Geometria óra 8. osztályban a témában

„Az akkordok, érintők és szekánsok szegmenseinek arányossága”

Az óra céljai:

mintákat azonosítani az akkordok, érintők és szekánsok szegmensei között; határozza meg az érintő és az érintési ponthoz húzott húr közötti szög mértékét (amely nem központi és nem beírt);

biztosítsa az új anyag észlelését geometriai szemléltetéssel és képletek írásával;

rávezeti a tanulókat arra, hogy önállóan fedezzék fel a tételek bizonyítását a korábban tárgyalt anyagon feltett iránymutató kérdéseken keresztül; bizonyítási készségek kialakítása;

adott feladat algoritmizálásának megtanulása és a felhalmozott tudás felhasználása annak megoldására;

a műveltség előmozdítása a geometriai bizonyítások tervezésében;

ítéletek és következtetések kialakítása elemzési, szintézis, indukciós módszerekkel;

olyan tulajdonságok fejlesztése a tanulókban, mint a pontosság, világosság és logika a gondolatok kialakításában és bemutatásában;

fejlesztés absztrakt gondolkodás, a gondolkodási folyamatok aktiválása, a vizuális és hallási memória, a tanulók beszédkészsége.

Az óra típusa:új anyagok tanulása.

Tanterv.

Felkészülés új dolgok megtanulására elméleti anyag hallgatók felmérésével fő elméleti alapelvek a körről és a hozzá kapcsolódó elemekről (érintők, szekánsok, akkordok, szögek).

Elméleti anyag bemutatása.

1. Az átmérő és a húrszegmensek arányossága; akkordszakaszok arányossága.

   Az érintő és az érintési pontig húzott húr közötti szög.

   Szekáns és érintő szegmensek arányossága, szekáns szakaszok arányossága.

Az óra összegzése: tanulók felmérése a tételek megfogalmazásáról, gondolatok tételek bizonyítására, rögzítés házi feladat a tanár megjegyzéseivel.

Felkészülés új anyag tanulmányozására.

Emlékeztető a „Kör és egy vonal egymáshoz viszonyított helyzete”, „Kör érintője”, „Az érintőszegmensek tulajdonságai”, „Középszög”, „Beírt szög” témakörök főbb rendelkezéseire. Beírt szög mérése egy központi szögön keresztül." A következő kérdésekre kell kitérni:

Hasonló háromszögek; a háromszögek hasonlóságának jelei.

Az egyenes és a kör egymáshoz viszonyított helyzete: a szekáns definíciója, egy húr, mint egy körön belül fekvő szekáns szakasz; tangens.

A középponti szög meghatározása; beírt szög meghatározása; fokmérő központi szög; a beírt szög mérése a központi szögön keresztül; a beírt szögtétel következményei.

Új elméleti anyagok tanulmányozása, jegyzetelése.

2.1. Az akkordszakaszok arányossága.

Ez az elméleti rész tartalmaz egy tételt a húr és egy átmérő egy közös ponttal rendelkező szakaszainak arányosságáról, egy következményt két húr esetére, valamint egy általánosítást arra az esetre, ha tetszőleges számú húr halad át egy közös ponton.

1. Tétel: Ha egy kör belsejében vett ponton (M) keresztül egy húrt (AB) és egy átmérőt (CD), akkor a húrszegmensek () szorzata egyenlő az átmérőjű szakaszok szorzatával (
)(1. ábra.).

D anno: Okr( RÓL RŐL; OA),
- átmérő, AB- akkord,
.

Bizonyít:= .

Bizonyíték: Az egyenlőség bizonyításához elég az arányokat összehasonlítani
És
. Az arányos szakaszok hasonló háromszögek hasonló oldalai. Vegye figyelembe a háromszögeket
És
. Ezek a háromszögek hasonlóak lesznek a háromszögek hasonlóságának első jele szerint: függőlegesek; mint írva, ugyanazon az íven nyugszik ÉS. A háromszögek hasonlóságából következik a hasonló oldalak arányossága, azaz.

, vagy
, vagy = .

2. Következmény: Ha egy kör két húrja metszi egymást, akkor az egyik akkord szakaszainak szorzata egyenlő egy másik húr szakaszainak szorzatával (2. ábra).

Adott: Okr( RÓL RŐL; OA), AB,EF- akkordok,
.

Bizonyít:=
.

Bizonyíték: Rajzoljuk meg az átmérőt CD ponton keresztül M. Ezután az 1. Tétel szerint az akkordra AB: = ;

akkordhoz EF:
= .

Mivel az egyenlőségek jobb oldalai egyenlők, a bal oldalak is egyenlők, azaz.

3. következmény (az 1. következmény általánosítása): Ha egy körön belül vett ponton (M) keresztül tetszőleges számú akkordot (AB, EF, KL,...), akkor az egyes húrok szakaszainak szorzata egy olyan szám, amely minden húrra állandó (mivel minden húr esetében ez a szorzat egyenlő az adott ponton átmenő átmérőjű szakaszok szorzatával).

Az érintő és az érintési pontig húzott húr közötti szög.

Ez az elem lehetővé teszi az érintő és az érintési ponthoz húzott húr közötti szög mértékének meghatározását (amely nem egy középső szög, és nem is egy körbe írt szög). Lehetővé teszi az érintő és a szekáns szegmensek arányosságára vonatkozó tétel bizonyítását is.

4. Tétel: Az érintő és az érintkezési ponthoz húzott húr közötti szöget az ezen húrt behálózó ív felével mérjük (3. ábra).

D anno: Okr( Ó OA), AC- érintő, A- kapcsolattartási pont,

AB– akkord.

Bizonyít:
.

Bizonyíték: Jelöljük a szükségeset
keresztül . Mert AC– tangens tehát
. Mérlegeljük
- egyenlő szárú ( JSC, VO– sugarak), akkor

Keressük

a másik oldalon
, ennélfogva,
, vagy
.

Az érintő és a szekáns szakaszok arányossága.

Ez a rész lehetővé teszi annak meghatározását arányos szegmensek egy pontból húzott érintőre és szekánsra, egy pontból egy adott körre két vagy több szekánsra.

5. Tétel: Ha a körön kívülre vett (M) pontból húzunk rá valamilyen szekánst (MA) és érintőt (MS), akkor a metszés (MA) és annak szorzata külső rész(MV) egyenlő az érintő (MC) négyzetével (4. ábra).

D anno: Okr( Ó OA), KISASSZONY- érintő, MA- szekant

MV– a szekáns külső része MA.

Bizonyít:
.

Bizonyíték: Az egyenlőség bizonyításához elég az arányokat összehasonlítani
És
, azaz fontolja meg
És
. Mutassuk meg, hogy hasonlóak. Valóban,
- Tábornok,
felirat szerint, és
a 4. Tétel szerint (mint az érintő és az érintési pontig húzott húr közötti szög), azaz. .

Tehát hasonló (a háromszögek 1. hasonlósági kritériuma szerint), és ezért = , vagy .

6. Következmény: Ha egy körön kívüli pontból tetszőleges számú szekánst húzunk, akkor minden szekáns és külső részének szorzata minden szekánsra állandó szám (mivel minden szekánsnál ez a szorzat egyenlő a négyzettel a felvett ponton keresztül húzott érintő).

Összegzés.

Az elméleti anyag elsődleges megszilárdítása a tételek és a következtetések megfogalmazásainak, bizonyítási ötleteinek kimondásán keresztül.

Házi feladatként a következőket javasolták:

elméleti probléma: Átmérő AB egy adott kör egy ponton túlnyúló BAN BEN. Egy ponton keresztül VAL VEL ebből a folytatásból egyenes vonal húzódik
. Ha egy tetszőleges pont M kösd ezt merőlegesen a pontra A, majd (jelöli a második metszéspont ennek az egyenesnek a körével) a szorzat
bármely M pont állandó értéke.

666. és 671. számú feladat (L. S. Atanasyan tankönyve) a képletek alkalmazásáról arányos szegmensek akkordok, érintők és szekánsok;

660. számú feladat a „Beírt szög” témakör áttekintésére;

jól olvasott elméleti anyagot tanulj meg (mivel a következő leckét állítólag ezzel kell kezdeni próba munka ezen elmélet szerint).

Termelékenység. Az óra során a tanulók mintákat azonosítottak az akkordok, érintők és szekánsok szegmensei között; meg kell határozni az érintő és az érintési ponthoz húzott húr közötti szög mértékét; biztosított volt a tanulók számára az új anyagok észlelése a geometriai illusztrációkkal és a képletek írásával; A diákokat arra képezték, hogy kompetensek legyenek a geometriai bizonyítások tervezésében.

A tételek bizonyításához olvassa el a „Kör. Egy egyenes és egy kör egymáshoz viszonyított helyzete. Középső és beírt szögek. Emlékezzünk vissza a szegmensek mint oldalak arányosságának fogalmára hasonló háromszögek.

Külön ki kell emelni két akkord szakaszának arányosságát. A bizonyítás történhet írásban és szóban is, az adott osztálytól és az óratempótól függően.

Jobb, ha a tanár felírja az elméleti anyagot (az íráshoz szükséges megfogalmazásokat) a táblára, hogy időt, a tervezés minőségét takarítsa meg, és minél jobban bevonja a tanulókat a tételek bizonyításának felfedezésébe.

Magas munkatempónál megfontolhatja elméleti probléma javasolt a házi feladatban, terjessze elő a bizonyíték ötletét, és hagyja otthon a tervezést.

A következő leckében tanult anyag ellenőrzéséhez vezetnie kell frontális felmérés elmélet formájában írásbeli munka, amely tartalmazhat egyszerű feladat tovább alapképletek arányosság körben.

Irodalom.

arányosság szegmensek? Nyilván a hasonlóságból... pl. leckegeometria a VI osztály tovább téma"Háromszög felépítése Által két szög... kialakult akkordÉs érintők az ívhez a végpontként szolgáló pontokon akkordok, egyenlőek" ...

^ Az óra céljai. Ellenőrizze a tanulók tudását és megértését a témában: „Beírt szög”; vegye figyelembe az elméleti anyagot (az akkordokról és szekánsokról); erősíti a problémamegoldó készségeket.

^ ÉN. Házi feladatok

II. A tudás ellenőrzése

Az elmélet tesztelése, a hallgatók tudásának tesztelése a „Beírt szög” témakörben teszt jellegű. A teszt nemcsak a definíciók és tulajdonságok tényleges ismeretét ellenőrzi, hanem a fogalmak közötti összefüggések megértését is. Ezért néhány kérdés nem szigorúan a tankönyv szerint van kialakítva. 5-7 percet vesz igénybe. A munkát értékelni kell. Ha a tanuló nem sikerül, javasolt a szövegezési tudását a tankönyvből tesztelni.

A tesztet a téma végén végezzük, mivel ki kell dolgozni az összes kapcsolatot az ív, a középső és a beírt szögek között.

A tanulóknak csak a megfelelő számokat kell beírniuk a teszt kitöltésekor. Időt takarítunk meg, és gondolkodásra késztetjük a tanulókat.

A teszt után válaszolhatsz arra a kérdésre, amely a legtöbb tanuló érdeklődését felkeltette.

Teszt (L. S. Atanasyan tankönyve szerint)

1.opció

2. lehetőség

Válaszok: 1-6; 2-4; 3-8; 4-1; 5-10; 6-9; 8-3; 9-5; 10-7.

Kombinálja a kifejezés elejét és végét igaz állítás. Válaszában tüntesse fel a bal és a számokat megfelelő részek feladatok, például: 2-5.

1.opció

Válaszok: 1-9; 2-7; 3-8; 4-10; 5-1; 6-4; 7-2; 8-3; 9-5; 10-6.

2. lehetőség

Válaszok. 1-4; 2-6; 3-8; 4-10; 5-7; 7-2; 8-3; 9-1; 10-5.

III. Új anyag magyarázata

^ U.Írjuk le az óra témáját, és szóban elemezzük a problémát a kész rajz segítségével (31. ábra)

U. Körbe húzott átmérő AC, akkordok BD, NE és AD és érintő CN, amely 30°-os szöget zár be az AD húr folytatásával.

megtalálja DBC.

A probléma indoklása:

1) Mi a szög neve? DBC, Milyen íven nyugszik?

2) Mit mondhatunk a szénről TUD?

3) Érintő tulajdonság CN.

4) Hogyan lehet kiszámítani a CAN szög értékét?és miért?

Következtetés: DBC = 60°

A megbeszélés során bejelöljük a rajzon egyenlő szögek, és ACN = 90 °. Ezután javasoljuk, hogy vegyük figyelembe a háromszögeket HSRés az AMD. Ezek a háromszögek hasonlóak (adhat tippet, ha maga nem látja).

A háromszögek hasonlóságának bizonyításához emlékeznünk kell a hasonlóság jeleire.

A rajzon már meg vannak jelölve az egyenlő szögek C.B.M. = CAD(pihenj egy íven). Nem marad más hátra, mint észrevenni függőleges szögek:

IUD = AMD, VSM ~ ∆ AMD (két sarokban).

Mit kell mondani a hasonló háromszögek megfelelő oldalairól? Alkoss egy arányt:

BM AM = CM DM = BC AD.

U.. Melyek a kör azon szakaszai, amelyek beleszámítanak az arányba?

^ D. Húrok és átmérők részei.

U. Vagyis feltételezhetjük, hogy a körben metsző akkordok között van kapcsolat.

Fogalmazzuk meg a tételt: ha egy kör két húrja metszi egymást, akkor az egyik akkord szakaszainak szorzata egyenlő a másik húr szakaszainak szorzatával.

A bizonyítást Atanasyan tankönyve szerint végzik, a tanulók felkészültek a tétel megértésére, és a lejegyzés nem sok időt vesz igénybe.

Úgy gondoljuk, hogy figyelembe kell venni a szekáns tételt.

Készítünk egy rajzot a tételhez, és megtudjuk, mit értünk egy kör szekánsán: a kört két pontban metsző egyenes.

Írjuk fel tétel megfogalmazása: ha egy pontból hazudik

a körön kívül két szekánst húzunk, ekkor a szekáns és külső részeinek szorzata egyenlő. (Vagy: ha két szekánst húzunk a P pontból a körbe, amelyek a kört az A pontokban metszik, BAN BENés C, D illetőleg,

Hogy ARBP = =CP-D.P.)

Adott: B.P.És D.P.- szekánsok (32. ábra).

Bizonyítsuk be: BP AP = PD PC.

