Hogyan találjuk meg egy függvény értékét. Algoritmus egy szegmensen lévő folytonos függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálására

Használatával ennek a szolgáltatásnak Tud keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy f(x) változó a Wordben formázott megoldással. Ha az f(x,y) függvény adott, akkor két változó függvényének szélsőértékét kell megtalálni. Megtalálhatja a növekvő és csökkenő függvények intervallumait is.

A függvények bevitelének szabályai:

Egy változó függvényének szélsőértékének szükséges feltétele

Az f" 0 (x *) = 0 egyenlet szükséges feltétel egy változó függvényének extrémuma, azaz. x * pontban a függvény első deriváltjának el kell tűnnie. Azonosítja azokat az x c stacionárius pontokat, amelyeknél a függvény nem növekszik vagy csökken.

Elegendő feltétel egy változó függvényének szélsőértékéhez

Legyen f 0 (x) kétszer differenciálható a D halmazhoz tartozó x-hez képest. Ha az x * pontban a feltétel teljesül:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Ekkor az x * pont a függvény lokális (globális) minimumának pontja.

Ha az x * pontban a feltétel teljesül:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ekkor az x * pont egy lokális (globális) maximum.

1. számú példa. Találja meg a legnagyobb és legkisebb érték funkciók: a szegmensen .
Megoldás.

A kritikus pont egy x 1 = 2 (f’(x)=0). Ez a pont a szegmenshez tartozik. (Az x=0 pont nem kritikus, mivel 0∉).
Kiszámoljuk a függvény értékeit a szegmens végén és a kritikus ponton.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Válasz: fmin = 5/2 x=2-nél; f max = 9 x = 1

2. példa. Magasabb rendű deriváltokkal keressük meg az y=x-2sin(x) függvény szélsőértékét.
Megoldás.
Keresse meg a függvény deriváltját: y’=1-2cos(x) . meg fogjuk találni kritikus pontok: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Megtaláljuk, hogy y’’=2sin(x), számítsuk ki, ami azt jelenti, hogy x= π / 3 +2πk, k∈Z a függvény minimumpontjai; , ami azt jelenti, hogy x=- π / 3 +2πk, k∈Z a függvény maximális pontjai.

3. példa. Vizsgáljuk meg a szélsőségfüggvényt az x=0 pont környezetében!
Megoldás. Itt meg kell találni a függvény szélsőértékét. Ha az extrémum x=0, akkor derítse ki a típusát (minimum vagy maximum). Ha a talált pontok között nincs x = 0, akkor számítsuk ki az f(x=0) függvény értékét!
Meg kell jegyezni, hogy ha egy adott pont mindkét oldalán a derivált nem változtatja az előjelét, a lehetséges helyzetek még differenciálható függvényeknél is: előfordulhat, hogy az x 0 pont egyik oldalán vagy mindkét oldalán tetszőlegesen kis környékre a derivált előjelet változtat. Ezeken a pontokon más módszereket kell alkalmazni a szélsőséges függvények tanulmányozására.

1. Keresse meg a függvény definíciós tartományát, és ellenőrizze, hogy az tartalmazza-e a teljes szegmenst.

2. Határozza meg a szakaszon belüli összes stacionárius pontot! Ehhez megkeressük a függvény deriváltját, egyenlővé tesszük nullával, megoldjuk a kapott egyenletet és kiválasztjuk a megfelelő gyököket.

3. Ha nincs stacionárius pont, vagy egyik sem esik a szakaszba, akkor lépjen tovább a következő pontra.

4. Számítsa ki a függvényértékeket a kiválasztottban álló pontok(ha van), valamint x = a és x = b esetén.

5. A kapott függvényértékek közül válassza ki a legnagyobbat és a legkisebbet - ezek lesznek azok, amelyeket keresünk.

10) Elegendő állapot domborúság (konkavitás). Ha egy kétszer differenciálható függvény második deriváltja pozitív (negatív) egy X halmazon, akkor a függvény ezen a halmazon lefelé (felfelé) konvex.

11) Szükséges feltétel az inflexiós pontokhoz. Egy kétszer folytonosan differenciálható függvény f""(x) második deriváltja az x0 inflexiós pontban egyenlő nullával, azaz. f""(x0) = 0.

