Vetítési terület tétel. Az ortográfiai vetítés és tulajdonságai
Vegyünk egy repülőgépet p és az azt metsző egyenes . Hadd A - tetszőleges pont a térben. Rajzoljunk egyenes vonalat ezen a ponton , párhuzamos a vonallal . Hadd . Pont pont vetületének nevezzük A a repülőhöz p párhuzamos kialakítással egy adott egyenes mentén . Repülőgép p , amelyre a tér pontjait vetítjük, vetületi síknak nevezzük.
p - vetítési sík;
- közvetlen tervezés; ;
; ; ;
Ortogonális kialakítás speciális eset párhuzamos kialakítás. Az ortogonális tervezés olyan párhuzamos kialakítás, amelyben a tervezési vonal merőleges a vetítési síkra. Az ortogonális kialakítást széles körben használják műszaki rajz, ahol az ábra három – vízszintes és két függőleges – síkra van vetítve.
Meghatározás:
Egy pont ortogonális vetülete M a repülőhöz p bázisnak nevezik M 1 merőleges MM 1, leesett a lényegről M a repülőhöz p.
Kijelölés: , 
, .
Meghatározás: Egy ábra ortogonális vetülete F a repülőhöz p a sík összes olyan pontjának halmaza, amely az ábra ponthalmazának merőleges vetülete F a repülőhöz p.
Az ortogonális kialakítás hasonló különleges eset A párhuzamos tervezés ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik:
p - vetítési sík;
- közvetlen tervezés; ;
1) ;
2) , .
- A párhuzamos egyenesek vetületei párhuzamosak.
SÍK ÁBRA KIVETÉSI TERÜLETE
Tétel: Egy sík sokszög vetítésének területe egy bizonyos síkra egyenlő a kivetített sokszög területével, megszorozva a sokszög síkja és a vetítési sík közötti szög koszinuszával.
1. szakasz: A vetített ábra egy ABC háromszög, amelynek AC oldala az a vetítési síkban van (párhuzamos az a vetületi síkkal).
Adott:
Bizonyít:
Bizonyíték:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. Három merőleges tételével;
ВD – magasság; B 1 D – magasság;
5. – lineáris szög diéderes szög ;
6. ; ; ; 
;
2. szakasz: A vetített ábra egy ABC háromszög, amelynek egyik oldala sem esik az a vetítési síkban, és nem párhuzamos vele.
Adott:
Bizonyít:
Bizonyíték:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(1. szakasz);
5. ; ; ;
(1. szakasz);
Színpad: A megtervezett figura egy tetszőleges sokszög.
Bizonyíték:
Egy sokszöget az egyik csúcsból húzott átlók osztanak fel végső szám háromszögek, amelyek mindegyikére igaz a tétel. Ezért a tétel igaz lesz minden olyan háromszög területének összegére is, amelyek síkjai azonos szöget zárnak be a vetítési síkkal.
Megjegyzés: A bizonyított tétel bármelyikre érvényes lapos alak, amelyet zárt görbe határol.
Feladatok:
1. Határozza meg annak a háromszögnek a területét, amelynek síkja szöget zár be a vetítési síkkal, ha a vetülete szabályos háromszög, amelynek oldala a.
2. Határozza meg annak a háromszögnek a területét, amelynek síkja szöget zár be a vetítési síkkal, ha a vetülete egyenlő szárú háromszög 10 cm-es oldalhosszal és 12 cm-es talppal.
3. Határozza meg annak a háromszögnek a területét, amelynek síkja szöget zár be a vetítési síkkal, ha a vetülete egy 9, 10 és 17 cm oldalú háromszög.
4. Számítsa ki annak a trapéznek a területét, amelynek síkja a vetítési síkhoz képest szöget zár be, ha a vetülete egyenlőszárú trapéz, melynek nagyobb alapja 44 cm, oldal 17 cm és átlója 39 cm.
5. Számítsa ki a vetítési területet szabályos hatszög 8 cm-es oldallal, melynek síkja a vetítési síkhoz képest szöget zár be.
6. Rombusz, melynek oldala 12 cm és hegyesszög adott síkkal szöget zár be. Számítsa ki a rombusz vetületének területét erre a síkra.
7. Egy 20 cm-es oldalú, 32 cm-es átlójú rombusz adott síkkal szöget zár be. Számítsa ki a rombusz vetületének területét erre a síkra.
8. A lombkorona vetülete vízszintes síkra egy téglalap, melynek oldalai és . Keresse meg a lombkorona területét, ha oldalsó arcok– egyenlő téglalapok, amelyek a vízszintes síkhoz képest szöget zárnak be, és középső része lombkorona - a vetítési síkkal párhuzamos négyzet.
