= е, то при переходе к новой единице будем иметь: а= 1 = е 1 . Число в к раз меньше числа . П: 14м=14 1м=14 =(14 1400 см. Полученное число 1400 в 100 раз больше числа 14, т.к.новая единица длины- сантиметр-в 100 раз меньше метра.

Площадь фигуры и её измерение .

Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой фигуры так, что:1)равные фигуры имеют равные площади; 2)если фигура состоит из конечного числа фигур, то её площадь равна сумме их площадей. Чтобы измерить площадь фигуры, надо иметь единицу площади. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной е. Площадь квадрата со стороной е обозначается е 2 . Н., S=20см 2 при единице площади1 см 2 . Измерение площади фигур с помощью палетки. Палетка-это сетка квадратов, нанесённая на прозрачный материал. Измерение с помощью палетки яв-ся приблизительным и вычисляется по формуле: S , где S 1 - площадь внутренней системы квадратов, S 2 - площадьсистемы квадратов, которые целиком покрывают фигуру. Другие способы измерения площадей фигур состоят в применении формул дляих вычисления: 1.Площадь прямоугольника: S=ab, где a- длина, b- ширина прямоугольника. 2.Площадь параллелограмма: S=ah, где a- длина стороны параллелограмма, h- его высота. 3.Площадь треугольника: S= ah, где a- длина стороны треугольника, h- его высота. 4.Площадь ромба: S= d 1 d 2 , где d 1 и d 2 - длины диагоналей ромба. 5.Площадь трапеции: S= , где a и b- длины оснований трапеции, h- её высота. 6.Площадь круга: S= 2 , где R- длина радиуса круга. Площади плоскихфигур обладают св-ми: а)площади равных фигур при одной и той же единице площади равны между собой. б)если фигура F состоит из фигур F 1 ,F 2 ,…,F n , то значение площади фигуры F равно сумме площадей фигур F 1 , F 2 ,…, F п при одной и той же единице площади. в)при замене единицы измерения площади числовое значение площади фигуры увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько раз новая единица измерения меньше (больше) старой.П: 12 м 2 =12 2 = 12 2 = 1200дм 2 . Первоначальную единицу измерения 1м 2 уменьшили в 100 раз, а значение площади увеличилось в 100 раз. Это связано с тем, что 1м 2 =100дм 2 , а 1дм 2 =0,01м 2 .

Лекция 4. Делимость на множестве целых неотрицательных чисел

1. Понятие отношения делимости, его свойства.

2. Признаки делимости суммы, разности, произведения.

3. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9 (два доказать).

В начальном курсе математики делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются.

Отношение делимости и его свойства

Рассмотрим отношение делимости на множестве целых неотрицательных чисел.

Определение 1. Пусть даны целые неотрицательные числа а и b . Говорят, что число а b , если существует такое целое неотрицательное число q , что а=bq . В этом случае число b называют делителем числа а , а число а - кратным числа b.

Обознаение: а b и говорят а кратно b , а b называют делителем числа а .

Заметим, что понятие "делитель данного числа" следует отличать от понятия "делитель", обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 - делитель, но не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия "делитель" и "делитель данного числа" совпадают.

Замечание. Из определения 1 и равенства а=1а , следует, что 1 является делителем любого целого неотрицательного числа.

Свойства отношения делимости:

Отношение делимости рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

Теорема 1. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя
.

Доказательство:

Для справедливо равенство а=а 1. Т.к. 1 , то по опр. 1 .

Теорема 2. Отношение делимости антисимметрично, т. е.

Доказательство (методом от противного): Предположим, что
. Тогда очевидно, что b≥a. Но по условию
и значит а≥b. Выполнение этих неравенств возможно только при а=b, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно и справедливость свойства установлена.

Теорема 3. Отношение делимости транзитивно, то есть

Доказательство:

Т.к.
, то по опр.1 . Аналогично, т.к. b с, то .

Тогда a=bq=(cp)q=c(pq). Число рq- натуральное. Это означает по опр.1, что а с.

Таким образом, отношение делимости на множестве N, обладая свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, является отношением нестрогого порядка.

Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел

Теорема 4 (признак делимости суммы): Если каждое слагаемое суммы делится на натуральное число b, то и вся сумма делится на это число, то есть

если
.

