Egy r számot az A mátrix rangjának nevezünk, ha:
1) az A mátrixban van egy r rendű, nullától eltérő moll;
2) minden (r+1) és magasabb rendű minor, ha létezik, egyenlő nullával.
Ellenkező esetben a mátrix rangja a nullától eltérő legmagasabb kisebb rendű.
Megnevezések: rangA, r A vagy r.
A definícióból az következik, hogy r egy egész szám pozitív szám. Nulla mátrix esetén a rangot nullának tekintjük.

A szolgáltatás célja. Az online számológépet úgy tervezték, hogy megtalálja mátrix rang. Ebben az esetben a megoldás Word és Excel formátumban kerül mentésre. lásd példa megoldás.

Utasítás. Válassza ki a mátrix dimenzióját, majd kattintson a Tovább gombra.

Meghatározás . Legyen adott egy r rangú mátrix. A mátrix bármely nullától eltérő, r sorrendű minorját alapnak, az összetevőinek sorait és oszlopait pedig alapsoroknak és oszlopoknak nevezzük.
E definíció szerint egy A mátrixnak több bázis-mollja is lehet.

Az E identitásmátrix rangja n (a sorok száma).

1. példa Adott két mátrix, és kiskorúaik , . Ezek közül melyik tekinthető alapnak?
Megoldás. Minor M 1 =0, tehát nem lehet alapja egyik mátrixnak sem. Minor M 2 =-9≠0 és 2-es sorrendje van, ami azt jelenti, hogy felfogható bázismátrixok A és/vagy B, feltéve, hogy 2-vel egyenlő rangokkal rendelkeznek. Mivel detB=0 (determinánsként két arányos oszloppal), ezért rangB=2 és M 2 vehető a B mátrix alapmolljának. Az A mátrix rangja 3, mivel detA=-27≠ 0, és ezért ennek a mátrixnak a bázis-moll sorrendjének 3-nak kell lennie, azaz M 2 nem alapja az A mátrixnak. Vegye figyelembe, hogy az A mátrixnak egyetlen bázisú mollja van, egyenlő a determinánssal mátrixok A.

Tétel (az alap-mollról). A mátrix bármely sora (oszlopa) az alapsorok (oszlopok) lineáris kombinációja.
Következmények a tételből.

Minden r rangú (r+1) oszlop (sor) mátrix lineárisan függő.
Ha a mátrix rangja kevesebb szám sorai (oszlopai), majd sorai (oszlopai) lineárisan függőek. Ha rangA számával egyenlő sorai (oszlopai), akkor a sorok (oszlopok) lineárisan függetlenek.
Az A mátrix meghatározója egyenlő nullával akkor és csak akkor, ha sorai (oszlopai) lineárisan függőek.
Ha a mátrix egy sorához (oszlopához) adunk egy másik sort (oszlopot), amit nullától eltérő számmal megszorozunk, akkor a mátrix rangja nem változik.
Ha áthúz egy sort (oszlopot) a mátrixban, amely más sorok (oszlopok) lineáris kombinációja, akkor a mátrix rangja nem változik.
Egy mátrix rangja megegyezik a lineárisan független sorok (oszlopok) maximális számával.
A lineárisan független sorok maximális száma megegyezik a lineárisan független oszlopok maximális számával.

2. példa Keresse meg a mátrix rangját .
Megoldás. A mátrix rang definíciója alapján a legmagasabb rendű, nullától eltérő mollot fogunk keresni. Először átalakítjuk a mátrixot többre egyszerű nézet. Ehhez szorozzuk meg a mátrix első sorát (-2)-vel, és adjuk hozzá a másodikhoz, majd szorozzuk (-1)-gyel és adjuk hozzá a harmadikhoz.

A mátrixrang fogalmának használatához információra lesz szükségünk az "Algebrai komplementerek és mollok. A moll típusok és az algebrai kiegészítések" témakörből. Mindenekelőtt ez a „matrix minor” kifejezésre vonatkozik, mivel a mátrix rangját pontosan a minorokon keresztül határozzuk meg.

Mátrix rang a kiskorúak maximális sorrendje, amelyek között van legalább egy, amely nem egyenlő nullával.

Egyenértékű mátrixok - olyan mátrixok, amelyek rangjai egyenlőek egymással.

