Legyenek egyenlő szakaszok az l egyenesen. Milétosz Thalésze, avagy mennyire fontos tudni a háromszögek és a Thalész-tétel hasonlóságát
Terv:
- Bevezetés
- 1 Fordított tétel
- 2 Thalész tétele a kultúrában
- 3 Érdekes tények Megjegyzések
Bevezetés
Ez a tétel párhuzamos egyenesekről szól. Az átmérőn alapuló szöghez lásd egy másik tételt.Thalész tétele- a planimetria egyik tétele.
A tételnek nincs korlátozása kölcsönös megegyezés szekánsok (ez igaz a metsző és párhuzamos egyenesekre is). Az sem mindegy, hogy a szegmensek hol helyezkednek el.
Bizonyítás szekánsok esetén
Thalész-tétel bizonyítása
Tekintsük az össze nem kapcsolt szegmenspárok lehetőségét: a szöget metssék egyenesek AA 1 | | BB 1 | | CC 1 | | DD 1 és ahol AB = CD .
Bizonyítás párhuzamos egyenesek esetén
Rajzoljunk egy egyenest Kr. e. Szögek ABCés BCD egyenlőek az AB és CD párhuzamos egyenesekkel és a BC metszővel a belső keresztirányú fekvéssel, az ACB és a CBD szögek pedig egyenlőek az AC és BD párhuzamos egyenesekkel és a BC szekánsokkal belső keresztben fekvő szögekkel. Ezután a háromszögek egyenlőségének első kritériuma szerint háromszögek ABCés a DCB egyenlő. Ebből következik, hogy AC = BD és AB = CD. ■
Van még általánosított Thalész-tétel:
A párhuzamos vonalak arányos szegmenseket vágnak le a metszéspontoknál:
Thalész tétele egy speciális eset általánosított tétel Thales, mert egyenlő szegmensek meg lehetne fontolni arányos szegmensek 1-gyel egyenlő arányossági tényezővel.
1. Fordított tétel
Ha Thalész tételében egyenlő szegmensek indulnak a csúcsból (gyakran a iskolai irodalom ezt a megfogalmazást használják), akkor fordított tétel is igaznak bizonyul. Az egymást keresztező szekánsok esetében a következőképpen van megfogalmazva:
Thalész fordított tételében fontos, hogy a csúcsból egyenlő szakaszok induljanak ki
Így (lásd az ábrát) abból, ami következik, hogy egyenesek .
Ha a szekánsok párhuzamosak, akkor meg kell követelni, hogy a szegmensek mindkét szakaszon egyenlőek legyenek egymással, ellenkező esetben ez az állítás helytelenné válik (ellenpélda egy trapéz, amelyet az alapok felezőpontjain átmenő egyenes metsz).
2. Thalész-tétel a kultúrában
Argentin zenei csoport Les Luthiers ( spanyol) a tételnek szentelt dalt mutatott be. A dalhoz készült videó bizonyítja az arányos szegmensekre vonatkozó közvetlen tételt.
3. Érdekes tények
- Thalész tételét még mindig használják a tengeri hajózásban, mint szabály, hogy a hajóval mozgó hajók ütközése állandó sebesség, elkerülhetetlen, ha a hajók egymás felé irányulnak.
- Az orosz nyelvű irodalmon kívül Thalész tételét néha a planimetria egy másik tételének is nevezik, nevezetesen annak az állításnak, hogy a kör átmérőjén alapuló beírt szög helyes. Ennek a tételnek a felfedezése valóban Thalésznek tulajdonítható, amint azt Proklosz is bizonyítja.
- Thalész Egyiptomban tanulta meg a geometria alapjait.
Megjegyzések
- El Teorema de Thales a Les Luthiers en You Tube-on – www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY
- 3. Utazás Egyiptomba / Kezdőlap / Ókori irodalomés a filozófia. Thales Milétusból - www.fales-iz-mileta.narod.ru/3_puteshestvie_v_egipet
Ez az absztrakt az orosz Wikipédia egyik cikkén alapul. A szinkronizálás befejeződött: 07/16/11 23:06:34
Hasonló absztraktok:
Planimetriai tétel párhuzamokról és szekánsokról.
Az orosz nyelvű irodalmon kívül Thalész tételét néha a planimetria egy másik tételének is nevezik, nevezetesen azt az állítást, hogy a kör átmérőjével bezárt beírt szög derékszög. Ennek a tételnek a felfedezése valóban Thalésznek tulajdonítható, amint azt Proklosz is bizonyítja.
Kiszerelések [ | ]
Ha két egyenes egyikén egymás után több egyforma szakaszt fektetünk le, és a végükön párhuzamos vonalakat húzunk, amelyek metszik a második vonalat, akkor a második vonalon egyenlő szakaszokat vágnak le.
Egy általánosabb megfogalmazás, más néven arányos szegmens tétel
A párhuzamos vonalak arányos szegmenseket vágnak le a metszéspontoknál:
A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)Megjegyzések [ | ]
- A Thales-tétel az arányos szegmensek tételének speciális esete, mivel az egyenlő szegmensek arányos szegmenseknek tekinthetők, amelyek arányossági együtthatója 1.
Bizonyítás szekánsok esetén
Tekintsük az össze nem kapcsolt szegmenspárok lehetőségét: a szöget metssék egyenesek A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1))és ahol A B = C D (\displaystyle AB = CD).
Bizonyítás párhuzamos egyenesek esetén
Csináljunk direkt IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.. Szögek ABCÉs BCD egyenlő a belső keresztben fekvő párhuzamos vonalakkal ABÉs CDés szekant IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT., és a szögek ACBÉs CBD egyenlő a belső keresztben fekvő párhuzamos vonalakkal A.C.És BDés szekant IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.. Ezután a háromszögek egyenlőségének második kritériuma szerint a háromszögek ABCÉs DCB egyenlőek. Ebből következik, hogy A.C. = BDÉs AB = CD. ■
Változatok és általánosítások[ | ]
Fordított tétel[ | ]
Ha Thalész tételében az egyenlő szegmensek a csúcsból indulnak ki (ezt a megfogalmazást gyakran használják az iskolai szakirodalomban), akkor a fordított tétel is igaz lesz. A metsző szekánsok esetében a következőképpen van megfogalmazva:
Thalész fordított tételében fontos, hogy a csúcsból egyenlő szakaszok induljanak ki
Így (lásd az ábrát) attól, hogy C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1)))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), ezt követi A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).
Ha a szekánsok párhuzamosak, akkor meg kell követelni, hogy a szakaszok mindkét szakaszon egyenlőek legyenek egymással, ellenkező esetben ez az állítás hamis lesz (ellenpélda egy trapéz, amelyet az alapok felezőpontjain átmenő egyenes metsz).
Ezt a tételt használják a navigációban: az állandó sebességgel haladó hajók ütközése elkerülhetetlen, ha az egyik hajóról a másikra irányulnak.
Sollertinsky lemmája[ | ]
A következő állítás kettős Sollertinsky lemmájával:
|
Hadd f (\displaystyle f)- projektív megfeleltetés egy egyenes pontjai között l (\displaystyle l)és egyenes m (\displaystyle m). Ekkor a vonalak halmaza valamilyen (esetleg degenerált) kúpszakasz érintőinek halmaza lesz. |
Thalész tétele esetén a kúp végtelen lesz távoli pont, amely megfelel a párhuzamos egyenesek irányának.
Ez az állítás viszont az korlátozó eset a következő nyilatkozatot:
|
Hadd f (\displaystyle f) - projektív transzformáció priccsek. Ezután az egyenesek halmazának borítéka X f (X) (\displaystyle Xf(X)) kúp alakú lesz (esetleg degenerált). | ]Ez a sír kicsi, de a dicsőség felette óriási. Felirat a milétoszi Thalész sírjára
Képzeld el ezt a képet. Kr.e. 600 Egyiptom. Ön előtt egy hatalmas egyiptomi piramis. Ahhoz, hogy meglepje a fáraót, és kedvencei között maradjon, meg kell mérnie ennek a piramisnak a magasságát. Nincs... semmi sem a rendelkezésedre. Kétségbeeshetsz, vagy viselkedhetsz úgy Milétosz Thalésze: Használja a háromszög hasonlósági tételt. Igen, kiderül, hogy minden nagyon egyszerű. A milétoszi Thalész megvárta, amíg árnyékának hossza és magassága egybeesik, majd a háromszögek hasonlóságára vonatkozó tételt felhasználva megtalálta a piramis árnyékának hosszát, amely ennek megfelelően megegyezett a piramis által vetett árnyékkal. piramis. Ki ez a srác? Milétosz Thalésze? Az az ember, aki az ókor „hét bölcsének” egyikeként szerzett hírnevet? Thales of Miletus egy ókori görög filozófus, aki a csillagászat, valamint a matematika és a fizika területén sikereket ért el. Életének éveit csak hozzávetőlegesen állapították meg: Kr.e. 625-645 Thalész csillagászati ismereteinek bizonyítékai közül a következő példa hozható fel. Kr.e. 585. május 28 Milétosz jóslata Napfogyatkozás segített lezárni a Lydia és Media között 6 évig tartó háborút. Ez a jelenség annyira megrémítette a médeket, hogy kedvezőtlen feltételekben állapodtak meg a lídiaiakkal való béke megkötésére. Van egy meglehetősen széles körben ismert legenda, amely Thalest leleményes emberként jellemzi. Thales gyakran hallott nem hízelgő megjegyzéseket szegénységéről. Egy nap úgy döntött, bebizonyítja, hogy a filozófusok, ha akarnak, bőségben élhetnek. Thalész még télen is a csillagok megfigyelése alapján megállapította, hogy nyáron jó lesz az olajbogyó termés. Ugyanakkor Milétoszban és Khioszban olajpréseket bérelt. Ez elég kevésbe került neki, mivel télen gyakorlatilag nincs rájuk kereslet. Amikor az olajbogyók gazdag termést hoztak, Thales elkezdte bérbe adni olajpréseit. Összegyűjtött nagyszámú az ezzel a módszerrel való pénzkeresést annak bizonyítékának tekintették, hogy a filozófusok elméjükkel is tudnak pénzt keresni, de hivatásuk magasabb, mint az ilyen földi problémák. Ezt a legendát egyébként maga Arisztotelész is megismételte. Ami a geometriát illeti, sok „felfedezését” az egyiptomiaktól kölcsönözték. Pedig ezt a tudásátadást Görögországnak tekintik a milétoszi Thalész egyik fő érdemének. A Thalész vívmányait a következők megfogalmazásának és bizonyítékának tekintjük tételek:
Thalész nevéhez fűződik egy másik tétel is, amely hasznos a megoldásban geometriai problémák. Létezik annak általánosított és sajátos formája, az inverz tétel, a megfogalmazások forrástól függően némileg eltérhetnek, de jelentése mindegyiknek ugyanaz marad. Tekintsük ezt a tételt. Ha párhuzamos egyenesek metszik egy szög oldalait, és az egyik oldalon egyenlő szakaszokat vágnak le, akkor a másik oldalon egyenlő szakaszokat vágnak le. Tegyük fel, hogy az A 1, A 2, A 3 pontok a párhuzamos egyenesek metszéspontjai a szög egyik oldalával, a B 1, B 2, B 3 pedig a párhuzamos egyenesek metszéspontjai a szög másik oldalával. . Be kell bizonyítani, hogy ha A 1 A 2 = A 2 A 3, akkor B 1 B 2 = B 2 B 3. A B 2 ponton keresztül az A 1 A 2 egyenessel párhuzamos egyenest húzunk. Jelöljük az új C 1 C 2 egyenest. Tekintsük az A 1 C 1 B 2 A 2 és A 2 B 2 C 2 A 3 paralelogrammákat. A paralelogramma tulajdonságai alapján kijelenthetjük, hogy A1A2 = C 1 B 2 és A 2 A 3 = B 2 C 2. És mivel feltételünk szerint A 1 A 2 = A 2 A 3, akkor C 1 B 2 = B 2 C 2. Végül pedig vegyük figyelembe a Δ C 1 B 2 B 1 és Δ C 2 B 2 B 3 háromszögeket. C 1 B 2 = B 2 C 2 (fent bizonyított). Ez azt jelenti, hogy Δ C 1 B 2 B 1 és Δ C 2 B 2 B 3 egyenlő lesz a háromszögek (mellett és szomszédos szögek) második egyenlőségének jele szerint. Így Thalész tétele bebizonyosodott. Ennek a tételnek a használata nagyban megkönnyíti és felgyorsítja a geometriai feladatok megoldását. Sok sikert a matematika e szórakoztató tudományának elsajátításához! blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges. Párhuzamokról és szekánsokról. Az orosz nyelvű irodalmon kívül Thalész tételét néha a planimetria egy másik tételének is nevezik, nevezetesen azt az állítást, hogy a kör átmérőjével bezárt beírt szög derékszög. Ennek a tételnek a felfedezése valóban Thalésznek tulajdonítható, amint azt Proklosz is bizonyítja.
Ha két egyenes egyikén egymás után több egyforma szakaszt fektetünk le, és a végükön párhuzamos vonalakat húzunk, amelyek metszik a második vonalat, akkor a második vonalon egyenlő szakaszokat vágnak le. Egy általánosabb megfogalmazás, más néven arányos szegmens tétel
A párhuzamos vonalak arányos szegmenseket vágnak le a metszéspontoknál: Bizonyítás szekánsok esetén Tekintsük az össze nem kapcsolt szegmenspárok lehetőségét: a szöget metssék egyenesek A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1))és ahol A B = C D (\displaystyle AB = CD). Bizonyítás párhuzamos egyenesek esetén Csináljunk direkt IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.. Szögek ABCÉs BCD egyenlő a belső keresztben fekvő párhuzamos vonalakkal ABÉs CDés szekant IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT., és a szögek ACBÉs CBD egyenlő a belső keresztben fekvő párhuzamos vonalakkal A.C.És BDés szekant IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.. Ezután a háromszögek egyenlőségének második kritériuma szerint a háromszögek ABCÉs DCB egyenlőek. Ebből következik, hogy A.C. = BDÉs AB = CD. ■
Ha Thalész tételében az egyenlő szegmensek a csúcsból indulnak ki (ezt a megfogalmazást gyakran használják az iskolai szakirodalomban), akkor a fordított tétel is igaz lesz. A metsző szekánsok esetében a következőképpen van megfogalmazva: Thalész fordított tételében fontos, hogy a csúcsból egyenlő szakaszok induljanak ki Így (lásd az ábrát) attól, hogy C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1)))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), ezt követi A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ). Ha a szekánsok párhuzamosak, akkor meg kell követelni, hogy a szakaszok mindkét szakaszon egyenlőek legyenek egymással, ellenkező esetben ez az állítás hamis lesz (ellenpélda egy trapéz, amelyet az alapok felezőpontjain átmenő egyenes metsz). Ezt a tételt használják a navigációban: az állandó sebességgel haladó hajók ütközése elkerülhetetlen, ha az egyik hajóról a másikra irányulnak. A következő állítás kettős Sollertinsky lemmájával: Hadd f (\displaystyle f)- projektív megfeleltetés egy egyenes pontjai között l (\displaystyle l)és egyenes m (\displaystyle m). Ekkor a vonalak halmaza valamilyen (esetleg degenerált) kúpszakasz érintőinek halmaza lesz. Thalész tétele esetén a kúp a párhuzamos egyenesek irányának megfelelő végtelen pont lesz. Ez az állítás viszont a következő állítás korlátozó esete: Hadd f (\displaystyle f)- kúp projektív transzformációja. Ezután az egyenesek halmazának borítéka X f (X) (\displaystyle Xf(X)) kúp alakú lesz (esetleg degenerált). Párhuzamokról és szekánsokról. Az orosz nyelvű irodalmon kívül Thalész tételét néha a planimetria egy másik tételének is nevezik, nevezetesen azt az állítást, hogy a kör átmérőjével bezárt beírt szög derékszög. Ennek a tételnek a felfedezése valóban Thalésznek tulajdonítható, amint azt Proklosz is bizonyítja. Ha két egyenes egyikén egymás után több egyforma szakaszt fektetünk le, és a végükön párhuzamos vonalakat húzunk, amelyek metszik a második vonalat, akkor a második vonalon egyenlő szakaszokat vágnak le. Egy általánosabb megfogalmazás, más néven arányos szegmens tétel A párhuzamos vonalak arányos szegmenseket vágnak le a metszéspontoknál: Bizonyítás szekánsok esetén Tekintsük az össze nem kapcsolt szegmenspárok lehetőségét: a szöget metssék egyenesek A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1))és ahol A B = C D (\displaystyle AB = CD). Bizonyítás párhuzamos egyenesek esetén Csináljunk direkt IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.. Szögek ABCÉs BCD egyenlő a belső keresztben fekvő párhuzamos vonalakkal ABÉs CDés szekant IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT., és a szögek ACBÉs CBD egyenlő a belső keresztben fekvő párhuzamos vonalakkal A.C.És BDés szekant IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.. Ezután a háromszögek egyenlőségének második kritériuma szerint a háromszögek ABCÉs DCB egyenlőek. Ebből következik, hogy A.C. = BDÉs AB = CD. ■
Ha Thalész tételében az egyenlő szegmensek a csúcsból indulnak ki (ezt a megfogalmazást gyakran használják az iskolai szakirodalomban), akkor a fordított tétel is igaz lesz. A metsző szekánsok esetében a következőképpen van megfogalmazva: Így (lásd az ábrát) attól, hogy C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1)))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), ezt követi A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ). Ha a szekánsok párhuzamosak, akkor meg kell követelni, hogy a szakaszok mindkét szakaszon egyenlőek legyenek egymással, ellenkező esetben ez az állítás hamis lesz (ellenpélda egy trapéz, amelyet az alapok felezőpontjain átmenő egyenes metsz). Ezt a tételt használják a navigációban: az állandó sebességgel haladó hajók ütközése elkerülhetetlen, ha az egyik hajóról a másikra irányulnak. A következő állítás kettős Sollertinsky lemmájával: Hadd f (\displaystyle f)- projektív megfeleltetés egy egyenes pontjai között l (\displaystyle l)és egyenes m (\displaystyle m). Aztán a sorok halmaza X f (X) (\displaystyle Xf(X)) némelyik érintőjének halmaza lesz |