Доказательство: Пусть
. Тогда существуют q 1 ,q 2 ,…q n
N такие, что выполняются равенства: а 1 =bq 1 , а 2 =bq 2 , …, а 1 n = bq n . Из этих равенств следует, что а 1 +а 2 +…а n =bq 1 +bq 2 +…+bq n =b(q 1 +q 2 +…+q n), где q 1 +q 2 +…+q n =q
N 0 . По определению отношения делимости это означает, что
.

Теорема 5 (признак делимости разности): Если каждое из чисел а и b делится на с и а≥b , то разность а-b делится на с , т. е. если .

Доказательство: Пусть
. Тогда существуют q 1 ,q 2
N такие, что а=cq 1 , b=cq 2 . Поскольку а≥b, то q 1 >q 2 . Таким образом, имеем а-b =cq 1 -cq 2 =c(q 1 -q 2)=cq, где q 1 -q 2 =q
N. Следовательно, .

Теорема 6 (признак делимости произведения): Если хотя бы один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на это число, то есть
.

Доказательство: Пусть а k b, тогда существует q
N такое, что а k =bq. Отсюда, используя коммутативный и ассоциативный законы умножения, можем записать
. Поскольку произведение целых неотрицательных чисел является целым неотрицательным числом, то последнее равенство означает, что
.

Теорема 7: Если в произведении ab множитель а делится на натуральное число m , а множитель b делится на натуральное число n , то произведение ab делится на произведение nm , то есть
.

Доказательство: Пусть a m и b n, тогда существуют q 1 ,q 2
N такие что, a=mq 1 , b=nq 2 . Отсюда на основании комм. и ассоц. законов умножения имеем ab=(mq 1)(nq 2)=(mn)(q 1 q 2)=(mn)q, где q 1 q 2 =q
N . следовательно, ab mn.

Теорема 8: Если в сумме одно слагаемое не делится на натуральное число b , а все остальные слагаемые делятся на это число, то и вся сумма на число b не делится.

Доказательство: Пусть S=a 1 +a 2 +…+a n +c, где а 1 b, a 2 b, …, a n b, но
. Докажем, что
. Предположим противное, то есть S b. Тогда с=S-(a 1 +a 2 +…+a n), где S b, и (a 1 +a 2 +…+a n) b. По теореме о делимости разности это означает, что с b. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Признаки делимости

Теорема 9 (признак делимости на 2) Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0,2,4,6,8.

Доказательство. Пусть число х

х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 , где а n , а n-1,…, a 1 принимают значения 0, 1, 2, ...9, а n ≠0 и а 0 принимает значения 0,2,4,6,8. Докажем, что тогда х: .2.

Так как 10: .2, то 10 2: .2, 10 3: .2,…,10 n: .2 и, значит, (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10) : .2. По условию а 0 тоже делится на 2, поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число хделится на 2.

Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0,2,4,6,8.

Запишем равенство х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 в таком виде: а 0 = х - (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10). Но тогда, по теореме о делимости разности, а 0: . 2, поскольку х: . 2 и (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10) : . 2. Чтобы однозначное число а 0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0,2,4,6,8.

Теорема 10 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Доказать самостоятельно!

Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.

Теорема 11 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х .

Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е.

х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 и последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х: . 4.

Так как 100: . 4, то (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 · 10 2) : . 4. По условию, а 1 ·10 + а 0 (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, и само число х делится на 4.

Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, тo двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4.

Запишем равенство х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 в таком виде:

а 1 · 10 + а 0 = х- (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 · 10 2) .

Так как х: . 4 и (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 · 10 2) : . 4, то по теореме о делимости разности (а 1 · 10 + а 0) : . 4. Но выражение а 1 · 10 + а 0 есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.

Теорема12 (признак делимости на 9) Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилось на 9.

Доказательство . Докажем сначала, что числа вида 10 n - 1 делятся на 9. Действительно, 10 n - 1 = (9·10 n-1 + 10 n-1) - 1 = (9·10 n-1 +9·10 n-2 + 10 n-2)-1 = (9·10 n-1 +9·10 n-2 + …+10)-1=9·10 n-1 +9·10 n-2 + …+9. Каждое слагаемое полученной суммы делится на 9, значит, и число 10 n - 1 делится на 9.

Пусть число х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 и (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) : . 9. Докажем, что тогда х: . 9.

Преобразуем сумму а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 , прибавив и вычтя из нее выражение a n +a n-1 +…+a 1 +a 0 и записав результат в таком виде:

х = (а n ·10 - a n)+( а n-1 ·10 n-1 - a n-1)+…+( а 1 · 10 - a 1)+ (а 0 – а 0)+ (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0)= =а n ·(10 n -1)+ a n-1 ·(10 n-1 -1)+…+ a 1 ·(10 -1)+ (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0).

В последней сумме каждое слагаемое делится на 9:

а n ·(10 n -1) : . 9, так как (10 n -1) : . 9,

a n-1 ·(10 n-1 -1) : . 9,так как(10 n-1 -1) : . 9 и т.д.

a 1 ·(10 -1) : . 9, так как (10- 1) : . 9,

(a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) : . 9 по условию.

Следовательно, х: . 9.

Докажем обратное, т.е. если х: . 9, то сумма цифр его десятичной записи делится на 9.

Равенство х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 запишем в таком виде:

a n +a n-1 +…+a 1 +a 0 = х - (а n (10 n - 1) + а n-1 ·(10 n-1 -1) +…+ a 1 ·(10 -1).

Так как в правой части этого равенства и уменьшаемое, и вычитаемое кратны 9, то по теореме о делимости разности (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) : . 9, т.е. сумма цифр десятичной записи числа x делится на 9, что и требовалось доказать.

Теорема15 (признак делимости на 3): Для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 3.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству признака делимости на 9.

Свойство делимости. «Делимость суммы и произведения на данное число. Задачи повышенной трудности».
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Технологии: здоровьесбережения, развитие исследовательских умений, развивающего обучения, проблемного обучения, самодиагностики и самокоррекции результатов.
Элементы содержания: Верные рассуждения, справедливое утверждение, признак делимости произведения, признак делимости суммы.
Виды деятельности: математический диктант, работа у доски и в тетрадях, фронтальная работа с классом.
Планируемые результаты (УУД):
Уметь: – доказать и применять при решении, что если хотя бы один из множителей не делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число;
– доказать и применять при решении, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число;
– вступать в речевое общение, участвовать в диалоге;
– правильно оформлять работу, отражать в письменной форме свои решения, выступать с решением проблемы.

Ход урока.
Проверочный диктант.
Записать формулу чисел кратных: а) 17; б) 41.
Записать формулу чисел, которые при делении на 17 дают остаток 3; при делении на 41 – остаток 3.
Указать два разных признака, характеризующих данное множество 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; 78; 84; 90; 96.
Найти общие кратные чисел 5 и 4.
По какому признаку составлены формулы
а) 15n + 13; б) 4n +3; в)17k + 8?
Комментарий учителя. Тетради собираются на проверку, а решения комментируются.

Выполнение упражнений на делимость суммы и произведения
(Устно). Делится ли сумма на 3:
а) 450 + 160;
б) 150 +225;
в) 28422 + 22050;
Формулируется вывод:
Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.
Если каждое слагаемое, кроме одного делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.

2. Истинно ли утверждение: если сумма делится на 3, то и каждое слагаемое делится на 3?
3. Делится ли на 3 произведение:
а) 6
·23
·75;
б) 6
·23
·14;
в) 37
·121
·19?
Формулируется вывод: Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.
3. Используя свойства делимости и данные о делимости на число к каждого слагаемого, определите, делится ли на к сумма или произведение.
1 число
2 число
3 число
Сумма
Произведение

Решение.
1 число
2 число
3 число
Сумма
Произведение

д
д
д
д
д

н
д
д
н
д

д
н
д
н
д

д
д
н
н
д

н
н
д
Может делиться,
K°может не делиться
д

н
д
н
Может делиться,
может не делиться
д

д
н
н
Может делиться,
может не делиться
д

н
н
н
Может делиться,
может не делиться
н

Практикум
Все упражнения решаются с записью на доске.
Не производя вычислений, установите, делятся ли на 4 выражения: а) 132 + 360 + 536; б) 540 – 332; в) 2512·127.
Решение.
а) так как на 4 делится каждое слагаемое, то сумма 132 + 360 + 536 делится на 4;
б) так как уменьшаемое 540 делится на 4 и вычитаемое 332 делится на 4, то и разность 540 – 332 делится на 4;
в) так как число 2512 делится на 4, то и произведение 2512·127 делится на 4.
Составьте формулу чисел, при которых выражение:
а) 25 + х делится на 25;
б) 78 + х делится на 78.
3. При каких значениях переменной произведение:
а) 7
· а делится на 7,
б) 17
· b делится на b.
4. В кафе завезли 4 коробки мороженного. Может ли быть так, что мы должны заплатить за это 224 руб.?

Творческие задания
Доказать, что при всех натуральных значениях переменной выражение:
а) 56
· (а+b) делится на 14;
б) 144 а + 12b делится на 12;
в) 100 а – 40а делится на 30.
2. Укажите какие-нибудь пять делителей числа, равного произведению: 32 ·24 ·21.
3. Укажите, какие из следующих утверждений ложные.
а) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.
б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.
в) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.
г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.
Решение.
а) Ложное. Пример: 7+3 = 10; 7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.
б) Ложное. Пример: 6 (10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся.
в) Ложное. Пример: 6 (10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.
г) Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.

5. Подведение итогов
Повторение свойств делимости произведения, суммы и разности чисел. Постановка домашнего задания. Комментирование оценок.

13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115

kђЗаголовок 115

Приложенные файлы

Тема урока: Делимость суммы и произведения.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний.

Цели урока:

1. Предметные: Расширить знания учащихся о простейших элементах теории делимости натуральных чисел; показать способы использования в вычислениях свойства делимости суммы и произведения натуральных чисел.

2. Метапредметные: развитие умений учащегося проводить несложные доказательные рассуждения в ходе исследования; развитие умений учащихся организовывать сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, работать индивидуально, в группах, аргументировать и отстаивать свое мнение.

3. Личностные: Способствовать развитию коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками при групповой работе; содействовать формированию устойчивого интереса к предмету; развивать личностные качества: ответственность, целеустремленность.

приёмы и методы:

Рефлективные приёмы;

Приёмы создания ситуации успеха и индивидуального выбора;

Методы самодиагностики;

Частично-поисковый метод;

Работа с учебником.

Формы работы учащихся:

Индивидуальная

Работа в парах

Фронтальная.

Планируемые результаты:

Учащиеся узнают свойства делимости суммы и произведения;

Приобретение навыков у учащихся к использованию в вычислениях свойств делимости суммы и произведения.

Применяемые образовательные технологии:

Системно-деятельностный подход;

Технология проблемного обучения.

Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности.

Здравствуйте, товарищи кадеты.

Ребята, сегодня наш урок мне хотелось бы начать с немного смешного, но на мой взгляд, очень поучительного фрагмента мультипликационного фильма моего детства «Вовка в тридевятом царстве»

Посмотрите, пожалуйста, его очень внимательно. (Просмотр и обсуждение фрагмента мультфильма).

На что рассчитывал Вовка в начале? (Что работу за него выполнят «Двое из ларца»)

Что из этого вышло?(Они все перепутали, и Вовке все равно пришлось делать все самому)

А почему Вовка остался голодный?

Благодаря чему он смог сделать корыто для старухи?

Как вы думаете, сможет Вовка построить избу? Почему вы в этом уверены?

Я с вами абсолютно согласна. Никто за вас не выполнит вашу работу, а от ее качества будет зависеть результат. Если захотеть, то научиться можно всему.

Сегодня у нас урок открытия новых знаний. И я желаю вам успехов в их поиске, в этом вам обязательно помогут накопленные вами хоть небольшие но все же очень важные знания!

2. Актуализация знаний и пробное учебное действие.

А) устный счет(лесенка)

Чтобы вам работалось на протяжении всего урока легко, давайте выполним небольшую разминку для мозга.

У вас на парте в файле с заданиями есть карточки, на которых изображена лесенка. (Слайд 1) Найдите их. (по вариантам). Подпишите. Вам необходимо будет за 2 минуты подняться по ступенькам лестницы как можно выше, записывая на каждой ступени результат вычисления.

Время вышло, заканчиваете. Обменяйтесь карточками.

Проверьте результат друг друга по образцу на слайде (Слайд 2)

Если задание выполнено полностью и без ошибок, поставьте «пятерку»

Верните карточки.

Поднимите руку, у кого «Пятерка». Молодцы!

А кто допустил ошибки, задумайтесь почему?

Есть только две причины, назовите мне их сами. (невнимательность, незнание таб. Умножения)

Это еще раз говорит о том, что нужно быть более внимательными, а у кого возникли проблемы с таблицей умножения, повторите дома ее еще раз.

Б) Теперь нам предстоит вспомнить некоторые понятия, которые будем использовать на нашем уроке. Предлагаю для этого разгадать кроссворд. Он находится у вас в файлах. Работаем в парах. Даю вам 3 минуты.

Как называется результат умножения?

Как называются числа, которые складывают?

Как называется число, на которое делят?

Как называются числа, которые умножают?

Как называется результат сложения?

Как называется число, у которого больше двух делителей?

Как называется число, у которого два делителя?

Проверьте свои ответы. (Слайд 3)

На какие вопросы вы не смогли ответить?

Давайте мы еще раз повторим определения этих понятий.

Какое определение можно дать понятию по вертикали?

А сейчас откройте тетради и поставьте на полях «!» на против задания, с которым вы дома справились легко и быстро, а «?», если задание вызвало затруднение, к этим заданиям мы вернемся на следующем уроке.

Запишите число и классная работа.

Выполните следующее задание: (Слайд 4)

В) 1. Выясните является ли число 4 делителем произведения: (3мин)

2. Выясните является ли число 3 делителем суммы:

3. Выявление причины затруднения.

Что вы можете сказать о произведениях?

О суммах?

Как вы это выяснили?

Может кто-то использовал другой способ, и смог ответить на вопрос, не выполняя вычислений? (нет)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Так какую цель мы с вами поставим перед собой сегодня на уроке?

(научиться определять без вычислений делится ли сумма или произведение на некоторое число) (Слайд 5)

Тема нашего урока: «Свойства делимости произведения и суммы» (Слайд 6)

Эти свойства вам предстоит сформулировать самостоятельно, и доказать, что они работают на практике.

Физкультминутка.

Потрудились – отдохнем,

Встанем, глубоко вздохнем.

Руки в стороны, вперед,

Влево, вправо поворот.

Три наклона, прямо встать.

Руки вниз и вверх поднять.

Руки плавно опустили,

Всем улыбки подарили.

Объединитесь в группы по 4 человека.

Не забывайте о правилах работы в группе.

Ответьте письменно на вопросы, находящиеся на ваших карточках и сделайте вывод.

Все справились с заданием?

Какую закономерность вы увидели для суммы, какой вывод вы можете сделать?(1 и 2 группы)

Сформулируйте свойство делимости суммы.

Хорошо, какая закономерность прослеживается для произведения? (3 и 4 группы)

Сформулируйте свойство делимости произведения.

5. Реализация построенного проекта

А теперь вернемся к заданию на слайде и проверим верны ли наши предположения. (да)

Итак, мы с вами сформулировали свойства делимости суммы и произведения. Проверим правильность сформулированных нами свойств. Откройте учебник на стр.102.

Ну что вы были правы?(да)

6. Первичное закрепление.

Нам осталось только научиться использовать свойства делимости суммы и произведения.

Учебник (стр.104):

№ 350,357-устно

№ 358(в,г)-доска и тетрадь

№ 359,360(а,б)- дополнительно

Хорошо, молодцы.

А теперь еще раз повторим свойства делимости, которые вы сегодня сами открыли, расскажите их друг другу.

7. Рефлексия деятельности на уроке.

Наш урок подходит к концу, давайте подведем итоги.

Какую цель вы перед собой ставили? (научиться определять без вычислений делится ли сумма или произведение на некоторое число)

Как вы считаете, достигли вы цели?(Да)

А теперь возьмите в файле карточки для самооценки, подпишите их и оцените свою деятельность на уроке.

8.Домашнее задание:

№ 356(а), 358(а,б), 360(в,г)

Ребята, вы сегодня все без исключения очень плодотворно потрудились, спасибо вам за вашу работу.

Закончить урок я хочу словами вьетнамской народной пословицы: «Узнать можно лишь тогда, когда учишься; дойти можно лишь тогда, когда идешь». Не забывайте об этом.

Кто получил оценки за устный счет, принесите дневники. А кто выполнил дополнительное задание, подойдите ко мне с тетрадями.

Если каждое из натуральных чисел a1, a2, ... , an b , то их сумма a1 + a 2 + ... + an делится на это число.

Если в сумме одно слагаемое не делится на число b , а все остальные слагаемые делятся на число b , то вся сумма на число b не делится.

Если числа a1 и a2 делятся на b и a1 ≥ a2 , то их разность a1 – a 2 делится на b .

Если в произведении a·b множитель a делится на натуральное число m , а множитель b делится на натуральное число n , то a·b делится на m·n .

Если произведение a·c делится на произведение b·c , причем c – натуральное число, то и a делится на b .

Задача 19. Не производя вычислений, установите, делятся ли на 4 выражения: а) 132 + 360 + 536; б) 540 - 332; в) 2512·127.

Решение . а) так как на 4 делится каждое слагаемое, то сумма 132 + 360 + 536 делится на 4; б) так как уменьшаемое 540 делится на 4 и вычитаемое 332 делится на 4, то и разность 540 - 332 делится на 4; в) так как число 2512 делится на 4, то и произведение 2512·127 делится на 4.

Задача 20. Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел n и n + 1 делится на 2.

Решение. n·(n + 1) делится на 2, надо рассмотреть две возможности:

1) n делится на 2, т.е. n = 2k . Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: 2 k·(2k + 1) . Это произведение делится на 2, так как первый множитель в нем делится на 2;

2) n не делится на 2, т.е. n = 2k + 1 . Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: (2 k + 1)·(2k + 2) . Это произведение делится на 2, так как второй множитель делится на 2.

Задача 21. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2 делится на 3.

Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2) делится на 3, надо рассмотреть три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k . Тогда n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: 3 k·(3k + 1)·(3k + 2) . Это произведение делится на 3, так как первый множитель в нем делится на 3;

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1 . Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3 k + 1)·(3k + 2)·(3k + 3) . Это произведение делится на 3, т.к. третий множитель делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3 k + 2)·(3k + 3)·(3k + 4) . Это произведение делится на 3, т.к. второй множитель в нем делится на 3.

На основании задач 20 и 21 можно сформулировать утверждение, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

Задача 22. Доказать, что произведение четырех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2, n + 3 делится на 4.

Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) делится на 4 надо рассмотреть четыре возможности:

1) n делится на 4, т.е. n = 4k . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: 4k·(4k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3) . Это произведение делится на 4, так как первый множитель в нем делится на 4;

2) n при делении на 4 дает в остатке 1, т.е. n = 4k + 1 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3)·(4k + 4) . Это произведение делится на 4, так как последний множитель делится на 4;

3) n при делении на 4 дает в остатке 2, т.е. n = 4k + 2 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 2)·(4k + 3)·(4 k+ 4)·(4k + 5) . Это произведение делится на 4, так как третий множитель делится на 4;

4) n при делении на 4 дает в остатке 3, т.е. n= 4k + 3 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 3)·(4k + 4)·(4k + 5)·(4k + 6) . Это произведение делится на 4, так как второй множитель делится на 4.

Поскольку произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) содержит произведение двух, трех последовательных натуральных чисел, то оно делится на 2 и на 3.

Задача 23. Доказать, что при любом натуральном значении n .

Решение . Преобразуем данное выражение: (2 n - 1)3 - (2n - 1)= = (2n - 1)·(4n2 - 4n + 1 - 1) = 4n·(n - 1)·(2n - 1) . Это произведение делится на 4. Кроме того, произведение двух последовательных натуральных чисел n·(n - 1) делится на 2. Таким образом, произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) делится на 8. Осталось показать, что это произведение делится на 3. Для этого рассмотрим три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k . Тогда произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) будет иметь вид: 4 ·3 k·(3k - 1)·(6k - 1)

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1 . Тогда произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) будет иметь вид: 4 ·(3 k + 1)·3k·(6k + 1) . Это произведение делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2 . Тогда произведение 4 n·(n - 1) ·(2 n - 1) будет иметь вид: 4 ·(3 k + 2)·(3k + 2 -1) · (6 k + 4 - 1)= 4 ·(3 k + 2) ·(3 k +1) ·(6 k+3). Это произведение делится на 3, т.к. последний множитель в нем делится на 3.

Так как 8 и 3 - взаимно , то , т.е. на 24, что и требовалось доказать.

Задача 24. Доказать, что разность любого трехзначного числа и трехзначного, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке делится на 9.

Решение. Представим любое трехзначное число в виде . Нам надо доказать, что . Преобразуем выражение

Упражнения для самостоятельной работы

1. Доказать, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.

2. Доказать, что при любом натуральном n число n 3 + 5n делится на 6.

3. Доказать, что при любом натуральном n число n 3 - n делится на 24.

4. Доказать, что разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

5. Доказать, что трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.

Предыдущая статья: «Успенские» опята: как выглядят и когда собирать Следующая статья: «Успенские» опята: как выглядят и когда собирать