Hadd magyarázzuk el részletesebben. Tegyük fel, hogy a másodrendű kiskorúak között van legalább egy nullától eltérő. És minden kiskorú, akinek a sorrendje kettőnél magasabb, egyenlő nullával. Következtetés: a mátrix rangja 2, vagy például a tizedik rendű kiskorúak között van legalább egy, amely nem egyenlő nullával. És minden kiskorú, akinek a sorrendje nagyobb, mint 10, egyenlő nullával. Következtetés: a mátrix rangja 10.

A $A$ mátrix rangját a következőképpen jelöljük: $\rang A$ vagy $r(A)$. Rang nulla mátrix$O$ nullával egyenlő, $\rang O=0$. Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy mátrix-moll létrehozásához sorokat és oszlopokat kell áthúzni, de lehetetlen több sort és oszlopot áthúzni, mint amennyit maga a mátrix tartalmaz. Például, ha a $F$ mátrix mérete $5\x 4$ (azaz 5 sort és 4 oszlopot tartalmaz), akkor a kisebbek maximális sorrendje négy. A továbbiakban nem lehet ötödrendű kiskorúakat képezni, mivel ezekhez 5 oszlopra lesz szükség (és nekünk csak 4). Ez azt jelenti, hogy a $F$ mátrix rangja nem lehet több mint négy, azaz $\rang F≤4$.

Többben általános forma a fentiek azt jelentik, hogy ha egy mátrix $m$ sort és $n$ oszlopot tartalmaz, akkor a rangja nem haladhatja meg a $m$ és $n$ legkisebb értékét, azaz. $\rang A≤\min(m,n)$.

Elvileg már a rang meghatározásából következik a megtalálásának módszere. A mátrix rangjának meghatározásának folyamata definíció szerint sematikusan a következőképpen ábrázolható:

Hadd magyarázzam el ezt a diagramot részletesebben. Kezdjük az okoskodást a legelején, i.e. valamilyen $A$ mátrix elsőrendű minorjaiból.

Ha minden elsőrendű minor (azaz a $A$ mátrix elemei) egyenlő nullával, akkor $\rang A=0$. Ha az elsőrendű kiskorúak között van legalább egy, amely nem egyenlő nullával, akkor $\rang A≥ 1$. Térjünk át a másodrendű kiskorúak ellenőrzésére.
Ha minden másodrendű minor nulla, akkor $\rang A=1$. Ha a másodrendű kiskorúak között van legalább olyan, amelyik nem egyenlő nullával, akkor $\rang A≥ 2$. Térjünk át a harmadrendű kiskorúak ellenőrzésére.
Ha minden harmadrendű minor nulla, akkor $\rang A=2$. Ha a harmadrendű kiskorúak között van legalább olyan, amelyik nem egyenlő nullával, akkor $\rang A≥ 3$. Térjünk át a negyedrendű kiskorúak ellenőrzésére.
Ha az összes negyedrendű minor nulla, akkor $\rang A=3$. Ha a negyedrendű kiskorúak között van legalább olyan, amelyik nem egyenlő nullával, akkor $\rang A≥ 4$. Továbblépünk az ötödrendű kiskorúak ellenőrzésére és így tovább.

Mi vár ránk ennek az eljárásnak a végén? Előfordulhat, hogy a k-edik rendű kiskorúak között lesz legalább egy nullától eltérő, és minden (k+1) rendű kiskorú nullával egyenlő. Ez azt jelenti, hogy k a kiskorúak maximális sorrendje, amelyek között van legalább olyan, amelyik nem egyenlő nullával, azaz. a rang egyenlő lesz k-val. Előfordulhat más helyzet is: a k-rendű kiskorúak között lesz legalább olyan, amelyik nem egyenlő nullával, de (k+1) rendű kiskorúak képzése már nem lehetséges. Ebben az esetben a mátrix rangja is egyenlő k-val. Röviden, az utoljára összeállított nem nulla moll sorrendje megegyezik a mátrix rangjával.

Térjünk át a példákra, amelyekben a mátrix rangjának meghatározásának folyamata definíció szerint világosan bemutatásra kerül. Hadd hangsúlyozzam még egyszer, hogy a témakör példáiban a mátrixok rangját csak a rang definíciójával kezdjük megkeresni. Az egyéb módszereket (mátrix rangjának kiszámítása kiskorúak határolásának módszerével, mátrix rangjának kiszámítása elemi transzformációk módszerével) a következő témakörökben tárgyaljuk.

Egyébként egyáltalán nem szükséges a legkisebb rendű kiskorúakkal megkezdeni a besorolási eljárást, ahogy az az 1. és 2. számú példákban történt. Azonnal áttérhet a magasabb rendű kiskorúakra (lásd a 3. példát).

1. számú példa

Keresse meg a mátrix rangját $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Ennek a mátrixnak a mérete $3\x5$, azaz. három sort és öt oszlopot tartalmaz. A 3-as és 5-ös számok közül a minimum 3, ezért a $A$ mátrix rangja nem több 3-nál, azaz. $\rang A≤ 3$. És ez az egyenlőtlenség nyilvánvaló, hiszen már nem tudunk negyedrendű kiskorúakat képezni - ezekhez 4 sor szükséges, nekünk pedig csak 3. Térjünk át közvetlenül az adott mátrix rangjának meghatározására.

Az elsőrendű kiskorúak között (azaz a $A$ mátrix elemei között) vannak a nullától eltérő egyek. Például 5, -3, 2, 7. Általában nem vagyunk kíváncsiak teljes nem nulla elemek. Van legalább egy nem nulla elem - és ez elég. Mivel az elsőrendű kiskorúak között van legalább egy nullától eltérő, azt a következtetést vonjuk le, hogy $\rang A≥ 1$, és folytassuk a másodrendű kiskorúak ellenőrzését.

Kezdjük a másodrendű kiskorúak felfedezését. Például az 1., 2. sorok és az 1. és 4. oszlopok metszéspontjában a következő mellékelemek találhatók: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|. Ennél a determinánsnál a második oszlop minden eleme nulla, ezért maga a determináns is egyenlő nullával, azaz. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (lásd a 3. tulajdonságot a determinánsok tulajdonságai témakörben). Vagy egyszerűen kiszámíthatja ezt a determinánst a másod- és harmadrendű determinánsok kiszámítása című rész 1. képletével:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Az általunk tesztelt első másodrendű moll nullával egyenlő. Mit is jelent ez? A másodrendű kiskorúak további ellenőrzésének szükségességéről. Vagy mindegyik nulla lesz (és akkor a rang egyenlő lesz 1-gyel), vagy lesz köztük legalább egy kisebb, amely különbözik a nullától. Próbáljunk meg jobb választást hozni egy másodrendű minor írásával, melynek elemei az 1., 2. sorok és az 1. és 5. számú oszlopok metszéspontjában helyezkednek el: $\left|\begin( tömb)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|$. Keressük ennek a másodrendű minornak az értékét:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Ez a moll nem egyenlő nullával. Következtetés: a másodrendű kiskorúak között van legalább egy nullától eltérő. Ezért $\rang A≥ 2$. Át kell lépnünk a harmadrendű kiskorúak tanulmányozására.

Ha a 2-es vagy a 4-es oszlopot választjuk harmadrendű kiskorúak képzéséhez, akkor ezek a minorok nullával egyenlőek (mivel nulla oszlopot tartalmaznak). Már csak egy harmadrendű minor ellenőrzése van hátra, amelynek elemei az 1., 3., 5. számú oszlopok és az 1., 2., 3. sorok metszéspontjában helyezkednek el. Jegyezzük fel ezt a kisebbet, és keressük meg az értékét:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Tehát minden harmadrendű kiskorú egyenlő nullával. Az általunk összeállított utolsó nem nulla moll másodrendű volt. Következtetés: a kiskorúak maximális sorrendje, amelyek között van legalább egy nem nulla, 2. Ezért $\rang A=2$.

Válasz: $\rang A=2$.

2. példa

Keresse meg a mátrix rangját $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Nekünk van négyzetmátrix negyedik rend. Rögtön jegyezzük meg, hogy ennek a mátrixnak a rangja nem haladja meg a 4-et, azaz. $\rang A≤ 4$. Kezdjük megkeresni a mátrix rangját.

Az elsőrendű minorok között (azaz a $A$ mátrix elemei között) van legalább olyan, amelyik nem egyenlő nullával, ezért $\rang A≥ 1$. Térjünk át a másodrendű kiskorúak ellenőrzésére. Például a 2., 3. sorok, valamint az 1. és 2. oszlopok metszéspontjában a következő másodrendű melléket kapjuk: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Számítsuk ki:

$$\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

A másodrendű kiskorúak között van legalább olyan, amelyik nem egyenlő nullával, tehát $\rang A≥ 2$.

Térjünk át a harmadrendű kiskorúakra. Keressünk például egy kisebbet, amelynek elemei az 1., 3., 4. sorok és az 1., 2., 4. számú oszlopok metszéspontjában helyezkednek el:

$$\left | \begin(tömb) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(tömb) \right|=105-105=0. $$

Mivel ez a harmadrendű kiskorú nullával egyenlő, egy másik harmadrendű kiskorú vizsgálatára van szükség. Vagy mindegyik egyenlő lesz nullával (akkor a rang 2 lesz), vagy lesz köztük legalább egy, amely nem egyenlő nullával (akkor kezdjük el a negyedrendű kiskorúak tanulmányozását). Tekintsünk egy harmadrendű minort, melynek elemei a 2., 3., 4. sorok és a 2., 3., 4. számú oszlopok metszéspontjában helyezkednek el:

$$\left| \begin(tömb) (cccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(tömb) \right|=-28. $$

A harmadrendű kiskorúak között van legalább egy nullától eltérő, tehát $\rang A≥ 3$. Térjünk át a negyedrendű kiskorúak ellenőrzésére.

Bármely negyedrendű kiskorú a kereszteződésben található négy sorés a $A$ mátrix négy oszlopa. Más szóval, a negyedrendű minor a $A$ mátrix determinánsa, mivel adott mátrix csak 4 sort és 4 oszlopot tartalmaz. Ennek a mátrixnak a determinánsát a „A determináns sorrendjének csökkentése sorban (oszlopban)” című témakör 2. példájában számítottuk ki, tehát vegyük csak a kész eredményt:

$$\left| \begin(tömb) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (tömb)\jobbra|=86. $$

Szóval kiskorú negyedik rend nem egyenlő nullával. Ötödrendű kiskorúakat már nem képezhetünk. Következtetés: a kiskorúak legmagasabb sorrendje, amelyek között van legalább egy nem nulla, 4. Eredmény: $\rang A=4$.

Válasz: $\rang A=4$.

3. példa

Keresse meg a mátrix rangját $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( array) \right)$.

Rögtön megjegyezzük, hogy ez a mátrix 3 sort és 4 oszlopot tartalmaz, tehát $\rang A≤ 3$. Az előző példákban a rang megállapításának folyamatát a legkisebb (első) rendű kiskorúak figyelembevételével kezdtük. Itt igyekszünk a lehető legmagasabb rendű kiskorúakat azonnal ellenőrizni. A $A$ mátrix esetében ezek a harmadrendű kiskorúak. Tekintsünk egy harmadrendű minort, amelynek elemei az 1., 2., 3. sorok és a 2., 3., 4. oszlopok metszéspontjában helyezkednek el:

$$\left| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Tehát a kiskorúak legmagasabb rendje, amelyek között van legalább egy, amely nem egyenlő nullával, a 3. Ezért a mátrix rangja 3, azaz. $\rang A=3$.

Válasz: $\rang A=3$.

Általánosságban elmondható, hogy egy mátrix rangjának meghatározása definíció szerint a következő általános eset a feladat meglehetősen munkaigényes. Például egy viszonylag kis, $5\x4$ méretű mátrixban 60 másodrendű kiskorú van. És még ha közülük 59 egyenlő nullával, akkor a 60. moll nem nulla lehet. Ezután harmadrendű kiskorúakat kell tanulnod, amiből ez a mátrix 40 darabot tartalmaz. Általában kevésbé körülményes módszereket próbálnak alkalmazni, például a kiskorúak határolásának módszerét vagy az azzal egyenértékű átalakítások módszerét.

Adjunk meg néhány mátrixot:

Ebben a mátrixban válasszunk tetszőleges karakterláncok és tetszőleges oszlopok
. Aztán a meghatározó rendű, mátrixelemekből áll
, amely a kiválasztott sorok és oszlopok metszéspontjában található, melléknévnek nevezzük rendű mátrix
.

Meghatározás 1.13. Mátrix rang
ennek a mátrixnak a nullától eltérő moll legnagyobb rendje.

Egy mátrix rangjának kiszámításához figyelembe kell venni az összes legalacsonyabb rendű minort, és ha legalább az egyik nullától eltérő, akkor a legmagasabb rendű minorokat kell figyelembe venni. A mátrix rangjának meghatározásának ezt a megközelítését határolási módszernek (vagy kiskorúak határolásának módszerének) nevezik.

Probléma 1.4. A kiskorúak határolásának módszerével határozzuk meg a mátrix rangját!
.

Vegyük például az elsőrendű szegélyezést,
. Ezután áttérünk néhány másodrendű szegélyre.

Például,
.

Végül elemezzük a harmadrendű határvonalat.

Tehát a nem nulla moll legmagasabb rendje 2, tehát
.

Az 1.4. feladat megoldása során észrevehető, hogy számos másodrendű határos kiskorú nem nulla. E tekintetben a következő fogalom érvényes.

Meghatározás 1.14. A mátrix bázismollja minden nullától eltérő moll, amelynek sorrendje megegyezik a mátrix rangjával.

Tétel 1.2.(Alap-moll tétel). Az alapsorok (bázisoszlopok) lineárisan függetlenek.

Vegyük észre, hogy egy mátrix sorai (oszlopai) akkor és csak akkor lineárisan függőek, ha legalább az egyik a többi lineáris kombinációjaként ábrázolható.

Tétel 1.3. A lineárisan független mátrixsorok száma megegyezik a lineárisan független mátrixoszlopok számával, és egyenlő a mátrix rangjával.

Tétel 1.4.(Szükséges és elégséges feltétel, hogy a determináns nullával egyenlő legyen). Annak érdekében, hogy a meghatározó -edik sorrend nullával egyenlő volt, szükséges és elegendő, hogy sorai (oszlopai) lineárisan függőek legyenek.

Egy mátrix rangjának kiszámítása a definíciója alapján túlságosan körülményes. Ez különösen fontos a magas rendű mátrixok esetében. Ebben a tekintetben a gyakorlatban a mátrix rangját a 10.2 - 10.4 tételek alkalmazása, valamint a mátrix ekvivalencia és az elemi transzformációk alkalmazása alapján számítják ki.

Meghatározás 1.15. Két mátrix
És ekvivalensnek nevezzük, ha rangjaik egyenlőek, azaz.
.

Ha mátrixok
És egyenértékűek, akkor vegye figyelembe
 .

Tétel 1.5. A mátrix rangja nem változik elemi átalakulások.

Elemi mátrix transzformációnak nevezzük
a következő műveletek bármelyike egy mátrixon:

Sorok cseréje oszlopokkal és oszlopok cseréje megfelelő sorokkal;

Mátrix sorok átrendezése;

Egy olyan vonal áthúzása, amelynek minden eleme nulla;

Egy karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal;

Egy sor elemeihez hozzáadva egy másik sor megfelelő elemeit, szorozva ugyanazzal a számmal
.

Az 1.5. tétel következménye. Ha mátrix
mátrixból nyerjük segítséggel véges szám elemi transzformációk, majd a mátrixok
És egyenértékűek.

Egy mátrix rangjának számításakor véges számú elemi transzformáció segítségével trapéz alakúra kell redukálni.

Meghatározás 1.16. Trapéznek nevezzük a mátrixábrázolás egyik formáját, ha a legmagasabb rendű, nem nulla határvonalú mollban az átlósok alatti összes elem eltűnik. Például:

Itt
, mátrixelemek
menj a nullára. Ekkor egy ilyen mátrix ábrázolási formája trapéz alakú lesz.

A mátrixokat általában trapéz alakúra redukáljuk a Gauss-algoritmus segítségével. A Gauss-algoritmus lényege, hogy a mátrix első sorának elemeit a megfelelő tényezőkkel megszorozva elérjük, hogy az első oszlop minden eleme az elem alatt helyezkedik el.
, nullára fordulna. Ezután megszorozva a második oszlop elemeit a megfelelő tényezőkkel, biztosítjuk, hogy a második oszlop minden eleme az elem alatt helyezkedik el.
, nullára fordulna. Ezután járjon el ugyanúgy.

Probléma 1.5. Határozza meg a mátrix rangját trapéz alakúra redukálva.

A Gauss-algoritmus használatának megkönnyítése érdekében felcserélheti az első és a harmadik sort.








.

Nyilvánvaló, hogy itt
. Azonban, hogy az eredmény elegánsabb formát hozzon, folytathatja az oszlopok átalakítását.










.

Alapvető hívják átalakulások nyomán mátrixok:

1) bármely két sor (vagy oszlop) permutációja,

2) egy sor (vagy oszlop) megszorzása valami mással, mint nulla szám,

3) egy sor (vagy oszlop) hozzáadása egy másik sorhoz (vagy oszlophoz), megszorozva egy bizonyos számmal.

A két mátrixot ún egyenértékű, ha az egyiket a másiktól szerezzük be véges halmaz elemi átalakulások.

Az ekvivalens mátrixok általában nem egyenlőek, de rangjuk egyenlő. Ha az A és B mátrixok ekvivalensek, akkor a következőképpen írjuk: A ~ B.

Kánoni A mátrix egy olyan mátrix, amelyben a főátló elején több egy van egy sorban (amelyek száma nulla lehet), és az összes többi elem nulla, például

A sorok és oszlopok elemi transzformációival bármely mátrix kanonikusra redukálható. A kanonikus mátrix rangja megegyezik a főátlóján lévő egyesek számával.

2. példa Keresse meg a mátrix rangját

és hozd kanonikus formába.

Megoldás. A második sorból vonja ki az elsőt, és rendezze át ezeket a sorokat:

Most a második és a harmadik sorból kivonjuk az elsőt, megszorozva 2-vel, illetve 5-tel:

;

vonjuk ki az elsőt a harmadik sorból; mátrixot kapunk

B = ,

ami ekvivalens az A mátrixszal, mivel abból nyerjük elemi transzformációk véges halmazának felhasználásával. Nyilvánvaló, hogy a B mátrix rangja 2, ezért r(A)=2. A B mátrix könnyen kanonikusra redukálható. Ha kivonjuk az első, megfelelő számokkal megszorzott oszlopot az összes következőből, az első sor összes elemét nullára fordítjuk, kivéve az elsőt, és a többi sor elemei nem változnak. Ezután kivonva a megfelelő számokkal megszorzott második oszlopot az összes következőből, nullára fordítjuk a második sor minden elemét, kivéve a másodikat, és megkapjuk a kanonikus mátrixot:

Kronecker - Capelli tétel- kompatibilitási kritérium egy lineáris rendszerhez algebrai egyenletek:

Azért, hogy lineáris rendszer kompatibilis volt, szükséges és elegendő, hogy ennek a rendszernek a kiterjesztett mátrixának rangja egyenlő legyen a főmátrix rangjával.

Bizonyíték (rendszerkompatibilitási feltételek)

Szükségesség

Hadd rendszer közös Aztán vannak a számok ilyenek

, Mit . Ezért az oszlop a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja. Abból, hogy egy mátrix rangja nem változik, ha egy sort (oszlopot) törlünk vagy hozzáadunk a sorai (oszlopai) rendszeréből, ami más sorok (oszlopok) lineáris kombinációja, ebből következik, hogy .

Megfelelőség Hadd . Vegyünk néhány alapvető minort a mátrixban. Azóta az lesz alap mollés mátrixok. Ekkor az alaptétel szerint kiskorú, a mátrix utolsó oszlopa az alaposzlopok, azaz a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja lesz. Ezért oszlop

ingyenes tagok

rendszer a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja. Következmények A fő változók száma

rendszerek rendszer egyenlő a rendszer rangjával. Közös meg lesz határozva (az

az egyetlen megoldás

), ha a rendszer rangja megegyezik az összes változó számával.15 . 2 Homogén egyenletrendszer

Ajánlat

Homogén egyenletrendszer mindig közös.

Bizonyíték

), ha a rendszer rangja megegyezik az összes változó számával.15 . 3 . Ennél a rendszernél a , , , számhalmaz a megoldás.

Homogén egyenletrendszer Ebben a részben a rendszer mátrixjelölését fogjuk használni: .

Egy homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak összege ennek a rendszernek a megoldása. A számmal szorzott megoldás is megoldás.

. Hadd szolgáljanak megoldásként a rendszer számára. Aztán és. Hadd . Akkor Azóta - a megoldás.

Egy homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak összege ennek a rendszernek a megoldása. A számmal szorzott megoldás is megoldás.

Hadd...15 . 1 tetszőleges szám , . Akkor Következmény Ha

Valóban, ha egy nem nulla megoldást megszorozunk különböző számokkal, különböző megoldásokat kapunk.

Meghatározás15 . 5 Azt mondjuk, hogy a megoldások rendszerek formálódnak alapvető megoldási rendszer, ha oszlopok lineárisan független rendszert alkotnak, és a rendszer bármely megoldása ezen oszlopok lineáris kombinációja.

>>Matrix rang

Mátrix rang

Egy mátrix rangjának meghatározása

Mérlegeljük téglalap alakú mátrix. Ha ebben a mátrixban tetszőlegesen választjuk ki k vonalak és k oszlopokat, akkor a kijelölt sorok és oszlopok metszéspontjában lévő elemek k-edik rendű négyzetmátrixot alkotnak. Ennek a mátrixnak a determinánsát ún k-edik rendű minor A mátrix. Nyilvánvaló, hogy az A mátrixnak tetszőleges sorrendje van 1-től a legkisebb m és n számokig. Az A mátrix összes nullától eltérő mollja között van legalább egy moll, amelynek a sorrendje a legnagyobb. Egy adott mátrix nullától eltérő kisebb rendjei közül a legnagyobbat nevezzük rang mátrixok. Ha az A mátrix rangja az r, ez azt jelenti, hogy az A mátrixnak van egy nem nulla rendű mollja r, de minden kisebb rend nagyobb mint r, egyenlő nullával. Az A mátrix rangját r(A) jelöli. Nyilvánvaló, hogy a kapcsolat fennáll

Mátrix rangjának kiszámítása minorok segítségével

A mátrix rangját vagy a kiskorúak határolásának módszerével, vagy az elemi transzformációk módszerével találjuk meg. Egy mátrix rangjának az első módszerrel történő kiszámításakor az alacsonyabb rendű mollokról a magasabb rendű mollokra kell lépni. magasrendű. Ha az A mátrix k-edrendű, nullától eltérő moll D-jét már találtuk, akkor csak a D-vel határos (k+1) rendű mollok igényelnek számítást, azaz. kiskorúként tartalmazza. Ha mindegyik egyenlő nullával, akkor a mátrix rangja egyenlő k.

1. példaHatározza meg a mátrix rangját a kiskorúak határolásának módszerével!

Megoldás.I. rendű kiskorúakkal kezdjük, i.e. Az A mátrix elemei közül válasszunk például egy M 1 = 1 mellékelemet, amely az első sorban és az első oszlopban található. A második sor és a harmadik oszlop segítségével szegélyezve egy kisebb M 2 = nullától eltérő értéket kapunk. Most rátérünk az M2-vel határos 3. rendű kiskorúakra. Csak kettő van belőlük (második vagy negyedik oszlop is hozzáadható). Számoljuk ki őket: = 0. Így az összes határos harmadrendű kiskorú nullával egyenlő. Az A mátrix rangja kettő.

Mátrix rangjának kiszámítása elemi transzformációk segítségével

AlapvetőA következő mátrixtranszformációkat nevezzük:

1) bármely két sor (vagy oszlop) permutációja,

2) egy sor (vagy oszlop) szorzása nullától eltérő számmal,

3) egy sor (vagy oszlop) hozzáadása egy másik sorhoz (vagy oszlophoz), megszorozva egy bizonyos számmal.

A két mátrixot ún egyenértékű, ha az egyiket a másikból az elemi transzformációk véges halmazával kapjuk meg.

Az ekvivalens mátrixok általában nem egyenlőek, de rangjuk egyenlő. Ha az A és B mátrixok ekvivalensek, akkor a következőképpen írjuk: A~B.

KánoniA mátrix egy olyan mátrix, amelyben a főátló elején több egy van egy sorban (amelyek száma nulla lehet), és az összes többi elem nulla, például