12) Elegendő feltétel az inflexiós pontokhoz. Ha egy kétszer differenciálható függvény második deriváltja megváltoztatja az előjelét, amikor áthalad azon az x0 ponton, ahol f""(x0) = 0, akkor x0 a gráfjának inflexiós pontja.

6. Több változó függvényének differenciálszámítása.

Függvények parciális deriváltjai z = f(x,y) a függvény növekményeinek arányának határait nevezzük z = z(x,y) a megfelelő argumentum növekedéséhez irányokban Ó vagy ó at Δx → 0És Δу → 0 illetőleg:

Részleges derivált az x-hez képest:

Számításkor vegyük figyelembe, hogy y = const.

Részleges derivált az y-ra vonatkozóan:

Számításkor vegyük figyelembe x = const.

Két változó adott függvényének argumentumainak összes értékpárjának G halmazát hívják ennek a függvénynek a definíciójának tartománya.

A z = f(x,y) függvényt meghívjuk folyamatos az M0(x0,y0) pontban, ha ebben a pontban és a szomszédságában definiálva van, és kielégíti

Az A számot hívják a funkció határa z = f(x,y) az M0(x0,y0) pontban:

A függvény teljes növekményének lineáris (delta x-hez és delta ig-hez viszonyított) részét ún. teljes differenciálműés dz-vel jelöljük:

ahol deix és deigric független változók differenciálja, amelyek definíció szerint egyenlők a megfelelő növekményekkel

Pont (x 0; y 0) pontnak nevezik z maximális függvény = f(x; y) (x 0; y 0) Mert

= <δ f(x; y)≤ f(x 0; y 0).

Pont (x 0; y 0) pontnak nevezik minimális függvény z = f(x; y) , ha mindenhol a pont szomszédságában (x 0; y 0) Mert

= <δ f(x; y) ≥ f(x 0; y 0).

Legyen az egyenlet által adott felület . Az a sík, amelyben a felület egy adott ponton áthaladó vonalainak összes érintője található , hívott érintő sík a felszínre az M0 pontban.

Egy ponton keresztül húzott egyenes felületek , az érintősíkra merőleges ún normál a felszínre.

Ha a felületet az egyenlet adja , akkor ennek a felületnek az érintősík egyenlete a pontban a következő formában van írva: , és a felület normáljának egyenlete ugyanabban a pontban:

A differenciálhatóság szükséges feltételei: ha egy f függvény egy x0 pontban differenciálható, akkor ezen a ponton minden változóra parciális deriváltja van, ha egy f függvény egy x0 pontban differenciálható, akkor ebben a pontban folytonos.

Elegendő feltételek a differenciálhatósághoz: Legyen az f() függvény az x0 pont valamelyik környezetében definiálva. Legyen egy ebben a szomszédságban lévő függvénynek folytonos parciális deriváltjai az összes változóra vonatkozóan, akkor az f függvény ezen a ponton differenciálható.

Előfeltételek szélsőség megléte : vagy legalább egy részleges derivált nem létezik.

Elegendő feltételek szélsőség megléte két változó függvényei:Ha > 0

akkor a) > 0 a függvénynek van egy minimuma ( min)

IN) < 0 a függvénynek van egy maximuma ( max)

Ha<0 Hogy nincs extrémum.

Ha= 0, akkor további kutatásra van szükség magasabb rendű deriváltokkal.

Komplex számok

Meghatározások:

1) Komplex szám- a valós számok halmazának bővítése, amelyet általában jelölnek. Bármely komplex szám ábrázolható formális összegként, ahol a és valós számok, és az imaginárius egység.

2) Egy komplex szám , , alakban történő felírását hívjuk algebrai forma komplex szám.

3) A számnak megfelelő pont sugárvektorának szögét (radiánban) nevezzük érv számok és jelölése .

4) Modul egy komplex szám a komplex sík megfelelő pontjának sugárvektorának hossza (vagy ami megegyezik, az ennek a számnak megfelelő komplex sík pontja és a koordináták origója közötti távolság).

Egy komplex szám modulusát a kifejezés jelöli és definiálja . Gyakran a vagy betűkkel jelölik. Ha ez egy valós szám, akkor egybeesik ennek a valós számnak az abszolút értékével.

5) Ha komplex szám, akkor a számot hívják konjugált(vagy komplex konjugátum) a (jellel is jelölve). A komplex síkon a konjugált számokat a valós tengelyhez viszonyított tükörképeként kapjuk meg. A konjugált szám modulusa megegyezik az eredetivel, és argumentumaik előjelben különböznek.

6) Ha egy komplex szám valós és képzetes részeit a modulussal és argumentummal ( , ) fejezzük ki, akkor nulla kivételével bármely komplex szám felírható trigonometrikus formák e

7) Meghatározás komplex számok szorzataúgy van felállítva, hogy az a + b·i és a′ + b′·i számok algebrai binomiálisként szorozhatók, és az i számnak az i 2 =−1 tulajdonsága legyen.

8) Legyen tetszőleges természetes szám . komplex szám n-edik gyöke z olyan komplex szám, hogy .

9) A komplex számok írásának exponenciális formája

Hol van az exponenciális kiterjesztése összetett kitevő esetén.

Tulajdonságok és tételek:

1) Két komplex szám szorzata algebrai formában olyan komplex szám, amelynek modulusa egyenlő a faktorok modulusainak szorzatával, és argumentuma egyenlő a tényezők argumentumainak összegével.

2) Annak érdekében, hogy szorozzon meg két komplex számot trigonometrikus formában a rekordokat meg kell szorozni a moduljaikkal, és hozzá kell adni az argumentumokat. Legyen , ahol és , ahol két tetszőleges komplex szám van trigonometrikus formában írva. Akkor .

3) Moivre képlete komplex számokra kimondja, hogy bármely

4) Annak érdekében, hogy komplex szám elosztása (a 1 + b 1 én) egy másik komplex számra ( a 2 + b 2 én), azaz megtalálni , meg kell szoroznia a számlálót és a nevezőt is a nevezőhöz konjugált számmal.

8. Egy változó függvényeinek integrálszámítása.

1) Antiderivatív

Egy bizonyos (a,b) intervallumon differenciálható F(x) függvényt antideriváltnak nevezzük az f(x) függvényre ezen az intervallumon, ha minden x (a,b) egyenlőségre igaz.

2) Határozatlan integrál

Ha F(x) antiderivált az f(x) függvényre egy bizonyos intervallumon, akkor az F(x)+C kifejezést az f(x) függvény határozatlan integráljának nevezzük, és jelöljük.

3) Határozott integrál

Adott f(x) függvény adott szegmensen lévő határozott integrálja alatt annak antideriváltjának megfelelő növekményét értjük, azaz.

4) Nem megfelelő integrálja egy nem folytonos függvénynek

Legyen az f(x) függvény folytonos a ≤x≤b, és legyen egy megszakítási pontja x=b helyen. Ekkor a nem folytonos függvény megfelelő nem megfelelő integrálját a képlet határozza meg

és konvergensnek vagy divergensnek nevezzük attól függően, hogy az egyenlőség jobb oldalán lévő határ létezik vagy nem létezik

5) Nem megfelelő integrál végtelen integrációs intervallummal

Legyen az f(x) függvény folytonos a≤x≤b+∞ esetén. Akkor definíció szerint

Ha létezik a határ, akkor az egyenlőség bal oldalán lévő integrált konvergensnek nevezzük, és értékét a képlet határozza meg; ellenkező esetben az egyenlőség értelmét veszti, a bal oldali integrált divergensnek nevezik, és nem rendelnek hozzá számértéket

Tulajdonságok és tételek

6) A határozatlan integrál részenkénti integrálásának képlete

7) Fogalmazza meg a tört-racionális függvények integrálásának szabályait!

1. Ossza el a számlálót a nevezővel

2. Q(x) =(x- )(x- )…

3. Bővítjük a törtet egyszerű törtek összegére; ; ; ;

Az 1-es és 2-es típusú törtek integrálját úgy számítjuk ki, hogy a 3-as és 4-es differenciáljele alá vezetjük be a függvényt, majd a nevezőben először egy teljes négyzetet választunk.

8) Fogalmazza meg a trigonometrikus függvények integrálásának szabályát!

9) Fogalmazza meg egy határozott integrál tulajdonságait!

1. A határozott integrál értéke nem függ az integrációs változó kijelölésétől, azaz.

2. Az azonos határértékekkel rendelkező határozott integrál nullával egyenlő

3. Az integrálási határok átrendezésekor a határozott integrál az ellentétes előjelét váltja

4. Ha az integrációs intervallumot véges számú részintervallumra osztjuk, akkor az intervallumot átvett határozott integrál egyenlő az összes részintervallumára átvett határozott integrálok összegével.

5. A konstans tényező kivehető a határozott integrál előjeléből

6. Véges számú folytonos függvény algebrai összegének határozott integrálja egyenlő ezen függvények határozott integráljainak ugyanazzal az algebrai összegével

10) Newton-Leibniz képlet

Ha f folytonos egy intervallumon, és F bármely antideriváltja ezen az intervallumon, akkor az egyenlőség teljesül

11) Egy meghatározott integrál részek szerinti integrálásának képlete

A rövidség kedvéért a jelölést használjuk

2) Fogalmazzuk meg a határozatlan integrál tulajdonságait!

1. A határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal, a határozatlan integrál deriváltja pedig az integrandusszal

2. Egy folytonosan differenciálható függvény differenciáljának határozatlan integrálja egy állandó tagig egyenlő ezzel a függvénnyel

3. A határozatlan integrál előjeléből kivehető egy nem nulla állandó tényező

4. Véges számú folytonos függvény algebrai összegének határozatlan integrálja egyenlő ezen függvények határozatlan integráljainak ugyanazzal az algebrai összegével

5) Változó változása a határozatlan integrálban

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk az integrált. Vezessünk be egy új t változót, x= (t) beállítással, ahol (t) egy folytonos függvény folytonos deriválttal, amelynek inverz függvénye t=Ψ(t). Ezután az integráció után a jobb oldalon a t=Ψ(x) behelyettesítést kell végrehajtani.

3) Integrálok táblázata

Logaritmusok

Exponenciális függvények

Irracionális függvények

Trigonometrikus függvények

12) Változó változása egy meghatározott integrálban

Az f(x) függvény folytonos az intervallumon, az x= (t) függvénynek folytonos deriváltja van a [ intervallumon, ahol a≤ (t)≤b és =a, =b

13) Egy lapos alak területének kiszámítása

Legyen az f(x) függvény folytonos az intervallumon. Ha f(x)≥0 be, akkor az y=f(x), y=0, x=a, x=b egyenesek által határolt görbe vonalú trapéz területét az integrállal fejezzük ki:

Ha f(x)≤0 be, akkor –f(x)≥0 be . Ezért a megfelelő görbe vonalú trapéz S területét a képlet határozza meg

Poláris koordinátákban

Függvények logaritmussal (legnagyobb és legkisebb érték). Ez a cikk a függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásával kapcsolatos problémákra összpontosít. Az egységes államvizsgában szerepel egy problémacsoport – ezek a logaritmusokkal kapcsolatos problémák. A kutatási funkciókhoz kapcsolódó feladatok változatosak. A logaritmikus függvények mellett lehetnek: trigonometrikus függvényekkel rendelkező függvények, tört-racionális függvények és mások.

Mindenesetre azt javaslom, hogy még egyszer tekintse át a „“ cikkben felvázolt elméletet. Ha megérti ezt az anyagot, és jó készségekkel rendelkezik a származékok megtalálásában, akkor ebben a témában minden problémát nehézség nélkül megoldhat.

Hadd emlékeztesselek egy adott szegmens függvényének legnagyobb vagy legkisebb értékének megtalálására szolgáló algoritmusra:

1. Számítsa ki a deriváltot!

2. Egyenlítjük nullával, és megoldjuk az egyenletet.

3. Határozza meg, hogy a kapott gyökök (a derivált nullái) ebbe a szegmensbe tartoznak-e! Jelöljük a hozzátartozókat.

4. Kiszámoljuk a függvény értékeit a szakasz határain és a szegmenshez tartozó (az előző bekezdésben kapott) pontokon.

Nézzük a feladatokat:

Határozzuk meg az y=5x–ln (x+5) függvény legkisebb értékét 5 a [–4,5;0] szakaszon.

Ki kell számítani a függvény értékét az intervallum végén, illetve a szélsőpontokon, ha van ezen az intervallumon, és ki kell választani közülük a legkisebbet.

Kiszámoljuk a deriváltot, egyenlővé tesszük nullával, és megoldjuk az egyenletet.

Keressük meg az adott függvény deriváltját:

Keressük meg a derivált nulláit egy adott szegmensen:

*Egy tört egyenlő nullával, ha a számláló nullával egyenlő.

Az x= – 4 pont az adott intervallumhoz tartozik.

Így a függvény értékét a következő pontokban számítjuk ki: – 4,5; – 4; 0.

A kapott értékek logaritmussal kiszámíthatók (vagy elemezhetők). És látni fogja, hogy a függvény legkisebb értéke ezen a szegmensen „– 20”.

De nem szükséges kiszámolni őket. Miért? Tudjuk, hogy a válasznak vagy egész számnak vagy véges tizedes törtnek kell lennie (ez az Egységes Államvizsga feltétele a B részben). De a logaritmusos értékek: – 22,5 – ln 0,5 5 és – ln3125 nem adnak ilyen választ.

x=–4 a függvény minimális értéket kap, a derivált előjeleit a (– 5: – 4) és (– 4; + ∞ ).

Most információ azoknak, akiknek nincs nehézségük a származékokkal, és megértik, hogyan kell megoldani az ilyen problémákat. Hogyan lehet megtenni a derivált kiszámítása és a felesleges számítások nélkül?

Tehát, ha figyelembe vesszük, hogy a válasznak egész számnak vagy véges tizedes törtnek kell lennie, akkor ilyen értéket csak akkor kaphatunk, ha x egész szám, vagy egész szám véges tizedes törttel, és a logaritmus zárójelben van egységünk vagy e számunk. Ellenkező esetben nem tudjuk megkapni a megállapodott értéket. És ez csak x = – 4 esetén lehetséges.

Ez azt jelenti, hogy ezen a ponton lesz a legkisebb a függvény értéke, számoljuk ki:

Válasz: - 20

Döntsd el magad:

Keresse meg az y=3x– ln (x+3) 3 függvény legkisebb értékét a [–2,5;0] szakaszon!

Keresse meg az y=ln (x+5) függvény legnagyobb értékét 5 – 5x a [–4,5;0] szakaszon.

Keresse meg az y=x 2 –13x+11∙lnx+12 függvény legnagyobb értékét a szakaszon.

Ahhoz, hogy egy függvény legkisebb értékét megtaláljuk egy szegmensen, ki kell számítani a függvény értékét a végein és a szélsőpontokon, ha vannak, ezen az intervallumon.

Számítsuk ki a deriváltot, egyenlősítsük nullával, és oldjuk meg a kapott egyenletet:

A másodfokú egyenletet megoldva azt kapjuk

Az x = 1 pont egy adott intervallumhoz tartozik.

Az x = 22/4 pont nem rá tartozik.

Így kiszámítjuk a függvény értékét a pontokban:

Tudjuk, hogy a válasz egy egész vagy egy véges tizedes tört, ami azt jelenti, hogy a függvény legnagyobb értéke 0. Az első és a harmadik esetben nem kapunk ilyen értéket, mivel ezeknek a törteknek a természetes logaritmusa nem. ilyen eredményt adni.

Ezenkívül ügyeljen arra, hogy a pontonx = 1 a függvény eléri a maximális értékét, a derivált előjeleit a (0) intervallumokon határozhatja meg:1 ) és (1 ; + ∞ ).

Hogyan lehet megoldani az ilyen típusú problémákat a derivált kiszámítása nélkül?

Ha figyelembe vesszük, hogy a válasznak egésznek vagy véges tizedes törtnek kell lennie, akkor ez a feltétel csak akkor biztosított, ha x egész szám vagy véges tizedes törtszámú egész szám, és ugyanakkor van egy egységünk vagy az e számunk a logaritmus jele alatt.

Ez csak akkor lehetséges, ha x = 1.

Ez azt jelenti, hogy az x = 1 (vagy 14/14) pontban lesz a legnagyobb a függvény értéke, számoljuk ki:

Válasz: 0

Döntsd el magad:

Keresse meg az y = 2x 2 –13x+9∙lnx+8 függvény legnagyobb értékét a szakaszon!

Megjegyzem, hogy az ilyen feladatok származékok keresése nélküli megoldásának módszere csak időmegtakarításra használható az egységes államvizsga feladatának kiszámításakor. És csak akkor, ha tökéletesen érti, hogyan lehet megoldani az ilyen problémákat a derivált megtalálásával (algoritmus használatával), és jól tudja ezt csinálni. Kétségtelen, hogy ha derivált nélkül old meg, akkor rendelkeznie kell némi analitikai tapasztalattal.

Rengeteg „trükkös” technika van, amely néha konkrét feladatokban segít, és lehetetlen mindet megjegyezni. Fontos megérteni a megoldás alapelveit és tulajdonságait. Ha reménykedsz valamilyen technikában, akkor az egyszerű okból nem működhet: egyszerűen elfelejted, vagy olyan feladatot kapsz az Egységes Államvizsgán, amit először látsz.

Továbbra is megfontoljuk a feladatokat ebben a részben, ne hagyd ki!

Ez minden. Sok sikert neked!

Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh.

P.S: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.

Gyakorlati szempontból a legnagyobb érdeklődés az, hogy a derivált segítségével megkeressük egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét. Ez mihez kapcsolódik? A profit maximalizálása, a költségek minimalizálása, a berendezések optimális terhelésének meghatározása... Vagyis az élet számos területén meg kell oldanunk bizonyos paraméterek optimalizálásának problémáit. És ezek egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásának feladatai.

Meg kell jegyezni, hogy egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét általában egy bizonyos X intervallumon kell keresni, amely vagy a függvény teljes tartománya, vagy a definíciós tartomány egy része. Maga az X intervallum lehet szegmens, nyitott intervallum , végtelen intervallum.

Ebben a cikkben egy y=f(x) változó explicit módon meghatározott függvényének legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásáról fogunk beszélni.

Oldalnavigáció.

Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke - definíciók, illusztrációk.

Nézzük röviden a főbb definíciókat.

A függvény legnagyobb értéke hogy bárkinek az egyenlőtlenség igaz.

A függvény legkisebb értéke Az X intervallum y=f(x) értékét ilyen értéknek nevezzük hogy bárkinek az egyenlőtlenség igaz.

Ezek a definíciók intuitívak: egy függvény legnagyobb (legkisebb) értéke a vizsgált intervallum legnagyobb (legkisebb) elfogadott értéke az abszcisszán.

Stacionárius pontok– ezek az argumentum értékei, amelyeknél a függvény deriváltja nullává válik.

Miért van szükségünk stacionárius pontokra a legnagyobb és legkisebb értékek megtalálásához? Erre a kérdésre Fermat tétele adja meg a választ. Ebből a tételből az következik, hogy ha egy differenciálható függvénynek van egy extrémuma (lokális minimum vagy lokális maximum), akkor ez a pont stacionárius. Így a függvény gyakran ebből az intervallumból veszi a legnagyobb (legkisebb) értékét az X intervallumon valamelyik stacionárius pontban.

Ezenkívül egy függvény gyakran felveheti a legnagyobb és legkisebb értékeit olyan pontokon, ahol ennek a függvénynek az első deriváltja nem létezik, és maga a függvény definiálva van.

Azonnal válaszoljunk az egyik leggyakoribb kérdésre ebben a témában: „Mindig meg lehet határozni egy függvény legnagyobb (legkisebb) értékét”? Nem, nem mindig. Néha az X intervallum határai egybeesnek a függvény definíciós tartományának határaival, vagy az X intervallum végtelen. És egyes függvények a végtelenben és a definíciós tartomány határain végtelenül nagy és végtelenül kicsi értékeket is felvehetnek. Ezekben az esetekben semmit nem lehet mondani a függvény legnagyobb és legkisebb értékéről.

Az érthetőség kedvéért grafikus illusztrációt adunk. Nézd meg a képeket, és sok minden világosabb lesz.

A szegmensen

Az első ábrán a függvény a legnagyobb (max y) és legkisebb (min y) értéket veszi fel a szakaszon belüli stacionárius pontokon [-6;6].

Tekintsük a második ábrán látható esetet. Változtassuk meg a szegmenst erre: . Ebben a példában a függvény legkisebb értékét egy stacionárius pontban érjük el, a legnagyobbat pedig abban a pontban, ahol az intervallum jobb oldali határának megfelelő abszcissza.

A 3. ábrán a [-3;2] szakasz határpontjai a függvény legnagyobb és legkisebb értékének megfelelő pontok abszcisszái.

Nyílt időközönként

A negyedik ábrán a függvény a legnagyobb (max y) és a legkisebb (min y) értéket veszi fel a nyitott intervallumon belüli stacionárius pontokon (-6;6).

Az intervallumon a legnagyobb értékre nem vonható le következtetés.

A végtelenben

A hetedik ábrán bemutatott példában a függvény a legnagyobb értéket (max y) egy x=1 abszcissza értékű stacionárius pontban veszi fel, és a legkisebb értéket (min y) az intervallum jobb határán éri el. Mínusz végtelennél a függvényértékek aszimptotikusan megközelítik az y=3-at.

Az intervallum alatt a függvény nem éri el sem a legkisebb, sem a legnagyobb értéket. Ahogy az x=2 jobbról közeledik, a függvényértékek mínusz végtelenbe hajlanak (az x=2 egyenes egy függőleges aszimptota), és ahogy az abszcissza a végtelen plusz felé tart, a függvényértékek aszimptotikusan közelítenek az y=3-hoz. A példa grafikus illusztrációja a 8. ábrán látható.

Algoritmus egy szegmensen lévő folytonos függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálására.

Írjunk egy algoritmust, amely lehetővé teszi egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálását egy szegmensen.

találunk egy függvény tartományaés ellenőrizze, hogy tartalmazza-e a teljes szegmenst.
Megtaláljuk az összes olyan pontot, ahol az első derivált nem létezik, és amelyeket a szegmens tartalmaz (általában ilyen pontok találhatók a modulusjel alatti argumentummal rendelkező függvényekben és a tört-racionális kitevővel rendelkező hatványfüggvényekben). Ha nincsenek ilyen pontok, akkor lépjen tovább a következő pontra.
Meghatározzuk a szakaszon belüli összes stacionárius pontot. Ehhez nullával egyenlővé tesszük, megoldjuk a kapott egyenletet és kiválasztjuk a megfelelő gyököket. Ha nincsenek álló pontok, vagy egyik sem esik a szakaszba, akkor lépjen tovább a következő pontra.
Kiszámítjuk a függvény értékeit a kiválasztott stacionárius pontokban (ha vannak), olyan pontokban, ahol az első derivált nem létezik (ha van), valamint x=a és x=b esetén.
A függvény kapott értékei közül kiválasztjuk a legnagyobbat és a legkisebbet - ezek lesznek a függvény szükséges legnagyobb és legkisebb értékei.

Elemezzük a példa megoldásának algoritmusát, hogy megtaláljuk egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy szegmensen.

Példa.

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét

a szegmensen ;
a [-4;-1] szakaszon.

Megoldás.

Egy függvény definíciós tartománya a valós számok teljes halmaza, a nulla kivételével, azaz. Mindkét szegmens a definíciós tartományba esik.

Keresse meg a függvény deriváltját:

Nyilvánvaló, hogy a függvény deriváltja a szegmensek minden pontjában létezik és [-4;-1].

Az egyenletből stacionárius pontokat határozunk meg. Az egyetlen valódi gyök az x=2. Ez az állópont az első szegmensbe esik.

Az első esetben kiszámítjuk a függvény értékeit a szakasz végén és a stacionárius pontban, azaz x=1, x=2 és x=4 esetén:

Ezért a függvény legnagyobb értéke x=1, és a legkisebb érték esetén érhető el – x=2-nél.

A második esetben a függvényértékeket csak a [-4;-1] szakasz végein számítjuk ki (mivel egyetlen stacionárius pontot sem tartalmaz):

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete