A folyamatokat jellemző mennyiségek közötti függés. Közvetlen arányos függés
Tantárgy:„A mennyiségek közötti függőségek modellezése”
Az óra céljai:
1. Ismerkedjen meg a fogalmakkal:
"nagyságrendű"
"táblás modell"
"grafikus modell"
Nevelési:
Teremtsen feltételeket a fő dolog kiemelésének, összehasonlításának, elemzésének, általánosításának képességének fejlesztéséhez.
Nevelési:
Fejlessze a figyelmességet, a vágyat, hogy az ügyet a kívánt eredményre hozza;
Kölcsönös kapcsolatok kialakítása, tapasztalatok megosztása a tanulók és a tanár között.
Felszerelés: tanári számítógép multimédiás projektorral.
Tanterv
Szervezési pillanat (2 perc) Óracélok kitűzése. Új anyag magyarázata. (17 perc) Új anyag megerősítése (5 perc) Feladatok megoldása től az Egységes Államvizsga bemutató változatai 2010 (15 perc) Összegzés (3 perc) Házi feladat (3 perc)
Az órák alatt
Mondja el a tanulóknak az óra témáját. (1. dia) Az óra céljának kitűzése(2. dia)
Az óra céljai:
1. Ismerkedjen meg a fogalmakkal:
"nagyságrendű"
"a mennyiségek közötti függőség"
"matematikai modell",
"táblás modell"
"grafikus modell"
Tekintsük a mennyiségek közötti függőségeket példák segítségével.
2. Fejleszteni kell az egységes államvizsga KIM-ek feladatmegoldó képességeit.
Új anyag magyarázata. (17 perc)(3. dia)
Alkalmazás matematikai modellezésállandóan megköveteli bizonyos mennyiségek másoktól való függésének figyelembe vételét.
1. Az idő, amikor egy test a földre esik, a kezdeti magasságtól függ;
2. A gáznyomás a palackban a hőmérsékletétől függ;
3. Megbetegedések gyakorisága a lakosok körében bronchiális asztma a városi levegő minőségétől függ
(4. dia)
Minden kutatást az elkülönítéssel kell kezdeni mennyiségi jellemzők a vizsgált tárgy. Az ilyen jellemzőket mennyiségeknek nevezzük. Minden mennyiség háromhoz kapcsolódik főbb tulajdonságait: név, értékek, típus.
A mennyiség neve lehet teljes (gáznyomás), vagy szimbolikus (P). Bizonyos mennyiségekhez szabványos neveket használnak: idő - T, sebesség - V, erő - F...
(5. dia)
Ha egy mennyiség értéke nem változik, akkor ún állandó érték vagy állandó
(π =3,14159…).
Az értékét megváltoztató mennyiséget ún változó.
(6. dia)
A típus határozza meg azt az értékkészletet, amelyet egy érték felvehet. A mennyiségek alaptípusai: numerikus, szimbolikus, logikai. Mivel csak mennyiségi jellemzőkről fogunk beszélni, csak a mennyiségeket fogjuk figyelembe venni numerikus típus.
(7. dia)
Térjünk vissza a példákhoz, és jelöljük ki azokat a változókat, amelyek függőségei érdekelnek.
Az 1. példában:
T (sec) – őszi idő; N (m) – esési magasság. Gyorsulás szabadesés g (m/sec2) – állandó.
A 2. példában: P(n/m2) – gáznyomás ; t° C a gáz hőmérséklete.
BAN BEN 3. példa:
A légszennyezettséget a C szennyeződések koncentrációja (mg/köbm) jellemzi. Az előfordulási arányt a krónikus asztmás betegek 1000 lakosra jutó száma jellemzi ennek a városnak– P(bol/ezer)
(8. dia)
Nézzük meg a függőségi ábrázolási módszereket
Matematikai modell Táblázatos modell Grafikus modell
(9. dia)
Matematikai modell
Ez valamely objektum (folyamat) mennyiségi jellemzőinek és a köztük lévő kapcsolatoknak a matematika nyelvén bemutatott összessége.
Az első példában a matematikai modellt képletként mutatjuk be:
455 " style="width:341.25pt">
(11. dia)
Grafikus modell
és rajzolj egy grafikont
 |
(12. dia)
Az információs modellek, amelyek a rendszerek időbeli fejlődését írják le, sajátos elnevezéssel rendelkeznek: dinamikus modellek.
BAN BEN fizika dinamikus információs modellek a testek mozgását írják le; V biológia – élőlények és állatpopulációk fejlődése; kémiában – szivárgás kémiai reakciók stb
(13. dia)
A probléma megoldása: (1 diák a táblánál, a többi füzetben)
Készítsen matematikai, táblázatos és grafikus modelleket a feladatról:
A test a törvény szerint mozogx (t)=5t2+2t-5,
Aholx – mozgás méterben,t – idő másodpercben. Határozza meg a test sebességét az adott pillanatbant=2.
Készítsen táblázatot, amely 3 másodperces időközönként bemutatja egy test sebességének a test mozgási idejétől való függését!
A tanult anyag konszolidációja.Válaszolj a kérdésekre:
1. Milyen ábrázolási formákat ismer a mennyiségek közötti függőségekre? (válasz 1 diák)
2. Indokolja mindegyik előnyeit és hátrányait! három forma reprezentáció
függőségek. (válasz 1 diák)
Feladatok megoldása az Egységes Államvizsga 2010 demó verziójából (15 perc)
A 10., 2., 8. és 16. számrendszer ismétlése.
A feladat megoldása az Egységes Államvizsga demo verziójából (1 )
1. Hogyan ábrázolható a 26310-es szám az oktális számrendszerben?
Megoldás:
Hogyan írjuk be az 5678-as számot? kettes számrendszer halott számítás?
(1 diák a táblánál, a többi a füzetekben)
Megoldás:
Hogyan írható az A8716 szám az oktális számrendszerben?
(1 diák a táblánál, a többi a füzetekben)
Megoldás:
A1 feladat a 2010-es demóverzióból. (1 diák a táblánál, a többi a füzetekben)
Adott: a=9D16, b=2378. A kettes számrendszerbe írt C számok közül melyik teljesíti az egyenlőtlenséget
Megoldás:
Összegzés (3 perc) Házi feladat (3 perc) 36. §, kérdések. Példa.
Adott: a= 3328, b= D416. A kettes számrendszerbe írt C számok közül melyik teljesíti az a egyenlőtlenséget Előzetes felkészítés. Kérdések és feladatok Milyen információs problémák megoldása során használják őket? a) Hogyan történik az adatok címzése a táblázatban? b) Milyen típusú adatok tárolhatók az ET cellákban? c) Mi a relatív címzés elve? d) Hogyan lehet visszavonni a relatív címzés hatását? Mi a diagramok célja? Hogyan határozható meg a táblázatból az adatok kiválasztásának területe a diagram elkészítéséhez és a kijelölés sorrendje? Milyen mennyiségeket ábrázolunk a vízszintes (OX) tengely és a függőleges (OY) tengely mentén? Milyen helyzetekben célszerű használni: hisztogramokat; grafika; kördiagramok? Információs modellezés a termelés tervezésében és irányításában Tanulmányozott kérdések A tervezési és ellenőrzési problémák leggyakoribb típusai A mennyiségek közötti függőségek ábrázolása Statisztikák és statisztikai adatok Legkisebb négyzet alakú módszer Regressziós modellek készítése táblázatkezelővel Előrejelzés regressziós modell segítségével A korrelációs függőségek fogalma. Korrelációs függőségek számítása táblázatban Optimális tervezés. MS Excel használata az optimális tervezési probléma megoldására A tervezési és ellenőrzési problémák leggyakoribb típusai Az irányításban és a tervezésben számos tipikus feladat van, amely a számítógép vállára hárítható. Előfordulhat, hogy az ilyen szoftverek használója nem is ismeri mélyen a használt apparátus mögött meghúzódó matematikát. Csak meg kell értenie a megoldandó probléma lényegét, előkészíteni és bevinni a kezdeti adatokat a számítógépbe, és értelmezni a kapott eredményeket. Ebben a témában háromféle problémát fogunk megvizsgálni, amelyeket a tervezés és menedzsment területén dolgozó szakembereknek gyakran meg kell oldaniuk: 1) előrejelzés- válaszok keresése a „Mi lesz egy idő után?” vagy „Mi lesz, ha...?” kérdésekre; 2) egyes tényezők másokra gyakorolt hatásának meghatározása- válasz keresése a „Mennyire erősen befolyásolja a B faktor az A faktort?”, vagy a „Melyik faktor - B vagy C - befolyásolja erősebben az A faktort?” kérdésre; 3) optimális megoldások keresése- válasz keresése arra a kérdésre, hogy „Hogyan tervezzük meg a termelést egy bizonyos mutató optimális értékének elérése érdekében (például maximális profit, vagy minimális energiafogyasztás)? " Az információtechnológiai eszközünk az MS Excel. A mennyiségek közötti függőségek ábrázolása A tervezési és irányítási problémák állandó megoldása megköveteli, hogy figyelembe vegyük egyes tényezők másoktól való függését. Példák a függőségekre: - a test földre esésének ideje a kezdeti magasságtól függ; - a nyomás a hengerben lévő gáz hőmérsékletétől függ; ‒ a bronchiális asztma előfordulása a lakosság körében a városi levegő minőségétől függ. Nézzünk különféle függőségi reprezentációs módszerek. Minden kutatásnak a vizsgált tárgy (folyamat, jelenség) mennyiségi jellemzőinek azonosításával kell kezdődnie. Az ilyen jellemzőket mennyiségeknek nevezzük. Bármilyen mennyiséghez kapcsolódik három fő tulajdonsága: név, érték, típus. Egy mennyiség neve lehet teljes (jelentőségét hangsúlyozva), vagy szimbolikus. Példa a teljes névre: "Gáznyomás"; és ugyanennek az értéknek a szimbolikus neve P. Az adatbázisokban az értékek rekordmezők. Általában teljes neveket használnak rájuk, például: „Vezetéknév”, „Súly”, „Értékelés” stb. A fizikában és más, matematikai apparátust használó tudományokban a mennyiségek jelölésére szimbolikus neveket használnak. Ha s jelentése a mennyiség nem változik, állandó mennyiségnek vagy állandónak nevezzük. Példa állandók- Pitagorasz szám π=3,14159... Az értékét megváltoztató mennyiséget ún. változó. Például egy test esésének folyamatának leírásánál a változó mennyiségek a magasság (H) és az esési idő (t). A mennyiség harmadik tulajdonsága az típus. A típus határozza meg azt az értékkészletet, amelyet egy érték felvehet. A mennyiségek alaptípusai: numerikus, szimbolikus, logikai. Most térjünk vissza az 1-3. példákhoz, és jelöljük (nevezzük meg) az összes változó mennyiséget, amelyek közötti függőségek érdekelni fognak minket. A megnevezések mellett feltüntetjük a mennyiségek méreteit is. A dimenziók meghatározzák azokat az egységeket, amelyekben a mennyiségek értékei jelennek meg. 1. t (sec) - esési idő; N (m) - esési magasság. Képviseljük a függőséget, figyelmen kívül hagyva a légellenállást. Gravitációs gyorsulás g (m/sec 2) - állandó. 2. P (kg/m2) - gáznyomás; t (C) - gázhőmérséklet. A nulla P o fokos nyomást egy adott gázra állandónak tekintjük. 3. A légszennyezettséget a szennyeződések koncentrációjával jellemezzük - C (mg/köbm). A mértékegység az 1 köbméter levegőben lévő szennyeződések tömege, milligrammban kifejezve. Az előfordulási arányt az adott város 1000 lakosára jutó krónikus asztmás betegek száma fogja jellemezni - P (beteg/ezer). Ha a mennyiségek közötti kapcsolat matematikai formában ábrázolható, akkor van egy matematikai modellünk. Matematikai modell valamely objektum (folyamat) mennyiségi jellemzőinek és a köztük lévő kapcsolatoknak a matematika nyelvén bemutatott összessége. A fent felsorolt első két példa matematikai modelljei jól ismertek. Fizikai törvényeket tükröznek, és képletek formájában jelennek meg: Ezek példák a funkcionális formában ábrázolt függőségekre. Az első függést gyöknek nevezzük (az idő arányos a magasság négyzetgyökével), a másodikat lineárisnak (a nyomás egyenesen arányos a hőmérséklettel). A bonyolultabb problémákban a matematikai modelleket egyenletként vagy egyenletrendszerként ábrázolják. Ebben az esetben a mennyiségek funkcionális függésének kivonásához meg kell tudni oldani ezeket az egyenleteket. A fejezet végén megvizsgálunk egy olyan matematikai modell példáját, amelyet egyenlőtlenségek rendszere fejez ki. Nézzünk példákat két másik módszerre a mennyiségek közötti függőségek ábrázolására: táblázatos és grafikus. Képzeljük el, hogy úgy döntöttünk, hogy kísérletileg teszteljük egy test szabadesésének törvényét. A kísérletet a következőképpen szerveztük meg: egy tízemeletes épület 2., 3. emeletének (és így tovább) erkélyéről dobunk egy acélgolyót, megmérve a labda kiindulási helyzetének magasságát és az esés idejét. A kísérlet eredményei alapján táblázatot állítottunk össze és grafikont rajzoltunk. A mennyiségek az objektumok mennyiségi értékei, a szegmensek hossza, az idő, a szögek stb. Meghatározás. A mennyiség egy mérés eredménye, amelyet a mértékegység száma és neve képvisel. Például: 1 km; 5 óra 60 km/h; 15 kg; 180°. Mennyiségek lehetnek függetlenek vagy függhetnek egymástól. A mennyiségek közötti kapcsolat szigorúan megállapítható (például 1 dm = 10 cm), vagy tükrözheti a mennyiségek közötti függőséget, amelyet egy adott számérték meghatározására szolgáló képlet fejez ki (például egy út a mozgás sebességétől és időtartamától függ; egy négyzet területe függ a hossza oldalaitól stb.). A metrikus hosszmértékrendszer alapját - a métert - a 19. század elején vezették be Oroszországban, és ezt megelőzően a hosszúság mérésére a következőket használták: arshin (= 71 cm), verst (= 1067 m) , ferde öl (= 2 m 13 cm), makhovaja öl (= 1 m 76 cm), egyszerű öl (= 1 m 52 cm), negyed (= 18 cm), könyök (körülbelül 35 cm-től 46 cm-ig), fesztáv (18 cm-től 23 cm-ig). Mint látható, sok volt mennyiségeket hosszt mérni. A metrikus mértékrendszer bevezetésével a hosszértékek függése mereven rögzítve van: A metrikus mértékrendszer meghatározza az idő, hossz, tömeg, térfogat, terület és sebesség mértékegységeit. Két vagy több mennyiség vagy mértékrendszer között is lehet kapcsolatot létesíteni képletekben rögzíteni, és a képleteket kísérleti úton levezetni. Meghatározás. Két, egymástól függő mennyiséget nevezünk arányos, ha értékük aránya változatlan marad. Két mennyiség állandó arányát arányossági együtthatónak nevezzük. Arányossági tényező megmutatja, hogy egy mennyiségből hány egység jut egy másik mennyiség egységére. Ha az esélyek egyenlőek. Akkor a kapcsolat egyenlő. A távolság a sebesség és a mozgási idő szorzata: innen származtatták a mozgás alapképletét: Ahol S- pálya; V- sebesség; t- idő. A mozgás alapképlete a távolság függése a sebességtől és a mozgásidőtől. Ezt a függőséget ún fűszeres arányos. Meghatározás. Két változó mennyiség egyenesen arányos, ha az egyik mennyiség többszöri növelésével (vagy csökkenésével) a másik mennyiség ugyanannyival nő (vagy csökken); azok. az ilyen mennyiségek megfelelő értékeinek aránya állandó érték. Állandó távolság esetén a sebességet és az időt egy másik kapcsolat köti össze, amelyet ún fordítottan arányos. Szabály. Két változó mennyiség fordítottan arányos, ha az egyik mennyiség többszöri növelésével (vagy csökkenésével) a másik mennyiség ugyanannyival csökken (vagy nő); azok. az ilyen mennyiségek megfelelő értékeinek szorzata állandó érték. A mozgás képletéből két további összefüggés is levezethető, amelyek a bennük lévő mennyiségek közvetlen és inverz függőségét fejezik ki: t=S:V- mozgási idő közvetlen arányban a bejárt út és fordítva mozgási sebesség (az útvonal azonos szakaszainál minél nagyobb a sebesség, annál kevesebb időbe telik a távolság megtétele). V=S:t- mozgási sebesség egyenesen arányos a bejárt út és fordítottan arányos utazási idő (az útvonal azonos szakaszainál annál több Mindhárom mozgásképlet egyenértékű, és problémák megoldására szolgál. Óraösszefoglaló számítástechnikáról és IKT-ról 11. osztályban Táblázatos és grafikus modellek Statisztikai előrejelzési modellek Legkisebb négyzet alakú módszer Előrejelzés regressziós modell segítségével Korrelációk modellezése
táblázatok?
Minél időben mozog egy tárgy, annál kisebb sebességre van szükség a távolságok megtételéhez).
Tantárgy:"A mennyiségek közötti függőségek modellezése."
Az anyag leírása: Ez az óra összefoglalója hasznos lesz a 11. évfolyamon általános nevelési programokat megvalósító informatika és IKT tanárok számára. A tanóra során a tanulók megismerkednek a matematikai modellezéssel és a mennyiségek modellezésének módszereivel. Ez a lecke az „Információs modellezési technológiák” témakör bevezetője.
Cél: feltételek megteremtése a gyerekek számára, hogy elsajátítsák a matematikai modellezési ismereteket és erősítsék készségeiket a Microsoft Excelben.
Feladatok:
- a matematikai modellezéssel kapcsolatos ismeretek fejlesztése;
- megszilárdítani a Microsoft Excel készségeit.
Tervezett eredmények:
Tantárgy:
- ötleteket alkotni a matematikai modellezésről;
- ötleteket alkotni a funkcionális, táblázatos és grafikus modellezési módszerekről.
Metatárgy:
- fejleszteni az információs és kommunikációs technológiák alkalmazásában, táblázatos és grafikus modellek készítéséhez szükséges készségeket és képességeket;
- fejleszteni a rendelkezésre álló eszközök ésszerű használatának készségeit.
Személyes:
- megérteni az alapvető tudás szerepét a modern információs technológiák alapjaként.
Az órák alatt:
Szervezési pillanat és tudásfrissítés
Tanár:"Helló srácok. Ma új nagy témát indítunk „Információs modellezési technológiák”. De először írjuk le a házi feladatot a 36. §-ban, készítsük elő az 1.3-as kérdéseket szóban, a 2-es kérdést írásban egy füzetbe.” A házi feladatot a képernyőre vetítjük.
A gyerekek kinyitják a naplójukat, és leírják a feladatot. A tanár elmagyarázza a házi feladatot.
Tanár:„Srácok, emlékezzünk rá, mi az a „modell”, „szimuláció”, „számítógépes modellezés”. A „Let’s Remember” diát a képernyőre vetítjük.
Gyermekek:„A modell egy helyettesítő objektum, amely bizonyos feltételek mellett helyettesítheti az eredeti objektumot. A modell az eredeti minket érdeklő tulajdonságait és jellemzőit reprodukálja.
A modellezés tárgyak, folyamatok vagy jelenségek tanulmányozására és tanulmányozására tervezett modellek felépítése.
A számítógépes modellezés számítástechnika segítségével megvalósított modellezés.”
Tanár:„Szerinted mi a matematikai modellezés? Mit jelképez?
Gyermekek:"Ezek a modellek matematikai képletekkel készültek."
Tanár:– Mondjon példákat egy matematikai modellre!
A gyerekek példákat adnak különféle képletekre.
Tanár:„Nézzünk egy példát. A példákat a képernyőre vetítik.
„A test leesésének ideje a kezdeti magasságától függ. A hörgő asztma előfordulása a városlakók körében a városi levegőben lévő káros szennyeződések koncentrációjától függ.” A dia bemutatja egyes mennyiségek függőségét másoktól. Mai leckénk témája „A mennyiségek közötti függőségek modellezése”. A „Mennyiségek közötti függőségek modellezése” lecke témája kivetül a képernyőre.
A gyerekek jegyzetfüzetbe írják le a témát.
Új anyagok tanulása
Tanár:„A matematikai modell számítógépen való megvalósításához el kell sajátítania a mennyiségek közötti függőségek ábrázolásának technikáit. Nézzük meg a függőségek ábrázolásának különböző módszereit. Minden kutatásnak a vizsgált tárgy mennyiségi jellemzőinek azonosításával kell kezdődnie. Az ilyen jellemzőket mennyiségeknek nevezzük. A „mennyiség” definíciója kivetül a képernyőre.
Emlékezzünk vissza, mi a mennyiség három fő tulajdonsága?
Gyermekek:"Név, érték, típus"
Tanár:"Jobb. A mennyiség neve lehet szemantikai vagy szimbolikus. Például az „idő” egy szemantikai név, a „t” pedig egy szimbolikus név. Srácok, mondjatok példákat a szemantikai és szimbolikus nevekre." A nevek típusait és példáit a képernyőre vetítjük.
Példák gyerekekre.
Tanár:„Ha egy mennyiség értéke nem változik, akkor állandó mennyiségnek vagy állandónak nevezzük. Egy példa az állandóra a fény sebessége vákuumban – c = 2,998*10^8m/s. Az értékeket kivetítik a képernyőre.
Milyen állandó mennyiségeket ismersz?
Gyerekek válaszai.
Tanár: Szerinted mi a változó?
Gyerekek válaszai.
Tanár: Tehát a változó mennyiség olyan mennyiség, amelynek értéke változhat. Például egy test esési folyamatának leírásánál a változó mennyiségek a H magasság és a t esési idő.
A mennyiség harmadik tulajdonsága a típusa. A típus határozza meg azt az értékkészletet, amelyet egy érték felvehet. A mennyiségek alaptípusai: numerikus, szimbolikus, logikai. Számszerű mennyiségeket fogunk figyelembe venni. A főbb mennyiségek típusait a képernyőre vetítjük.
Most térjünk vissza például a földre zuhanó testhez. Jelöljük az összes változó mennyiséget és a méreteiket is (a méretek határozzák meg, hogy a mennyiségek milyen egységekben jelennek meg). Tehát t (s) az esés ideje, N (m) az esés magassága. Képviseljük a függőséget, figyelmen kívül hagyva a légellenállást; a g szabadesési gyorsulást (m/s2) állandónak tekintjük. Ebben a példában a mennyiségek közötti kapcsolat teljesen definiált: H értéke egyértelműen meghatározza t értékét. Az 1. példát a képernyőre vetítjük.
Most nézzünk meg közelebbről egy példát a bronchiális asztma előfordulásáról a városlakók körében. A légszennyezettséget a szennyeződések koncentrációjával - C (mg/m2), az előfordulási arányával - az adott város 1000 lakosára jutó krónikus asztmás betegek számával - P (beteg/ezer) jellemezzük. Ebben a példában az értékek közötti kapcsolat bonyolultabb, mivel ugyanazon város különböző hónapjaiban azonos szintű szennyezés esetén az előfordulási arány eltérő lehet, mivel azt más tényezők is befolyásolják. A 2. példát a képernyőre vetítjük.
E két példát figyelembe véve arra a következtetésre jutunk, hogy az első példában a függőség funkcionális, a másodikban viszont nem. Ha a mennyiségek közötti kapcsolat matematikai formában ábrázolható, akkor van egy matematikai modellünk. A kimenetet a képernyőre vetítjük.
A matematikai modell egy adott objektum (folyamat) mennyiségi jellemzőinek és a köztük lévő kapcsolatoknak a matematika nyelvén bemutatott összessége. Az első példa egy fizikai törvényt tükröz. Ez a függőség a gyökér. A bonyolultabb problémákban a matematikai modelleket egyenletként vagy egyenletrendszerként ábrázolják. A második példában a függőséget nem funkcionális formában, hanem más formában ábrázolhatjuk (erről a következő leckékben fogunk beszélni). A képernyőre vetítve, ami az 1. példát tükrözi.
Tekintsünk egy példát egy zuhanó testre táblázatos és grafikus formában. Kísérletileg (táblázatos és grafikus formában) ellenőrizzük a test egyetemes esésének törvényét. Hat méter, 9 méter és így tovább (3 méter után) acéllabdát fogunk dobni, megmérve a labda kezdeti magasságát és az esés idejét. Az eredmények alapján táblázatot készítünk és grafikont rajzolunk. Az 1. példa grafikonja és táblázata kivetül a képernyőre.
Ha ebből a táblázatból minden egyes H és t értékpárt behelyettesítünk az első példa képletébe, akkor a képlet egyenlőséggé változik. Ez azt jelenti, hogy a modell jól működik.
Ebben a példában a mennyiségek modellezésének három módszerét vizsgáljuk: funkcionális (képlet), táblázatos és grafikus; a folyamat matematikai modelljének azonban csak egy képlet nevezhető. A modellezési módszereket a képernyőre vetítik.
Srácok, szerintetek melyik a leguniverzálisabb modellezési módszer? Egy kérdést vetítenek a képernyőre.
A képlet univerzálisabb, lehetővé teszi bármely magasságból leeső test idejének meghatározását; A képlet birtokában könnyen létrehozhat táblázatot és ábrázolhat grafikont.
A rendszerek időbeli fejlődését leíró információs modelleket dinamikus modelleknek nevezzük. A fizikában a dinamikus modellek a testek mozgását írják le, a biológiában az élőlények vagy állatpopulációk fejlődését, a kémiában a kémiai reakciók lefolyását stb.
Testnevelés perc
Tanár:„Most pihenjünk egy kicsit. Srácok, üljetek kényelmesen egy székre, lazítsatok, egyenesítsétek ki a vállaitokat, íveljétek meg a hátatokat, nyújtsatok, fordítsátok el a fejeteket, "lógassátok a lábatokat". Most anélkül, hogy elfordítaná a fejét, nézzen jobbra, balra, felfelé, lefelé. Most figyeld a kezem mozgását." A tanár különböző irányokba mozgatja a kezét.
Praktikus munka
Tanár:"Srácok, most a megszerzett tudást a számítógépen végzett gyakorlati munkával fogjuk megszilárdítani." A gyakorlati munka feladatát a képernyőre vetítjük.
Gyakorlat
Szerkessze meg táblázatos és grafikus időfüggéseket a sebességről
v=v0+a*t, ha ismert, hogy t = 2 s-nál v = 8 m/s. A kezdeti sebesség v0 2 m/s.
A srácok Microsoft Excelben hajtják végre a feladatot. Ezt követően a munka ellenőrzése megtörténik. A gyakorlati munka helyes válaszát a képernyőre vetítjük.
Reflexió és összegzés
Tanár:„Srácok, mi újat tanultatok ma? Mi volt nehéz neked? Milyen nehézségekbe ütközött a gyakorlati munka során? A tükröződés a képernyőre vetül.
Gyerekek válaszai.
Tanár:„Köszönöm az osztályban végzett munkáját. Viszontlátásra".
24.02.2019, 16:56
Mennyiségek közötti függőségek modellezése
A matematikai modell számítógépen való megvalósítása (számítógépes matematikai modell) megköveteli a mennyiségek közötti függőségek ábrázolásának technikáinak ismeretét.
Három alapvető tulajdonság kapcsolódik bármely mennyiséghez:
- Név,
- jelentése,
- típus.
Mennyiség neve Lehet szemantikai és szimbolikus
. Példa a szemantikai névre: „gáznyomás” ugyanennek a mennyiségnek a szimbolikus neve R.
Ha mennyiség értéke nem változik, akkor állandó értéknek, ill állandó
. Példa egy konstansra a Pitagorasz-szám: ¶=3.14259... . Olyan mennyiséget nevezünk, amelynek értéke változhat változó
. Például egy test esési folyamatának leírásánál a változó mennyiségek a H magasság és a t esési idő.
típus meghatározza azt az értékkészletet, amelyet egy mennyiség felvehet. A mennyiségek alaptípusai
: numerikus, szimbolikus, logikai. Méretek
határozza meg azokat az egységeket, amelyekben a mennyiségek értékei vannak ábrázolva. Például t (s) az esés ideje; N (m) - esési magasság.
Matematikai modellek
Ha a mennyiségek közötti kapcsolat matematikai formában ábrázolható, akkor ez matematikai modell
.
A matematikai modell egy adott objektum (folyamat) mennyiségi jellemzőinek és a köztük lévő kapcsolatoknak a matematika nyelvén bemutatott összessége.
Ez egy példa egy funkcionális formában ábrázolt függőségre. Ezt a függést gyöknek nevezzük (az idő arányos a magasság négyzetgyökével).
A bonyolultabb problémákban a matematikai modelleket egyenletként vagy egyenletrendszerként ábrázolják.
Ezek más, nem-formuláris módszerek a mennyiségek közötti függőségek ábrázolására. Például úgy döntöttünk, hogy kísérletileg teszteljük egy test szabadesésének törvényét.
Tehát ebben a példában három módot vizsgáltunk a mennyiségek függésének modellezésére: funkcionális (képlet), táblázatos és grafikus. Egy test földre hullásának folyamatának matematikai modelljének azonban csak egy képlet nevezhető. A képlet univerzálisabb, lehetővé teszi, hogy meghatározza a test bármely magasságból leesésének idejét, és nem csak az ábrán látható kísérleti H értékekhez. A képlet birtokában könnyen létrehozhat táblázatot és grafikont, de fordítva - ez nagyon problematikus. A kísérletet a következőképpen fogjuk megszervezni: acéllabdát dobunk 6 méter, 9 méter stb. magasságból (3 méter után), megmérve a labda kiindulási helyzetének magasságát és az esés idejét. A kísérlet eredményei alapján táblázatot készítünk és grafikont rajzolunk.Ha ebből a táblázatból minden egyes H és t értékpárt behelyettesítünk a magasság időtől való függésének korábban megadott képletébe, akkor a képlet egyenlőséggé változik (a pontosságon belül mérési hibáig). Ez azt jelenti, hogy a modell jól működik. Ha azonban nem egy acélgolyót, hanem egy nagy könnyű golyót ejt le, akkor az egyenlőség nem érhető el, és ha felfújható golyó, akkor a képlet bal és jobb oldalának értékei nagyon eltérnek. Miért gondolod?
Ugyanígy megjelenítheti bármely ismert képletekkel leírt fizikai természetű jelenség függőségét.
Az információs modellek, amelyek a rendszerek időbeli fejlődését írják le, sajátos elnevezéssel rendelkeznek: dinamikus modellek
. A fizikában a dinamikus információs modellek a testek mozgását írják le, a biológiában - az élőlények vagy állatpopulációk fejlődését, a kémiában - a kémiai reakciók lefolyását stb.
Statisztika- a tömeges mennyiségi adatok gyűjtésének, mérésének és elemzésének tudománya.
Vannak orvosi statisztikák, gazdasági statisztikák, társadalmi statisztikák és mások. A statisztika matematikai apparátusát az ún matematikai statisztika
.
A kívánt függvény grafikonjának közel kell haladnia a kísérleti adatdiagram pontjaihoz. Nincs értelme úgy megszerkeszteni egy függvényt, hogy a grafikonja pontosan átmenjen az összes megadott ponton. Először is, egy ilyen függvény matematikai formája túl bonyolult lehet. Másodszor, a kísérleti értékek hozzávetőlegesek. Például a szén-monoxid a legerősebb hatással van a hörgő-tüdőbetegségekre. Ennek a kapcsolatnak a megállapítása érdekében az orvosi statisztikusok adatokat gyűjtenek. A kapott adatok táblázatban összegezhetők és szórásdiagram formájában is bemutathatók.
Hogyan építsünk matematikai modellt ennek a jelenségnek? Nyilvánvalóan olyan képletet kell kapnia, amely tükrözi a krónikus betegek számának P függőségét a C szén-monoxid koncentrációtól. A matematika nyelvén ezt P C-től való függésének függvényének nevezik: P(C). Egy ilyen függvény típusa nem ismert, kísérleti adatokon alapuló szelekciós módszerrel kell keresni.
Ez magában foglalja a szükséges funkció alapvető követelményeit:
elég egyszerűnek kell lennie a további számításokhoz;
a függvény grafikonjának a kísérleti pontok közelében kell haladnia, hogy ezeknek a pontoknak a grafikontól való eltérése minimális és egyenletes legyen. A statisztikában az eredményül kapott függvényt általában hívják regressziós modell.
A regressziós modell megszerzése két lépésben történik:
1) a funkció típusának kiválasztása;
2) függvényparaméterek kiszámítása.
Az első problémának nincs szigorú megoldása.
Leggyakrabban a következő funkciók közül kell választani:
y = ax + b - lineáris függvény (1. fokú polinom);
y = ax 2 + bx + c - másodfokú függvény
y =a n x n + a (n-1) x n-1 +...+ a 2 x 2 + a 1 x + a 0 -n-edik fokú polinom;
y = a ln(x) + b - logaritmikus függvény;
y = ae bx - exponenciális függvény;
y = ax b - hatványfüggvény.
A javasolt függvények egyikének kiválasztása után a paraméterszámítási módszerrel úgy kell kiválasztani a paramétereket (a, b, c, stb.), hogy a függvény a lehető legközelebb kerüljön a kísérleti pontokhoz. Ezt a módszert a 18. században K. Gauss német matematikus javasolta. Ezt a legkisebb négyzetek módszerének (OLS) nevezik, és nagyon széles körben használják a statisztikai adatfeldolgozásban, és számos matematikai szoftvercsomagba beépítik. Fontos megérteni a következőket: a legkisebb négyzetek módszerével bármely függvény összeállítható a kísérleti pontok adott halmazából. De hogy ez kielégít-e bennünket, az megfelelési kritérium kérdése. Példánkban vegyünk három, a legkisebb négyzetek módszerével összeállított függvényt.
Ezeket a számokat a Microsoft Excel táblázatkezelő processzorral kaptuk. A regressziós modell gráf ún irányzat.
Az angol „trend” szó „általános iránynak” vagy „tendenciának” fordítható.
A lineáris függvény grafikonja egy egyenes. Ebből a grafikonból nehéz bármit is mondani ennek a növekedésnek a természetéről. De másodfokú és exponenciális trendek
valószínű.
A grafikonok az építési trendek eredményeként kapott értéket tartalmazzák. Ezt R2-vel jelöljük. A statisztikában ezt a mennyiséget ún determinizmus együtthatója. Ez határozza meg, hogy az eredményül kapott regressziós modell mennyire sikeres. Determinizmus együtthatója
mindig 0 és 1 között van. Minél közelebb van R2 1-hez, annál jobb a regressziós modell.
A három kiválasztott modell közül a lineárisnál a legkisebb az R2 érték. Ez azt jelenti, hogy ő a legszerencsétlenebb. A másik két modell R2 értéke meglehetősen közel van (a különbség kisebb, mint 0,01). Ugyanolyan sikeresek.
A regressziós matematikai modell megalkotásával a folyamat számítással előre jelezhető, azaz nem csak a mérésekkel kapott értékekre, hanem más értékekre is megbecsülhető az asztma előfordulási gyakorisága.
Ha az előrejelzés a kísérleti értékeken belül történik, akkor ezt ún érték helyreállítása
.
A kísérleti adatokon túlmutató előrejelzést nevezzük extrapoláció.
A regressziós modell segítségével könnyen készíthet előrejelzéseket táblázatok segítségével.
Bizonyos esetekben óvatosnak kell lennie az extrapolációval. Bármely regressziós modell alkalmazhatósága korlátozott, különösen azon kívül
kísérleti terület. Példánkban az extrapoláció során nem szabad messze menni az 5 mg/m 3 értéktől. Nem tudjuk, mi fog történni ettől a területtől távol. Minden extrapoláció egy hipotézisen alapul: „tegyük fel, hogy a minta a kísérleti területen kívül is megmarad”. Mi van, ha nem menti meg?
Például a példánkban szereplő másodfokú modell 0-hoz közeli koncentrációnál 150 beteg embert eredményez, azaz többet, mint 5 mg/m3. Ez nyilvánvalóan nonszensz. C kis értékeinek tartományában az exponenciális modell jobban működik. Ez egyébként meglehetősen tipikus helyzet: a különböző adatterületek jobban illeszkedhetnek a különböző modellekhez.
Legyen az A faktor valamilyen összetett rendszer fontos jellemzője. Egyidejűleg sok más tényező is befolyásolhatja: B, C, D stb.
A mennyiségek közötti függőségeket, amelyek mindegyike teljesen ellenőrizetlen szóródásnak van kitéve, nevezzük korrelációs függőségek.
A matematikai statisztika azon ágát, amely az ilyen függőségeket vizsgálja, az ún korrelációs elemzés. A korrelációs elemzés megvizsgálja az egyes mennyiségek átlagos viselkedési törvényét egy másik mennyiség értékétől függően, valamint az ilyen függőség mértékét.
Az értékek korrelációjának felmérése az értékeik közötti kapcsolat lehetséges természetére vonatkozó hipotézissel kezdődik. Leggyakrabban lineáris összefüggést feltételeznek. Ebben az esetben a korrelációs függés mértéke egy ún korrelációs együttható.
korrelációs együttható (általában görög betűvel jelölik ρ
) egy -1 és +1 közötti szám;
Haρ
a modulus közel 1, akkor erős a korreláció, ha közel 0, akkor gyenge;
közelségρ
a +1 azt jelenti, hogy az egyik halmaz értékének növekedése egy másik halmaz értékének növekedésének felel meg, a -1 közelében pedig azt jelenti, hogy az egyik halmaz értékének növekedése a készlet csökkenésének felel meg. egy másik halmaz értékei;
jelentéseρ
könnyen megtalálható az Excel segítségével, mivel a megfelelő képletek be vannak építve ebbe a programba.Egy összetett rendszer példájaként vegyünk egy iskolát. Az iskola vállalkozási költségeit fejezzük ki az iskola tanulóira jutó rubelek számával (dörzsölje/fő), amelyet egy bizonyos idő alatt (például az elmúlt 5 évben) töltöttek el. Legyen a tanulmányi teljesítmény értékelése az iskolai tanulók átlagos pontszáma alapján az elmúlt tanév eredményei alapján.
20 iskola adatfelvételének eredményei, táblázatba foglalva ésszórványrajzábrákon mutatjuk be.
Mindkét érték értéke: a pénzügyi költségek és a tanulói teljesítmény - jelentős szórással bír, és első pillantásra nem látható a kapcsolat közöttük. Lehetséges azonban, hogy létezik.
Az Excelben a korrelációs együttható kiszámítására szolgáló függvényt hívjuk meg CORRELés a statisztikai függvények csoportjába tartozik. Megmutatjuk, hogyan kell használni. Ugyanazon az Excel-lapon, ahol a táblázat található, helyezze a kurzort bármelyik szabad cellára, és futtassa a CORREL függvényt. Két értéktartományt fog kérni. Jelöljük rendre B2:B21 és C2:C21. Beírásuk után megjelenik a válasz: p = 0,500273843. Ez az érték a korreláció átlagos szintjét jelzi.
Most nézzük meg, hogy a két paraméter közül melyik: a tankönyvek vagy a számítógépek elérhetősége korrelál nagyobb mértékben, pl. nagyobb hatással van a tanulmányi teljesítményre
LentAz ábra mindkét tényező mérésének eredményeit mutatja 11 különböző iskolában.
Mindkét függőségre lineáris korrelációs együtthatót kaptunk. A táblázatból látható, hogy a tankönyvellátás és a tanulmányi teljesítmény között erősebb a korreláció, mint a számítógépes ellátottság és a tanulmányi teljesítmény között (bár mindkét korrelációs együttható nem túl nagy). Ebből arra következtethetünk, hogy a könyv továbbra is jelentősebb tudásforrás marad, mint a számítógép.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség
Következő cikk: Mekkora a fénysebesség