11. Gyakorlatok a „Vonalok és síkok a térben” témában:
A háromszög oldalai egyenlők: 20 cm, 65 cm, 75 cm nagyobb oldala háromszög.
2. A síktól cm távolságra lévő pontból két ferde szöget húzunk, amelyek a síkkal egyenlő szögeket alkotnak, és ezek között derékszöget zárunk. Határozza meg a ferde síkok metszéspontjai közötti távolságot!
3. Oldal szabályos háromszög egyenlő 12 cm-rel. Az M pontot úgy választjuk meg, hogy az M pontot a háromszög összes csúcsával összekötő szakaszok szöget zárjanak be a háromszög síkjával. Határozza meg az M pont távolságát a háromszög csúcsaitól és oldalaitól!
4. A négyzet oldalát a négyzet átlójával szöget bezáró síkot húzzuk át. Keresse meg azokat a szögeket, amelyeknél a négyzet két oldala a síkhoz képest dől!
5. Egyenlőszárú láb derékszögű háromszög a hipotenuszon szögben áthaladó a síkra hajlik. Bizonyítsuk be, hogy az a sík és a háromszög síkja közötti szög egyenlő .
6. Kétszög a síkok között háromszögek ABCés DВС egyenlő . Keresse meg az AD-t, ha AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
Ellenőrző kérdések a „Vonalok és síkok a térben” témában
1. Sorolja fel a sztereometria alapfogalmait! Fogalmazd meg a sztereometria axiómáit!
2. Bizonyítsa be az axiómák következményeit!
3. Milyen? kölcsönös megegyezés két sor a térben? Adja meg a metsző, párhuzamos és ferde egyenesek definícióit!
4. Igazolja a ferde vonalak jelét!
5. Mi az egyenes és a sík egymáshoz viszonyított helyzete? Adja meg a metsző, párhuzamos egyenesek és síkok definícióit!
6. Igazolja az egyenes és a sík párhuzamosságának jelét!
7. Mi a két sík egymáshoz viszonyított helyzete?
8. Határozza meg párhuzamos síkok. Bizonyítsuk be, hogy két sík párhuzamos. Állítson fel tételeket párhuzamos síkokról.
9. Határozza meg az egyenesek közötti szöget.
10. Igazolja egy egyenes és egy sík merőlegességének előjelét!
11. Határozza meg a merőleges alapját, a ferde alapját, a ferde vetületét egy síkra! Fogalmazzuk meg az egy pontból síkra ejtett merőleges és ferde egyenesek tulajdonságait!
12. Határozza meg az egyenes és a sík szögét!
13. Igazoljuk a tételt három merőlegesről!
14. Adja meg a diéder szögének, a diéderszög lineáris szögének definícióit!
15. Igazolja két sík merőlegességének előjelét!
16. Határozza meg két különböző pont távolságát!
17. Határozza meg egy pont és egy egyenes távolságát.
18. Határozza meg egy pont és egy sík távolságát!
19. Határozza meg az egyenes és a vele párhuzamos sík távolságát!
20. Határozza meg a párhuzamos síkok távolságát!
21. Határozza meg a metsző egyenesek távolságát!
22. Határozza meg egy pont ortogonális vetületét egy síkra.
23. Határozza meg egy ábra síkra merőleges vetületét!
24. Fogalmazza meg a síkra vonatkozó vetületek tulajdonságait!
25. Fogalmazzon meg és bizonyítson be egy tételt egy sík sokszög vetületi területén.
fejezet IV. Egyenes vonalak és síkok a térben. Poliéder
55. § Sokszög vetületi területe.
Emlékezzünk vissza, hogy az egyenes és a sík közötti szög az adott egyenes és a síkra való vetülete közötti szög (164. ábra).
Tétel. Egy sokszög síkra merőleges vetületének területe megegyezik a kivetített sokszög területével megszorozva a szög koszinuszával, sík alkotja sokszög és vetítési sík.
Minden sokszög háromszögekre osztható, amelyek területeinek összege megegyezik a sokszög területével. Ezért egy háromszögre elegendő bebizonyítani a tételt.
Hadd /\
Az ABC egy síkra van vetítve R. Nézzünk két esetet:
a) az egyik fél /\
Az ABC párhuzamos a síkkal R;
b) egyik fél sem /\
Az ABC nem párhuzamos R.
Mérlegeljük első eset: legyen [AB] || R.
Rajzoljunk egy síkot (AB) keresztül! R 1 || Rés ortogonálisan tervezzük meg /\
Az ABC bekapcsolva R 1 és tovább R(165. ábra); kapunk /\
ABC 1 és /\
ABC".
A rendelkezésünkre álló vetületi tulajdonság alapján /\
ABC 1 /\
A"B"C", és ezért
S /\ ABC1=S /\ ABC"
Rajzoljuk _|_ és a D 1 C 1 szakaszt. Ekkor _|_ , a = φ a sík közötti szög értéke /\ ABC és repülőgép R 1 . Ezért
S /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ
és ezért S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.
Folytassuk a mérlegelést második eset. Rajzoljunk egy síkot R 1 || R azon a tetején /\
ABC, a sík távolsága R a legkisebb (legyen ez az A csúcs).
Tervezzünk /\
ABC egy repülőn R 1 és R(166. ábra); vetületei legyenek ill /\
AB 1 C 1 és /\
ABC".
Engedd (nap) p 1 = D. Akkor
S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ
Feladat. Oldalán keresztül az alap helyes háromszög prizma egy síkot φ = 30°-os szöget zárunk be az alapsíkjával. Határozza meg a kapott keresztmetszet területét, ha a prizma alapjának oldala A= 6 cm.
Ábrázoljuk ennek a prizmának a keresztmetszetét (167. ábra). Mivel a prizma helyes, akkor azt oldalsó bordák merőleges az alap síkjára. Eszközök, /\ Az ABC egy vetítés /\ Az ADC tehát
A sokszög ortogonális vetületi tétel részletes bizonyítása
Ha egy lakás vetülete n -gon egy síkra, akkor hol van a sokszögek síkjai közötti szög és. Más szóval, egy sík sokszög vetítési területe egyenlő a vetített sokszög területének és a vetítési sík és a vetített sokszög síkja közötti szög koszinuszának szorzatával.
Bizonyíték. én színpad. Végezzük el először a bizonyítást egy háromszögre. Tekintsünk 5 esetet.
1 eset. fekszenek a vetítési síkban .
Legyen a pontok vetületei a síkra, ill. A mi esetünkben. Tegyük fel, hogy. Legyen a magasság, akkor három merőleges tételével megállapíthatjuk, hogy - a magasság (- a ferde vetülete, - alapja és az egyenes átmegy a ferde alapján, és).
Mérlegeljük. Ez téglalap alakú. A koszinusz definíciója szerint:
Másrészt, mivel és akkor definíció szerint a síkok félsíkjai által és a határegyenessel alkotott kétszög lineáris szöge, és ezért mértéke egyben a kétszög közötti szög mértéke is. a háromszög vetületének síkjai és maga a háromszög, azaz.
Határozzuk meg a terület arányát:
Vegye figyelembe, hogy a képlet akkor is igaz marad, ha. Ebben az esetben
2. eset. Csak a vetítési síkban fekszik és párhuzamos a vetítési síkkal .
Legyen a pontok vetületei a síkra, ill. A mi esetünkben.
Rajzoljunk egy egyenest a ponton keresztül. Esetünkben az egyenes metszi a vetítési síkot, ami azt jelenti, hogy a lemma szerint az egyenes a vetítési síkot is metszi. Legyen ez a Mivel pontban, akkor a pontok ugyanabban a síkban fekszenek, és mivel párhuzamos a vetítési síkkal, akkor az egyenes és a sík párhuzamosságának előjele következtében ez következik. Ezért ez egy paralelogramma. Tekintsük és. Három oldaluk egyenlő (a közös oldal olyan, mint egy paralelogramma szemközti oldala). Jegyezzük meg, hogy a négyszög téglalap, és egyenlő (a láb és az alsó rész mentén), ezért három oldalról egyenlő. Ezért.
Az 1. esetre: , azaz
3. eset. Csak a vetítési síkban fekszik, és nem párhuzamos a vetítési síkkal .
Legyen a pont az egyenes és a vetítési sík metszéspontja. Vegye figyelembe, hogy és. 1 esetben: i. Így azt kapjuk
4. eset A csúcsok nem a vetítési síkban fekszenek . Nézzük a merőlegeseket. Vegyük ezek közül a merőlegesek közül a legkisebbet. Legyen merőleges. Kiderülhet, hogy vagy csak, vagy csak. Akkor úgyis visszük.
Tegyünk félre egy pontot egy szakaszon egy pontból úgy, hogy egy szakaszon lévő pontból pedig egy pontot úgy, hogy. Ez a konstrukció azért lehetséges, mert a merőlegesek közül ez a legkisebb. Ne feledje, hogy ez a és a konstrukció szerinti vetület. Bizonyítsuk be, hogy és egyenlőek.
Tekintsünk egy négyszöget. Feltétel szerint - egy síkra merőlegesek, tehát a tétel szerint tehát. Mivel konstrukció alapján, tehát a paralelogramma jellemzői alapján (párhuzamos és egyenlő ellentétes oldalakkal) megállapíthatjuk, hogy paralelogramma. Azt jelenti,. Hasonlóképpen bebizonyosodik, hogy,. Ezért, és egyenlők három oldalon. Ezért. Vegyük észre, hogy és mint a paralelogrammák ellentétes oldalai, ezért a síkok párhuzamossága alapján . Mivel ezek a síkok párhuzamosak, azonos szöget zárnak be a vetítési síkkal.
Az előző esetek érvényesek:.
5. eset A vetítési sík metszi az oldalakat . Nézzük az egyenes vonalakat. Ezek merőlegesek a vetítési síkra, tehát a tétel szerint párhuzamosak. Egyirányú sugarakon, amelyeknek origója pontokban van, elhalasztjuk egyenlő szegmensek, hogy a csúcsok a vetítési síkon kívül legyenek. Ne feledje, hogy ez a és a konstrukció szerinti vetület. Mutassuk meg, hogy egyenlő.
Azóta és építkezés szerint akkor. Ezért a paralelogramma kritériuma szerint (két egyenlő és párhuzamos oldalak), egy paralelogramma. Hasonló módon bizonyítjuk, hogy és paralelogrammák. De ekkor és (mint ellentétes oldalak) ezért három oldalon egyenlők. Azt jelenti,.
Ráadásul, és ezért a síkok párhuzamossága alapján. Mivel ezek a síkok párhuzamosak, azonos szöget zárnak be a vetítési síkkal.
A 4. esetre:.
II színpad. Osszuk fel egy lapos sokszöget háromszögekre a csúcsból húzott átlók segítségével: Ekkor az előző háromszög esetek szerint: .
Q.E.D.
A geometriai feladatokban a siker nem csak az elmélet ismeretén múlik, hanem egy jó minőségű rajzon is.
Lapos rajzokkal minden többé-kevésbé világos. De a sztereometriában a helyzet bonyolultabb. Hiszen ábrázolni kell háromdimenziós test rajta lakás rajzot, és így Ön és a rajzot néző személy is ugyanazt a térfogati testet látja.
Hogyan kell csinálni?
Természetesen a térfogati test bármely síkon lévő képe feltételes lesz. Van azonban egy bizonyos szabályrendszer. Van egy általánosan elfogadott módja a rajzok készítésének - párhuzamos vetítés.
Vegyünk egy térfogati testet.
Válasszunk vetítési sík.
A térfogattest minden pontján keresztül párhuzamos egyeneseket húzunk, amelyek tetszőleges szögben metszik a vetítési síkot. Ezen egyenesek mindegyike egy ponton metszi a vetítési síkot. És ezek a pontok együtt alkotnak kivetítés térfogati test egy síkra, vagyis annak lapos képe.
Hogyan készítsünk térfogati testek vetületeit?
Képzelje el, hogy van egy térfogati test kerete - prizma, piramis vagy henger. Meggyújtani párhuzamos nyaláb fény, képet kapunk - árnyékot a falon vagy a képernyőn. Vegye figyelembe, hogy különböző szögekből különböző képeket kapunk, de néhány minta továbbra is jelen van:
Egy szegmens vetülete szegmens lesz.
Természetesen, ha a szakasz merőleges a vetítési síkra, akkor egy ponton jelenik meg.
Egy kör kivetítése befelé általános eset ellipszisnek bizonyul.
A téglalap vetülete paralelogramma.
Így néz ki egy kocka síkra vetítése:
Itt az elülső és a hátsó felület párhuzamos a vetítési síkkal
Megteheti másként is:
Bármilyen szöget is választunk, előrejelzések párhuzamos szegmensek is rajta lesz a rajzon párhuzamos vonalak . Ez a párhuzamos vetítés egyik elve.
Megrajzoljuk a piramis vetületeit,
henger:
Ismételjük meg még egyszer a párhuzamos vetítés alapelvét. Kijelölünk egy vetületi síkot, és párhuzamos egyeneseket húzunk a térfogattest minden pontján keresztül. Ezek a vonalak tetszőleges szögben metszik a vetítési síkot. Ha ez a szög 90° - arról beszélünk O téglalap alakú vetítés. Téglalap vetítéssel a technológiai térfogati részek rajzai készülnek. Ebben az esetben felülnézetről, elölnézetről és oldalnézetről beszélünk.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete