Piramis- a sokszögekből és háromszögekből kialakított poliéder egyik változata, amelyek az alapnál helyezkednek el és a lapjai.

Sőt, a piramis tetején (azaz egy ponton) az összes lap egyesül.

A piramis területének kiszámításához érdemes meghatározni, hogy oldalsó felülete több háromszögből áll. A területeiket pedig könnyedén megtalálhatjuk a használatával

különféle képletek. Attól függően, hogy milyen adatokat tudunk a háromszögekről, megkeressük a területüket.

Felsorolunk néhány képletet, amelyek segítségével megtalálhatjuk a háromszögek területét:

1. S = (a*h)/2 . BAN BEN ebben az esetben ismerjük a háromszög magasságát h , amely oldalra süllyesztett a .
2. S = a*b*sinβ . Itt vannak a háromszög oldalai a , b , és a köztük lévő szög β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Itt vannak a háromszög oldalai a, b, c . A háromszögbe írt kör sugara a r .
4. S = (a*b*c)/4*R . A háromszög körüli körülírt kör sugara a R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Ez a képlet csak akkor használható, ha a háromszög derékszögű háromszög.
6. S = (a²*√3)/4 . Ezt a képletet alkalmazzuk egy egyenlő oldalú háromszögre.

Csak miután kiszámítottuk a piramisunk lapjait képező háromszögek területét, számíthatjuk ki annak oldalfelületének területét. Ehhez a fenti képleteket fogjuk használni.

A piramis oldalfelületének területének kiszámításához nem merül fel nehézség: meg kell találnia az összes háromszög területének összegét. Ezt fejezzük ki a képlettel:

Sp = ΣSi

Itt Si az első háromszög területe, és S P - a piramis oldalfelületének területe.

Nézzünk egy példát. Adott egy szabályos piramis, annak oldalsó arcok több egyenlő oldalú háromszög alkotja,

« A geometria a legerősebb eszköz szellemi képességeink élesítésére».

Galileo Galilei.

a négyzet pedig a piramis alapja. Ezenkívül a piramis széle 17 cm hosszú, nézzük meg ennek a piramisnak az oldalfelületét.

Így érvelünk: tudjuk, hogy a piramis lapjai háromszögek, egyenlő oldalúak. Azt is tudjuk, hogy ennek a piramisnak mekkora az élhossza. Ebből következik, hogy minden háromszög egyenlő oldalain, hosszuk 17 cm.

Az egyes háromszögek területének kiszámításához a következő képletet használhatja:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Tehát, mivel tudjuk, hogy a négyzet a piramis alján fekszik, kiderül, hogy négy egyenlő oldalú háromszögünk van. Ez azt jelenti, hogy a piramis oldalfelülete könnyen kiszámítható a következő képlettel: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

A válaszunk a következő: 500,548 cm² - ez a piramis oldalfelületének területe.

- Ezt sokrétű alak, melynek alján egy sokszög található, a többi lapokat pedig közös csúcsú háromszögek ábrázolják.

Ha az alap négyzet, akkor a piramist hívják négyszögű, ha háromszög – akkor háromszög alakú. A piramis magasságát a tetejétől merőlegesen az alapra húzzuk. Terület kiszámítására is használják apotém– az oldallap magassága, felülről leeresztve.
A piramis oldalfelületének területének képlete az egymással egyenlő oldallapok területének összege. Ezt a számítási módszert azonban nagyon ritkán használják. Alapvetően a piramis területét az alap és az apotém kerületén keresztül számítják ki:

Tekintsünk egy példát a piramis oldalfelületének kiszámítására.

Adjunk egy piramist, melynek alapja ABCDE és F csúcsa. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm Határozza meg a piramis oldalfelületének területét.
Keressük a kerületet. Mivel az alap minden éle egyenlő, az ötszög kerülete egyenlő lesz:
Most megtalálhatja oldalsó terület piramisok:

Egy szabályos háromszög alakú piramis területe

A szabályos háromszög alakú gúla egy alapból áll, amelyben egy szabályos háromszög és három egyenlő területű oldallap található.
Az oldalsó felület képlete helyes háromszög alakú piramis lehet számolni különböző utak. Alkalmazhatja a szokásos számítási képletet a kerület és az apotém használatával, vagy megkeresheti egy arc területét, és megszorozhatja hárommal. Mivel a piramis lapja háromszög, a képletet a háromszög területére alkalmazzuk. Szükség lesz egy apotémra és az alap hosszára. Tekintsünk egy példát egy szabályos háromszög alakú piramis oldalfelületének kiszámítására.

Adott egy gúla, amelynek apotémje a = 4 cm és alaplapja b = 2 cm. Határozza meg a gúla oldalfelületének területét.
Először keresse meg az egyik oldalfelület területét. Ebben az esetben ez lesz:
Helyettesítsd be az értékeket a képletbe:
Mivel egy szabályos piramisban minden oldal azonos, a piramis oldalfelületének területe egyenlő lesz a három lap területének összegével. Illetőleg:

Egy csonka piramis területe

Megcsonkított A piramis olyan poliéder, amelyet egy gúla alkot, és az alappal párhuzamos keresztmetszete.
A csonka piramis oldalfelületének képlete nagyon egyszerű. A terület egyenlő az alapok kerülete és az apotém összegének felének szorzatával:

Melyik alakot nevezzük piramisnak? Először is, ez egy poliéder. Másodszor, ennek a poliédernek az alján van egy tetszőleges sokszög, és a piramis oldalai (oldallapjai) szükségszerűen háromszög alakúak, amelyek egy közös csúcsban konvergálnak. Most, miután megértette a kifejezést, megtudjuk, hogyan találjuk meg a piramis felületét.

Egyértelmű, hogy a felület olyan geometrikus test az alap területeinek és teljes oldalfelületének összegéből áll majd.

A piramis alapterületének kiszámítása

Választás számítási képlet a piramisunk alján fekvő sokszög alakjától függ. Lehet szabályos, azaz azonos hosszúságú oldalú, vagy szabálytalan. Tekintsük mindkét lehetőséget.

Az alap egy szabályos sokszög

Tól től iskolai tanfolyam ismert:

• a négyzet területe egyenlő lesz az oldal négyzetes hosszával;
• Egy egyenlő oldalú háromszög területe egyenlő az oldalának négyzetével osztva 4-gyel és megszorozva Négyzetgyök háromból.

De van olyan is általános képlet, bármely szabályos sokszög (Sn) területének kiszámításához: meg kell szorozni ennek a sokszögnek a kerületét (P) a beleírt kör sugarával (r), majd az eredményt el kell osztani kettővel: Sn= 1/2P*r.

Az alján egy szabálytalan sokszög található

A terület megtalálásának sémája az, hogy először a teljes sokszöget háromszögekre osztjuk, és mindegyikük területét a következő képlettel számítjuk ki: 1/2a*h (ahol a a háromszög alapja, h a magassága ezt az alapot), adja össze az összes eredményt.

A piramis oldalfelülete

Most számoljuk ki a piramis oldalfelületének területét, pl. az összes oldalsó oldala területének összege. Itt is van 2 lehetőség.

1. Legyen egy tetszőleges piramisunk, pl. amelyen alapul szabályos sokszög. Ezután külön-külön ki kell számítania az egyes arcok területét, és össze kell adnia az eredményeket. Mivel a piramis oldalai értelemszerűen csak háromszögek lehetnek, a számítást a fent említett képlet alapján végezzük: S=1/2a*h.
2. A piramisunk legyen helyes, i.e. az alján egy szabályos sokszög fekszik, és a piramis csúcsának vetülete van a középpontjában. Ezután az oldalsó felület (Sb) területének kiszámításához elegendő megtalálni az alapsokszög kerületének (P) és az oldalsó oldal magasságának (h) a szorzatának felét (minden lapra ugyanaz) ): Sb = 1/2 P*h. Egy sokszög kerületét úgy határozzuk meg, hogy az összes oldala hosszát összeadjuk.

Teljes felület szabályos piramisúgy kapjuk meg, hogy az alapterületét összeadjuk a teljes oldalfelület területével.

Példák

Például algebrai úton számítsuk ki több piramis felületét.

Háromszög alakú piramis felülete

Egy ilyen piramis alján egy háromszög található. Az So=1/2a*h képlet segítségével megtaláljuk az alap területét. Ugyanezzel a képlettel keressük meg a piramis minden lapjának területét, amelyek szintén háromszög alakúak, és 3 területet kapunk: S1, S2 és S3. A piramis oldalfelületének területe az összes terület összege: Sb = S1+ S2+ S3. Az oldalak és az alapterületek összeadásával megkapjuk a kívánt piramis teljes felületét: Sp= So+ Sb.

Négyszögletű piramis felülete

Az oldalfelület területe 4 tag összege: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, amelyek mindegyikét a háromszög területére vonatkozó képlet alapján számítjuk ki. És meg kell keresni az alap területét, a négyszög alakjától függően - szabályos vagy szabálytalan. A piramis teljes felületét ismét úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk az adott piramis alapterületét és teljes felületét.

Röviden a lényegről

Felület (2019)

A prizma felülete

Van általános képlet? Nincs be általános eset Nem. Csak meg kell keresnie az oldalfelületek területeit, és összegeznie kell őket.

A képlet erre írható egyenes prizma:

Hol van az alap kerülete.

De ez mindenkinél sokkal egyszerűbb konkrét eset ahelyett, hogy további képleteket memorizálna, adja össze az összes területet. Például számoljunk teljes felület szabályos hatszögletű prizma.

Minden oldallap téglalap alakú. Eszközök.

Ez már a hangerő kiszámításakor is megmutatkozott.

Így kapjuk:

A piramis felülete

Az általános szabály a piramisra is vonatkozik:

Most számoljuk ki a legnépszerűbb piramisok felületét.

Szabályos háromszög alakú piramis felülete

Legyen az alap oldala egyenlő és oldalborda egyenlő. Meg kell találnunk és.

Most emlékezzünk erre

Ez a terület szabályos háromszög.

És ne feledjük, hogyan keressük ezt a területet. A terület képletét használjuk:

Számunkra a „ ” ez, és a „ ” is ez, na.

Most keressük meg.

Az alapterületi képlet és a Pitagorasz-tétel segítségével azt találjuk

Figyelem: Ha te szabályos tetraéder(azaz), akkor a képlet a következő:

Egy szabályos négyszög alakú piramis felülete

Legyen az alap oldala egyenlő és az oldaléle egyenlő.

Az alap egy négyzet, és ezért.

Továbbra is meg kell találni az oldalfelület területét

Szabályos hatszögletű piramis felülete.

Legyen az alap oldala egyenlő és az oldaléle.

Hogyan lehet megtalálni? Egy hatszög pontosan hat egyforma szabályos háromszögből áll. Már kerestük a szabályos háromszög területét egy szabályos háromszög alakú piramis felületének kiszámításakor, itt a talált képletet használjuk.

Nos, már kétszer megkerestük az oldalfelület területét.

Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

Mert sikeres teljesítés Egységes államvizsga, költségvetési keretből való felvételhez, és ami a LEGFONTOSABB, élethosszig tartó felvételhez.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben - 299 dörzsölje.
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - 999 dörzsölje.

Igen, 99 ilyen cikk található a tankönyvünkben, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

A második esetben adunk neked szimulátor "6000 probléma megoldásokkal és válaszokkal, minden témához, minden bonyolultsági szinten." Ez minden bizonnyal elég lesz bármilyen témában a problémák megoldására.

Valójában ez sokkal több, mint egy szimulátor - egy egész képzési program. Szükség esetén INGYENESEN is használhatod.

Az oldal fennállásának TELJES időszakára minden szöveghez és programhoz hozzáférés biztosított.

Következtetésképpen...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!

Mielőtt megvizsgálná a geometriai alakzatra és tulajdonságaira vonatkozó kérdéseket, meg kell értenie néhány kifejezést. Amikor az ember hall egy piramisról, hatalmas épületeket képzel el Egyiptomban. Így néznek ki a legegyszerűbbek. De előfordulnak különböző típusokés alakzatok, ami azt jelenti, hogy a geometriai alakzatok számítási képlete más lesz.

piramis - geometriai alakzat , több arcot jelölve és ábrázolva. Lényegében ez ugyanaz a poliéder, amelynek alján egy sokszög található, és az oldalakon háromszögek kapcsolódnak egy ponthoz - a csúcshoz. Az ábrának két fő típusa van:

• helyes;
• megcsonkított.

Az első esetben az alap egy szabályos sokszög. Itt van minden oldalfelületek egyenlő maguk és a figura között tetszeni fog egy perfekcionista szemében.

A második esetben két alap van - egy nagy alul és egy kicsi a tetején, megismételve a fő alakját. Más szóval, a csonka gúla egy poliéder, amelynek keresztmetszete párhuzamos az alappal.

Kifejezések és szimbólumok

Kulcsfontossagu kifejezesek:

• Szabályos (egyenlő oldalú) háromszög- három egyforma szögű ábra és egyenlő oldalak. Ebben az esetben minden szög 60 fokos. Az ábra a legegyszerűbb szabályos poliéder. Ha ez a szám az alapnál fekszik, akkor egy ilyen poliédert szabályos háromszögnek neveznek. Ha az alap négyzet, akkor a piramist szabályos négyszög alakú piramisnak nevezzük.
• Csúcs– a legmagasabb pont, ahol az élek találkoznak. A csúcs magasságát egy egyenes vonal alkotja, amely a csúcstól a piramis alapjáig terjed.
• Él– a sokszög egyik síkja. Háromszög alakú piramis esetén lehet háromszög, vagy trapéz alakú. csonka piramis.
• Szakasz – lapos alak, boncolás eredményeként alakult ki. Nem szabad összetéveszteni egy résszel, hiszen egy szakasz azt is mutatja, hogy mi van a szakasz mögött.
• Apothem- a piramis tetejétől az aljáig húzott szakasz. Ez egyben az arc magassága is, ahol a második magassági pont található. Ez a meghatározás csak igazságos szabályos poliéder. Például, ha ez nem egy csonka piramis, akkor az arc háromszög lesz. Ebben az esetben ennek a háromszögnek a magassága lesz az apotém.

Területi képletek

Keresse meg a piramis oldalfelületét bármely típus többféleképpen is elvégezhető. Ha az ábra nem szimmetrikus és sokszög -val különböző oldalak, akkor ebben az esetben könnyebb kiszámolni teljes terület felületek az összes felület összességén keresztül. Más szóval, ki kell számítania az egyes arcok területét, és össze kell adnia őket.

Attól függően, hogy milyen paraméterek ismertek, szükség lehet négyzet, trapéz, tetszőleges négyszög stb. kiszámítására szolgáló képletekre. Maguk a képletek különböző esetek is lesznek különbségek.

Esetében a megfelelő alak A terület megtalálása sokkal egyszerűbb. Elég, ha csak néhány kulcsfontosságú paramétert ismer. A legtöbb esetben kifejezetten az ilyen számadatokhoz van szükség számításokra. Ezért az alábbiakban megadjuk a megfelelő képleteket. BAN BEN másképp Több oldalra kellene mindent kiírnom, ami csak összezavarna és összezavarna.

Számítási alapképlet egy szabályos piramis oldalfelülete lesz következő nézet:

S=½ Pa (P az alap kerülete és az apotéma)

Nézzünk egy példát. A poliéder alapja A1, A2, A3, A4, A5, és mindegyik egyenlő 10 cm-rel. Először is meg kell találni a kerületet. Mivel az alap mind az öt lapja egyforma, így találhatja meg: P = 5 * 10 = 50 cm Következő lépésként alkalmazzuk alapképlet: S =½*50*5=125 cm négyzet.

Szabályos háromszög alakú piramis oldalfelülete legkönnyebben kiszámítható. A képlet így néz ki:

S =½* ab *3, ahol a az apotém, b az alap lapja. A hármas tényező itt az alap felületeinek számát jelenti, az első rész pedig az oldalfelület területe. Nézzünk egy példát. Adott egy 5 cm-es apotém és 8 cm-es alapélű ábra: S = 1/2*5*8*3=60 cm négyzet.

Egy csonka piramis oldalfelülete Kicsit nehezebb kiszámolni. A képlet így néz ki: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, ahol p_01 és p_02 az alapok kerülete, és az apotéma. Nézzünk egy példát. Tegyük fel, hogy egy négyszögletű alaknál az alapok oldalainak mérete 3 és 6 cm, az apotéma pedig 4 cm.

Itt először meg kell találni az alapok kerületét: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Marad az értékek behelyettesítése a főképletbe, és így kapjuk: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm négyzetben.

Így bármilyen bonyolultságú szabályos piramis oldalfelületét megtalálhatja. Óvatosnak kell lenni, és nem szabad összekeverni ezeket a számításokat teljes terület az egész poliéder. És ha ezt továbbra is meg kell tennie, csak számítsa ki a poliéder legnagyobb alapterületét, és adja hozzá a poliéder oldalsó felületének területéhez.

Videó

Konszolidálja az oldalsó felület meghatározására vonatkozó információkat különböző piramisok, ez a videó segít.

Nem kapott választ a kérdésére? Javasolj témát a szerzőknek.