1 oldja meg a rendszert mátrixszámítással. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása inverz mátrix segítségével

Ez egy olyan fogalom, amely általánosítja a mátrixokkal végrehajtott összes lehetséges műveletet. Matematikai mátrix- elemek táblázata. Egy asztalról, ahol m vonalak és n oszlopokban, ennek a mátrixnak állítólag a mérete van m tovább n.

A mátrix általános képe:

Mert mátrix megoldások Meg kell érteni, mi a mátrix, és ismerni kell a fő paramétereit. A mátrix fő elemei:

• A főátló, amely elemekből áll a 11, a 22…a mn.
• Elemekből álló oldalátló a 1n , a 2n-1 .....a m1.

A mátrixok fő típusai:

• A négyzet egy mátrix, ahol a sorok száma = az oszlopok száma ( m=n).
• Nulla - ahol minden mátrixelem = 0.
• Transzponált mátrix - mátrix BAN BEN, amelyet az eredeti mátrixból kaptunk A sorok oszlopokkal való helyettesítésével.
• Egység - a főátló összes eleme = 1, az összes többi = 0.
• Az inverz mátrix olyan mátrix, amelyet az eredeti mátrixszal megszorozva identitásmátrixot kapunk.

A mátrix lehet szimmetrikus a fő- és másodlagos átlóhoz képest. Vagyis ha a 12 = a 21, a 13 =a 31,…a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, akkor a mátrix szimmetrikus a főátlóra. Csak a négyzetmátrixok lehetnek szimmetrikusak.

Mátrixok megoldási módszerei.

Szinte minden mátrix megoldási módszerek meghatározójának megtalálásából áll n-edik rend és a legtöbb elég körülményes. A 2. és 3. rend determinánsának megtalálására más, racionálisabb módszerek is vannak.

Másodrendű determinánsok keresése.

Egy mátrix determinánsának kiszámítása A 2. sorrendben le kell vonni a másodlagos átló elemeinek szorzatát a főátló elemeinek szorzatából:

3. rendű determinánsok megtalálásának módszerei.

Az alábbiakban a 3. rendű determináns megtalálásának szabályait ismertetjük.

A háromszög egyszerűsített szabálya, mint az egyik mátrix megoldási módszerek, így ábrázolható:

Más szóval, az első determinánsban lévő, egyenes vonallal összekötött elemek szorzatát egy „+” jellel vesszük; Ezenkívül a 2. determináns esetében a megfelelő termékeket a „-” jellel veszik, vagyis a következő séma szerint:

Nál nél mátrixok megoldása Sarrus szabályával, a determinánstól jobbra adjuk hozzá az első 2 oszlopot, és a megfelelő elemek szorzatait a főátlón és a vele párhuzamos átlókon egy „+” jellel vesszük; valamint a másodlagos átló és a vele párhuzamos átlók megfelelő elemeinek szorzata „-” jellel:

A sorban vagy oszlopban lévő determináns bontása mátrixok megoldásánál.

Döntő egyenlő az összeggel a determináns karakterlánc elemeinek szorzatai algebrai komplementereikkel. Általában a nullákat tartalmazó sor/oszlop kerül kiválasztásra. Nyíl jelzi azt a sort vagy oszlopot, amely mentén a bontás történik.

Mátrixok megoldásánál a determináns háromszög alakra redukálása.

Nál nél mátrixok megoldása módszerrel a determinánst háromszög alakúra redukálják, így működnek: egyszerű transzformációkkal sorok vagy oszlopok felett a determináns lesz háromszög alakúés akkor értéke a determináns tulajdonságainak megfelelően egyenlő lesz a főátlón álló elemek szorzatával.

Laplace-tétel mátrixok megoldására.

A Laplace-tételt használó mátrixok megoldása során magát a tételt kell ismerni. Laplace tétele: Legyen Δ - ez meghatározó n-edik sorrend. Bármelyiket kiválasztjuk k sorok (vagy oszlopok), feltéve k≤ n-1. Ebben az esetben az összes kiskorú termékeinek összege k-a kiválasztott sorrendben k sorok (oszlopok), algebrai komplementereik alapján egyenlők lesznek a determinánssal.

Az inverz mátrix megoldása.

A műveletek sorrendje: inverz mátrix megoldások:

1. Nézze meg, hogy négyzet alakú-e adott mátrix. Ha a válasz nemleges, akkor világossá válik, hogy nem lehet rá inverz mátrix.
2. Algebrai komplementereket számolunk.
3. Összeállítunk egy unió (kölcsönös, adjunkt) mátrixot C.
4. Ebből inverz mátrixot készítünk algebrai összeadások: az adjungált mátrix összes eleme C osztjuk a kezdeti mátrix determinánsával. A végső mátrix a kívánt mátrix lesz inverz mátrix az adotthoz képest.
5. Ellenőrizzük az elvégzett munkát: szorozzuk meg a kezdeti mátrixot és a kapott mátrixot, az eredmény egy identitásmátrix legyen.

Mátrixrendszerek megoldása.

Mert mátrixrendszerek megoldásai Leggyakrabban a Gauss-módszert alkalmazzák.

A Gauss-módszer egy standard módszer a lineáris rendszerek megoldására algebrai egyenletek(SLAE), és abban rejlik, hogy a változókat szekvenciálisan eliminálják, azaz elemi változtatások segítségével hozzák az egyenletrendszert egyenértékű rendszer háromszög alakú, és ebből szekvenciálisan, az utolsótól kezdve (szám szerint) megtalálható a rendszer minden eleme.

Gauss módszer a legsokoldalúbb és legjobb eszköz a mátrix megoldások megtalálásához. Ha a rendszer végtelen halmaz megoldásokat, vagy a rendszer nem kompatibilis, akkor nem oldható meg Cramer-szabállyal és a mátrix módszerrel.

A Gauss-módszer magában foglalja a közvetlen (a kiterjesztett mátrix lépcsőzetes formára való redukálását, azaz nullák beszerzését a főátló alatt) és fordított (nullák beszerzése a kiterjesztett mátrix főátlója felett) elmozdulásokat is. Az előrelépés a Gauss-módszer, a fordított mozgás a Gauss-Jordan módszer. A Gauss-Jordan módszer csak a változók eliminálásának sorrendjében tér el a Gauss-módszertől.

Fontolja meg a rendszert lineáris egyenletek sok változóval:

ahol aij az ismeretlen xi együtthatók; bi-free tagok;

indexek: i = 1,2,3...m - határozza meg az egyenlet számát és j = 1,2,3...n - az ismeretlen számát.

Definíció: Az (5) egyenletrendszer megoldása egy n számból álló halmaz (x10, x20,....xn0), melyeket a rendszerbe behelyettesítve minden egyenlet helyes numerikus azonossá válik.

Definíció: Egy egyenletrendszert akkor nevezünk konzisztensnek, ha van legalább egy megoldása. Egy közös rendszert határozottnak nevezünk, ha van egyetlen döntés(x10, x20,….xn0), és bizonytalan, ha több ilyen megoldás létezik.

Definíció: Egy rendszert inkonzisztensnek nevezünk, ha nincs megoldása.

Definíció: Numerikus együtthatókból (aij) összeállított táblázatok és ingyenes tagok(bi) az (5) egyenletrendszereket rendszermátrixnak (A) és kiterjesztett mátrixnak (A1) nevezzük, amelyeket a következőképpen jelölünk:

Definíció: Az A rendszer mátrixát, amelynek sorai és oszlopai nem egyenlő számú (n? m), téglalap alakúnak nevezzük. Ha a sorok és oszlopok száma azonos (n=m), akkor a mátrixot négyzetnek nevezzük.

Ha egy rendszerben az ismeretlenek száma egyenlő az egyenletek számával (n=m), akkor a rendszernek négyzetmátrix n-edik rend.

Válasszunk k-tetszőleges sort és k-tetszőleges oszlopot (km, kn) az A mátrixban.

Definíció: Az A mátrix kiválasztott sorok és oszlopok metszéspontjában elhelyezkedő elemeiből álló k-rendű determinánst az A mátrix k-rendű minorjának nevezzük.

Tekintsük az A mátrix összes lehetséges mollját. Ha minden (k+1)-rendű moll egyenlő nullával, és a k-rendű mollok közül legalább egy nem egyenlő nullával, akkor a mátrix rangja egyenlő k-val.

Definíció: Az A mátrix rangja ennek a mátrixnak a nullától eltérő moll legmagasabb rendje. Egy mátrix rangját r(A) jelöli.

Definíció: A mátrix minden nullától eltérő mollját, amelynek sorrendje megegyezik a mátrix rangjával, alapnak nevezzük.

Definíció: Ha két A és B mátrix rangsorai egybeesnek r(A) = r(B), akkor ezeket a mátrixokat ekvivalensnek nevezzük, és A B-vel jelöljük.

A mátrix rangja nem változik az elemi, ekvivalens transzformációktól, amelyek magukban foglalják:

• 1. Sorok cseréje oszlopokkal és oszlopok megfelelő sorokkal;
• 2. Sorok vagy oszlopok átrendezése;
• 3. Olyan sorok vagy oszlopok áthúzása, amelyek elemei nullák;
• 4. Sor vagy oszlop szorzása vagy osztása nullától eltérő számmal;
• 5. Egy sor vagy oszlop elemeinek összeadása vagy kivonása a másikból, tetszőleges számmal megszorozva.

Egy mátrix rangjának meghatározásakor használja a ekvivalens transzformációk, melynek segítségével az eredeti mátrix lépcsőzetes (háromszög alakú) mátrixsá redukálódik.

BAN BEN lépésmátrix a főátló alatt nulla elemek vannak, és minden sor első nem nulla eleme, a másodiktól kezdve, az előző sor első nem nulla elemétől jobbra helyezkedik el.

Vegye figyelembe, hogy a mátrix rangja számával egyenlő nem nulla karakterláncok lépésmátrix.

Például az A= mátrix lépcsőzetes alakú, és rangja megegyezik az r(A)=3 mátrix nullától eltérő sorainak számával. Valójában a 4. sor nulla elemeivel rendelkező 4. rendű kiskorúak egyenlők nullával, a 3. rendű minorok pedig nem nullák. Az ellenőrzéshez kiszámítjuk az első 3 sor és 3 oszlop mollának determinánsát:

Bármely mátrix redukálható lépcsős mátrixsá, ha a főátló alatti mátrixelemeket elemi műveletek segítségével nullázzuk.

Térjünk vissza az (5) lineáris egyenletrendszer tanulmányozásához és megoldásához.

A Kronecker-Kapeli-tétel fontos szerepet játszik a lineáris egyenletrendszerek tanulmányozásában. Fogalmazzuk meg ezt a tételt.

Kronecker-Kapeli tétel: Egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha az A rendszermátrix rangja megegyezik az A1 kiterjesztett mátrix rangjával, azaz. r(A)=r(A1). Konzisztencia esetén a rendszer akkor határozott, ha a rendszermátrix rangja egyenlő az ismeretlenek számával, pl. r(A)=r(A1)=n és definiálatlan, ha ez a rang kevesebb szám ismeretlenek, pl. r(A)= r(A1)

Példa. Fedezzen fel egy lineáris egyenletrendszert:

Határozzuk meg az A rendszermátrix és az A1 kiterjesztett mátrix rangjait. Ehhez összeállítunk egy kiterjesztett A1 mátrixot, és redukáljuk lépésenkénti formára.

A mátrix csökkentésekor a következő műveleteket hajtjuk végre:

• 2) vonja ki a 3. és 4. sorból az 1. sort 4-gyel szorozva;
• 3) szorozza meg a 4. sort (-1)-gyel, és cserélje fel a helyet a 2. sorral;
• 4) adjon hozzá 3 és 4 sort a 2. sorhoz, megszorozva 5-tel, illetve 4-gyel;
• 5) vonja ki a 3. sort a 4. sorból, és húzza ki a 4. sort nulla elemekkel.

Az elvégzett műveletek eredményeként a rendszermátrixban (a vonalig) és a kiterjesztett mátrixban is három nem nulla soros lépésmátrixot kaptunk. Ez azt mutatja, hogy a rendszermátrix rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával, és egyenlő 3-mal, de kisebb, mint az ismeretlenek száma (n=4).

Válasz: mert r(A)=r(A1)=3

Tekintettel arra, hogy kényelmes a mátrixok rangsorának meghatározása lépcsőzetes formára való redukálással, megvizsgálunk egy módszert lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldására.

Gauss módszer

A Gauss-módszer lényege az ismeretlenek szekvenciális eliminálása az A1 kiterjesztett mátrixot lépésenkénti alakra redukálva, amely az A rendszer mátrixát az egyenesig tartalmazza. Ebben az esetben az A, A1 mátrixok rangsorait egyidejűleg meghatározzuk és a rendszert a Kronecker-Kapeli tétel segítségével tanulmányozzuk. . Az utolsó szakaszban lépésenkénti egyenletrendszert oldanak meg, amely alulról felfelé helyettesíti az ismeretlenek talált értékeit.

Tekintsük a Gauss-módszer és a Kronecker-Kapeli-tétel alkalmazását egy példán keresztül.

Példa. Oldja meg a rendszert Gauss-módszerrel:

Határozzuk meg az A rendszermátrix és az A1 kiterjesztett mátrix rangjait. Ehhez összeállítunk egy kiterjesztett A1 mátrixot, és redukáljuk lépésenkénti formára. Átküldéskor hajtsa végre a következő műveleteket:

• 1) vonja ki az 1. sort a 2. sorból;
• 2) vonja ki a 3. sorból az 1. sort 2-vel szorozva;
• 3) ossza el a 2. sort (-2), a 3. sort szorozza meg (-1)-gyel, és cserélje fel őket.

Kaptunk egy lépésmátrixot, amelyben a sorok száma 3, és a rendszermátrixban (a sorig) szintén nincs nulla bejegyzés. Következésképpen a rendszermátrix és a kiterjesztett mátrix rangjai 3-mal egyenlőek és egyenlők az ismeretlenek számával, azaz. r(A)=r(A1)=n=3.. A Kronecker-Kapeli tétel szerint a rendszer konzisztens és definiált, és egyedi megoldása van.

Az A1 mátrix transzformációja, az ismeretlenek együtthatóinak nullázása eredményeként sorra kizártuk őket az egyenletek közül, és lépésenkénti (háromszögletű) egyenletrendszert kaptunk:

Alulról felfelé sorban haladva, a harmadik egyenletből a megoldást (x3=1) behelyettesítve a másodikba, a második és harmadik egyenletből a megoldásokat (x2=1, x3=1) pedig az elsőbe, megoldást kapunk az egyenletrendszer: x1=1, x2=1, x3=1.

Ellenőrzés: -(!) Válasz: (x1=1, x2=1, x3=1).

Jordano-Gauss módszer

Ezt a rendszert a továbbfejlesztett Jordano-Gauss módszerrel lehet megoldani, ami abból áll, hogy az A rendszer mátrixát a kiterjesztett mátrixban (a vonalig) redukáljuk az azonosságmátrixra: E= egységdiagonális és nulla nem átlós elemekkel, és azonnali megoldást kapunk a rendszerre további helyettesítések nélkül.

Oldjuk meg a fenti rendszert Jordano-Gauss módszerrel. Ehhez a kapott lépésmátrixot egységmátrixsá alakítjuk a következő lépések végrehajtásával:

• 1) vonja ki a 2. sort az 1. sorból;
• 2) adja hozzá a 3. sort az 1. sorhoz, megszorozva 3-mal;
• 3) vonja ki a 2. sorból a 3. sort 4-gyel szorozva.

Az eredeti egyenletrendszer a megoldást meghatározó rendszerre redukálódott.

alapműveletek mátrixokkal

Legyen két mátrix adott: A= B=.

• 1. A mátrixok egyenlők A=B, ha azonos nevű elemeik egyenlőek:aij=bij
• 2. A mátrixok összege (különbsége) (A ± B) egy mátrix, amelyet az egyenlőség határoz meg:

A mátrixok összegzésénél (kivonásánál) az azonos nevű elemeiket összeadják (kivonják).

3. A k szám és az A mátrix szorzata az egyenlőség által meghatározott mátrix:

Ha egy mátrixot megszorozunk egy számmal, akkor a mátrix összes eleme megszorozódik ezzel a számmal.

4. Az AB mátrixok szorzata a következő egyenlőséggel meghatározott mátrix:

A mátrixok szorzásakor az első mátrix sorainak elemeit megszorozzuk a második mátrix oszlopainak elemeivel és összeadjuk, a szorzatmátrix eleme pedig az i-edik sorban és a j-edik oszlopban egyenlő a az első mátrix i-edik sora és a j-edik oszlop második mátrixa megfelelő elemeinek szorzatának összege.

A mátrixok általános esetben történő szorzásakor nem érvényesül a kommutatív törvény, azaz. AB?VA.

5. Az A mátrix transzponálása egy olyan művelet, amelynek eredményeképpen a sorokat oszlopokra, az oszlopokat pedig a megfelelő sorokra cseréljük.

Az AT= mátrixot az A= mátrix transzponált mátrixának nevezzük.

Ha az A mátrix determinánsa nem egyenlő nullával (D?0), akkor egy ilyen mátrixot nem szingulárisnak nevezünk. Minden nem szinguláris A mátrixhoz létezik egy A-1 inverz mátrix, amelyre az egyenlőség érvényes: A-1 A= A A-1=E, ahol E= az azonosságmátrix.

6. Az A mátrix megfordítása olyan műveletek, amelyek az A-1 inverz mátrixot eredményezik

Az A mátrix invertálásakor a következő műveleteket hajtjuk végre.

Az első részben megnéztük néhány elméleti anyagot, a helyettesítési módszert, valamint a rendszeregyenletek tagonkénti összeadásának módszerét. Mindenkinek ajánlom, aki ezen az oldalon keresztül jutott el az oldalra, hogy olvassa el az első részt. Lehet, hogy egyes látogatók túl egyszerűnek találják az anyagot, de a lineáris egyenletrendszerek megoldása során számos nagyon fontos megjegyzést és következtetést tettem a matematikai problémák általános megoldására vonatkozóan.

Most elemezzük a Cramer-szabályt, valamint egy lineáris egyenletrendszer megoldását inverz mátrix segítségével (mátrix módszer). Az összes anyagot egyszerűen, részletesen és áttekinthetően mutatjuk be, szinte minden olvasó képes lesz megtanulni a rendszerek megoldását a fenti módszerekkel.

Először is közelebbről megvizsgáljuk a Cramer-szabályt két ismeretlenben lévő két lineáris egyenletrendszerre. Miért? – Hiszen az iskolamódszerrel, a tagozatos összeadás módszerével a legegyszerűbb rendszer is megoldható!

A tény az, hogy bár néha, de előfordul egy ilyen feladat - két ismeretlennel rendelkező lineáris egyenletrendszer megoldása Cramer képleteivel. Másodszor, egy egyszerűbb példa segít megérteni, hogyan kell használni a Cramer-szabályt egy bonyolultabb esetre – egy három egyenletrendszerre három ismeretlennel.

Ezen kívül vannak két változós lineáris egyenletrendszerek, amelyeket Cramer-szabály segítségével célszerű megoldani!

Tekintsük az egyenletrendszert

Első lépésben kiszámítjuk a determinánst, ezt ún a rendszer fő meghatározója.

Gauss módszer.

Ha , akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és a gyökök megtalálásához további két determinánst kell kiszámítanunk:
És

A gyakorlatban a fenti minősítőket latin betűvel is jelölhetjük.

Az egyenlet gyökereit a következő képletekkel keressük meg:
,

7. példa

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert!

Megoldás: Látjuk, hogy az egyenlet együtthatói elég nagyok, a jobb oldalon vannak vesszővel ellátott tizedes törtek. A vessző meglehetősen ritka vendég a matematikai gyakorlati feladatokban. Ezt a rendszert egy ökonometriai feladatból vettem.

Hogyan lehet megoldani egy ilyen rendszert? Megpróbálhatja az egyik változót egy másikkal kifejezni, de ebben az esetben valószínűleg szörnyű díszes törteket kap, amelyekkel rendkívül kényelmetlen a munka, és a megoldás kialakítása egyszerűen borzasztóan fog kinézni. A második egyenletet megszorozhatja 6-tal, és tagonként kivonhatja, de ugyanazok a törtek jelennek meg itt is.

Mit kell tenni? Ilyen esetekben a Cramer-féle képletek segítenek.

;

;

Válasz: ,

Mindkét gyökérnek végtelen a vége, és megközelítőleg megtalálható, ami meglehetősen elfogadható (sőt közhely) ökonometriai problémák esetén.

Itt nincs szükség megjegyzésekre, mivel a feladatot kész képletekkel oldják meg, azonban van egy figyelmeztetés. Ennek a módszernek a használatakor kötelező A feladatterv egy töredéke a következő részlet: „Ez azt jelenti, hogy a rendszernek egyedi megoldása van”. Ellenkező esetben a bíráló megbüntetheti Önt Cramer tételének figyelmen kívül hagyása miatt.

Nem lenne felesleges ellenőrizni, ami kényelmesen elvégezhető egy számológépen: a közelítő értékeket behelyettesítjük a rendszer minden egyenlete bal oldalába. Ennek eredményeként egy kis hibával olyan számokat kell kapnia, amelyek a jobb oldalon vannak.

8. példa

Adja meg a választ közönséges helytelen törtekkel! Csinálj egy ellenőrzést.

Ez egy példa, amelyet önállóan kell megoldania (példa a végső tervre és a válaszra a lecke végén).

Térjünk át a Cramer-szabályra egy három egyenletrendszerre, három ismeretlennel:

Megtaláljuk a rendszer fő meghatározóját:

Ha , akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van, vagy inkonzisztens (nincs megoldása). Ebben az esetben a Cramer-szabály nem segít, a Gauss-módszert kell használni.

Ha , akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és a gyökök megtalálásához további három determinánst kell kiszámítanunk:
, ,

És végül a választ a következő képletekkel számítjuk ki:

Amint láthatja, a „háromszor három” eset alapvetően nem különbözik a „kettő-kettő” esettől, a szabad kifejezések oszlopa egymás után balról jobbra „sétál” a fődetermináns oszlopai mentén.

9. példa

Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel!

Megoldás: Oldjuk meg a rendszert Cramer képleteivel.

, ami azt jelenti, hogy a rendszer egyedi megoldással rendelkezik.

Válasz: .

Igazából itt sincs semmi különösebb kommentár, ami abból adódik, hogy a megoldás kész képleteket követ. De van egy-két megjegyzés.

Előfordul, hogy a számítások eredményeként „rossz” irreducibilis törteket kapunk, például: .
A következő „kezelési” algoritmust ajánlom. Ha nincs kéznél számítógép, tegye a következőket:

1) Hiba lehet a számításokban. Amint „rossz” törttel találkozik, azonnal ellenőriznie kell Helyesen van átírva a feltétel?. Ha a feltételt hibák nélkül írják át, akkor a determinánsokat újra kell számolni egy másik sor (oszlop) bővítésével.

2) Ha az ellenőrzés eredményeként nem találunk hibát, akkor valószínűleg elírás történt a feladat feltételeiben. Ilyenkor nyugodtan és ÓVATOSAN dolgozd végig a feladatot a végéig, majd feltétlenül ellenőrizzeés a döntés után tiszta lapra felvonjuk. Természetesen a töredékes válasz ellenőrzése kellemetlen feladat, de lefegyverző érv lesz a tanár számára, aki nagyon szeret mínuszt adni minden olyan marhaságért, mint a . A törtek kezelésének módját a 8. példa válasza írja le részletesen.

Ha van kéznél számítógép, akkor az ellenőrzéshez használjon egy automata programot, amely a lecke elején ingyenesen letölthető. Egyébként a legjövedelmezőbb a program azonnali használata (még a megoldás elindítása előtt azonnal megjelenik a közbenső lépés, ahol hibázott); Ugyanez a számológép mátrix módszerrel automatikusan kiszámítja a rendszer megoldását.

Második megjegyzés. Időről időre vannak olyan rendszerek, amelyek egyenletéből hiányzik néhány változó, például:

Itt az első egyenletben nincs változó, a másodikban nincs változó. Ilyen esetekben nagyon fontos, hogy helyesen és Óvatosan írjuk le a fő meghatározót:
– a hiányzó változók helyére nullák kerülnek.
Egyébként ésszerű a determinánsokat nullákkal nyitni aszerint, hogy melyik sorban (oszlopban) van a nulla, mivel észrevehetően kevesebb a számítás.

10. példa

Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel!

Ez egy példa egy független megoldásra (minta a végső tervből és a válasz a lecke végén).

Egy 4 egyenletből és 4 ismeretlennel rendelkező rendszer esetében a Cramer-képleteket hasonló elvek szerint írják fel. Élő példát láthat a Determinánsok tulajdonságai című leckében. A determináns sorrendjének csökkentése - öt 4. rendű determináns eléggé megoldható. Bár a feladat már nagyon emlékeztet egy professzor cipőjére egy szerencsés diák mellkasán.

Rendszer megoldása inverz mátrix segítségével

Az inverz mátrix módszer lényegében egy speciális eset mátrix egyenlet(Lásd a megadott lecke 3. példáját).

A szakasz tanulmányozásához képesnek kell lennie a determinánsok kiterjesztésére, a mátrix inverzének megkeresésére és a mátrixszorzás végrehajtására. A magyarázatok előrehaladtával a releváns linkeket megadjuk.

11. példa

Oldja meg a rendszert mátrix módszerrel!

Megoldás: Írjuk fel a rendszert mátrix formában:
, Ahol

Kérjük, nézze meg az egyenlet- és mátrixrendszert. Szerintem mindenki érti azt az elvet, amivel elemeket írunk mátrixokba. Az egyetlen megjegyzés: ha néhány változó hiányzik az egyenletekből, akkor a mátrix megfelelő helyeire nullákat kell tenni.

Az inverz mátrixot a következő képlettel találjuk meg:
, ahol a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.

Először nézzük a meghatározót:

Itt a determináns az első sorban bővül.

Figyelem! Ha , akkor az inverz mátrix nem létezik, és lehetetlen a rendszert mátrix módszerrel megoldani. Ebben az esetben a rendszert az ismeretlenek kiküszöbölésének módszere (Gauss-módszer) oldja meg.

Most ki kell számítanunk 9 kiskorút, és be kell írni őket a minors mátrixba

Referencia: Hasznos tudni a kettős alsó indexek jelentését a lineáris algebrában. Az első számjegy annak a sornak a száma, amelyben az elem található. A második számjegy annak az oszlopnak a száma, amelyben az elem található:

Azaz a dupla alsó index azt jelzi, hogy az elem az első sorban, a harmadik oszlopban van, és például az elem a 3 sorban, 2 oszlopban van.

Az egyenletek általában, a lineáris algebrai egyenletek és rendszereik, valamint a megoldásukra szolgáló módszerek különleges helyet foglalnak el a matematikában, mind elméleti, mind alkalmazott értelemben.

Ez annak köszönhető, hogy a fizikai, gazdasági, műszaki, sőt pedagógiai problémák túlnyomó többsége sokféle egyenlet és rendszerük segítségével leírható és megoldható. A közelmúltban a matematikai modellezés különös népszerűségre tett szert a kutatók, tudósok és gyakorlati szakemberek körében szinte minden tématerületen, ami azzal magyarázható, hogy nyilvánvaló előnyei vannak a különböző természetű objektumok tanulmányozásának más jól ismert és bevált módszereivel szemben, különösen az ún. rendszerek. A matematikai modellnek nagyon sokféle definíciója létezik a tudósok által különböző időpontokban, de véleményünk szerint a legsikeresebb a következő állítás. A matematikai modell egy egyenlettel kifejezett elképzelés. Így az egyenletek és rendszereik összeállításának és megoldásának képessége a modern szakember szerves jellemzője.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására a leggyakrabban használt módszerek a Cramer, a Jordan-Gauss és a mátrix módszer.

A mátrixmegoldási módszer egy nem nulla determinánsú lineáris algebrai egyenletrendszer inverz mátrix segítségével történő megoldására szolgáló módszer.

Ha az A mátrixban kiírjuk az xi ismeretlen értékek együtthatóit, az X vektoroszlopba gyűjtjük az ismeretlen értékeket, a B vektoroszlopba pedig a szabad tagokat, akkor a lineáris algebrai egyenletrendszer felírható az alábbi A · X = B mátrixegyenlet alakja, amelynek csak akkor van egyedi megoldása, ha az A mátrix determinánsa nem egyenlő nullával. Ebben az esetben az egyenletrendszer megoldását a következő módon találhatjuk meg x = A-1 · B, Ahol A-1 az inverz mátrix.

A mátrix megoldási módszer a következő.

Adjunk meg egy lineáris egyenletrendszert azzal n ismeretlen:

Átírható mátrix formában: FEJSZE = B, Ahol A- a rendszer fő mátrixa, BÉs x- a rendszer szabad kifejezéseinek és megoldásainak oszlopai:

Szorozzuk meg ezt a bal oldali mátrixegyenletet ezzel A-1 - mátrix mátrix inverze A: A -1 (FEJSZE) = A -1 B

Mert A -1 A = E, kapunk x=A -1 B. Ennek az egyenletnek a jobb oldala adja meg az eredeti rendszer megoldási oszlopát. A módszer alkalmazhatóságának feltétele (valamint annak, hogy egy inhomogén lineáris egyenletrendszerre általában létezik megoldás, ahol az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával) a mátrix nem degeneráltsága. A. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy a mátrix determinánsa ne legyen egyenlő nullával A:det A≠ 0.

Egy homogén lineáris egyenletrendszerre, vagyis amikor a vektor B = 0 , sőt az ellenkező szabály: a rendszer FEJSZE = A 0-nak csak akkor van nem triviális (vagyis nem nulla) megoldása, ha det A= 0. Az ilyen kapcsolatot a homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásai között Fredholm-alternatívának nevezzük.

Példa inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásai.

Győződjön meg arról, hogy a lineáris algebrai egyenletrendszer ismeretleneinek együtthatóiból álló mátrix determinánsa nem egyenlő nullával.

A következő lépés az ismeretlenek együtthatóiból álló mátrix elemeinek algebrai komplementereinek kiszámítása. Szükség lesz rájuk az inverz mátrix megtalálásához.

Ez az online számológép egy lineáris egyenletrendszert old meg a mátrix módszerrel. Nagyon részletes megoldást adunk. Lineáris egyenletrendszer megoldásához válassza ki a változók számát. Válasszon módszert az inverz mátrix kiszámításához. Ezután írja be az adatokat a cellákba, és kattintson a "Számítás" gombra.

×

Figyelem

Törli az összes cellát?

Bezárás Törlés

Adatbeviteli utasítások. A számok egész számok (például 487, 5, -7623 stb.), tizedesjegyek (pl. 67., 102,54 stb.) vagy törtek formájában kerülnek megadásra. A törtet a/b formában kell megadni, ahol a és b egész vagy tizedesjegy. Példák 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 stb.

Mátrix módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására

Tekintsük a következő lineáris egyenletrendszert:

Adva az inverz mátrix definícióját, megvan A −1 A=E, Ahol E- identitásmátrix. Ezért a (4) a következőképpen írható fel:

Így az (1) (vagy (2)) lineáris egyenletrendszer megoldásához elegendő az inverzét megszorozni. A mátrix kényszervektoronként b.

Példák lineáris egyenletrendszer megoldására mátrix módszerrel

1. példa Oldja meg a következő lineáris egyenletrendszert mátrix módszerrel:

Határozzuk meg az A mátrix inverzét a Jordan-Gauss módszerrel. A mátrix jobb oldalán AÍrjuk fel az identitásmátrixot:

A főátló alatti mátrix 1. oszlopának elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá a 2,3 sorokat az 1-es sorral, szorozva -1/3-mal, -1/3-mal:

A főátló alatti mátrix 2. oszlopának elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá a 3. sort a 2. sor és -24/51 szorzatával:

A mátrix 2. oszlopának főátló feletti elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá az 1. sort a 2. sor szorzatához -3/17-tel:

Válasszuk el a mátrix jobb oldalát. A kapott mátrix az inverz mátrix A :

Lineáris egyenletrendszer felírásának mátrixa: Ax=b, Ahol

Számítsuk ki a mátrix összes algebrai komplementerét A:

,

,

,

,

,

Ahol A ij − mátrixelem algebrai komplementere A, a kereszteződésben található én-edik sor és j-edik oszlop, és Δ a mátrix determinánsa A.

Az inverz mátrix képlet segítségével a következőket kapjuk:

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete