Folyamatos és sima függvények szélsőségeinek tulajdonságai. Sima funkció

Differenciálódási pontjai sűrűn helyezkednek el rajta és folytonosak. Vannak olyan folytonos függvények, amelyek a számegyenesen simák és nem differenciálhatók. G. f. a lokális szélsőérték minden pontjában van deriváltja, és ennek köszönhetően a simára folyamatos funkciók a fő tételek érvényben maradnak differenciálszámítás- Rolle, Lagrange, Cauchy tételei,

Darboux és mások V. F.

Matematikai Enciklopédia. - M.: Szovjet Enciklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Nézze meg, mi a "SMOOTH FUNCTION" más szótárakban:

Vagy a folytonosan differenciálható függvény olyan függvény, amelynek folytonos deriváltja van a teljes definíciós halmazon. Alapvető információk Szintén figyelembe kell venni sima funkciók magasabb rendűek, nevezetesen egy simasági sorrendű függvénynek van... ... Wikipédia

Sima funkció- olyan függvény, amelynek minden parciális deriváltja – r-ig beleértve – folytonos. Ez azt jelenti, hogy "az r rend simasága". ...

sima funkció- Olyan függvény, amelynek parciális deriváltjai – r-ig, ideértve – folytonosak. Ez azt jelenti, hogy "r sorrend simasága". Témák: közgazdaságtan HU gördülékeny működés… Műszaki fordítói útmutató

A darabonkénti sima függvény a valós számok halmazán definiált függvény, amely a definíciós tartományt alkotó minden intervallumon differenciálható. Formális meghatározás Legyenek adottak a képlet változási pontjai. Mint minden darabonként... ... Wikipédia

- egy sima függvény egy nem degenerált elosztón kritikus pontok. A Morse-függvények a Morse-elméletből származnak és használatosak, a differenciáltopológia egyik fő eszköze. Tartalom 1 Definíció 2 Tulajdonságok ... Wikipédia

Sima funkció, amely bizonyos speciális tulajdonságokkal rendelkezik. M. f. felmerülnek és használják a Morse-elméletben. Legyen egy sima Hilbert komplett (valamilyen Riemann-metrikához képest) sokaság (például véges dimenziós), amelynek határa... ... Matematikai Enciklopédia

Darabosan adott funkciót a valós számok halmazán meghatározott függvény, amelyet a definíciós tartományt alkotó intervallumok mindegyikén külön képlettel definiálunk. Formális definíció és hozzárendelés Legyen megadva a képletek változási pontjai... Wikipédia

1) P. f. a trigonometrikus sorozatok elméletében egy függvény, amelyet B. Riemann (B. Riemann, 1851) vezetett be (ld.) a trigonometrikus függvény ábrázolhatóságának vizsgálatára. közel. Adjunk meg egy sorozatot (*) korlátozott... ... Matematikai Enciklopédia

A sima függvény fogalmának általánosítása, beleértve a sima, konvex, darabonkénti függvényeket lineáris függvények. Definíció Egy függvényt félsimának nevezünk, ha minden pontban van olyan lineáris operátorok részhalmaza, hogy bármely sorozathoz ... Wikipédia

Spline függvény- darabonkénti sima függvény az idősorok igazításához. Alkalmazása S. f. a szokásos trendfüggvények helyett akkor hatásos, ha a sorozat trendje és iránya megváltozik a vizsgált időszakban. S. f. segít...... Közgazdasági és matematikai szótár

A definíciók teljes halmazán.

Alapinformációk

A magasabb rendű sima függvények is számításba jönnek, nevezetesen a -val függvény simasági sorrend $r$ folytonos sorrendi deriváltja van $r$ . Számos ilyen funkció van meghatározva a területen $\Omega$ által jelölve $C^r(\Omega)$ . $f\in C^\infty(\Omega)$ azt jelenti, hogy $f\in C^r(\Omega)$ bárkinek $r$ , A $f\in C^\omega(\Omega)=C^a(\Omega)$ azt jelenti, hogy $f$ - elemző.

Például, $C^0(\Omega)$ - egy sor folyamatos $\Omega$ funkciók, és $C^1(\Omega)$ - folyamatosan differenciálható be $\Omega$ funkciókat, azaz olyan függvények, amelyek ennek a tartománynak minden pontjában folytonos deriválttal rendelkeznek.

Ha a simasági sorrendet nem adjuk meg, akkor általában elegendőnek tekintjük, hogy az aktuális érvelés során a funkción végrehajtott összes művelet értelmes legyen.

Mert finom elemzés a differenciálható függvények osztályai is bevezetik a fogalmat töredékes simaság egy ponton vagy a Hölder-kitevőt, amely a fentieket összefoglalja a felsorolt fogalmak simaság.

Funkció $f$ osztályhoz tartozik $C^(r,\;\alpha)$ , Ahol $r$ - egész nem negatív számÉs $0<\alpha\leqslant 1$ , ha rendelésre vannak származékai $r$ inkluzív és $f^((r))$ Hölder kitevővel $\alpha$ .

A lefordított irodalomban a „Hölder-kitevő” kifejezés mellett a „Lipschitz-kitevő” kifejezést is használják.

Folyamatosan differenciálható függvények közelítése analitikus függvényekkel

Hadd $\Omega$ benyitni $\R^n$ És $f\in C^k(\Omega)$ , $0\leqslant k\leqslant\infty$ . Hadd $$K_p$$ - kompakt részhalmazok sorozata $\Omega$ oly módon, hogy $K_0=\varnothing$ , $K_p\alhalmaz K_(p+1)$ És $\bigcup K_p=\Omega$ . Hadd $$n_p$$ - pozitív egész számok tetszőleges sorozata és $m_p=\min(k,\;n_p)$ . Végül hagyjuk $$\varepszilon_p$$ - pozitív számok tetszőleges sorozata. Aztán van $\R$ - analitikus funkció $g$ V $\Omega$ olyan, hogy mindenkinek $p\geqslant 0$ :

$||f-g||^(K_(p+1)\backslash K_p)_(m_p)<\varepsilon_p.$

Lásd még

Írjon véleményt a "Sima funkció" cikkről

A sima funkciót jellemző kivonat

Amikor Nikoluskát elvitték, Marya hercegnő ismét odament bátyjához, megcsókolta, és mivel nem tudott tovább ellenállni, sírni kezdett.
A férfi figyelmesen nézett rá.
– Nikolushkáról beszélsz? - ő mondta.
Marya hercegnő sírva hajtotta le a fejét.
– Marie, ismered Evant... – de hirtelen elhallgatott.
- Mit mondasz?
- Semmi. Itt nem kell sírni – mondta, és ugyanolyan hideg tekintettel nézett rá.

Amikor Marya hercegnő sírni kezdett, rájött, hogy azért sír, hogy Nikolushka apa nélkül marad. Nagy erőfeszítéssel megpróbált visszatérni az életbe, és eljutott a nézőpontjukhoz.
„Igen, bizonyára szánalmasnak találják! - azt gondolta. - Milyen egyszerű!
„Az ég madarai nem vetnek és nem aratnak, de apád eteti őket” – mondta magában, és ugyanezt akarta mondani a királylánynak is. „De nem, meg fogják érteni a maguk módján, nem fogják megérteni! Amit nem tudnak megérteni, az az, hogy ezek az érzések, amelyeket értékelnek, mind a miénk, és ezek a gondolatok, amelyek annyira fontosak számunkra, hogy nincs rájuk szükség. Nem érthetjük meg egymást." - És elhallgatott.

Andrej herceg kisfia hét éves volt. Alig tudott olvasni, nem tudott semmit. Sokat tapasztalt e nap után, tudást, megfigyelést és tapasztalatot szerzett; de ha akkor rendelkezett volna mindezekkel a később megszerzett képességekkel, nem tudta volna jobban, mélyebben megérteni annak a jelenetnek a teljes jelentését, amelyet apja, Marya hercegnő és Natasa között látott, mint most. Mindent megértett, és sírás nélkül elhagyta a szobát, némán odalépett Natasához, aki követte őt, és félénken nézett rá elgondolkodó, gyönyörű szemekkel; felemelt, rózsás felső ajka megremegett, neki hajtotta a fejét és sírni kezdett.
Ettől a naptól fogva kerülte Desalles-t, kerülte az őt simogató grófnőt, és vagy egyedül ült, vagy félénken közeledett Marya hercegnőhöz és Natasához, akiket úgy tűnt, még jobban szeret, mint a nagynénjét, és csendesen, félénken simogatta őket.
Marya hercegnő, aki elhagyta Andrei herceget, teljesen megértett mindent, amit Natasha arca mondott neki. Többé nem beszélt Natasának az életének megmentésének reményéről. Felváltva ült vele a díványánál, és nem sírt többé, hanem szüntelenül imádkozott, lelkét az örökkévaló, felfoghatatlan felé fordítva, akinek jelenléte most olyan tapintható volt a haldokló felett.

Andrej herceg nemcsak tudta, hogy meg fog halni, de érezte is, hogy haldoklik, hogy már félig halott. Megtapasztalta a minden földitől való elidegenedés tudatát és a lét örömteli és furcsa könnyedségét. Sietés és aggodalom nélkül várta, ami előtte áll. Az a fenyegető, örök, ismeretlen és távoli, amelynek jelenlétét egész életében nem szűnt meg érezni, most közel volt hozzá, és - a lét különös könnyedsége miatt, amit átélt - szinte érthető és érezhető.

A definíciók teljes halmazán. Nagyon gyakran alatta sima A függvények olyan függvényeket jelentenek, amelyeknek minden rendjének folytonos deriváltjai vannak.

Alapinformációk[ | ]

A magasabb rendű sima függvények is számításba jönnek, nevezetesen a -val függvény simasági sorrend r ⩾ 0 (\displaystyle r\geqslant 0) ig minden rendből folyamatos deriváltja van r (\displaystyle r) inkluzív (a nulladrendű derivált maga a függvény). Az ilyen függvényeket ún r (\displaystyle r)-sima. Egy csomó r (\displaystyle r)-a tartományban meghatározott sima függvényeket jelöli C r (Ω) (\displaystyle C^(r)(\Omega)). Rekord f ∈ C ∞ (Ω) (\displaystyle f\in C^(\infty )(\Omega)) azt jelenti, hogy f ∈ C r (Ω) (\displaystyle f\in C^(r)(\Omega)) bárkinek r (\displaystyle r), az ilyen függvényeket nevezzük végtelenül-sima(néha sima függvények alatt végtelenül sima függvényeket értünk). Néha a jelölést is használják f ∈ C ω (Ω) (\displaystyle f\in C^(\omega )(\Omega)) vagy f ∈ C a (Ω) (\displaystyle f\in C^(a)(\Omega)), ami azt jelenti f (\displaystyle f)- elemző.

Például, C 0 (Ω) (\displaystyle C^(0)(\Omega))- egy sor folyamatos Ω (\displaystyle \Omega) funkciók, és C 1 (Ω) (\displaystyle C^(1)(\Omega))- folyamatosan differenciálható be Ω (\displaystyle \Omega) függvények, vagyis olyan függvények, amelyeknek ennek a tartománynak minden pontjában folytonos deriváltjuk van.

Ha a simasági sorrendet nem adjuk meg, akkor általában elegendőnek tekintjük, hogy az aktuális érvelés során a funkción végrehajtott összes művelet értelmes legyen.

Közelítés analitikai függvényekkel[ | ]

Hagyja a területet Ω (\displaystyle \Omega)órakor nyitva R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))És f ∈ C k (Ω) (\displaystyle f\in C^(k)(\Omega)), 0 ⩽ k ⩽ ∞ (\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty ). Hadd ( K p ) (\megjelenítési stílus $K_(p)$)- kompakt részhalmazok sorozata Ω (\displaystyle \Omega) oly módon, hogy K 0 = ∅ (\displaystyle K_(0)=\varnothing ), K p ⊂ K p + 1 (\displaystyle K_(p)\subset K_(p+1))És ⋃ K p = Ω (\displaystyle \bigcup K_(p)=\Omega). Hadd ( n p ) (\megjelenítési stílus $n_(p)$)- pozitív egész számok tetszőleges sorozata és m p = min (k , n p) (\displaystyle m_(p)=\min(k,\;n_(p))). Végül hagyjuk ( ε p ) (\displaystyle $\varepsilon _(p)$)- pozitív számok tetszőleges sorozata. Aztán van egy valós-analitikus függvény g (\displaystyle g)-ban meghatározott Ω (\displaystyle \Omega) olyan, hogy mindenkinek p ⩾ 0 (\displaystyle p\geqslant 0) az egyenlőtlenség teljesül

‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p)< ε p , {\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},}

Ahol ‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p) (\displaystyle \|f-g\|_(C^(m_(p)))((K_(p+1)\backslash K_(p))) )) jelöli a normák maximumát (az egyenletes konvergencia értelmében, azaz a modulus maximumát a halmazon K p + 1 ∖ K p (\displaystyle (K_(p+1)\backslash K_(p)))) a függvény származékai f − g (\displaystyle f-g) minden rendelés nullától m p (\displaystyle (m_(p))) inkluzív.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete