Keresse meg a 2 x 2 mátrix inverzét. Módszerek az inverz mátrix megtalálására

Sok tulajdonságban hasonló az inverzhez.

Enciklopédiai YouTube

1 / 5

✪ Hogyan lehet megtalálni a mátrix inverzét - bezbotvy

✪ Inverz mátrix (2 módon lehet megtalálni)

✪ Inverz mátrix #1

✪ 2015-01-28. Inverz 3x3 mátrix

✪ 2015-01-27. Inverz mátrix 2x2

Feliratok

Egy inverz mátrix tulajdonságai

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Ahol det (\displaystyle \\det) a determinánst jelöli.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) két négyzetes invertálható mátrixra A (\displaystyle A)És B (\megjelenítési stílus B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Ahol (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) transzponált mátrixot jelöl.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\megjelenítési stílus \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) bármilyen együtthatóhoz k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Ha meg kell oldani egy lineáris egyenletrendszert, (b egy nem nulla vektor), ahol x (\displaystyle x) a kívánt vektor, és ha A − 1 (\displaystyle A^(-1)) akkor létezik x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). BAN BEN másképp vagy a megoldási tér dimenziója Nulla felett, vagy egyáltalán nincsenek ott.

Az inverz mátrix megtalálásának módszerei

Ha a mátrix invertálható, akkor az inverz mátrix megtalálásához használhatja az alábbi módszerek egyikét:

Pontos (direkt) módszerek

Gauss-Jordan módszer

Vegyünk két mátrixot: a Aés egyedülálló E. Mutassuk be a mátrixot A az identitásmátrixhoz Gauss-Jordan módszerrel, transzformációkat alkalmazva a sorok mentén (transzformációkat alkalmazhatunk az oszlopok mentén is, de nem keverve). Miután minden egyes műveletet alkalmaztunk az első mátrixra, alkalmazzuk ugyanazt a műveletet a másodikra ​​is. Amikor az első mátrix egységformára redukálása befejeződik, a második mátrix egyenlő lesz A−1.

A Gauss-módszer használatakor a bal oldali első mátrixot megszorozzuk az egyikkel elemi mátrixok Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transzvekciós vagy diagonális mátrix a főátlón lévőkkel, egy pozíció kivételével):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Jobbra \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 - a m - 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 - a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\pontok &&&\\0&\pontok &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\pontok &0\\0&\pontok &0&1/a_(mm)&0&\pontok &0\\0&\pontok &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\pontok &0\\&&&\pontok &&&\\0&\pontok &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\pontok &1\end(bmátrix))).

A második mátrix az összes művelet alkalmazása után egyenlő lesz Λ (\displaystyle \Lambda), vagyis az lesz a kívánt. Algoritmus összetettsége - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Az algebrai komplementmátrix használata

Mátrix mátrix inverze A (\displaystyle A), alakban ábrázolható

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Ahol adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- adjungált mátrix;

Az algoritmus bonyolultsága az O det determináns kiszámítására szolgáló algoritmus bonyolultságától függ, és egyenlő O(n²)·O det-vel.

LU/LUP Dekompozíció használata

Mátrix egyenlet A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) az inverz mátrixhoz X (\displaystyle X) gyűjteménynek tekinthető n (\displaystyle n) forma rendszerei A x = b (\displaystyle Ax=b). Jelöljük i (\displaystyle i) mátrix oszlopa X (\displaystyle X) keresztül X i (\displaystyle X_(i)); Akkor A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),mert a i (\displaystyle i) mátrix oszlopa I n (\displaystyle I_(n)) van egységvektor e i (\displaystyle e_(i)). más szóval, az inverz mátrix megtalálása n egyenlet megoldásához vezet ugyanazzal a mátrixszal és különböző jobb oldalakkal. A LUP felbontás (O(n³) idő) elvégzése után az n egyenlet mindegyikének megoldása O(n²) időt vesz igénybe, így a munka ezen része is O(n³) időt igényel.

Ha az A mátrix nem szinguláris, akkor a LUP dekompozíció számítható rá P A = L U (\displaystyle PA=LU). Hadd P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Ekkor az inverz mátrix tulajdonságaiból felírhatjuk: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Ha ezt az egyenlőséget megszorozzuk U-val és L-lel, akkor az alak két egyenlőségét kapjuk U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))És D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Ezen egyenlőségek közül az első egy n² rendszert képvisel lineáris egyenletek Mert n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) amelyeknek a jobb oldala ismert (a tulajdonságokból háromszög alakú mátrixok). A második egy n² lineáris egyenletrendszert is képvisel n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) ahonnan a jobb oldalak ismertek (a háromszögmátrixok tulajdonságaiból is). Ezek együtt n² egyenlőségrendszert képviselnek. Ezekkel az egyenlőségekkel rekurzívan meghatározhatjuk a D mátrix összes n² elemét. Ekkor a (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D egyenlőségből kapjuk az egyenlőséget. A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Az LU dekompozíció alkalmazása esetén nem szükséges a D mátrix oszlopainak permutációja, de a megoldás akkor is eltérhet, ha az A mátrix nem szinguláris.

Az algoritmus bonyolultsága O(n³).

Iteratív módszerek

Schultz módszerek

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(esetek)\Psi _(k)=E-AU_(k),),\\U_() k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(esetek)))

Hibabecslés

Kezdeti közelítés kiválasztása

A választás problémája kezdeti közelítés a mátrixok itt tárgyalt iteratív inverziós folyamataiban nem teszi lehetővé, hogy függetlenként kezeljük őket univerzális módszerek, versenyeznek a direkt inverziós módszerekkel, amelyek például a mátrixok LU-felbontásán alapulnak. Van néhány ajánlás a választáshoz U 0 (\displaystyle U_(0)), biztosítva a feltétel teljesülését ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (a mátrix spektrális sugara kisebb, mint egység), ami szükséges és elegendő a folyamat konvergenciájához. Ebben az esetben azonban először felülről kell tudni az A invertálható mátrix vagy a mátrix spektrumának becslését. A A T (\displaystyle AA^(T))(nevezetesen, ha A szimmetrikus pozitív határozott mátrix és ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), akkor viheted U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Ahol ; ha A egy tetszőleges nem szinguláris mátrix és ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), akkor elhiszik U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), hol is α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Természetesen leegyszerűsítheti a helyzetet, és kihasználhatja azt a tényt ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), tedd U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Másodszor, amikor a kezdeti mátrixot ilyen módon adjuk meg, nincs garancia arra ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) kicsi lesz (talán még az is kiderül ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), és a konvergencia ráta magas sorrendje nem derül ki azonnal.

Példák

Mátrix 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmátrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmátrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmátrix)).)

A 2x2-es mátrix megfordítása csak azzal a feltétellel lehetséges a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Legyen egy n-edrendű négyzetmátrix

Az A -1 mátrixot hívjuk inverz mátrix az A mátrixhoz viszonyítva, ha A*A -1 = E, ahol E az n-edrendű azonosságmátrix.

Identitásmátrix- olyan négyzetmátrix, amelyben minden elem a balról átmenő főátló mentén helyezkedik el felső sarok jobbra alsó sarok, egyesek, a többi pedig nulla, például:

inverz mátrix létezhet csak négyzetmátrixokhoz azok. azokra a mátrixokra, amelyekben a sorok és oszlopok száma egybeesik.

Tétel egy inverz mátrix létezési feltételére

Ahhoz, hogy egy mátrixnak legyen inverz mátrixa, szükséges és elegendő, ha nem szinguláris.

Az A = (A1, A2,...A n) mátrixot hívjuk nem degenerált, ha az oszlopvektorok lineárisan függetlenek. A mátrix lineárisan független oszlopvektorainak számát a mátrix rangjának nevezzük. Ezért azt mondhatjuk, hogy egy inverz mátrix létezéséhez szükséges és elegendő, hogy a mátrix rangja egyenlő legyen a dimenziójával, pl. r = n.

Algoritmus az inverz mátrix megtalálására

1. Írja be a táblázatba az A mátrixot az egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldásához, és rendelje hozzá a jobb oldalon (az egyenletek jobb oldala helyett) az E mátrixot!
2. Jordan-transzformációk segítségével redukálja le az A mátrixot egységoszlopokból álló mátrixra; ebben az esetben az E mátrixot egyidejűleg kell átalakítani.
3. Ha szükséges, rendezzük át az utolsó tábla sorait (egyenleteit) úgy, hogy az eredeti tábla A mátrixa alatt az E identitásmátrixot kapjuk.
4. Írja fel az A -1 inverz mátrixot, amely az utolsó táblázatban található az eredeti tábla E mátrixa alatt.

1. példa

Az A mátrixhoz keresse meg az A -1 inverz mátrixot

Megoldás: A mátrixot írjuk, és az E identitásmátrixot a jobb oldalra rendeljük. Az A mátrixot az E identitásmátrixra redukáljuk. A számításokat a 31.1. táblázat tartalmazza.

Ellenőrizzük a számítások helyességét az eredeti A mátrix és az A inverz mátrix -1 szorzásával.

A mátrixszorzás eredményeként megkaptuk az azonosságmátrixot. Ezért a számításokat helyesen végezték el.

Válasz:

Mátrixegyenletek megoldása

A mátrixegyenletek így nézhetnek ki:

AX = B, HA = B, AXB = C,

ahol A, B, C a megadott mátrixok, X a kívánt mátrix.

A mátrixegyenleteket úgy oldjuk meg, hogy az egyenletet inverz mátrixokkal megszorozzuk.

Például az egyenletből a mátrix megtalálásához meg kell szoroznia ezt az egyenletet a bal oldalon lévővel.

Ezért az egyenlet megoldásához meg kell találnia az inverz mátrixot, és meg kell szoroznia az egyenlet jobb oldalán található mátrixszal.

A többi egyenletet is hasonlóan oldják meg.

2. példa

Oldja meg az AX = B egyenletet, ha

Megoldás: Mivel az inverz mátrix egyenlő (lásd az 1. példát)

Mátrix módszer a közgazdasági elemzésben

Másokkal együtt ezeket is használják mátrix módszerek . Ezek a módszerek lineáris és vektor-mátrix algebrán alapulnak. Az ilyen módszereket komplex és többdimenziós elemzési célokra használják gazdasági jelenségek. Ezeket a módszereket leggyakrabban akkor alkalmazzák, amikor a szervezetek és strukturális felosztásaik működésének összehasonlító értékelésére van szükség.

A mátrixelemzési módszerek alkalmazásának folyamatában több szakasz különíthető el.

Az első szakaszban kialakul a rendszer gazdasági mutatókés ennek alapján egy forrásadatmátrixot állítanak össze, amely egy táblázat, amelyben a rendszerszámok az egyes soraiban jelennek meg. (i = 1,2,....,n), függőleges oszlopokban pedig a mutatók száma (j = 1,2,....,m).

A második szakaszban Minden függőleges oszlop esetében a rendelkezésre álló indikátorértékek közül a legnagyobbat azonosítjuk, amelyet egynek tekintünk.

Ezt követően az ebben az oszlopban szereplő összes összeget el kell osztani legmagasabb értékés standardizált együtthatók mátrixa jön létre.

A harmadik szakaszban a mátrix összes komponense négyzetes. Ha eltérő jelentőségűek, akkor minden mátrixmutatóhoz egy bizonyos súlytényezőt rendelnek k. Ez utóbbi értékét szakértői vélemény határozza meg.

Az utolsón, negyedik szakasz talált értékelési értékeket R j növekedésük vagy csökkenésük sorrendjében vannak csoportosítva.

A felvázolt mátrixmódszereket például akkor kell alkalmazni, amikor összehasonlító elemzés különböző beruházási projektek, valamint a szervezetek egyéb gazdasági mutatóinak értékelése során.

Az A -1 mátrixot inverz mátrixnak nevezzük az A mátrixhoz képest, ha A*A -1 = E, ahol E az n-edrendű azonosságmátrix. Inverz mátrix csak négyzetmátrixoknál létezhet.

A szolgáltatás célja. Használva ennek a szolgáltatásnak V online mód találhatunk algebrai komplementereket, transzponált A T mátrixot, szövetséges mátrixot és inverz mátrixot. A döntés közvetlenül a weboldalon (online) történik, és ingyenes. A számítási eredményeket Word formátumú jelentésben mutatjuk be Excel formátum(azaz lehetséges a megoldás ellenőrzése). lásd a tervezési példát.

Utasítás. A megoldáshoz meg kell adni a mátrix méretét. Ezután töltse ki az A mátrixot az új párbeszédablakban.

Mátrix dimenzió 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lásd még: Inverz mátrix a Jordano-Gauss módszerrel

Algoritmus az inverz mátrix megtalálására

1. Az A T transzponált mátrix megkeresése.
2. Algebrai komplementerek meghatározása. Cserélje le a mátrix minden elemét az algebrai komplementerével.
3. Inverz mátrix összeállítása algebrai összeadásokból: a kapott mátrix minden elemét elosztjuk az eredeti mátrix determinánsával. A kapott mátrix az eredeti mátrix inverze.

Következő algoritmus az inverz mátrix megtalálásához az előzőhöz hasonló, néhány lépést leszámítva: először az algebrai komplementereket számítjuk ki, majd meghatározzuk a kapcsolódó C mátrixot.

1. Határozza meg, hogy a mátrix négyzet alakú-e. Ha nem, akkor nincs rá inverz mátrix.
2. Az A mátrix determinánsának kiszámítása. Ha nem egyenlő nullával, folytatjuk a megoldást, különben az inverz mátrix nem létezik.
3. Algebrai komplementerek meghatározása.
4. A C unió (kölcsönös, adjunkt) mátrix kitöltése.
5. Inverz mátrix összeállítása algebrai összeadásokból: a C adjunkt mátrix minden elemét elosztjuk az eredeti mátrix determinánsával. A kapott mátrix az eredeti mátrix inverze.
6. Ellenőrzést végeznek: megszorozzák az eredeti és a kapott mátrixokat. Az eredmény egy identitásmátrix legyen.

1. számú példa. Írjuk fel a mátrixot a következő formában:

Algebrai összeadások.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Akkor inverz mátrixígy írható:

A -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Egy másik algoritmus az inverz mátrix megtalálására

Mutassunk be egy másik sémát az inverz mátrix megtalálására.

1. Keresse meg egy adott A négyzetmátrix determinánsát!
2. Az A mátrix minden eleméhez algebrai kiegészítést találunk.
3. Sorelemek algebrai hozzáadását oszlopokhoz írjuk (transzpozíció).
4. A kapott mátrix minden elemét elosztjuk az A mátrix determinánsával.

Amint látjuk, a transzpozíciós művelet mind az elején, az eredeti mátrixon, mind a végén a kapott algebrai összeadásokon alkalmazható.

Különleges eset: Az E identitásmátrix inverze az E identitásmátrix.

Az inverz mátrix megtalálása.

Ebben a cikkben megismerjük az inverz mátrix fogalmát, tulajdonságait és megtalálási módszereit. Foglalkozzunk részletesen azokkal a példákkal, amelyekben inverz mátrixot kell készíteni egy adott mátrixhoz.

Oldalnavigáció.

Inverz mátrix - definíció.

Az inverz mátrix megtalálása algebrai komplementerekből származó mátrix segítségével.

Egy inverz mátrix tulajdonságai.

Az inverz mátrix megtalálása Gauss-Jordan módszerrel.

Az inverz mátrix elemeinek megtalálása a megfelelő lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásával.

Inverz mátrix - definíció.

Az inverz mátrix fogalmát csak olyan négyzetmátrixokra vezetjük be, amelyek determinánsa nem nulla, azaz nem szinguláris négyzetmátrixokra.

Meghatározás.

Mátrixmátrix inverzének nevezzük, amelynek determinánsa eltér nullától, ha az egyenlőségek igazak , Ahol E– egységrendelési mátrix n tovább n.

Az inverz mátrix megtalálása algebrai komplementerekből származó mátrix segítségével.

Hogyan találjuk meg az inverz mátrixot egy adott mátrixhoz?

Először is szükségünk van a fogalmakra transzponált mátrix, mátrix-moll és mátrixelem algebrai komplementere.

Meghatározás.

Kisebbkth rendelés mátrixok A rendelés m tovább n a sorrendi mátrix meghatározója k tovább k, amelyet a mátrixelemekből kapunk A található a kiválasztott k vonalak és k oszlopok. ( k nem haladja meg a legkisebb számot m vagy n).

Kisebb (n-1)-edik sorrend, amely az összes sor elemeiből áll, kivéve i-th, és az összes oszlop, kivéve jth, négyzetmátrix A rendelés n tovább n jelöljük úgy.

Más szóval, a moll négyzetmátrixból származik A rendelés n tovább n elemek áthúzásával i-th vonalak és jth oszlop.

Például írjuk, moll 2 sorrendben, amelyet a mátrixból kapunk második, harmadik sorának és első, harmadik oszlopának elemeinek kiválasztása . Megmutatjuk a moll-ot is, amelyet a mátrixból kapunk a második sor és a harmadik oszlop áthúzásával . Szemléltessük e kiskorúak felépítését: és .

Meghatározás.

Algebrai komplementer egy négyzetmátrix elemét minornak nevezzük (n-1)-edik sorrendben, amelyet a mátrixból kapunk A, áthúzva annak elemeit i-th vonalak és jth oszlop szorozva .

Egy elem algebrai komplementerét jelöljük. És így, .

Például a mátrixhoz egy elem algebrai komplementere .

Másodszor, szükségünk lesz a determináns két tulajdonságára, amelyeket a részben tárgyaltunk mátrix determinánsának kiszámítása:

A determináns ezen tulajdonságai alapján a definíció egy mátrix számmal való szorzásának műveleteiés az inverz mátrix fogalma igaz: , ahol egy transzponált mátrix, amelynek elemei algebrai komplementerek.

Mátrix valóban a mátrix inverze A, mivel az egyenlőségek teljesülnek . Mutassuk meg

Komponáljunk algoritmus az inverz mátrix megtalálásához egyenlőség felhasználásával .

Nézzük meg az inverz mátrix megtalálásának algoritmusát egy példa segítségével.

Példa.

Adott egy mátrix . Keresse meg az inverz mátrixot.

Megoldás.

Számítsuk ki a mátrix determinánsát! A, a harmadik oszlop elemeire bontva:

A determináns nem nulla, tehát a mátrix A megfordítható.

Keressük az algebrai összeadások mátrixát:

Ezért

Transzponáljuk a mátrixot algebrai összeadásokból:

Most megtaláljuk az inverz mátrixot, mint :

Nézzük az eredményt:

Egyenlõségek teljesülnek, ezért az inverz mátrix helyesen található.

Egy inverz mátrix tulajdonságai.

Az inverz mátrix fogalma, az egyenlőség , a mátrixokon végzett műveletek definíciói és a mátrix determinánsának tulajdonságai lehetővé teszik a következők igazolását Az inverz mátrix tulajdonságai:

Az inverz mátrix elemeinek megtalálása a megfelelő lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásával.

Nézzünk egy másik módot a négyzetmátrix inverz mátrixának megtalálására A rendelés n tovább n.

Ez a módszer a megoldáson alapul n lineáris inhomogén algebrai egyenletrendszerek n ismeretlen. Ezekben az egyenletrendszerekben az ismeretlen változók az inverz mátrix elemei.

Az ötlet nagyon egyszerű. Jelöljük az inverz mátrixot mint x, vagyis . Mivel az inverz mátrix definíciója szerint akkor

A megfelelő elemeket oszlopokkal egyenlővé téve azt kapjuk n lineáris egyenletrendszerek

Bármilyen módon megoldjuk, és a talált értékekből inverz mátrixot képezünk.

Nézzük meg ezt a módszert egy példán keresztül.

Példa.

Adott egy mátrix . Keresse meg az inverz mátrixot.

Megoldás.

Fogadjuk el . Az egyenlőség három lineáris inhomogén algebrai egyenletrendszert ad:

Nem írjuk le a megoldást ezekre a rendszerekre, ha szükséges, lásd a részt lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása.

Az első egyenletrendszerből van, a másodikból - , a harmadikból - . Ezért a szükséges inverz mátrixnak van alakja . Javasoljuk, hogy ellenőrizze, hogy az eredmény helyes-e.

Összesít.

Megvizsgáltuk az inverz mátrix fogalmát, tulajdonságait és három módszert a megtalálására.

Példa megoldásokra inverz mátrix módszerrel

1. Feladat. Oldja meg az SLAE-t inverz mátrix módszerrel. 2 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 2 5 x 1 + 7 x 2 + 6 x 3 + 2 x 4 = 3 4 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 4

Az űrlap kezdete

A forma vége

Megoldás. Írjuk fel a mátrixot a következő formában: B vektor: B T = (1,2,3,4) Fődetermináns Minor for (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 (3 2-6 2) = -3 Minor (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) = 0 kisebb (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1) + 4 (3 2-3 1) = 3 kisebb a (4,1): = 3 (3 2-) 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 A minor determinánsa ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Transzponált mátrix Algebrai összeadások ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) + 1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3) -3 (5) 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) + 1 (5 3-6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2-2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4) -5 (5 1-2 4) + 2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7) 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4) -3 (3 1-2 4) + 1 (3 4) -5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 (7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) + 3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7) -3 (3) 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Inverz mátrix Eredményvektor X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1, -0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

Lásd még SLAE-k megoldásait inverz mátrix módszerrel online. Ehhez adja meg adatait, és részletes megjegyzésekkel ellátott megoldást kap.

2. feladat. Írja fel az egyenletrendszert mátrix alakban, és oldja meg az inverz mátrix segítségével! Ellenőrizze a kapott oldatot. Megoldás:xml:xls

2. példa. Írja fel az egyenletrendszert mátrix alakban, és oldja meg az inverz mátrix segítségével! Megoldás:xml:xls

Példa. Adott egy három lineáris egyenletrendszer három ismeretlennel. Kötelező: 1) megtalálni a megoldást a segítségével Cramer képletek; 2) írja fel a rendszert mátrix alakban, és oldja meg mátrixszámítással. Irányelvek. A Cramer-féle módszerrel történő megoldás után keresse meg a "Megoldás inverz mátrix módszerrel forrásadatokhoz" gombot. Megkapja a megfelelő megoldást. Így nem kell újra kitöltenie az adatokat. Megoldás. Jelöljük A-val az ismeretlenek együtthatóinak mátrixát; X - ismeretlenek mátrixoszlopa; B - szabad tagok mátrixoszlopa:

B vektor: B T =(4,-3,-3) Ezeket a jelöléseket figyelembe véve ez az egyenletrendszer a következő mátrix alakot ölti: A*X = B. Ha az A mátrix nem szinguláris (determinánsa nem nulla , akkor van egy inverz mátrixa A -1 Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk A -1-gyel, a következőt kapjuk: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. lineáris egyenletrendszer megoldásának mátrixjelölése. Az egyenletrendszer megoldásához ki kell számítani az A -1 inverz mátrixot. A rendszernek akkor lesz megoldása, ha az A mátrix determinánsa nem nulla. Keressük a fő meghatározót. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Tehát a 14-es determináns ≠ 0, tehát megoldás folytatása. Ehhez algebrai összeadásokkal keressük meg az inverz mátrixot. Legyen egy nem szinguláris A mátrixunk:

Algebrai komplementereket számolunk.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T = (-1, 1, 2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 = 1 x 3 = 28 / 14 = 2 Vizsgálat. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Válasz: -1,1,2.

Az $A^(-1)$ mátrixot inverzének nevezzük négyzetmátrix$A$, ha teljesül a $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ feltétel, ahol $E$ az azonosságmátrix, melynek sorrendje megegyezik a a $A$ mátrix sorrendje.

A nem szinguláris mátrix olyan mátrix, amelynek determinánsa nem egyenlő nullával. Ennek megfelelően szinguláris mátrix az, amelynek determinánsa nulla.

A $A^(-1)$ inverz mátrix akkor és csak akkor létezik, ha a $A$ mátrix nem szinguláris. Ha létezik $A^(-1)$ inverz mátrix, akkor az egyedi.

A mátrix inverzének meghatározására többféle módszer létezik, ezek közül kettőt fogunk megvizsgálni. Ez az oldal az adjungált mátrix módszert tárgyalja, amely a legtöbb kurzusban standardnak számít. felsőbb matematika. Az inverz mátrix megtalálásának második módja (módszer elemi átalakulások), amely a Gauss-módszer vagy a Gauss-Jordan-módszer használatát foglalja magában, a második részben tárgyaljuk.

Adjungált mátrix módszer

Legyen adott a $A_(n\x n)$ mátrix. A $A^(-1)$ inverz mátrix megtalálásához három lépésre van szükség:

1. Keresse meg a $A$ mátrix determinánsát és győződjön meg arról, hogy $\Delta A\neq 0$, azaz. hogy az A mátrix nem szinguláris.
2. Állítsa össze a $A_(ij)$ algebrai kiegészítéseit a $A$ mátrix minden eleméhez, és írja ki a $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ mátrixot a talált algebraiból kiegészíti.
3. Írjuk fel az inverz mátrixot a $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ képlet figyelembevételével.

A $(A^(*))^T$ mátrixot gyakran adjunktnak (reciprok, szövetséges) nevezik az $A$ mátrixhoz.

Ha a megoldást manuálisan végezzük, akkor az első módszer csak viszonylag kis sorrendű mátrixokra jó: második (), harmadik (), negyedik (). Megtalálni egy mátrix inverzét magasabb rendű, más módszereket is alkalmaznak. Például a Gauss-módszer, amelyről a második részben esik szó.

1. számú példa

Keresse meg a $A=\left(\begin(array) (cccc) mátrix inverzét 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Mivel a negyedik oszlop minden eleme nulla, akkor $\Delta A=0$ (azaz a $A$ mátrix szinguláris). Mivel $\Delta A=0$, nincs inverz mátrix a $A$ mátrixhoz.

2. példa

Keresse meg a $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ mátrix inverzét.

Az adjungált mátrix módszert használjuk. Először keressük meg az adott $A$ mátrix determinánsát:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Mivel $\Delta A \neq 0$, akkor létezik az inverz mátrix, ezért folytatjuk a megoldást. Algebrai komplementerek keresése

\begin(igazított) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(igazított)

Összeállítunk egy algebrai összeadások mátrixát: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transzponáljuk a kapott mátrixot: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (a az így kapott mátrixot gyakran csatoltnak vagy csatoltnak nevezik szakszervezeti mátrix$A$ mátrixhoz). A $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ képlet használatával a következőt kapjuk:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Tehát az inverz mátrix található: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\jobbra) $. Az eredmény igazságosságának ellenőrzéséhez elegendő ellenőrizni az egyik egyenlőség igazságát: $A^(-1)\cdot A=E$ vagy $A\cdot A^(-1)=E$. Ellenőrizzük a $A^(-1)\cdot A=E$ egyenlőséget. Annak érdekében, hogy kevesebbet dolgozzunk a törtekkel, a $A^(-1)$ mátrixot behelyettesítjük, nem a következő formában: $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, és a következő formában: $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(tömb )\jobbra)$:

Válasz: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

3. példa

Keresse meg a mátrix inverz mátrixát: $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .

Kezdjük a $A$ mátrix determinánsának kiszámításával. Tehát az $A$ mátrix determinánsa:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Mivel $\Delta A\neq 0$, akkor létezik az inverz mátrix, ezért folytatjuk a megoldást. Megtaláljuk egy adott mátrix egyes elemeinek algebrai komplementereit:

Összeállítunk egy mátrixot algebrai összeadásokból, és transzponáljuk:

$$ A^*=\left(\begin(array) (cccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

A $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ képlet használatával kapjuk:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(tömb) \jobbra) $$

Tehát $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Az eredmény igazságosságának ellenőrzéséhez elegendő ellenőrizni az egyik egyenlőség igazságát: $A^(-1)\cdot A=E$ vagy $A\cdot A^(-1)=E$. Ellenőrizzük a $A\cdot A^(-1)=E$ egyenlőséget. Annak érdekében, hogy kevesebbet dolgozzunk a törtekkel, a $A^(-1)$ mátrixot behelyettesítjük nem a következő formában: $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, és a következő formában: $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Az ellenőrzés sikeres volt, a $A^(-1)$ inverz mátrix helyesen található.

Válasz: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

4. számú példa

Keresse meg a $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 mátrix inverzét & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Negyedrendű mátrix esetén az inverz mátrix megtalálása algebrai összeadásokkal kissé nehézkes. Ilyen példák azonban a tesztek találkozik.

Egy mátrix inverzének meghatározásához először ki kell számítani a $A$ mátrix determinánsát. Ennek legjobb módja ebben a helyzetben, ha a determinánst egy sor (oszlop) mentén felbontjuk. Kijelölünk egy tetszőleges sort vagy oszlopot, és megkeressük a kiválasztott sor vagy oszlop egyes elemeinek algebrai kiegészítését.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete