Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .В общем виде матрицу размером m ×n записывают так
.
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы . Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a ij : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a 23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом .Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,
.
Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.
.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ Равенство матриц . Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a ij = b ij . Так если и , то A=B , если a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 и a 22 = b 22 .Транспонирование . Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A , а переход от A к B транспонированием .Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A , обычно обозначают A T .Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .Например. Найти матрицу транспонированную данной. Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры . Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B , стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C , которая определяется по правилу, например,
Примеры. Найти сумму матриц: Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B )+C =A +(B+C ).Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства: Примеры. . Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB , элементы которой составляются следующим образом:Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c 13 , нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a ij ) размера m ×n на матрицу B = (b ij ) размера n ×p , то получим матрицу C размера m ×p , элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,
.
Примеры. Найти элементы c 12 , c 23 и c 21 матрицы C ..
ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .Определителем второго порядка , соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a 11 a 22 – a 12 a 21 .Определитель обозначается символом .Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.Примеры. Вычислить определители второго порядка.Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.Определителем третьего порядка , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:
.
Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a
11
, a
12
, a
13
и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.Примеры.
Вычислить определитель третьего порядка.
. (x
+3)(4x
-4-3x
)+4(3x
-4x
+4)=0. (x
+3)(x
-4)+4(-x
+4)=0. (x
-4)(x
-1)=0. x
1
= 4, x
2
= 1.Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.
Для определителя третьего порядка проверьте самостоятельно. Действительно, если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем |A | = –|A | или |A | = 0. Доказательство проводится проверкой, как и свойство 1. (Самостоятельно)
.
Доказательство - проверкой, аналогично свойству 1.Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу (1) можно записать в виде:.Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:Разложим полученный определитель по элементам 1-ой строки.
. |
Аналогично по теореме о разложении определителя по элементам строки можно доказать, что c
22
= c
33
= 1. Кроме того, все недиагональные элементы матрицы C
равны нулю. Например,
Следовательно, AB=E
. Аналогично можно показать, что BA=E
. Поэтому B = A
-1
.Таким образом, теорема содержит способ нахождения обратной матрицы.Если условия теоремы выполнены, то матрица обратная к матрице находится следующим образом
,
где A
ij
- алгебраические дополнения элементов a
ij
данной матрицы A
.Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно: Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица .Примеры.
|A
| = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A
. Проверка: . Аналогично A∙A
-1
= E
. . Вычислим |A
| = 4. Тогда . .
где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы .Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами. Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации: Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .Рассмотрим способы нахождения решений системы.МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов Найдем произведение
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в видеили короче A
∙X=B
.Здесь матрицы A
и B
известны, а матрица X
неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением
.Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A
| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A
-1
, обратную матрице A
: . Поскольку A
-1
A = E
и E
∙X = X
, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A
-1
B
.Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных
. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A
не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A
-1
B
.Примеры.
Решить системы уравнений. Найдем матрицу обратную матрице A
. , Таким образом, x
= 3, y
= – 1.
Итак, х
1 =4,х
2 =3,х
3 =5. Выразим искомую матрицу X
из заданного уравнения. Найдем матрицу А
-1 . Проверка: Из уравнения получаем . Следовательно,ПРАВИЛО КРАМЕРА
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы .Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
Тогда можно доказать следующий результат.Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :Сложим эти уравнения:
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
Аналогично можно показать, что и .Наконец несложно заметить, что Таким образом, получаем равенство: .Следовательно, .Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.Примеры.
Решить систему уравнений
Итак, х
=1, у
=2, z
=3. Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0. . Поэтому . МЕТОД ГАУССА
Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
.
Ответ:.Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).
Определители
получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:
;
.
Формулы Крамера для нахождения неизвестных:
.
Найти значения и возможно только при условии, если
Этот вывод следует из следующей теоремы.
Теорема Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений:
Согласно теореме Крамера имеем:
Итак, решение системы (2):
9.операции над множествами. диаграммы Вьена.
Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.
Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.
Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):
Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):
Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):
11.отображения (функция), область определения, образы множеств при отображении, множество значений функции и её график.
Ответ: Отображением множества E в множество F, или функцией, определенной на E со значениями в F, называется правило, или закон f, который каждому элементу ставит в соответствие определенный элемент .
Элемент называют независимым элементом, или аргументом функции f, элемент называют значением функции f, илиобразом; при этом элемент называется прообразом элемента .
Отображение (функцию) обычно обозначают буквой f или символом , указывая тем самым, что f отображает множество E в F. Употребляется также обозначение , указывающее, что элементу x соответствует элемент f(x). Иногда функцию удобно задавать посредством равенства, в котором содержится закон соответствия. Например, можно говорить, что "функция f определена равенством ". Если "y" - общее наименование элементов множества F, т. е. F = {y}, то отображение записывают в виде равенстваy = f(x) и говорят, что это отображение задано явно.
2. Образ и прообраз множества при заданном отображении
Пусть задано отображение и множество .
Множество элементов из F, каждый из которых является образом хотя бы одного элемента из D при отображении f, называется образоммножества D и обозначается f(D).
Очевидно, .
Пусть теперь задано множество .
Множество элементов таких, что , называется прообразом множества Y при отображении f и обозначается f -1 (Y).
Если , то . Если при каждом множество f -1 (y) состоит не более чем из одного элемента , то f называетсявзаимно однозначным отображением E в F. Впрочем, можно определить взаимно однозначное отображение f множества E на F.
Отображение называется:
Инъективным (или инъекцией, или взаимно однозначным отображением множества E в F), если , или если уравнение f(x) = y имеет не более одного решения;
Сюръективным (или сюръекцией, или отображением множества E на F), если f(E) = F и если уравнение f(x) = y имеет по крайней мере одно решение;
Биективным (или биекцией, или взаимно однозначным отображением множества E на F), если оно инъективно и сюръективно, или если уравнение f(x) = y имеет одно и только одно решение.
3. Суперпозиция отображений. Обратное, параметрическое и неявное отображения
1) Пусть и . Поскольку , то отображение g каждому элементу относит определенный элемент .
Таким образом, каждому посредством правила поставлен в соответствие элемент
Тем самым определено новое отображение (или новая функция), которое назовем композицией отображений, или суперпозицией отображений, или сложным отображением.
2) Пусть - биективное отображение и F = {y}. В силу биективности f каждому соответствует единичный образ x, который обозначим через f -1 (y), и такой, что f(x) = y. Таким образом, определено отображение , которое называется обратным отображению f, или обратной функцией функции f.
Очевидно, отображение f обратно отображению f -1 . Поэтому отображения f и f -1 называют взаимно обратными. Для них справедливы соотношения
причем хотя бы одно из этих отображений, например , биективно. Тогда существует обратное отображение , а значит, .
Определенное таким образом отображение называется заданным параметрически с помощью отображений ; причем переменная из называется параметром.
4) Пусть на множестве определено отображение , где множество содержит нулевой элемент. Предположим, что существуют множества такие, что при каждом фиксированном уравнение имеет единственное решение . Тогда на множестве E можно определить отображение , ставящее каждому в соответствие то значение , которое при указанном x является решением уравнения .
Относительно так определенного отображения
говорят, что оно задано неявно посредством уравнения .
5) Отображение называется продолжением отображения , а g - сужением отображения f, если и .
Сужение отображения на множество иногда обозначают символом .
6) Графиком отображения называется множество
Ясно, что .
12. монотонные функции. Обратная функция, теорема существования. Функции y=arcsinx y=arcos x х свойства и графики.
Ответ: Моното́нная фу́нкция - это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю то функция называется стро́го моното́нной.
Пусть имеется функция f(x) определенная на отрезке , значения которой принадлежат некоторому отрезку
то говорят, что на отрезке
Обратите внимание на отличие этого определения от определения заполненности отрезка
Обычно, говоря об обратной функции, заменяют х на у а y на x(x «y) и пишут y=f (-1) (x). Очевидно, что исходная функция f(x) и обратная функция f (-1) (x) удовлетворяют соотношению
f (-1) (f(x))=f(f (-1) (x))=x.
Графики исходной и обратной функции получаются друг из друга зеркальным отображением относительно биссектрисы первого квадранта.
Теорема. Пусть функция f(x) определена, непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена обратная функция f (-1) (x), которая также непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает).
Доказательство.
Докажем теорему для случая, когда f(x) строго монотонно возрастает.
1. Существование обратной функции.
Так как по условию теоремы f(x) непрерывна, то, согласно предыдущей теореме, отрезок заполнен сплошь. Это означает, что.
Докажем, что х единственно. Действительно, если взять х’>x, то будет f(x’)>f(x)=y и поэтому f(x’)>y. Если взять х’’ 2. Монотонность обратной функции. Сделаем обычную замены x «y и будем писать y= f (-1) (x). Это значит, что x=f(y). Пусть x 1 >x 2 . Тогда: y 1 = f (-1) (x 1); x 1 =f(y 1) y 2 = f (-1) (x 2); x 2 =f(y 2) Какое же соотношение между y 1 и y 2 ? Проверим возможные варианты. а) y 1 б) y 1 =y 2 ? Но тогда f(y 1)=f(y 2) и x 1 =x 2 , а у нас было x 1 >x 2 . в) Остается единственный вариант y 1 >y 2 , т.е. Но тогда f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), а это и означает, что f (-1) (…) строго монотонно возрастает. 3. Непрерывность обратной функции. Т.к. значения обратной функции заполняют сплошь отрезок , то по предыдущей теоремеf (-1) (…) непрерывна. < <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);"> <="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">
<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);"> 13.композиция функций. Элементарные функции. Функции y=arctg x , y = arcctg x, их свойства и графики.
Ответ: В математике компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) - это применение одной функции к результату другой. Композиция функций G и F обычно обозначается G∘F, что обозначает применение функции G к результату функции F. Пусть F:X→Y и G:F(X)⊂Y→Z две функции. Тогда их композицией называется функция G∘F:X→Z, определённая равенством: (G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X. Элементарные функции - функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций : Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции. <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);"> Определителем
второго порядка
и вычисляется по
правилу Числа
называютсяэлементами
определителя
(первый индекс указывает номер строки,
а второй Аналогично вводится
понятие определителя третьего порядка. Определителем
третьего порядка
называется число, которое обозначается
символом и вычисляется по
правилу Диагональ,
образованная элементами
Чтобы запомнить
какие произведения в правой части
равенства (1) берутся со знаком « Можно ввести
понятие определителя 4-го, 5-го и т. д.
порядков. Минором
Алгебраическим
дополнением
некоторого элемента определителя
называется минор этого элемента,
умноженный на . Свойства
определителей.
Величина определителя
не изменится, если его строки поменять
местами со столбцами. Рассмотренная
операция называется транспонированием.
Свойство 1 устанавливает
равноправность строк и столбцов
определителя. Задача 1.
Вычислить определители: Задача 2.
Вычислить определители, разложив их по
элементам первого столбца: 1)
Задача 3.
Найти
из уравнений: 1)
I) Система
двух линейных неоднородных уравнений
с двумя неизвестными
Обозначим основной
определитель системы; ,
а) Если определитель
системы
, б) Если определитель
системы
1)
2) если хотя бы один
из определителей
II) Система
двух линейных однородных уравнений с
тремя переменными
(2) Линейное уравнение
называется однородным
,
если свободный член этого уравнения
равен нулю. а) Если
б) Если условие
III) Система
трёх линейных неоднородных уравнений
с тремя неизвестными:
Составим и вычислим
основной определитель
и вспомогательные определители,. а) Если
, б) Если
1)
2) хотя бы один из
определителей
IV) Система
трёх линейных однородных уравнений с
тремя неизвестными:
Эта система всегда
совместна, так как имеет нулевое решение. а) Если определитель
системы
б) Если же
Задача 4.
Решить систему уравнений Решение.
Вычислим определитель системы Так как
,
, Задача 5.
Решить систему уравнений Решение.
Вычислим определитель системы: Следовательно,
система однородных уравнений имеет
бесконечно много решение, отличных от
нулевого. Решаем систему первых двух
уравнений (третье уравнение является
их следствием): Перенесём переменную
в правую часть равенства: Отсюда по формулам
(1) получаем Задачи для
самостоятельного решения
Задача 6.
Решить с помощью определителей системы
уравнений: 1)
2)
3)
4) 5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Матрица - прямоугольная таблица, составленная из чисел. Пусть дана квадратная матрица 2 порядка: Определителем (или детерминантом) 2 порядка, соответствующим данной матрице, называется число Определитель (или детерминант) 3 порядка, соответствующим матрице называется число Пример1: Найти определители матриц и Система линейных алгебраических уравнений Пусть дана система 3х линейных уравнений с 3мя неизвестными Систему (1) можно записать в матрично-векторной форме где А - матрица коэффициентов В - расширенная матрица Х - искомый компонентный вектор; Пусть дана система линейных уравнений с двумя неизвестными: Рассмотрим решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными по формулам Крамера. Теорема 1. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами: где x1, x2 - корни системы уравнений, Главный определитель системы, x1, х2 - вспомогательные определители. Вспомогательные определители: Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными по методу Крамера. Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными: Теорема 2. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами: где x1, x2, x3 - корни системы уравнений, Главный определитель системы, x1, x2, x3 - вспомогательные определители. Главный определитель системы определяется: Вспомогательные определители: Системы линейных уравнений
Система уравнений следующего
вида: где а ij ,
b i
– числовые коэффициенты, x i
– переменные, называется системой
линейных уравнений.
Решить систему линейных уравнений
– значит указать все решения системы,
то есть такие наборы значений переменных,
которые обращают уравнения системы в
тождества. Система линейных уравнений
называется: совместной,
если она имеет хотя бы одно решение; несовместной,
если она не имеет решений; определенной,
если она имеет единственное решение; однородной,
если все b i
= 0; неоднородной,
если все b i
≠ 0. Правило Крамера
(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский
математик) Данный
метод применим только в случае систем
линейных уравнений, где число переменных
совпадает с числом уравнений. Кроме
того, необходимо ввести ограничения на
коэффициенты системы. Необходимо, чтобы
все уравнения были линейно независимы,
т.е. ни одно уравнение не являлось бы
линейной комбинацией остальных. Для
этого необходимо, чтобы определитель
матрицы системы не равнялся 0. = det
A
0; Теорема.
(Правило Крамера):
Система
из n
уравнений с n
неизвестными В случае, если определитель
матрицы системы не равен нулю, то система
имеет единственное решение и это решение
находится по формулам: х i
=
; где
- главный определитель
,
составленный из числовых коэффициентов
при неизвестных, а i
– вспомогательный
определитель
, получаемый
из главного заменой i
-го столбца столбцом свободных членов
b i . i
=
Пример. Решить систему, используя
правило Крамера. ; 1 =
x 1
=
; x 2
=
; x 3
=
; Пример. Найти решение системы
уравнений: = 1 =
2 =
3 =
Если система однородна, т.е. b i
= 0, то при 0
система имеет единственное нулевое
решение x 1
= x 2
= … = x n
= 0. Матричный метод
Матричный метод применим к
решению систем уравнений, где число
уравнений равно числу неизвестных. Этот метод удобен для решения
систем невысокого порядка. Он основан
на применении свойств умножения матриц. Пусть дана система уравнений: Введем обозначения: A =
B =
матрица – столбец свободных членов; X =
- матрица – столбец неизвестных. Систему уравнений можно записать
в матричной форме: Сделаем следующее преобразование:
A -1 AX
= A -1 B, т.к. А -1 А
= Е, то ЕХ
= А -1 В,
получим Х = А
-1
В
- решение матричного уравнения
Пример.
Решить систему матричным методом
Решение.Обозначим: , Получаем матричное уравнение
Его решение
(Нахождение обратной матрицы
было рассмотрено ранее). Метод Гаусса
(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий
математик) В отличие от матричного метода
и метода Крамера, метод Гаусса может
быть применен к системам линейных
уравнений с произвольным числом уравнений
и неизвестных. Суть метода заключается
в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему линейных
уравнений: Определение:
Матрица, составленная из коэффициентов
при неизвестных системы, называется
матрицей системы. Определение:
Матрица
называется расширенной матрицей системы,
если к матрице А присоединить столбец
свободных членов системы. Расширенная матрица – это
закодированная запись системы. Строки
матрицы соответствуют уравнениям
системы. Умножение уравнения на число
и сложение этого произведения с другим
уравнением эквивалентно умножению
строки матрицы на это число и почленному
сложению произведения с другой строкой
матрицы. Таким образом, работу с
уравнениями можно заменить работой со
строками матрицы. Определение:
Матрицу
А называют ступенчатой, если: А) любая ее строка имеет хотя бы
один отличный от нуля элемент, Б) первый отличный от нуля элемент
каждой ее строки, начиная со второй,
расположен правее неравного нулю
элемента предыдущей строки. Метод Гаусса является эффективным
методом решения и исследования систем
линейных уравнений. Он состоит в том,
что данная система линейных уравнений
преобразуется в равносильную ей систему
ступенчатого вида, которая легко решается
и исследуется. Применение метода Гаусса
не зависит ни от числа уравнений, ни от
числа неизвестных в системе. Разберем идею метода Гаусса на
конкретных примерах. Пример. Решить систему линейных
уравнений методом Гаусса. Составим расширенную матрицу
системы и с помощью элементарных
преобразований приведем к виду: ,
откуда получаем: x 3
= 2; x 2
= 5; x 1
= 1. Пример. Решить систему методом
Гаусса. Составим расширенную матрицу
системы. Таким образом, исходная система
может быть представлена в виде: И третий столбец матрицы, находим вспомогательные
определители
: Находим коэффициенты полинома: Таким образом... произведение: Найдем произведение: Найдем главный определитель
: Находим вспомогательные
определители
и, подставляя матрицу поочередно в... Пример: вычислить определитель
второго порядка 1) 2) 2. Вычислить определитель
третьего порядка Определителем
третьего порядка называется... из коэффициентов при неизвестных Составим вспомогательные
определители
системы следующим образом: … Тогда... Восполнителями, вспомогательные
глаголы, аспектные и фазисные глаголы, наречия-интенсификаторы, указательные определители
; гетерогенными... путем сочетания «вещественного» слова с «вспомогательно
-грамматическим» словом. Соответственно этому и... y = arcsin x
y = arccos x
функция обратная функции y = sin x, - / 2 x / 2
функция обратная функции y = cos x, 0 x
y = arctg x
y = arcctg x
функция обратная функции y = tg x, - / 2 < x < / 2
функция обратная функции y = ctg x, 0 < x <
y > 0 при x R
ЭКСТРЕМУМЫ:
нет
нет
ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:
возрастает при x R
убывает при x R
номер
столбца, на пересечении которых стоит
этот элемент); диагональ, образованная
элементами
,
,
называетсяглавной
,
элементами
,
побочной
.
,
,
,
называетсяглавной
,
элементами
,
,
побочной
.
»,
а какие со знаком «
», полезно использовать следующее
«правило треугольников»:
некоторого элемента определителя
называется определитель, образованный
из данного вычёркиванием строки и
столбца, на пересечении которых находится
этот элемент.
,
где
номер
строки,
номер
столбца, на пересечении которых находится
этот элемент:1) 2)3)4).
2)
2)1.2. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера
вспомогательные
определители.
.
(1)
,
то возможны случаи:
(уравнения пропорциональны), тогда
система содержит только одно уравнение,
например,
и имеет бесконечно много решений
(неопределённая система). Для её решения
необходимо выразить одну переменную
через другую, значение которой выбирается
произвольно;
отличен от нуля, то система не имеет
решений (несовместная система).
,
то система (2) сводится к одному уравнению
(например, первому), из которого одно
неизвестное выражается через два других,
значения которых выбираются произвольно.
не выполнено, то для решения системы
(2) перенесем одну переменную вправо и
решим систему двух линейных неоднородных
уравнений с использованием формул
Крамера (1).
,
то система имеет единственное решение,
которое находится по формулам Крамера:
,
(3)
,
то возможны случаи:
,
тогда система будет иметь бесконечно
много решений, она будет сводиться либо
к системе состоящей из одного, либо из
двух уравнений (одну неизвестную
перенесём направо и решим систему двух
уравнений с двумя неизвестными);
отличен от нуля, система не имеет решения.
,
то она имеет единственное нулевое
решение.
,
то система сводится либо к двум уравнениям
(третье является их следствием), либо к
одному уравнению (остальные два являются
его следствием) и имеет бесконечно много
решений (см. п.II).
,
то система имеет единственное решение.
Воспользуемся формулами Крамера (3). Для
этого вычислим вспомогательные
определители:
,
,
,
.
Решение систем уравнений методом Крамера
;
2 =
;
3 =
;
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
= 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
- матрица коэффициентов системы;
,
.
.
,
т.е.Курсовой проект пояснительная записка
Курсовой проект
Методические рекомендации по выполнению внеурочной самостоятельной работы студента Дисциплина «Математика» для специальности
Методические рекомендации
Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по лингвистическим специальностям Москва «Высшая школа» 2002
Учебник
Предыдущая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства
Следующая статья: Чему равна скорость света