Что такое автокорреляция остатков. Виды и методы определения автокорреляции остатков
Мультиколлинеарность
Одним из условий классической линейной регрессионной модели является предположение о линейной независимости объясняющих переменных, что означает линейную независимость столбцов матрицы или (эквивалентно), что матрица не вырождена. При нарушении этого условия, т.е. когда один из столбцов матрицы есть линейная комбинация остальных столбцов, говорят, что имеет место полная коллинеарность. В этой ситуации нельзя построить МНК-оценку вектора параметров , поскольку 
.
На практике полная коллинеарность встречается исключительно редко. Гораздо чаще приходится сталкиваться с ситуацией, когда матрица имеет полный ранг, но между регрессорами имеется высокая степень корреляции, что приводит к тому, что матрица близка к вырожденной. Тогда говорят о наличии мультиколлинеарности. В этом случае МНК-оценка существует, но обладает «плохими» свойствами.
Мультиколлинеарность может возникнуть в силу разных причин. Например, несколько независимых переменных могут иметь общий временной тренд, относительно которого они совершают малые колебания.
Признаки мультиколлинеарности:
1) Небольшое изменение исходных данных (например, добавление новых наблюдений) приводит к существенному изменению оценок коэффициентов регрессии.
2) Оценки имеют большие стандартные ошибки (и, следовательно, большие доверительные интервалы), малую значимость (т.е. малые t
-статистики 
) в то время как модель в целом является значимой (т.е. высокое значение коэффициента детерминации и соответствующей F
-статистики 
)
3) Оценки коэффициентов имеют неоправданные с точки зрения теории знаки или неоправданно большие значения.
4) Парная корреляция между малозначимыми объясняющими переменными достаточно высока.
5) Высокие частные коэффициенты корреляции.
Напомним, что выборочный коэффициент (парной) корреляции между переменными и находится по формуле:
(1)
Выборочный частный коэффициент корреляции находится следующим образом.
Пусть даны переменные , .
Обозначим .
Пусть , .
Построим регрессии и на :
(2)
(3)
Найдем остатки для этих регрессий:
Частный коэффициент корреляции между и без учета влияния переменных – это коэффициент парной корреляции между остатками и :
Таким образом, коэффициент частной корреляции позволяет исключить влияние других факторов на взаимосвязь между рассматриваемыми переменными.
Например, 
равен коэффициенту парной корреляции между остатками и следующих регрессий:
(6)
(7)
Последствия мультиколлинеарности
1) Большие стандартные ошибки затрудняют нахождение истинных значений определяемых величин и расширяют их интервальные оценки, ухудшая их точность.
2) Ухудшается качество прогноза.
3) Малые t -статистики коэффициентов могут привести к неоправданному выводу о их малой значимости, т.е. о слабом влиянии соответствующей объясняющей переменной на зависимую переменную.
4) Оценки коэффициентов и их стандартные ошибки становятся очень чувствительными к малейшим изменениям данных, т.е. они становятся неустойчивыми.
Методы устранения мультиколлинеарности
1) Исключение переменных из модели. Исключается из модели одна или несколько коррелированных объясняющих переменных. Например, можно последовательно исключать из модели объясняющие переменные с наименьшими незначащими t -статистиками коэффициентов регрессии (причем после каждого исключения из модели объясняющей переменной следует производить пересчет t -статистик для оставшихся объясняющих переменных).
2) Можно использовать описанный в предыдущей теме алгоритм оптимального отбора объясняющих переменных, основанный на использовании скорректированного коэффициента детерминации .
3) Получение дополнительных данных или новой выборки
4) Изменение спецификации модели
5) Преобразование переменных.
Например, вместо переменной можно включить в модель переменную .
Гетероскедастичность и автокорреляция остатков
Гетероскедастичность означает, что дисперсии случайных отклонений зависят от , т.е. нарушается гипотеза классической модели о постоянстве этих дисперсий.
Автокорреляция остатков означает, что ковариации не равны нулю при разных значениях и .
Суть и причины гетероскедастичности
Гетероскедастичность означает, что зависит от номера наблюдения . Обычно эта зависимость возникает вследствие зависимости от . Например, если – уровень дохода семьи, а – ее потребление, естественно ожидать что для семей с высоким доходом разброс в их потреблении больше, чем для семей с низким доходом.
Проблема гетероскедастичности характерна для перекрестных данных и довольно редко встречается при рассмотрении временных рядов.
Последствия гетероскедастичности
1) Оценки коэффициентов регрессии, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными, что (в частности) ухудшает прогноз.
2) Дисперсии и ковариации оценок являются смещенными. Это приводит к искажению значений статистик Стъюдента и Фишера, что негативным образом сказывается на результаты проверки гипотез и построении интервальных оценок.
Обнаружение гетероскедастичности
Графический анализ остатков.
По оси абсцисс откладываются либо номера наблюдений , либо значения объясняющей переменной , либо линейная комбинация объясняющих переменных, либо прогнозные значения объясняемой переменной. По оси ординат – либо отклонения , либо их квадраты . При наличии гетероскедастичности можно визуально заметить зависимость значений от .
Тест Уайта (White)
Сначала к исходной модели применяется обычный метод наименьших квадратов и находятся остатки регрессии , . Затем осуществляется регрессия квадратов этих остатков на все регрессоры исходной модели, их квадраты , попарные произведения и константу (если ее не было в составе исходных регрессоров). Для этой регрессии находится коэффициент детерминации . Тогда при выполнении нулевой гипотезы о постоянстве дисперсий случайных отклонений величина:
асимптотически (т.е. при большом количестве наблюдений ) имеет распределение , где – число регрессоров второй регрессии.
Напомним, что распределение «хи квадрат» с степенями свободы – это распределение следующей случайной величины:
где – независимые стандартные нормальные случайные величины.
Следовательно, при выполнении нулевой гипотезы имеет место равенство:
где – -квантиль распределения «хи квадрат» с степенями свободы.
В случае, если 
нулевая гипотеза отвергается (и, следовательно, можно сделать вывод о наличии гетероскедастичности); если 
, нет оснований отвергать нулевую гипотезу (и, она принимается).
Тест ранговой корреляции Спирмана
Этот тест применяется, когда есть предположение о прямой зависимости дисперсии ошибки от величины некоторой независимой переменной. Значения такой независимой переменной и абсолютные величины отклонений ранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:
, (11)
где – разность между рангами и . (Например, если при значение является 25-м по величине среди всех наблюдений , а является 32-м, то 
.)
Доказано, что если коэффициент корреляции равен нулю, то статистика:
(12)
имеет распределение Стъюдента с числом степеней свободы . Следовательно, если
(13)
(где двусторонняя квантиль распределения Стъюдента с степенями свободы при уровне значимости ), то нулевая гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции отклоняется, и, следовательно, можно сделать вывод о присутствии гетероскедастичности.
Тест Голфельда-Куандта (Goldfeld-Quandt)
Этот тест также применяется, когда есть предположение о прямой зависимости дисперсии ошибки от величины некоторой независимой переменной.
1) упорядочить данные по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность;
2) исключить средних (в этом упорядочении) наблюдений ( должно быть примерно равно четверти общего количества наблюдений);
3) провести две независимые регрессии первых наблюдений и последних наблюдений и построить соответствующие остатки и ;
4) составить статистику 
.
Если верна нулевая гипотеза (8) о постоянстве дисперсий случайных отклонений, то построенная статистика имеет распределение Фишера с 
степенями свободы.
В случае, если 
нулевая гипотеза отвергается и, следовательно, можно сделать вывод о присутствии гетероскедастичности; если 
, нет оснований отвергать нулевую гипотезу.
Суть и причины автокорреляции
Автокорреляция остатков (отклонений) в подавляющем большинстве случаев встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция (т.е. когда 
), нежели отрицательная.
Автокорреляция в остатках обычно встречается при регрессионном анализе временных рядов, и почти не встречается при анализе пространственных выборок. Чаще встречается положительная автокорреляция. Она в большинстве случаев вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов. При положительной автокорреляции остатки изменяются монотонно с течением времени наблюдения, а при отрицательной - следует частое изменение знака остатка.
Среди основных причин автокорреляции можно выделить следующие:
а) ошибки спецификации - неучет в модели какой-то важной объясняющей переменной или неверный выбор вида функции, что ведет к систематическим отклонениям точек наблюдения от линии регрессии,
б) инерция - запаздывание реакции экономической системы на изменение факторов,
в) сглаживание данных.
Последствия автокорреляции в остатках такие же, как и в случае гетероскедастичности (потеря эффективности, смещение дисперсий оценок параметров, занижение стандартных ошибок и завышение t -статистик параметров), а это может повлечь признание незначимых факторов значимыми. Вследствие перечисленных обстоятельств, прогнозные качества модели ухудшаются.
При анализе временных рядов вместо индекса i часто будем использовать время t , а вместо числа наблюдений n будем писать - продолжительность интервала наблюдения временного ряда.
Мы будем рассматривать автокорреляцию первого порядка, так как в большинстве практических случаев автокорреляционная функция быстро убывает.
Коэффициент автокорреляции 1-го порядка в остатках:
Если этот коэффициент корреляции существенно отличен от 0, то можно говорить о наличии автокорреляции.
Обнаружение автокорреляции в остатках
1. Графический метод - при использовании этого метода строится график: ε t есть функция от ε t - 1 . Если в графике прослеживается отчетливая положительная или отрицательная тенденция, то, скорее всего, имеет место соответствующая автокорреляция в остатках.
2. Метод рядов
В моменты времени 
определяются знаки отклонений, например:
- для 20-ти наблюдений.
Рядом называют непрерывную последовательность одинаковых знаков (ряд ограничен скобками, в примере приведено 5 рядов). Количество знаков называют длиной ряда. Если рядов мало по сравнению с числом наблюдений, то вполне вероятна положительная автокорреляция, если рядов много, - то отрицательная.
Для более детального анализа используется следующая процедура:
Пусть - число знаков «+»,
Число знаков «-»,
Количество рядов.
При достаточном количестве наблюдений и при отсутствии автокорреляции в остатках случайная величина имеет асимптотически нормальное распределение со следующими параметрами:
Тогда, если k лежит внутри интервала
то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется; если лежит левее данного интервала, то есть положительная автокорреляция, а если правее - то отрицательная автокорреляция. Здесь γ - уровень значимости гипотезы об отсутствии автокорреляции. Для небольших и существует таблица Сведа-Эйзенхарта, в которой по значениям и находятся и .
Если k 1 < k < k 2 , то автокорреляция отсутствует, если k < k 1 - есть положительная автокорреляция, если k > k 2 - есть отрицательная автокорреляция.
учитывая, что и 
, получим:
Процедура обнаружения автокорреляции по критерию DW такова:
1. Вычисляется критерий DW , для чего должна быть выполнена регрессия y на x и определены остатки. Затем выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках.
2. По таблице критических значений теста Дарбина-Уотсона для назначенного уровня значимости γ
, числа наблюдений n
и числа факторов p
определяются верхняя du
и нижняя dl
критические точки 
3. Строятся области: I-от 0 до dl ; II-от dl до du; III-от du до 4-du ; IV- от 4-ul до 4-dl и V-от 4-dl до 4.
Это поясняется табл. 9.1.
таблица 9.1
При использовании критерия следует учитывать следующие ограничения:
а) он применим лишь для модели с ненулевым свободным членом,
в) временной ряд должен иметь одинаковую периодичность, то есть не должно быть пропусков наблюдений,
Поясним это:
где - коэффициент авторегрессии, - количество наблюдений, - дисперсия коэффициента c
1 в уравнении авторегрессии y t = a + bx t + c
1 y
t -
1 +…+ ε t
, c
1 - коэффициент при в упомянутом уравнении.
Как использовать h- статистику?
Для назначенного уровня значимости γ выдвигают гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках, т.е. полагают, что в модели AR(1) остатков и статистика h имеет стандартное нормальное распределение: .
По таблице функции Лапласа 
определяют критическую точку такую, что 
. Если , то отклоняется. В противном случае не отклоняется и автокорреляция не признается.
Методы устранения автокорреляции
1. Обобщенный МНК (ОМНК)
Рассмотрим исходную модель в моменты времени t
и t
-1: 
Есть случайная величина, так как и - случайные величины,
Так как и .
Остаток не коррелирует ни с одним регрессором, следовательно, можно применить классический МНК. Оценка параметра b вычисляется непосредственно, а оценка параметра a вычисляется так: .
ОМНК может применяться для данных, начиная с момента , т.е. первое наблюдение теряется; его можно восстановить для и , используя поправку Прайса-Уинстена:
Если наше предположение о том, что остатки описанные - моделью первого порядка соответствуют действительности, то можно показать, что .
В силу неизвестности значений параметров регрессии неизвестными будут также и истинные значения отклонений , поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок , полученных из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.
Графический метод . Существует несколько вариантов графического определения автокорреляции. Один из них состоит в анализе последовательно-временных графиков. По оси абсцисс откладывают время, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения (Рис. 1).
Естественно предположить, что на рис. 1, а - г имеются определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рис. 1, д скорее всего свидетельствует об отсутствии автокорреляции.
Например, на рис. 1, б отклонения вначале в основном отрицательные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определенной зависимости. Более того, можно утверждать, что в этом случае имеет место положительная автокорреляция остатков. Она становится весьма наглядной, если график 1, б дополнить графиком зависимости от (рис. 2).
Подавляющее большинство точек на этом графике расположено в I и III четвертях декартовой системы координат, подтверждая положительную зависимость между соседними отклонениями.
Современные ППП решение задач построения регрессии дополняют графическим представлением результатов: график реальных колебаний зависимой переменной накладывается на график колебаний переменной по уравнению регрессии. Сопоставление этих графиков часто дает возможность выдвинуть гипотезу о наличии автокорреляции.
Метод рядов . Последовательно определяются знаки отклонений . Например,
(-----)(+++++++)(---)(++++)(-), т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.
Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называют длиной ряда. Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция. Пусть n – объем выборки, n1 и n2 – общее количество, соответственно, знаков «+» и «-», k – количество рядов.
При достаточно большом количестве наблюдений (n1 > 10,
n2 > 10) и отсутствии автокорреляции случайная величина k имеет асимптотически нормальное распределение с
; 
.
Тогда, если , то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.
Число определяется по таблице функции стандартного нормального распределения из равенства F() = . Например, при , =1,96 и при , =2,58.
Для небольшого числа наблюдений (n1 < 20, n2 < 20) разработаны таблицы критических значений количества рядов при n наблюдениях. Суть таблиц в следующем.
На пересечении строки n1 и столбца n2 определяются нижнее k1 и верхнее k2 значения при уровне значимости (Рис.3).
автокорреляция > 0 автокорреляция = 0 автокорреляция < 0
Kk1_________k1 Пример 1.
Пусть изучается зависимость среднедушевых расходов на конечное потребление y
от среднедушевого дохода х
по данным некоторой страны за 16 лет. Исходные (и расчетные для примера 3) данные (усл.ед.) представлены в следующей таблице: Пусть исходная модель имеет вид: По исходным данным с использованием МНК получено следующее оцененное уравнение регрессии: ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика
Множественный R R-квадрат Нормированный R-квадрат Стандартная ошибка Наблюдения Дисперсионный анализ Значимость F
Регрессия Регрессионная модель МНК позволяет получить несмещенную оценку с минимальной дисперсией только тогда, когда остатки независимы друг от друга. Нарушение условия независимости остатков () называется автокорреляцией.
Если имеет место автокорреляция остатков, то коэффициенты регрессии не смещены, но стандартные ошибки недооценены, а проверка статистической значимости коэффициентов ненадежна. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих наблюдений. Автокорреляция остатков обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. В силу этого в дальнейших выкладках вместо символа i порядкового номера наблюдения будем использовать символ t, отражающий момент наблюдения. Объем выборки при этом будем обозначать T. Причины автокорреляции: Ошибки спецификации – неучет в модели важной объясняющей переменной или неправильный выбор формы зависимости; Эффект паутины – многие экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом). Методы обнаружения автокорреляции
В силу неизвестности значений параметров уравнения регрессии неизвестными будут также и истинные значения отклонений ,t= 1, 2, ..., Т. Поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок ε t ,t= 1, 2, ..., Т, полученных из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции. Метод рядов.
Последовательно определяются знаки отклонений ,t= 1, 2, ..., Т. Например, (- - - - -)(+++++++)(- - -)(++++)(-), т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-». Ряд
определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называетсядлиной ряда
. Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений п
, то вполне вероятна положительная автокорреляция. (В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов). Если же рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция. Для более детального анализа предлагается следующая процедура. Пусть п
- объем выборки; п 1
- общее количество знаков «+» прип
наблюдениях; п
2 - общее количество знаков «-» прип
наблюдениях; . k- количество рядов. Если при достаточно большом количестве наблюдений (n 1 >10,п
2 >10) количество рядовkлежит в пределах то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется. Для небольшого числа наблюдений (n 1 <20,n 2 <20) Свед и Эйзенхарт разработали таблицы критических значенийk 1 ,k 2 отn 1 ,n 2 . Если , то говорят об отсутствии автокорреляции; если , говорят о положительной автокорреляции остатков; если , говорят об отрицательной автокорреляции остатков. В нашем примере: n=20,n 1 =11,n 2 =9,k=5. По таблицамk 1 =6,k 2 =16. Пронимается предположение о наличии положительной автокорреляции на уровне значимости 0,05. Для проверки автокорреляции первого порядка (для регрессии временных рядов) необходимо рассчитать критерий Дарбина-Уотсона
. Он определяется так: Эмпирическое правило гласит, что если критерий Дарбина- Уотсона равен двум, то не существует положительной автокорреляции, если он равен нулю, то имеет место совершенная положительная автокорреляция, а если он равен четырем, то имеет место совершенная отрицательная автокорреляция. Критерий Дарбина-Уотсона имеет выборочное распределение, которое обладает двумя критическими значениями: d L
– нижняя границаиd U
– верхняя граница.
Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков. Первый метод -- это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод - использование критерия Дарбина -- Уотсона и расчет величины Согласно (4.1) величина d
есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Практически во всех статистических ППП значение критерия Дарбина - Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t-
и F-
критериев. Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется как Между критерием Дарбина-Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка имеет место следующее соотношение: Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и = 1, то d
= 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то = - 1 и, следовательно, d =
4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то = 0 и d
= 2. Следовательно, 0 ??d ??4. Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и Н1* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по таблице (приложение А) определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n
, числа независимых переменных модели k
и уровня значимости a
. По этим значениям числовой промежуток разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1-a
) рассматривается на рис. 4.1. Рис. 4.1.
Если фактическое значение критерия Дарбина - Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0. Пример 4.1. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках. Исходные данные, значения?t и результаты промежуточных расчетов представлены в табл. 4.1. Таблица 4.1 - Расчет критерия Дарбина-Уотсона для модели зависимости потребления от дохода Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для этой модели составляет d
= 4,1233/1,6624 = 2,48. Сформулируем гипотезы: Н0 - в остатках нет автокорреляции; Н1 - в остатках есть положительная автокорреляция; Н1* - в остатках есть отрицательная автокорреляция. Зададим уровень значимости a
= 0,05. По таблицам значений критерия Дарбина-Уотсона определим для числа наблюдений n
= 7 и числа независимых переменных модели k
" = 1 критические d
L = 0,700 и d
U = 1,356. Получим следующие промежутки внутри интервала Рис. 4.2.
Фактическое значение d
= 2,48 попадает в промежуток от d
U до 4 - d
U.
Следовательно, нет оснований отклонять гипотезу H0
об отсутствии автокорреляции в остатках. Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина-Уотсона. Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т. е. к моделям авторегрессии. Во-вторых, методика расчета и использования критерия Дарбина - Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы. В-третьих,
критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок. 1. 0ценивание параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках Обратимся к уравнению регрессии
Примем некоторые допущения относительно этого уравнения: Основной подход к оценке параметров модели регрессии в случае, когда имеет место автокорреляция остатков, заключается в следующем: исходная модель регрессии (5.1) с помощью замены переменных приводится к виду Здесь - коэффициент автокорреляции первого порядка. Поскольку ut, -
случайная ошибка, то для оценки параметров преобразованного уравнения можно применять обычный МНК. Итак, если остатки по исходному уравнению регрессии содержат автокорреляцию, то для оценки параметров уравнения используют обобщенный МНК. Его реализация разбивается на следующие этапы: 4. Выписать исходное уравнение (5.1). Обобщенный метод наименьших квадратов аналогичен методу последовательных разностей. Однако мы вычитаем из уt (или хt) не все значение предыдущего уровня уt-1 (или x
t-1), а некоторую его долю r
?1· уt-1 (или r
?1· x
t-1). Если r
?1 =
1, то данный метод есть просто метод первых разностей, так как Поэтому в случае, если значение критерия Дарбина - Уотсона близко к нулю, применение метода первых разностей вполне обоснованно. Основная проблема, связанная с применением данного метода, заключается в том, как получить оценку r
?1. Основными способами являются оценка этого коэффициента непосредственно по остаткам, полученным по исходному уравнению регрессии, и получение его приближенного значения из соотношения между коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка и критерием Дарбина-Уотсона
.
.
Предыдущая статья: Чему равна скорость света
Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства