Ennek a demónak a története a következő: egy nap egy barátom bolygótérkép generátort készített a játékához, és azt akarta, hogy az így elkészített térképek forgó gömbként jelenjenek meg. Azonban nem akart 3D grafikát használni, hanem sok képkockát generált ezzel a gömbre forgatva. különböző szögekből. A felhasznált memória mennyisége... mondjuk túlzás volt, és a képkocka generálás sebessége (valamint a végrehajtás minősége) nagyon megszenvedte. Kis gondolkodás után sikerült segíteni neki ennek a folyamatnak a optimalizálásában, de összességében nem tudtam elhessegetni azt a tisztességes érzést, hogy ez OpenGL-nek van, és egyáltalán nem 2D-s grafikának.

Így aztán egy nap, amikor álmatlanságban szenvedtem, úgy döntöttem, hogy megpróbálom kombinálni ezt a két megközelítést: rajzolok egy forgó gömböt (amely fölé feszített bolygótérképpel) az OpenGL-en keresztül, de ugyanakkor laposan hagyom.

És azt kell mondanom, hogy sikerült. De először a dolgok.

A folyamat matematikája

Először is határozzuk meg magát a feladatot. A képernyő minden pontjához két képernyőkoordinátánk van a derékszögű koordinátarendszerben, és meg kell találnunk gömbi koordináták(valójában a szélesség és hosszúság), amelyek lényegében a bolygótérkép textúra-koordinátái.

Így. Transzfer innen Descartes-rendszer a gömb alakú koordinátákat egy egyenletrendszer adja (a Wikipédiából vettük):

és a fordított átmenet - a következő egyenletekkel:

Koordináta Z onnan könnyen eljuthatunk xÉs Y, ismerve a sugarat, és magát a sugarat is egyenlőnek vehetjük eggyel.
A jövőben megegyezünk abban, hogy a fenti egyenleteket a fogalmak felcserélésével némileg módosítjuk Y(nekünk ez lesz a képernyő függőleges) és Z(ez lesz a jelenet mélysége).

Műszaki rész

Az ötlet megvalósításához szükség lesz egy quad használatára (a használatáról már írtam, ezért nem ismétlem meg, főleg, hogy lent található egy link a projekt teljes forráskódjához), valamint két textúrák: maga a bolygótérkép (2048x1024-es Föld textúrát használtam) és textúra koordináta térképek. A második textúragenerációs kód szépen megismétli a konverziós matematikát Derékszögű koordináták gömb alakúra:

Int texSize = 1024; dupla r = texSize * 0,5; int pixel = új int; for (int sor = 0, idx = 0; sor< texSize; row++) { double y = (r - row) / r; double sin_theta = Math.sqrt(1 - y*y); double theta = Math.acos(y); long v = Math.round(255 * theta / Math.PI); for (int col = 0; col < texSize; col++) { double x = (r - col) / r; long u = 0, a = 0; if (x >= -sin_theta && x<= sin_theta) { double z = Math.sqrt(1 - y*y - x*x); double phi = Math.atan2(z, x); u = Math.round(255 * phi / (2 * Math.PI)); a = Math.round(255 * z); } pixels = (int) ((a << 24) + (v << 8) + u); } } GLES20.glGenTextures(1, genbuf, 0); offsetTex = genbuf; if (offsetTex != 0) { GLES20.glBindTexture(GLES20.GL_TEXTURE_2D, offsetTex); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_MIN_FILTER, GLES20.GL_NEAREST); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_MAG_FILTER, GLES20.GL_NEAREST); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_WRAP_S, GLES20.GL_NONE); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_WRAP_T, GLES20.GL_NONE); GLES20.glTexImage2D(GLES20.GL_TEXTURE_2D, 0, GLES20.GL_RGBA, texSize, texSize, 0, GLES20.GL_RGBA, GLES20.GL_UNSIGNED_BYTE, IntBuffer.wrap(pixels)); }

Vegye figyelembe, hogy a koordináták xÉs Y tartományról tartományra fordítják [-1..1] és textúra koordinátáit UÉs V radiánokból a tartományba konvertálódnak, majd a 32 bites textúra piros és zöld komponenseire íródnak. Az alfa-csatorna a "mélység" (koordináták) megőrzésére szolgál Z), a kék pedig egyelőre nem használt. A bilineáris szűrés letiltása sem véletlen: ebben a szakaszban nem ad semmilyen hatást (a szomszédos pontok mindenesetre ugyanazok az értékek, meglehetősen éles ugrásokkal), és amiben most mutatom, az káros lesz. De erről lentebb bővebben.

Privát végső karakterlánc quadFS = "precíziós mediump float;n" + "uniform sampler2D uTexture0;n" + "uniform sampler2D uTexture1;n" + "uniform float uOffset;n" + "variing vec4 TexCoord0;n" + "void main() (n" + " vec4 vTex = textúra2D(uTexture0, TexCoord0.xy);n" + " vec3 vOff = vTex.xyz * 255.0;n" + " float hiY = floor(vOff.y / 16.0);n" + " float loY = vOff.y - 16.0 * hiY;n" + " vec2 vCoord = vec2(n" + " (256.0 * loY + vOff.x) / 4095.0 + uOffset,n" + " (vOff.z * 16.0 + hiY ) / 4095.0);n" + " vec3 vCol = texture2D(uTexture1, vCoord).rgb;n" + " gl_FragColor = vec4(vCol * vTex.w, (vTex.w > 0,0 ? 1,0: 0,0));n" + ")n";

Nos, az teljesen más kérdés! Kisebb változtatásokkal (csípős nagyítás és ujjforgatás hozzáadásával) megmutattam ezt a programot barátaimnak, kollégáimnak, és egyben megkérdeztem, szerintük hány háromszög van ebben a jelenetben. Az eredmények változatosak voltak, és maga a kérdés is felvett egy trükk gyanúját (ebben az esetben a válaszadók „egyet” vicceltek, ami nem állt messze az igazságtól), de a helyes válasz következetesen meglepett. És mindenki egyként kérdezte: miért lehet egy gömböt egy tengely körül forgatni, de dönteni nem?... Hmm.

Lejtő

De az a tény, hogy ebben a rendszerben a lejtőt sokkal nehezebb megvalósítani. Tény, hogy a feladat nem megoldhatatlan, sőt meg is birkózom vele, de azért voltak apróságok.

Lényegében a feladat az eltolt koordináta felvételében merül ki V, míg a koordináta U nem változik: ez azért történik, mert hozzáadjuk a tengely körüli forgást x. A terv a következő: textúra koordinátákat konvertálunk képernyőkoordinátákká ([-1..1] tartományban), rájuk alkalmazunk egy elforgatási mátrixot a vízszintes tengely körül (ehhez előre írunk egy új állandót uTilt a dőlésszög szinuszát és koszinuszát), majd az új koordinátát használjuk Y mintavételhez a sablon textúránkban. "Elforgatott" koordináta Z Számunkra is hasznos lesz, segítségével a hosszúságot tükrözzük a labda hátsó oldalára). Képernyő koordinátája Z explicit módon kell kiszámítania, hogy ne készítsen két textúra mintát egy textúrából, ugyanakkor ez növeli a pontosságát.

Privát végső karakterlánc quadFS = "precíziós mediump float;n" + "uniform sampler2D uTexture0;n" + "uniform sampler2D uTexture1;n" + "uniform float uOffset;n" + "uniform vec2 uTilt;n" + "változó vec4 TexCoord0; n" + "void main() (n" + " float sx = 2.0 * TexCoord0.x - 1.0;n" + " float sy = 2.0 * TexCoord0.y - 1.0;n" + " float z2 = 1.0 - sx * sx - sy * sy;n" + " if (z2 > 0.0) (;n" + " float sz = sqrt(z2);n" + " float y = (sy * uTilt.y - sz * uTilt.x + 1.0) * 0.5;n" + " float z = (sy * uTilt.x + sz * uTilt.y);n" + " vec4 vTex = texture2D(uTexture0, vec2(TexCoord0.x, y));n" + " vec3 vOff = vTex.xyz * 255.0;n" + " float hiY = floor(vOff.y / 16.0);n" + " float loY = vOff.y - 16.0 * hiY;n" + " vec2 vCoord = vec2( n" + " (256,0 * loY + vOff.x) / 4095,0,n" + " (vOff.z * 16,0 + hiY) / 4095,0);n" + " if (z)< 0.0) { vCoord.x = 1.0 - vCoord.x; }n" + " vCoord.x += uOffset;n" + " vec3 vCol = texture2D(uTexture1, vCoord).rgb;n" + " gl_FragColor = vec4(vCol * sz, 1.0);n" + " } else {n" + " gl_FragColor = vec4(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);n" + " }n" + "}n";

Hurrá, a tiltás sikerült! De a furcsa zaj a féltekék határán kissé zavaró. Sajnos ezzel még nem tudtam megbirkózni. Nyilvánvalóan a probléma a határpontok elégtelen címzési pontosságában rejlik (maga a kör pontjai túl nagy koordináta-tartománynak felelnek meg, egy texel egy elég észrevehető hosszúságú intervallumon terül el), és nem valószínű, hogy bármi is megtörténhet. tett róla. Nos, de nagyjából ugyanúgy lehet nagyítani és görgetni a labdát, mint a Google Earth-ben. Azzal a különbséggel, hogy itt csak két háromszög van.

Gömbháromszög és a gömbtrigonometria alapképletei

A csillagászatban az égitestek látszólagos helyzetével és mozgásával kapcsolatos számos probléma a gömbháromszögek megoldására vezethető vissza.

A gömb alakú háromszög egy gömb felületén látható ABC ábra, amelyet három nagy kör ívei alkotnak (15. ábra).

A gömbháromszög szögei a gömbháromszög oldalait alkotó nagykörök síkjai közötti kétszögek. Ezeket a szögeket a háromszög oldalainak érintői közötti síkszögek mérik.

Általában azokat a háromszögeket veszik számításba, amelyek szögei és oldalai kisebbek, mint 180°. Az ilyen gömbháromszögeknél a szögek összege mindig nagyobb, mint 180°, de kisebb, mint 540°, és az oldalak összege mindig kisebb, mint 360°. A gömbháromszög három szögének összege és a 180° közötti különbséget σ gömbtöbbletnek nevezzük, azaz.

σ = DA +DB +DC - 180°.

Egy s gömbháromszög területe egyenlő

Ahol R annak a gömbnek a sugara, amelynek felületén háromszög keletkezik.

A gömb alakú háromszög tehát tulajdonságaiban különbözik a lapos háromszögtől, és síkon lévő trigonometriai képletek nem alkalmazhatók rá.

Vegyünk egy ABC gömbháromszöget (15. ábra), amely egy R sugarú gömbön van kialakítva, amelynek középpontja az O pontban van.

Az A csúcsból AD és AE érintőket húzunk a b és c oldalra, amíg nem metszik az OS és 0B sugarak kiterjesztését, a megfelelő érintővel egy síkban fekve. Az egyenes D és E metszéspontjainak összekapcsolásával két ADE és ODE lapos ferde háromszöget kapunk, amelyek közös oldala DE. Az elemi geometria tételeit ezekre a háromszögekre alkalmazva a következőket írjuk:

DE 2 = OD 2 + OE 2 - 2OD × OE × cos a,

DE 2 = AD 2 + AE 2 - 2AD × AE × cos A.

Ha kivonjuk a második egyenlőséget az elsőből, a következőt kapjuk:

2OD × OE × cos a = OD 2 - AD 2 + OE 2 - AE 2 + 2AD × AE × cos A. (1.31)

Az OAE és OAD derékszögű sík háromszögekből ez következik:

OD2-AD2=R2;OE2-AE2=R2;

AD = Rtgb; AE = Rtgs;

Ha ezeket az összefüggéseket behelyettesítjük az (1.31) képletbe, és elvégezzük a megfelelő redukciókat és fordításokat, megkapjuk

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A, (1.32)

azok. Egy gömbháromszög egyik oldalának koszinusza egyenlő a másik két oldala koszinuszainak szorzatával, plusz ugyanazon oldalak szinuszainak szorzatával a köztük lévő szög koszinuszával.

Az (1.32) képlet a háromszög bármely oldalára felírható. Írjuk például a b oldalra:

cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B

és behelyettesítve az (1.32) képletből cos a-t, azt kapjuk

cos b = cos c (cos b cos c + sin b sin c cos A) + sin c sin a cos B.

A zárójeleket kinyitva és a jobb oldalon lévő első tagot balra mozgatva a következőt kapjuk:

cos b (1 - cos 2 s) = sin b sin c cos c cos A + sin c sin a cos B.

Ha lecseréljük (1 - cos 2 s) sin 2 s-re és mindent sin c-vel redukálunk, végül azt kapjuk

sin a cos B = sinc cos b - cos c sin b cos A, (1.33)

azok. az egyik oldal szinuszának a szomszédos szög koszinuszával való szorzata egyenlő a szomszédos szöget korlátozó másik oldal szinuszának a harmadik oldal koszinuszának szorzatával, mínusz az oldal koszinuszának szorzatával, korlátozzuk a szomszédos szöget a harmadik oldal szinuszával és az első oldallal ellentétes szög koszinuszával.

Az (1.33) képletet ötelem képletnek nevezzük. Analógia útján felírható a sin a cos C, sin b cos A, sin b cos C, sin c cos A és sin c cos B szorzatokra.

Oldjuk meg most az (1.32) egyenlőséget cos A vonatkozásában:

Az utolsó egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emelve és 1-ből kivonva a következőket kapjuk:

Ha kinyitjuk a zárójeleket, és a kifejezés mindkét oldalát elosztjuk sin 2 a-val, azt kapjuk

A kapott kifejezés teljesen szimmetrikus a, b és c vonatkozásában, és A-t B-vel, b-t vagy A-t C-vel és a-t c-vel helyettesítve írjuk.

azok. egy gömbháromszög oldalainak szinuszai arányosak a velük szemközti szögek szinuszaival; vagy egy gömbháromszög oldalának szinuszának és az ellentétes szög szinuszának aránya állandó érték.

A három származtatott összefüggés (1.32), (1.33), (1.34) egy gömbháromszög oldalai és szögei között alapvető; belőlük a szférikus trigonometria sok más képlete is előállítható. Egy derékszögű gömbháromszög egyetlen képletének levezetésére szorítkozunk. Tegyük fel A = 90°; akkor sin A = 1, cos A = 0, és az (1.33) képletből kapjuk

sin a cos B = sin c cos b.

Ha ennek az egyenlőségnek a két oldalát elosztjuk a sin b-vel és a helyettesítéssel, az (1.34) szerint, a következőt kapjuk:

ctg B = sin c ctg b

azok. a derékszögű gömbháromszög egyik oldalának érintőjének aránya a szemközti szög érintőjéhez egyenlő a másik oldal szinuszával.

Szférikus trigonometria

Gömb alakú háromszögek. A labda felületén a két pont közötti legrövidebb távolságot egy nagykör kerülete mentén mérjük, vagyis egy olyan kört, amelynek síkja átmegy a labda középpontján. Gömb alakú háromszög csúcsai a labda középpontjából és a gömbfelületből kiinduló három sugár metszéspontja. A felek a, b, c Gömbháromszögnek nevezzük azokat a szögeket, amelyek a sugarak között kisebbek (ha ezek közül az egyik szög egyenlő -vel, akkor a gömbháromszög egy nagykör félkörévé degenerálódik). A háromszög mindkét oldala egy nagykör ívének felel meg a labda felületén (lásd az ábrát).

Szögek A, B, C gömb alakú háromszög, szemközti oldalak a, b, c ennek megfelelően ezek definíció szerint szögek kisebbek, mint egy háromszög oldalainak megfelelő nagykörök ívei, vagy e sugarak által meghatározott síkok közötti szögek.

Szférikus trigonometria gömbháromszögek oldalai és szögei közötti összefüggéseket vizsgálja (például a Föld felszínén és az égi szférán). A fizikusok és mérnökök azonban számos problémában szívesebben alkalmazzák a forgási transzformációkat a gömbi trigonometria helyett.

A gömbháromszögek tulajdonságai. A gömbháromszög minden oldala és szöge értelemszerűen kisebb.

A golyó felületének geometriája nem euklideszi; minden gömbháromszögben az oldalak összege 0 és között van, a szögek összege pedig és között van. Minden gömbháromszögben a nagyobb szög a nagyobb oldallal szemben van. Bármely két oldal összege nagyobb, mint a harmadik oldal, bármely két szög összege kisebb, mint plusz a harmadik szög.

Egy cikk arról, hogy mi a geodéziai kupola egyszerű szavakkal

Ebben a cikkben megpróbáljuk egyszerű szavakkal leírni, mi ez. A geodéziai kupola lényegében egy sok „arcból” (poliéderből) felépített rács, a lehető legközelebb a gömb alakjához.

Ha jobban megnézi, a háromszögek váltak a rács alapjául, nem pedig rombuszok, négyzetek vagy hatszögek. A háromszöget választották az ismert legstabilabb és legtartósabb geometriai szerkezetnek. Ezért a háromszögek szerkezete (esetünkben a geodóm) nagyon erős és önhordó képességekkel rendelkezik. „Támogatja” önmagát, mivel egy integrált szerkezet. Minél több élt használunk az építkezéshez, annál erősebb a hálónk és annál simább lesz a forma.

A geodéziai kupola alapos vizsgálata után észrevehető, hogy a geodéziai rács szerkezete nem kaotikus, hanem szigorú matematikai modellt képvisel. Ez a modell a platóni szilárdtestek geometriájából, a szabályos poliéderekből származik, amelyeket a tudósok fedeztek fel a távoli múltban.

A geodéziai kupola építése a platóni szilárdtesteken alapul, amelyekből összesen öt van, de részletesen csak az Icosahedront fogjuk figyelembe venni, mint a leggyakoribb lehetőséget. Az ikozaéder egy szabályos poliéder, amely 30 egyforma élből áll, amelyek 20 egyenlő oldalú háromszöget hoznak létre.

Tehát nézzük meg a geodéziai kupola építését lépésről lépésre:

1. Először egy adott sugarú gömböt készítünk

3. Mert az ikozaéder minden háromszöge egyenlő, bármelyiket kiválasztjuk és kisebb egyenlő oldalú háromszögekre bontjuk. Esetünkben az ötödik frekvencián történik a meghibásodás (erről később lesz szó). Az ikozaéder kiválasztott kezdőháromszögét 5 kisebb háromszög „sorára” osztjuk. Így kapjuk meg a „lapos” rácselrendezésünket.

4. Ebben a szakaszban a gömb középpontjából kiinduló szegmenseket készítünk. Ezeknek a szegmenseknek át kell haladniuk a kapott háló csatlakozási pontjain, és a gömb felületén kell végződniük.

5. Következő lépésként összekapcsoljuk azoknak a szakaszoknak a csúcsait, amelyek most a gömb felületén helyezkednek el. Van egy háromszögekből álló szerkezetünk, amelynek csúcsai a gömb felületén fekszenek, gyakorlatilag megismétlik annak alakját. Mert az ikozaéder összes kezdeti háromszöge azonos, akkor nyugodtan lemásolhatjuk a kapott hálónkat, így megkapjuk a kívánt geodéziai kupolát vagy gömböt.

Geodéziai kupola háromszögelési frekvencia

A „frekvencia” vagy a „háromszögelési frekvencia” fogalma gyakran megtalálható a geodóm számításokban. Ez azt jelenti, hogy a kupola sűrűsége háromszögekre van osztva. Azok. ugyanaz a kupola különböző számú háromszöggel „leírható”. Például egy kevésbé sűrű elrendezéshez kevesebb háromszögre lesz szükség, de hosszabb élhosszal az alakzat szögletesebb lesz. Sűrűbb bontáshoz nagyobb számú, rövidebb élhosszúságú háromszögre lesz szükség, de a forma egyenletesebb és a gömbhöz közeli lesz.

A világ a szabványos frekvenciajelölést használja a latin „V” betűvel. Az alábbiakban példák találhatók a háromszögelésre az ötödik értékig. Amint látni fogja, a frekvenciaérték száma megegyezik azon „sorok” számával, amelyekre az egyik ikozaéder háromszög fel van osztva.

Ön dönti el, hogy milyen frekvenciát választ geodéziai kupolájához. Ez a paraméter számos paramétertől függ: a kupola méretétől, az anyagok teherbírásától és egyéb jellemzőitől, a bordák hosszától, a hatékonyságtól és az esztétikától.

Egy gömb szakasza

A következő paraméter, amelyet mindenkinek tudnia kell a geodéziai kupola kiszámításakor, a gömb keresztmetszetének értéke. Ha a gömböt egészként tekintjük, akkor többféle részre oszthatjuk. Mert A geodéziai „lebontás” „sorokból” áll, akkor a legkényelmesebb a kupolákat ezen sorok mentén lebontani. A különböző „V” frekvenciájú kupolákban különböző számú „sor” van, így a keresztmetszete mindig egyedi. Az alábbiakban bemutatunk néhány példát különböző frekvenciájú kupolák keresztmetszetére.

Ezen a linken megtekintheti és megtanulhatja, hogyan készíthet geodéziai kupolákat más platóni testek (oktaéder, kocka stb.) alapján

Reméljük, hogy a cikk hasznos volt az Ön számára! Kellemes kreativitást kívánunk!

Sokáig voltak gondolataim a saját ház építéséről, de valahogy érdekes ötletek formájában, amelyeket másoktól is észrevettem az életben vagy a médiában. Itt elképzeltem, hogyan nézne ki egy ház, amely mindezeket az ötleteket testesíti meg - egy rókalyuk (dugout), amely tükörgömbbé változik egy fán: D. Általában egy ideológiai transzformátor, kívül és belül egyaránt.

Most a geodéziai kupolák és ezeknek az elveknek a lakóépületek és egyéb hasznos és ipari építmények (például fészerek, fürdőházak, üvegházak, ólak, műhelyek, hangárok) építéséhez való alkalmazási technológiái érdekelnek.

Idén nyáron (2011) volt lehetőségem élőben is megfigyelni, sőt, egy picit segítettem egy lakossági geodéziai kupola építésében is (fotó a bal oldalon).

És most érdekes információkra bukkantam róluk, beleástam magam, és úgy döntöttem, írok egy cikket a jövőre nézve... egyfajta csalólapot, hogy gyorsan emlékezzem és megtaláljam. Tehát amint elérhetővé válik az információ, frissítem a cikket. Biztos vagyok benne, hogy hasznos lesz az oldal olvasói számára.

Itt vannak:

Röviden a történelemről és arról, hogy mit jelent a „geodézia”..

Szokás szerint minden új az elfeledett régi.

Geo- Földgömbünk

Továbbra is D... - oszt (az ókori görögök osztották és mérték... és nem csak ők)

Tehát, ha nem megy bele az íves terek térbeli és differenciálgeometriájába))), akkor ez egy gömb egy részéből készült kupola, vagy inkább egy gömb alakú poliéder, mivel a Földet a felületén lévő pontok mérik, amelyek esetünkben ennek a poliédernek a csúcsai. Fontos jellemzője a csúcsok és az ideális gömbre hajló lapok optimális elosztása. Általában ikozaéder (20 háromszöglap) vagy dodekaéder (12 ötszögletű lap) alapján épül fel.

Folytatás a következő oldalon.
1      

[megjegyzések/vita]