Bizonyíték:

1. Végezzünk el egy további konstrukciót: NapnAD.

BC^ AD = PC/AP = BP/PD → PC PD = AP BP.

Tekintsük továbbra is a szekánsok és a kör egymáshoz viszonyított helyzetét. Ha ezt a rajzot úgy változtatjuk meg, hogy a szekáns PB felveszi az érintő helyzetét, akkor tételünk a következőképpen fog megfogalmazódni: ha a körön kívüli pontból húzunk egy szekánst és egy érintőt, akkor a négyzet az érintőről egyenlő a termékkel a külső részéhez nyúlik.

P Tehát ezt bizonyítanunk kell BP 2 = PD PC.

Rajzoljunk akkordokat NapÉs B.D.

BDC = ½uNap(ahogy írva van);

SVR = ½ uNap(az érintő és az akkord közötti szög), ezért

BDC = C.B.P..

∆BPD~ ∆CPBkét sarkán.

Írjuk fel az arányt:

BD/BC = BP/PC =PD/BP, ami azt jelenti BP 2 = PC PD.

A tétel megfogalmazásának lejegyzése után megoldható a 670. számú feladat (Atanasyan), és így elvégezhető a tétel bizonyítása. Mivel a bizonyítási elv ismétlődik, mindhárom tételben a hasonlóságon alapul, megkérheti valamelyik tanulót, hogy a táblánál végezze el a bizonyítást.

1. probléma

KL és MN szekánsok (34. ábra). Milyen tulajdonság fogalmazható meg? (Megbeszélünk és rajzot készítünk, a rajz alapján megoldunk egy feladatot.)

Akkordok MN és KL Határozza meg a CL szakasz hosszát, ha KC = 3 cm, MC = 3 cm; CH = 9 cm.

Megoldás:

1. 
   MS CH = KS CL(a kör akkordjainak tulajdonsága alapján),
2. 
   CL=(MC CH): KC, CL = (2 9): 3, CL = 6 (cm).

Ezzel a rajzzal egy másik problémát oldunk meg az adatok megváltoztatásával:

KL= 14 dm, SM = 4 dm, CH = 12 dm.

Keresés: KS.

Megoldás:

1. 
   MS Sn = KS CL. Nem kapjuk meg a KS és CL szegmenseket, hanem a teljes KL szegmens adott.
2. 
   Legyen KS = x(dm), akkor CL= (14-x)dm.

x 2 – 14x: + 48 = Ó,

x 1 = 6,

x 2 = 8.

KS = 6 dm, akkorC.L. = 8 dm (vagy fordítva).

Válasz: 6 dm; 8 dm.

2. probléma

Mik HIRDETÉS , AB a képen (35. ábra)?

HIRDETÉS - metsző,AB - érintő.

Hogyan kapcsolódnak ezek a szegmensek?

AB 2 = HIRDETÉS AC

Csináljuk №671 (Atanasyan).

Adott: AB - tangens,

HIRDETÉS - metsző.AB = 4 cm,

AC = 2 cm.

Megtalálja: CD . Rizs. 35

Megoldás:

1 )AB 2 = HIRDETÉS AC (a körön kívüli pontból húzott szekáns és érintő tulajdonságával).

2) AD = DC + CA, legyen DC = x (cm) Akkor AD = (x + 2) cm.

3) Készítsünk egy egyenletet:

4 2 = (X + 2) - 2,

16 = 2x + 4, 2x = 12,

x = 6.

CD= 6 cm.

Válasz: CD= 6 cm.

Ha időnk engedi, megoldjuk az 557. számú feladatot (A. Gaishut és G. Litvinenko „Feladatgyűjtemény a planimetriáról, 8-9.”).

Egy pontból egy körbe egy érintőt és egy szekánst húzunk. Ha ismert, hogy a belső szakasz és a külső szakasz aránya 3:1, keresse meg a szekánst. Érintő hossza 12 cm.

Ezt a feladatot ugyanazzal a rajzzal is megoldhatja, de a tanulóknak meg kell találniuk a feladatban említett elemeket.

Adott:AB- érintő, BD - metsző.

CD: nap = 3:1, AB = 12 cm.

Keresés: AD.

Megoldás:

1) AB 2 = BD-BC.

2) Hagyjuk X - akkor az arányossági együttható

BC = x, CD = 3x(más szóval a 3:1 arány ezt mutatja DC > Nap be 3 alkalommal, akkor ha BC = x, Hogy DC = 3x)

BD = BC + DC - x + Zx = 4x.

Készítsünk egy egyenletet:

12 2 =x 4x,

x 1 = 6,

x 2 =-6 - nem alkalmas, mert x > 0.

Akkor BC = 6 cm, DC= 18 cm,

BD= 6 + 18 = 24 (cm).

Válasz: BD = 24 cm.

3. probléma

Hogy hívják a szegmenseket? ABÉs AC(36. ábra)?

Milyen tulajdonságot lehet leírni?

^CA - AM = AB-AN.

Szóban: számítsa ki az AN-t, ha AC= 12, Am = 8, AB = 16

((AN = (CA AM) : AB, AN = (12 8) : 16, AN = 6))

A problémákat szóban is megoldhatja ugyanazon rajzok használatával, új adatok hozzáadásával. A 34. ábra szerint: MS = 5, CH = 8, LC = 10. KC - ?

Rizs. 36

(Válasz: KS = 4.)

A 35. ábra szerint: AC = 4, DC = 12. AB-? (Válasz: AB = 8.)

IV. Házi feladat

1. 
   Egy kör két akkordja metszi egymást. A metszéspont az első akkordot 8 cm-es és 2 cm-es szegmensekre osztotta, a másodikat pedig felére. Számítsa ki a második akkord hosszát!

3. A K pontból a körbe KAV és KCD szekánsokat húzunk (a körhöz A, B, C, D pontok tartoznak). AB = 19 cm; KS = 6 cm;

AK: CD = 1:4.

Keresse meg a KV-t és a KD-t.

^ V. Problémamegoldás

№ 1

Adott: AM = MB; CM= 8 cm; MD = 2 cm (37. ábra)

Keresés: AB - ?

Megoldás:

^ 1) AM = MB, legyen AM = x (cm), majd MB = x (cm).

2) AMMB = CM MD. Az akkordok tulajdonságai szerint:

X 2 = 8 2, x 2 = 16.

X 1 = 4, x 2 = -4 (nem megfelelő).

AM = 4 cm.

3) AB = 2AM = 8 (cm).

Válasz: 8 cm.

Adott: AB - érintő,

B – érintkezési pont (38. ábra),

AD - 24 cm; AB = 12 cm D

Keresés: SA - ?

Megoldás:

1. 
   AB 2 = AD AC,

12 2 = 24 AC,

AC = 144:24 = 6.

Válasz: 6.

Adott: KAV és KCD szekáns (39. ábra).

AB = 19 cm; KS = 6 cm; AK: CB = 1:4.

Keresés: KV - ? KD - ?

Megoldás:

1. 
   A szekánsok tulajdonságai szerint: KV KA =

1. 
   AK ‹ CD 4 alkalommal (feltétel szerint).

Ekkor KV = AB + KA, KV = (19 + x) cm.

KD = Kc + CD, KD = (6 + 4x) cm,

(19+ x) x= (6 + 6x) 6.

x 2 – 24x + 19x = Ó,

x 2 - 5x - 36 = 0;

x 1 = 9

x 2 = - 4 (nem megfelelő);

AK = 9 CM

3) KB = 19 + 9 = 28 cm.

4) KD= 6 + 4 9 = 42 cm.

Válasz: 42 cm m 28 cm.

Ez az óra a tanult témával kapcsolatos ismeretek általánosítására és rendszerezésére szolgál. nyitott bank OGE.

A dokumentum tartalmának megtekintése
„Az óra témája: „A kör akkordjainak és szekánsainak arányossága”, 9. osztály

____. lecke (geometria 9. osztály)

Szegmensek, akkordok és szekánsok arányossága

Az óra célja: konszolidálja az egymást metsző húrok szegmenseinek és a szekáns szakaszok tulajdonságait, és mutassa meg, hogyan használják ezeket a feladatok megoldásában.

Az óra céljai:

nevelési: tesztelje elméleti tudását a „Körbe írt szögek” témakörben. A szegmensek, akkordok és szekánsok arányossága"

fejlesztés: fejlesztés kognitív érdeklődés, kíváncsiság, elemzési, megfigyelési és következtetési képesség;

nevelési: növelje az érdeklődést a matematika tantárgy tanulmányozása iránt; a függetlenség és aktivitás elősegítése.

Az órák alatt

Szervezési pillanat (1 perc)

Házi feladat ellenőrzése (frontális) (3 perc)

Frissítés háttér tudás hallgatók. Frontális munka az osztállyal. (7 perc)

Képzési gyakorlatok. Problémamegoldás (14 perc)

Az MK és PT húrok az A pontban metszik egymást. Határozzuk meg az AM hosszát, ha AR = 2 dm, AT = 24 dm, AM: KA = 3:4.

Az egyik pontból két szekánst húzunk a körbe, amelyek belső szakaszai rendre egyenlőek 8-mal, illetve 16-tal. A második szekáns külső szegmense 1-gyel kisebb, mint az első külső szakasza. Keresse meg az egyes szekánsok hosszát.

Önálló munkavégzés kölcsönös ellenőrzéssel (12 perc).

1.opció	2. lehetőség
A középponti szög 59 0 -kal nagyobb, mint az ugyanazon körív által bezárt hegyesszög. Keresse meg a beírt szöget. Válaszát fokokban adja meg.	A középponti szög 52°-kal nagyobb, mint az ugyanazon körív által bezárt hegyesszög. Keresse meg a beírt szöget. Válaszát fokokban adja meg.
Körben középponttal O A.C.És BD AOD egyenlő 138 0. Keresse meg a beírt szöget ACB. Válaszát fokokban adja meg.	2) Körben középponttal O A.C.És BD- átmérők. Központi szög AOD egyenlő 146 0. Keresse meg a beírt szöget ACB. Válaszát fokokban adja meg.
Az AB és CD akkordok az M pontban metszik egymást. CM = 2 cm, MD = 6 cm, BM = 3 cm. Határozzuk meg az AM szakasz hosszát.	Az AB és CD akkordok az M pontban metszik egymást. CM = 2 cm, MD = 12 cm, BM = 3 cm. Határozzuk meg az AM szakasz hosszát.
Adott: BC=12 cm BE=4 cm.	Adott: BC=12 cm BA=15 cm.

A lecke összegzése (2 perc). Visszaverődés.

Házi feladat üzenet (2 perc)

Házi feladat a kártyán.

Problémákat megoldani:

1. Az MN és KL húrok az A pontban metszik egymást, és az MN húrt az A pont 1 cm-es és 15 cm-es szakaszokra osztja fel az A pont, ha KL fele akkora, mint MN?

2. Az AB és CD akkordok az M pontban metszik egymást. Határozzuk meg az AB húr hosszát, ha CM=4 cm, DM=9 cm, AM:MB=4.

Az akkordok és szekánsok szegmenseinek arányossága.

Az érintőszegmensek tulajdonsága.

Tétel a pontok helyéről.

Merőleges felező.

Behatárolt kör. Egy körbe írt háromszög.

Háromszögbe írt kör.

Minden fogalomhoz és állításhoz problémákat javasolnak.

Az előadás egy órasorozatra készült. Távoktatáshoz használható.

Letöltés:

Előnézet:

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

TÉMA: „KÖR”.

Kör. Sugár. Akkord. Átmérő. Központi sarok. Központi sarok. Beírt szög. Feladat. Beírt szög tulajdonság. Feladat. Tétel az ívek félösszegéről. Feladat. Tétel az ívek fele-különbségéről. Feladat. Az egymást metsző akkordok szegmenseinek szorzata. Az akkordok és szekánsok szegmenseinek arányossága. Az érintőszegmensek tulajdonsága. Feladat. A pontok geometriai helye. Tétel a pontok helyéről. Merőleges felező. Behatárolt kör. Egy körbe írt háromszög. Feladat. Feladat. Egy kör érintője. Háromszögbe írt kör. Feladat. Egy négyszög köré körülírt kör. Feladat. Négyszögbe írt kör. Feladat.

A kör olyan alakzat, amely a sík minden pontjából egyenlő távolságra van egy adott ponttól - a kör középpontjától. A kör O középpontja és a rajta fekvő A pont távolsága 5 cm. Bizonyítsuk be, hogy ennek a körnek a távolsága az O ponttól a B pontig 5 cm, az O ponttól pedig a nem rajta fekvő C és D pontig. nem egyenlő 5 cm .kerület. O C D A B vissza

SUGÁR. A sugár az a szakasz, amely a középpontot a kör bármely pontjával összeköti. X,Y,Z pont feküdjünk egy M középpontú körön. Ennek a körnek a sugara MX szakasz; YZ szegmens? I X Z vissza

AKKORD. Mi az a kör akkordja? Az akkord a kör két pontját összekötő szakasz. vissza O A B

ÁTMÉRŐ. Mekkora egy kör átmérője? Az átmérő a középponton áthaladó húr. vissza O A B

KÖZÉPSZÖG A központi szög olyan szög, amelynek csúcsa a kör középpontjában van. A középponti szög fokszáma megfelel annak az ívnek, amelyen nyugszik (ha az ív kisebb, mint egy félkör). Nevezze meg az összes központi szöget a képen. O C A B m vissza

Ha egy adott kör középponti szögei egyenlőek, akkor a megfelelő ívek páronként egyenlőek. Fogalmazd meg az ellenkező állítást! A O C B D vissza

BELÉPŐ SZÖG. Körbe írt szögnek nevezzük azt a szöget, amelynek csúcsa egy körön van, és amelynek oldalai ezt a kört metszik. Mely szögek vannak beírva egy körbe? vissza A B C

Az ABC szög egy körbe van írva. AC – átmérő. Bizonyítsd szög ABC- egyenes. Feladat. vissza O A C B

BETARTÁSI SZÖG TULAJDONSÁG. Bizonyítsuk be, hogy a körbe írt összes szög egyenlő, amelynek oldalai a kör két megadott pontján átmennek, és a csúcsok az ezeket a pontokat összekötő egyenes ugyanazon az oldalán helyezkednek el. vissza

FELADAT. Az A, B és C pontok egy O középpontú körön fekszenek,  ABC = 50  ,  AB:  CB = 5: 8. Határozzuk meg ezeket az íveket és  AOC. vissza

BIZONYÍTSA AZ ÁBRÁBÓL A TÉTELT. Egy szöget ( ABC), amelynek csúcsa a körön belül van, két ív (AC és D E) fele összegével mérünk, amelyek közül az egyik az oldalai között, a másik pedig az oldalak meghosszabbításai között helyezkedik el. .  ABC = 0,5 ( D E +  AC). D E A C vissza

FELADAT. Az MK és PT akkordok az A pontban metszik egymást. Határozza meg az AM hosszt, ha AR = 2 dm, AT = 24 dm, AM: KA = 3: 4. vissza

BIZONYÍTSA AZ ÁBRÁBÓL A TÉTELT. Egy szöget ( ABC), amelynek csúcsa a körön kívül van, és az oldalai metszik a kört, az oldalai közé zárt két ív (AC és D E) félkülönbségével mérünk.  ABC = 0,5 ( D E +  AC). B D E A C vissza

FELADAT. Az A pont és az 5 cm sugarú kör középpontja közötti távolság 10 cm. Az A ponton át kell húzni egy szekánst, amely a B és C pontokban metszi a kört. Ha a B pont kettéosztja az AC szakaszt. vissza

KERESZTÜLŐ HORDOK RÉSZEINEK TERMÉKE. Az egymást metsző húrok szakaszainak hosszának szorzata egyenlő. Fogalmazza meg ezt a tételt a „ha” és „akkor” szavakkal. Tesztelje magát: „Ha az AB és C D akkord metszi egymást az M pontban, akkor AM  BM = CM  D M C B m A D vissza

AZ akkordok és a másodpercek szegmenseinek ARÁNYOSSÁGA. A szekáns szakaszok hosszának szorzata egyenlő az érintőszakasz hosszának négyzetével. Ha az M ponton át húzunk egy szekánst a körhöz és egy érintőt, és az A és B pont a kör metszéspontja a metszővel, C pedig az érintőpont, akkor AM  BM = CM. M S V A hát

AZ ÉRINTŐ SZEGMENTEK TULAJDONSÁGAI. A körhöz egy azon kívül eső pontból húzott két érintőszakasz egyenlő, és egyenlő szöget zár be a pontot a középponttal összekötő egyenessel. Te magad bizonyítsd be a tételt. A O C B vissza

FELADAT. Az M pontból egy O középpontú, 8 cm sugarú körbe AM és BM érintőket húzunk (A és B érintési pontok). Határozzuk meg az ABM háromszög kerületét, ha az AOB szög 120 . vissza

PONTOK GEOMETRIAI ELHELYEZÉSE. A pontok helye egy olyan ábra, amely a sík összes pontjából áll egy bizonyos tulajdonság. Magyarázza meg, miért a kör az adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok helye. vissza O A B

TÉTEL A GEOMETRIAI PONTOKRÓL. A két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok helye egy egyenes, amely merőleges az ezeket a pontokat összekötő szakaszra, és átmegy annak felezőpontján. Adott: a; AB  a; AO = OB. Bizonyítsd be: a - locus pontok egyenlő távolságra A-tól és B-től. Bebizonyosodik-e a tétel, ha megállapítjuk, hogy az a egyenes bármely pontja egyenlő távolságra van A-tól és B-től? vissza A B O M a

KÖZÉP MÉRGŐS. Az AB szakaszra merőleges felező egy olyan egyenes, amely átmegy a rá merőleges AB szakasz közepén. Bizonyítsuk be, hogy a kör középpontja ezen van merőleges felező ennek a körnek bármelyik akkordjára. vissza

KÖRKÖR. KÖRBE BEÍRT HÁROMSZÖG. A háromszög körül körülírt kört akkor nevezzük, ha minden csúcsán áthalad. Ebben az esetben a háromszögről azt mondjuk, hogy körbe van írva. Bizonyítsuk be, hogy egy beírt háromszög oldalai a körülötte körülírt kör húrjai. Hol van a háromszög körülírt körének középpontja? vissza

Hol van egy derékszögű háromszög körülírt körének középpontja? Feladat. vissza O A C B

FELADAT. Határozza meg a 10, 12 és 10 cm-es oldalú háromszöggel körülírt kör sugarát

A KÖR ÉRINTŐE Azt az egyenest, amelynek csak egy pontja van a körrel, a kör érintőjének nevezzük. Közös pont a kört és az érintőt érintési pontnak nevezzük. Mit mondhatunk a C D E háromszög körhöz viszonyított oldalairól? vissza

HÁROMSZÖGBE BEÍRT KÖR. Egy körről azt mondjuk, hogy beírt egy háromszögbe, ha minden oldalát érinti. Ebben az esetben a háromszöget kör körül körülírtnak nevezzük. Hol van a háromszögbe írt kör középpontja? Az ABC háromszög egy kör körül van körülírva. Az AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA háromszögek közül melyik egyenlő? vissza

FELADAT. BAN BEN derékszögű háromszög az egyik szög 30 . Határozzuk meg a háromszög kisebbik oldalát, ha a beírt kör sugara visszafelé 4 cm

KÖR EGY NÉGYSZÖG KÖRÜL. Ha egy kör leírható egy konvex négyszög körül, akkor annak összege ellentétes sarkok egyenlő két derékszöggel. Bizonyítsuk be:  A +  C = 180  . Fogalmazd meg az ellenkező állítást! Mely négyszögek köré rajzolható kör? Miért? B C D A vissza

FELADAT. A trapéz átlója 30  szöget zár be a nagyobb alappal, és ehhez az alaphoz tartozik a trapéz közelében leírt kör középpontja. Keresse meg a trapéz területét, ha az oldal egyenlő 2 cm-rel hátra

NÉGYSZÖGBE ÍRÓ KÖR Ha egy kör négyszögbe írható, akkor a hosszainak összege ellentétes oldalak egyenlőek. Bizonyítsuk be: AB+C D = BC+A D. Fogalmazd meg az ellenkező állítást! Mely négyszögekbe írható be egy kör? B C D A N P K M vissza

FELADAT. Keresse meg a területet egyenlő szárú trapéz kör körül körülírva, ha az alapjai 2 cm és 8 cm hátul vannak

KÖRBE VONATKOZÓ SZÖGEK

Egy szög két részre osztja a síkot. Mindegyik részt síkszögnek nevezünk. A 13. ábrán az a és b oldalú síkszögek egyike árnyékolt. Lapos szögek -val közös oldalak kiegészítőnek nevezzük.

Ha egy síkszög egy félsík része, akkor fokmértékét egy azonos oldalú közönséges szög fokmértékének nevezzük. Ha egy síkszög félsíkot tartalmaz, akkor annak fokmértéke 360° - b, ahol b egy további síkszög fokszáma (14. ábra).

Rizs. 13

A kör középső szöge olyan síkszög, amelynek középpontjában egy csúcs található. A kör síkszögön belüli részét az ennek a középszögnek megfelelő körívnek nevezzük (15. ábra). A körív fokmértéke a megfelelő középponti szög fokmértéke.

Rizs. 15

Azt a szöget, amelynek csúcsa egy körön fekszik, és amelynek oldalai ezt a kört metszik, körbe írt szögnek nevezzük. A 16. ábrán látható BAC szög egy körbe van beírva. A csúcsa a körön fekszik, oldalai pedig a B és C pontokban metszik a kört. Azt is mondják, hogy az A szög a BC húron nyugszik. A BC egyenes a kört két ívre osztja. Az A pontot nem tartalmazó íveknek megfelelő középponti szöget az adott beírt szögnek megfelelő középszögnek nevezzük.

5. tétel. A körbe írt szög egyenlő a megfelelő középponti szög felével.

Bizonyíték. Először mérlegeljük különleges eset, amikor a szög egyik oldala átmegy a kör középpontján (17. ábra, a). Az AOB háromszög egyenlő szárú, mert OA és OB oldalainak sugara egyenlő. Ezért a háromszög A és B szögei egyenlőek. És mivel ezek összege egyenlő az O csúcsban lévő háromszög külső szögével, akkor a háromszög B szöge egyenlő az AOC szög felével, amit bizonyítani kellett.

Az általános esetet a figyelembe vett speciális esetre redukáljuk a BD segédátmérő megrajzolásával (17. ábra, b, c). A 17. b ábrán bemutatott esetben ABC = CBD + ABD = S COD + S AOD = S AOC.

A 17. ábrán bemutatott esetben c,

CBD - ABD = COD - AOD = AOC.

A tétel teljesen bebizonyosodott.

AZ akkordok és a KÖR SZEKÁNTSAI SZEGMENTES ARÁNYOSSÁGA

Ha egy kör AB és CD húrjai az S pontban metszik egymást

Ezután AS?BS=CS?DS.

Először is bizonyítsuk be, hogy az ASD és a CSB háromszögek hasonlóak (19. ábra). A DCB és a DAB beírt szögek egyenlőek az 5. Tétel következményével. Az ASD és BSC szögek függőleges szögekként egyenlőek. A jelzett szögek egyenlőségéből az következik, hogy az ASZ és a CSB háromszögek hasonlóak.

A háromszögek hasonlóságából következik az arány

AS?BS = CS?DS, amit bizonyítani kellett

19. ábra

Ha két szekánst húzunk a P pontból egy körbe, amelyek a kört az A, B, illetve C, D pontokban metszik, akkor

Legyen az A és C pont a szekánsok metszéspontja a P ponthoz legközelebbi körrel (20. ábra). A PAD és a PCB háromszögek hasonlóak. Közös szögük van a P csúcsban, és a B és D csúcsok szögei egyenlőek a körbe írt szögek tulajdonsága szerint. A háromszögek hasonlóságából következik az arány

Ezért a PA?PB=PC?PD, amit bizonyítani kellett.