Moduláris funkció. Lineáris függvénygrafikonok modulokkal

„A négyzetgyök tulajdonságai” - Válaszok. Összegzés. A gyakorlatok megoldása. Tanterv. Szóbeli munka. A négyzetgyökök tulajdonságai. Irodalom. Egyedül. Kiszámítja. Választási lehetőség.

„Aritmetikai négyzetgyök és tulajdonságai” - Diák. Tétel. Átalakítás. Dönts újra. A hibák biztosan nem fognak utolérni. Példa. Kis Ro. A számtani négyzetgyök tulajdonságai. Alkalmazás. Tulajdonságok. Felháborít a tudásod. Csináld meg a tesztet. Nem volt könnyű az utad. Teszt.

„A négyzetgyök funkciója és tulajdonságai” - Funkció. Önálló munkavégzés. Felkészülés a döntésre tesztfeladatokat. Keresse meg a kifejezés jelentését. Érdeklődés keltése a téma iránt. Racionális szám. Választási lehetőség. A kifejezés jelentése. Új matematikai modellek funkciókat. Információ tanároknak. Csökkentse a frakciót. Új elnevezések. Kiszámítja. Találja meg leginkább a kifejezés jelentését racionális módon. Tényezd ki. Keresse meg az értéket.

„Problémák az egyenlőtlenségekkel kapcsolatban” – Kapcsolódjon össze a szegmensekkel numerikus intervallumok. A megoldást jelentő hiányosságok. Oldja meg az egyenlőtlenségeket. Töltse ki a táblázat üres helyeit! Vizsgálat házi feladat. Önálló munkavégzés. Egyenlőtlenségek. Rések a táblázatban. Oldja meg az egyenlőtlenséget. Helyes válaszok. Algebra. Az ismeretek rendszerezése, fejlesztése. Mi a felesleges. Húzd alá a helyes válaszokat! Találd meg a hibát. Ellenőrző vizsgálat. Írd le az intervallumokat. Nincsenek megoldások.

„Példák az egyenlőtlenségekre” – Három eset. Feladat. Az egyenlőtlenségek kezelésének szabályai. Az egyenlőtlenségek típusai. Nem negatív szám. Határozza meg az egyenlőtlenséget. Döntsd el kettős egyenlőtlenség. Kiegészítés. Fogalmak definíciói. A rendszerbe foglalt egyenlőtlenségek. Tulajdonságok számszerű egyenlőtlenségek. Rekord. Az egyenlőtlenség csak számokat tartalmaz. Egyenlőtlenségek. Didaktikai anyag. Ax+b>0. Lineáris egyenlőtlenségek rendszerének megoldása.

"Rövidített szorzás" - Játék "Győződjön meg róla, hogy nem hibázik." Matematika óra. Feladatok a kártyákon. Ellenőrző munka. Asztal. Rövidített szorzóképletek. Játék Lucky Chance. Feladatok a matematikai beszéd hallás utáni megértésének gyakorlására. Válaszd ki a megfelelő választ. Vizsgálat.

Erdnigoryaeva Marina

ez a munka a 8. évfolyam szabadon választható osztályában egy témakör tanulmányozásának eredménye. Itt mutatjuk be a gráfok geometriai transzformációit és azok alkalmazását modulos gráfok felépítésére. Bemutatjuk a modul fogalmát és tulajdonságait. Megmutattuk, hogyan lehet grafikonokat modulokkal felépíteni különböző utak: transzformációk felhasználásával és a modul koncepciója alapján A projekt témája a matematika kurzus egyik legnehezebb témája, a szabadon választható tárgyakhoz kapcsolódik, és a matematika elmélyült tanulmányozásával foglalkozik. Az ilyen feladatokat azonban a GIA második része, az Egységes Államvizsga tartalmazza. Ez a munka segít megérteni, hogyan lehet grafikonokat felépíteni nemcsak lineáris, hanem más függvények (négyzetes, fordítottan arányos stb.) A munka segíti az államvizsgára és az egységes államvizsgára való felkészülést.

Letöltés:

Előnézet:

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Diagramok lineáris függvény modulokkal Erdnigoryaeva Marina munkája, az MCOU "Kamyshovskaya OOSH" 8. osztályos tanulója. Vezető Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, matematika tanár MCOU "Kamyshovskaya OOSH" o. Kamyshevo, 2013

Projekt célja: Megválaszolni azt a kérdést, hogy hogyan lehet lineáris függvények grafikonjait modulokkal felépíteni. A projekt céljai: Szakirodalom tanulmányozása a ez a probléma. Tanulmányozza a gráfok geometriai transzformációit és azok alkalmazását modulos gráfok felépítésére. Tanulmányozza a modul fogalmát és tulajdonságait. Tanuljon meg különféle módon grafikonokat építeni modulokkal.

Közvetlen arányosság A közvetlen arányosság egy y=kx formájú képlettel megadható függvény, ahol x független változó, k nem egyenlő nullával szám.

Ábrázoljuk az y = x x 0 2 y 0 2 függvényt

Grafikonok geometriai transzformációja 1. szabály Az y = f (x) + k függvény grafikonját - lineáris függvény - úgy kapjuk meg, hogy az y = f (x) függvény grafikonját + k egységekkel párhuzamosan átvisszük az O-ra. y tengely k> 0 vagy |- k| esetén egységek lefelé az O y tengelyen a k pontban

Készítsünk y=x+3 y=x-2 gráfokat

2. szabály Az y=kf(x) függvény grafikonját úgy kapjuk meg, hogy az y = f (x) függvény grafikonját az O y tengely mentén a-szor megnyújtjuk a>1-nél, és az O y tengely mentén a tömörítjük. alkalommal a 09. dianál

Készítsünk y=x y= 2 x gráfot

3. szabály Az y = - f (x) függvény grafikonját úgy kapjuk meg, hogy szimmetrikusan ábrázoljuk az y = f (x) grafikont az O x tengelyhez viszonyítva

4. szabály Az y = f (- x) függvény grafikonját úgy kapjuk meg, hogy az y = f (x) függvény grafikonját szimmetrikusan ábrázoljuk az O y tengelyhez képest

5. számú szabály Az y=f(x+c) függvény grafikonját az y=f(x) függvény grafikonjának az O x tengely mentén jobbra történő párhuzamos átvitelével kapjuk meg, ha c 0.

Készítsünk y=f(x) y=f(x+2) gráfokat

Modul definíciós modul Nem negatív szám a egyenlő magával az a számmal; Egy a negatív szám modulusa megegyezik az ellentétes pozitív -a számmal. Vagy |a|=a, ha a ≥0 |a|=-a, ha a

Lineáris függvények grafikonjait modulokkal építjük fel: segítségével geometriai transzformációk a moduldefiníció kiterjesztésével.

6. szabály Az y=|f(x)| függvény grafikonja kiderül a következő módon: az y=f(x) grafikonnak az O x tengely feletti része megmarad; az O x tengely alatt fekvő rész szimmetrikusan jelenik meg az O x tengelyhez képest.

Ábrázolja az y=-2| függvényt x-3|+4 Konstrukció y ₁=| x | Építünk y₂= |x - 3 | → párhuzamos transzláció +3 egységgel az Ox tengely mentén (jobbra eltolás) Konstrukció y ₃ =+2|x-3| → nyújtsuk az O tengely mentén y 2-szer = 2 y₂ Építünk y ₄ =-2|x-3| → szimmetria az x tengely körül = - y₃ Építünk y₅ =-2|x-3|+4 → párhuzamos transzlációt +4 egységgel az O tengely mentén y (felfelé eltolás) = y ₄ +4

Az y =-2|x-3|+4 függvény grafikonja

Az y= 3|x|+2 y₁=|x| függvény grafikonja y₂=3|x|= 3 y1 → 3-szoros nyújtás y₃=3|x| +2= y₄+2 → eltolás 2 egységgel feljebb

7. szabály Az y=f(| x |) függvény grafikonját az y=f(x) függvény grafikonjából a következőképpen kapjuk meg: x > 0 esetén a függvény grafikonja megmarad, és ugyanaz a grafikon egy része szimmetrikusan jelenik meg az O y tengelyhez képest

Ábrázolja az y = || függvényt x-1 | -2 |

Y₁= |x| y₂=|x-1| y₃= y₂-2 y4= |y3| Y=||x-1|-2|

Algoritmus az y=│f(│x│)│ függvény gráfjának felépítésére. Szerkesszük meg az y=f(│x│) függvény gráfját. majd hagyja változatlanul a megszerkesztett gráf minden részét, amely az x tengely felett fekszik. az x tengely alatt elhelyezkedő részek szimmetrikusan jelennek meg a tengely körül.

Y=|2|x|-3| Konstrukció: a) y=2x-3 x>0 esetén, b) y=-2x-3 x esetén 26. dia

8. szabály függőségi grafikon | y|=f(x) az y=f(x) függvény grafikonjából adódik, ha minden olyan pont megmarad, amelyre f(x) > 0, és az abszcissza tengelyhez képest szimmetrikusan is átkerülnek.

Készítsen ponthalmazt egy síkon, Derékszögű koordináták amelynek x és y kielégíti az |y|=||x-1|-1| egyenletet.

| y|=||x-1| -1| két gráfot készítünk 1) y=||x-1|-1| és 2) y =-|| x-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → eltolás az Ox tengely mentén jobbra 1 egységgel y₃ = | x -1 |- 1= → eltolás lefelé 1 egységgel y ₄ = || x-1|- 1| → azon gráfpontok szimmetriája, amelyekre y₃ 0 O x-hez viszonyítva

Az |y|=||x-1|-1| egyenlet grafikonja a következőképpen kapjuk meg: 1) készítsük el az y=f(x) függvény gráfját, és hagyjuk változatlanul azt a részt, ahol y≥0 2) az Ox tengely körüli szimmetria segítségével készítsük el a gráf egy másik részét, amely megfelel y-nak

Ábrázolja az y =|x | függvényt − | 2 − x | . Megoldás. Itt a modulusjel két különböző kifejezéssel jelenik meg, és el kell távolítani. 1) Keresse meg a szubmoduláris kifejezések gyökereit: x=0, 2-x=0, x=2 2) Állítsa be az előjeleket az intervallumokra:

Egy függvény grafikonja

Összegzés A projekt témája a matematika kurzus egyik legnehezebb témája, a szabadon választható tárgyakhoz kapcsolódik, és a matematika kurzus elmélyült tanulmányozására szolgáló órákon tanulmányozzák. Ennek ellenére a GIA második része ilyen feladatokat tartalmaz. Ez a munka segít megérteni, hogyan lehet grafikonokat felépíteni nemcsak lineáris függvények, hanem más függvények (négyzetes, fordítottan arányos stb.) modulusaival is. A munka segíti az államvizsgára és az egységes államvizsgára való felkészülést, és lehetővé teszi a megszerzését magas pontszám matematika.

Irodalom Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I.. Matematika.” Tankönyv 6. évfolyam Moszkva. „Mnemosyne” kiadó, 2010 Vilenkin N.Ya., Vilenkin L.N., Survillo G.S. és mások az algebra. 8. évfolyam: oktatási. Kézikönyv diákok és osztályok számára elmélyült tanulmányozása matematika. - Moszkva. Felvilágosodás, 2009 Gaidukov I.I. " Abszolút érték" Moszkva. Felvilágosodás, 1968. Gursky I.P. „Függvények és grafikonok.” Moszkva. Felvilágosodás, 1968. Yashchina N.V. Modulokat tartalmazó gráfok készítésének technikái. „Matematika az iskolában” folyóirat, 1994. évi 3. szám Gyermekenciklopédia. Moszkva. „Pedagógia”, 1990. Dynkin E.B., Molchanova S.A. Matek problémák. M., „Tudomány”, 1993. Petrakov I.S. Matematikai klubok 8-10. M., „Felvilágosodás”, 1987. Galitsky M.L. stb. Algebrai feladatok gyűjteménye 8-9. oktatóanyag a matematika elmélyült tanulmányozásával tanuló diákok és osztályok számára. – 12. kiadás. – M.: Nevelés, 2006. – 301 p. Makrychev Yu.N., Mindyuk N.G. Algebra: További fejezetek a iskolai tankönyv 9. osztály: Tankönyv iskolák és osztályok tanulói számára haladó matematikai tanulmányokkal / Szerkesztette: Dorofejev. – M.: Nevelés, 1997. – 224 p. Sadykina N. Modulusjelet tartalmazó gráfok és függőségek felépítése / Matematika. - 33. sz. – 2004. – 19-21.o.. Kostrikina N.P. „A 7-9. osztályos algebratanfolyam fokozott nehézségei”... Moszkva: Oktatás, 2008.

$f(x)=|x|$ függvény

$|x|$ - modul. Ennek meghatározása a következő: Ha a valós szám nem negatív, akkor a modulus értéke megegyezik magával a számmal. Ha negatív, akkor a modulus értéke egybeesik abszolút érték adott szám.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel:

1. példa

$f(x)=[x]$ függvény

A $f\left(x\right)=[x]$ függvény egy szám egész számának függvénye. Megtalálható a szám (ha nem egész szám) „lefelé” kerekítésével.

Példa: $=2.$

2. példa

Fedezzük fel és építsük fel a grafikonját.

1. $D\left(f\right)=R$.
2. Nyilvánvaló, hogy ez a függvény csak egész értékeket fogad el, azaz $\E\left(f\right)=Z$
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Ezért ez a függvény általános formájú lesz.
4. A $(0,0)$ az egyetlen metszéspont a koordinátatengelyekkel.
5. $f"\left(x\right)=0$
6. A függvénynek vannak megszakítási pontjai (függvényugrások) minden $x\in Z$-ban.

2. ábra.

$f\left(x\right)=\(x\)$ függvény

A $f\left(x\right)=\(x\)$ függvény egy szám tört részének függvénye. Ezt a szám egész számának „eldobásával” találja meg.

3. példa

Fedezzük fel és ábrázoljuk a függvényt

$f(x)=jel(x)$ függvény

A $f\left(x\right)=sign(x)$ függvény egy előjelfüggvény. Ez a funkció megmutatja, hogy melyik jel van valós szám. Ha a szám negatív, akkor a függvény értéke $-1$. Ha a szám pozitív, akkor a függvény egyenlő eggyel. Nál nél nulla érték számok esetén a függvény értéke is nulla értéket vesz fel.

A modulusjel talán az egyik legérdekesebb jelenség a matematikában. Ezzel kapcsolatban sok iskolásnak van kérdése, hogyan lehet modult tartalmazó függvények grafikonjait összeállítani. Nézzük meg ezt a kérdést részletesen.

1. Egy modult tartalmazó függvények grafikonjainak ábrázolása

1. példa

Ábrázolja az y = x 2 – 8|x| függvényt + 12.

Megoldás.

Határozzuk meg a függvény paritását. Az y(-x) értéke megegyezik az y(x) értékével, tehát ezt a funkciót még Ekkor a gráfja szimmetrikus az Oy tengelyre. Ábrázoljuk az y = x 2 – 8x + 12 függvényt x ≥ 0 esetén, és szimmetrikusan ábrázoljuk a grafikont az Oy függvényében negatív x esetén (1. ábra).

2. példa

A következő grafikon így néz ki: y = |x 2 – 8x + 12|.

– Mekkora a javasolt függvény értéktartománya? (y ≥ 0).

– Hogyan áll a menetrend? (Az x-tengely felett vagy annak érintésével).

Ez azt jelenti, hogy a függvény grafikonját a következőképpen kapjuk meg: ábrázoljuk az y = x 2 – 8x + 12 függvény grafikonját, hagyjuk változatlanul a grafikonnak azt a részét, amelyik az Ox tengely felett van, és a gráf azon részét, amelyik az abszcissza tengely alatt szimmetrikusan jelenik meg az Ox tengelyhez képest (2. ábra).

3. példa

Az y = |x 2 – 8|x| függvény ábrázolásához + 12| átalakítások kombinációját hajtsa végre:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Válasz: 3. ábra.

A figyelembe vett transzformációk minden típusú függvényre érvényesek. Készítsünk egy táblázatot:

2. A képletben „beágyazott modulokat” tartalmazó függvények grafikonjainak ábrázolása

Láttunk már példákat másodfokú függvény, amely tartalmazza a modult, valamint azzal Általános szabályok y = f(|x|), y = |f(x)| alakú függvények gráfjainak szerkesztése és y = |f(|x|)|. Ezek az átalakítások segítenek nekünk a következő példában.

4. példa

Tekintsünk egy y = |2 – |1 – |x||| alakú függvényt. A függvénykifejezés "beágyazott modulokat" tartalmaz.

Megoldás.

Használjuk a geometriai transzformációk módszerét.

Írjuk fel a szekvenciális transzformációk láncát, és készítsük el a megfelelő rajzot (4. ábra):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Tekintsünk olyan eseteket, amikor a szimmetriatranszformációk ill párhuzamos átvitel nem a fő technika a gráfok készítésekor.

5. példa

Szerkesszük meg az y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 alakú függvény gráfját.

Megoldás.

A gráf felépítése előtt átalakítjuk a függvényt definiáló képletet, és kapunk egy másikat elemző feladat funkciókat (5. ábra).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2) (x + 2)/|x + 2|.

Bővítsük ki a modult a nevezőben:

x > -2 esetén y = x – 2 és x esetén< -2, y = -(x – 2).

D(y) tartomány = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Értéktartomány E(y) = (-4; +∞).

Azok a pontok, ahol a grafikon metszi a koordinátatengelyt: (0; -2) és (2; 0).

A függvény minden x-re csökken a (-∞; -2) intervallumból, x esetén -2-ről +∞-ra nő.

Itt fel kellett tárnunk a modulusjelet, és minden esetben ábrázolnunk kellett a függvényt.

6. példa.

Tekintsük az y = |x + 1| függvényt – |x – 2|.

Megoldás.

Egy modul előjelét bővítve figyelembe kell venni a szubmoduláris kifejezések előjeleinek minden lehetséges kombinációját.

Négy eset lehetséges:

(x + 1 – x + 2 = 3, x ≥ -1 és x ≥ 2 esetén;

(-x – 1 + x – 2 = -3, x-nél< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, x ≥ -1 és x esetén< 2;

(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, x-nél< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Akkor eredeti funkcióígy fog kinézni:

(3, x ≥ 2 esetén;

y = (-3, x-nél< -1;

(2x – 1, ahol -1 ≤ x< 2.

Kapott darabonként adott függvény, melynek grafikonja a 6. ábrán látható.

3. Algoritmus alak függvények gráfjainak összeállítására

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + fejsze + b.

Az előző példában meglehetősen könnyű volt felfedni a modulusjeleket. Ha több modulösszeg van, akkor problémás a szubmoduláris kifejezések előjeleinek összes lehetséges kombinációját figyelembe venni. Hogyan lehet ebben az esetben a függvény grafikonját megszerkeszteni?

Vegyük észre, hogy a gráf egy szaggatott vonal, amelynek csúcsai a -1 és 2 abszcisszákkal rendelkeznek. x = -1 és x = 2 esetén a szubmoduláris kifejezések nullával egyenlőek. Gyakorlati értelemben Közelebb vagyunk az ilyen gráfok készítésének szabályához:

Egy y = a 1 |x – x 1 | alakú függvény grafikonja + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b egy szaggatott vonal végtelen szélső linkekkel. Egy ilyen szaggatott vonal felépítéséhez elegendő ismerni az összes csúcsát (a csúcsok abszcisszája a szubmoduláris kifejezések nullája), valamint egy-egy vezérlőpontot a bal és a jobb végtelen linken.

Feladat.

Ábrázolja az y = |x| függvényt + |x – 1| + |x + 1| és megtalálja a legkisebb értékét.

Megoldás:

A szubmoduláris kifejezések nullái: 0; -1; 1. A szaggatott vonal csúcsai (0; 2); (-13); (13). Ellenőrző pont a jobb oldalon (2; 6), a bal oldalon (-2; 6). Építünk egy gráfot (7. ábra). min f(x) = 2.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell egy függvényt modulussal ábrázolni?
Segítséget kérni egy oktatótól -.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.