A funkció simasága. Sima funkció

A definíciók teljes halmazán.

Alapok

Szintén figyelembe véve sima funkciók magasabb rendű, nevezetesen egy funkcióval simasági sorrend $r$ folytonos sorrendi deriváltja van $r$ . Számos ilyen funkció van meghatározva a területen $\Omega$ által jelölve $C^r(\Omega)$ . $f\in C^\infty(\Omega)$ azt jelenti $f\in C^r(\Omega)$ bárkinek $r$ , A $f\in C^\omega(\Omega)=C^a(\Omega)$ azt jelenti $f$ - elemző.

Például, $C^0(\Omega)$ - egy sor folyamatos $\Omega$ funkciók, és $C^1(\Omega)$ - folyamatosan differenciálható be $\Omega$ funkciókat, azaz olyan függvények, amelyek ennek a tartománynak minden pontjában folytonos deriválttal rendelkeznek.

Ha a simasági sorrendet nem adjuk meg, akkor általában elegendőnek tekintjük, hogy az aktuális érvelés során a funkción végrehajtott összes művelet értelmes legyen.

Mert finom elemzés a differenciálható függvények osztályai is bevezetik a fogalmat töredékes simaság egy pontban vagy a Hölder-kitevő, amely a fentieket összefoglalja a felsorolt fogalmak simaság.

Funkció $f$ osztályhoz tartozik $C^(r,\;\alpha)$ , Hol $r$ - egész nem negatív számÉs $0<\alpha\leqslant 1$ , ha rendelésre vannak származékai $r$ inkluzív és $f^((r))$ Hölder kitevővel $\alpha$ .

A lefordított irodalomban a „Hölder-kitevő” kifejezés mellett a „Lipschitz-kitevő” kifejezést is használják.

Folyamatosan differenciálható függvények közelítése analitikus függvényekkel

Hadd $\Omega$ benyitni $\R^n$ És $f\in C^k(\Omega)$ , $0\leqslant k\leqslant\infty$ . Hadd $$K_p$$ - kompakt részhalmazok sorozata $\Omega$ olyan hogy $K_0=\varnothing$ , $K_p\alhalmaz K_(p+1)$ És $\bigcup K_p=\Omega$ . Hadd $$n_p$$ - pozitív egész számok tetszőleges sorozata és $m_p=\min(k,\;n_p)$ . Végül hagyjuk $$\varepszilon_p$$ - pozitív számok tetszőleges sorozata. Aztán van $\R$ - analitikus funkció $g$ V $\Omega$ olyan, hogy mindenkinek $p\geqslant 0$ :

$||f-g||^(K_(p+1)\backslash K_p)_(m_p)<\varepsilon_p.$

Lásd még

Írjon véleményt a "Sima funkció" cikkről

A sima funkciót jellemző kivonat

Amikor Nikoluskát elvitték, Marya hercegnő ismét odament bátyjához, megcsókolta, és mivel nem tudott tovább ellenállni, sírni kezdett.
A férfi figyelmesen nézett rá.
- Nikolushkáról beszélsz? - mondta.
Marya hercegnő sírva hajtotta le a fejét.
– Marie, ismered Evant… – de hirtelen elhallgatott.
-Mit mondasz?
- Semmit. Itt nem kell sírni – mondta, és ugyanazzal a hideg tekintettel nézett rá.

Amikor Marya hercegnő sírni kezdett, rájött, hogy azért sír, hogy Nikolushka apa nélkül marad. Nagy erőfeszítéssel megpróbált visszatérni az életbe, és eljutott a nézőpontjukhoz.
„Igen, bizonyára szánalmasnak találják! - gondolta. – Milyen egyszerű!
„Az ég madarai nem vetnek és nem aratnak, de apád eteti őket” – mondta magában, és ugyanezt akarta mondani a királylánynak is. „De nem, meg fogják érteni a maguk módján, nem fogják megérteni! Amit nem tudnak megérteni, az az, hogy ezek az érzések, amelyeket értékelnek, mind a miénk, és ezek a gondolatok, amelyek annyira fontosak számunkra, hogy nincs rájuk szükség. Nem érthetjük meg egymást." - És elhallgatott.

Andrej herceg kisfia hét éves volt. Alig tudott olvasni, nem tudott semmit. Sokat tapasztalt e nap után, tudást, megfigyelést és tapasztalatot szerzett; de ha akkor rendelkezett volna mindezekkel a később megszerzett képességekkel, nem tudta volna jobban, mélyebben megérteni annak a jelenetnek a teljes jelentését, amelyet apja, Marya hercegnő és Natasa között látott, mint most. Mindent megértett, és sírás nélkül elhagyta a szobát, némán odalépett Natasához, aki követte őt, és félénken nézett rá elgondolkodó, gyönyörű szemekkel; felemelt, rózsás felső ajka megremegett, neki hajtotta a fejét és sírni kezdett.
Attól a naptól fogva kerülte Desalles-t, kerülte az őt simogató grófnőt, és vagy egyedül ült, vagy félénken közeledett Marya hercegnőhöz és Natasához, akiket úgy tűnt, még a nagynénjénél is jobban szeret, és csendesen, félénken simogatta őket.
Marya hercegnő, aki elhagyta Andrei herceget, teljesen megértett mindent, amit Natasa arca mondott neki. Többé nem beszélt Natasának az életének megmentésének reményéről. Felváltva ült vele a díványánál, és nem sírt többé, hanem szüntelenül imádkozott, lelkét az örökkévaló, felfoghatatlan felé fordítva, akinek jelenléte most olyan tapintható volt a haldokló felett.

Andrej herceg nemcsak tudta, hogy meg fog halni, de érezte is, hogy haldoklik, hogy már félig halott. Megtapasztalta a minden földitől való elidegenedés tudatát és a lét örömteli és furcsa könnyedségét. Sietés és aggodalom nélkül várta, ami előtte áll. Az a fenyegető, örök, ismeretlen és távoli, amelynek jelenlétét egész életében nem szűnt meg érezni, most közel volt hozzá, és - a lét különös könnyedsége miatt, amit átélt - szinte érthető és érezhető.

A definíciók teljes halmazán. Nagyon gyakran alatta sima A függvények olyan függvényeket jelentenek, amelyeknek minden rendjének folytonos deriváltjai vannak.

Alapok[ | ]

A magasabb rendű sima függvények is számításba jönnek, nevezetesen a -val függvény simasági sorrend r ⩾ 0 (\displaystyle r\geqslant 0) ig minden rendből folyamatos deriváltja van r (\displaystyle r) inkluzív (a nulladrendű derivált maga a függvény). Az ilyen függvényeket ún r (\displaystyle r)-sima. Sok r (\displaystyle r)-a tartományban meghatározott sima függvényeket jelöli C r (Ω) (\displaystyle C^(r)(\Omega)). Rekord f ∈ C ∞ (Ω) (\displaystyle f\in C^(\infty )(\Omega)) azt jelenti f ∈ C r (Ω) (\displaystyle f\in C^(r)(\Omega)) bárkinek r (\displaystyle r), az ilyen függvényeket nevezzük végtelenül-sima(néha sima függvények alatt végtelenül sima függvényeket értünk). Néha a jelölést is használják f ∈ C ω (Ω) (\displaystyle f\in C^(\omega )(\Omega)) vagy f ∈ C a (Ω) (\displaystyle f\in C^(a)(\Omega)), ami azt jelenti f (\displaystyle f)- elemző.

Például, C 0 (Ω) (\displaystyle C^(0)(\Omega))- egy sor folyamatos Ω (\displaystyle \Omega) funkciók, és C 1 (Ω) (\displaystyle C^(1)(\Omega))- folyamatosan differenciálható be Ω (\displaystyle \Omega) függvények, vagyis olyan függvények, amelyeknek ennek a tartománynak minden pontjában folytonos deriváltjuk van.

Ha a simasági sorrendet nem adjuk meg, akkor általában elegendőnek tekintjük, hogy az aktuális érvelés során a funkción végrehajtott összes művelet értelmes legyen.

Közelítés analitikai függvényekkel[ | ]

Hagyja a területet Ω (\displaystyle \Omega)órakor nyitva R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))És f ∈ C k (Ω) (\displaystyle f\in C^(k)(\Omega)), 0 ⩽ k ⩽ ∞ (\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty ). Hadd ( K p ) (\megjelenítési stílus $K_(p)$)- kompakt részhalmazok sorozata Ω (\displaystyle \Omega) olyan hogy K 0 = ∅ (\displaystyle K_(0)=\varnothing ), K p ⊂ K p + 1 (\displaystyle K_(p)\subset K_(p+1))És ⋃ K p = Ω (\displaystyle \bigcup K_(p)=\Omega). Hadd ( n p ) (\megjelenítési stílus $n_(p)$)- pozitív egész számok tetszőleges sorozata és m p = min (k , n p) (\displaystyle m_(p)=\min(k,\;n_(p))). Végül hagyjuk ( ε p ) (\displaystyle $\varepsilon _(p)$)- pozitív számok tetszőleges sorozata. Aztán van egy valós analitikus függvény g (\displaystyle g)-ban meghatározott Ω (\displaystyle \Omega) olyan, hogy mindenkinek p ⩾ 0 (\displaystyle p\geqslant 0) az egyenlőtlenség teljesül

‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p)< ε p , {\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},}

Ahol ‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p) (\displaystyle \|f-g\|_(C^(m_(p)))((K_(p+1)\backslash K_(p))) )) jelöli a normák maximumát (az egyenletes konvergencia értelmében, vagyis a modulus maximumát a halmazon K p + 1 ∖ K p (\displaystyle (K_(p+1)\backslash K_(p)))) a függvény származékai f − g (\displaystyle f-g) minden rendelés nullától m p (\displaystyle (m_(p))) inkluzív.

Differenciálódási pontjai sűrűn helyezkednek el rajta és folytonosak. Vannak olyan folytonos függvények, amelyek a számegyenesen simák és nem differenciálhatók. G. f. a lokális szélsőség minden pontján deriváltja van, és ennek köszönhetően a differenciálszámítás alaptételei sima folytonos függvényekre érvényesek - Rolle, Lagrange, Cauchy tételei,

Darboux és mások V. F.

Matematikai enciklopédia. - M.: Szovjet Enciklopédia.

I. M. Vinogradov.

1977-1985.

Nézze meg, mi a "SMOOTH FUNCTION" más szótárakban: Vagy a folytonosan differenciálható függvény olyan függvény, amelynek folytonos deriváltja van a teljes definíciós halmazon. Alapvető információk A magasabb rendű sima függvényeket is figyelembe vesszük, nevezetesen egy simasági sorrendű függvénynek ... ... Wikipédia

Sima funkció- olyan függvény, amelynek minden parciális deriváltja – r-ig beleértve – folytonos. Ez azt jelenti, hogy "az r rend simasága". ... sima funkció

- Olyan függvény, amelynek parciális deriváltjai r-ig, beleértve a folytonosak. Ez azt jelenti, hogy "r sorrend simasága".

Témák: közgazdaságtan HU gördülékeny működés…

Műszaki fordítói útmutató A darabonkénti sima függvény a valós számok halmazán meghatározott függvény, amely a definíciós tartományt alkotó minden intervallumon differenciálható. Formális definíció Legyen megadva a képletek változási pontjai. Mint minden darabonként... ... Wikipédia

- egy sima függvény egy olyan elosztón, amely nem degenerált kritikus pontokkal rendelkezik. A Morse-függvények a Morse-elméletből származnak és használatosak, a differenciáltopológia egyik fő eszköze. Tartalom 1 Definíció 2 Tulajdonságok ... Wikipédia

Egy sima funkció, amely bizonyos speciális tulajdonságokkal rendelkezik. M. f. felmerülnek és használják a Morse-elméletben. Legyen egy sima Hilbert komplett (valamilyen Riemann-metrikához képest) sokaság (például véges dimenziós), amelynek határa... ... A darabonkénti sima függvény a valós számok halmazán meghatározott függvény, amely a definíciós tartományt alkotó minden intervallumon differenciálható. Formális definíció Legyen megadva a képletek változási pontjai. Mint minden darabonként... ... Wikipédia

A sima függvény fogalmának általánosítása, beleértve a sima, konvex, darabonkénti lineáris függvényeket. Definíció Egy függvényt félsimának nevezünk, ha minden pontban van olyan lineáris operátorok részhalmaza, hogy bármely sorozathoz ... Wikipédia

Spline függvény- darabonkénti sima függvény az idősorok igazításához. Alkalmazása S. f. a szokásos trendfüggvények helyett akkor hatásos, ha a sorozat trendje és iránya megváltozik a vizsgált időszakban. S. f. segít...... Közgazdasági és matematikai szótár

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete